Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

h tuyến tính thuần nhất 2 Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm (1) Ma trận A =  a11 · · · a1n a21 · · · a2n ... . . . ... am1 · · · amn  , X =  x1 ... xn  , B =  b1 ... bm  được gọi là ma trận hệ số, ma trận biến số và ma trận hệ số tự do của (1). Khi đó: (1) ⇔ AX = B. (2) A = (A|B) được gọi là ma trận hệ số mở rộng của (1). 3 Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm Ma trận Aj =  a1j ... amj  , j ∈ {1, . . . ,n} được gọi là ma trận cột thứ j của A. Khi đó: (1) ⇔ A1x1 + · · ·+Anxn = B. (3) - α = (α1, α2, . . . , αn) T được gọi là nghiệm của (2) nếu Aα = B. Các cách viết nghiệm của (1): (α1, α2, . . . , αn) hoặc x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn. - Hai hệ phương trình có cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. 4 Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm Định nghĩa Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng: 1 P1: Hoán vị 2 dòng. 2 P2: Nhân một dòng với một số λ , 0. 3 P3: Nhân một dòng với một số λ rồi cộng vào một dòng khác. Định lý Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận các hệ số A tương ứng biến hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương với nó. Ví dụ: Xét hệ phương trình:  x+ 2y + z+ t = 2 −x+ y − 2z − t = −3 2x+ 6y + 3z+ 2t = 8 A =  1 2 1 1−1 1 −2 −12 6 3 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 −3 8  d2→d2+d1−−−−−−−−−→d3→d3−2d1  1 2 1 10 3 −1 00 2 1 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 −1 4  5 Hệ phương trình tuyến tính Định lý Croneker - Capelli Định lý (Croneker - Capelli) 1 Hệ (1) vô nghiệm ⇔ rankA < rank(A) 2 Hệ (1) có nghiệm ⇔ rankA = rank(A) Hệ (1) có nghiệm duy nhất ⇔ rankA = rank(A) = n Hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ rankA = rank(A) < n 6 Hệ phương trình tuyến tính Định lý Croneker - Capelli Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình sau: x+ 2y + z = 2 −x+ y − 2z = 1 2x+ y + 3z = m Ta có ma trận các hệ số của hệ phương trình: A = (A|B) =  1 2 1 2−1 1 −2 12 1 3 m  d2→d2+d1−−−−−−−−−→d3→d3−2d1 1 2 1 20 3 −1 30 −3 1 m − 4  d3→d3−d2−−−−−−−−→  1 2 1 20 3 −1 30 0 0 m − 1  Nếu m = 1 : rank(A) = 2 = rank(A) < 3⇒ Hpttt có vô số nghiệm. Nếu m , 1 : rank(A) = 2 < rank(A) = 3⇒ Hpttt vô nghiệm. 7 Hệ Cramer Phương pháp ma trận nghịch đảo Định nghĩa Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính thỏa 2 điều kiện: Số phương trình bằng số ẩn. Ma trận hệ số A có định thức khác không. Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất. Hpttt (1) ⇔ AX=B. Vì |A| , 0 nên A khả nghịch. Do đó, X = A−1B 8 Hệ Cramer Phương pháp ma trận nghịch đảo Ví dụ: Giải hệ phương trình:  2x+ y − z = 1 y + 3z = 3 2x+ y + z = −1 Ta có |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 −1 0 1 3 2 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4 , 0 nên hệ đã cho là hệ Cramer. Ta tìm được A−1 = 1 4  −2 −2 46 4 −6−2 0 2 . Từ đó ta được X = A−1B = 1 4  −2 −2 46 4 −6−2 0 2   13−1  = 14  −1224−4  =  −36−1  Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (−3, 6,−1). 9 Hệ Cramer Phương pháp định thức Gọi D = |A| và Dj là định thức của ma trận có được bằng cách thay cột j của A bằng B. Khi đó, hệ Cramer có nghiệm duy nhất với xj = Dj D , j = 1, n. Ví dụ: Giải hệ phương trình  2x+ y − z = 1 y + 3z = 3 2x+ y + z = −1 Ta có D = |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 −1 0 1 3 2 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4 , 0 nên hệ đã cho là hệ Cramer. D1 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 −1 3 1 3 −1 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = − 12 D2 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 −1 0 3 3 2 −1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 24 D3 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 1 1 0 1 3 2 1 −1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = − 4 Vậy: Hpttt có nghiệm duy nhất (x, y, z) = ( D1 D , D2 D , D3 D ) = (−3; 6;−1). 10 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận các hệ số A về dạng bậc thang theo dòng. Trong quá trình biến đổi, lưu ý: Nếu có 2 dòng tỉ lệ với nhau thì bỏ đi 1 dòng. Bỏ đi tất cả các dòng không (nếu có). Nếu có một dòng có dạng (0 · · · 0|a) với a , 0 thì hpttt vô nghiệm. 11 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ: Giải hệ phương trình  x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4 2x1 + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5 3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −2 Ta có A =  1 6 2 −5 −2 −42 12 6 −18 −5 −53 18 8 −23 −6 −2  −→  1 6 2 −5 −2 −40 0 2 −8 −1 30 0 2 −8 0 10  −→ 1 6 2 −5 −2 −40 0 2 −8 −1 30 0 0 0 1 7  Ta có được hệ phương trình tương đương x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4 2x3 − 8x4 − x5 = 3 x5 = 7 ⇔  x5 = 7 x3 = 4x4 + 5 x1 = −6x2 − 3x4 Vậy tập nghiệm của hệ là {(−6a − 3b, a, 4b+ 5, b, 7), a, b ∈ R}. 12 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Phương pháp Gauss-Jordan Sau khi đã đưa ma trận các hệ số về dạng bậc thang theo dòng theo phương pháp Gauss, ta tiếp tục biến đổi sao cho Phần tử khác không đầu tiên của mỗi dòng là phần tử khác không duy nhất trên cột tương ứng. Các phần tử khác không đầu tiên của mỗi dòng phải bằng 1. 13 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Ví dụ: Giải hệ phương trình  x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4 2x1 + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5 3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −2 Sau khi dùng phương pháp Gauss biến đổi ta được 1 6 2 −5 −2 −40 0 2 −8 −1 30 0 0 0 1 7  −→  1 6 2 −5 0 100 0 2 −8 0 100 0 0 0 1 7  −→ 1 6 0 3 0 00 0 2 −8 0 100 0 0 0 1 7  −→  1 6 0 3 0 00 0 1 −4 0 50 0 0 0 1 7  Ta có được hệ phương trình tương đương x1 + 6x2 + 3x4 = 0 x3 − 4x4 = 5 x5 = 7 ⇔  x1 = −6x2 − 3x4 x3 = 4x4 + 5 x5 = 7 Vậy nghiệm tổng quát của hệ là (−6a − 3b, a, 4b+ 5, b, 7), a, b ∈ R. 14 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:  mx+ y + z = 1 x+my + z = 1 x+ y +mz = 1 Cách 1: Gauss/Gauss-Jordan A =  m 1 1 11 m 1 11 1 m 1  −→  1 1 m 11 m 1 1m 1 1 1  −→ 1 1 m 10 m − 1 1 −m 00 1 −m 1 −m2 1 −m  −→  1 1 m 10 m − 1 1 −m 00 0 2 −m −m2 1 −m  Nếu m = −2 : A −→  1 1 −2 10 −3 3 00 0 0 3 ⇒ Hệ vô nghiệm. Nếu m = 1 : A −→ ( 1 1 1 1 ) ⇒ Hệ tương đương x+ y + z = 1⇔ x = 1 − y − z Nghiệm tổng quát là (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R. 15 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Nếu m , 1 ∧m , −2 : A −→  1 1 m 10 m − 1 1 −m 00 0 2 −m −m2 1 −m  −→ 1 1 m 10 1 −1 00 0 2+m 1  −→  1 1 m 1 0 1 −1 0 0 0 1 1 m+ 2  −→ 1 1 0 2 m+ 2 0 1 0 1 m+ 2 0 0 1 1 m+ 2  −→  1 0 0 1 m+ 2 0 1 0 1 m+ 2 0 0 1 1 m+ 2  ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = ( 1 m+ 2 , 1 m+ 2 , 1 m+ 2 ). Vậy: m=-2: Hệ vô nghiệm. m=1: Hệ có vô số nghiệm dạng tổng quát (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R. m , 1 ∧m , −2: Hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = ( 1m+2 , 1m+2 , 1m+2 ). 16 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Cách 2: Cramer+Gauss/Gauss-Jordan Ta có D = |A| = ∣∣∣∣∣∣∣∣ m 1 1 1 m 1 1 1 m ∣∣∣∣∣∣∣∣ = m3 − 3m+ 2 = (m − 1)2(m+ 2) |A| = 0⇔ m = −2 ∨m = 1 Nếu m = −2 : A =  −2 1 1 11 −2 1 11 1 −2 1  −→  1 1 −2 10 −3 3 00 0 0 3 ⇒ Hệ vô nghiệm. Nếu m = 1 : A =  1 1 1 11 1 1 11 1 1 1  −→ ( 1 1 1 1 )⇒ Hệ tương đương x+ y + z = 1⇔ x = 1 − y − z suy ra hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R. 17 Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss-Jordan Nếu m , 1 ∧m , −2 : D1 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 1 m 1 1 1 m ∣∣∣∣∣∣∣∣ = m2 − 2m+ 1 = (m − 1)2 Tương tự ta tính được D2 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ m 1 1 1 1 1 1 1 m ∣∣∣∣∣∣∣∣ = m2 − 2m+ 1 = (m − 1)2, D3 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ m 1 1 1 m 1 1 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = m2 − 2m+ 1 = (m − 1)2 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất x = y = z = 1m+2 . 18 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Định nghĩa Hpttt có ma trận hệ số tự do bằng không được gọi là hpttt thuần nhất. a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0 ... am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0 19 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hpttt thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường (x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0). Do ta luôn có rankA = rank(A) nên theo Croneker-Capelli Nếu rankA=n thì hpttt thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường. Nếu rankA < n thì hpttt thuần nhất có vô số nghiệm. Trong trường hợp hpttt thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn Nếu |A| , 0 thì hpttt thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường. Nếu |A| = 0 thì hpttt thuần nhất có vô số nghiệm. Lưu ý Khi giải hpttt thuần nhất bằng phương pháp Gauss hoặc Gauss-Jordan chỉ cần biến đổi trên dòng đối với ma trận hệ số ẩn A (do B=0). 20 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ: Tìm m để hệ sau có nghiệm không tầm thường mx − 3y + z = 0 2x+ y + z = 0 3x+ 2y − 2z = 0 Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ ∣∣∣∣∣∣∣∣ m −3 1 2 1 1 3 2 −2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ − 2m − 9+ 4 − 3 − 12 − 2m = 0⇔ − 4m − 20 = 0⇔ m = −5 21 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm của hệ sau x − 2y − z = 0 −x+ y − z = 0 3x − 5y − z = 0 2x − 3y +mz = 0 Ta có A =  1 −2 −1 −1 1 −1 3 −5 −1 2 −3 m  −→  1 −2 −1 0 −1 −2 0 1 2 0 1 m+ 2  −→ 1 −2 −10 1 20 1 m+ 2  −→  1 −2 −10 1 20 0 m  Vậy: Nếu m = 0: rank(A)=2 < 3⇒ Hệ có vô số nghiệm. Nếu m , 0: rank(A)=3 ⇒ Hệ chỉ có nghiệm tầm thường. 22 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ: Giải hpttt thuần nhất sau x − y + z − t = 0 x+ 2z − t = 0 x+ y + 3z − t = 0 Ta có A =  1 −1 1 −11 0 2 −11 1 3 −1  −→  1 −1 1 −10 1 1 00 2 2 0  −→( 1 −1 1 −1 0 1 1 0 ) −→ ( 1 0 2 −1 0 1 1 0 ) Hpttt ⇔ { x+ 2z − t = 0 y + z = 0 { x = −2z+ t y = −z Vậy nghiệm tổng quát của hệ là (−2a+ b,−a, a, b), a, b ∈ R 23