Giáo trình Xử lí số tín hiệu - Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền phức Z

Trong đó Z – biến số phức     n nznxzX )()( 2 2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC) • Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ.    )2()1()0()( 0 xxxnx n 1)(lim 1   n n nx 00 Im(Z) Re(z) Rx+ Rx-• Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng tiêu chuẩn Cauchy • Tiêu chuẩn Cauchy: Một chuỗi có dạng: hội tụ nếu: 3 Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n)   n n az    0 1 11 1   az )z(X azazlim nn n         1 1 1     n nz)n(x)z(X      n nn z)n(ua     0n nn z.a Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu: Vậy: a; az )z(X     Z:ROC 1 1 1 0 ROC Im(z) Re(z) /a/ 4   m m za    1 1 azzalim n n n         1 1 1     n nz)n(x)z(X      n nn z)n(ua 1     1 n nn z.a   1 0 1      m m za   1 0 1      n m za)z(X 11 1   az 0 ROC Im(z) Re(z) /a/Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu: Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=-anu(-n-1) 5 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.2.1 Tuyến tính RROC : )()( 222  zXnx Z RROC : )()( 111  zXnx Z )()()()( 22112211 zXazXanxanxa Z  • Nếu: • Thì: Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n) - bnu(-n-1) với /a/</b/ ROC chứa R1 R2 6 Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: 11 1 )(   az nua Zn 11 1 )1(   bz nub Zn bzR :2 11 1 1 1 1 1      bzaz )n(ub)n(ua Znn 0 ROC Im(z) Re(z)/a/ 0 ROC Im(z) Re(z) /b/ azR :1 bzaRRR  :21 0 ROC Im(z) Re(z) /b/ /a/ Theo ví dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có: 7 2.2.2 Dịch theo thời gian a az nua Zn     z:ROC; 1 1 )( 1 az az azZ      : 1 1 1 RROC :  )z(X)n(x Z R'ROC : 00   )z(Xz)nn(x nZ R R R'     trừ giá trị z=0, khi n0>0 trừ giá trị z=∞, khi n0<0 Ví dụ 2.2.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=anu(n-1) Nếu: Thì: Với: Theo ví dụ 2.1.1: Vậy : x(n)=anu(n-1)=a.an-1u(n-1) 8 2.2.3 Nhân với hàm mũ an aR' az )az(X)n(ua)n(xa Znn      z:; 1 1 1 1 RROC : )()(  zXnx Z RROC : )()( 1 azaXnxa Zn   1    z)n(u)z(X)n(u)n(x n Z Nếu: Thì: Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của x1(n)=u(n) và x2(n)=a nu(n) 1z 1 1 1     :R; z 9 2.2.4 Đạo hàm X(z) theo z a az zXnuanx Zn     z:ROC; 1 1 )()()( 1 RROC : )()(  zXnx Z RROC : )(  dz dX(z) znxn Z dz )z(dX z)z(G)n(nx)n(g Z  az az az      : )1( 21 1 Nếu: Thì: Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của g(n)=nanu(n) 10 2.2.5 Đảo biến số Nếu: Thì: a az zXnuanx Zn     z:ROC; 1 1 )()()( 1 RROC : )()(  zXnx Z RXnx Z 1ROC : )(z)( -1    )()()(1)( nxnuanuany nn     a/1z:ROC; az1 1 za1 1 )z(X)z(Y 11 1        Áp dụng tính chất đảo biến số: Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của y(n)=(1/a)nu(-n) 11 2.2.6 Liên hiệp phức RROC : )()(  zXnx Z RXnx Z  ROC : (z*)*)(* 2.2.7 Tích 2 dãy RRROC : d )( 2 1 )()( 21 1 1121              c Z zXXnxnx 2.2.8 Định lý giá trị đầu Nếu x(n) nhân quả thì: X(z) )0(   Z Limx RROC : )()( 222  zXnx Z RROC : )()( 111  zXnx Z Nếu: Thì: Nếu: Thì: 12 Ví dụ 2.2.6: Tìm x(0), biết X(z)=e1/z và x(n) nhân quả X(z) lim)0(   Z x 2.2.9 Tổng chập 2 dãy RROC : )()( 222  zXnx Z RROC : )()( 111  zXnx Z )()()(*)( 2121 zXzXnxnx Z :ROC có chứa R1  R2 1e lim 1/z  Z Thì: Nếu: Theo định lý giá trị đầu: 13 50 501 1 50 1 .z:ROC; z. )z(X)n(u).()n(x Zn     2 21 1 12 1     z:ROC; z )z(H)n(u)n(h Zn 250 21 1 501 1 11     z,:ROC; )z( . )z.( )z(H)z(X)z(Y 250 21 1 3 4 501 1 3 1 11       z,:ROC; )z( . )z.( . )1(2 3 4 )()5.0( 3 1 )(*)()(  nununhnxny nn Z-1 Ví dụ 2.2.7: Tìm y(n) = x(n)*h(n), biết x(n)=(0.5)nu(n) và h(n)=-2nu(-n-1) 14 TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z x(n) X(z) R a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(z)+a2X2(z) Chứa R1  R2 x(n-n0) Z -n0 X(z) R’ an x(n) X(a-1z) R nx(n) -z dX(z)/dz R x(-n) X(z -1) 1/R x*(n) X*(z*) R x1(n)x2(n) R1  R2 x(n) nhân quả x(0)=lim X(z ->∞) x1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Chứa R1  R2 dvv v z XvX j C 1 21 )( 2 1         15 BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG x(n) X(z) ROC (n) 1 z u(n) /z/ >1 -u(-n-1) /z/ <1 an u(n) /z/ > /a/ -an u(-n-1) /z/ < /a/ nan u(n) /z/ > /a/ -nan u(-n-1) /z/ < /a/ cos(on)u(n) (1-z -1coso)/(1-2z -1coso+z -2) /z/ >1 sin(on)u(n) (z -1sino)/(1-2z -1coso+z -2) /z/ >1 11 1  z 11 1  az 21 1 )1(    az az 16 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC   C n dzz)z(X j )n(x 1 2 1  Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ  Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng • Các phương pháp biến đổi Z ngược:  Thặng dư  Khai triển thành chuỗi luỹ thừa  Phân tích thành tổng các phân thức tối giản (*) 17 2.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ b) Phương pháp: • Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)zn-1 : • Thặng dư tại điểm cực Zci bội r của F(z) được định nghĩa:     cici ZZ r cir r ZZ zzzF dz d r zFs       ))(( )!1( 1 )(Re )1( )1( • Thặng dư tại điểm cực đơn Zci của F(z) được định nghĩa:     cici ZZciZZ zzzFzFs   ))(()(Re a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực: 18 )2( )(   z z zX   C n dzzzX j nx 1)( 2 1 )(  • Zci – các điểm cực của X(z)z n-1 nằm trong đường cong C • Res[X(z)zn-1]z=zci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci Trong đó:  Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta được x(n)   ciZZ n i zzXs   1)(Re Ví dụ 2.3.1: Tìm biến đổi Z ngược của (*)   C n dzzzX j nx 1)( 2 1 )(      C n dzz )z( z j 1 22 1           )z( z n 2 Res Thay X(z) vào (*), ta được 19 • n0: )2( )( 1   z z zzX n n có 1 điểm cực đơn Zc1=2 Thặng dư tại Zc1=2: 2 )2( Res         Z n z z 2 )2( )2(           Z n z z z n2 • n<0: n n zz zzX     )2( 1 )( 1 Zc1=2 đơn, Zc2=0 bội m mzz )2( 1   Với: Zc1=2 2 )2( 1 Res         Z mzz m2 1  2 )2( )2( 1           Z m z zz  Chọn C là đường cong khép kín nằm bên ngoài vòng tròn có bán kính là 2 0 ROC Im(z) Re(z)2 C 20            m mm m )2( )1()!1( )!1( 1 1 m2 1  Vậy, với n<0:         )2( Res z z n 0 2 1 2 1  mm suy ra 0:2)(  nnx n hay )(2)( nunx n Với: Zc2=0 bội m: 0 )2( 1 Res         Z mzz 0 1 1 )2( 1 )!1( 1            Z m mm m z zzdz d m 21 2.3.3 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN CHUỖI LUỸ THỪA Giả thiết X(z) có thể khai triển:     n n nzazX )( Theo định nghĩa biến đổi Z     n nznxzX )()( (*) (**) Đồng nhất (*) & (**), rút ra: nanx )( Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết X(z) = z2 + 2z + 3 - 4z-1 - 5z-2 ROC: 0</z/<∞ 21012 2 2 21012      z)(xz)(xz)(xz)(xz)(xz)n(x)z(X n n Suy ra: ,-4,-5}3{1,2,)(  nx 22 .............. 1 21 1 z Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: 2: 21 1 )( 1     z z zX Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:      22110 0 zazaaza)z(X n n n Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây: (*) -12z-1 1 2 1z 12  z z2-2 -221z z2 -22 222  z      0 2)( n nn zzX )(20:2)( nunnx nn  23 .............. 1111 2 21 zz   2: 21 1 )( 1     z z zX Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:      332211 1 zazazaza)z(X n n n Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây: (**) 1z2- 1 -11  2 11 z 222 z z2-2 2-211 z z2 2-2 332 z      1 2)( n nn zzX )1(20:2)(  nunnx nn Ví dụ: 2.3.4: Tìm x(n) biết: 24 2.3.4 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH TỔNG CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng: )( )( )( zB zD zX  01 1 1 01 1 1 ... ... bzbzbzb dzdzdzd N N N N K K K K        với: K, N >0 • Nếu K>N, thực hiện phép chia đa thức: )( )( )( zB zD zX  )( )( )( zB zA zC  01 1 1 01 1 1 ... ... )( bzbzbzb azazaza zC N N N N M M M M        Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc MN • Nếu KN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z) Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn đề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc MN 25 Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc MN : )( )()( zB zA z zX  Xét đến các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là đơn, bội và phức liên hiệp 01 1 1 01 1 1 ... ... bzbzbzb azazaza N N N N M M M M        a) Xét X(z)/z có các điểm cực đơn: Zc1, Zc2, Zc3,. ZcN, )( )()( zB zA z zX  )())(( )( 21 cNccN zzzzzzb zA    Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành: )( )()( zB zA z zX  )()()( 2 2 1 1 cN N cc zz K zz K zz K            N i ci i zz K 1 )( Với hệ số Ki xác định bởi: ciZZ cii zz z zX K   )( )( hay ciZZ i zB zA K   )(' )( 26 Suy ra X(z) có biểu thức: )1()1()1( )( 11 2 2 1 1 1        zz K zz K zz K zX cN N cc      N 1i 1 ci i )zz1( K )1( )( 1  zz K zX ci i i • Nếu ROC: /z/ > /zci/ )()()( nuzKnx n ciii  • Nếu ROC: /z/ < /zci/ )1()()(  nuzKnx n ciii • Vậy:    N i i nxnx 1 )()( Xét: 27 )3)(2( 52    zz z )3()2( 21     z K z K 65 52)( 2    zz z z zX Với các hệ số được tính bởi: 2 1 )2( )(   Z z z zX K 1 )3( 52 2     Z z z 3 2 )3( )(   Z z z zX K 1 )2( 52 3     Z z z )3( 1 )2( 1)(     zzz zX )31( 1 )21( 1 )( 11      zz zX ROC : a) /z/>3, b) /z/<2, c) 2</z/<3 65 52 )( 2 2    zz zz zXVí dụ: 2.3.5: Tìm x(n) biết 28 Với các miền hội tụ: )31( 1 )21( 1 )( 11      zz zX a) /z/ > 3 : )n(u3)n(u2)n(x nn  b) /z/ < 2 : )1n(u3)1n(u2)n(x nn  c) 2</z/<3 : )1n(u3)n(u2)n(x nn  29 b) Xét X(z)/z có điểm cực Zc1 bội r và các điểm cực đơn: Zc(r+1),,ZcN, )( )()( zB zA z zX  )()()( )( )1(1 cNrc r cN zzzzzzb zA     Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X(z)/z phân tích thành:        r c r cc zz K zz K zz K z zX )()()( )( 1 2 1 2 1 1        N rl cl l r i i i zz K zz K 11 1 )()( Với hệ số Ki xác định bởi: 1cZZ r 1c)ir( )ir( i )zz( z )z(X dz d )!ir( 1 K           clZZ cll zz z zX K   )( )( )()( )1( 1 cN N rc r zz K zz K        30 Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là: Với giả thiết ROC của X(z): /z/ > max{ /zci/ }: i=1N, biến đổi Z ngược của thành phần Ki/(z-zci) r sẽ là:   )( )!1( )2)...(1( 11 nu i ainnn az z inZ i       )()()( )!1( )2)...(1( )( 1 1 1 nuzKnu i ainnn Knx N rl n cll inr i i         Ví dụ: 2.3.6: Tìm x(n) biết 2z:ROC 12 452 2 23     , )z()z( zzz )z(X )1()2( 452)( 2 2    zz zz z zX )1()2()2( 3 2 21       z K z K z K 31 Vậy X(z)/z có biểu thức là: Với các hệ số được tính bởi: )1( 1 )2( 2 )2( 1)( 2       zzzz zX 1 )1( 452 2 2          Z z zz dz d 2 2 )12( )12( 1 )2( )( )!12( 1           Z z z zX dz d K 2 )1( 452 2 2     Z z zz 2 2 )22( )22( 2 )2( )( )!22( 1           Z z z zX dz d K 1 3 )1( )(   Z z z zX K 1 )2( 452 1 2 2     Z z zz )1( 1 )21( 2 )21( 1 )( 121 1 1          zz z z zX 2: zROC )()(2)(2)( nununnunx nn  32 c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Zc1 và Z*c1 phức liên hiệp, các điểm cực còn lại đơn: Zc3,,ZcN, )( )()( zB zA z zX  )())()(( )( 3 * 11 cNcccN zzzzzzzzb zA    X(z)/z được phân tích thành: )()()()( )( 3 3 * 1 2 1 1 cN N ccc zz K zz K zz K zz K z zX                  N i ci i cc zz K zz K zz K z zX 3 * 1 2 1 1 )()()( )( Với các hệ số K1, Ki được tính giống điểm cực đơn: Ni:)zz( z )z(X K ciZZ cii   1 33 Xét : Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K2=K1 * )zz( *K )zz( K z )z(X * cc 1 1 1 11     )zz( *K )zz( K )z(X * cc 1 1 1 1 1 1 1 11      Nếu gọi: jeKK 11  j cc ezz 11  Và giả thiết ROC: /z/>max{/zci/}:        )n(uzKzKnx n*c*nc 11111  )n(u)ncos(zK n c   112   )n(uzK)ncos(zK)n(x N i n cii n c         3 112 Vậy: 34 2: )1)(22( )( 2     z zzz z zXVí dụ: 2.3.7: Tìm x(n) biết: )1)(22( 1)( 2    zzzz zX    )1()1()1( 1    zjzjz     )1()1()1( 3 * 11       z K jz K jz K   2 1 )1()1( 1 1 1      jZ zjz K )()() 4 cos()2()( nununnx n   1 )22( 1 1 23     Z zz K     )1( 1 )1(1 2/1 )1(1 2/1 )( 111         zzjzj zX 2z 35 2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z 2.4.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM TRUYỀN ĐẠT h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n: Miền Z: H(z)X(z) Y(z)=X(z)H(z) Z h(n) Z H(z): gọi là hàm truyền đạt H(z)=Y(z)/X(z)  Trong miền phức Z, H(z) đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống 36 2.4.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT ĐƯỢC BIỂU DIỄN THEO CÁC HỆ SỐ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN    M r k N k k rnxbknya 00 )()(       M r r k N k k k zbzXzazY 00 )()(        N k k k M r r r za zb )z(X )z(Y )z(H 0 0 • Phương trình sai phân TTHSH có dạng: • Lấy biến đổi Z 2 vế PTSP & áp dụng tính chất dịch theo t/g: 37 Ví dụ: 2.4.1: Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi: y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1) 21 1 651 52 )( )( )(      zz z zX zY zH )3()2( 21     z K z K )31( 1 )21( 1 )( 11      zz zH Lấy biến đổi Z hai vế PTSP và áp dụng tính chất dịch theo t/g:    121 52)(651)(   zzXzzzY 65 52 2 2    zz zz )3)(2( 52)(    zz z z zH Do hệ thống nhân quả nên: h(n) = ( 2n + 3n ) u(n) 1 2)3( 52 1     zz z K 1 3)2( 52 2     zz z K 38 2.4.3 HÀM TRUYỀN ĐẠT CÁC HỆ THỐNG GHÉP NỐI a. Ghép nối tiếp  Miền Z: h2(n)x(n) y(n)h1(n) x(n) y(n)h(n)=h1(n)*h2(n)   Miền n: H2(z)X(z) Y(z)H1(z) X(z) Y(z)H(z)=H1(z)H2(z)  Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) Z H1(z)H2(z) 39 b. Ghép song song  Miền Z:  h2(n) x(n) y(n) h1(n) + x(n) y(n)h1(n)+h2(n)  Miền n:  H2(z) X(z) Y(z) H1(z) + X(z) Y(z)H1(z)+H2(z) 40 Ví dụ: 2.4.2: Tìm H(z) của hệ thống, biết h1, h2, h3, h4 h2(n) x(n) y(n) h3(n) +h1(n) h4(n) Giải: H(z)=H1(z)[ H2(z) + H3(z)H4(z) ] H2(z) + H3(z)H4(z)H1(z) 41 2.4.4 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG a. Tính nhân quả Hệ thống TTBB là nhân quả h(n) = 0 : n<0 Miền n: Do h(n) là tín hiệu nhân quả, nên miền hội tụ H(z) sẽ là: )())(( )( )( 21 cNccN zzzzzzb zA zH     cNccc zzzzz ,,,max 21 max  Hệ thống TTBB là nhân quả  Miền Z:  cNccc zzzzz ,,,max 21 max  ROC của H(z) là: Re(z) 0 ROC Im(z) /zc/ max 42 Hệ thống TTBB là ổn định b. Tính ổn định  Miền n:   n nh )(  Miền Z:     n nznhzH )()(     n nznh )( n n znh     )(     n nhzH )()( : khi 1z Hệ thống TTBB là ổn định ROC của H(z) có chứa /z/=1 Theo đ/k ổn định (*), nhận thấy H(z) cũng sẽ hội tụ với /z/=1 (*) 43 Re(z) 0 ROC Im(z) /zc/ max c. Tính nhân quả và ổn định Hệ thống TTBB là nhân quả  cNccc zzzzz ,,,max 21 max  ROC của H(z) là: Hệ thống TTBB là ổn định ROC của H(z) có chứa /z/=1 Hệ thống TTBB là nhân quả và ổn định và ROC của H(z) là: max czz  1 max cz /z/=1 44 )2()2/1( 21     z K z K   )21( 1 )2/1(1 1 )( 11      zz zH )2)(2/1(2 54)(    zz z z zH a. Hệ thống nhân quả (/z/>2): h(n)=[(1/2)n + 2n] u(n) Ví dụ: 2.4.3: Tìm h(n) của hệ thống, biết a. Để hệ thống là nhân quả b. Để hệ thống là ổn định c. Để hệ thống là nhân quả và ổn định )2( 1 )2/1( 1     zz b. Hệ thống ổn định (1/2</z/<2): h(n)=(1/2)n u(n) - 2n u(-n-1) c. Hệ thống nhân quả và ổn định: ROC: /z/>2 không thể chứa /z/=1  không tồn tại h(n) 45 2.4.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA )( kny      k r krk zryzYz 1 )()( Z 1 phía )1( ny z 1 phía      21 0 )1()0()1()1( zyzyyzny n n    11 )1()0()1( zyyzy )()1( 1 zYzy  )2( ny z 1 phía      21 0 )0()1()2()2( zyzyyzny n n    121 )1()0()1()2( zyyzzyy )()1()2( 21 zYzzyy   46 Ví dụ 2.4.4: Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n0 biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP: Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*) Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rút ra: )3( 1 . 2 1 )1( 1 . 2 1 )3)(1( 1)(       zzzzz zY )31( 1 . 2 1 )1( 1 . 2 1 )( 11      zz zY   )(13 2 1 )( nuny n  47