K - Lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá Reeb và một vài MD - Phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hiếu Thảo Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A B hợp rời của A và B Ab phạm trù các nhóm aben A hoặc A   đại số bổ sung đơn vị của   đại số A A A H  tích xiên của A và H bởi tác động  ( )C X   đại số các hàm phức liên tục trên X ( , )C V F   đại số liên kết với phân lá ( , )V F ( , )cC H A các hàm phức liên tục có giá compact từ H vào A 0 ( , )C A   đại số các hàm liên tục từ  vào A triệt tiêu ở vô cùng 0( )C X   đại số các hàm phức liên tục trên X triệt tiêu ở vô cùng ( , )Ext B J KK nhóm của Kasparov S không gian đối ngẫu của không gian S  không gian Hilbert Index A chỉ số của *  đại số A ( )k    đại số các toán tử compact trên  ( )iK A iK  nhóm của   đại số A ( )  các toán tử tuyến tính bị chặn trên  2 ( )L  không gian các hàm thực bình phương khả tích ( )nM A đại số các ma trận vuông cấp n trên đại số A 2 xuyến hai chiều ( , )V F phân lá F trên đa tạp V Xˆ compact hóa một điểm của không gian X MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Đa tạp phân lá là một nhánh tương đối mới mẻ thuộc lĩnh vực Hình học vi phân. Mặc dù ở địa phương, mọi phân lá k chiều trên một đa tạp vi phân n chiều đều hoàn toàn giống nhau cụ thể là chúng luôn có “dáng điệu” của phân lá tầm thường nhưng trên toàn cục thì chúng có thể rất khác nhau. Bởi thế, khi nghiên cứu phân lá, ta chỉ quan tâm đến các vấn đề toàn cục, tức là nghiên cứu những yếu tố bất biến qua các phép tương đương tôpô. Chẳng hạn như tìm hiểu số các lá đóng, lá tuần hoàn, lá trù mật hay lá compact, ... của từng kiểu phân lá. Một yếu tố phản ánh khá tốt thông tin của phân lá ( , )V F là không gian lá V F của phân lá đó. Tuy nhiên, dù các đa tạp phân lá có tôpô tốt (do có cấu trúc vi phân), nhưng không gian lá của nó thường lại rất xấu, có thể không Hausdorff, thậm chí là không nửa tách. Mà ta đã biết, khi tính K  lý thuyết hình học của một không gian tôpô X , ta hay thay X bởi một   đại số 0 ( )C X . Với tôpô xấu của V F thì cách thay thế này không còn phù hợp vì 0 ( )C V F không cho ta thông tin cần thiết về phân lá ( , )V F . Đây là một cản trở lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá. Để khắc phục nhược điểm trên, Alain Connes đã liên kết chính tắc một phân lá ( , )V F với một   đại số ( , )C V F nhưng vẫn cho ta thông tin cần thiết về phân lá ( , )V F . Cần chú ý rằng trong trường hợp phân lá cho bởi phân thớ :p V B (có không gian lá là B với tôpô tốt) thì K  lý thuyết của ( , )C V F chính là K  lý thuyết hình học của không gian lá V F B như thông thường. Khái niệm   đại số có nguồn gốc vật lý và do Gelfand – Naimark đưa ra năm 1943. Việc mô tả các   đại số cũng hết sức khó khăn. Một trong những phương pháp mô tả hiệu quả các   đại số là phương pháp K  hàm tử do Đỗ Ngọc Diệp đưa ra vào năm 1974. Nhờ phương pháp này các nhà toán học đã mô tả được khá nhiều các   đại số. Việc dùng phương pháp K  hàm tử để mô tả   đại số liên kết của một phân lá gọi là K  lý thuyết của phân lá đó. Ta đã biết K  lý thuyết của một số phân lá đơn giản đã được giải quyết. Năm 1980, Pimsner và Veiculeseu đã tính K  lý thuyết của phân lá Kronecker. Ngay sau đó,   đại số liên kết của phân lá Reeb trên 3S cũng được mô tả. Năm 1984, A. M. Torpe đã giải quyết cho các phân lá Reeb trên 2 . Đến năm 1990, Lê Anh Vũ cũng thành công trong trường hợp phân lá tạo bởi các K  quĩ đạo chiều cực đại của lớp nhóm Lie 4MD . Sau khi tìm hiểu và nhìn nhận vấn đề, chúng tôi thấy thú vị với việc mô tả   đại số tương ứng của phân lá bằng phương pháp K  hàm tử và nó vẫn là việc làm mở đối với nhiều phân lá. Vì vậy, với luận văn tốt nghiệp này, chúng tôi quyết định tìm hiểu công việc trên và đã chọn đề tài “ K  Lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá Reeb và một vài MD  phân lá”. 2. Nội dung và phương pháp nghiên cứu Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu kĩ thuật tính K  lý thuyết của Torpe cho một số phân lá đơn giản trên trụ 1[0,1] S và trên xuyến 2 . Ngoài ra, vì các phân lá này đều nhận được bởi tác động của nhóm Lie  và khi tính K  lý thuyết thì các   đại số liên kết với chúng đều nhúng được chính tắc vào một mở rộng một tầng. Nên chúng tôi đã mở rộng hơn phạm vi các phân lá bởi việc tìm hiểu công trình của Lê Anh Vũ về K  lý thuyết của phân lá kim cương thực. Phân lá này là một MD  phân lá được cho bởi tác động của 2 và   đại số của nó không nhúng được vào một mở rộng đơn mà phải dùng đến dãy mở rộng lặp hai tầng. Về phương pháp nghiên cứu, trước tiên chúng tôi phân tích một số công trình nghiên cứu có liên quan để khái quát được con đường chung của quá trình tính K  lý thuyết của một phân lá. Sau đó chúng tôi cố gắng cụ thể hóa quy trình chung đó cho một số phân lá cụ thể để từ đó vấn đề được sáng tỏ hơn. 3. Ý nghĩa khoa học của luận văn Đến nay số lượng công trình về tính K  lý thuyết của phân lá còn khá khiêm tốn, K  lý thuyết của rất nhiều phân lá vẫn chưa được nghiên cứu. Do vậy, luận văn ít nhiều cung cấp được các kiến chuẩn bị hữu ích cho những độc giả mới bắt đầu tìm hiểu K  lý thuyết của phân lá. Đồng thời với việc mô tả các   đại số bằng phương pháp K  hàm tử, ở gốc độ nào đó luận văn tiếp cận được một số vấn đề của đại số toán tử. 4. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết luận. Phần mở đầu: Khái quát lịch sử và nội dung vấn đề, cũng như phạm vi và phương pháp nghiên cứu đề tài. Chương 1: Gồm một số vấn đề cơ bản về   đại số và K –lý thuyết của chúng. Ở đây chúng tôi chỉ trình bày các vấn đề và tính toán cần thiết cho chương 3. Chương 2: Gồm một số vấn đề về tôpô phân lá và K –lý thuyết của phân lá. Chương này cũng đóng vai trò cung cấp các kiến thức chuẩn bị cho chương 3. Chương 3: Chương này chứa nội dung chính của luận văn, trình bày K –lý thuyết của các thành phần Reeb, vài phân lá trên xuyến 2 và phân lá kim cương thực. Phần kết luận: Chúng tôi khái quát lại các vấn đề đã làm trong luận văn và nêu lên hướng nghiên cứu mà chúng tôi sẽ tiếp tục sau khi hoàn thành luận văn này. 5. Ký hiệu trong luận văn Các ký hiệu được dùng trong luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng có liệt kê trong Danh mục các ký hiệu hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu. Để trích dẫn một kết quả hay tài liệu tham khảo, chúng tôi cũng viết theo các quy cách chung. Chẳng hạn, nếu ghi “2.1.3” có nghĩa là tiểu mục 3 trong mục 1 ở chương 2, còn nếu ghi “[1, tr.44 45]” tức là chỉ từ trang 44 đến trang 45 của tài liệu tham khảo số 1. Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ KLÝ THUYẾT CỦA   ĐẠI SỐ Trong chương này, phần đầu chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức chuẩn bị về   đại số cần thiết cho các tính toán ở các chương 2 và 3. Bên cạnh đó, cùng với việc xây dựng các K  nhóm và các dãy khớp K  nhóm, chúng tôi có tính chi tiết các K  nhóm của một vài   đại số như  , 1( )C S , 0 ( )C  hay ( )nM  . Đây chính là xuất phát điểm để chúng tôi tính toán các K  nhóm được đề cập đến trong phần chính của luận văn. Một trình bày đầy đủ hơn về nội dung của chương này, độc giả quan tâm có thể tham khảo trong [4], [5], [10] và [12]. 1.1 Một số vấn đề về   đại số Mục tiêu của phần này là cung cấp cho độc giả các ví dụ kinh điển về   đại số cùng với hai dạng tích thớ và tích xiên của nó. Các   đại số liên kết của các phân lá được xét đến trong luận văn của chúng tôi đều có một trong hai dạng này. 1.1.1 Định nghĩa (xem [10, tr.35 37]) Một   đại số A là một đại số Banach trên trường số phức  cùng với ánh xạ đối hợp : A A, x x   thỏa mãn các tính chất sau: (i) Với x, y A,  , ta có: ( )x y x y     , ( )xy y x   , ( )x x   và ( )x x   . (ii) Thỏa   đồng nhất 2*x x x (điều này tương đương với 2*x x x ). Một ánh xạ tuyến tính bị chặn : A B  giữa các   đại số được gọi là một đồng cấu nếu với x, y A  , ta có ( ) ( ) ( )xy x y   và ( ) ( )x x   . Từ   đồng nhất ta suy ra  bị chặn với chuẩn 1 . 1.1.2 Các ví dụ (i) Đại số ( )nM  là một   đại số nếu xét các ma trận như là các toán tử trên không gian Euclide n , và dùng chuẩn toán tử  sup ( ) : , 1nf f v v v   cho các ma trận. Còn ánh xạ đối hợp chính là phép chuyển vị và liên hợp : A A  . (ii) Không gian ( )  các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert  là một   đại số với ánh xạ đối hợp : x x  là toán tử phụ hợp của toán tử x :   . (iii) Xét không gian Hausdorff compact địa phương X , không gian 0( )C X các hàm liên tục nhận giá trị phức trên X triệt tiêu ở vô cùng làm thành một   đại số giao hoán với phép nhân, phép cộng và phép đối hợp theo từng điểm. 0( )C X có đơn vị nhân khi và chỉ khi X compact. Tuy nhiên trường hợp X Hausdorff compact địa phương thì 0 ( )C X vẫn có phần tử đơn vị xấp xỉ như sau: Xét tập định hướng các tập con compact của X , với mỗi tập compact K ta ký hiệu Kf là hàm đồng nhất 1 trên K . Các hàm như vậy tồn tại theo định lí mở rộng Tietze và X luôn được phủ bởi các tập compact K như thế, ta gọi { }K Kf là phần tử đơn vị xấp xỉ của   đại số 0( )C X . Ta có kết quả quan trọng về các   đại số như sau: Định lí GelfandNaimark. A là một   đại số giao hoán có đơn vị nếu và chỉ nếu ( )A C X ,   đại số các hàm phức liên tục trên không gian Hausdorff compact X . Và A là một   đại số nếu và chỉ nếu A đẳng cấu với một đại số con đóng của ( )  ,   đại số các toán tử bị chặn trên một không gian Hilbert  . (iv) Xét  là không gian Hilbert vô hạn chiều khả tách. Đại số ( )k  các toán tử compact trên  là một đại số con đóng với chuẩn của   đại số ( )  . ( )k  cũng đóng với phép đối hợp nên nó cũng là một   đại số. 1.1.3 Tích xiên (xem [4, tr.175 177]) Cho A là một   đại số, H là nhóm Lie compact địa phương và : H AutA  là một tác động liên tục của H lên A . Tức là với mỗi h H , h AutA  là một  tự đẳng cấu của A và với mỗi a A , ánh xạ ( )hh a liên tục theo chuẩn. Khi đó, ta xác định một   đại số A A H  gọi là tích xiên của A và H bởi tác động  như sau: Xét không gian véctơ ( , )cC H A (các hàm phức liên tục có giá compact từ H vào A) với phép nhân và phép đối hợp như sau ( dh là độ đo Haar trái trên H ):  1 11 2 1 1 2 1 1. ( ) ( ). ( )hf f h f h f h h dh   , với 1 2, ( , ),cf f C H A h H  ,  1 1( ) ( ) . ( )hf h h f h     , với đồng cấu * 1: , ( ) ( ). ( )H d h h d h   . Khi đó ( , )cC H A là một đại số. Ta sẽ xây dựng một chuẩn trên ( , )cC H A . Một biểu diễn hiệp biến  của ( , )A  là một cặp gồm một biểu diễn unita A của A và một biểu diễn H của H trên một không gian Hilbert sao cho:  1( ). ( ). ( ) ( ) , ,H A H A hh a h a h H a A          Với mỗi  ta định nghĩa một biểu diễn đối hợp  của ( , )cC H A như sau:  ( ) ( ) . ( ) , ( , )A H cf f h h dh f C H A     Khi đó ta định nghĩa A là   đại số bổ sung của đại số ( , )cC H A bởi chuẩn  sup ( ) :f f   (với  là biểu diễn hiệp biến của ( , )A  ). Tính chất của tích xiên: (i) Nếu f : A B là một đồng cấu H  đẳng biến giữa các   đại số, thì nó sẽ cảm sinh một đồng cấu đối ngẫu  fˆ : A B xác định bởi công thức:    ˆ ( ) ( ) ( )f a h f a h , với ( , ),ca C H A h H    . (ii) Nếu 0 0jJ A B    là một dãy khớp ngắn (chẻ ra) H  đẳng biến ( H tác động liên tục lên các   đại số J ,A,B ), thì dãy các tích xiên sau đây cũng khớp (chẻ ra) 0 0ˆ ˆjJ H A H B H      . 1.1.4 Tích thớ Cho 1 2A ,A ,A' là các   đại số, : ' ( 1,2)i iA A i   là các đồng cấu.   đại số A và cặp đồng cấu : ( 1,2)i ip A A i  được gọi là tích thớ (hay còn gọi là sơ đồ kéo lại) của cặp 1 2( , )  nếu thỏa 2 điều kiện sau: (i) Có sơ đồ giao hoán: 1 2 1 2 1 2 p p A A A A'       (ii) Bộ ba 1 2( , , )A p p có tính chất phổ dụng, tức là với mọi bộ ba 1 2( , , )B q q có tính chất tương tự và làm cho sơ đồ sau giao hoán: 1 2 1 2 1 2 q q B A A A'       Thì tồn tại duy nhất một đồng cấu : B A  sao cho ( 1,2)i ip q i   . 1.2 Một số vấn đề về K lý thuyết K  lý thuyết đại số là một lý thuyết đồng điều suy rộng và việc tìm hiểu K  lý thuyết là một vấn đề không hề dễ dàng. Tuy nhiên, vì mục tiêu của luận văn, ở đây chúng tôi chỉ trình bày một cách đơn giản nhất việc xây dựng K  lý thuyết cho một   đại số. Các ví dụ trong phần này đều là các kết quả cần thiết cho việc tính toán K  lý thuyết của các phân lá trong chương 3. 1.2.1 Phân thớ véctơ (xem [5, tr.4 9]) Một phân thớ véctơ n chiều trên không gian Hausdorff compact X là cặp ( , )E p gồm không gian tôpô E và ánh xạ liên tục p : E X thỏa các điều kiện sau: (i) Mỗi x X , thớ 1( )xE x  trên X có cấu trúc của một không gian véctơ n chiều. (ii) Tất cả các thớ được “buộc” với nhau một cách liên tục bởi các tầm thường địa phương. Các ví dụ cơ bản của phân thớ véctơ là phân thớ tiếp xúc TM và phân thớ đối tiếp xúc TM  trên một đa tạp compact M , ví dụ 1 1{( , ) : . 0}n n nTS x v S x v     . Trong luận văn này chúng ta chỉ xét các phân thớ véctơ phức. Nếu ( , )E p là một phân thớ véctơ trên X , một nhát cắt của E là một hàm liên tục f : X E sao cho ( ) ,xs x E x X   . Tập ( )E các nhát cắt của E có cấu trúc không gian véctơ một cách tự nhiên với ( )( ) ( ) ( )s t x s x t x      , trong đó tổ hợp tuyến tính trong vế phải được thực hiện trong không gian véctơ xE . Thực ra ( )E là một môđun trên ( )C X theo cách tự nhiên với ( . )( ) ( ). ( )f s x f x s x . Định lí Serre Swan. Nếu ( , )E p là một phân thớ véctơ trên không gian Hausdorff compact X , thì ( )E là một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên ( )C X (tức là tồn tại 1 2, ,..., ( )ns s s E sao cho 1( ) ( ).n iiE C X s   ). Ngược lại, mọi môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên ( )C X đều có dạng này. 1.2.2 Xây dựng các Knhóm (xem [12, tr.144 154]) Xét A là một   đại số có đơn vị, thì một cách tự nhiên ( )nM A cũng là một   đại số có đơn vị, các phép toán đại số là các phép toán thông thường và chuẩn trên ( )nM A cũng thu được một cách tự nhiên. Do đó, nếu nhúng ( )A   (   đại số các toán tử bị chặn trên không gian Hilbert  ), thì ta có thể nhúng  ( ) ( ) ( ... )n nM A M        ( n lần), ta sẽ đồng nhất ( )nM A với “góc Tây Bắc” của 1( )nM A bởi 00 0 x x     . Ta ký hiệu  ( ) ( )n nP A P M A và  ( ) ( )n nU A U M A trong đó ( )P B (tương ứng ( )U B ) ký hiệu tập hợp các phép chiếu 2{ : }p B p p p   (tương ứng các phần tử unita { : 1}u B u u uu    ) trong một   đại số B bất kì. Xem ( )nP A và ( )nU A theo thứ tự bao hàm trong 1( )nP A và 1( )nU A qua phép đồng nhất 0 0 0 p p     và 0 0 1 u u     , ta lần lượt ký hiệu các tập 1( ) ( )nnP A P A    , 1( ) ( )nnM A M A    và 1( ) ( )nnU A U A  . Mọi Amôđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều có dạng 1{ ( ) : }p nV M A p     với ( )np P A và số nguyên dương n , ở đây hiển nhiên A tác động lên pV theo quy tắc ( . )i ia a  . Với , ( )p q P A , thì ( ( ) : , )p qV V u M A u u p uu q       , khi đó ta viết p q . Mệnh đề. Tập thương 0( ) ( )A P A K có cấu trúc một vị nhóm aben với phép cộng [ ] [ ] [ ]p q p q   và có đơn vị là [0]. Ta đã biết, nếu S là một vị nhóm aben, thì tập { : , }a b a b S  các hiệu hình thức trong S , trong đó ( ) ( ),a b c d a d f c b f f S          , làm thành một nhóm, gọi là nhóm Grothendieck của S . Định nghĩa. Nếu A là một   đại số có đơn vị, ta định nghĩa: (i) 0 ( )K A là nhóm Grothendieck của vị nhóm aben 0( )AK . (ii) 1( )K A là nhóm thương của nhóm ( )U A trên nhóm con chuẩn tắc (0)( )U A (thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong ( )U A ). Khi đó 1( )K A cũng là một nhóm aben với phép toán như sau: 0 1 0 [ ] [ ][ ] [ ], , ( ) 0 1 0 u uv u v u v u v U A v                         Một số tính chất của các K nhóm: (i) ( 0,1)iK i  là các hàm tử hiệp biến từ phạm trù các   đại số đến phạm trù Ab các nhóm aben, tức là nếu ( , )Hom A B  là một đồng cấu giữa các   đại số, thì tồn tại các đồng cấu nhóm *( ) : ( ) ( ) ( 0,1)i i iK K A K B i    thỏa mãn các điều kiện của hàm tử. (ii) Một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên  (vành chính) đều được đặc trưng bởi số phần tử sinh của nó, do đó 0( )  K , nên ta có 0( )K   . Ta cũng có ( )U  liên thông đường vì một ma trận unita bất kì trong ( )nM  đều biến đổi được về ma trận đơn vị nI bằng các phép biến đổi sơ cấp (tức nối được với nI ). Do đó, (0)( ) ( )n nU U  hay 1( ) {0}K  . (iii) Nếu 0: ( ), ( ) 0 0n a A M A a        , thì  * : ( ) ( )i i nK A K M A  là đẳng cấu nhóm. (iv) Bất biến đồng luân. Nếu { : [0,1]}t t  là một họ liên tục các đồng cấu từ A đến B (tức là tồn tại một đồng cấu  ( ) ([0,1], )ta t a C B   ), thì 0 1( ) ( )   . Từ điều này ta suy ra, nếu X ,Y là hai không gian Hausdorff compact đồng luân, thì hai   đại số của chúng đẳng cấu, ( ) ( )C X C Y , nên    ( ) ( )i iK C X K C Y . (v) Đẳng cấu ThomConnes. Nếu n (nhóm Lie trung bình hóa) tác động liên tục  lên   đại số A , thì ta có các đẳng cấu nhóm : ( ) ( )i ni i nK A K A    . Trường hợp 1n  , ta có 1: ( ) ( ).i i iK A K A    Ví dụ. Nếu X là không gian co rút được thì  ( ) ( )i iK C X K  . Thật vậy, ta gọi { : [0,1]}th t là phép đồng luân với 1 0 0, ( ) , .Xh id h x x X x X     Xét    : ( ) ( ), ( ) ( ) ( )t t tC X C X f x f h x   , thì 1 ( )C Xid  và 0( )f là hàm hằng 0( ), ( )f x f C X  . Nếu ta xét ánh xạ nhúng : ( ), ( )j C X j  là hàm hằng nhận giá trị bằng  , và ký hiệu 0 0 0: ( ) , ( ) ( )ev C X ev f f x  , thì ta có các biểu đồ giao hoán sau: 0 0 0 ( ) ( ) ev evj id C X C X     và    0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i ev evj id i i K C X K C X K K          Vì 0 1( ) ( ) id    , nên từ sơ đồ thứ hai ta thấy ngay j là đẳng cấu và 1 0( ) ( )j ev    . Bây giờ ta xét các   đại số không có đơn vị A (tương ứng với việc xét các phân thớ véctơ trên các không gian Hausdorff compact địa phương không compact). Nếu A là một   đại số, thì A A   là một   đại số có đơn vị với phép nhân và chuẩn như sau: ( , ).( , ) ( , )x y xy y x       và  ( , ) sup : , 1x xa a a A a     Với phép cộng và phép đối hợp theo từng thành phần và đơn vị là (0,1) . Hơn nữa ánh xạ : , ( , )A x      là một đồng cấu giữa các *  đại số có đơn vị và ker A.  Ví dụ. Xét 0 ( )A C X là đại số các hàm liên tục triệt tiêu ở vô cùng trên một không gian Hausdorff compact địa phương X , thì A chính là ˆ ˆ( ), { }C X X X   là không gian compact hóa một điểm của X , và ( ) ( )f f   . Với   đại số không có đơn vị A , ta định nghĩa ( ) keriK A  trong đó : ( ) ( ) ( 0,1)i iK A K i    . 1.2.3 Dãy khớp 6 thành phần trong K lý thuyết Nếu 0 0jJ A B    (1.1) là dãy khớp ngắn các   đại số, thì tồn tại một dãy khớp 6 thành phần các K  nhóm liên kết với dãy khớp ngắn trên: 0 1 1 1 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j K J K A K B K B K A K J               (1.2) Trong đó, ( 0,1)i i  được gọi là các đồng cấu nối. Trường hợp đặc biệt khi dãy khớp trên chẻ ra (tức là tồn tại một đồng cấu s : B A sao cho Bs id  ) thì  cũng là một toàn cấu, và khi đó cả 2 đồng cấu nối đều là đồng cấu không. Do đó dãy khớp 6 thành phần trên chẻ ra thành 2 dãy khớp ngắn 0 ( ) ( ) ( ) 0ji i iK J K A K B     . Ví dụ. Xét dãy khớp ngắn 000 ((0,1]) ([0,1]) 0   evjC C . Do [0,1] co rút được nên  0( ) : ([0,1]) ( )  i iev K C K , nên từ dãy khớp trên ta có  ((0,1]) {0} ( 0,1) iK C i . Ta xét tiếp dãy khớp 100 ((0,1)) ((0,1]) 0   j evC C , có dãy khớp 6 thành phần là:     1 0 1 1 * ( ) 1 0 1 ( ) 0 0 0 ((0,1)) 0 ( ) ( ) 0 ((0,1))              j ev ev j K C K K K C Từ đây ta có    0 0 1( ) ((0,1)) ( ) (1.3)  i i iK C K C K . Tương tự trên, ta áp dụng cho 0( , )C A (các hàm liên tục f : A triệt tiêu ở vô cùng) ta có kết quả  0 1( , ) ( )i iK C A K A . Áp dụng một cách qui nạp theo n cho 0( )nA C  ta được kết quả sau:  0 , (mod 2),( ) 0, (mod 2).ni n iK C n i   neáu neáu Tiếp theo, xét dãy khớp ngắn chẻ ra 00 ( ) ( ) 0j evn nC C S      (chẻ ra vì tồn tại đồng cấu nhúng : ( )nC S  thỏa ev id   ), thì ta có các dãy khớp ngắn các K  nhóm chẻ ra sau:     ( )00 ( ) ( ) ( ) 0j evn ni i iK C K C S K       Do đó ta có    0( ) ( ) ( )n ni i iK C S K C K   . Cuối cùng vì 2( ) nnM   nên   2( ) ( ) ( )ni n i iK M K K    (do qui nạp của 2 2 1 1 1 0 0 0( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( )K K K K K K            ), nên ta có kết quả:   0,( ) ( ) 0 1.i n i i K M K i       neáu neáu 1.2.4 Dãy khớp MayerVietoris (xem [6, tr.16 17]) Xét sơ đồ tích thớ: 1 2 1 2 1 2 p p A A A A'       (1.4) Nếu một trong hai đồng cấu 1 2,  là toàn cấu, thì tích thớ trên sẽ sinh ra dãy khớp MayerVietoris như sau: 1 2 0 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ') ( ') ( ) ( ) ( ) K A K A K A K A K A K A K A K A                     (1.5) Việc tính các đồng cấu 1 2   cho ta thông tin về   đại số A . 1.3 KKnhóm của Kasparov (xem [1, tr.64 67]) Giả sử J ,B là các   đại số cho trước, J có đơn vị xấp xỉ, còn B hạch và tách được. Xét các mở rộng   đại số dạng 0 0J k A B     (1.6) . Lưu ý rằng có một song ánh giữa các mở rộng (1.1) và các mở rộng (1.6) . Mà các mở rộng dạng (1.6) lại tương ứng 1 1 với các đồng cấu : ( )B J k   từ B vào đại số đa nhân tử ngoài trên J k ,  được gọi là bất biến Busby của mở rộng (1.6) . Ta sẽ đồng nhất mở rộng (1.6) với A cũng như với bất biến Busby  của nó. Hai mở rộng 1 2,  dạng (1.6) được gọi là tương đương unita nếu có một toán tử unita ( )u J k  (đại số đa nhân tử trên J k ) sao cho với mỗi x B ta có 2 1( ). . ( )x u u x  , ở đây (mod )u u J k  . Tổng 1 2  của các mở rộng 1 2,  được định nghĩa như tổng trực tiếp. Ta ký hiệu: (i) ( , )xt B J là tập các lớp tương đương unita các mở rộng dạng (1.6) . (ii) ( , )Sxt B J là tập các lớp tương đương unita các mở rộng chẻ ra dạng (1.6) . Cả hai tập này đều là các nhóm cộng và ( , )Sxt B J là nhóm con chuẩn tắc trong ( , )xt B J . Định nghĩa. KK nhóm ( , )Ext B J của Kasparov được định nghĩa là nhóm thương ( , ) ( , )xt B J Sxt B J . Mở rộng  gọi là hấp thụ (absorbing) nếu nó tương đương unita với tất cả các mở rộng 0  , ở đó 0 là một mở rộng chẻ ra bất kì. Ký hiệu ( , )aExt B J là tập các lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ. Mặc dù mỗi mở rộng  xác định một phần tử duy nhất của ( , )Ext B J . Nhưng mỗi phần tử ( , )Ext B J không đủ xác định một mở rộng  mà chỉ xác định duy nhất một lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ, tức là một phần tử của nhóm ( , )aExt B J . Nói rõ hơn ( , ) ( , )aExt B J Ext B J . Tuy nhiên, với mỗi mở rộng  dạng (1.6) hoặc (1.1) có duy nhất một mở rộng hấp thụ 1 sao cho 1  lại hấp thụ. Bởi vậy, một phần tử của ( , )Ext B J chỉ xác định cái gọi là “kiểu ổn định” của mở rộng  . Bất biến chỉ số của   đại số. Theo trên, mỗi mở rộng dạng (1.1) xác định duy nhất một phần tử  của nhóm ( , )Ext B J . Ký hiệu index A  và gọi là chỉ số của   đại số A . Ta đã biết mở rộng (1.1) sinh ra dãy khớp 6 thành phần K  lý thuyết (1.2) với cặp đồng cấu nối 0 1( , )  . Theo định lí Rosenberg về hệ tử phổ dụng ta có dãy khớp:         1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 ( ), ( ) ( ), ( ) ( , ) ( ), ( ) ( ), ( ) 0 Ext K B K J Ext K B K J Ext B J Hom K B K J Hom K B K J              (1.7) Trong đó ( )index A  0 1( , )  và 1Ext là nhóm các mở rộng thông thường. Nếu như mở rộng (1.1) có ( )K B là các nhóm aben tự do, thì các nhóm  1 ( ), ( ) 0 ( 0,1)i iExt K B K J i  . Khi đó dãy khớp (1.7) cho ta  là một đẳng cấu, nên ta có thể đồng nhất index A với cặp 0 1( , )  . Nói cách khác chính cặp 0 1( , )  xác định kiểu ổn định của   đại số A . Đặc biệt khi mở rộng (1.1) là hấp thụ, thì 0 1( , )  xác định duy nhất   đại số A , sai khác một tương đương unita. Chương 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHÂN LÁ VÀ KLÝ THUYẾT CỦA PHÂN LÁ Tôpô phân lá xuất hiện một cách tự nhiên từ việc tìm nghiệm của các phương trình vi phân và các hệ khả tích, và trở thành một lĩnh vực được nghiên cứu độc lập sau công trình nổi tiếng của Ehresmann và Reeb. Kể từ đó lý thuyết phân lá không ngừng được phát triển và trở thành một ngành toán học khá phong phú bởi Reeb (1952), Haefliger (1956), Novikov (1964), Thurston (1974), Molino (1988) và đặc biệt là Alain Connes với công trình xây dựng   đại số liên kết với phân lá. 2.1 Một số vấn đề về tôpô phân lá Mục tiêu của phần này là cung cấp cho độc giả một số kiến thức mở đầu về đa tạp phân lá, và ví dụ mà chúng tôi dùng thường xuyên để minh họa cho các khái niệm ở đây là phân lá Kronecker. Phần lớn nội dung ở đây được tham khảo từ [1], [11]. 2.1.1 Định nghĩa phân lá (xem [1, tr.41 42]) Cho V là đa tạp vi phân n chiều, TV là phân thớ tiếp xúc trên V , F là phân thớ con k chiều của TV ( F còn được gọi là phân bố k chiều trên V ). Phân thớ F được gọi là khả tích nếu một trong bốn điều kiện tương đương sau đây thỏa mãn: (i) Mỗi x V , tồn tại đa tạp con k chiều W của V , sao cho y yx W: F T W   , với y W  , ở đó yF là thớ trên y của F . (ii) Mỗi x V , U V ,  U mở chứa x , và một phép ngập n kp :U   thỏa mãn y yF ker p , y U .  Tập U được gọi là tập con mở đơn . (iii) ( ) { ( ) : , }x xC F X C TV X F x V       là một đại số Lie. (iv) Ideal ( )J F các dạng vi phân ngoài trơn, triệt tiêu trên F ổn định với phép lấy vi phân ngoài. Tập W trong (i) được gọi là một đa tạp con tích phân của phân bố F đi qua điểm x V . Mỗi phân bố khả tích k chiều F trên V được gọi là phân lá (trơn) k chiều (đối chiều n k ) trên V , ký hiệu là ( , )V F ; V được gọi là đa tạp phân lá. Mỗi đa tạp con liên thông đường tối đại của F trong V được gọi là một lá của phân lá ( , )V F . Mỗi lá là một đa tạp con dìm k chiều của V , ta cũng ký hiệu tập các lá này bởi chính ký hiệu F . Một tập con A của đa tạp phân lá V được gọi là bảo hòa đối với phân lá ( , )V F nếu A là hợp của các lá. Cho T là một đa tạp con dìm của V , có số chiều bằng đối chiều của phân lá ( , )V F , T được gọi là tập con hoành (hay tập hoành) của phân lá ( , )V F , nếu tại mỗi x T ta có x x x xT V T T T L  , trong đó xL là lá chứa x . 2.1.2 Các ví dụ Ví dụ 1. Xét hàm số 2 21: ( 1,1) , 1x xf x e     , [ 1,1]V    và họ  { , ( ) , ( 1,1)} { , }F L x f x x L L          , với {( 1, ), }L y y    . Ta sẽ kiểm tra ( , )V F là phân lá 1 chiều. Thật vậy, xét phân bố 1 chiều trên V (vẫn ký hiệu là F ) như sau: Với 0 0( , )x y V , ta định nghĩa trường véctơ: 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 02 0 0 ( 1, ), 1, 2( , ) ( , ) . . ( , ) , ( 1,1), (1 ) (1, ), 1. x x y x y xF x y x y e x y x x yx y x y                  neáu neáu neáu F là một trường véctơ trơn một chiều trên V , do đó tính khả tích của nó là tầm thường. Hơn nữa, các đường cong tích phân thông thường của trường véctơ này chính là họ F được xác định như trên. Cần chú ý rằng đa tạp V có biên là hợp của các đường cong tích phân, đây là một đặc điểm quan trọng của các đa tạp phân lá có biên. Như vậy F xác định một phân bố trơn một chiều trên V , và theo định nghĩa ta có ( , )V F là một phân lá 1 chiều, đối chiều 1 (Hình 2.1). 1 k 1 k 1x   1x  0 1 0 1 Hình 2.1 Hình 2.2 Hình 2.3 Ví dụ 2 (Phân lá Kronecker). Xét {( , ) : [0,1], [0,1]}M x y x y   , phân hoạch M thành ( )P M họ các đoạn thẳng song song có hệ số góc k (ta chỉ cần xét 0k  ). Đồng nhất các biên đối diện của M ta thu được xuyến 2 . Khi đó mỗi họ các đoạn thẳng của ( )P M “nối được” với nhau (tức điểm cuối của đoạn này đồng nhất với điểm đầu của đoạn kế tiếp) sẽ tạo thành một lá trên 2 . Tức ta thu được một phân lá trên 2 , phân bố khả tích 1 chiều xác định phân lá này là ảnh của trường véctơ song song (1, )X k qua phép đồng nhất trên. Nhận xét. Nếu k m n  , ( , ) 1m n  (Hình 2.2 ) thì mỗi lá của phân lá trên là hợp khép kín của m đoạn trong ( )P M . Vì qua mỗi lần đồng nhất sẽ “nhích” được một đoạn 1 k n m (để “nối” được khép kín thì ta cần phải nhích một khoảng nguyên), nên sau m vòng thì sự nối đuôi được lặp lại. Do đó trường hợp này mỗi lá đều đồng phôi với 1S (là một đường khép kín quấn quanh 2 m vòng). Nếu k  (Hình 2.3 ), thì quá trình nối đuôi sẽ diễn ra vô hạn không lặp lại (vì với mọi số nguyên n , thì n k  ). Do đó mỗi lá đều đồng phôi với  (quấn quanh 2 một cách vô hạn) và trù mật trong 2 . 2.1.3 Kiểu tôpô phân lá Cho ( , )i iV F là các phân lá ik chiều trên các đa tạp in chiều iV ( 1,2)i  . Hai phân lá 1 1 2 2( , ), ( , )V F V F được gọi là cùng kiểu tôpô phân lá nếu tồn tại phép đồng phôi 1 2f :V V biến mỗi lá 1L F thành lá 2( ) .f L F Nhận xét. Vì phép đồng phôi bảo toàn số chiều của đa tạp, nên hai phân lá cùng kiểu tôpô thì chúng cùng chiều và đối chiều. Ta có, quan hệ cùng kiểu tôpô là quan hệ tương đương và trong nghiên cứu tôpô phân lá, hai phân lá cùng kiểu tôpô được xem là một (tức là xét không gian các lớp tôpô phân lá với quan hệ tương đương trên). Ví dụ. Tất cả các phân lá Kronecker ứng với k  đều cùng kiểu tôpô với nhau, và cùng kiểu với phân lá   11 { } SS   của 2 . 2.1.4 Không gian lá Định nghĩa. Cho ( , )V F là một phân lá, không gian V F nhận được từ V sau khi dán mỗi lá thành một điểm (tức là không gian thương của V._. trên quan hệ tương đương thuộc cùng một lá) được gọi là không gian lá của phân lá đã cho. Rõ ràng, hai phân lá cùng kiểu tôpô thì các không gian lá của chúng đồng phôi với nhau. Ví dụ. Ta xét ví dụ 1, rõ ràng về mặt tập hợp { } { }V F      . Gọi p :V V F là phép chiếu tự nhiên, khi đó tập G V F là tập mở khi và chỉ khi 1( )p G mở trong V . Trường hợp 1. { } { }G V F        . Tức là  xem như là không gian con của V F với tôpô cảm sinh (trùng với tôpô thông thường trên  ). Khi đó, G mở với tôpô thương trong V F khi và chỉ khi G mở thông thường trên  . Trường hợp 2. { } ,G A V F A      . (G mở trong V F )  ( 1 1( ) ( )p G p A L    mở trong V)  ( 1( )p A L  là lân cận mở của L trong V )  ( 1( )p A chứa trọn vẹn một đường thẳng nào đó song song với L trong V ) { }A G       . Trường hợp 3. { }G A   hoặc { } { },G A A       , lập luận tương tự trường hợp 2 ta cũng có A .  Kết luận. V F { } { }     với tôpô gồm các tập G mở như sau: G mở thông thường trong  , { }, { }, .G G G V F        Nhận xét. Không gian lá V F không Hausdorff vì { } và các điểm thuộc  là không tách được. Ta xét phân lá Kronecker trên 2 . Khi k  , nó cùng kiểu phân lá với phân lá   11 { } SS   , nên không gian lá của nó là 1S với tôpô thông thường trên 1S (tức tôpô cảm sinh từ tôpô thông thường trên  ). Còn khi k  , thì không gian lá về mặt tập hợp là một tập vô hạn điểm rời rạc, còn tôpô chỉ là tôpô thô. 2.1.5 Hai kiểu phân lá điển hình Phân lá cho bởi phân thớ. Xét phân thớ p :V B , ta bảo phân thớ này khả vi lớp (0 )rC r   , nếu V và B là hai đa tạp khả vi lớp rC và p là ánh xạ khả vi lớp rC , ta có kết quả: Mỗi phân thớ khả vi p :V B đều xác định một phân lá trên V mà mỗi lá là và chỉ là một thớ. Không gian lá trong trường hợp này chính là không gian đáy B (có tôpô tốt). Cho ( , )V F là một phân lá, phân lá ( , )V F được gọi là cho bởi phân thớ nếu tồn tại một phân thớ khả vi p :V B sao cho mỗi lá là và chỉ là một thớ của phân thớ này. Theo trên ta có V F B. Phân lá cho bởi tác động của nhóm Lie. Cho ( , )V F là một phân lá, và H là một nhóm Lie. Nếu H tác động liên tục lên đa tạp phân lá V sao cho mỗi lá là và chỉ là một H  quĩ đạo, thì phân lá ( , )V F được gọi là cho bởi tác động của nhóm Lie H . Khi đó, không gian lá V F chính là không gian V H các H  quĩ đạo. 2.1.6 Phân lá đo được (xem [1, tr.44 45]) Xét phân lá ( , )V F và T là một đa tạp con hoành của phân lá ( , )V F . Khi đó ta có thể chọn một bản đồ phân lá ( , )U  quanh mỗi p T sao cho các tấm trong U tương ứng 1 1 với các điểm của T U , tức là mỗi tấm trong U cắt T tại một và chỉ một điểm. Một tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu với mỗi lá L của phân lá thì tập B L đếm được. Chú ý rằng mỗi tập hoành Borel đều là hợp đếm được của các tập hoành Borel B kiểu sau: Tồn tại đơn ánh : B T  từ B vào một đa tạp con hoành T nào đó sao cho ( )x thuộc lá chứa x với mỗi x B . Định nghĩa. Một độ đo hoành  đối với phân lá ( , )V F là một ánh xạ   cộng tính ( )B B từ họ các tập con hoành Borel của V đến [0, ] thỏa các tiên đề sau: 1( ) Nếu 1 2: B B  là song ánh Borel và ( )x thuộc lá chứa 1( )x x B  thì 1 2( ) ( )B B   (tính đẳng biến Borel). 2( ) ( )K   nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành. Phân lá ( , )V F cùng với một độ đo hoành được gọi là phân lá đo được. 2.1.7 Holonomy lá (xem [11, tr.22 27]) Holonomy lá là một bất biến cơ bản mô phỏng tính phức tạp toàn cục của một phân lá. Xét L là một lá của phân lá ( , )V F và , 'T T là hai tập con hoành lần lượt đi qua hai điểm 0 0x ,x ' của lá L . Mục tiêu của ta là xây dựng một ánh xạ địa phương từ T đến T ' bảo toàn tính thuộc lá của mỗi điểm. Khó khăn của ta ở đây là các lá gần L qua x T có thể không cắt T ' hoặc cắt T ' nhiều hơn một điểm. Trước tiên ta xét trường hợp phân lá đơn cho bởi phép ngập p :V B (tức x xF kerp , x V   ), vì 0 0 0( ) ( ')p x p x y B   . Nên p sẽ cảm sinh các etale ánh xạ (tức là ánh xạ có ánh xạ tiếp xúc đơn ánh tại mọi điểm) từ các đa tạp hoành đến B . Do đó, tồn tại các lân cận mở v,v' theo thứ tự của 0 0x ,x ' trong T ,T ' sao cho : ( ), : ' ( ')p v p v p v p v  là các vi phôi. Khi đó, bằng cách thu hẹp v,v' sao cho ( ) ( ')p v p v , ta thu được một vi phôi : v v'  bảo toàn tính thuộc lá của mỗi điểm, và  được gọi là trượt dọc các lá. Bây giờ với một phân lá tổng quát ta sẽ xây dựng một xích các tập mở đơn từ 0x đến 0x ' . Để làm điều đó trước tiên ta chọn một đường liên tục :[0,1] L  , 0(0) x  , 0(1) 'x  . Lấy 0 1 20 1kt t t ... t      là một phân hoạch của [0,1] sao cho: Với mỗi ( 1, )i i k thì 1([ , ])i it t  chứa trong một tập con mở đơn iU của V (điều này có được do tính compact của ([0,1]) và phủ ( ) [0,1]{ }t tU  các tập con mở đơn của nó). Khi đó ta có được một xích các tập mở đơn 1{ ,..., }kU U phủ  . Vì 1([ , ])i it t  liên thông nên nó nằm trong một tấm của iU . Với mỗi i , ta gọi iT là một tập con hoành của iU đi qua ( ) ( 1, 1)i ix t i k   , ta cũng viết 0 kT T ,T ' T  . Như trường hợp phân lá đơn ở trên ta xây dựng được các vi phôi i từ lân cận mở 1iv  của 1ix  trong ( 1, )iT i k . Nếu cần thiết ta có thể thu hẹp các iv , khi đó ta thu được vi phôi 1 1 0k k k... : v v       . Rõ ràng  không phụ thuộc vào 1 1kT ,...,T  , ta ký hiệu mầm của vi phôi này tại 0x là h . Nó là một vi phôi từ mầm của T tại 0x lên mầm của T ' tại 0x ' . Dễ thấy rằng h cũng không phụ thuộc vào xích mở đơn 1{ ,..., }kU U mà chỉ phụ thuộc vào  , chính xác hơn là chỉ phụ thuộc vào lớp đồng luân [ ] của  trong L , h được gọi là ánh xạ holonomy của L tại 0x . Đặc biệt khi 0 0x ' x , T ' T  thì h là một mầm tại 0x của một vi phôi địa phương của T bảo toàn 0x . Nếu 1 là một loop khác tại 0x trong L và nếu 1  là tích của hai loop thì 1 1 h h h      . Vì h chỉ phụ thuộc vào [ ] nên tương ứng [ ] h  xác định một đồng cấu nhóm 0 01 0: ( , ) ( )x xh L x Diff T  từ nhóm cơ bản của L tại 0x đến nhóm các mầm của các vi phôi địa phương của T bảo toàn 0x . Khi đó 0xh được gọi là biểu diễn holonomy của L tại 0x , và nhóm  0 1 0( , )xh L x được gọi là nhóm holonomy của lá L tại 0x . Ta để ý rằng nếu T ' là một tập hoành khác qua 0x thì trượt dọc các lá trong một lân cận mở đơn tùy ý của 0x , ta có sự đồng nhất chính tắc giữa mầm của T tại 0x với mầm của T ' tại 0x , do đó đồng nhất 0 ( )xDiff T với 0 ( ')xDiff T . Qua phép đồng nhất này thì nhóm holonomy của L tại 0x được định nghĩa không phụ thuộc vào T . Do đó nếu cần, thay vì tính toán trên các mầm của các đa tạp con hoành ta có thể xem 0 ([ ])xh h  như là một mầm của một vi phôi địa phương của một đa tạp thương địa phương tại 0x . Ví dụ. Xét phân lá Kronecker. Trường hợp k  thì 2( , )F cùng kiểu tôpô với phân lá đơn   11 { } SS   , mà với mọi phân lá đơn thì trượt dọc các lá theo một đường bất kì đều xác định một ánh xạ đồng nhất trên mầm của một đa tạp con hoành, do đó nhóm holonomy của nó là nhóm tầm thường. Trường hợp k  thì mọi lá đều đồng phôi với  (đơn liên, có 1 0( , )L x tầm thường), nên nhóm holonomy của nó tầm thường. Vậy cả hai trường hợp, phân lá Kronecker đều có nhóm holonomy tầm thường. Một phân lá có nhóm holonomy tầm thường ta còn gọi là phân lá không có holonomy. 2.2   đại số liên kết với phân lá Đây là một đóng góp đặc sắc của Alain Connes đối với sự phát triển của lý thuyết phân lá. Trong phần này chúng tôi nêu lại các bước xây dựng   đại số liên kết với phân lá cùng các tính chất của nó, và đặc biệt quan tâm đến trường hợp phân lá cho bởi phân thớ cũng như phân lá cho bởi tác động của nhóm Lie. Độc giả muốn tìm hiểu đầy đủ hơn nội dung này có thể tham khảo trong [3]. 2.2.1 Đồ thị của phân lá (xem [1, tr.58]) Cho ( , )V F là một đa tạp phân lá, ta sẽ xây dựng một đa tạp G , có số chiều dimG dimV dim F  gọi là đồ thị của phân lá ( , )V F . Một phần tử  của G được cho bởi hai điểm ( ), ( )x s y r   trong V và một lớp tương đương của các đường trơn ( ), [0,1], (0) , (1)t t x y     tiếp xúc với phân lá F (tức là ( )'( ) , [0,1]tt F t    , điều này suy ra x, y thuộc cùng một lá) bởi quan hệ tương đương sau: 1 tương đương với 2 nếu holonomy của đường 12 1   tại x là phép đồng nhất. Với cách xây dựng trên thì G là một đa tạp n k chiều. Trong G có phép nhân tự nhiên, với , ' G   thì '  có nghĩa khi ( ) ( ')s r  . Với phép toán này thì G là một phỏng nhóm, do đó G còn được gọi là phỏng nhóm holonomy của phân lá ( , )V F . Nếu lá L chứa ,x y không có holonomy thì lớp trong G chỉ phụ thuộc vào x và y . Nếu cố định x L thì ánh xạ từ { : ( ) }xG G s x    vào L xác định bởi ( )G y r   được gọi là phủ holonomy của lá L tại x . Ta thấy các ánh xạ ,r s từ G vào V là các phép ngập, và ánh xạ ( , )r s là một phép dìm có ảnh là tập 0{( , ) : , }x y V V x y L V F    , thường là tập kì dị. Nói về tính Hausdorff của G ta có định lí sau đây. Định lí (xem [6, tr.9]). Đồ thị G là Hausdorff nếu và chỉ nếu với mọi cặp ( , )x y thuộc cùng lá ta có: Các ánh xạ holonomy dọc hai đường bất kì 1 2,  từ x đến y đối với cùng các tập hoành là trùng nhau nếu nó đồng nhất trên một tập con mở của miền xác định có bao đóng chứa x . 2.2.2 Không gian các nửa mật độ Cho ( , )V F là phân lá k chiều định hướng được, mỗi x V ta định nghĩa: 1 21 2 : { : : ( ) ( ), , }k kx x xF v v v F                Trong đó k xF là không gian véctơ thực một chiều các k  dạng tuyến tính đan trên xF (tức là với một bản đồ địa phương của L tại x thì k xF có cơ sở là 1 2{ ... }kdx dx dx   ). Ta thấy ngay 1 2x cũng là một không gian véctơ phức một chiều. Ta gọi 1 2( )x x V  là phân thớ các nửa mật độ trên V . Nếu G  , ( )s x  , ( )r y  và đặt 1 2 1 2 1 2x y    , thì 1 2 là không gian véctơ phức một chiều. Bây giờ ta xây dựng không gian các nửa mật độ cho trường hợp G Hausdorff. Ta đặt: 1 2 1 2( , ) : { : ( ) }cC G f G f        , là không gian các hàm trơn có giá compact. Vì V định hướng nên ( )k x x VF  là phân thớ tầm thường trên V , nên 1 2( )x x V  cũng là một phân thớ tầm thường. Ta chọn một tầm thường v , tức là đã cố định một cơ sở cho mỗi 1 2x , do đó cũng cố định cơ sở cho mỗi 1 2 , G   . Do vậy ta có thể đồng nhất hàm ( )cf C G với 1 2.( ) ( , )cf v s v r C G    theo cách sau: Với G  ,    .( ) ( ) ( ). ( ) ( )f v s v r f v s v r         , Trong đó  ( ) ( )v s v r   là một cơ sở cố định qua v của 1 2 , nên khi đó   1 2( ). ( ) ( )f v s v r       . Trường hợp G không Hausdorff. Ta dùng cấu trúc đa tạp của G để định nghĩa 1 2( , )cC G  như sau: Với mỗi bản đồ địa phương ( , )U h của đa tạp G ta xét các hàm thực ( )n kcC    , ( )supp h U  , ta có ( )ch C U  . Vì U Hausdorff nên có thể đồng nhất ( )ch C U  với 1 2( , )cC U  như trong trường hợp trên. Do đó, nếu ta định nghĩa ( )cC G là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các h  như thế, thì ta hoàn toàn có thể đồng nhất ( )cC G với 1 2( , )cC G  là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các 1 2( , )cf C U  . Vậy cả hai trường hợp của G ta đã định nghĩa được 1 2( , )cC G  , nó là một không gian véctơ và được gọi là không gian các nửa mật độ trơn trên G. 2.2.3 Xây dựng   đại số ( , )C V F (xem [3, tr.15-21]) Trên không gian véctơ 1 2( , )cC G  ta định nghĩa tích chập và phép đối hợp như sau: Với 1 2, ( , )cf g C G  ta định nghĩa: 1 2 1 2( ) ( ). ( )f g f g        và * 1( ) ( )f f   . Với hai phép toán này thì 1 2( , )cC G  là một đại số. Mỗi , { , ( ) }xx V G G s x     là phủ holonomy của lá chứa x , thì có một biểu diễn tự nhiên x của 1 2( , )cC G  trên 2 1 2( , )xL G  (không gian các nửa mật độ trên xG bình phương khả tích) như sau:   1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ). ( ), ( , )x xf f L G            Với định nghĩa này ( )x f là một toán tử trơn, bị chặn trên 2 1 2( , )xL G  . Ta xác định một chuẩn trên 1 2( , )cC G  bởi sup ( )x V xf f , khi đó 1 2( , )cC G  trở thành một không gian định chuẩn. Đến đây ta định nghĩa ( , )C V F là   đại số bổ sung đầy đủ của 1 2( , )cC G  vởi chuẩn trên. Một số tính chất của ( , )C V F : (xem [1, tr.61 63]) (i) ( , ) ( , )C V F k C V F   nếu 0dim F  (ta luôn ký hiệu k là   đại số các toán tử compact trên một không gian Hilbert vô hạn chiều tách được), tức là ( , )C V F có tính ổn định. (ii) Các phân lá cùng kiểu tôpô phân lá cho ta các   đại số đẳng cấu. (iii) Nếu phân lá ( , )V F được cho bởi phân thớ (phép ngập) p :V B , thì ( , )V F không có holonomy và đồ thị {( , ) : ( ) ( )}G x y V V p x p y    là đa tạp con của V V , khi đó 0( , ) ( )C V F C B k   . (iv) Nếu ( , )V F được cho bởi tác động  của nhóm Lie compact địa phương H sao cho đồ thị G V H  , thì ˆ0( , ) ( )C V F C V H   . 2.2.4 Phức   đại số ứng với tập con mở bảo hòa (xem [6, tr.21 22]) Xét V ' là tập con mở bảo hòa đối với phân lá ( , )V F , thì ta có ( ', )C V F là một ideal của ( , )C V F . Hơn nữa đồ thị G' của ( ', )C V F là một tập con mở trong G , khi đó \ 'G G đóng trong G . Nói chung \ 'G G không phải là đồ thị của phân lá ( \ ', )V V F . Tuy nhiên ta vẫn có thể xác định biểu diễn ( \ ')x x V V  của đại số 1 2( \ ', )cC G G  trong 2 1 2( , )xL G  . Bổ sung theo chuẩn tương tự như trong xây dựng ( , )C V F , ta thu được một   đại số, và vẫn ký hiệu là ( \ ', )C V V F . Phép lồng i : G \ G' G cho ta một đồng cấu 1 2 1 2' : ( , ) ( \ ', )c cC G C G G    bằng cách thu hẹp. Vì chuẩn được định nghĩa theo lá nên ' mở rộng được thành đồng cấu : ( , ) ( \ ', )C V F C V V F   . Rõ ràng ( ', )C V F ker  , và vì mỗi phần tử bất kì của 1 2( \ ', )cC G G  đều mở rộng được thành một hàm của 1 2( , )cC G  nên  là toàn cấu. Nên ta có dãy nửa khớp 0 ( ', ) ( , ) ( \ ', ) 0C V F C V F C V V F      . Bổ đề. Khi ( , )V F được cho bởi nhóm Lie trung bình hóa (các nhóm Lie n là trung bình hóa) H , sao cho G\ G' V \V ' H  thì dãy nửa khớp trên là khớp. 2.3 K lý thuyết của phân lá Ta đã biết K  lý thuyết hình học và K  lý thuyết đại số có liên hệ chặt chẽ với nhau bởi  0( ) ( )i iK X K C X . Như đã đề cập trong phần mở đầu, đối với không gian lá V F thì K  lý thuyết hình học của nó không phản ánh được thông tin cần thiết về phân lá. Nội dung của phần này là khắc phục nhược điểm trên bằng cách đưa thành quả của Connes vào K  lý thuyết tức là ta thay 0 ( )C V F bởi ( , )C V F mà K  lý thuyết của nó vẫn cho ta thông tin đủ tốt về phân lá. Như vậy K  lý thuyết của phân lá chính là việc dùng phương pháp K  hàm tử để mô tả   đại số liên kết của một phân lá. (i) Trong trường hợp phân lá đơn giản (như các thành phần Reeb) ta tìm cách nhúng ( , )C V F một cách chính tắc vào một mở rộng dạng: 0 ( , ) 0iJ C V F B    (2.1) Trong đó J là một ideal của ( , )C V F , ( , ) /B C V F J và ,J B đã biết và có dạng 0( )C X k . Dãy khớp trên sinh ra dãy khớp 6 thành phần K  lý thuyết:     0 1 1 1 1 0 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) i i K J K C V F K B K B K C V F K J                 Việc xác định cặp đồng cấu nối 0 1( , )  cho ta thông tin của ( , )C V F . Mặt khác, dãy khớp trên cũng xác định một phần tử ( , )IndexC V F của KK nhóm ( , )Ext B J . Khi ( )iK B là các nhóm aben tự do, theo định lí Rosenberg về hệ tử phổ dụng ta có đẳng cấu:    0 1 1 0 0 1 ( , ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( , ) ( , ) Ext B J Hom K B K J Hom K B K J IndexC V F       Khi đó cặp 0 1( , )  xác định kiểu ổn định của ( , )C V F (xem mục 3 chương 1). Hơn nữa, nếu mở rộng trên là hấp thụ, ta có ( , ) ( , )aExt B J Ext B J nhóm các lớp tương đương unita của các mở rộng hấp thụ. Do đó, 0 1( , )  xác định duy nhất [ ] ( , )aExt B J  , nên nó cũng xác định duy nhất mở rộng (2.1) (tương ứng 1 1 với  ) sai khác một tương đương unita, tức là 0 1( , )  xác định ( , )C V F một cách duy nhất. (ii) Còn đối với phân lá phức tạp hơn (như phân lá kim cương thực) ta không thể nhúng ( , )C V F vào một mở rộng dạng (2.1) . Khi đó ta tìm cách nhúng ( , )C V F một cách chính tắc vào các mở rộng lặp dạng: 1 1 2 1 2 1 0 ( , ) 0 0 0 ... 0 0h h h J C V F B J B B J B B               (2.2) Trong đó các   đại số ( 1, )iJ i h và hB có dạng 0( )C X k và h là một số tự nhiên hữu hạn nào đó. Bấy giờ tất cả các phần tử 1 2, ,..., h   theo thứ tự trong các KK nhóm ( , ) ( 1, )i iExt B J i h lần lượt tương ứng với các mở rộng trong (2.2) mới đủ xác định kiểu ổn định của ( , )C V F như là một phần tử của 1 ( , )hi i iExt B J . (iii) Xét phân lá ( , )V F thu được bằng cách dán các biên chung của hai phân lá thành phần 1 1 2 2( , ), ( , )V F V F . Nếu ( , )V F được cho bởi tác động của nhóm Lie trung bình hóa 1H sao cho 1 1( , )V F có đồ thị 1 1 1G V H  và 2 2( , )V F có đồ thị 2 2 2G V H  , trong đó 2 1H H / N là một nhóm thương của 1H . Khi đó ta nhận được 1 2( , )cC G  là tích thớ: 1 2 1 2 '1 2 1 2 1 ' ' '1 2 1 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) p c c p c c C G C G C G C L H                Với L là biên chung của 1 2V ,V , các ánh xạ 1 2 2p ', p ', ' là các ánh xạ thu hẹp, còn ánh xạ 1' là hợp thành của ánh xạ thu hẹp lên 1L H và ánh xạ 1 2 1 2 1 2: ( , ) ( , )c cC L H C L H      , với ( , ) ( , )r Nf f r     . Tích thớ trên mở rộng thành một tích thớ các   đại số, tức là ta thu được ( , )C V F như là tích thớ của 1( , )C V F và 2 2( , )C V F : 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) p p C V F C V F A A C V F C L H             Sơ đồ kéo lại này sinh ra dãy khớp MayerVietoris:         1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 0 2 0 1 0 2 0 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) p p p p K C V F K A K A K C L H K C L H K A K A K C V F                           Việc tính các đồng cấu 1 2   cho ta thông tin về cấu trúc của ( , )C V F . Chương 3 KLÝ THUYẾT CỦA PHÂN LÁ CHO BỞI THÀNH PHẦN REEB TRÊN 2 VÀ CỦA PHÂN LÁ KIM CƯƠNG THỰC Trong chương này chúng tôi trình bày mô tả   đại số của một số phân lá đơn giản. Với gốc độ lần đầu tiên tìm hiểu vấn đề này, chúng tôi xem đây là những ví dụ tham khảo tốt và hy vọng có thể áp dụng vào tính toán cho một vài phân lá khác hơn. 3.1 Phân loại các phân lá trơn trên 2 (xem [6, tr.24 25]) Xuyến 2 là đa tạp định hướng compact hai chiều duy nhất có các phân lá một chiều không tầm thường. Sai khác một tương đương tôpô ta có sự phân loại các phân lá trơn trên 2 như sau: (i) Nếu phân lá không có lá đóng, thì nó tương đương với phân lá Kronecker với hệ số góc vô tỉ.   đại số liên kết với phân lá Kronecker trên 2 là tích xiên 2( )C   , nó tương đương Morita với đại số các phép quay vô tỉ 1( )C S  . K  lý thuyết của phân lá này đã được Pimsner and Voiculescu tính xong. (ii) Nếu phân lá có chứa lá đóng, ta có thể cắt 2 dọc theo lá này và thu được một trụ phân lá. Nếu trụ phân lá không có lá đóng trong miền trong, thì nó sẽ tương đương với một trong các phân lá sau (kết quả này nhận được từ kết quả của định lí Poincare – Bendixon). 0x  1x  0x  1x  Hình 3.1 Hình 3.2 Phân lá của Hình 3.1 được gọi là thành phần Reeb đảo hướng, phân lá của Hình 3.2 được gọi là thành phần Reeb bảo toàn hướng. Cần để ý rằng các phân lá trên 1[0,1] S này cũng có thể nhận được bằng cách chiếu lên 1[0,1] S từ một phân lá của [0,1] (phân lá bất biến tịnh tiến) được cho bởi các đường thẳng 0 1x , x  và các đồ thị của các hàm số { ( ) , (0,1)}cy f x c x     , với hàm : (0,1)f   thỏa mãn điều kiện 0,1 lim ( ) x f x   . Việc tìm hiểu các thành phần Reeb cơ sở là hết sức cần thiết cho việc tính K  lý thuyết cho các phân lá trên 2 có chứa lá đóng. Từ nay ta sẽ gọi phân lá có chứa lá đóng không tầm thường trên 2 là phân lá cho bởi các thành phần Reeb. Ta cũng cần chú ý rằng một phân lá của 2 có thể chứa vô hạn các thành phần Reeb bảo toàn hướng và các lá compact ổn định. Nhưng do tính compact của 2 , nên phân lá trên 2 chỉ có thể chứa hữu hạn các thành phần Reeb đảo hướng. Một phân lá trơn bất kì trên 2 mà không chứa thành phần Reeb đảo hướng đều có thể nhận được bằng cách xây dựng mà ta sẽ trình bày trong phần tiếp theo. Do vậy, mọi phân lá trơn của 2 đều nhận được bằng cách chèn dọc các lá compact của các phân lá nhận được bằng cách xây dựng như thế một số hữu hạn các thành phần Reeb đảo hướng. Một phân lá của 2 được định hướng hoành và vì vậy nó được xác định bởi một dòng (flow) nếu và chỉ nếu nó chứa một số chẵn các thành phần Reeb đảo hướng. Cách xây dựng. Cho 1 1: S S  là một vi phôi bảo toàn hướng của đường tròn 1S . Ta có thể xem 2 như là thương 2 1S /   , ở đó  được sinh bởi vi phôi  ( , ) ( ), 1t t    . Phân lá   1{ } S  của 1S  chiếu lên 1S   thành một phân lá trên 2 . 3.2 K lý thuyết của các thành phần Reeb Thành phần Reeb là các trụ phân lá khá đơn giản, chúng có cấu trúc các lá và không gian lá dễ hình dung. Ở đây chủ yếu chúng tôi trình bày các kết quả đã có trong [6] theo một bố cục đơn giãn và có phần chi tiết hơn. Nội dung của phần này đóng vai trò then chốt để tính K  lý thuyết cho các phân lá trơn trên 2 . 3.2.1   đại số của các thành phần Reeb Trước tiên ta nhận xét rằng các thành phần Reeb là các phân lá cho bởi tác động của nhóm Lie  trên 1[0,1] S . Các lá trong của phân lá này đồng phôi với  đơn liên nên có holonomy tầm thường, nên phủ holonomy của các lá trong đều là  . Còn các lá biên 1S có 1 1( , )S    , nên nhóm holonomy của các lá biên cũng là  , nên phủ holonomy của lá biên 1S là 1S    . Vậy tất cả các lá của thành phần Reeb đều có phủ holonomy là  , nên có đồ thị 1[0,1]G S   và 1 1([0,1] , ) ([0,1] ) ( 1,2)iC S F C S i     . 3.2.2 Một số khái niệm Gọi 1 1: ([0,1] ) ( ), ( )( ) ( , ) ( 0,1)i iC S C S f f i i       là các đồng cấu thu hẹp trên các biên của trụ 1[0,1] S . Ta định nghĩa các tác động  của  lên 1( )C S như sau: 1 1( )( ) ( ), ( ), ,t f f t f C S t S            (tác động tịnh tiến miền xác định). Đối với thành phần Reeb đảo hướng 1 1([0,1] , )S F , ta chọn một tác động 1 của  trên 1([0,1] )C S sao cho 0 (tương ứng 1 ) đẳng biến với tác động  (tương ứng  ) của  trên 1( )C S . Khi đó ta có các ánh xạ đối ngẫu giữa các tích xiên 1 1 1ˆ : ([0,1] ) ( ) ( 0,1)i C S C S i       được xác định bởi hệ thức: 1 1ˆ( )( ) ( ( )), ( , ([0,1] )) ([0,1] ),         i i c c cf s f s f C C S C S s . Còn với thành phần Reeb bảo toàn hướng 1 2([0,1] , )S F , ta chọn một tác động 2 của  trên 1([0,1] )C S sao cho cả hai ánh xạ 0 và 1 đều đẳng biến với tác động  của  trên 1( )C S . Khi đó các ánh xạ đối ngẫu của i được cho bởi 2 1 1ˆ : ([0,1] ) ( ) ( 0,1)i C S C S i       . Tập 1(0,1) S là tập con mở bảo hòa của các thành phần Reeb 1([0,1] , )iS F , nên   đại số liên kết của nó 1((0,1) , )iC S F  là một ideal của 1([0,1] , )iC S F  . Trong phần tiếp theo ta sẽ dùng các ký hiệu và các đẳng cấu sau: 1 1( ) ( )B C S B C S       1 1 1 1 1 ([0,1] , ) ([0,1] ) (3.1)A C S F C S       2 1 2 1 2 ([0,1] , ) ([0,1] ) (3.2)A C S F C S       1 1 1 2 1 ((0,1) , ) ( ) ( ( )) (3.3)J C S F C S k L      1 2 1 2 2 ((0,1) , ) ( ) ( ( )) (3.4)J C S F C S k L      Hai đẳng cấu (3.3), (3.4) có được vì các phân lá 1((0,1) , )iS F được cho bởi các phép ngập trên đường hoành 1{1 2} S và mỗi lá của nó đều đồng phôi với  . Cấu trúc của hai thành phần Reeb tương tự như nhau, vì vậy ta sẽ làm việc chi tiết đối với thành phần Reeb đảo hướng và nêu kết quả tương tự đối với thành phần Reeb bảo toàn hướng. Phần bù của 1(0,1) S trong phân lá 1 1([0,1] , )S F là hai lá biên compact 1 1S S có đồ thị là 1 1( )S S  nên 1 1 1 1 1( , ) ( )C S S F C S S     , ở đây tác động của  lên 1 1( )C S S là thu hẹp của 1 . Đồng nhất 1 1( )C S S với 1 1( ) ( )C S C S ta có: 1 1 1 1 1( , ) ( ) ( )C S S F C S C S B B            Vì  là nhóm Lie trung bình hóa nên ta có dãy khớp: 0 1ˆ ˆ 1 10 0J A B B         Ta xét đẳng cấu  đẳng biến 1 1: ( ) ( ), ( )( ) ( )C S C S f f      , thì ta có đồng cấu đối ngẫu 1ˆ ˆ: , ( )( , ) ( , ), ( )cB B g t g t g C S         . Khi đó ta có dãy khớp: 0 1ˆˆ ˆ 1 10 0 (3.5)J A B B          Khi tính toán ideal 1J ta thường dùng dạng 111 0((0,1) )J C S    nhiều hơn dạng (3.3) , nên ta cần biểu diễn chi tiết các phần tử của 110((0,1) )C S   như là các loop của các toán tử compact tương ứng với đường hoành 1{1 2} S . Với mỗi điểm 1( , ) (0,1)x S   có duy nhất một tọa độ dòng 1( , )t S   sao cho 1( , ) (1 2, )tx    (khi t  thì 0x  , khi t  thì 1x  ). Khi đó ta nhận được một vi phôi 1 1: (0,1) , ( , , ) ( , , )S S x v t v           , nên ta có đẳng cấu 1 1((0,1) ) ( )c cC S C S       . Nói riêng, nếu 1, ((0,1) )cf g C S     được biểu diễn qua các tọa độ dòng 1( , , )t v S     , thì tích chập của chúng được cho bởi: ( , , ) ( , , ). ( , , )f g t v f t s g t s v s ds        Với  cố định, đây là tích chập trên 20( ) ( ) ( ( ))cC C k L       . Đại số nhân của 1 2( ) ( ( ))C S k L  là 1( , ( ))sC S   ,   đại số của các hàm  liên tục mạnh từ 1S vào 2( ( ))L  . Có một đồng cấu tự nhiên: 1 1 1: ([0,1] , ) ( , ( ))sC S F C S      Gọi 1 1 2(1 2, ) : ([0,1] , ) ( ( ))C S F L     là biểu diễn liên kết với điểm 1(1 2, ) [0,1] S   thì ta có thể định nghĩa  bởi 1(1 2, )( )( ) ( ),f f S     . Bổ đề. Công thức (1 2, )( )( ) ( )f f   xác định tốt một đồng cấu: 1 1 1 2: ([0,1] , ) ( ) ( ( ))C S F C S L      3.2.3 Các Knhóm của thành phần Reeb đảo hướng Vì 1[0,1] S đồng luân với 1S nên    1 10 0([0,1] ) ( )K C S K C S    , và dùng đẳng cấu ThomConnes    1 10 1 10 1: ([0,1] ) ([0,1] )K C S K C S      ta có ngay 1 1( )K A   . Tương tự ta có 0 1( )K A   . Ở đây ta đã dùng kết quả của (1.3) đó là:    10 0 0 0( ) ( ) ( ) {0}K C S K C K           11 1 0 1( ) ( ) ( ) {0}K C S K C K        Ta cũng có ngay    1 11( ) ( ) ( ) ( 0,1)i i iK B K C S K C S i      . Cuối cùng do tính ổn định của các K  nhóm, nên ta có:    1 2 11( ) ( ) ( ( )) ( ) ( 0,1)i i iK J K C S k L K C S i      Phần tử sinh của các K  nhóm. Xét 1 2( ), ( ) iv C S v e    là hàm đồng nhất 1S    với đường tròn đơn vị phức, và hàm hằng 11 ( )C S . Thì các lớp [1], [v] lần lượt là các phần tử sinh của  10 ( )K C S ,  11 ( )K C S . Do tính chất bất biến đồng luân của các K  nhóm nên các nhóm  10 ([0,1] )K C S ,  11 ([0,1] )K C S lần lượt có phần tử sinh là các lớp [1], [v ] trong đó 1( , ) ( ),1 ([0,1] )v x v C S    . Do đó, theo đẳng cấu ThomConnes thì 1 10 1([1]), ([ ])v    lần lượt là các phần tử sinh của 1 1( )K A và 0 1( )K A . Tiếp theo, ta lấy 1 1( ), ( , ) ( ). ( ), ,cp C S p v g g v S v          , ở đây ( )cg C   , (1 2 ,1 2 )supp g     với 0  và 2( ) 1g v dv  , trong đó 1S được nhúng vào  bởi  exp(2 ) [0,1)i       . Lấy 1( ( ) )u C S   sao cho 11 ( )cu C S    được cho bởi công thức ( , ) ( ).1( )v l v  , 1S  , v , ở đây 1 l  đồng luân với phần tử Bott 10 ( ) ( )b C C S  , ( ) ( ) ( )b i i     (với l là biến đổi Fourier của l ). Ta có bổ đề sau: Bổ đề (xem [6, tr.30]). (i) Hàm p như trên xác định một phép chiếu trong 1( )C S   và lớp của p là một phần tử sinh của nhóm  10 ( )K C S   . (ii) Phần tử u là khả nghịch và lớp của u là một phần tử sinh của nhóm  11 ( )K C S   . 3.2.4 Liên hệ giữa các phần tử sinh của các Knhóm Để xét dãy khớp K  lý thuyết của thành phần Reeb đảo hướng ta cần tìm mối liên hệ giữa các phần tử sinh 1 0([ ]), ([1]), [ ], [ ]v p u  và cũng cần xác định các phần tử sinh của các nhóm  1 2( ) ( ( ))iK C S k L  . Ta có các bổ đề sau: Bổ đề (xem [6, tr.30 31]). (i) Các phần tử sinh của 0 1( )K A và 0( )K B được liên hệ với nhau bởi hệ thức sau: 1 1 0ˆ ( ([ ])) ([ ]) [ ] (3.6)v v p      1 1 1ˆ ˆ( ) ( ([ ])) ( [ ]) [ ] (3.7)v v p       (ii) Và các phần tử sinh của 1 1( )K A và 1( )K B liên hệ với nhau bởi: 0 1 0ˆ ( ([1])) ([1]) [ ] (3.8)u     0 1 1ˆ ˆ( ) ( ([1])) ([1]) [ ] (3.9)u      Chứng minh. Ta sẽ dùng vết tự nhiên  trên 1( )C S xác định như sau:  1 1( ) ( ) ( )Sf f d f C S    Vết đối ngẫu ˆ trên 1( )C S   khi đó được xác định:  1 1ˆ( ) ( ,0) ( )cSf f d f C S       Khi đó theo định nghĩa của p ta có: 2ˆ( ) ( ,0) ( ). ( ) ( ) 1p p d g g d g d             Rõ ràng ˆ xác định một đẳng cấu  10ˆ : ( )K C S     , ˆ ([ ]) 1p  . Xét đẳng cấu ThomConnes    1 1 11 0: ( ) ( )K C S K C S     thì 1 ([ ])v là một phần tử sinh của  10 ( )K C S   và ta có 1ˆ ( ([ ])) 1v     . Đến đây dùng tính chất tự nhiên của đẳng cấu ThomConnes ta có các kết quả bổ đề trên. Bổ đề (xem [6, tr.31]). Phần tử sinh của nhóm  1 20 ( ._.