Phân hoạch đơn vị trên không Paracompact

C NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 3 LỜI CÁM ƠN Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã từng bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên mơn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học. Chân thành cám ơn quý thầy cơ phịng Khoa học Cơng nghệ và Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này. Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã vài lần liên lạc với các nhà tốn học nước ngồi, đặc biệt là giáo sư Jerzy Dydak đã tận tình giải đáp các vấn đề liên quan. Xin chân thành cám ơn giáo sư. Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Dân lập An Đơng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học. Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi gĩp ý và động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn. TP. HCM tháng 8 năm 2008 Tác giả Phan Thị Ngọc Hưng 4 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ............................................................................................... 2 Lời cám ơn .................................................................................................. 3 Mục lục ........................................................................................................ 4 MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 9 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................... 12 1.1. Khơng gian tơpơ .............................................................................. 12 1.1.1. Định nghĩa khơng gian tơpơ ................................................... 12 1.1.2. Lân cận .................................................................................. 12 1.1.3. Cơ sở ..................................................................................... 13 1.1.4. Cơ sở lân cận ......................................................................... 13 1.1.5. Điểm tụ (hay điểm giới hạn) .................................................. 13 1.1.6. Phần trong, bao đĩng, tập trù mật .......................................... 13 1.1.7. Định nghĩa khơng gian khả li ................................................. 14 1.1.8. Các tiên đề đếm được ............................................................ 14 1.2. Ánh xạ liên tục ................................................................................ 14 1.3. Ánh xạ mở, ánh xạ đĩng, phép đồng phơi ....................................... 15 1.4. Khơng gian con ............................................................................... 16 1.4.1. Định nghĩa tơpơ cảm sinh, khơng gian con ............................ 16 1.4.2. Định lý (Điều kiện để một tập mở, đĩng trong khơng gian con) ....................................................................................... 16 1.4.3. Hệ quả ................................................................................... 17 1.4.4. Định lý (Điều kiện để một tập mở, đĩng trong khơng gian con) ....................................................................................... 17 1.5. Khơng gian thương .......................................................................... 17 1.6. Các tiên đề tách ............................................................................... 18 5 1.6.1. Định nghĩa các Ti – khơng gian .............................................. 18 1.6.2. Định lý .................................................................................. 19 1.7. Khơng gian chuẩn tắc ...................................................................... 19 1.7.1. Bổ đề Urysohn ....................................................................... 19 1.7.2. Định lý Tietze – Urysohn ...................................................... 19 1.7.3. Hệ quả ................................................................................... 19 1.7.4. Định lý (Điều kiện để một khơng gian là chuẩn tắc) .............. 20 1.7.5. Hệ quả ................................................................................... 20 1.8. Khơng gian mêtric hĩa .................................................................... 20 1.8.1. Định nghĩa tơpơ sinh bởi mêtric............................................ 20 1.8.2. Định nghĩa khơng gian mêtric hĩa ....................................... 20 1.8.3. Định lý ................................................................................ 20 1.8.4. Các kết quả ........................................................................... 21 1.9. Hữu hạn địa phương ........................................................................ 21 1.9.1. Định nghĩa hữu hạn địa phương ............................................ 21 1.9.2. Bổ đề .................................................................................... 21 1.9.3. Định nghĩa rời rạc (rời rạc địa phương) ................................ 21 1.9.4. Định nghĩa hữu hạn σ-địa phương (hữu hạn địa phương đếm được) .......................................................................... 22 1.9.5. Định nghĩa rời rạc σ-địa phương (σ-rời rạc, rời rạc địa phương đếm được) ............................................................. 22 1.9.6. Định nghĩa làm mịn, làm mịn mở, làm mịn đĩng .................. 22 1.9.7. Bổ đề .................................................................................... 23 1.10. Định lý mêtric hĩa Nagata – Smirnov ........................................... 23 1.10.1. Tập hợp dạng Gδ ................................................................ 23 1.10.2. Tập hợp dạng Fσ ................................................................ 24 1.10.3. Định lý mêtric hĩa Nagata – Smirnov ................................ 24 6 1.11. Khơng gian compact ...................................................................... 24 1.11.1. Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn ................................ 24 1.11.2. Định nghĩa phủ con, phủ con hữu hạn ................................. 24 1.11.3. Định nghĩa khơng gian compact ......................................... 25 1.11.4. Định lý................................................................................ 25 1.11.5. compact hĩa ........................................................................ 26 1.12. Khơng gian paracompact ............................................................... 26 1.12.1. Định nghĩa khơng gian paracompact ................................... 27 1.12.2. Định lý................................................................................ 27 1.12.3. Hệ quả ................................................................................ 27 1.12.4. Định lý ............................................................................... 27 1.12.5. Định nghĩa giá của ánh xạ (support f) ................................. 27 1.13. Khơng gian phụ hợp ...................................................................... 27 Chương 2: PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ ....................................................... 29 2.1. Phân hoạch đơn vị ........................................................................... 29 2.1.1. Định nghĩa tổng ..................................................................... 29 2.1.2. Định nghĩa các loại phân hoạch ............................................. 29 2.1.3. Định nghĩa phân hoạch U-small ............................................ 30 2.1.4. Định nghĩa khơng gian chuẩn tắc ........................................... 30 2.1.5. Định lý thác triển Tietze trên khơng gian chuẩn tắc ............... 31 2.1.6. Định nghĩa khơng gian paracompact ...................................... 31 2.1.7. Hệ quả ................................................................................... 31 2.1.8. Mệnh đề................................................................................. 32 2.1.9. Hệ quả ................................................................................... 34 2.2. Đồng liên tục - Đồng liên tục nghiêm ngặt ...................................... 35 2.2.1. Định nghĩa đồng liên tục nghiêm ngặt ................................... 35 7 2.2.2. Định nghĩa đồng liên tục ........................................................ 35 2.2.3. Mệnh đề................................................................................. 36 2.2.4. Mệnh đề................................................................................. 38 2.2.5. Mệnh đề................................................................................. 40 2.2.6. Định nghĩa phân hoạch xấp xĩ ............................................... 42 2.2.7. Hệ quả ................................................................................... 43 2.2.8. Mệnh đề................................................................................. 44 2.2.9. Bổ đề ..................................................................................... 46 2.2.10. Định lý về sự tồn tại phân hoạch đơn vị U-small .................. 47 2.2.11. Định nghĩa closure-preserving ............................................. 47 2.3. Thác triển phân hoạch đơn vị .......................................................... 47 2.3.1. Mệnh đề ................................................................................ 48 2.3.2. Mệnh đề................................................................................. 49 2.3.3. Định lý ................................................................................. 51 2.3.4. Bổ đề .................................................................................... 52 2.3.5. Bổ đề .................................................................................... 53 2.3.6. Bổ đề .................................................................................... 55 2.3.7. Bổ đề .................................................................................... 56 2.3.8. Bổ đề .................................................................................... 58 2.3.9. Định lý (Thác triển phân hoạch đơn vị trên paracompact) ..... 59 2.4. Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị ................................. 60 2.5. Bậc và chiều .................................................................................... 61 2.5.1. Định nghĩa bậc của phủ ......................................................... 61 2.5.2. Định nghĩa bậc của phân hoạch đơn vị .................................. 61 2.5.3. Định nghĩa chiều của khơng gian ........................................... 62 2.5.4. Bổ đề ..................................................................................... 62 2.5.5. Định nghĩa chiều của khơng gian paracompact ...................... 64 8 2.5.6. Hệ quả ................................................................................... 64 Chương 3: ỨNG DỤNG PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ VÀO TƠPƠ ........... 66 3.1. Ứng dụng phân hoạch đơn vị trên khơng gian paracompact ............ 66 3.1.1. Định lý thác triển Tietze ........................................................ 66 3.1.2. Bổ đề ..................................................................................... 68 3.1.3. Định lý A. H. Stone ............................................................... 69 3.1.4. Bổ đề ..................................................................................... 70 3.1.5. Định lý Tamano ..................................................................... 70 3.1.6. Chú ý (Điều kiện để paracompact đếm được là chuẩn tắc) ..... 72 3.1.7. Định lý (Điều kiện đủ trên khơng gian paracompact đếm được) ............................................................................. 73 3.1.8. Định lý thay thế phân hoạch đơn vị ....................................... 75 3.1.9. Hệ quả (Định lý Michael) ...................................................... 80 3.1.10. Định lý mêtric hĩa ............................................................... 81 3.1.11. Định lý mêtric hĩa Nagata – Smirnov (Điều kiện cần) ......... 84 3.2. Chiều và phân hoạch đơn vị ............................................................ 86 3.2.1. Định lý (Tổng quát hĩa của định lý thác triển Tietze) ............ 86 3.2.2. Mệnh đề (Chiều của khơng gian phụ hợp) ............................. 88 3.2.3. Định lý (Chiều của khơng gian paracompact) ........................ 89 3.2.4. Mệnh đề (Sự thác triển xấp xĩ) ............................................... 91 3.2.5. Hệ quả ................................................................................... 93 3.2.6. Định lý .................................................................................. 93 KẾT LUẬN ............................................................................................... 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 98 9 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Sự bùng nổ của nghiên cứu tơpơ trong thời gian gần đây buộc chúng ta phải xem xét lại các vấn đề cơ bản và xác định chủ đề nào nên cĩ trong nghiên cứu tơpơ. Các nhà tốn học tin rằng cơ sở để nghiên cứu một khơng gian tơpơ là tính chuẩn tắc, compact, paracompact và định lý thác triển Tietze. Như chúng ta đã biết, các nhà tơpơ thuần túy nghiên cứu các khơng gian thơng qua các phủ mở. Trong khi đĩ, các nhà tơpơ hình học lại dùng các hàm liên tục để nghiên cứu các khơng gian. Chính vì điều này, các nhà tốn học: J. Dydak, N. Feldman, J.Segal, R. Engelking, I. M. James, A. T. Lundell, S. Weingram, . . . , nổi bật là Dydak đã nảy ra ý tưởng hợp nhất hai cách nghiên cứu này. Họ dùng phân hoạch đơn vị để giải quyết vấn đề và đã thành cơng. Chúng ta cũng đã biết, phân hoạch đơn vị là một trong các cơng cụ cơ bản của giải tích, nĩ cũng thường được sử dụng trong lý thuyết đồng luân. Nhưng theo sự trình bày của tơpơ chính thống thì phân hoạch đơn vị chỉ tồn tại phụ thuộc vào phủ cho trước. A. T. Lundell và S. Weingram cũng đã cĩ những cố gắng áp dụng phân hoạch đơn vị vào tơpơ của các CW phức nhưng chỉ dừng lại ở phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương. I. M. James cũng chỉ thảo luận được phân hoạch đơn vị hữu hạn điểm ở tơpơ tổng quát và lý thuyết đồng luân. Vì vậy, các ứng dụng gặp khĩ khăn khi dùng phương pháp đại số để xây dựng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương. Ngay cả phân hoạch đơn vị tùy ý theo dạng định sẵn cũng gặp lắm phiền phức để tránh tất cả các trở ngại. 10 Sự ra đời của khái niệm “Phân hoạch của các hàm đồng liên tục” là một hướng mới để tận dụng tất cả các ưu điểm của các phép tính vi tích phân và phương pháp đại số để nghiên cứu phân hoạch đơn vị. Khái niệm “Paracompact” ra đời trong những năm gần đây. Nĩ là một tổng quát hĩa hữu ích nhất của khơng gian compact. Nĩ đặc biệt giúp ích cho các ứng dụng trong tơpơ và hình học vi phân, điển hình là định lý mêtric hĩa. Một trong những tính chất hữu ích nhất mà khơng gian paracompact sở hữu đĩ là sự tồn tại của phân hoạch đơn vị. Vì những lí do đĩ, chúng tơi tiếp tục tìm hiểu về phân hoạch đơn vị đặc biệt là phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ, phân hoạch đồng liên tục, tính đồng liên tục, thác triển phân hoạch đơn vị, bậc của phân hoạch đơn vị. Trên cơ sở đĩ, chúng tơi tìm hiểu và áp dụng chúng để nghiên cứu tơpơ và hình học, đặc biệt là nghiên cứu về: “Phân hoạch đơn vị trên khơng gian paracompact ”. 2. Mục đích Dùng phân hoạch đơn vị phụ thuộc phủ để chứng minh các kết quả trên khơng gian paracomapact một cách ngắn gọn và đơn giản hơn. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Khơng gian paracompact. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Dùng phân hoạch đơn vị phụ thuộc phủ làm giảm đi một số điều kiện đối với các kết quả trên khơng gian paracompact giúp cho các phát biểu trên khơng gian paracompact trở nên đơn giản và ngắn gọn hơn. 11 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương. Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức về tơpơ đại cương cĩ liên quan đến đề tài nghiên cứu. Chương 2: Phân hoạch đơn vị. Ở chương này trình bày: - Phân hoạch đơn vị, đồng liên tục, đồng liên tục nghiêm ngặt cùng các tính chất kèm các chứng minh chi tiết. - Thác triển phân hoạch đơn vị. - Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị. - Bậc phân hoạch đơn vị và chiều. Các kết quả khác liên quan đến khơng gian chuẩn tắc luận văn chỉ trình bày chứ khơng chứng minh. Chương 3: Ứng dụng phân hoạch đơn vị vào tơpơ. Cụ thể: - Dùng phân hoạch đơn vị chứng minh một số kết quả trên khơng gian paracompact: Định lý thác triển Tietze, định lý A. H. Stone, định lý Tamano, định lý mêtric hĩa Nagata – smirnov (điều kiện cần). - Trình bày một số áp dụng về lý thuyết chiều. 12 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này luận văn trình bày lại các kiến thức tơpơ chính thống cĩ liên quan đến các chương sau. Ở đây, hầu hết các định lý, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ khơng chứng minh. Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. 1.1. Khơng gian tơpơ 1.1.1. Định nghĩa khơng gian tơpơ: Cho tập X. Họ τ các tập con của X được gọi là tơpơ trên X nếu thỏa các điều kiện sau: τ1) X, ∅ thuộc τ, τ2) Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ, τ3) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ. Tập X cùng với một tơpơ trên X được gọi là khơng gian tơpơ. Viết là (X, τ) hay X nếu khơng cần chỉ rõ τ là tơpơ trên X. Các phần tử của khơng gian thường gọi là các điểm. Cho (X, τ) là khơng gian tơpơ. Tập G∈τ được gọi là tập mở của X. Tập con F của X gọi là tập đĩng nếu X \ F mở. Từ định nghĩa suy ra: a) ∅, X là tập đĩng, b) Giao của tùy ý các tập đĩng là tập đĩng, c) Hợp của hữu hạn các tập đĩng là tập đĩng. 1.1.2. Lân cận: 13 Cho (X, τ) là khơng gian tơpơ và x∈X. Tập V ⊂ X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V. Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x. Nhận xét: - Mọi lân cận của X đều chứa một lân cận mở. - Tập G là mở nếu và chỉ nếu G là lân cận của mọi điểm thuộc nĩ. 1.1.3. Cơ sở: Cho (X, τ) là khơng gian tơpơ. Một họ con β của τ gọi là một cơ sở của τ nếu: ∀G∈τ, ∀x∈G, ∃V∈β : x∈V ⊂ G. 1.1.4. Cơ sở lân cận: Một họ Ux các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu: Mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận U∈Ux sao cho U ⊂ V. 1.1.5. Điểm tụ (hay điểm giới hạn): Cho A là một tập con của khơng gian tơpơ X và x∈X. Nếu mọi lân cận V của x ta đều cĩ V ∩ (A \ {x}) ≠ ∅ thì x được gọi là điểm tụ (hay điểm giới hạn) của tập A. 1.1.6. Phần trong, bao đĩng, trù mật: Cho X là khơng gian tơpơ, tập A ⊂ X. - Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, ký hiệu A0. - Ta gọi bao đĩng của A là giao của tất cả các tập đĩng chứa A, ký hiệu Ā hay cl(A). - Tập con A được gọi là trù mật (hay trù mật khắp nơi ) trong X nếu Ā = X. 14 . . . A A A B A B A B A B = ∪ = ∪ ⊂ ⇒ ⊂ Từ định nghĩa suy ra: i) A0 là tập mở lớn nhất chứa trong A. A ⊂ B ⇒ A0 ⊂ B0. A mở ⇔ A = A0. ii) A ⊂ X thì luơn luơn cĩ ít nhất một tập đĩng chứa A. Ā là tập đĩng nhỏ nhất chứa A. A đĩng ⇔ A = Ā . 1.1.7. Định nghĩa khơng gian khả li: Khơng gian tơpơ X được gọi là khả li nếu trong X tồn tập một tập con hữu hạn hoặc đếm được trù mật. 1.1.8. Các tiên đề đếm được 1.1.8.1. Tiên đề đếm được thứ 2: Khơng gian tơpơ được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu nĩ cĩ một cơ sở đếm được. 1.1.8.2. Tiên đề đếm được thứ 1: Khơng gian tơpơ được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x∈X đều cĩ một cơ sở lân cận đếm được. 1.1.8.3. Định lý: Khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. 1.2. Ánh xạ liên tục 1.2.1. Định nghĩa: 15 ( ) ( )f A f A⊂ ( )1 1( )f B f B− −⊃ 1 1 1 1 ) ( ) , ( ) , b f V f V f V f V α α α α α α α α − − − −   =       =     ∪ ∪ ∩ ∩ Cho X và Y là các khơng gian tơpơ. Ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại x∈X nếu mọi lân cận V của f(x) trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f(U) ⊂ V. Nĩi cách khác: Ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại x∈X nếu mọi V là lân cận của f(x) trong Y thì f -1(V) là lân cận của x trong X. Ánh xạ gọi là liên tục trên X nếu nĩ liên tục tại mọi x∈X. 1.2.2. Định lý: Với mọi ánh xạ f : X → Y, các điều kiện sau là tương đương a) f liên tục. b) f -1(G) mở trong X với mọi tập G mở trong Y. c) f -1(G) mở trong X với mọi G thuộc một cơ sở của Y. d) f -1(G) mở trong X với mọi G thuộc một tiền cơ sở của Y. e) f -1(F) đĩng trong X với mọi tập F đĩng trong Y. f) với mọi tập con A của X. g) với mọi tập con B của Y. 1.2.3. Hệ quả: Cho f : X → Y và g : Y → Z là các ánh xạ liên tục. Thì a) g° f liên tục. Vα là tập mở trong Y. 1.3. Ánh xạ mở, ánh xạ đĩng, phép đồng phơi 1.3.1. Định nghĩa phép đồng phơi: 16 Cho X, Y là các khơng gian tơpơ. Ánh xạ f : X → Y được gọi là một phép đồng phơi hay ánh xạ tơpơ nếu f là song ánh, liên tục và f -1 liên tục. Hai khơng gian được gọi là đồng phơi nhau nếu tồn tại một phép đồng phơi từ khơng gian này vào khơng gian kia. Hai khơng gian đồng phơi cịn được gọi là hai khơng gian tương đương tơpơ. 1.3.2. Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đĩng: Cho X, Y là các khơng gian tơpơ. Ánh xạ f : X → Y được gọi là mở (hay ánh xạ mở) nếu mọi tập G mở trong X thì f(G) mở trong Y. Ánh xạ f : X → Y được gọi là đĩng (hay ánh xạ đĩng) nếu mọi tập F đĩng trong X thì f(F) đĩng trong Y. 1.3.3. Định lý: Cho X, Y là các khơng gian tơpơ và song ánh f : X → Y. f là phép đồng phơi khi và chỉ khi f là ánh xạ liên tục và mở (hoặc đĩng). 1.4. Khơng gian con 1.4.1. Định nghĩa tơpơ cảm sinh, khơng gian con: Cho khơng gian tơpơ (X, τ) và tập Y ⊂ X. Khi đĩ: - Họ τY = {V ⊂ Y  V = Y ∩ G với G∈τ} là một tơpơ trên A. - τY gọi là tơpơ cảm sinh bởi tơpơ τ trên X. - Khơng gian (Y, τY) gọi là khơng gian con của khơng gian X. - Mỗi phần tử của τY gọi là tập hợp mở trong Y. 1.4.2. Định lý: Cho khơng gian tơpơ (X, τ) và (Y, τY) là khơng gian con của nĩ. Khi đĩ 17 X R : ( ) [ ] XX R x x R x pi pi → = ( ),X R σ X R { }1( )XV VRσ pi τ−= ⊂ ∈ a) Tập A ⊂ Y mở trong Y khi và chỉ khi A = Y ∩ G với G là tập con mở trong X. b) Tập B ⊂ Y đĩng trong Y khi và chỉ khi B = Y ∩ F với F là tập con đĩng trong X. 1.4.3. Hệ quả: Cho Y là khơng gian con của khơng gian tơpơ X và y∈Y. Nếu V là lân cận của y trong Y thì tồn tại lân cận U của y trong X sao cho V = U ∩ Y. 1.4.4. Định lý: Cho Y là khơng gian con của khơng gian tơpơ X. Một tập hợp mở (đĩng) tùy ý trong Y là mở (đĩng) tùy ý trong X khi và chỉ khi Y là tập mở (đĩng) trong X. 1.5. Khơng gian thương 1.5.1. Định nghĩa: Cho khơng gian tơpơ (X, τ) và một quan hệ tương đương R trên X. Ký hiệu là tập thương của X theo quan hệ tương đương R. Ký hiệu R[x] là lớp tương đương chứa x∈X. Ánh xạ gọi là phép chiếu chính tắc. Ta cĩ pi là tồn ánh. Trên , họ là một tơpơ. gọi là khơng gian thương của khơng gian X theo quan hệ tương R. Khi đĩ pi liên tục. Như vậy: phép chiếu chính tắc là tồn ánh và liên tục. 1.5.2. Định lý: 18 13 2 T 0 1 2 3 1 43 2 , , , , ,T T T T T T : XX Rpi → : . Xf YR →Cho phép chiếu chính tắc và ánh xạ Ánh xạ f liên tục khi và chỉ khi f °pi liên tục. 1.6. Các tiên đề tách 1.6.1. Định nghĩa các Ti- khơng gian: Cho X là khơng gian tơpơ. - X gọi là T0- khơng gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x, y∈X cĩ một lân cận của x khơng chứa y hoặc một lân cận của y khơng chứa x. - X gọi là T1- khơng gian nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x, y∈X cĩ một lân cận của x khơng chứa y và một lân cận của y khơng chứa x. - X gọi là T2- khơng gian hay khơng gian Hausdorff nếu hai điểm khác nhau bất kỳ x, y∈X tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho: U ∩ V = ∅. - X gọi là T3- khơng gian hay khơng gian chính qui nếu X là T1- khơng gian và với mọi x∈X và mọi tập con đĩng F của X khơng chứa x, tồn tại các tập con mở U, V sao cho x∈U, F ⊂ V và U ∩ V = ∅. - X gọi là - khơng gian hay khơng gian hồn tồn chính qui hay khơng gian Tikhonov nếu X là T1- khơng gian và với mọi x∈X và mọi tập con đĩng F của X khơng chứa x, tồn tại hàm liên tục f : X → [0,1] sao cho f(x) = 0 và f(y) = 1 với mọi y∈F. - X gọi là T4- khơng gian hay khơng gian chuẩn tắc nếu X là T1- khơng gian và hai tập con đĩng bất kỳ khơng giao nhau A, B trong X, tồn tại các tập con mở U, V sao cho A ⊂ U, B ⊂ V và U ∩ V = ∅. Ta gọi là các tiên đề tách. Ví dụ: Đường thẳng thực là T0- khơng gian, T1- khơng gian, khơng gian Hausdorff, khơng gian chính qui, khơng gian chuẩn tắc. 19 .x U U V∈ ⊂ ⊂ Nhận xét: Tj- khơng gian ⇒ Ti- khơng gian với j > i. 1.6.2. Định lý: Cho X là khơng gian tơpơ. a) X là T1- khơng gian nếu và chỉ nếu mọi tập con chỉ gồm một điểm của X là tập đĩng. b) X là khơng gian chính qui nếu và chỉ nếu X là T1- khơng gian và mọi x∈X, mọi lân cận V của x đều chứa một lân cận đĩng của x. Tức là: X là khơng gian chính qui nếu và chỉ nếu X là T1- khơng gian và mọi x∈X, mọi lân cận V của x tồn tại lân cận U của x sao cho 1.7. Khơng gian chuẩn tắc: 1.7.1. Bổ đề Urysohn: Cho X là khơng gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đĩng rời nhau trong X. Khi đĩ tồn tại hàm liên tục f : X → [0, 1] sao cho f(x) = 0, ∀x∈A và f(x) = 1, ∀x∈B. 1.7.2. Định lý Tietze-Urysohn: Cho X là khơng gian chuẩn tắc, A là tập con đĩng của X. Khi đĩ mọi hàm liên tục f : A → [0, 1] đều tồn tại một hàm liên tục g : X → [a, b] sao cho gA = f. 1.7.3. Hệ quả: a) Cho f là hàm liên tục trên tập con đĩng A của khơng gian chuẩn tắc X. Khi đĩ tồn tại hàm g liên tục trên X sao cho gA = f. b) Nếu X là khơng gian chuẩn tắc thì X hồn tồn chính quy. 20 1.7.4. Định lý: Khơng gian tơpơ X là khơng gian chuẩn tắc khi và chỉ khi T1- khơng gian và với mỗi tập con đĩng F trong X, mỗi lân cận tùy ý của F cĩ chứa một lân cận đĩng của F. 1.7.5. Hệ quả: Mọi khơng gian chính qui thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai là khơng gian chuẩn tắc. 1.8. Khơng gian mêtric hĩa 1.8.1. Định nghĩa tơpơ sinh bởi mêtric: Cho khơng gian mêtric (X, d). Ta xác định trong (X, d) một tập hợp τ các tập con của X như sau: τ = {U ⊂ X | ∀x∈U, ∃r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ U}. Thì τ là một tơpơ trên X. Tơpơ τ xác định như trên gọi là tơpơ sinh ra bởi mêtric d trên X, các phần tử thuộc τ được gọi là các tập mở trong (X, d). 1.8.2. Định nghĩa khơng gian mêtric hĩa: Khơng gian tơpơ (X, τ) được gọi là khơng gian mêtric hĩa (hay khơng gian mêtric hố được) nếu trên X cĩ một mêtric d sao cho tơpơ sinh bởi mêtric d trùng với tơpơ τ trên X. 1.8.3. Định lý: a) Mọi khơng gian mêtric hĩa đều là khơng gian chuẩn tắc và thỏa tiên đề đếm được thứ nhất. b) Mọi khơng gian mêtric hĩa thỏa tiên đề đếm được thứ hai khi và chỉ khi nĩ khả li. 21 ( ){ }0,1 n n += ∈B { }= A A ∈A B ( ) . A A c A A ∈ ∈ =∪ ∪A A c) Tích của một họ đếm được các khơng gian mêtric hĩa là khơng gian mêtric hĩa. d) Khơng gian chính qui cĩ một cơ sở đếm được là khơng gian mêtric hĩa. 1.8.4. Các kết quả: i) Một khơng gian cĩ cơ sở đếm được là khơng gian mêtric hĩa khi và chỉ khi nĩ chuẩn tắc. ii) Tổng trực tiếp của một họ các khơng gian mêtric hĩa là khơng gian mêtric hĩa. 1.9. Hữu hạn địa phương 1.9.1. Định nghĩa hữu hạn địa phương: Cho X là khơng gian tơpơ. Một họ A các tập con của X được gọi là hữu hạn địa phương trong X khi và chỉ khi mỗi điểm của X cĩ một lân cận chỉ giao với một số hữu hạn các phần tử của họ A. Ví dụ: Họ là hữu hạn địa phương trong (0, 1) nhưng khơng hữu hạn địa phương trong R. 1.9.2. Bổ đề: Cho A là họ hữu hạn địa phương các tập con của X. Thì: (a) Họ con bất kỳ của A là hữu hạn địa phương. (b) Họ là hữu hạn địa phương. 1.9.3. Định nghĩa rời rạc (hay rời rạc địa phương): 22 Cho X là khơng gian tơpơ. Một họ A các tập con của X được gọi là rời rạc (hay rời rạc địa phương) khi và chỉ khi mỗi điểm của X cĩ một lân cận giao với nhiều nhất một phần tử của họ A. Nhận xét: - Một họ rời rạc là hữu hạn địa phương. - Nếu A rời rạc thì họ các bao đĩng của các phần tử của họ A cũng rời rạc. 1.9.4. Định nghĩa hữu hạn σ –địa phương (hay hữu hạn địa phương đếm được): Cho X là khơng gian tơpơ. Một họ A các tập con của X được gọi là hữu hạn σ –địa phương (hay hữu hạn địa phương đếm được) khi và chỉ khi nĩ là hợp đếm được của các họ An với mỗi An là hữu hạn địa phương. 1.9.5. Định nghĩa rời rạc σ –địa phương (hay σ –rời rạc hay rời rạc địa phương đếm được): Cho X là khơng gian tơpơ. Một họ A các tập con của X được gọi là rời rạc σ – địa phương (hay σ –rời rạc hay rời rạc địa phương đếm được) khi và chỉ khi nĩ là hợp đếm được của các họ An với mỗi An là rời rạc. Ghi chú: Khái niệm “σ ” xuất phát từ lý thuyết độ đo và nĩ được dùng để thay thế cho cụm từ “hợp đếm được của”. Khi ta nĩi một họ là hữu hạn địa phương đếm được cĩ nghĩa là họ đĩ đếm được và hữu hạn địa phương. 1.9.6. Định nghĩa làm mịn, làm mịn mở, làm mịn đĩng: Cho A và B là hai họ các tập con của khơng gian X. 23 - B được gọi là một cái mịn của A (hay B làm mịn A) nếu mỗi phần tử B∈B tồn tại phần tử A∈A sao cho A ⊃ B. - B được gọi là một cái mịn mở của A (hay B làm._. mịn mở A) nếu B là một cái mịn của A và các phần tử của B là các tập mở. - Tương tự, cái mịn B của A mà các phần tử của B là các tập đĩng thì B gọi là cái mịn đĩng. 1.9.7. Bổ đề: Cho X là khơng gian mêtric hĩa được. Nếu U là một phủ mở của X thì tồn tại phủ mở V của X làm mịn U và hữu hạn địa phương đếm được. 1.10. Định lý mêtric hĩa Nagata-Smirnov 1.10.1. Tập hợp dạng Gδ : 1.10.1.1. Định nghĩa: Tập con của khơng gian tơpơ được gọi là tập hợp dạng Gδ khi và chỉ khi nĩ là giao của một họ đếm được các tập con mở của khơng gian đĩ. 1.10.1.2. Hệ quả: - Trong khơng gian mêtric X, mỗi tập đĩng là tập dạng Gδ . - Cho f là hàm thực liên tục trên khơng gian tơpơ X. Khi đĩ, f -1({0}) là tập dạng Gδ . (Vì Tập {0} là tập cĩ dạng Gδ trong khơng gian các số thực) - Nếu A là tập đĩng dạng Gδ khơng gian tơpơ chuẩn tắc X thì tồn tại hàm thực f liên tục trên X sao cho A = f -1({0}). 1.10.1.3. Bổ đề: 24 . I A Vα α ∈ ⊂ ∪ Cho X là khơng gian chính qui cĩ cơ sở B là hữu hạn σ-địa phương. Thì X chuẩn tắc và mỗi tập đĩng trong X là tập dạng Gδ trong X. 1.10.2. Tập hợp dạng Fσ : 1.10.2.1. Định nghĩa: Tập con của khơng gian tơpơ được gọi là tập hợp dạng Fσ khi và chỉ khi nĩ là hợp của một họ đếm được các tập con đĩng của khơng gian đĩ. 1.10.2.2. Hệ quả: Trong khơng gian mêtric X, mỗi tập mở là tập dạng Fσ . 1.10.2.3. Bổ đề: Cho X là chuẩn tắc và A là tập đĩng dạng Gδ trong X. thì tồn tại hàm liên tục f : X → [0, 1] sao cho f(x) = 0 với x∈A và f(x) > 0 với x∉A. 1.10.3. Định lý mêtric hĩa Nagata-Smirnov: Một khơng gian X là mêtric hĩa được nếu và chỉ nếu X là chính qui và cĩ một cơ sở hữu hạn σ –địa phương. 1.11. Khơng gian compact 1.11.1. Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn: Cho X là khơng gian tơpơ, tập A ⊂ X. Một họ {Vα}α∈I các tập con của X được gọi là một phủ của A nếu Khi đĩ: - Nếu Vα là tập mở, ∀α∈I thì {Vα}α∈I được gọi là một phủ mở của A. - {Vα}α∈I là một phủ của A cũng cĩ thể nĩi A được phủ bởi họ {Vα}α∈I . - Nếu I là tập hữu hạn thì {Vα}α∈I được gọi là một phủ hữu hạn của A. 1.11.2. Định nghĩa phủ con, phủ con hữu hạn: 25 Cho X là khơng gian tơpơ, tập A ⊂ X và {Vα}α∈I là một phủ của A. Nếu J ⊂ I mà {Vα}α∈J cũng là một phủ của A thì {Vα}α∈J được gọi là một phủ con của {Vα}α∈I . Nếu tập J hữu hạn thì {Vα}α∈J được gọi là phủ con hữu hạn của {Vα}α∈I . 1.11.3. Định nghĩa khơng gian compact: Một khơng gian tơpơ được gọi là khơng gian compact nếu mọi phủ mở của nĩ đều cĩ chứa phủ con hữu hạn. Tập con A của khơng gian tơpơ (X, τ) được gọi là tập compact nếu (A, τA) là một khơng gian compact, với τA là tơpơ cảm sinh bởi tơpơ τ trong X. Một cách tương đương: Tập con A trong khơng gian tơpơ X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A đều cĩ chứa phủ con hữu hạn. Nhận xét: - Hợp của hữu hạn các tập compact của một khơng gian tơpơ là tập compact. - Cho X là khơng gian compact, Y là khơng gian tơpơ thì phép chiếu piY : X × Y → Y là ánh xạ đĩng. 1.11.4. Định lý: a) Tập con đĩng của khơng gian compact là tập compact. b) Tập con compact của khơng gian compact là tập đĩng. c) Khơng gian compact, Hausdorff là khơng gian chuẩn tắc. d) Cho ánh xạ f : X → Y liên tục và A là tập con compact trong X. Thì f(A) là tập con compact trong Y. e) Nếu f : X → Y là song ánh liên tục, X là compact và Y là Hausodrff thì f là phép đồng phơi. 26 { , }= ∪ −∞ + ∞  :i →  1.11.5. Compact hĩa Các khơng gian compact là những khơng gian tơpơ quan trọng nhất. Vì vậy một vấn đề lý thuyết được đặt ra là: cho một khơng gian khơng compact X, cĩ hay khơng một khơng gian compact Y sao cho X là một khơng gian con trù mật khắp nơi trong Y ? 1.11.5.1. Định nghĩa: Cho khơng gian X khơng compact. Khơng gian compact Y cùng với ánh xạ h : X → Y sao cho h là phép đồng phơi từ X lên h(X) và h(X) trù mật khắp nơi trong Y được gọi là một compact hĩa của khơng gian X. Chú thích: Ánh xạ h : X → Y (với X, Y là các khơng gian) được gọi là phép nhúng X vào Y nếu h : X → h(X) là phép đồng phơi. 1.11.5.2. Compact hĩa Alexanderov: Compact hĩa Alexanderov là compact hĩa đơn giản nhất một khơng gian khơng compact X bằng một điểm. Ta xây dựng như sau: i) Thêm vào X một điểm tùy ý khơng thuộc X mà ta ký hiệu là ∞. ii) Xác định trên Y := X ∪ {∞} một họ τ = {U ⊂ Y | U là tập mở trong X hoặc Y \ U là tập con đĩng và compact của X}. Thì τ là tơpơ trên Y. iii) Ta ký hiệu: X * = (Y, τ ). Hiển nhiên ánh xạ nhúng i: X → X * là phép nhúng. 1.11.5.3. Định lý: a) Nếu X khơng compact thì (X *, i) là compact hĩa của X. b) Đường thẳng thực mở rộng với ánh xạ nhúng là một compact hĩa của đường thẳng thực R. 27 1.12. Khơng gian paracompact 1.12.1. Định nghĩa khơng gian paracompact: Khơng gian tơpơ X được gọi là paracompact nếu nĩ chính qui và mỗi phủ mở của nĩ cĩ cái mịn mở hữu hạn địa phương. 1.12.2. Định lý: Nếu X là khơng gian tơpơ chính qui. Thì các điều kiện sau đây là tương đương: a) Khơng gian X paracompact. b) Mỗi phủ mở của X cĩ cái mịn hữu hạn địa phương. c) Mỗi phủ mở của X cĩ cái mịn hữu hạn địa phương đĩng. d) Mỗi phủ mở của X cĩ cái mịn σ – rời rạc mở. e) Mỗi phủ mở của X cĩ cái mịn hữu hạn σ – địa phương mở. 1.12.3. Hệ quả: a) Mỗi khơng gian paracompact là khơng gian chuẩn tắc. b) Mỗi khơng gian mêtric hĩa được là khơng gian paracompact. (Định lý A. H. Stone) 1.12.4. Định lý: a) Khơng gian con đĩng của khơng gian paracompact là paracompact. b) Mỗi khơng gian chính qui Lindelưf là paracompact. (Lưu ý: Một khơng gian là Lindelưf khi và chỉ khi mỗi phủ mở của nĩ cĩ phủ con đếm được.) 1.12.5. Định nghĩa giá của ánh xạ: Nếu f : X → R thì giá của f, ký hiệu support( f ) hay support f , được định nghĩa: support( f ) = cl{x∈X | f(x) ≠ 0}. 28 Định nghĩa: Giả sử A là một tập con đĩng của khơng gian X và hàm f : A → Y liên tục. Khơng gian phụ hợp X ∪f Y là khơng gian thương của hợp rời X ⊕Y của X và Y dưới phép đồng nhất x ∼ f(x) với mọi x∈A. 29 s s S f f . ∈ =∑ Chương 2: PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ Mục tiêu của chương này là tạo ra phân hoạch của các hàm liên tục để định nghĩa lại khơng gian chuẩn tắc, khơng gian paracompact, đồng liên tục, đồng liên tục nghiêm ngặt cùng các tính chất của chúng, thác triển phân hoạch đơn vị và các phép tính vi tích phân của nĩ, định nghĩa chiều của một khơng gian cùng các tính chất thơng qua khái niệm bậc của phân hoạch đơn vị để phục vụ chương sau. Chúng ta sẽ thực hiện từng bước nhỏ và đơn giản. Yêu cầu đầu tiên là tính liên tục đặc trưng của với các số hạng của tổng đồng dạng nhau. Lưu ý: Nếu khơng nĩi gì thì X là khơng gian bất kỳ. Một số mệnh đề, bổ đề, định lý trên khơng gian chuẩn tắc chỉ phát biểu mà khơng chứng minh, cĩ thể tham khảo chứng minh chi tiết ở luận văn “Phân hoạch đơn vị trên khơng gian chuẩn tắc” 2.1. Phân hoạch đơn vị 2.1.1. Định nghĩa tổng: Giả sử F = {fs : X → [0, ∞)}s∈S là một họ các hàm từ khơng gian X tới [0,∞). Ta định nghĩa Nghĩa là: Với mỗi x∈X, T là tập con hữu hạn của S Lưu ý rằng giá trị của f cĩ thể là vơ cực. 2.1.2. Định nghĩa các loại phân hoạch: Một họ các hàm F = {fs : X → [0, ∞)}s∈S là một phân hoạch của hàm f : X → [0, ∞] nếu: fs liên tục với mỗi s∈S và ( ) sup ( )s s T f x f x . ∈   =     ∑ s s S f f . ∈ =∑ s s S f ∈ ∑ 30 1.s s S f ∈ =∑Đặc biệt: F được gọi là phân hoạch đơn vị trên X nếu - F được gọi là phân hoạch hữu hạn của f nếu fs ≡ 0 với tất cả s ngoại trừ hữu hạn s∈S. Tức là fs ≠ 0 với hữu hạn s∈S. - F được gọi là phân hoạch hữu hạn điểm của f nếu F{x} là một phân hoạch hữu hạn của f {x} với mọi x∈X. - F được gọi là phân hoạch hữu hạn địa phương của f nếu với mỗi x∈X cĩ một lân cận U của x trong X sao cho FU là một phân hoạch hữu hạn của f U. - Kích thước của một phân hoạch F = {fs : X → [0, ∞)}s∈S của f là đo được bởi các phủ mở U của X được đánh số bởi cùng một tập S. 2.1.3. Định nghĩa phân hoạch U-small: Giả sử F = {fs : X → [0, ∞)}s∈S là một phân hoạch của f : X → [0,∞] và U = {Us}s∈S là một phủ mở của X. F là U-small nếu fs(X – Us) ⊆ {0}, s∈S. Nĩi cách khác: F là U-small nếu support fs ⊂ Us, s∈S. 2.1.4. Định nghĩa khơng gian chuẩn tắc: Khơng gian Hausdorff X là chuẩn tắc nếu bất kỳ phủ mở hữu hạn {Us}s∈S tồn tại phân hoạch đơn vị U-small {fs}s∈S trên X. Chú ý: Trường hợp S cĩ hai phần tử thì định nghĩa trên là bổ đề Urysohn. Bằng cách qui nạp, bổ đề Urysohn sẽ suy ra định nghĩa trên. Do đĩ, 31 1 n n A ∞ = ∪ định nghĩa trên và định nghĩa trước đây của khơng gian chuẩn tắc là tương đương. 2.1.5. Định lý thác triển Tietze trên khơng gian chuẩn tắc: Nếu X là khơng gian chuẩn tắc và A là tập con đĩng trong X thì bất kỳ hàm liên tục f : A → [0, 1] đều thác triển trên X. Tác giả định nghĩa khơng gian paracompact rất đơn giản. Ơng chọn điều kiện mạnh nhất để định nghĩa (khơng chọn điều kiện yếu nhất đặc trưng cho khơng gian paracompact như trước đây). 2.1.6. Định nghĩa khơng gian paracompact: Khơng gian Hausdorff X là paracompact nếu bất kỳ phủ mở {Us}s∈S trên X tồn tại phân hoạch đơn vị U-small {fs}s∈S trên X. Lưu ý: Định nghĩa (2.1.6) dựa trên điều kiện mạnh nhất và định nghĩa (1.12.1) dựa trên điều kiện yếu nhất của khơng gian paracompact nên chúng khơng tương đương nhau. Minh họa sau đây sẽ cho chúng ta thấy định nghĩa trên mạnh như thế nào. Nĩ giúp chúng ta chứng minh dễ dàng, đồng thời cho thấy ưu điểm của việc sử dụng phân hoạch đơn vị tùy ý so với việc sử dụng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương như trước đây. 2.1.7. Hệ quả: Nếu An là tập con đĩng của khơng gian paracompact (tương ứng chuẩn tắc) X với n≥1 thì là paracompact (tương ứng chuẩn tắc). Chứng minh 32 , 0 1 1 : : . 2 2 n s n s n n n n f fg g ∞ ∞ = = = =∑ ∑ 0: 1 0 : s s S s s Y g g g gh g ∈ = − = 〉   =     ∑ , , 0 1 1 1 1 , 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1.12 2 1 2 n s n sn n s n n n n s S s S n n n s S n n s nn n n s S n f ff fg g f f ∞ ∞ ∞ ∞ ∈ ∈ = = = ∈ = ∞ ∞ = ∈ =     + = + = +          = + = = =    − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 .n n Y A ∞ = = ∪
Đặt Thì hiển nhiên Y là Hausdorff. Giả sử {Us}s∈S là phủ mở của Y. Mở rộng mỗi Us tới tập con mở Vs của X sao cho Us = Vs ∩ Y.
Đặt Vn := {Vs}s∈S ∪ {X \ An} Thì mỗi Vn là phủ mở của X. Vì X là paracompact nên tồn tại phân hoạch đơn vị {fn,s}s∈S ∪ {fn} trên X tương ứng với phủ Vn.
Đặt và Suy ra {gs}s∈S ∪ {g0} là phân hoạch đơn vị trên X. Nếu g0(x) = 1 thì fn(x) = 1, ∀n và (x ∈ X \ An, ∀n ⇒ x ∈ X \ Y). Do đĩ: trên Y, xác định một phân hoạch đơn vị trên Y sao cho hs(Y \ Us) ⊆ {0}, s∈S. Vậy: Y là paracompact. 2.1.8. Mệnh đề: Giả sử {fs : X → [0,∞)}s∈S là họ các hàm liên tục sao cho là hữu hạn. (Tức là: f(X) ⊆ [0,∞)). s s S f f ∈ =∑ 33 ( ) ( ) , ( ) , (2) T s s S \T f y f y y U f y y U ε ε ∈ − 〈 ∀ ∈ ⇔ 〈 ∀ ∈∑ ( ) ( ) 3 ( ) 3 , (1) 3 s s s S s T s s S \T s s S \T f x f x f x f x X ε ε ε ∈ ∈ ∈ ∈ ⇔ − 〈 ⇔ 〈 ⇔ 〈 ∀ ∈ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 3T f x f x ε− 〈 f liên tục khi và chỉ khi với mỗi điểm x∈X, ε > 0 tồn tại lân cận U của x trong X và tập hữu hạn T của S sao cho giá trị của trên U nhỏ hơn ε. Chứng minh Với bất kỳ tập con hữu hạn T của S, ta định nghĩa Do fs là liên tục với mọi s∈T nên fT là hàm số liên tục. (⇒) Chứng minh: giá trị của trên U nhỏ hơn ε
Với ε > 0, x∈X và f liên tục nên cĩ thể chọn tập hữu hạn T ⊆ S sao cho:
Mặt khác: f và fT liên tục. Nên f - fT liên tục. Khi đĩ tồn tại lân cận U của x sao cho:
Từ (1) và (2) suy ra: Với ε > 0, x∈X, tồn tại lân cận U của x và tập hữu hạn T ⊆ S, ∀y∈U (⇐) Chứng minh: f liên tục trên X Giả sử U là một lân cận của x và T là tập con hữu hạn của S sao cho giá trị của trên U nhỏ hơn
fT liên tục nên ∀x∈X, ∃ lân cận V của x trong U sao cho: s s S \T f ∈ ∑ T s s T f f . ∈ = ∑ s s S \T f ∈ ∑ ( ) ,s s S\T f y y Uε ∈ ⇔ 〈 ∀ ∈∑ ( ) 3ss S \T f y .ε ε ∈ 〈 〈∑ T s s S \T f f f ∈ − = ∑ 3 . ε 34 ( ) ( ),g y f y y U .≤ ∀ ∈ : [0, )s s S f f X ∈ = → ∞∑
∀y∈V, Vậy: f liên tục tại mọi x∈X hay f liên tục trên X. 2.1.9. Hệ quả: Giả sử {fs : X → [0,∞)}s∈S và {gs : X → [0,∞)}s∈S là hai họ các hàm liên tục sao cho liên tục và f (X) ⊆ [0,∞). Nếu gs(x) ≤ fs(x), ∀x∈X, ∀s∈S, thì liên tục. Chứng minh
Ta cĩ: Họ {fs : X → [0, ∞) liên tục}s∈S , liên tục, f(X) ⊆ [0, ∞). Mệnh đề (2.1.8) suy ra: Với mỗi x∈X, ε > 0, tồn tại lân cận U của x trong X và tập hữu hạn T ⊆ S sao cho

Vì g ≤ f nên [ ): 0,s s S g g X ∈ = → ∞∑ [ ) [ )( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra ( ) 0, Do ( ) 0, s s s s s S s S x X s S g x f x g x f x g x f x g f g X . f X ∈ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⊆ ∞ ⊆ ∞ ∑ ∑ ( ) ,s s S \T f y y U .ε ∈ 〈 ∀ ∈∑ s s S f f ∈ =∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 T T T T T T T T f y f x f y f y f y f x f x f x f y f y f y f x f x f x . ε ε ε ε − = − + − + − ≤ − + − + − ≤ + + = ( ) ( ) , 3T T f y f x y V .ε− 〈 ∀ ∈ 35 \ s s s S s S T f f ∈ ∈ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s T s T s s s S \T s S \T g y g y f y f y g y f y .ε ∈ ∈ ∈ ∈ ⇒ − ≤ − ⇒ ≤ < ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( )s s s T s T g y f y ∈ ∈ ≤∑ ∑ Mà: Như vậy: Họ liên tục , với mỗi x∈X và mỗi ε > 0, tồn tại lân cận U của x trong X và tập hữu hạn T ⊆ S sao cho giá trị của trên U nhỏ hơn ε, theo mệnh đề (2.1.8) thì g liên tục. - Ta gọi đuơi của là với tập hữu hạn T ⊆ S. - Nếu đuơi của là nhỏ thì họ {max(0, fs – ε)}s∈S là hữu hạn địa phương với bất kỳ ε > 0. Điều này đưa đến một khái niệm mới - khái niệm đồng liên tục nghiêm ngặt. Đĩ chính là tên gọi của họ hữu hạn địa phương {max(0, fs – ε)}s∈S . 2.2. Đồng liên tục – Đồng liên tục nghiêm ngặt 2.2.1. Định nghĩa đồng liên tục nghiêm ngặt: Giả sử {fs}s∈S là họ các hàm liên tục từ khơng gian X tới [0,∞). {fs}s∈S được gọi là đồng liên tục nghiêm ngặt nếu một trong hai điều kiện tương đương sau được thỏa: a. Với mỗi ε > 0 và với mỗi x∈X, cĩ một lân cận U của x trong X và một tập con hữu hạn T của S sao cho fs (y) < ε với mọi y∈U và mọi s∈S \ T. b. Với mỗi ε > 0, họ {max(0, fs – ε )}s∈S là hữu hạn địa phương. 2.2.2. Định nghĩa đồng liên tục: [ ){ } [ )0, , , ( ) 0,s ss S s S g : X g g g X ∈ ∈ → ∞ = ⊆ ∞∑ s s S \T g ∈ ∑ s s S f ∈ ∑ 36 Một họ các hàm {fs}s∈S liên tục từ khơng gian X tới khơng gian mêtric (Y, d) là đồng liên tục nếu với mỗi ε > 0 và mỗi điểm a∈X, cĩ một lân cận U của a trong X sao cho d(fs(x), fs(y)) < ε với mọi s∈S và mọi x, y∈U. Kế tiếp ta chứng minh rằng đồng liên tục nghiêm ngặt thì suy ra đồng liên tục. Điều bất ngờ là, nếu tổng của các hàm là hữu hạn thì chúng tương đương nhau. 2.2.3. Mệnh đề: Giả sử {fs}s∈S là họ các hàm liên tục từ khơng gian X tới [0,∞). Xét các điều kiện sau: a) {fs}s∈S là đồng liên tục nghiêm ngặt. b) {max(0, fs – g)}s∈S là hữu hạn địa phương với bất kỳ hàm g: X→ R liên tục và xác định dương. c) {fs}s∈S là đồng liên tục. Khi đĩ: a) và b) tương đương; a) suy ra c). Nếu là hữu hạn thì a), b) và c) tương đương. Chứng minh a) ⇒ b) Chứng minh: {max(0, fs – g)}s∈S hữu hạn địa phương
Lấy x∈X và hàm liên tục xác định dương g: X → R.
Đặt và ta tìm được lân cận V của x trong X sao cho:
Từ điều kiện a) và định nghĩa (2.2.1) suy ra: s s S f f ∈ =∑ ( ) , 1( ) ( ). 2 g y y V g y g x ε> ∀ ∈ ⇔ > 1 ( ) 2 g xε = 37 ( ) , , 3s f y y U s T .ε≤ ∀ ∈ ∀ ∈ ( ) , , \ 1( ) ( ) ( ) 2 s s f y y U s S T f y g x g y ε≤ ∀ ∈ ∀ ∈ ⇔ ≤ < ( ) ( ) 0, , \sf y g y y U s S T⇔ − < ∀ ∈ ∀ ∈ Với mỗi ε > 0, x∈X, tồn tại lân cận U của x trong X và tập hữu hạn T ⊆ S sao cho: Suy ra: max(0, fs(y) – g(y)) = 0, ∀y∈U, ∀s∈S\T Do đĩ: max(0, f – g) = 0, ∀s∈S\T. Hay đuơi của {max(0, fs – g)}s∈S nhỏ với bất kỳ g liên tục xác định dương. Vậy: {max(0, fs – g)}s∈S hữu hạn địa phương với bất kỳ g liên tục xác định dương. b) ⇒ a) Chứng minh: {fs}s∈S là đồng liên tục nghiêm ngặt Giả sử ε > 0, ta đặt ε = g. Ta cĩ: {max(0, fs – g)}s∈S = {max(0, fs – ε)}s∈S là hữu hạn địa phương. Theo định nghĩa (2.2.1), {fs}s∈S là đồng liên tục nghiêm ngặt. Vậy a) ⇔ b). a) ⇒ c) Chứng minh: {fs}s∈S là đồng liên tục
{fs}s∈S là đồng liên tục nghiêm ngặt, theo định nghĩa (2.2.1) suy ra: Với mỗi ε > 0 và mỗi x∈X, tồn tại lân cận V của x trong X và tập hữu hạn T ⊆ S sao cho:
fs liên tục, ∀s∈T. Nên ∀ε >0, ∀x∈X, ∃ lân cận U của x trong V: ( ) , , \ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , , \ 3 3 3 s s s s s s s f y y V s S T f z f y f z f y f z f y z y V s S T ε ε ε ε ε ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ − ≤ + ≤ + ≤ + = < ∀ ∈ ∀ ∈ 38 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) , \ 2 s s s s S s T s S\T s s s S\T s T s f x f x f x f x f x f x f x f x s S T . ε ε ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ = + = ⇒ = − < ⇒ < ∀ ∈ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Do đĩ: ∀ε >0, ∀x∈X, ∃U′ = U ∩ V là lân cận của x trong X sao cho: Vậy: {fs}s∈S đồng liên tục. Hơn nữa, nếu hữu hạn thì c) ⇒ a). Thật vậy: {fs}s∈S đồng liên tục, theo định nghĩa (2.2.2) suy ra: ∀ε >0, ∀x∈X, ∃U là lân cận của x trong X sao cho: fs(z) – fs(y) < ε, ∀s∈S, ∀y, z∈U. (∗∗) Khi đĩ: Tồn tại tập hữu hạn T ⊆ S sao cho: Từ (**), nếu s∈ S \ T và y∈U thì Vậy: {fs}s∈S là đồng liên tục nghiêm ngặt. (Định nghĩa 2.2.1) Kết luận: a), b) và c) tương đương nếu hữu hạn. Bây giờ chúng ta quan tâm đến tích của hai họ các hàm đồng liên tục. Do đĩ yếu tố đơn giản dưới đây cũng cần được xem xét vì nĩ cĩ thể áp dụng ( ) ( ) , , ,s sf z f y y z U s S.ε ′− < ∀ ∈ ∀ ∈ s s S f f ∈ =∑ s s S f f ∈ =∑ ( ) ( ) , 2 ( ) ( ) 2 2 2 s s s s f y f x x X f y f x . ε ε ε ε ε − < ∈ ⇔ < + < + = Suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , , 3 3 3 s s s sf z f y f z f y y z U s T .ε ε ε ε − ≤ + ≤ + = < ∀ ∈ ∀ ∈ 39 ( )1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ), ( ) , , , ( , ) , ( ), ( ) . s s s s d f x f x x x U s S d y y y f x y f x Y δ δ < ∀ ∈ ∀ ∈ ⇔ < = = ∈ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ( ( )) , ( ( )) ( )( ) , ( )( ) , , , s s s s d' h f x h f x d ' h f x h f x x x U s S. ε ε ⇔ < ⇔ < ∀ ∈ ∀ ∈  được cho trường hợp {fs + gt}s,t∈S , {max(0, fs – gt )}s,t∈S và những trường hợp tương tự. 2.2.4. Mệnh đề: Giả sử {fs : X → Y}s∈S và {gt : X → Y′}t∈T là hai họ các hàm từ khơng gian X tới các khơng gian mêtric (Y, d) và (Y′, d′ ). a) Nếu h : Y → Y′ là liên tục đều và {fs : X → Y}s∈S là đồng liên tục, thì {h ° fs : X → Y′ }s∈S là đồng liên tục. b) Hai họ là đồng liên tục nếu và chỉ nếu {hs,t : X → Y × Y′}s∈S xác định bởi hs,t(x) = (fs(x), gt(x)) là đồng liên tục. Chứng minh a) Chứng minh: đồng liên tục
h: Y → Y′ liên tục đều
{fs : X → Y}s∈S đồng liên tục ⇔ ∀δ > 0, a∈X, ∃ lân cận U của a trong X, với Suy ra: ∀ε > 0, a∈X, ∃ lân cận U của a trong X mà d′(h(y1), h(y2)) < ε . Vậy: đồng liên tục. b) Chứng minh: {fs}s∈S và {gt}t∈T đồng liên tục ⇔ {hs, t}s∈S, t∈T đồng liên tục Ta cĩ: (Y, d) và (Y′, d′ ) là khơng gian mêtric. Nên (Y×Y′, ρ) là khơng gian mêtric với ρ = d + d′. (Định nghĩa mêtric tích) { }:s s Sh f X Y ' ∈→ ( )( )1 2 1 2 1 20, 0 : , , ( , ) ( ), ( )y y Y d y y d' h y h y .ε δ δ ε⇔ ∀ > ∃ > ∀ ∈ < ⇒ < { }s s Sh f ∈ 40 ( )( ) , ( ) , , , , 2s s d f x f y s S x y Uε< ∀ ∈ ∀ ∈ ( )( ) , ( ) , , , . 2t t d' g x g y t T x y U'ε< ∀ ∈ ∀ ∈ (⇒) Chứng minh: {hs, t}s∈S, t∈T đồng liên tục Ta cĩ: {fs}s∈S và {gt }t∈T đồng liên tục. Nên: ∀ε > 0,∀a∈X, ∃ các lân cận U, U’ của a trong X sao cho: Vậy: {hs, t }s∈S, t∈T đồng liên tục. (Định nghĩa 2.2.2) (⇐) Chứng minh: {fs}s∈S , {gt}t∈T đồng liên tục
Các phép chiếu pi : Y × Y′ → Y và pi′ : Y × Y′ → Y′ liên tục đều.
pi liên tục đều, { hs, t : X → Y × Y′}s∈S, t∈T đồng liên tục. ⇒ {pi ° hs, t}s∈S, t∈T đồng liên tục. (Vì pi ° hs, t = fs) Do đĩ: {fs}s∈S đồng liên tục. (Mệnh đề 2.2.4a)
Tương tự {pi′° hs, t}s∈S, t∈T đồng liên tục. ⇒ {gt}t∈T đồng liên tục. (Vì pi′° hs, t = gt) Kết luận: {fs}s∈S, {gt}t∈T đồng liên tục khi và chỉ khi {hs, t}s∈S, t∈T đồng liên tục.  Chú ý: Các khái niệm chính thống của supremum, infimum của một tập con của tập số thực cĩ thể mở rộng một cách tự nhiên tới sup{fs}s∈S, inf{fs}s∈S của một họ các hàm lấy giá trị thực trên tập X bất kỳ. Kết quả sau đây rất cần thiết trong việc lấy tích các họ của các hàm đồng liên tục. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , , Suy ra : ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) , , , , . 2 2 s t s t s t s t s s t t h x h y f x g x f y g y d f x f y d ' g x g y s S t T x y U U ' ρ ρ ε ε ε = = + < + = ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∩ 41 ( ) ( ) , , , 2s s f x f y s S x y Uε− < ∀ ∈ ∀ ∈ { } (1) : ( ) ( ) ( ) , , , 2 2 sup ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) (3) 2 s s T s Ts T T T T f x f y f y s T x y U f x f y f x f y f y . ε ε ε ε ε ∈ < + ≤ + ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ ≤ + ⇒ ≤ + < + ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) (1) ( ) ( ) (2) s s s s s s s s s f x f y f y f x f y f x f y 2 f x f y 2 ε ε ε ε ε ε ⇔ − < − < ⇔ − + < < +  < + ⇔   > −  2.2.5. Mệnh đề: Giả sử {fs : X → R}s∈S là họ các hàm đồng liên tục. Nếu sup{fs}s∈S < ∞ (tương ứng inf{fs}s∈S > – ∞), thì họ {fT}T⊆ S đồng liên tục, với fT := sup{fs}s∈T (tương ứng fT := inf{fs}s∈T). Chứng minh Giả sử a∈X, ε > 0. Để chứng minh họ {fT}T⊆ S đồng liên tục, ta cần tìm một lân cận U của a trong X sao cho fT (x) – fT (y)< ε, ∀T ⊆ S, ∀x, y∈U. Thật vậy: i) Trường hợp 1: fT := sup{fs}s∈T
{fs}s∈S đồng liên tục nên tồn tại lân cận U của a trong X sao cho:
∀s∈S, T ⊆ S, fT := sup{fs}s∈T nên fs ≤ fT , ∀s∈T. ⇒ fs(y) ≤ fT(y), ∀s∈T, ∀y∈U.
42 (2) : ( ) ( ) ( ) 2 2s s T f x f y f yε ε> − ≥ − { }inf ( ) ( ) , 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) (6) s Ts T T T T T T f x f y s T S f x f y f y f x f y ε ε ε ε ∈ ⇒ ≥ − ∀ ∈ ⊆ ⇒ ≥ − > − ⇒ ≥ − { } (2) : ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) , 2 ( ) sup ( ) 2 ( ) ( ) ( ) (4) 2 s s T s s T s s T T T T f x f y f x f x f y s T f x f y f x f y f y . ε ε ε ε ε ∈ > − ⇒ ≥ > − ∀ ∈ ⇒ ≥ − ⇒ ≥ − > −
Từ (3) và (4) suy ra: fT (y) – ε < fT (x) < fT (y) + ε, ∀x, y∈U, ∀T⊆S ⇔ fT (x) – fT (y)< ε, ∀x, y∈U, ∀T⊆S. Vậy: {fT}T⊆ S đồng liên tục. ii) Trường hợp 2: fT := inf{fs}s∈T
∀s∈S, T⊆S, fT := inf{fs}s∈T ⇒ fs ≥ fT , ∀s∈T. ⇒ fs(y) ≥ fT (y), ∀s∈T, ∀y∈U.


Từ (5) và (6) ta được: fT (y) – ε < fT (x) < fT (y) + ε, ∀x, y∈U, ∀T⊆S ⇔ fT (x) – fT (y)< ε, ∀x, y∈U, ∀T⊆S. Vậy: {fT}T⊆ S đồng liên tục. { } (1) : ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) , , , 2 ( ) inf ( ) ( ) ( ) (5) 2 2 s s T s s T s T Ts T f x f y f x f x f y s T x y U f x f y f y f y . ε ε ε ε ε ∈ < + ⇒ ≤ < + ∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ ≤ + = + < + 43 1 1 1( ) max 0, ( ) ( ) max 0, ( ) ( ) 0. 2 2 2s s h a f a g s g s g s   ⇒ = − = = 〉        1 max 0, ( ) ( ) 2s s S f a g s ∈    −      sf f=∑ sf f=∑ { }sup , 1 max 0, . 2 s s s g f s S h f g = ∈   = −    Khái niệm sau đây cũng cần nên xem xét. 2.2.6. Định nghĩa phân hoạch xấp xĩ: Một phân hoạch đơn vị {gs}s∈S trên X là xấp xĩ của phân hoạch {fs}s∈S của f nếu gs(x) > 0 thì fs(x) > 0, với mỗi s∈S. 2.2.7. Hệ quả: Mỗi phân hoạch đồng liên tục {fs}s∈S của hàm hữu hạn và xác định dương f : X → (0,∞) đều cĩ một xấp xĩ hữu hạn địa phương {gs}s∈S sao cho cl(support gs) ⊂ support fs, s∈S. Chứng minh
Bằng cách thay thế fs bởi min(1, fs), chúng ta giả sử fs : X → [0, 1], s∈S.
Đặt Khi đĩ: g liên tục và cĩ giá trị dương, với mỗi a∈X, ∃s∈S : g(s) = fs(a) > 0. Hay hs ≡ 0 với tất cả s ngoại trừ một số hữu hạn s∈S. Vậy: {hs}s∈S là phân hoạch hữu hạn của hàm lấy giá trị dương và liên tục h : X → (0, ∞).
Mặt khác: {fs}s∈S là phân hoạch của hàm hữu hạn f nên hữu hạn. {fs}s∈S đồng liên tục và hữu hạn Thì hữu hạn địa phương. 44 1 1 ( ) ( ) ( ) 0. n n n n n x X x U f x f x f x ≥ ≥ ∈ ∈ = = 〉∑ ∑ : .ss hg h = Hay {hs}s∈S hữu hạn địa phương. Hiển nhiên {hs}s∈S là U-small. Vậy: {hs}s∈S là phân hoạch hữu hạn địa phương U-small của hàm lấy giá trị dương và liên tục h : X → (0, ∞) sao cho cl(support hs) ⊂ support fs , s∈S.
Đặt Khi đĩ: {gs}s∈S là xấp xĩ hữu hạn địa phương của {fs}s∈S sao cho cl(support gs) ⊂ support fs , s∈S. Khi cho trên khơng gian X một phủ mở U tất nhiên chúng ta phải tìm điều kiện đủ cho sự tồn tại của phân hoạch đơn vị U-small trên X. Trong trường hợp phủ đếm được chúng ta cĩ điều kiện cần và đủ sau đây: 2.2.8. Mệnh đề: Giả sử U = {Un}n≥1 là phủ mở đếm được của khơng gian X. Một phân hoạch đơn vị U-small trên X là tồn tại nếu và chỉ nếu tồn tại hàm lấy giá trị dương f : X → (0, ∞] cĩ phân hoạch U-small. Chứng minh (⇒) Chứng minh: Tồn tại hàm f : X → (0, ∞] cĩ phân hoạch U-small Giả sử F = {fn : X → [0, ∞)}n≥1 là phân hoạch đơn vị U-small trên X. ⇒ F là phân hoạch U-small trên X. Khi đĩ tồn tại hàm f : X → [0, ∞] sao cho 45 1 , 1 2n n f n> ∀ ≥ 1 1 1 1 2 = 1.12 1- 2 n n n n g ≥ ≥ = =∑ ∑ 1 min , , 1 2n n n g f n . = ∀ ≥    (Vì fn(x) ≠ 0, ∀x∈Un nên fn(x) > 0, ∀x∈Un) Vậy: F là phân hoạch U-small của hàm lấy giá trị dương f : X → (0, ∞]. (⇐) Chứng minh: Tồn tại phân hoạch đơn vị U-small trên X
Giả sử F = {fn : X → [0, ∞)}n ≥1 là phân hoạch U-small của hàm lấy giá trị dương f : X → (0, ∞].
Đặt i) Nếu thì gn = fn liên tục, ∀n≥1. Mà U là phủ mở đếm được của X nên fn là đếm được, ∀n≥1. Hơn nữa, do {fn}n ≥1 là phân hoạch của f. Nên {gn}n ≥1 là phân hoạch của hàm g := f. ii) Nếu thì liên tục, ∀n≥1. Ta cĩ: Do đĩ: {gn}n ≥1 là phân hoạch của hàm g ≡ 1.
Khi n càng lớn thì gn càng nhỏ. Tức là đuơi của {gn}n ≥1 càng nhỏ. Do đĩ: g liên tục (theo 2.1.8) hay {gn}n ≥1 là phân hoạch của hàm liên tục g.
Đặt Thì: i) hn liên tục. Hay {hn}n ≥1 là phân hoạch đơn vị trên X. (1) iii) F là U-small 1 , 1 2n n f n< ∀ ≥ 1 2n n g = , 1.nn gh n g = ∀ ≥ { }( ) 0 , 1 , ( ) 0, 1 n n n n f X U n x X U f x n ⇔ − ⊆ ∀ ≥ ⇔ ∀ ∈ − = ∀ ≥ 1 1 1 1 1) 1nn n n n n gii h g g . g g g≥ ≥ ≥ = = = ⋅ =∑ ∑ ∑ 46 , ( ) min ( ) , 0, 1 2 0, , 1 n n n n n n 1 x X U g x f x n g x X U n   ⇔ ∀ ∈ − = = ∀ ≥    ⇔ = ∀ ∈ − ∀ ≥ { } 0, , 1 0, , 1 ( ) 0 , 1. (2) n n n n n n g x X U n g h x X U n h X U n ⇔ = ∀ ∈ − ∀ ≥ ⇔ = ∀ ∈ − ∀ ≥ ⇔ − ⊆ ∀ ≥ Từ (1) và (2) suy ra {hn}n≥1 là phân hoạch đơn vị U-small trên X. Vậy: Tồn tại {hn}n≥1 là phân hoạch đơn vị U-small trên X. Mệnh đề (2.2.8) suy ra: Tất cả các khơng gian mêtric tách được là paracompact. Thật vậy: Để chứng minh các khơng gian mêtric tách được là khơng gian paracompact ta chỉ cần chứng minh tồn tại phân hoạch đơn vị U-small trong trường hợp phủ mở U ={Un}n≥1 của X đếm được với fn(x) = dist(x, X – Un), x∈X. Với cách định nghĩa hàm fn(x) như vậy, ta suy ra {fn}n≥1 là phân hoạch U-small của hàm lấy giá trị dương f : X → (0, ∞]. ⇒ Tồn tại phân hoạch đơn vị U-small trên X. (Theo 2.2.8) Vậy: X là paracompact. Dưới đây là điều kiện yếu nhất khái quát hĩa được sự tồn tại của phân hoạch đơn vị U-small. Sau đĩ chúng ta sẽ thấy điều kiện này kéo theo tất cả các định lý chính trên khơng gian paracompact. 2.2.9. Bổ đề: 47 s s T F ∈ ∪ \ .s s F x X U ∈ ∈ ∪ Giả sử U = {Us}s∈S là một phủ mở của khơng gian X và {fs: X →[0, 1]}s∈S là phân hoạch đồng liên tục U-small của hàm lấy giá trị dương f : X → (0, ∞]. Nếu S được sắp tốt thì các hàm gs := max(0, fs – sup{ ft | t < s }) cảm sinh một phân hoạch đồng liên tục U-small {gs}s∈S của hàm lấy giá trị dương g: X → (0, 1]. 2.2.10. Định lý về sự tồn tại phân hoạch đơn vị U-small: Giả sử U = {Us}s∈S là phủ mở của khơng gian chuẩn tắc X. Phân hoạch đơn vị U-small trên X là tồn tại nếu và chỉ nếu tồn tại họ đồng liên tục {ft}t∈T thỏa hai điều kiện sau đây: a) Với mỗi x∈X tồn tại t∈T sao cho ft(x) > 0. b) Với mỗi t∈T tồn tại tập con hữu hạn F của S với tính chất ft (x) = 0 với mọi 2.2.11. Định nghĩa closure-preserving: Phủ đĩng {Fs}s∈S của khơng gian X được gọi là closure-preserving nếu đĩng với mỗi tập con T của S. 2.3. Thác triển phân hoạch đơn vị Kết quả quan trọng của chúng ta trên khơng gian paracompact là định lý 2.3.9: Thác triển phân hoạch đơn vị bất kỳ trên khơng gian paracompact. Để làm được điều này, chúng ta lần lượt: 1. Thác triển phân hoạch {fs}s∈S của f |V , V là lân cận của f -1(0, ∞). 48 s s S g f ∈ =∑ 1 ( ) ( ) (0, ) s sg x f xx V x X x X V x X f − =∈ ∈ ⇒ ⇒  ∈ − ∈ − ∞  2. Thác triển phân hoạch {fs}s∈S của f |A , A là tập con đĩng của X. 3. Thác triển phân hoạch đơn vị hữu hạn trên X – chuẩn tắc. 4. Thác triển phân hoạch trên X – chuẩn tắc. 5. Thác triển phân hoạch hữu hạn địa phương trên X – paracompact. 6. Chứng minh sự tồn tại của phân hoạch hữu hạn địa phương. 7. Thác triển phân hoạch {fs}s∈S của f |A , A là tập con đĩng của X – paracompact. 8. Thác triển phân hoạch đơn vị {fs}s∈S của f |A , A là tập con đĩng dạng Gδ của X – paracompact. 9. Thác triển phân hoạch đơn vị trên khơng gian paracompact. 2.3.1. Mệnh đề: Giả sử {Us}s∈S là phủ mở của khơng gian X, f : X → [0, ∞) là hàm liên tục, V là lân cận của f -1(0, ∞) trong X và {fs}s∈S là phân hoạch UV-small của fV . Khi đĩ thác triển gs của fs sao cho gs(X - f -1(0, ∞)) ⊆ {0}, s∈S là một phân hoạch U-small của f . Chứng minh
Chứng minh: V là lân cận của f -1(0, ∞) trong X nên f -1(0, ∞) ⊆ V ⊆ X. Do đĩ: X – V ⊆ X – f -1(0, ∞). gs là thác triển của fs ⇔ gsV = fs . 49 , . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 s s s s s s s s s s V X V U X U s S U X x V U x X U x X V U X V X U g x f x g x ⊆  ⇒ − ⊆ − ∈⊆  ∈ − ∈ − ⇒  ∈ − ∪ = − ∩ − ._.