Định lý LEVY-STEINITZ về miền tổng của chuỗi

ọc Sư Phạm Tp.HCM và trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên. Qua luận văn này em xin gửi đến các thầy cô lòng tri ân thành kính nhất. Cuối cùng, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN-SĐH đã giúp em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này. *********************** Phạm Ngọc Tuấn MỤC LỤC trang MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Ánh xạ hạch và không gian hạch . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Các kiến thức cơ bản về chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Một số kiến thức bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU 15 Chương 3 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC 24 Chương 4 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG GIAN HẠCH 36 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 1MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết chuỗi đóng một vai trò quan trọng trong giải tích toán học. Các loại chuỗi khác nhau như chuỗi số, chuỗi hàm hay chuỗi vectơ được áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực toán học như là công cụ để xấp xỉ một số đối tượng toán học. Ví dụ như chuỗi lũy thừa cho phép ta xấp xỉ các hàm giải tích bằng các đa thức. Nhờ có chuỗi Fourier các hàm tuần hoàn có thể được xấp xỉ bởi các đa thức lượng giác hoặc đa thức mũ. Nghiệm của các bài toán vật lý, hóa học... được trình bày dưới dạng chuỗi của các hàm đặc biệt. Trong giải tích, khái niệm chuỗi nảy sinh khi lấy tổng của vô hạn phần tử và các tính chất đơn giản nhất của tổng hữu hạn cũng đúng trên chuỗi. Ngoại trừ tính chất giao hoán, khi thay đổi thứ tự các số hạng trong một chuỗi thì tổng có thể thay đổi. Hai câu hỏi được đặt ra là: thứ nhất, đối với những chuỗi nào tổng của chuỗi sẽ không thay đổi khi thay đổi thứ tự các phần tử của tổng; thứ hai, nếu tổng của chuỗi thay đổi thì sẽ thay đổi như thế nào? Hai câu hỏi trên được đặt ra và được giải quyết bởi Riemann đối với chuỗi số thực. Cụ thể trong R miền tổng của chuỗi hoặc chỉ là một điểm hoặc toàn bộ R. Trong không gian hữu hạn chiều (với số chiều lớn hơn 1) Levy-Steinitz đã chứng minh định lý "Giả sử chuỗi ∑∞ i=1 xi hội tụ về s trong không gian m chiều E. 2Khi đó miền tổng của chuỗi ∑ xi là đa tạp n chiều (n ≤ m), cụ thể là DS( ∑ xi) = s + Γ◦". Định lý này cho ta một miêu tả đầy đủ về miền tổng của chuỗi hội tụ là một đa tạp tuyến tính, lồi và đóng. Sau đó W. Banasczyk, J. Bonet, A. Defant... đã chứng minh các kết quả tương tự Định lý Levy-Steinitz trong không gian vô hạn chiều. Nhận thấy ý nghĩa của Định lý Levy-Steinitz, chúng tôi chọn "Định lý Levy-Steinitz về miền tổng của chuỗi" làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ. 2. Mục đích Nghiên cứu Định lý Levy-Steinitz trong không gian hữu hạn chiều và các định lý tương tự Định lý Levy-Steinitz trong không gian vô hạn chiều với điều kiện thu hẹp được đặt lên chuỗi hoặc lên không gian. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày miền tổng của chuỗi trong không gian Rn, không gian vectơ tôpô lồi địa phương khả mêtric (kèm theo điều kiện được đặt lên chuỗi) và không gian hạch. Luận văn gồm 4 chương, chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian hạch, chuỗi và một số kiến thức bổ sung. Trong chương 2 trình bày Định lý Levy-Steinitz trong không gian hữu hạn chiều Rn. Giả sử ∑∞ k=1 xk là một chuỗi trong không gian Rn. Theo Định lý Riemann, nếu n = 1 thì DS( ∑∞ k=1 xk) = R với mọi chuỗi hội tụ có điều kiện trong R. Nhưng khi n > 1, miền tổng của chuỗi hội tụ có điều kiện thì không nhất thiết là toàn bộ không gian. Chẳng hạn, nếu tất cả các số hạng của một chuỗi 3hội tụ có điều kiện điều phụ thuộc tuyến tính vơi vectơ e thì miền tổng của chuỗi vẫn phụ thuộc tuyến tính với e. Trong trường hợp này miền tổng của chuỗi là đường thẳng đi qua 0 và e. Định lý Levy-Steinitz cho chúng ta một mô tả đầy đủ về miền tổng của chuỗi trong không gian hữu hạn chiều (miền tổng của chuỗi là một đa tạp tuyến tính, và do đó đóng và lồi). Trong không gian vô hạn chiều chúng ta mong muốn có những kết quả tương tự Định lý Levy-Steinitz. Tuy nhiên chúng ta không thể dùng các kết quả trong không gian hữu hạn chiều để áp lên không gian vô hạn chiều. Trong [6] có những ví dụ về miền tổng của chuỗi hội tụ có điều kiện trong không gian vô hạn chiều có thể chỉ là một điểm; không lồi; không đóng hoặc không tuyến tính... Vì vậy để đạt được định lý tương tự Định lý Levy-Steinitz ta cần phải đặt thêm điều kiện lên chuỗi hoặc lên không gian. Trong chương 3, ta sẽ chứng minh kết quả tương tự Định lý Levy-Steinitz trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương khả mêtríc với điều kiện thu hẹp được đặt lên chuỗi: điều kiện (σ, θ). Một chuỗi ∑ ai trong không gian vectơ tôpô E được gọi là thỏa điều kiện (σ, θ) nếu với mọi phép hoán vị σ : N → N, luôn tồn tại một dãy (θi) ∞ i=1 với θi ∈ {−1, 1} sao cho chuỗi ∑∞ i=1 aσ(i)θi hội tụ trong E. Trong chương 4, ta sẽ chứng minh Định lý Levy-Steinitz đúng trong không gian hạch khả mêtric mà không cần bất cứ điều kiện gì đặt lên chuỗi. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Định Lý Levy-Steinitz cho ta một cái miêu tả đầy đủ về miền tổng của 4chuỗi trong không gian hữu hạn chiều. Hơn nữa Định lý Levy-Steinitz là tiền đề cho các nhà toán học có cơ sở để nghiên cứu sâu hơn miền tổng của chuỗi hay tổng quát hơn là chuỗi trong không gian vô hạn chiều. 5Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Ánh xạ hạch và không gian hạch Cho E và Eα(α ∈ A) là các không gian vectơ trên trườngK, fα ánh xạ tuyến tính từ E vào Eα, và Tα là một tôpô lồi địa phương trên Eα(α ∈ A). Tôpô xạ ảnh T trên E tương ứng với họ {(Eα, Tα, fα) : α ∈ A} là tôpô thô nhất trên E sao cho mỗi ánh xạ fα(α ∈ A) từ E vào (Eα, Tα) là liên tục. Từ định nghĩa trên ta có nếu x ∈ E và xα = fα(x) ∈ Eα thì một cơ sở T -lân cận của x được cho bởi họ ⋂α∈H f−1α (Uα), với Uα là lân cận tùy ý của xα tương ứng với Tα và H là một tập con hữu hạn tùy ý của A. Vì fα là các ánh xạ tuyến tính và Tα là tôpô lồi địa phương trên Eα nên T là tôpô lồi địa phương trên E. Định lý 1.1 [8] Tôpô xạ ảnh trên E tương ứng với họ {(Eα, Tα, fα) : α ∈ A} là tôpô Hausdorff nếu và chỉ nếu với mỗi 0 6= x ∈ E, tồn tại α ∈ A và một lân cận Uα của 0 trong Eα sao cho fα(x) /∈ Uα. 6Định lý 1.2 [8] Một ánh xạ u từ không gian vectơ F vào không gian vectơ E, với tôpô trên E là tôpô xạ ảnh cảm sinh bởi họ {(Eα, Tα, fα) : α ∈ A}, là liên tục nếu và chỉ nếu với mỗi α ∈ A, fα ◦ u liên tục từ F vào (Eα, Tα). Cho A là một tập chỉ số cùng với một quan hệ thứ tự ” 5 ”. Cho {Eα : α ∈ A} là họ không gian lồi địa phương trên K và với α 5 β, gαβ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ Eβ vào Eα. E là không gian con của∏ αEα thỏa với mỗi x = (xα) ∈ E thì xα = gαβ(xβ) với mọi α 5 β; E được gọi là giới hạn xạ ảnh của họ {Eα : α ∈ A} tương ứng với các ánh xạ gα,β(α, β ∈ A;α 5 β), và ký hiệu là lim← gαβ(Eβ). Hiển nhiên rằng tôpô trên E là tôpô xạ ảnh trên E tương ứng với họ {(Eα, Tα, fα) : α ∈ A} với Tα là tôpô trên Eα và fα là thu hẹp của lên E của ánh xạ chiếu pα : ∏ β : Eβ → Eα. Định lý 1.3 [8] Giới hạn xạ ảnh của một họ các không gian lồi địa phương tựa đầy đủ (đầy đủ) là tựa đầy đủ (đầy đủ). Định lý 1.4 [8] Mỗi không gian vectơ tôpô lồi địa phương đầy đủ E thì đẳng cấu với giới hạn xạ ảnh của một họ các không gian Banach; họ này có thể được chọn sao cho lực lượng của nó bằng với lực lượng của cơ sở lân cận 0 của E. Hệ quả 1.1 [8] Mỗi không gian Frechet thì đẳng cấu với giới hạn xạ ảnh một một dãy các không gian Banach. 7Hệ quả 1.2 [8] Mỗi không gian lồi địa phương thì đẳng cấu với một không gian con của một tích các không gian Banach. Cho E là không gian vectơ trên trường K và V là một tập lồi, cân và hấp thụ của E. Khi đó {n−1V : n ∈ N} là một cơ sở lân cận của tôpô lồi địa phương =V trên E. Không gian vectơ tôpô Haudorff kết hợp với (E,=V ) là không gian thương (E,=V )/p−1(0), với p là hàm cở của V ; không gian thương này là khả chuẩn với chuẩn xˆ → ||xˆ|| = p(x), x ∈ xˆ. Ta ký hiệu EV là không gian định chuẩn (E/p −1(0), ||.||) vừa mới giới thiệu ở trên và E˜V là đầy đủ hóa của nó (E˜V là không gian Banach). Nếu E là không gian lồi địa phương và V là lân cận lồi cân thì tôpô của không gian thương E/p−1(0) mịn hơn tôpô của EV . Do vậy ánh xạ thương (ánh xạ chính tắc) là liên tục từ E vào E˜V ; ký hiệu ánh xạ này là ΦV . Đối ngẫu lại, nếu E là không gian lồi địa phương và B 6= ∅ là tập lồi, cân và bị chặn của E thì E1 = ⋃∞ n=1 nB là không gian con của E. Hàm cở pB của B trong E1 là một chuẩn trên E1; Không gian định chuẩn (E1, pB) được ký hiệu là EB. Rõ ràng phép nhúng (chính tắc) ΨB : EB → E là liên tục. Hơn nữa nếu B đầy đủ trong E thì EB là không gian đầy đủ. Trong trường hợp V = B là tập lồi, cân, hấp thụ và bị chặn thì EV và EB là đồng nhất. Nếu U và V là các tập lồi, cân và hấp thụ của E với các hàm cở tương ứng p, q và thỏa U ⊂ V , thì p−1(0) ⊂ q−1(0) và mỗi lớp tương đương xˆ mod p−1(0) được chứa trong duy nhất một lớp tương đương yˆ mod q−1(0); xˆ → yˆ là một ánh xạ tuyến tính ΦV,U và gọi là ánh xạ 8chính tắc từ EU đến EV . Vì ΦV,U là liên tục nên có duy nhất một mở rộng liên tục trên E˜U đến E˜V và cũng được gọi là ánh xạ chính tắc, ký hiệu là Φ˜V,U . Tương tự, nếu B và C là các tập lồi, cân và bị chặn của không gian lồi địa phương E sao cho ∅ 6= B ⊂ C thì EB ⊂ EC và phép nhúng chính tắc ΨC,B : EB → EC là liên tục. Nếu U, V,B,C là các tập như đã nêu trên và ΦU ,ΦV ,ΨB,ΨC là các ánh xạ chính tắc E → E˜U , E → E˜V , EB → E và EC → E thì ta có mối liên hệ ΦV = ΦV,U ◦ ΦU và ΨC = ΨC,B ◦ΨB. Cho E,F là các không gian lồi địa phương và E ′ là đối ngẫu tôpô của E. Mỗi phần tử v ∈ E ′⊗F xác định một ánh xạ tuyến tính u ∈ L(E,F ): x 7−→ u(x) = r∑ i=1 fi(x)yi nếu v = ∑r i=1 fi⊗ yi và v → u là một phép đẳng cấu (đại số) của E ′⊗F vào L(E,F ). Ánh xạ u ∈ L(E,F ) được sinh ra bởi v ∈ E ′ ⊗ F được gọi là ánh xạ liên tục với bậc hữu hạn; Hạng r của u chính là hạng của v. Những ánh xạ với bậc hữu hạn là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ tuyến tính compact từ E vào F . Giả sử E,F là các không gian Banach và E ′ là không gian Banach (đối ngẫu mạnh của E). Khi đó, phép nhúng v → u là liên tục với tôpô xạ ảnh trên E ′ ⊗ F và tôpô định chuẩn trên L(E,F ). Nếu v ∈ E ′ ⊗ F thì ||u|| = sup ||x||≤1 ||u(x)|| ≤ sup ||x||≤1 r∑ i=1 |fi(x)| ||yi|| ≤ r∑ i=1 ||fi|| ||yi|| với mọi v = ∑r i=1 fi⊗yi; vì vậy ||u|| ≤ r(v) với chuẩn r là tích tensor của các chuẩn tương ứng trên E và F . Vì L(E,F ) là đầy đủ với tôpô định 9chuẩn nên phép nhúng v → u có một mở rộng liên tục τ tới v ∈ E˜ ′ ⊗ F với giá trị trong L(E,F ). Các ánh xạ tuyến tính chứa trong miền giá trị của τ được gọi là hạt nhân; cụ thể u ∈ L(E,F ) là hạt nhân nếu tồn tại v ∈ E˜ ′ ⊗ F để u = τ(v). Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ hạt nhân cho không gian lồi địa phương E,F . Một ánh xạ tuyến tính u : E → F là bị chặn nếu tồn tại một lân cận U trong E sao cho u(U) là tập bị chặn trong F ; mỗi ánh xạ bị chặn u này là liên tục. Một ánh xạ bị chặn u có khai triển như sau: lấy U là lân cận lồi, cân trong E sao cho u(U) ⊂ B, với B là tập lồi, cân và bị chặn trong F ; khi đó u = ΨB ◦ u0 ◦ΦU với u0 là ánh xạ trong L(EU , FB) cảm sinh bởi u. Nếu thêm điều kiện FB đầy đủ thì u0 có mở rộng liên tục u¯0 ∈ L(E˜U , FB) với u = ΨB ◦ u¯0 ◦ ΦU . Khi đó, ta định nghĩa: Định nghĩa 1.1 [8] Một ánh xạ tuyến tính u của không gian lồi địa phương E đến một không gian lồi địa phương F gọi là hạch nếu tồn tại một lân cận U lồi, cân trong E sao cho u(U) ⊂ B, với B bị chặn, FB đầy đủ và sao cho ánh xạ cảm sinh u¯0 là hạch từ E˜U đến FB. Định lý 1.5 [8] Một ánh xạ tuyến tính u ∈ L(E,F ) là hạch nếu và chỉ nếu nó có dạng x 7−→ u(x) = ∞∑ n=1 λnfn(x)yn với ∑∞ n=1 |λn| < +∞, {fn} là dãy đồng liên tục trên E ′ và {yn} là dãy chứa trong tập lồi, cân, đóng và bị chặn B của F với FB đầy đủ. Hệ quả 1.3 [8] Mỗi ánh xạ hạch là compact. 10 Hệ quả 1.4 [8] Cho E,F, F,H là các không gian lồi địa phương, u ∈ L(E,F ) và ω ∈ L(G,H) và cho v là ánh xạ hạch của F vào G. Khi đó v ◦ u và ω ◦ u là các ánh xạ hạch. Hệ quả 1.5 [8] Nếu u ∈ L(E,F ) là hạch thì u có duy nhất một mở rộng u¯ ∈ L(E˜, F ) với E˜ là đầy đủ hóa của E và u¯ là ánh xạ hạch. Định nghĩa 1.2 [8] Một không gian lồi địa phương E là hạch nếu tồn tại một cơ sở lân cận B của 0 gồm các tập lồi cân trong E sao cho với mỗi V ∈ B, ánh xạ E → E˜V là hạch. Từ định nghĩa trên ta thấy Rn (Cn) là các không gian hạch. Thật vậy, với bất kỳ lân cận lồi, cân V , EV = E˜V là không gian hữu hạn chiều; vì vậy E → E˜V có bậc hữu hạn và do đó là ánh xạ hạch. Hơn nữa, một không gian định chuẩn không thể là không gian hạch nếu nó không hữu hạn chiều. Vì nếu V là lân cận lồi, cân và bị chặn thì E → EV là một tự đẳng cấu tôpô; mặt khác do E → E˜V là ánh xạ hạch nên theo Định lý (1.3) nó là compact. Từ đó suy ra E là hữu hạn chiều. Định lý 1.6 [8] Cho E là không gian lồi địa phương. Các khẳng đỉnh sau là tương đương: a) E là không gian hạch. b) Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục của E vào không gian Banach tùy ý là ánh xạ hạch. 11 c) Mỗi lân cận lồi, cân U của E đều chứa một lân cận V sao cho ánh xạ chính tắc E˜V → E˜U là ánh xạ hạch. Hệ quả 1.6 [8] Nếu E là không gian hạch thì E → E˜V là ánh xạ hạch với mỗi lân cận V lồi, cân trong E. Hệ quả 1.7 [8] Mỗi tập bị chặn của không gian hạch là tiền compact. Định lý 1.7 [8] Cho E là không gian hạch và U là một lân cận trong E và p ∈ [1,+∞) ∩ N. Khi đó tồn tại một lân cận lồi, cân V ⊂ U sao cho E˜V là đẳng cấu (chuẩn) với một không gian con của không gian l p. Hệ quả 1.8 [8] Cho E là không gian hạch và cho {Eα, α ∈ A} là họ các không gian Banach, mỗi Eα đẳng cấu với một không gian l p (1 ≤ p ≤ ∞). Khi đó tồn tại các ánh xạ tuyến tính fα từ E vào Eα sao cho tôpô của E là tôpô thô nhất làm tất cả các fα liên tục. Hệ quả 1.9 [8] Trong mỗi không gian hạch E, tồn tại một cơ sở lân cận {Vα : α ∈ A} của 0 sao cho với mỗi α ∈ A, E˜Vα là một không gian Hilbert; vì vậy tôpô của E có thể được sinh bởi một họ các nửa chuẩn, mỗi nửa chuẩn này được sinh từ một dạng Hermite nửa xác định dương trên E × E. Hệ quả 1.10 [8] Mỗi không gian hạch đầy đủ đẳng cấu với giới hạn xạ ảnh của một họ thích hợp các không gian Hilbert. Một không gian Frechet E là hạch nếu và chỉ nếu nó là giới hạn xạ ảnh của một dãy các không gian Hilbert, E = lim← gmnHn sao cho gmn là ánh xạ hạch với m < n. 12 1.2 Các kiến thức cơ bản về chuỗi Định nghĩa 1.3 [6] Một chuỗi trong không gian vectơ E được định nghĩa là biểu diễn của một dạng tổng vô hạn số hạng trong E: x1 + x2 + · · ·+ xn + · · · Biểu diễn ∑∞ k=1 xk được dùng như một ký hiệu viết tắt của chuỗi. Định nghĩa 1.4 [6] Tổng Sn = ∑n k=1 xk của hữu hạn phần tử đầu tiên của chuỗi ∑∞ k=1 xk được gọi là tổng riêng của chuỗi. Định nghĩa 1.5 [6] Một chuỗi được gọi là hội tụ nếu dãy tổng riêng của nó hội tụ theo tôpô trên không gian. Giới hạn của dãy tổng riêng được gọi là tổng của chuỗi: s = limn→∞ Sn. Khi đó, ta viết s = ∑∞ k=1 xk và hiểu rằng chuỗi ∑∞ k=1 xk hội tụ và tổng của nó bằng S. Định nghĩa 1.6 [6] Một đoạn của chuỗi được định nghĩa là tổng của hữu hạn phần tử của chuỗi lấy theo thứ tự: n∑ m+1 xk = Sn − Sm. Định lý 1.8 (Tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của chuỗi)[6] Chuỗi∑∞ k=1 xk hội tụ trong không gian đầy đủ E nếu và chỉ nếu dãy các đoạn con của nó hội tụ đến 0. Định nghĩa 1.7 [6] Chuỗi ∑∞ k=1 xk được gọi là hội tụ không điều kiện nếu nó hội tụ với mọi sự sắp xếp lại các số hạng của chuỗi (khi đó các chuỗi được sắp xếp lại có cùng tổng). 13 Định nghĩa 1.8 [6] Chuỗi ∑∞ k=1 xk được gọi là hội tụ có điều kiện nếu nó hội tụ nhưng không phải là hội tụ không điều kiện. Định nghĩa 1.9 [6] Cho chuỗi ∑∞ k=1 xk là chuỗi trong không gian vectơ tôpô E. Miền tổng của chuỗi ∑∞ k=1 xk được định nghĩa là tập DS( ∑∞ k=1 xk) gồm những x ∈ E sao cho chuỗi∑∞k=1 xpi(k) hội tụ về x vơi pi là một hoán vị của N. 1.3 Một số kiến thức bổ sung Cho p là một nửa chuẩn trên không gian vectơ E. Ta ký hiệu Bp = {u ∈ E : p(u) ≤ 1}. Ta nói p là nửa chuẩn tiền Hilbert nếu p2(u+ v) + p2(u− v) = 2p2(u) + 2p2(v) với mọi u, v ∈ E. Cho q ≤ p là một nửa chuẩn khác trên E. Ta ký hiệu dk(Bp, Bq) là đường kính k-Kolmogorov của Bp tương ứng với Bq: dk(Bp, Bq) = inf L inf{ > 0 : Bp ⊂ L+ Bq} trong đó inf lấy trên tất cả các không gian L của E với dimL < k. Do đó, nếu E = Rn, Bn là quả cầu đơn vị và Bp là một ellipsoid n-chiều với các bán trục chính λ1 ≥ · · · ≥ λn, thì dk(Bp, Bn) = λk với k = 1, · · · , n. 14 Định lý 1.9 [5] Cho ∑ là một vành các tập hợp, v là một hàm tập hợp cộng tính trên ∑ với giá trị trong không gian định chuẩn E, M là tập tất cả các giá trị của v trên ∑ và δ là một số không âm tùy ý. Giả sử M có tính chất sau: với mọi a, b ∈M , tồn tại một vectơ c ∈M sao cho ‖c− 1 2 (a+ b)‖ ≤ δ. Khi đó M là một (2δ + )-lưới của convM với mọi  > 0. Định lý 1.10 (Định lý Mitiagin) Một không gian lồi địa phương E là không gian hạch nếu và chỉ nếu với mọi lân cận lồi cân U của 0 trong E tồn tại một lân cận lồi cân V của 0 sao cho limk→∞ kpdk(V, U) = 0 với mọi (hoặc một) p > 0. 15 Chương 2 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU Định nghĩa 2.1 [6] Giả sử rằng chuỗi ∑ xi hội tụ có điều kiện với tổng s trong không gian Banach E. Một hàm tuyến tính f ∈ X∗ được gọi là hàm hội tụ có điều kiện của chuỗi ∑ xk nếu ∑∞ i=1 |f(xi)| <∞. Tập các hàm hội tụ của chuỗi ∑ xk là một không gian con Γ của X ∗. Đặt Γ◦ = {x ∈ X : f(x) = 0 ∀f ∈ Γ}. Γ◦ là không gian con đóng của X. Đặt P ({xk}∞1 ) = {xi1 + xi2 + · · ·+ xip : i1 < i2 < · · · < ip; p ∈ N}, và Q({xk}∞1 ) = { N∑ i=1 λixi : 0 ≤ λi ≤ 1, N = 1, 2, · · · }. 16 Ta có: P ({xk}∞1 ) ⊂ Q({xk}∞1 ) và Q({xk}∞1 ) là tập lồi. Ký hiệu Q¯ = clo Q({xk}∞1 ). Định lý 2.1 (Levy-Steinitz) [6] Giả sử chuỗi ∑∞ i=1 xi hội tụ về s trong không gian m chiều E. Khi đó miền tổng của chuỗi ∑ xi là đa tạp n chiều (n ≤ m), cụ thể là DS( ∑ xi) = s+ Γ◦. Để chứng minh định lý Levy-Steinitz ta cần chứng minh một số bổ đề quan trọng sau: Bổ đề 2.1 [6] Cho K là một đa diện trong Rn được xác định bởi: fi(x) = ai, i = 1, 2, · · · , p,gj(x) ≤ bj, j = 1, 2, · · · , q, với fi và gj là các phiếm hàm tuyến tính. Giả sử x◦ là một đỉnh của K và đặt A = {j : gj(x◦) = bj}. Khi đó card(A) ≥ n− p. Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng card(A) < n− p. Khi đó hệ fi(x) = 0, i = 1, 2, · · · , p,gj(x) = 0, j ∈ A, có nghiệm không tầm thường x1. Với  đủ nhỏ ta có x◦± x1 ∈ K. Điều này mâu thuẫn với x◦ là đỉnh của K. Vậy card(A) ≥ n− p. 17 Bổ đề 2.2 (Bổ đề làm tròn hệ số) [6] Cho x1, x2, · · · , xn là dãy hữu hạn phần tử của không gian định chuẩn m-chiều, (λi) ∈ [0, 1]n và x =∑n i=1 λixi. Khi đó tồn tại (θi) ∈ {0, 1}n (bộ làm tròn hệ số) sao cho ||x− n∑ i=1 θixi|| ≤ m 2 max i ||xi||. Chứng minh. Nếu n ≤ m, ta chọn θi = 0 khi λi ≤ 12 và θi = 1 khi λi > 12 . Khi đó, ||x− n∑ i=1 θixi|| ≤ n∑ i=1 |λi − θi| ||xi|| ≤ m 2 max i ||xi||. Ta xét trường hợp còn lại khi n > m. Xét đa diện K trong Rn được xác định như sau: 0 ≤ ti ≤ 1, i = 1, 2, · · · , n,∑n i=1 tixi = x, (gồm m phương trình vô hướng). Do (λi) ∈ K nên K khác rỗng, mặt khác K bị chặn nên có đỉnh T = (t¯i) n i=1. Theo Bổ đề 2.1, trong số các t¯i có ít nhất n−m số bằng 0 hoặc 1. Khi đó, (θi) n i=1 được xác định như sau: θi =  t¯i, t¯i ∈ {0, 1}, 0, t¯i ∈ (0, 12 ], 1, t¯i ∈ (12 , 1). Ta thấy bộ (θi) n i=1 thỏa mãn bất đẳng thức. Thật vậy, ||x− n∑ i=1 θixi|| = || n∑ i=1 θixi − n∑ i=1 t¯ixi|| ≤ n∑ i=1 |θi − t¯i| ||xi|| ≤ m 2 max i ||xi||. 18 Bổ đề 2.3 (Bổ đề sắp xếp lại) [6] Giả sử {xi}ni=1 là tập hữu hạn các vectơ với tổng là x trong một không gian định chuẩn m-chiều. Khi đó các phần tử của tập hợp này có thể được sắp xếp lại sao cho với mọi k nguyên dương bé hơn hoặc bằng n ta đều có: || k∑ i=1 xpi(i) − k −m n x|| ≤ m.max i ||xi||, với pi là một phép hoán vị tương ứng với tập chỉ số. Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử maxi ||xi|| = 1. Và dễ thấy rằng với n ≤ m thì bất đẳng thức trên đúng với mọi phép hoán vị pi. Do đó ta chứng minh bất đẳng thức trên với n > m. Trước tiên ta dùng quy nạp để xây dựng các tập {1, 2, · · · , n} = An ⊃ An−1 ⊃ · · · ⊃ Am và các số λik (k = m,m + 1, · · · , n; i ∈ Ak) thỏa các tính chất sau: i) card(Ak) = k; 0 ≤ λik ≤ 1, ii) ∑ i∈Ak λ i k = k −m; ∑ i∈Ak λ i k = k−m n x. Với k = n, ta lấy An = {1, 2, · · · , n} và λin = n−mn ,∀i ∈ An. Rõ ràng i) và ii) thỏa. Giả sử ta đã xây dựng được tập Ak+1 và các số λ i k+1 với i ∈ Ak+1. Ta xét đa diện K gồm các bộ (µi)i∈Ak+1 được xác định như sau:  0 ≤ µi ≤ 1; ∑ i∈Ak+1 µi = k −m;∑ i∈Ak+1 µixi = k−m n x. 19 Do ( k−mk−m+1λ i k+1)i∈Ak+1 thuộc K nên K không rỗng và dễ thấy K bị chặn. Vì vậy K có đỉnh là (µ¯i)i∈Ak+1. Theo Bổ đề 2.1, có ít nhất (k + 1) − (m + 1) = k − m phần tử của A = {i : µ¯i ∈ {0, 1}}. Ta chỉ ra rằng trong số các µ¯i có ít nhất một số bằng 0. Thật vậy, nếu µ¯i = 1 ∀i ∈ A thì card(A) = k −m (do 0 ≤ µ¯i ≤ 1 và ∑ i∈Ak+1 µ¯i = k −m) và do đó µ¯i = 0 ∀i ∈ Ak+1\A. Vậy luôn tồn tại j sao cho µ¯j bằng 0 (j ∈ Ak+1). Đặt Ak = Ak+1\{j} và λik = µ¯i (i ∈ Ak). Khi đó, dễ thấy các điều kiện i) và ii) được thỏa mãn. Vậy ta đã xây dựng được các (Ak) n k=m và λ i k. Bây giờ ta xây dựng hoán vị pi của {1, 2, · · · , n} như sau: với i ∈ {m + 1, · · · , n}, đặt pi(i) bằng với chỉ số j được lấy ra từ tập Ai trong phép xây dựng Ai−1 ở trên; với i ∈ {1, 2, · · · ,m} thì lấy pi(i) tùy ý. Ta kiểm tra hoán vị pi thỏa bất đẳng thức của bổ đề. Ta chỉ cần kiểm tra với k > m, || k∑ i=1 xpi(i) − k −m n x|| = || ∑ i∈Ak xi − ∑ λikxi|| = || ∑ i∈Ak (1− λik)xi|| ≤ ∑ i∈Ak (1− λik) ≤ k − (k −m) ≤ m. Bổ đề 2.4 [6] Cho không gian Banach E và chuỗi ∑∞ k=1 xk hội tụ có điều kiện trong E. Nếu x ∈ Q¯ thì x+ Γ◦ ⊂ Q¯. Chứng minh. 20 Lấy f ∈ X∗\Γ. Khi đó chuỗi số ∑∞k=1 f(xk) hội tụ và có tổng bằng f( ∑∞ k=1 xk) nhưng không hội tụ tuyệt đối: ∑∞ k=1 |f(xk)| = +∞. Do đó, sup{f(y) : y ∈ P ({xk}∞k=1)} = +∞ và inf{f(y) : y ∈ P ({xk}∞k=1)} = −∞. Mà P ({xk}∞k=1) ⊂ Q({xk}∞k=1) nên sup{f(y) : y ∈ Q({xk}∞k=1)} = +∞. Bây giờ ta giả sử x ∈ Q¯ và x+ Γ◦ không chứa trong Q¯. Khi đó tồn tại x ∈ Q¯ và z ∈ Γ◦ sao cho x+ z /∈ Q¯. Theo Định lý Hahn-Banach, tồn tại f ∈ X∗ sao cho: sup{f(y) : y ∈ Q¯} < f(x+ z). Nếu f ∈ Γ thì f(z) = 0 và do đó sup{f(y) : y ∈ Q¯} < f(x) (vô lý). Nếu f /∈ Γ thì theo chứng minh trên, sup{f(y) : y ∈ Q¯} = +∞ (vô lý). Vậy x ∈ Q¯ thì x+ Γ◦ ⊂ Q¯. Nhận xét 2.1 [6] Lấy S ′ là một tập con hữu hạn tùy ý các phần tử của chuỗi ∑∞ k=1 xk và y tùy ý trong X. Khi đó kết quả của Bổ đề 2.4 vẫn đúng khi thay Q¯({xk}∞1 ) bởi y + Q¯({xk}∞1 \S ′). 21 Bây giờ ta trở lại chứng minh Định lý 2.1. Lấy f ∈ Γ. Khi đó, chuỗi∑∞k=1 f(xk) hội tụ tuyệt đối. Vì vậy, với mọi phép hoán vị pi của N mà chuỗi ∑∞ k=1 xpi(k) hội tụ thì f( ∞∑ k=1 xpi(k)) = ∞∑ k=1 f(xpi(k)) = ∞∑ k=1 f(xi) = f(s). Vậy ∑∞ k=1 xpi(k) − s ∈ kerf, ∀f ∈ Γ. Hay DS( ∑∞ k=1 xk) − s ⊂ Γ◦. Vậy DS( ∑∞ k=1 xk) ⊂ s+ Γ◦. Để chứng minh chiều ngược lại của bao hàm thức trên ta chia ra hai bước: Bước 1. Ta chứng minh với mọi s′ ∈ s + Γ◦ thì tồn tại pi◦ : N→ N là hoán vị của chuỗi gốc và một dãy các chỉ số n1 < n2 < · · · sao cho lim j→∞ ∥∥s′ − nj∑ i=1 xpi◦(i) ∥∥ = 0 (nghĩa là có một dãy tổng riêng của chuỗi sắp xếp lại hội tụ về s′). Do s ∈ Q¯ nên theo Bổ đề 2.4, s′ ∈ Q¯. Lấy (n)n∈N, n → 0. Lấy q1 ∈ Q({xi}∞i=1) sao cho∥∥s′ − q1∥∥ = ∥∥s′ −∑λixi∥∥ < 1. Theo Bổ đề làm tròn hệ số, tồn tại p1 ∈ P ({xi}∞i=1) sao cho∥∥q1 − p1∥∥ = ∥∥q1 −∑ θixi∥∥ ≤ m.max i≥1 ∥∥xi∥∥ với m = dimE, θi ∈ {0, 1} với mọi i = 1, N . Đặt S1 = {x1} ∪ {xi|θi = 1} và s1 = ∑ a∈S1 a. Khi đó,∥∥s′ − s1∥∥ ≤ 1 +m.max i≥1 ∥∥xi∥∥+ ∥∥x1∥∥. 22 Tiếp theo ta xét tập S1+Q¯({xi}∞i=1\S1). Tập này chứa s và do đó cũng chứa s′. Hay s′ − s1 ∈ Q¯({xi}∞i=1\S1). Do đó tồn tại q2 ∈ Q({xi}∞i=1\S1) sao cho ∥∥s′ − s1 − q2∥∥ = ∥∥s′ − s1 −∑λixi∥∥ ≤ 2. Và lại theo Bổ đề làm trong hệ số, tồn tại p2 ∈ P ({xi}∞i=1\S1) sao cho:∥∥q2 − p2∥∥ = |q2 −∑ θixi∥∥ ≤ m.max i≥2 ∥∥xi∥∥ với θi ∈ {0, 1}. Đặt S2 = S1 ∪ {x2} ∪ {xi|θi = 1} và s2 = ∑ a∈S2 a. Khi đó, ∥∥s′ − s2∥∥ ≤ 2 +m.max i≥2 ∥∥xi∥∥+ ∥∥x2∥∥. Tiếp tục quá trình này vô hạn, ta xây dựng được một dãy các tập hữu hạn S1 ⊂ S2 ⊂ S3 ⊂ · · · , ⋃ n Sn = {xi}∞i=1. Chọn pi◦ là hoán vị của N theo thứ tự các chỉ số trong các tập được liệt kê theo thứ tự: S1, S2\S1, S3\S2, · · · và dãy chỉ số chính là card(Si) = ni. Bước 2. Để đơn giản về mặt ký hiệu ta có thể giả sử pi◦ là hoán vị đồng nhất và theo bước trên ta có lim j→∞ ∥∥s′ − nj∑ i=1 xi ∥∥ = 0, n1 < n2 < n3 < · · · . Do đó limj→∞ ∥∥∑nj+1 nj+1 xi ∥∥ = 0. Theo Bổ đề 2.3, với mỗi tập {xi}nj+1nj+1 ta tìm được hoán vị pi của N sao cho ∑nj k=1 xpi(k) = ∑nj k=1 xk và với mọi l ∈ (nj, nj+1) ∩ N,∥∥ l∑ k=nj+1 xpi(k) ∥∥ ≤ m. max nj<k≤nj+1 ∥∥xk∥∥+ (m+ 1)∥∥ nj+1∑ i=nj+1 xi ∥∥. 23 Lấy r ∈ N tùy ý và r > n1; lấy j sao cho nj < r ≤ nj+1. Khi đó, ∥∥ r∑ k=1 xpi(k) − s′ ∥∥ ≤ ∥∥ nj∑ k=1 xpi(k) − s′ ∥∥+ ∥∥ r∑ k=nj+1 xpi(k) ∥∥ ≤ ∥∥ nj∑ k=1 xk − s′ ∥∥+m.max k≥nj ∥∥xk∥∥ +(m+ 1) ∥∥ nj+1∑ k=nj+1 xk ∥∥. Vậy limr→∞ ∥∥∑n k=1 xpi(k) − s′ ∥∥ = 0. Do đó, chuỗi ∑∞k=1 xpi(k) hội tụ và có tổng bằng s′. 24 Chương 3 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC Định lý 3.1 [5] Cho E là không gian vectơ tôpô lồi địa phương khả mêtric và chuỗi ∑ ai, ai ∈ E thỏa dãy tổng riêng có dãy con Smk =∑mk 1 ai hội tụ đến s. Nếu chuỗi ∑∞ 1 ai thỏa điều kiện (σ, θ) thì tồn tại một phép hoán vị pi : N→ N sao cho ∑∞k=1 api(k) = s. Để chứng minh định lý này ta cần chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 3.1 [5] Cho a1, a2, · · · , an là các phần tử của không gian vectơ E và ∥∥.∥∥ là một nửa chuẩn trên E. Khi đó với mỗi tập dấu θ = (θ1, · · · , θn), θi ∈ {−1, 1}, max 1≤k≤n ∥∥api(1) + · · ·+api(k)∥∥ ≤ ∥∥a1 + · · ·+an∥∥+ max 1≤k≤n ∥∥aσ(1)θi+ · · ·+aσ(k)θk∥∥, 25 với pi : {1, · · · , n} → {1, · · · , n} là phép hoán vị làm minimum vế trái và σ(k) = pi(n− k + 1), k = 1, · · · , n. Chứng minh. Đặt s = ∑n 1 ai và định nghĩa một nửa chuẩn: |(b1, · · · , bn)| = max 1≤k≤n ∥∥ k∑ 1 bi ∥∥. Theo bất đẳng thức tam giác, với mọi hoán vị σ của {1, · · · , n} và với mọi tập dấu θ = (θi, · · · , θn) ta có: |(−s, aσ(1), · · · , aσ(n))| + |(−s, aσ(1)θ1, · · · , aσ(n)θn)| ≥ ≥ |(−2s, aσ(1) + aσ(1)θ1, · · · , aσ(n) + aσ(n)θn)| ≥ 2|(−s, a+σ )| và |(−s, aσ(1), · · · , aσ(n))| + |(−s, aσ(1)θ1, · · · , aσ(n)θn)| ≥ |(0, aσ(1) − aσ(1)θ1, · · · , aσ(n) − aσ(n)θn)| ≥ 2|(a−σ )| với (a+σ ) là một bộ con của (aσ) tương ứng với θi = 1; (a − σ ) là một bộ con của (aσ) tương ứng với θi = −1. Từ hai bất đẳng thức trên ta có: |(−s, aσ(1), · · · , aσ(n))| + |(−s, aσ(1)θ1, · · · , aσ(n)θn)| ≥ 2 max(|(−s, a+σ )|, |(a−σ )|) ≥ = 2|(−s, aσ∗(θ))|, (3.1) 26 với σ∗(θ) được định nghĩa như sau: trước tiên là các chỉ số của σ(i) tương ứng với bộ con (a+σ ) và sau đó là các chỉ số của (σ(i)) ứng với bộ con (a−σ ) nhưng theo thứ tự đão ngược. (Dấu bằng trong biểu thức trên được rút ra từ nhận xét sau: nếu b1, · · · , bn là các phần tử của E với ∑n 1 bi = 0 thì ∀k(0 < k < n) ta có: max {|(b1, · · · , bk)|, |(bn, bn−1, · · · , bk+1)|} = max{|(b1, · · · , bk)|, ∥∥bn∥∥,∥∥bn + bn−1∥∥, · · · ,∥∥bn + · · ·+ bk+1∥∥} = max{|(b1, · · · , bk)|, ∥∥b1 + · · ·+ bk+1∥∥, · · · ,∥∥b1 + · · ·+ bn∥∥} = |(b1, · · · , bn)|). Do (3.1) thỏa với mọi phép hoán vị σ và mọi bộ dấu θ nên lấy σ là hoán vị làm minimum |(−s, aλ)| ta được 2|(−s, aσ)| ≤ |(−s, aσ)|+ |(−s, aσθ)| từ đó |(−s, aσ)| ≤ |(−s, aσθ)| hay |(api(1), · · · , api(n))| ≤ ∥∥s∥∥+ |(aσ(1)θ1, · · · , aσ(n)θn)| với pi là phép hoán vị làm minimum |(aλ)| và σ(k) = pi(n − k + 1), k = 1, · · · , n. Chứng minh Định lý 3.1. 27 Lấy ( ∥∥.∥∥ p )p∈N là một dãy tăng các nửa chuẩn sinh ra tôpô của E. Với mỗi p ta đặt Qp(N) = sup f1,··· ,fp>N inf θ max 1≤i≤q ∥∥ n∑ 1 afσ(i)θi ∥∥ p , với sup lấy trên tất cả các tập hữu hạn các chỉ số phân biệt lớn hơn N và inf lấy trên tập dấu θ = (θ1, · · · , θq); σ là phép hoán vị minimum của bộ af1, · · · , afq như trong bổ để (3.1). Do chuỗi ∑∞ 1 xi thỏa điều kiện (σ, θ) nên Qp(N)→ 0 khi N →∞ với mọi p cố định. Vì vậy ta có thể chọn một dãy con (nk) của (mk) sao cho Qp(nk) ≤ 1 p và ∥∥snk+l − Snk∥∥p ≤ 1p ∀l ∈ N. Với mỗi tập anp+1, · · · , anp+1, ta chọn phép hoán vị minimum pip : {np + 1, · · · , np+1} → {np + 1, · · · , np+1}. Theo Bổ để 3.1, max 1≤k≤np+1−np ∥∥ k∑ i=1 apip(np+i) ∥∥ p ≤ ∥∥Snp+1 − Snp∥∥p +min θ max 1≤k≤nnp+1−np ∥∥ k∑ i=1 aσp(np+i)θi ∥∥ p ≤ ∥∥Snp+1 − Snp∥∥p +Qp(np) với σp được xác định duy nhất qua pip. Tập các phép hoán vị pip kết hợp lại tạo thành phép hoán vị pi : N→ N (pi = pip trên {np + 1, · · · , np+1}). Ta chứng minh chuỗi ∑∞ 1 xpi(i) có tổng s. Ta chỉ cần chứng minh chuỗi này là ∥∥.∥∥ p − Cauchy với mọi p ∈ N. Lấy u, v ∈ N(u < v) với 28 np1 < u ≤ np1+1 và np2 < v ≤ np2+1. Khi đó với p < p1 ≤ p2,∥∥Su − Sv∥∥ ≤ ∥∥Sv − Snp2∥∥p + ∥∥Snp2 − Snp1∥∥p + ∥∥Su − Snp1∥∥p ≤ ∥∥Sv − Snp2∥∥p2 + ∥∥Snp2 − Snp1∥∥p + ∥∥su − Snp1∥∥p1 ≤ ∥∥Snp2+1 − Snp2∥∥p2 +Qp2(np2)∥∥Snp2 − Snp1∥∥p1 + ∥∥SnP1+1 − Snp1∥∥p1 +Qp1(np1) ≤ 2 p2 + 3 p1 → 0 khi u, v →∞. Định lý 3.2 [5] Nếu ∑∞ k=1 ak là chuỗi hội tụ có điều kiện trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương khả mêtric thỏa mãn điều kiện (σ, θ) thì nó thỏa mãn Định lý Levy-Steinitz. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử tôpô trên E được sinh bởi một dãy tăng các nửa chuẩn ( ∥∥.∥∥ p )p∈N. Ký hiệu ∑ m là tập tất cả các tập con hữu hạn của {m,m+ 1,m+ 2, · · · } kể cả tập rỗng. Với mỗi T ∈ ∑m, ta ký hiệu S(T ) = ∑k∈T ak(T = ∅ thì S(T ) = 0); S(∑m) = {S(T )|T ∈ ∑m} và convM là bao lồi đóng của M trong E. Ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.2 [5] Cho chuỗi ∑∞ k=1 ak là một chuỗi trong E thỏa điều kiện (σ, θ) và m, p ∈ N. Khi đó, với mọi A,B ∈∑m, thì tồn._.