Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê Toán - Chương 6: Cơ sở lý thuyết mẫu - Mai Cẩm Tú

kê Toán 2012 172 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 6 1 Tổng thể 2 Mẫu 3 Thống kê 4 QLPPXS ủa một số thống kê 5 Suy diễn thống kê (suy đoán) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 172 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 6 1 Tổng thể 2 Mẫu 3 Thống kê 4 QLPPXS ủa một số thống kê 5 Suy diễn thống kê (suy đoán) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 172 / 293 1. Mở đầu Nội dung hương 6 1 Tổng thể 2 Mẫu 3 Thống kê 4 QLPPXS ủa một số thống kê 5 Suy diễn thống kê (suy đoán) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 172 / 293 2. Khái niệm về phương pháp mẫu Để nghiên ứu một tập hợp ó thể sử dng á phương pháp nghiên ứu sau: 2.1. Nghiên ứu toàn bộ thống kê toàn bộ tập hợp đó và phân tí h từng phần tử ủa nó theo dấu hiệu nghiên ứu. Thí d 6.1. Thự hiện tổng điều tra dân số ở Việt Nam là nghiên ứu toàn bộ. Những khó khăn khi áp dng phương pháp này: +Quy mô ủa tập hợp quá lớn. + Có nhiều trường hợp á đơn vị điều tra bị phá hủy ngay trong quá trình điều tra. + Trong nhiều trường hợp không thể ó đượ danh sá h ủa tổng thể. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 173 / 293 2. Khái niệm về phương pháp mẫu Để nghiên ứu một tập hợp ó thể sử dng á phương pháp nghiên ứu sau: 2.1. Nghiên ứu toàn bộ thống kê toàn bộ tập hợp đó và phân tí h từng phần tử ủa nó theo dấu hiệu nghiên ứu. Thí d 6.1. Thự hiện tổng điều tra dân số ở Việt Nam là nghiên ứu toàn bộ. Những khó khăn khi áp dng phương pháp này: +Quy mô ủa tập hợp quá lớn. + Có nhiều trường hợp á đơn vị điều tra bị phá hủy ngay trong quá trình điều tra. + Trong nhiều trường hợp không thể ó đượ danh sá h ủa tổng thể. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 173 / 293 2. Khái niệm về phương pháp mẫu 6.2. Phương pháp mẫu Nội dung hính ủa phương pháp mẫu là: + Từ tổng thể rút ra một mẫu ó kí h thướ n. + Xá định á tham số đặ trưng ủa mẫu. + Xá định quy luật phân phối xá suất ủa á tham số đặ trưng mẫu. + Từ á tham số đặ trưng mẫu rút ra kết luận về tổng thể. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 174 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu 3.1. Định nghĩa. Toàn bộ tập hợp á phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên ứu định tính hay định lượng nào đó đượ gọi là tổng thể nghiên ứu hay tổng thể. Số lượng á phần tử ủa tổng thể gọi là kí h thướ ủa tổng thể, kí hiệu là N Dấu hiệu nghiên ứu, kí hiệu χ, ó thể là định tính hay định lượng. Biến ngẫu nhiên gố X là biến ngẫu nhiên đại diện và lượng hóa ho dấu hiệu nghiên ứu ủa tổng thể. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 175 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu 3.1. Định nghĩa. Toàn bộ tập hợp á phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên ứu định tính hay định lượng nào đó đượ gọi là tổng thể nghiên ứu hay tổng thể. Số lượng á phần tử ủa tổng thể gọi là kí h thướ ủa tổng thể, kí hiệu là N Dấu hiệu nghiên ứu, kí hiệu χ, ó thể là định tính hay định lượng. Biến ngẫu nhiên gố X là biến ngẫu nhiên đại diện và lượng hóa ho dấu hiệu nghiên ứu ủa tổng thể. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 175 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu 3.1. Định nghĩa. Toàn bộ tập hợp á phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên ứu định tính hay định lượng nào đó đượ gọi là tổng thể nghiên ứu hay tổng thể. Số lượng á phần tử ủa tổng thể gọi là kí h thướ ủa tổng thể, kí hiệu là N Dấu hiệu nghiên ứu, kí hiệu χ, ó thể là định tính hay định lượng. Biến ngẫu nhiên gố X là biến ngẫu nhiên đại diện và lượng hóa ho dấu hiệu nghiên ứu ủa tổng thể. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 175 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu 3.1. Định nghĩa. Toàn bộ tập hợp á phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên ứu định tính hay định lượng nào đó đượ gọi là tổng thể nghiên ứu hay tổng thể. Số lượng á phần tử ủa tổng thể gọi là kí h thướ ủa tổng thể, kí hiệu là N Dấu hiệu nghiên ứu, kí hiệu χ, ó thể là định tính hay định lượng. Biến ngẫu nhiên gố X là biến ngẫu nhiên đại diện và lượng hóa ho dấu hiệu nghiên ứu ủa tổng thể. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 175 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu 3.2. Cá phương pháp mô tả tổng thể a. Bảng phân phối tần số Giả sử trong tổng thể dấu hiệu nghiên ứu χ nhận á giá trị x 1 , x 2 , ..., x k với á tần số tương ứng N 1 ,N 2 , ...,N k . Khi đó ta ó bảng phân phối tần suất như sau: Giá trị ủa χ x 1 ... x i ... x k Tần số N 1 ... N i ... N k Hiển nhiên  0 6 N i 6 N ∀i k∑ i=1 N i = N Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 176 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu b. Bảng phân phối tần suất Nếu kí hiệu p i , i = 1, k là tần suất ủa x i thì ta ó p i = N i N , i = 1, k Do đó ta ó bảng phân phối tần suất sau: Giá trị ủa χ x 1 ... x i ... x k Tần suất p 1 ... p i ... p k Ta ũng ó  0 6 p i 6 1 ∀i k∑ i=1 p i = 1 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 177 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu . Tần số tí h lũy và tần suất tí h lũy Nếu kí hiệu w i , i = 1, k là tần số tí h lũy ủa x i , tứ là tổng số phần tử ó giá trị nhỏ hơn x i , thì w i = ∑ x j <x i N j Nếu kí hiệu F(x i ), i = 1, k là tần suất tí h lũy ủa x i thì F(x i ) = w i N = ∑ x j <x i N j N Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 178 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu . Tần số tí h lũy và tần suất tí h lũy Nếu kí hiệu w i , i = 1, k là tần số tí h lũy ủa x i , tứ là tổng số phần tử ó giá trị nhỏ hơn x i , thì w i = ∑ x j <x i N j Nếu kí hiệu F(x i ), i = 1, k là tần suất tí h lũy ủa x i thì F(x i ) = w i N = ∑ x j <x i N j N Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 178 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu 3.3. Cá tham số đặ trưng ủa tổng thể a. Trung bình tổng thể Trung bình tổng thể, kí hiệu là m, là trung bình số họ ủa á giá trị ủa dấu hiệu trong tổng thể Nếu dấu hiệu nghiên ứu ủa tổng thể nhận N giá trị khá nhau: m = 1 N N∑ i=1 x i Nếu dấu hiệu nghiên ứu ủa tổng thể nhận k giá trị khá nhau: m = 1 N k∑ i=1 N i x i Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 179 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu 3.3. Cá tham số đặ trưng ủa tổng thể a. Trung bình tổng thể Trung bình tổng thể, kí hiệu là m, là trung bình số họ ủa á giá trị ủa dấu hiệu trong tổng thể Nếu dấu hiệu nghiên ứu ủa tổng thể nhận N giá trị khá nhau: m = 1 N N∑ i=1 x i Nếu dấu hiệu nghiên ứu ủa tổng thể nhận k giá trị khá nhau: m = 1 N k∑ i=1 N i x i Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 179 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu 3.3. Cá tham số đặ trưng ủa tổng thể a. Trung bình tổng thể Trung bình tổng thể, kí hiệu là m, là trung bình số họ ủa á giá trị ủa dấu hiệu trong tổng thể Nếu dấu hiệu nghiên ứu ủa tổng thể nhận N giá trị khá nhau: m = 1 N N∑ i=1 x i Nếu dấu hiệu nghiên ứu ủa tổng thể nhận k giá trị khá nhau: m = 1 N k∑ i=1 N i x i Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 179 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu Bản hất: giả sử dấu hiệu χ đượ mô hình hóa bởi biến ngẫu nhiên X thì á giá trị ó thể ó ủa X là x 1 , x 2 , ..., x N . Khi đó m = E(X) Trong thự tế, tùy từng trường hợp người ta òn tính á loại trung bình sau: + Trung bình điều hòa m h m h = N N∑ i=1 1 x i ( hoặ = N k∑ i=1 N i x i ) + Trung bình nhân m g m g = N √ x 1 .x 2 ...x N ( hoặ = N √ x N 1 1 .xN2 2 ...xNk k ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 180 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu Bản hất: giả sử dấu hiệu χ đượ mô hình hóa bởi biến ngẫu nhiên X thì á giá trị ó thể ó ủa X là x 1 , x 2 , ..., x N . Khi đó m = E(X) Trong thự tế, tùy từng trường hợp người ta òn tính á loại trung bình sau: + Trung bình điều hòa m h m h = N N∑ i=1 1 x i ( hoặ = N k∑ i=1 N i x i ) + Trung bình nhân m g m g = N √ x 1 .x 2 ...x N ( hoặ = N √ x N 1 1 .xN2 2 ...xNk k ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 180 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu b. Phương sai tổng thể Phương sai tổng thể , kí hiệu là σ2 σ2 = 1 N N∑ i=1 (x i −m)2 ( hoặ = 1 N k∑ i=1 N i (x i −m)2) Bản hất: σ2 = N∑ i=1 (x i −m)2p i = V(X) Phương sai tổng thể phản ánh mứ độ phân tán ủa á giá trị ủa dấu hiệu χ xung quanh trung bình tổng thể . Độ lê h huẩn tổng thể σ = √ σ2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 181 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu b. Phương sai tổng thể Phương sai tổng thể , kí hiệu là σ2 σ2 = 1 N N∑ i=1 (x i −m)2 ( hoặ = 1 N k∑ i=1 N i (x i −m)2) Bản hất: σ2 = N∑ i=1 (x i −m)2p i = V(X) Phương sai tổng thể phản ánh mứ độ phân tán ủa á giá trị ủa dấu hiệu χ xung quanh trung bình tổng thể . Độ lê h huẩn tổng thể σ = √ σ2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 181 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu b. Phương sai tổng thể Phương sai tổng thể , kí hiệu là σ2 σ2 = 1 N N∑ i=1 (x i −m)2 ( hoặ = 1 N k∑ i=1 N i (x i −m)2) Bản hất: σ2 = N∑ i=1 (x i −m)2p i = V(X) Phương sai tổng thể phản ánh mứ độ phân tán ủa á giá trị ủa dấu hiệu χ xung quanh trung bình tổng thể . Độ lê h huẩn tổng thể σ = √ σ2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 181 / 293 3. Tổng thể nghiên ứu . Tần suất ủa tổng thể Nếu tổng thể nghiên ứu ó kí h thướ N trong đó ó M phần tử mang dấu hiệu nghiên ứu. Khi đó tần suất ủa tổng thể, kí hiệu là p và đượ xá định bởi ông thứ : p = M N Thự hất tần suất p là trường hợp riêng ủa trung bình tổng thể m và phản ánh ơ ấu ủa tổng thể theo dấu hiệu nghiên ứu χ. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 182 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên 4.1. Định nghĩa mẫu ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n là tập hợp ủa n biến ngẫu nhiên độ lập X 1 ,X 2 , ...,X n đượ thành lập từ biến ngẫu nhiên gố X trong tổng thể nghiên ứu và ó ùng quy luật phân phối xá suất với X. Mẫu ngẫu nhiên thường đượ kí hiệu là W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) Thí d 6.2. Nếu X ∼ N(à, σ2) thì á X i ũng phân phối huẩn và E(X i ) = E(X) = à V(X i ) = V(X) = σ2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 183 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên 4.1. Định nghĩa mẫu ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n là tập hợp ủa n biến ngẫu nhiên độ lập X 1 ,X 2 , ...,X n đượ thành lập từ biến ngẫu nhiên gố X trong tổng thể nghiên ứu và ó ùng quy luật phân phối xá suất với X. Mẫu ngẫu nhiên thường đượ kí hiệu là W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) Thí d 6.2. Nếu X ∼ N(à, σ2) thì á X i ũng phân phối huẩn và E(X i ) = E(X) = à V(X i ) = V(X) = σ2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 183 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên Việ thự hiện một php thử đối với mẫu ngẫu nhiên hính là thự hiện một php thử đối với mỗi thành phần ủa mẫu. Khi tiến hành một php thử đối với mẫu ngẫu nhiên W thì ta thu đượ mẫu  thể, kí hiệu là w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) Mẫu  thể hính là kết quả ủa một php thử đối với mẫu ngẫu nhiên . Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 184 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên Thí d 6.3. Gọi X là ân nặng (kg) ủa một sinh viên trong lớp. Dễ thấy X ∼ N(à, σ2). Giả sử ta lấy 1 mẫu kí h thướ n = 4. Trướ khi tiến hành điều tra thì ta ó mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ) Sau khi điều tra (hỏi ân nặng ủa 4 sinh viên bất kì) ta ó mẫu  thể, hẳng hạn như w 1 = (56, 62, 60, 45) w 2 = (50, 60, 50, 55) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 185 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên Thí d 6.3. Gọi X là ân nặng (kg) ủa một sinh viên trong lớp. Dễ thấy X ∼ N(à, σ2). Giả sử ta lấy 1 mẫu kí h thướ n = 4. Trướ khi tiến hành điều tra thì ta ó mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ) Sau khi điều tra (hỏi ân nặng ủa 4 sinh viên bất kì) ta ó mẫu  thể, hẳng hạn như w 1 = (56, 62, 60, 45) w 2 = (50, 60, 50, 55) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 185 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên Thí d 6.3. Gọi X là ân nặng (kg) ủa một sinh viên trong lớp. Dễ thấy X ∼ N(à, σ2). Giả sử ta lấy 1 mẫu kí h thướ n = 4. Trướ khi tiến hành điều tra thì ta ó mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ) Sau khi điều tra (hỏi ân nặng ủa 4 sinh viên bất kì) ta ó mẫu  thể, hẳng hạn như w 1 = (56, 62, 60, 45) w 2 = (50, 60, 50, 55) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 185 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên 4.2. Cá phương pháp họn mẫu a. Mẫu đơn giản. b. Mẫu thống kê. . Mẫu hùm. d. Mẫu phân tổ. e. Mẫu nhiều ấp. 4.3. Thang đo á giá trị mẫu a. Thang định danh b. Thang thứ bậ . Thang đo khoảng d. Thang đo tỷ lệ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 186 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên 4.2. Cá phương pháp họn mẫu a. Mẫu đơn giản. b. Mẫu thống kê. . Mẫu hùm. d. Mẫu phân tổ. e. Mẫu nhiều ấp. 4.3. Thang đo á giá trị mẫu a. Thang định danh b. Thang thứ bậ . Thang đo khoảng d. Thang đo tỷ lệ Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 186 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên 4.4. Cá phương pháp mô tả số liệu mẫu Xt mẫu  thể w = (x 1 , x 2 , ..., x n ). a. Bảng phân phối tần số Cần sắp xếp á số liệu mẫu theo thứ tự tăng dần. + Mẫu ó n giá trị khá nhau: tần suất ủa mỗi giá trị đều bằng 1 + Mẫu ó k giá trị khá nhau: giá trị x i (i = 1, k) xuất hiện với tần số n i thì ó bảng sau: Giá trị ủa χ x 1 x 2 ... x i ... x k Tần số n 1 n 2 ... n i ... n k Hiển nhiên n 1 + n 2 + ...+ n k = n. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 187 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên Thí d 6.4. Điều tra ân nặng ủa một số sinh viên thì ó kết quả sau: Cân nặng (kg) 40 45 50 55 60 Số sinh viên 1 5 9 7 3 Thí d 6.5. Điều tra hi tiêu (triệu đồng/tháng) ủa một số sinh viên ĐHKTQD thì ó bảng sau: Chi tiêu 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6 Số sinh viên 20 40 30 10 Trong trường hợp ho khoảng (như 2 - 3) ta lấy giá trị ở giữa làm đại diện khi tính toán (VD 2,5) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 188 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên Thí d 6.4. Điều tra ân nặng ủa một số sinh viên thì ó kết quả sau: Cân nặng (kg) 40 45 50 55 60 Số sinh viên 1 5 9 7 3 Thí d 6.5. Điều tra hi tiêu (triệu đồng/tháng) ủa một số sinh viên ĐHKTQD thì ó bảng sau: Chi tiêu 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6 Số sinh viên 20 40 30 10 Trong trường hợp ho khoảng (như 2 - 3) ta lấy giá trị ở giữa làm đại diện khi tính toán (VD 2,5) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 188 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên b. Bảng phân phối tần suất Nếu kí hiệu f i = n i n là tần suất xuất hiện giá trị x i trong mẫu thì ta ó bảng phân phối tần suất như sau: Giá trị ủa χ x 1 x 2 ... x i ... x k Tần suất f 1 f 2 ... f i ... f k Hiển nhiên f 1 + f 2 + ...+ f k = 1. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 189 / 293 4. Mẫu ngẫu nhiên . Tần số tí h lũy và tần suất tí h lũy + Nếu kí hiệu w i là tần số tí h lũy ủa x i thì w i = ∑ x j <x i n j + Tần suất tí h lũy ủa x i là F ∗(x i ) = w i n = ∑ x j <x i n j n thì F ∗(x i ) là một hàm ủa x i và gọi là hàm phân bố thự nghiệm ủa mẫu. Ngoài á phương pháp trên người ta òn dùng đồ thị để mô tả mẫu. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 190 / 293 5. Thống kê 5.1. Định nghĩa. Giả sử tổng thể nghiên ứu ó biến ngẫu nhiên gố là X. Từ tổng thể ta lập mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ). Thống kê là hàm ủa á biến ngẫu nhiên X 1 ,X 2 , ...,X n , kí hiệu là G. G = f(X 1 ,X 2 , ...,X n ) Bản hất: Thống kê G là một biến ngẫu nhiên . Khi mẫu ngẫu nhiên W nhận một giá trị  thể là w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) thì G ũng nhận một giá trị  thể g = f(x 1 , x 2 , ..., x n ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 191 / 293 5. Thống kê 5.1. Định nghĩa. Giả sử tổng thể nghiên ứu ó biến ngẫu nhiên gố là X. Từ tổng thể ta lập mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ). Thống kê là hàm ủa á biến ngẫu nhiên X 1 ,X 2 , ...,X n , kí hiệu là G. G = f(X 1 ,X 2 , ...,X n ) Bản hất: Thống kê G là một biến ngẫu nhiên . Khi mẫu ngẫu nhiên W nhận một giá trị  thể là w = (x 1 , x 2 , ..., x n ) thì G ũng nhận một giá trị  thể g = f(x 1 , x 2 , ..., x n ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 191 / 293 5. Thống kê 5.2. Một số thống kê đặ trưng ủa mẫu ngẫu nhiên Xt mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) a. Trung bình mẫu: là một thống kê, kí hiệu là X và là trung bình số họ ủa á giá trị mẫu: X = 1 n n∑ i=1 X i Với mẫu  thể, X nhận giá trị  thể là x = 1 n n∑ i=1 x i ( hoặ = 1 n k∑ i=1 n i x i ) Tính hất: E(X) = m; V(X) = σ2 n ; Se(X) = σ√ n Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 192 / 293 5. Thống kê 5.2. Một số thống kê đặ trưng ủa mẫu ngẫu nhiên Xt mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) a. Trung bình mẫu: là một thống kê, kí hiệu là X và là trung bình số họ ủa á giá trị mẫu: X = 1 n n∑ i=1 X i Với mẫu  thể, X nhận giá trị  thể là x = 1 n n∑ i=1 x i ( hoặ = 1 n k∑ i=1 n i x i ) Tính hất: E(X) = m; V(X) = σ2 n ; Se(X) = σ√ n Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 192 / 293 5. Thống kê 5.2. Một số thống kê đặ trưng ủa mẫu ngẫu nhiên Xt mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) a. Trung bình mẫu: là một thống kê, kí hiệu là X và là trung bình số họ ủa á giá trị mẫu: X = 1 n n∑ i=1 X i Với mẫu  thể, X nhận giá trị  thể là x = 1 n n∑ i=1 x i ( hoặ = 1 n k∑ i=1 n i x i ) Tính hất: E(X) = m; V(X) = σ2 n ; Se(X) = σ√ n Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 192 / 293 5. Thống kê b. Phương sai mẫu là S 2 Phương sai mẫu, kí hiệu là S 2 đượ xá định bằng ông thứ S 2 = 1 n− 1 n∑ i=1 (X i − X)2 = 1 n− 1 [ n∑ i=1 X 2 i − nX2 ] Chú ý: kí hiệu MS = X2 − X2 gọi là độ lệ h bình phương trung bình. Dễ thấy S 2 = n n− 1MS = n n− 1 [ X 2 − X2] Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 193 / 293 5. Thống kê Trên mẫu  thể, s 2 = 1 n− 1 n∑ i=1 (x i − x)2 = n n− 1[x 2 − x2] Tính hất: E(S2) = σ2 Độ lệ h huẩn mẫu, kí hiệu là S, là ăn bậ hai ủa phương sai mẫu: S = √ S 2 ---------------------------------------------------------- . Phương sai S ∗2 Khi đã biết trung bình tổng thể m thì ta tính đượ S ∗2 = 1 n n∑ i=1 (X i −m)2; E(S∗2) = σ2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 194 / 293 5. Thống kê Trên mẫu  thể, s 2 = 1 n− 1 n∑ i=1 (x i − x)2 = n n− 1[x 2 − x2] Tính hất: E(S2) = σ2 Độ lệ h huẩn mẫu, kí hiệu là S, là ăn bậ hai ủa phương sai mẫu: S = √ S 2 ---------------------------------------------------------- . Phương sai S ∗2 Khi đã biết trung bình tổng thể m thì ta tính đượ S ∗2 = 1 n n∑ i=1 (X i −m)2; E(S∗2) = σ2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 194 / 293 5. Thống kê Trên mẫu  thể, s 2 = 1 n− 1 n∑ i=1 (x i − x)2 = n n− 1[x 2 − x2] Tính hất: E(S2) = σ2 Độ lệ h huẩn mẫu, kí hiệu là S, là ăn bậ hai ủa phương sai mẫu: S = √ S 2 ---------------------------------------------------------- . Phương sai S ∗2 Khi đã biết trung bình tổng thể m thì ta tính đượ S ∗2 = 1 n n∑ i=1 (X i −m)2; E(S∗2) = σ2 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 194 / 293 5. Thống kê Thí d 6.4. Cân nặng (kg) 40 45 50 55 60 Số sinh viên 1 5 9 7 3 Tính trung bình mẫu và độ lệ h huẩn mẫu. Tìm đượ : n = 25; x = 51, 2; s2 = 27, 667; s = 5, 26. Thí d 6.5. Chi tiêu 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6 Số sinh viên 20 40 30 10 Tính đượ n = 100; x = 3, 8; s2 = 0, 818; s = 0, 905. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 195 / 293 5. Thống kê Thí d 6.4. Cân nặng (kg) 40 45 50 55 60 Số sinh viên 1 5 9 7 3 Tính trung bình mẫu và độ lệ h huẩn mẫu. Tìm đượ : n = 25; x = 51, 2; s2 = 27, 667; s = 5, 26. Thí d 6.5. Chi tiêu 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6 Số sinh viên 20 40 30 10 Tính đượ n = 100; x = 3, 8; s2 = 0, 818; s = 0, 905. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 195 / 293 5. Thống kê d. Tần suất mẫu Ta ó tần suất tổng thể là p = M N Lập một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n, gọi Y là số phần tử mang dấu hiệu A (nào đó), tần suất mẫu (f) ủa dấu hiệu A là f = Y n Bản hất: f là một biến ngẫu nhiên . Tính hất: E(f) = p;V(f) = p(1− p) n ;Se(f) = √ p(1− p)√ n Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 196 / 293 5. Thống kê d. Tần suất mẫu Ta ó tần suất tổng thể là p = M N Lập một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n, gọi Y là số phần tử mang dấu hiệu A (nào đó), tần suất mẫu (f) ủa dấu hiệu A là f = Y n Bản hất: f là một biến ngẫu nhiên . Tính hất: E(f) = p;V(f) = p(1− p) n ;Se(f) = √ p(1− p)√ n Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 196 / 293 5. Thống kê Thí d 6.5. Chi tiêu 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6 Số sinh viên 20 40 30 10 Tính tỷ lệ sinh viên ủa mẫu hi tiêu hơn 4 triệu đồng một tháng Thí d 6.6. Kiểm tra 200 sản phẩm ủa nhà máy thì ó 40 phế phẩm. Tính tỷ lệ hính phẩm ủa mẫu. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 197 / 293 5. Thống kê Thí d 6.5. Chi tiêu 2 - 3 3 - 4 4 - 5 5 - 6 Số sinh viên 20 40 30 10 Tính tỷ lệ sinh viên ủa mẫu hi tiêu hơn 4 triệu đồng một tháng Thí d 6.6. Kiểm tra 200 sản phẩm ủa nhà máy thì ó 40 phế phẩm. Tính tỷ lệ hính phẩm ủa mẫu. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 197 / 293 6. Mẫu ngẫu nhiên hai hiều 6.1. Định nghĩa Mẫu ngẫu nhiên hai hiều kí h thướ n là tập hợp ủa n biến ngẫu nhiên độ lập (X 1 ,Y 1 ), (X 2 ,Y 2 ), ..., (X n ,Y n ) đượ thành lập từ biến ngẫu nhiên hai hiều (X,Y) và ó ùng quy luật phân phối xá suất với (X,Y). Kí hiệu: W = [(X 1 ,Y 1 ), (X 2 ,Y 2 ), ..., (X n ,Y n )] Việ thự hiện một php thử đối với mẫu ngẫu nhiên là thự hiện một php thử đối với mỗi thành phần ủa mẫu. Khi đó ta ó mẫu  thể w = [(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), ..., (x n , y n )] 6.2. Phương pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên hai hiều Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 198 / 293 7. Quy luật PPXS ủa một số thống kê đặ trưng mẫu 7.1. Trường hợp biến ngẫu nhiên gố X tuân theo quy luật huẩn N(à, σ2) Từ tổng thể rút ra một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) khi đó á biến ngẫu nhiên X 1 ,X 2 , ...,X n độ lập ũng tuân theo quy luật huẩn N(à, σ2). Ta ó á kết luận sau: Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 199 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất (1) X = 1 n n∑ i=1 X i ∼ N(à; σ 2 n ) (2) U = X− à Se(X) = (X− à)√n σ ∼ N(0, 1) (3) χ2 = nS ∗2 σ2 ∼ χ2(n)) (4) χ2 = (n− 1)S2 σ2 ∼ χ2(n− 1) (5) T = (X− à)√n S ∼ T(n− 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 200 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất (1) X = 1 n n∑ i=1 X i ∼ N(à; σ 2 n ) (2) U = X− à Se(X) = (X− à)√n σ ∼ N(0, 1) (3) χ2 = nS ∗2 σ2 ∼ χ2(n)) (4) χ2 = (n− 1)S2 σ2 ∼ χ2(n− 1) (5) T = (X− à)√n S ∼ T(n− 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 200 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất (1) X = 1 n n∑ i=1 X i ∼ N(à; σ 2 n ) (2) U = X− à Se(X) = (X− à)√n σ ∼ N(0, 1) (3) χ2 = nS ∗2 σ2 ∼ χ2(n)) (4) χ2 = (n− 1)S2 σ2 ∼ χ2(n− 1) (5) T = (X− à)√n S ∼ T(n− 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 200 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất (1) X = 1 n n∑ i=1 X i ∼ N(à; σ 2 n ) (2) U = X− à Se(X) = (X− à)√n σ ∼ N(0, 1) (3) χ2 = nS ∗2 σ2 ∼ χ2(n)) (4) χ2 = (n− 1)S2 σ2 ∼ χ2(n− 1) (5) T = (X− à)√n S ∼ T(n− 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 200 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất (1) X = 1 n n∑ i=1 X i ∼ N(à; σ 2 n ) (2) U = X− à Se(X) = (X− à)√n σ ∼ N(0, 1) (3) χ2 = nS ∗2 σ2 ∼ χ2(n)) (4) χ2 = (n− 1)S2 σ2 ∼ χ2(n− 1) (5) T = (X− à)√n S ∼ T(n− 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 200 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất 7.2. Trường hợp ó hai biến ngẫu nhiên gố ùng phân phối theo quy luật huẩn Giả sử ta xt ùng một lú hai tổng thể. Tổng thể thứ nhất với biến ngẫu nhiên gố X 1 ∼ N(à 1 , σ2 1 ) và tổng thể thứ hai với biến ngẫu nhiên gố X 2 ∼ N(à 2 , σ2 2 ). Từ hai tổng thể trên rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độ lập ó kí h thướ tương ứng là n 1 và n 2 như sau: W 1 = (X 11 ,X 12 , ...,X 1n 1 ) W 2 = (X 21 ,X 22 , ...,X 2n 2 ) Ta ó á kết luận sau: Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 201 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất (6) X 1 − X 2 ∼ N(à 1 − à 2 ; σ2 1 n 1 + σ2 2 n 2 ) (7) U = (X 1 − X 2 )− (à 1 − à 2 )√ σ2 1 n 1 + σ2 2 n 2 ∼ N(0, 1) (8) χ2 = (n 1 − 1)S2 1 σ2 1 + (n 2 − 1)S2 2 σ2 2 ∼ χ2(n 1 +n 2 −2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 202 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất (6) X 1 − X 2 ∼ N(à 1 − à 2 ; σ2 1 n 1 + σ2 2 n 2 ) (7) U = (X 1 − X 2 )− (à 1 − à 2 )√ σ2 1 n 1 + σ2 2 n 2 ∼ N(0, 1) (8) χ2 = (n 1 − 1)S2 1 σ2 1 + (n 2 − 1)S2 2 σ2 2 ∼ χ2(n 1 +n 2 −2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 202 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất (6) X 1 − X 2 ∼ N(à 1 − à 2 ; σ2 1 n 1 + σ2 2 n 2 ) (7) U = (X 1 − X 2 )− (à 1 − à 2 )√ σ2 1 n 1 + σ2 2 n 2 ∼ N(0, 1) (8) χ2 = (n 1 − 1)S2 1 σ2 1 + (n 2 − 1)S2 2 σ2 2 ∼ χ2(n 1 +n 2 −2) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 202 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất Nếu σ2 1 = σ2 2 = σ2 thì (9) T = (X 1 − X 2 )− (à 1 − à 2 )√ (n 1 − 1)S2 1 + (n 2 − 1)S2 2 n 1 + n 2 − 2 √ 1 n 1 + 1 n 2 T ∼ T(n 1 + n 2 − 2) Nếu n 1 > 30, n 2 > 30 thì T ≈ N(0, 1) Nếu σ2 1 6= σ2 2 thì (10) T = (X 1 − X 2 )− (à 1 − à 2 )√ S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2 ∼ T(k) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 203 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất Nếu σ2 1 = σ2 2 = σ2 thì (9) T = (X 1 − X 2 )− (à 1 − à 2 )√ (n 1 − 1)S2 1 + (n 2 − 1)S2 2 n 1 + n 2 − 2 √ 1 n 1 + 1 n 2 T ∼ T(n 1 + n 2 − 2) Nếu n 1 > 30, n 2 > 30 thì T ≈ N(0, 1) Nếu σ2 1 6= σ2 2 thì (10) T = (X 1 − X 2 )− (à 1 − à 2 )√ S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2 ∼ T(k) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 203 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất với k = (n 1 − 1)(n 2 − 2) (n 2 − 1)C2 + (n 1 − 1)(1− C)2 với C = S 2 1 n 1 S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2 Nếu n 1 > 30, n 2 > 30 thì T ≈ N(0, 1) (11) F = χ2 1 n 1 − 1 χ2 2 n 2 − 1 = S 2 1 σ2 1 S 2 2 σ2 2 ∼ F(n 1 − 1, n 2 − 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 204 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất với k = (n 1 − 1)(n 2 − 2) (n 2 − 1)C2 + (n 1 − 1)(1− C)2 với C = S 2 1 n 1 S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2 Nếu n 1 > 30, n 2 > 30 thì T ≈ N(0, 1) (11) F = χ2 1 n 1 − 1 χ2 2 n 2 − 1 = S 2 1 σ2 1 S 2 2 σ2 2 ∼ F(n 1 − 1, n 2 − 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 204 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất 7.3. Trường hợp biến ngẫu nhiên gố X phân phối theo quy luật không - một Giả sử tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ∼ A(p), trong đó p là tần suất tổng thể. Từ tổng thể lập một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) khi đó ta tìm đượ tần suất mẫu f. a) Nếu n nhỏ, từ hương 3 ta ó QLPPXS ủa f. b) Nếu n lớn, p nhỏ mà np ≈ npq thì P(f = x n ) tính theo ông thứ Poisson. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 205 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất 7.3. Trường hợp biến ngẫu nhiên gố X phân phối theo quy luật không - một Giả sử tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ∼ A(p), trong đó p là tần suất tổng thể. Từ tổng thể lập một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) khi đó ta tìm đượ tần suất mẫu f. a) Nếu n nhỏ, từ hương 3 ta ó QLPPXS ủa f. b) Nếu n lớn, p nhỏ mà np ≈ npq thì P(f = x n ) tính theo ông thứ Poisson. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 205 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất 7.3. Trường hợp biến ngẫu nhiên gố X phân phối theo quy luật không - một Giả sử tổng thể với biến ngẫu nhiên gố X ∼ A(p), trong đó p là tần suất tổng thể. Từ tổng thể lập một mẫu ngẫu nhiên kí h thướ n W = (X 1 ,X 2 , ...,X n ) khi đó ta tìm đượ tần suất mẫu f. a) Nếu n nhỏ, từ hương 3 ta ó QLPPXS ủa f. b) Nếu n lớn, p nhỏ mà np ≈ npq thì P(f = x n ) tính theo ông thứ Poisson. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 205 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất ) Nếu n và p thỏa mãn: n > 5∣∣√ p 1− p − √ 1− p p ∣∣ 1√ n < 0, 3 thì (12) f ∼ N(p; p(1− p) n ) (13) U = f− p Se(f) = (f− p)√n√ p(1− p) ∼ N(0, 1) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 206 / 293 7. Quy luật phân phối xá suất ) Nếu n và p thỏa mãn: n > 5∣∣√ p 1− p − √ 1− p p ∣∣ 1√ n < 0, 3 thì (12) f ∼ N(p; p(1− p) n ) (13) U = f− p Se(f) = (f− p)√n√ p(1− p) ∼ N(0, 1) Mai Cẩm Tú (T