Không gian Lp và các áp dụng của định lý hội tụ đơn điệu và định lý hội tụ bị chận

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM W X ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC KHÔNG GIAN pL VÀ CÁC ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HỘI TỤ ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ BỊ CHẬN NGƯỜI THỰC HIỆN : NGUYỄN NHƯ LÂN ĐƠN VỊ : BỘ MÔN TOÁN – KHOA SƯ PHẠM LONG XUYÊN - 2004 1 LỜI NÓI ĐẦU Dựa vào tính chất hình học của không gian k¡ , người ta đã xây dựng lý thuyết tích phân Lebesgue cho không gian k¡ mà không dựa trên lý thuyết độ đo. Lý thuyết tích phân được xây dựng theo lối như vậy được trình bày ở tài liệu Lý Thuyết Tích Phân của Giáo Sư ĐẶNG ĐÌNH ÁNG. Trên cơ sở đó, đề tài này khảo sát các tính chất của các không gian . ( )pL Ω Đã có nhiều tài liệu trình bày về không gian ( )pL Ω nhưng hầu hết các tài liệu trình bày dựa trên lý thuyết độ đo. Ở đề tài này, trong chứng minh các tính chất của không gian ( )pL Ω ta chủ yếu dựa vào định lý hội tụ đơn điệu và định lý hội tụ bị chận mà không dựa trên lý thuyết độ đo, hai định lý biểu diễn Riesz cho không gian ( )pL Ω cũng được chứng minh không dựa trên lý thuyết độ đo. Đây là điểm khác biệt của đề tài này so với các tài liệu khác đã trình bày. Nội dung của đề tài gồm năm phần: Trong phần thứ nhất trình bày các kiến thức chuẩn bị. Phần thứ hai trình bày định nghĩa và các tính chất của không gian ( )pL Ω , ở đây ta chứng minh các bất đẳng thức , bất đẳng thức Minkowski và tính đầy đủ của không gian Holder& ( )pL Ω . Phần thứ ba trình bày về tính trù mật và tách được của không gian , ta chứng minh được tập các hàm bậc thang, tập các hàm bậc thang có giá compact chứa trong Ω và tập ( )pL Ω (cC ∞ )Ω trù mật trong ( )pL Ω , với 1 p . Phần thứ tư trình bày về các tập compact tương đối trong ≤ < ∞ ( )pL Ω , kết quả chính của phần này là định lý IV.1, định lý IV.2, hai định lý này chỉ ra điều kiện để tập con trong là compact tương đối. Phần cuối cùng ta trình bày về tính lồi đều và đối ngẫu của không gian (pL Ω) ( )pL Ω , các kết quả chính trong phần này là bất đẳng thức Clarkson, định lý biểu diễn Riesz cho , với , và định lý biểu diễn Riesz cho (pL Ω) 1 p< < ∞ ( )1L Ω . 2 KHÄNG GIAN LP VAÌ CAÏC ÆÏNG DUÛNG CUÍA ÂËNH LYÏ HÄÜI TUÛ ÂÅN ÂIÃÛU VAÌ HÄÜI TUÛ BË CHÁÛN I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Từ đây về sau ta quy ước Ω là một tập đo được trong n¡ . Ta quy ước là hai hàm đo được f và g là bằng nhau nếu f f h.h= . Bổ đề 1. i/ Nếu 1 p và < < ∞ ( )p p p 1′ = − , thì p p1 1ab a b a 0, b 0. p p ′≤ + ∀ ≥ ∀ ≥′ ( )1 ii/ Nếu 1 p và thì ≤ < ∞ a 0,b 0≥ ≥ , ( ) ( )p p 1 p pa b 2 a b−+ ≤ + . ( )2 Chứng minh. i/ Nếu hoặc a 0= b 0= , dễ thấy ( )1 đúng. Nếu , do hàm log lõm trên a 0,b 0> > ( )0,∞ , ta có p p p p1 1 1 1log a b loga log b logab p p p p ′ ′⎛ ⎞+ ≥ + =⎜ ⎟′ ′⎝ ⎠ . Vậy p p1 1ab a b a 0, b 0. p p ′≤ + ∀ ≥ ∀ ≥′ ii/ Nếu , dễ thấy a 0= ( )2 đúng. Nếu , a 0> ( )2 có thể được viết dưới dạng ( ) ( )p p 1 p1 x 2 1 x−+ ≤ + ở đây 0 x b a≤ = . Hàm ( ) ( ) ( )p pf x 1 x 1 x= + + thoả ( ) ( ) x f 0 1 limf x→∞= = và ( )f x 1> nếu 0 . Do đó x< < ∞ ( ) ( ) p 1f x f 1 2 x 0.−≤ = ∀ ≥  Bổ đề 2. Nếu 1 p và 2< ≤ 0 t 1≤ ≤ , thì ( )p p 1 p1 t 1 t 1 1 t 2 2 2 2 ′ ′ p 1−+ − ⎛ ⎞+ ≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠ , ( )3 ở đây ( )p p p 1′ = − là số liên hợp với p. 3 Chứng minh. Nếu p 2 or t 0 or t 1= = = , dễ thấy ( )3 đúng. Giả sử . Đặt 1 p 2, 0 t 1< < < < ( ) ( )t 1 s 1 s 0 s= − + < <1, thì 1 với , trở thành s 0> > 0 t 1< < ( )3 ( ) ( ) ( )p 1p p p1 1 s 1 s 1 s 02 −′⎡ ⎤+ + − − + ≥⎣ ⎦ . Nếu ta ký hiệu p 1 0 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ và ( )( ) ( )p p p 1 p 2 ... p k 1 k k! − − − +⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ , , k 1≥ ta có ( ) ( ) ( ) ( )p 1p p kp k 0 0 0 p p p1 1 11 s 1 s 1 s s s s k k k2 2 2 ∞ ∞ ∞− p k1′ ′−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤+ + − − + = + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ = 2k p k k 0 k 0 p p s s 2k k ∞ ∞ 1 ′ = = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ = ( )p 2k 12k 2p k k 0 p p 1 p 1 s s 2k 2k 1 2k ∞ ′ − ′ = s ⎧ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⎫⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∑ . Ta chứng minh mỗi số hạng của chuỗi là dương với 0 s 1< < . Số hạng thứ k có thể được viết dưới dạng ( )( )( ) ( ) ( ) 2k p p 1 2 p 3 p ... 2k 1 p s 2k ! − − − − − ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) p 2k 1 2kpp 1 2 p 3 p ... 2k 1 p p 1 2 p ... 2k ps s 2k 1 ! 2k ! ′ − ′− − − − − − − −− +− ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) p 2k 1 2k2k 2kp 2k2 p 3 p ... 2k p p p 1 2 p ... 2k p p 1 p 1s s 2k 1 ! 2k 2k p 2k p 2k ′ − − ′−s ⎡ ⎤− − − − − − − −= − +⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2k p p 1 2k p 1 2k2 p 3 p ... 2k p 1 s 1 ss 2k 1 ! 2k p p 1 2k p 1 − − −⎡ ⎤− − − − −= −⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ . Vì , nên p 2< ( )( ) ( )( ) 2k 2 p 3 p ... 2k p s 2k 1 ! − − − − 0> , vì ( ) ( ) ( )0 2k p p 1 2k p 1≤ − − ≤ − nên 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2k p p 1 2k p 11 s 1 s 2k p p 1 2k p 1 − − −− −−− − − 0> ( . ) ( )xf x 1 s x= − tăng với ). Từ đó ta có x 0> ( )3 .  (với , hàm 0 s 1< < Bổ đề 3. Giả sử Nếu 1 pz,w .∈£ 2< < , thì ( )p p 1 p pz w z w 1 1z w 2 2 2 2 ′ ′ −+ − ⎛+ ≤ +⎜⎝ ⎠ p 1 ,⎞⎟ ( )4 ở đây ( )p p p 1′ = − . Nếu 2 p≤ < ∞ , thì p p pz w z w 1 1z w 2 2 2 2 ′ ′+ −+ ≤ + p . ( )5 Chứng minh. Ta giả sử rằng z w≥ > 0 . Khi đó ( )4 có thể được viết lại là ( )p p 1 p 1i i p1 re 1 re 1 1 r , 2 2 2 2 ′ ′ −θ θ+ − ⎛ ⎞+ ≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )6 ở đây iw z re ,r 0,0 2θ= ≥ ≤ θ < π . Nếu 0θ = , ( )6 được chứng minh trong bổ đề 2. Ta chứng tỏ rằng với r cố định hàm ( ) p pi if 1 re 1 re , 0′ ′θ θθ = + + − ≤ θ < π2 có giá trị cực đại tại . Vì 0θ = ( ) ( ) ( )p 2 p 22 2f 1 r 2rcos 1 r 2r cos′ ′θ = + + θ + + − θ , ( ) ( ) ( )f 2 0 f 0 f 0π − = π − = , nên ta chỉ cần xét f trên [ ]0, 2π . Vì , ta có p 2′ ≥ ( ) [ ( )( ) ( )( ) ] [ ]p 2 1 p 2 12 2f p rsin 1 r 2rcos 1 r 2r cos 0 0,′ ′− −′ ′θ = − θ + + θ − + − θ ≤ ∀θ∈ π 2 Như vậy giá trị cực đại của f xảy ra tại 0θ = và do đó ( )6 được chứng minh. Nếu 2 , thì 1p≤ < ∞ p 2′< ≤ .Khi đó giao hoán p và trong p′ ( )4 , và áp dụng ( )2 , ta có ( )p p 1 p 1 p pz w z w 1 1z w 2 2 2 2 ′− ′ ′+ − ⎛ ⎞+ ≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠ p p p p1 1z w 2 2 ′ ′ ′⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) p p p p p pp p 1 1 12 z w 2 2 ′ ′ ′ − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ p p1 1z w 2 2 ′ ′= + . 5 Định lý I.1(Ascoli-Arzela). Giả sử Ω là một miền bị chận trong k¡ . Một tập con ( )K C⊂ Ω compact tương đối trong ( )C Ω nếu thoả: i/ Tồn tại hằng số M sao cho với mỗi Kφ∈ và ( )x , x M∈Ω φ ≤ . ii/ Với mỗi 0ε > tồn tại 0δ > sao cho nếu vàK,x, yφ∈ ∈Ω ( ) ( )x y thi x y− < δ φ − φ < ε Định lý I.2. Một tập A là compact tương đối trong không gian Banach X nếu và chỉ nếu với mỗi số dương ε tồn tại một tập con hữu hạn các phần tử của X với tính chất Nε ( ) y A y ε ε ∈Ν ⊂ ΒU . Một tập với tính chất này được gọi là Nε ε -net hữu hạn đối với A. Định lý I.3(Hội tụ đơn điệu). Cho ( )mf là một dãy tăng những hàm khả tích trên n¡ . Nếu dãy các tích phân bị chận trên, thì có một hàm khả tích nf : →¡ ¡ sao cho và mf f h.→ h ( ) ( )mmlim f x dx f x dx→∞ =∫ ∫ . Định lý I.4(Hội tụ bị chận). Cho ( )mf là một dãy tăng những hàm khả tích trên n¡ sao cho ( ) ( )mmlim f x f x h.h→∞ = . Nếu có một hàm khả tích g sao cho ( ) ( )mf x g x h.h≤ , thì f khả tích, ( ) ( )mmlim f x f x dx 0→∞ − =∫ và ( ) ( )mmlim f x dx f x dx→∞ =∫ ∫ . Định lý I.5(Fubini). Cho f là một hàm khả tích trên r s+¡ . Thì tích phân ( ) ( )g y f x, y dx= ∫ tồn tại với h.h các y, tích phân ( ) ( )g x f x, y dy= ∫ tồn tại với h.h. các x. Ngoài ra, g và h khả tích và ta có . ( ) ( ) ( ) r s s r r s f u du f x, y dx dy f x, y dy dx + ⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝∫ ∫ ∫ ∫ ∫¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ⎞⎟⎟⎠ Định lý I.6(Fubini-Tonelli). Cho r sf : × →¡ ¡ ¡ là một hàm đo được . Nếu 0≥ ( ) s r f x, y dxdy < ∞∫ ∫ ¡ ¡ hoặc ( ) r s f x, y dydx < ∞∫ ∫ ¡ ¡ thì f khả tích. 6 Định lý I.7. Cho T là một song ánh khả vi từ tập mở U vào tập mở W (trong n¡ ), ngoài ra T 1− liên tục. Khi đó nếu f khả tích trên W thì khả tích trên U và f To ( ) ( )( ) ( ) ( ) T W T U f y dy f T x Jac x dx=∫ ∫ . Định nghĩa. Cho f là hàm đo được trên n¡ . Đặt ( ){ }nA x : f x 0= ∈ ≠¡ . Khi đó bao đóng của A trong n¡ gọi là giá của f, ký hiệu là supp f. Định nghĩa. Cho tập mở nΩ⊂ ¡ , ta ký hiệu ( )C Ω là tập các hàm liên tục trên , Ω ( )mC Ω là tập hợp các hàm khả vi liên tục tới bậc m trên Ω , , ( ) ( )m m 1 C C ∞ ∞ = Ω = ΩI ( ) ( ){ }m mcC f C :supp fΩ = ∈ Ω ⊂⊂Ω , ( ) ( ){ }cC f C :supp f∞ ∞Ω = ∈ Ω ⊂⊂Ω . Định lý I.8. Cho hàm không âm ϕ thuộc vào ( )cC∞ Ω thoả ( )xϕ = 0 nếu x ≥1 , và n 1ϕ =∫ ¡ . Khi đó nếu , thì hàm 0ε > εϕ xác định bởi ( ) 1 xx −ε ⎛ ⎞ϕ = ε ϕ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ là không âm, thuộc vào ( )cC∞ Ω và thoả ( )xεϕ = 0 nếu x ≥ ε , và ( ) n x dx 1εϕ =∫ ¡ . Định nghĩa. Cho hai hàm f và g xác định trên n¡ . Khi đó hàm xác định bởi f g∗ ( ) ( ) ( ) n f g x f x y g y dy∗ = −∫ ¡ với giả thiết tích phân trên tồn tại, được gọi là tích chập của f và g. II. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN ( )PL Ω Định nghĩa. Cho f là hàm đo được trên Ω , nếu pf với khả tích trên Ω , ta định nghĩa 1 p≤ < ∞ 7 1 pp p f f Ω ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ . Tập hợp tất cả các hàm f thoả pf khả tích trên Ω ký hiệu là ( )P nL ¡ . Tập hợp tất cả các hàm f thoả pf khả tích trên mọi W mà W ⊂⊂Ω ký hiệu là ( )1LOCL Ω . Âënh lyï II.1. ( báút âàóng thæïc ) Nãúu laì hai säú liãn håüp vaì thç Holder& 1 < p , q < ∞ P qu L ( ) , v L ( ),∈ Ω ∈ Ω ( )1uv L∈ Ω vaì qp v.uuv ≤∫Ω . ( )7 Chæïng minh : Nãúu 0u p = hoàûc 0v q = , thç u(x).v(x) = 0 h.k.n. Vç thãú uv ∈ L1(Ω) vaì (1) âæåüc thoía. Nãúu p u 0> vaì q v > 0, thç theo báút âàóng thæïc Young p q p p q p q u(x) v(x) u(x) v(x)1 1. . . u v p qu ≤ + qv h.k.n trong Ω. Ta suy ra uv ∈ L1(Ω) vaì qp v.uv.u ≤∫Ω hay qp1 v.uuv ≤ . Âënh lyï II.2 (báút âàóng thæïc Minkowski). Nãúu 1 ≤ p < ∞ vaì u,v∈L (Ω), thç ( u + v ) ∈ L (Ω), vaì p p 8 ppp vuvu +≤+ . ( )8 Chæïng minh. Våi p = 1: Ta coï ⎪u(x) + v(x)⎪ ≤ ⎪u(x) ⎪ + ⎪v(x) ⎪ h.k.n trong Ω. Do âoï ( u + v ) ∈ L1(Ω) vaì ∫ ∫∫ Ω ΩΩ +≤+ vuvu , hay 111 vuvu +≤+ . Våïi 1 < p < ∞ : Ta coï ( ) ( )ppppp )x(v)x(u2)x(v)x(u)x(v)x(u +≤+≤+ h.k.n. Do âoï ( u + v ) ∈ L (Ω) . p Màût khaïc , ( )vuvuvu 1pp ++≤+ − ΩΩ ∫∫ ( )ppq 1 p vuvu +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +≤ ∫ Ω , åí âáy, q = p/(p−1). Ta suy ra pp q 11 p vuvu +≤⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − Ω ∫ , hay 9 ppp vuvu +≤+ . Hãû quaí II.3. p. laì chuáøn trong Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞. Váûy Lp(Ω) våïi 1≤ p < ∞ laì khäng gian âënh chuáøn. Định lý II.4. Với 0 p 1< < sao cho ( )p p p 1 0′ = − < . Giả sử ( )pf L∈ Ω và ( ) p0 g x dx′ Ω < <∫ .∞ Thì ( ) ( ) ( ) ( ) 1 p 1 p p p f x g x dx f x dx g x dx ′ ′ Ω Ω Ω ⎧ ⎫ ⎧ ⎫≥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩∫ ∫ ∫ ⎭ . ( )9 Chứng minh. Ta có thể giả sử ( )1fg L∈ Ω . Đặt 1g −φ = và pfgψ = . Khi đó ( )qLψ∈ Ω ở đây q 1 p 1= > , và vì p pq′ ′= − ở đây ( )q q q 1′ = − ta có ( )qL ′φ∈ Ω . Theo ( )7 ta có ( ) ( ) ( )p q qf x dx x x dx ′ Ω Ω = φ ψ ≤ ψ φ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) p 1 p f x g x dx g x dx p− ′ Ω Ω ⎧ ⎫ ⎧= ⎨ ⎬ ⎨⎩ ⎭ ⎩∫ ∫ ⎫⎬⎭ . Từ đó ta suy ra ( )9 . Định lý II.5. Giả sử 0 p 1< < . Nếu ( )pu,v L∈ Ω , thì p pp u v u v+ ≥ . ( )10 Chứng minh. Nếu u v 0= = trong ( )PL Ω , thì ( )10 là tầm thường. Ngược lại vế trái lớn hơn không. Áp dụng ( )9 ta có ( ) ( )( ) ( ) ( )( )p 1ppu v u x v x u x v x d− Ω + = + +∫ x 10 ( ) ( )( )( ) ( )1 pp 1 p p pu x v x dx u v′′− Ω ⎧ ⎫≥ + +⎨ ⎬⎩ ⎭∫ ( )p p p ppu v u v′= + + . Âënh nghéa. Táûp håüp táút caí caïc haìm bë cháûn h.k.n trãn Ω goüi laì L∞(Ω). Trãn L∞(Ω) ta âënh nghéa || f || ∞ = inf { λ : λ > | f(x) | h.k.n }. Mãûnh âãö II.6. (i) Nãúu u ∈ L∞(Ω) thç | u(x) | ≤ || u ||∞ h.k.n. (ii) Nãúu f ∈ L1(Ω) vaì g ∈ L∞(Ω) thç f . g ∈ L1(Ω) vaì || f . g ||1 ≤ || f ||1 . || g ||∞ . Chæïng minh. (i) Täön taûi daîy säú thæûc (λn) sao cho λn → ∞u vaì våïi mäùi n, n)x(u λ< , ∀x ∈ Ω \ En våïi 0En = . Âàût thç Υ∞ = = 1n nEE 0E = vaì våïi moüi n ∈ N, n)x(u λ< , ∀x ∈ Ω \ E . (ii) våïi f ∈ L1(Ω) vaì g ∈ L∞(Ω) , ta coï )x(fg)x(g)x(f ∞≤ h.k.n . Do âoï f g ∈ L1(Ω) vaì ∫∫ Ω ∞ Ω ≤ fggf ∞= g.f 1 . 11 Hãû quaí II.7. ∞. laì chuáøn trong L∞(Ω). Vậy L∞(Ω) laì khäng gian âënh chuáøn. Âënh lyï II.8. Giaí sæí | Ω | < ∞ vaì 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ . Khi âoï (i) Nãúu u ∈ Lq(Ω) , thç u ∈ Lp(Ω) vaì || u ||p ≤ | Ω | ) q 1() p 1( − .|| u ||q . ( )11 (ii) Nãúu u ∈ L∞(Ω), thç ∞∞→ = uulim pp . ( )12 (iii) Nãúu u ∈ Lp(Ω) våïi 1 ≤ p < ∞ vaì täön taûi mäüt hàòng säú K sao cho || u ||p ≤ K , ∀p ( )13 Thç u ∈ L∞(Ω), vaì | u ||∞ ≤ K . ( )14 Chæïng minh : (i) Nãúu 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ vaì u ∈ Lq(Ω), tæì báút âàóng thæïcHo , lder& q p1 q p qp 1uu − ΩΩΩ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛≤ ∫∫∫ . Tæì âoï ta suy ra || u ||p ≤ | Ω | q 1 p 1− . || u ||q . (ii) Nãúu u∈ L∞(Ω), tæì (11) ta coï ∞∞→ ≤ uusuplim pp . 12 Màût khaïc, våïi moüi ε > 0 täön taûi táûp âo âæåüc A ⊂ Ω våïi | A | > 0 sao cho | u(x) | ≥ || u ||∞ − ε nãúu x ∈ A. Do âoï pp A p )u(Auu ε−≥≥ ∞Ω ∫∫ . Suy ra || u ||p ≥ | A | p 1 ( || u ||∞ − ε ). Váûy ∞∞→ ≥ uuinflim pp . Ta suy ra ∞∞→ = uulim pp . (iii) Giaí sæí (13) xaíy ra våïi 1 ≤ p < ∞ . Nãúu u∉ L∞(Ω) hoàûc (14) khäng xaíy ra thç ta coï thãø tçm âæåüc mäüt hàòng säú K1 > K vaì táûp âo âæåüc A ⊂ Ω våïi | A | > 0 sao cho | u(x) | ≥ K1 ∀x ∈ A. Lyï luáûn tæång tæû nhæ åí (ii) ta coï 1pp Kuinflim ≥∞→ . Âiãöu naìy máu thuáùn våïi (13). Váûy u ∈ L∞(Ω), vaì || u ||∞ ≤ K . Hãû quaí II.9. Lp(Ω) ⊂ våïi 1 ≤ p ≤ ∞ vaì báút kç Ω ⊂ )(L1loc Ω k¡ . 13 Âënh lyï II.10. Våïi táûp con âo âæåüc Ω ⊂ k¡ , 1 ≤ p ≤ ∞. Khäng gian Lp(Ω) laì khäng gian Banach. Chæïng minh. Xeït træåìng håüp 1 ≤ p < ∞. Cho (f ) laì mäüt daîy Cauchy trong Ln p(Ω). Khi âoï coï mäüt daîy con , n)f( jn 1 < n2 < ... sao cho ,...)2,1j(2ff j pnn j1j =<− −+ . Âàût ∑∑ ∞ = − = − ++ == 1j nn m 1j nnm j1jj1j ffg,ffg . Khi âoï ppm gg ↑ . Ngoaìi ra, ∑∑ == <≤−≤ + m 1j j p m 1j nnpm 12 1ffg j1j . Váûy, theo âënh lyï häüi tuû âån âiãûu, | g | p khaí têch do âoï | g | < ∞ h.kn. Ta suy ra chuäùi ( )1 j 1n n n j 1 f (x) f (x) f (x) f (x)+ ∞ = = + −∑ j f häüi tuû tuyãût âäúi hkn. . ( )∑− = =−+ + 1m 1j nnnn mj1j1 ffff Ta suy ra h.k.n, vaì mn f → ggf mn m ≤≤ . Váûy, theo âënh lyï bë cháûn pnm fflim m −∞→ = 0 . Âãø chæïng minh fm → f trong Lp(Ω) ta læu yï ràòng nm ≥ m . Váûy ta coï pnpnmpm ffffff mm −+−≤− . 14 Do vãú phaíi tiãún vãö 0 khi m → ∞ , ta suy ra kãút quaí. Våïi p = ∞ : Nãúu {un} laì mäüt daîy Cauchy trong L∞(Ω), thç coï táûp khäng âaïng kãø A ⊂ Ω sao cho våïi x ∈ Ω\A, thç n,m,uu)x(u)x(u,u)x(u mnmnn ∀−≤−≤ ∞ . Vç daîy {|| un ||} bë cháûn trong ¡ nãn { }nu häüi tuû âãöu trãn Ω\A tåïi haìm bë cháûn u. Âàût u(x) = 0 våïi x ∈ A, ta coï u ∈ L∞(Ω) vaì || un − u ||∞ → 0 khi n→ ∞ . Váûy L∞(Ω) laì âáöy âuí. Hãû quaí II.11. Nãúu 1 ≤ p ≤ ∞, thç mäùi daîy Cauchy trong L∞(Ω) coï mäüt daîy con häüi tuû âiãøm h.k.n trãn Ω. III. TÊNH TRUÌ MÁÛT VAÌ TÊNH TAÏCH ÂÆÅÜC CUÍA ( )pL Ω . Âënh lyï III.1. Våïi moüi haìm khäng ám f ∈ Lp(Ω) , 1 ≤ p < ∞ thç coï daîy (φn) caïc haìm báûc thang sao cho φn → f trong Lp(Ω). Chæïng minh. Do f ∈ Lp(Ω) vaì f ≥ 0 nãn coï hai haìm u, v thuäüc låïp C1 vaì coï hai daîy haìm báûc thang (sn), (tn) sao cho (1Ω f)p = u − v vaì sn ↑ u, tn ↑ v . Âàût φn = [ max { sn − tn , 0 } ] p 1 thç (φn) laì daîy caïc haìm báûc thang thoía 15 φn(x) → [ max { u(x) − v(x) , 0 }] p 1 = [ max { (1Ωf )p(x), 0 }] p 1 = 1Ωf (x) h.k.n, | φn(x) |p = max { sn(x) − tn(x) , 0 } ≤ | sn(x) − tn(x) | ≤ | sn(x) | + | tn(x) | ≤ | u(x) | + | v(x) | h.k.n. Váûy theo âënh lyï häüi tuû bị cháûn 0flim pnn =−φ∫Ω∞→ . Ta suy ra 0flim pnn =−φ∞→ , hay φn → f trong L p(Ω). Hãû quaí III.2. Táûp caïc haìm báûc thang truì máût trong Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞ . Chæïng minh. Láúy f ∈ Lp(Ω), ta coï f = f+ − f− våïi f+ , f− ∈ Lp(Ω) vaì f+ ≥ 0 , f− ≥ 0. Våïi ε > 0 báút kyì, theo âënh lyï trãn coï caïc haìm báûc thang ψϕ vaì sao cho 2 fvaì, 2 f pp ε<ψ−ε<ϕ− −+ . Khi âoï s = laì haìm báûc thang vaì ψ−ϕ p p p p f s (f ) ( f ) f f . + − + − − = − ϕ + ψ − ≤ − ϕ + − ψ < ε  16 Âënh lyï III.3. Cho Ω laì táûp måí ⊂ k¡ . Khi âoï táûp håüp caïc haìm báûc thang coï giaï compact chæïa trong Ω laì truì máût trong Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞. Chæïng minh. Láúy f ∈ Lp(Ω) vaì ε > 0 . Täön taûi haìm báûc thang s sao cho 2 sf p ε<− . Âàût, våïi m = 1,2,... Ωm = { x ∈ Ω | d( x, Rk \Ω ) ≥ m 1 vaì | x | ≤ m } . Khi âoï Ωm ⊂ ⊂ Ω vaì s.1Ω laì haìm báûc thang , s.1 supp (s.1Ω) ⊂ ⊂ Ω. Màût khaïc, | s.1Ωm(x) | ≤ | s(x) Ω → s h.k.n trong Ω , vaì | h.k.n trong Ω. Váûy, theo âënh lyï häüi tuû bë cháûn 0s1.slim m −Ω pm =∞→ . Do âoï täön taûi m0 N sao cho ∈ m0 p s.1 s 2Ω ε− < . Ta suy ra ε<−+−≤ ΩΩ ppp 0m0m 1.sssf1.s . Giaí sæí f ∈ L1 k) vaì g ∈ −f Âënh lyï III.4. (R ( )p kL ¡ våïi 1 ≤ p < ∞. Khi âoï, våïi mäùi x∈ k¡ haìm α f(x − y) g(y) khaí têch trãn ksäú y ¡ vaì f ∗g ∈ ( )p kL ¡ Hån næîa . p 1 p g . f g f∗ ≤ 17 Chæïng minh. Våïi p = ∞ thç kãút quaí laì roî raìn y g. Våïi p = 1: Âàût F(x, ) = f(x − y) g(y). Våïi moüi y, ta coï k F(x, y)dx g(y) f (x y)dx g(y) f= − = < ∞∫ ¡ k 1 ∫ ¡ , vaì k dy∫ ¡ k F(x, y) dx∫ ¡ = 1 f 1 g < ∞. g âënh lyï nelli, háúy ràòng F AÏp duûn To ta t ∈ ( )1 k kL ס ¡ . Theo âënh lyï Fubini, k ∫ ¡ F(x, y) dy < ∞ h.k.n, vaì k dx∫ ¡ k F(x, y) dy∫ ¡ ≤ 1 f 1 g . Våïi 1 < p < ∞: Theo kãút quaí trãn, ta biãút α ràòng våïi mäùi x cäú âënh, haìm y ⎪f(x − y)⎪⎪g(y)⏐ laì khaí têch, nghéa laì ,y α ⎪f( x − y ) ⎪ p 1 .⎪g(x −y) ⎪ laì haìm thuäüc ( )p kL ¡ . àût k aïc, α ⎪f(x − y) ⎪M h y q 1 ∈ ( )q kL ¡ ( q la ú lì sä iãn håüp cuía p ), dæûa vaìo báút âàóng thæïc Holder, ta suy ra haìm y α ⎪f(x − y) ⎪.⎪g(y)⎪ = ⎪f(x − y) 1 ⎪ p.⎪g(y)⎪ ⎪f(x−y) ⎪ q laì khaí têch vaì 1 18 k k 1 p p p 1 f (x y) . g(y) dy f (x y . g(y) dy f ⎛ ⎞− ≤ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫¡ ¡ q , nghéa laì |(f * g) (x) | p ≤ (| f | * | g | p) (x) . || f || qp 1 . AÏp duûng kãút quaí våïi p = 1, ta coï f * g ∈ ( )p kL ¡ vaì || f * g || pp ≤ || f1 ||1 . || g || . || f ||pp qp1 . Do âoï || f * g ||p ≤ || f1 ||1 . || g || p . Âënh nghéa. Cho α ∈ k¡ , vaì g laì haìm âo âæåüc trãn k¡ . Ta âënh nghéa gα(x) = g (x − α) x ∈ k¡ . Hiãøn nhiãn nãúu g ∈ ( )p kL ¡ thç gα ∈ ( )p kL ¡ . Mãûnh âãö III.5. Nãúu g ∈ ( )p kL ¡ våïi 1 ≤ p < ∞ , thç gα → g trong ( )p kL ¡ khi α → 0 trong k¡ . Chæïng minh. Láúy g = 1P våïi P laì mäüt ä trong k¡ . Do 1P liãn tuûc taûi moüi âiãøm cuía k¡ \∂P, maì |∂P| = 0 nãn 1P liãn tuûc h.k.n trong k¡ . Váûy 1P(x−α) → 1P(x) khi α → 0 h.k.n trong k¡ . Màût khaïc, ⎢1P (x− α) ⎢ ≤ 1Q (x) h.k.n , våïi ä Q ⊃ P . Theo âënh lyï häüi tuû bë cháûn 01)1(lim pPP0 =−α→α . 19 Do âoï ( 1P)α → 1P trong ( )p kL ¡ khi α → 0 trong k¡ . Ta suy ra våïi s = ∑ , = λm 1k PK K1 thç sα → s trong ( )p kL ¡ khi α → 0 trong k¡ . Nãúu g ∈ ( )p kL ¡ vaì ε > 0, thç täön taûi haìm báûc thang s sao cho 3 gs p ε<− , vaì p 1 R p k dx)x(s)x(ggs ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ α−−α−=− ∫αα p 1 R p k dy)y(s)y(g ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= ∫ psg−= , ngoaìi ra, täön taûi α0 > 0 sao cho 0p khi3ss α<α ε<−α . Vậy 0pp p pg g g s s s s g khiα α α α− ≤ − + − + − < ε α < α Do âoï gα → g trong ( )p kL ¡ khi α → 0 trong k¡ . Âënh lyï III.6. Nãúu u ∈ ( )pL Ω , 1 ≤ p < ∞, thç ϕε∗u → u trong ( )pL Ω khi ε → 0. Chæïng minh. Ta coï k u(x) (x y)u(y)dyε εϕ ∗ = ϕ −∫ ¡ 20 k 1 x y( )u(y)− dy−= ε ϕ ε∫¡ k (z)u(x z)dz= ϕ − ε∫ ¡ . AÏp duûng báút âàóng thæïc Holder cho hai haìm f1 = q1ϕ vaì g1 = )x(u)zx(u.p1 −ε−ϕ , ( 1 q 1 p 1 =+ ), ta coï k k 1 q 1 p p* u(x) u(x) (z)dz (z) u(x z) u(x) dzε ⎛ ⎞ ⎛ϕ − ≤ ϕ ϕ − ε −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝∫ ∫¡ ¡ ⎞⎟⎟⎠ ⎟⎟ . Læu yï = 1, ta có k (z)dz ⎛ ⎞ϕ⎜⎜⎝ ⎠∫¡ k k k p p* u(x) u(x) dx (z) u(x z) u(x) dz dxε ⎛ ⎞ϕ − ≤ ϕ − ε −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫¡ ¡ ¡ k p z p (z). u u dzε= ϕ −∫ ¡ , ta coï 0uu pz →−ε khi ε → 0 , ∀ z ∈ k¡ , màût khaïc, ϕ(z) . || uεz − u || ≤ ϕ(z) . (|| upp εz ||p + || u ||p ) p = 2 p ϕ(z) || u || . pp Váûy theo âënh lyï häüi tuû bë cháûn, ta coï ∫ →ε→−ϕ ε kR p pz 0khi0dzuu)z( . 21 Tæì âoï ta suy ra ϕε* u → u trong Lp(Ω) khi ε → 0. Âënh lyï III.7. Cho táûp håüp måí Ω ⊂ k¡ vaì haìm u : k¡ → ¡ triãût tiãu trãn k \ Ω¡ . Khi âoï (i) Nãúu u ∈ )(L1loc Ω , thç ϕε*u∈C∞( k¡ ). (ii) Nãúu åí (i) ta giaí thiãút thãm supp u ⊂ Ω, thç ϕε*u∈ khi ε < d( supp u, )(Cc Ω∞ k \ Ω¡ ). Chæïng minh. (i) Giaí sæí xn → x. Ta coï ϕε*u(xn) = k n(x y)u(y)dyεϕ −∫ ¡ , âàût, våïi n = 1,2,... Fn(y) = ϕε(xn − y) u(y), thç Fn(y) → ϕε(x − y) u(y) h.k.n. Hån næîa, goüi K laì táûp con compact cuía Ωsao cho våïi moüi y ∈ Ω\K, Fn(y) = 0 , ∀n∈ N. Ta coï ⎪Fn(y) ⎪ = ⎪ ϕε(xn − y)⎪. ⎪1Ku(y) ⎪ ≤ )y(u1. K∞εϕ h.k.n. Theo âënh lyï häüi tuû bë cháûn, k k n n nn n n lim u(x ) lim (x y)u(y)dy lim F (y)dyε ε→∞ →∞ →∞ϕ ∗ = ϕ − =∫ ∫ ¡ ¡ k k nn lim F (y)dy (x y)u(y)dyε→∞= = ϕ −∫ ∫ ¡ ¡ u(x)ε= ϕ ∗ . Váûy ∈ C(uεϕ ∗ ¡ k). 22 Ta chæïng minh uεϕ ∗ khaí vi vaì . i ix x ( u) ( )ε εϕ ∗ = ϕ ∗ u Ta coï k i iu(x he ) u(x y) (x he y) (x y) .u(y)dy h h ε ε ε εϕ ∗ + − ϕ ∗ − ϕ + − − ϕ −= ∫ ¡ Âàût ih (x he y) (x y)F (y) .u(y) h ε εϕ + − − ϕ −= , thç Fh(y) → n.k.h0hkhi)y(u)yx()( ix →−ϕε . Goüi W laì táûp con compact cuía Ω sao cho våïi moüi y∈Ω\W, Fh(y) = 0 , ∀h, thç ta coï ⎪Fh(y)⎪ = i W(x he y) (x y) 1 (y)h ε εϕ + − − ϕ − )y(u1. W' ∞εϕ≤ h.k.n. Ta suy ra, theo âënh lyï häüi tuû bë cháûn k k i hh 0 h 0 (x he y) (x y)lim u(y)dy lim F (y)dy h ε ε → → ϕ + − − ϕ − =∫ ∫ ¡ ¡ i k k h xh 0 limF (y)dy ( ) (x y)u(y)dyε→= = ϕ −∫ ∫ ¡ ¡ . )x(u*)( ixεϕ= Váûy i ki xh 0 (x he y) (x y)lim ( ) u(x) x h ε ε ε→ ϕ + − − ϕ − = ϕ ∗ ∀ ∈ ¡ . 23 Màût khaïc do nãn caïc âaûo haìm riãng liãn tuûc trãn k cC ( ) ∞ εϕ ∈ ¡ ix ( ) uεϕ ∗ k¡ . Vç váûy khaí vi trãn uεϕ ∗ k¡ vaì ( u . ) ' ( ) 'ε εϕ ∗ = ϕ ∗ u Do , ta suy ra kcC ( )∞εϕ ∈ ¡ uεϕ ∗ ∈ C∞( k¡ ) vaì Dα( ) = (Duεϕ ∗ α ) uεϕ ∗ . (ii) Suppu ⊂ ⊂ Ω nãn d = d (supp u, k¡ \Ω) > 0. Våïi ε < d, ta âàût : Ωε = { x ∈ Ω : d( x, k¡ \Ω) > d − ε }. Khi âoï våïi x ∈ k¡ \Ω , thç d(x−εz, k¡ \Ω) ≤ d(x−εz, x) + d(x, k¡ \Ω) < ε + d −ε = d , ∀z∈ B(0,1) . Do âoï (x −εz) ∉ suppu nãn u(x −εz) = 0, ∀z∈ B(0,1). Váûy våïi moüi x ∈ ¡ k \Ωε , k k 1 x yu(x) (x y)u(y)dy ( )u(y)dy−ε ε −ϕ ∗ = ϕ − = ε ϕ ε∫ ∫¡ ¡ k B(0,1) (z)u(x z)dz (z)u(x z)dz 0= ϕ − ε = ϕ − ε =∫ ∫ ¡ . Ta suy ra supp( ) ⊂ Ωuεϕ ∗ ε do âoï supp( ) ⊂ ⊂ Ω. uεϕ ∗ Âënh lyï III.8. Cho táûp måí Ω ⊂ k¡ . Khi âoï táûp truì máût trong L)(Cc Ω∞ p(Ω) våïi 1 ≤ p < ∞. Chæïng minh. Våïi m =1,2... âàût Ωm = { x ∈ Ω : d(x, k¡ \Ω) > m 1 vaì ⎪x⎪ ≤ m }. 24 Ta coï mΩ ⊂ Ω, ∀m , =Ω, vaì ΩΥ∞ = Ω 1m m m ⊃ Ωm+1. Láúy u ∈ Lp(Ω) , ta coï u.1 ∈ L mΩ p(Ω) , ∀m , vaì u.1 (x) → u(x) h.k.n, mΩ ppp )x(u2)x(u)x(1.u m ≤−Ω h.k.n, ∀m. Do âoï, theo âënh lyï häüi tuû bë cháûn, 0u1.ulim pm m =−Ω∞→ Våïi η > 0 , täön taûi m0 sao cho 2 u1.u p0m η<−Ω , vaì theo âënh lyï trãn ( våïi m 1=ε ) ta coï vaì,01.u)1.u(*lim pm 1m 0m0m =−ϕ ΩΩ∞→ )(C)1.u(* c m 1 0m Ω∈ϕ ∞Ω våïi m0 k 1 d(supp u.1 , \ ) m Ω < Ω¡ . Choün M∈ sao cho ¥ )(C)1.u(* c M 1 0m Ω∈ϕ ∞Ω , vaì 2 1.u)1.u(* pM 1 0m0m η<−ϕ ΩΩ . Khi âoï η<−+−ϕ≤−ϕ ΩΩΩΩ p pM 1 pM 1 u1.u1.u)1.u(*u)1.u(* 0m0m0m0m . Âënh lyï III.9. Lp(Ω) laì taïch âæåüc nãúu 1 ≤ p < ∞. 25 Chæïng minh. Våïi m = 1,2,... âàût mΩ = { x∈ Ω ; d(x, k¡ \Ω) > m 1 vaì ⎪x⎪ ≤ m }, thç mΩ laì táûp con compact cuía Ω. Goüi P laì táûp táút caí caïc âa thæïc trãn k¡ coï hãû säú hæîu tè. Âàût Pm = { −⎪f ∈ P }, thç Pm1f Ω m truì máût trong C( mΩ ). Hån næîa, laì âãúm âæåüc. Υ∞ =1m mP Nãúu u ∈ Lp(Ω) vaì η > 0, täön taûi sao cho )(Cc Ω∈φ ∞ 2 u p η<φ− . Nãúu k1 d(supp , \ ) m < φ ¡ Ω , täön taûi f ∈ Pm sao cho p 1 m. 2 f − ∞ Ω ε<−φ . Khi âoï 2 .ff mp ε<Ω−φ≤−φ ∞ Ta suy ra ε<− pfu . Nhæ váûy táûp âãúm âæåüc truì máût trong L Υ∞ =1m mP p(Ω) vaì do âoï Lp(Ω) laì taïch âæåüc. IV. CÁC TẬP COMPACT TƯƠNG ĐỐI TRONG ( )pL Ω . Cho u là hàm xác định h.k.n trên miền kΩ⊂ ¡ , ta ký hiệu u% là hàm xác định bởi ( ) ( ) k u x khi x u x 0 khi x \ ⎧ ∈⎪= ⎨ Ω∈ Ω⎪⎩ % ¡ . 26 Định lý IV.1. Giả sử 1 p≤ < ∞ . Một tập con bị chận ( )PK L⊂ Ω là compact tương đối trong ( )pL Ω nếu và chỉ nếu với mỗi số tồn tại số và một tập con sao cho với mỗi 0ε > 0δ > G ⊂⊂Ω u K∈ , mỗi kh∈ ¡ với h < δ ( ) ( ) p pu x h u x dx Ω + − < ε∫ % % ( )14 và ( ) p pu x dx Ω < ε∫ , ( )15 Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp đặc biệt kΩ = ¡ . Chiều thuận: Giả sử K là tập compact tương đối trong ( )pL Ω . Cho . Vì K có 0ε > ( )6 neε − t , và vì ( )koC ¡ trù mật trong ( )p kL ¡ , nên tồn tại một tập hữu hạn S gồm các hàm liên tục có giá compact, sao cho với mỗi tồn tại thoả u K∈ Sφ∈ p u 3− φ < ε . Vì S hữu hạn nên tồn tại sao cho r 0> rsupp Bφ ⊂ , với mỗi , ở đây Sφ∈ { }krB x : x r= ∈ <¡ . Lấy , ta có rG B= ( )15 . Do ( ) ( )x h xφ + − φ liên tục đều với mọi x và đồng nhất triệt tiêu bên ngoài với r 1B + h 1< . Do đó ( ) ( ) k p h 0 lim x h x dx 0→ φ + − φ =∫ ¡ . ( )16 Vì S hữu hạn nên ( )16 thoả với mọi Sφ∈ . Với u K∈ đặt xácđịnh bởi hT u ( ) ( )hT u x u x h= + . ( )17 Nếu Sφ∈ thoả p u − φ < ε 3 , thì cũng có h h pT u T 3− φ < ε . Do đó theo ( )16 ta có với h đủ nhỏ (không phụ thuộc vào u K∈ ), h h h hp p pT u u T u T T u− ≤ − φ + φ − φ + φ − p ( ) h p2 3 T< ε + φ − φ < ε . Chiều đảo: Lấy và chọn 0ε > kG ⊂⊂ ¡ sao cho với mọi u K∈ 27 ( ) k p \G u x dx 3< ε∫ ¡ . ( )18 Với mọi hàm 0η > ( )u C Gηϕ ∗ ∈ . Nếu ( )n0Cφ∈ ¡ , thì theo bất đẳng thức Holder& ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) n p p x x y x y x dη ηϕ ∗ φ − φ = ϕ φ − − φ∫ ¡ y ( ) ( ) ( ) py B y T x x dy η η −≤ ϕ φ − φ∫ . Do đó h pp h B sup T η η ∈ ϕ ∗ φ − φ ≤ φ − φ . ( )19 Nếu ( )P ku L∈ ¡ , giả sử { }nφ là dãy trong ( )k0C ¡ hội tụ tới u trong , Theo định lý III.6, { pL }nηϕ ∗ φ là dãy Cauchy hội tụ tới uηϕ ∗ trong ( )P kL ¡ . Vì trong h n hT Tφ → u ( )P kL ¡ ,( )19 mở rộng cho tất cả ( )P ku L∈ ¡ : h pp h B u u sup T u u η η ∈ ϕ ∗ − ≤ − . Từ ( )14 ta suy ra h ph 0lim T u u 0→ − = đều với u K∈ . Do đó p0 lim u u 0ηη→ ϕ ∗ − = đều với u K∈ . Bây giờ ta cố định 0η > sao cho ( ) ( ) p p G u x u x dx 3.2η εϕ ∗ − <∫ ( )20 với mọi . u K∈ Ta chứng tỏ rằng { }u : u Kηϕ ∗ ∈ thoả mãn điều kiện của định lý Ascoli-Arzela trên G và do đó là compact tương đối trong ( )C G . Theo chứng minh của định lý III.6, ta có ( ) ( ) k 1 p p x u x sup x uη η ∈ ⎛ ⎞ϕ ∗ ≤ ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠¡ 28 nó bị chận đều với kx∈ ¡ và u K∈ vì K là tập bị chận trong ( )P kL ¡ và ηcố định. Tương tự ( ) ( ) ( ) k 1 p h p x u x h u x sup x T u uη η η ∈ ⎛ ⎞ϕ ∗ + − ϕ ∗ ≤ ϕ −⎜ ⎟⎝ ⎠¡ và ( ) ( ) h 0 lim u x h u xη η→ ϕ ∗ + = ϕ ∗ đều với kx∈ ¡ và u K∈ . Như vậy{ }u : u Kηϕ ∗ ∈ compact tương đối trong ( )C G và theo định lý I.2 tồn tại một tập hữu hạn{ }1 m,...,ψ ψ sao cho nếu , thì với , và mọi ta có u K∈ j,1 j m≤ ≤ x G∈ ( ) ( ) pj px u x 3.2 . Gη εψ − ϕ ∗ < | | ( )21 Ta ký hiệu là hàm xác định bởi jψ% ( ) ( )j k x khi x G x 0 khi x \ ⎧ψ ∈⎪ψ = ⎨ ∈⎪⎩ % ¡ G , ta thu được từ ( )18 ,( )20 ,( )21 ,và bất đẳng thức( ) ( )p p ppa b 2 a b+ ≤ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k p pp j j G\G u x x dx u x dx u x x dx− ψ = + − ψ∫ ∫ ∫ ¡ ¡ % % ( ) ( ) ( ) ( )( )ppP j G 2 u x u x u x x d 3 η η ε< + − ϕ ∗ + ϕ ∗ − ψ∫ x P p p2 G3 3.2 3.2 G ε ⎛ ε ε ⎞< + + = ε⎜ ⎟⎝ ⎠| || | . Do đó K có một hữu hạn trong netε − ( )P kL ¡ là{ }1 m,...,ψ ψ% % , và vì vậy là compact tương đối theo định lý I.2. Định lý IV.2. Cho 1 p≤ < ∞ và ( )PK L⊂ Ω . Giả sử tồn tại một dãy { }jΩ các tập con của Ω thoả: i/ với mỗi j, ; j j+Ω ⊂ Ω 1 29 ii/ với mỗi j tập hợp { } j u : u KΩ ∈ là compact tương đối trong ( )PL Ω ; iii/ với mỗi , tồn tại j sao cho 0ε > ( ) j p \ u x dx Ω Ω < ε∫ với mỗi u K∈ . Khi đó K là compact tương đối trong ( )PL Ω . Chứng minh. Lấy dãy { }nu ⊂ K . Khi đó theo (ii) tồn tại một dãy con ( ){ }1nu sao cho ( ){ } 1 1 nu Ω hội tụ trong ( )P 1L Ω . Sau khi chọn được ( ){ } ( ){ }1nu ,..., u kn , ta có thể chọn được một dãy con ( ){ }k 1nu + của ( ){ }knu sao cho ( ){ } k 1 k 1 nu + + Ω hội tụ trong ( )p k 1L +Ω . Do đó ( ){ } j k 1 nu + Ω cũng hội tụ trong ( )p jL Ω vói 1 theo (i). j k 1≤ ≤ + Đặt ( )nn nv u= với n .Rõ ràng 1,2,...= { }nv là một dãy con của { }nu . Cho , tồn tại j [theo (iii) ] sao cho 0ε > ( ) ( ) j p n m \ v x v x dx 2 Ω Ω −∫ < ε ( )22 với mọi .Ngoại trừ các số hạng n,m 1,2,...= j 1− đầu tiên, { }nv là một dãy con của ( ){ }jnu và vì vậy { } j nv Ω là một dãy Cauchy trong ( )p jL Ω . Như vậy với n,m đủ lớn ta có ( ) ( ) j p n mv x v x dx 2 Ω −∫ < ε . ( )23 Từ ( )22 và ( )23 ta thấy rằng { }nv là một dãy Cauchy trong ( )pL Ω và vì vậy nó hội tụ trong ( )pL Ω . Do đó K compact tương đốI trong ( )pL Ω . V. TÊNH LÄÖI ÂÃÖU VAÌ ÂÄÚI NGÁÙU CUÍA ( )pL Ω . Âënh lyï V.1(báút âàóng thæïc Clarkson). Cho u,v∈ Lp(Ω). Våïi 1< p < ∞ vaì p' = p/(p−1). Khi âoï (i) Nãúu 2 ≤ p < ∞, thç 30 pp p p p p p p v 2 1u 2 1 2 vu 2 vu +≤−++ , 1'p p p p p 'p p 'p p v 2 1u 2 1 2 vu 2 vu −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +≥−++ . (ii) Nãúu 1 < p ≤ 2, thç 1'p p p p p 'p p 'p p v 2 1u 2 1 2 vu 2 vu −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +≤−++ , pp p p p p p p v 2 1u 2 1 2 vu 2 vu +≥−++ . Chæïng minh. (i) Våïi 2 ≤ p < ∞, + Aïp duûng bäø âãö 1 våïi z = u(x), w = v(x), ta coï ∫∫ ΩΩ −++=−++ ppp p p p 2 vu 2 vu 2 vu 2 vu p p p pu v u v 1 1u v 2 2 2 2Ω Ω ⎛ ⎞+ − ⎛ ⎞= + ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟._.