Ứng dụng biến phân trong kỹ thuật

c tế, nhiều bài toán chúng ta có thể đưa về việc tìm cực tiểu tích phân của các phiếm hàm (hàm của các hàm). Thủ tục toán học để xây dựng các phương trình chủ đạo theo hướng này gọi là tính toán biến phân. Tài liệu này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về phiếm hàm, tính toán biến phân cấp một của phiếm hàm và một số ứng dụng để xây dựng các phương trình chủ đạo cho các bài toán của lý thuyết đàn hồi. Từ khóa: phiếm hàm, biến phân cấp một, lý thuyết đàn hồi 1. Giới thiệu chung Bất kỳ một đại lượng khi mà đại lượng này nhận một giá trị cụ thể tương ứng với một vài hoặc nhiều hàm thì được gọi là phiếm hàm (Functional) [1-2]. Ví dụ 1 2 21 ( ') b a I u    ; 1 ( ) n i i i I u x    là những phiếm hàm. Một số phiếm hàm được cho dưới dạng biểu thức của các tích phân: - Trường hợp đơn giản: ( , , ') b a I F x u u dx  - Trường hợp có chứa đạo hàm bậc cao: ( )( , , ', '',..., ) b n a I F x u u u u dx  - Trường hợp có chứa nhiều hàm ẩn: ' ' ' 1 2 1 2( , , ,..., ; , ,..., ) b n n a I F x u u u u u u dx  - Trường hợp có chứa nhiều biến độc lập: ( , , , )x y S I F x y u u dxdy  - Trường hợp có thêm các điều kiện phụ: ( , , , ', ') b a I F x u v u v dx  , với ( , , )x u v constant  - Trường hợp có sự biến đổi tại các cận tích phân: ( , , ',...) b a I F x u u dx  , ở đây a và b thay đổi. Trong những biểu thức bên trên “I” đại diện cho một phiếm hàm và “F” là một hàm dưới dấu tích phân của các biến độc lập như x, y, và các biến phụ thuộc như u, v, u1, v1, u’1, u’1, Tính toán biến phân (Calculus of Variation) liên quan đến việc tìm cực tiểu hoặc cực đại của một phiếm hàm. Nhiều Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 10 phương pháp tính toán biến phân đã được phát triển cách đây hơn 200 năm (Euler (1701-1783), Lagrange (1736-1813),) [3]. Ngày nay, công cụ này vẫn tiếp tục được phát triển và xem là kỹ thuật quan trọng đối với nhiều nhánh của kỹ thuật và vật lý. 2. Biến phân cấp một của phiếm hàm 2.1. Định nghĩa biến phân cấp một của phiếm hàm Xét một phiếm hàm trong trường hợp đơn giản nhất: ( , , ') b a I F x u u dx  (2.1) ở đây: u(x) là hàm liên tục và khả vi với các đạo hàm liên tục u’(x) và u’’(x) (liên tục C2) trên đoạn [a,b] và thỏa mãn các điều kiện biên (Hình 1): ( ) ( ) a b u a u u b u    (2.2) Bây giờ chúng ta cần tìm trong số tất cả các hàm u(x) thỏa mãn những điều kiện đã cho sao cho tồn tại một hàm để phiếm hàm I trong (2.1) đạt cực trị. Hình 2.1: Minh họa các giá trị của hàm u(x) Gọi ( )x là một hàm tùy ý, liên tục C2 và thỏa mãn các điều kiện biên: ( ) ( ) 0a b   (2.3) Khi đó, bất kỳ một hằng số  đủ bé để sao cho hàm ( ) ( )u x x vẫn thỏa mãn điều kiện biên (2.2) và vì vậy được thừa nhận như là một hàm ứng tuyển khả dĩ. Tiếp đến, tiến hành thay thế lần lượt ( )u x bằng ( ) ( )u x x và '( )u x bằng '( ) '( )u x x trong (2.1), chúng ta nhận được một đại lượng khác J như là một hàm của  . ( ) ( , , ' ') b a J F x u u dx     (2.4) Nếu ( )u x là hàm nghiệm đúng để phiếm hàm I đạt cực trị, khi đó ( )J  đạt giá trị cực trị của phiếm hàm I tương ứng với ( )u x khi 0  . Nhưng để đạt được điều này chúng ta phải có: 0 ( ) ( ) 0 dJ dJ d d         (2.5) Xem x , u  , ' 'u  như là những biến độc lập của hàm dưới dấu tích phân F, chúng ta có thể đạo hàm (2.4) theo  dưới dạng: Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 11 ( ) ( , , ' ') ( , , ' ') ( ) ( ) ( , , ' ') ( ' ') ( ' ') b a dJ F x u u x F x u u u d x u F x u u u dx u                                            (Sử dụng các kết quả: 0 x     ; ( )u        ; ( ' ') ' u        ) Do đó: ( ) ( , , ' ') ( , , ' ') ' ( ) ( ' ') b a dJ F x u u F x u u dx d u u                          Từ điều kiện (2.5): 0 ( ) ( , , ') ( , , ') ' 0 ( ) ( ') b a dJ F x u u F x u u dx d u u                Hay:  '( , , ') ( , , ') ' 0 b u u a F x u u F x u u dx   (2.6) (Ở đây: ' ( , , ') ( , , ') ; ( ) ( ') u u F x u u F x u u F F u u       ) Biến đổi tích phân thứ hai của (2.6):   '' ' ' ( , , ') ( , , ') ' ( , , ') ( , , ') b b bb u u u u aa a a dF x u u F x u u dx F x u u d F x u u dx dx                Vì ( ) ( ) 0a b   nên  ' ( , , ') 0 b u a F x u u   Do đó: ' ' ( , , ') ( , , ') ' b b u u a a dF x u u F x u u dx dx dx            và (2.6) trở thành: ' ( , , ')( , , ') 0 b u u a dF x u u F x u u dx dx         (2.7) Đến đây, chúng ta có thể sử dụng một bổ đề quan trọng (Dubois–Reymond lemma) làm nền tảng cho kỹ thuật [4], đó là: Cho ( )x là một hàm liên tục trong đoạn [a,b]. Nếu ( ) ( ) 0 b a x x dx   đúng cho mọi hàm ( )x , hàm mà thỏa mãn các điều kiện: ( ) 0x  tại x = a và x = b, liên tục (kể cả các đạo hàm có bậc cần thiết), khi đó: ( ) 0x  . Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 12 Bây giờ, dựa trên bổ đề này, biểu thức (2.7) dẫn tới phương trình được gọi là ‘‘phương trình Euler-Lagrange’’ hoặc đơn giản gọi là ‘‘phương trình Euler’’. ' ( , , ')( , , ') 0,uu dF x u u F x u u a x b dx     (2.8) Lưu ý: - Với hàm ( )u x cho trước, chúng ta định nghĩa lượng biến đổi của ( )u x như là sự thay đổi của ( )x và được ký hiệu bởi: ( )u x  Tương tự, chúng ta định nghĩa: ' '( ) '' ''( );... u x u x       - Tương ứng với sự thay đổi của u, phiếm hàm, ví dụ ( , , ')F x u u thay đổi một lượng F ( , , ' ') ( , , ')F F x u u F x u u      Bây giờ, chúng ta tiến hành khai triển Taylor ( , , ' ')F x u u   trong lân cân của ( , , ')F x u u theo bậc của  và ' : Do đó: '( , , ')( ) ( , , ')( ')u uF F x u u F x u u VCB     Từ đó, chúng ta định nghĩa biến phân cấp 1 của phiếm hàm F là những thành phần đầu tiên của chuỗi trong khai triển Taylor, ký hiệu là F : '( , , ') ( , , ') ' ' ' u u F F F x u u u x u u u F u F u u u              (2.9) (Ở đây có sự tương tự đối với toán vi phân, đó là: ( , ) F F dF u v du dv u v       ) 2.2. Một số tính chất của biến phân (a) 1 2 1 2 ( )F F F F     (2.10) Chứng minh: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )F F F F F F F F F F             (b) 1 2 1 2 2 1 ( . )F F F F F F    (2.11) Chứng minh: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1( . ) ( )( ) .F F F F F F F F F F F F          (c) 1 2 1 1 2 2 2 2 F F F F F F F           (2.12) Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F                              (Bỏ qua lượng vô cùng bé 2 2 F F ) (d) Tính giao hoán của các toán tử vi phân và biến phân ( ) d du u dx dx          hoặc ( )' 'u u  (2.13) Chứng minh: ( ) ( ) ' ' d d d du u u dx dx dx dx                  Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 13 Cũng vậy: ( ) ( ) ,... x y u u u x x u u u y y                         (2.14) (e) Tính giao hoán của các tích phân xác định và biến phân Cho ( , , ') b a I F x u u dx  Ta có: ( , , ') ( , , ') b b a a I F x u u dx F x u u dx     (2.15) Vì toán tử  không liên quan đến biến x trong biểu thức tính tích phân nên toán tử  có thể đưa vào trong của dấu tích phân. 3. Một số ứng dụng của biến phân trong kỹ thuật 3.1. Bài toán dầm đàn hồi chịu uốn 3.1.1. Dầm đơn giản, chịu tác dụng của mômen tập trung ở hai đầu Xét một dầm đơn giản, chịu tác dụng của mômen tập trung M0 tại hai đầu dầm như hình 3.1 [4]. Hình 3.1: Dầm đàn hồi chịu tác dụng của mômen tập trung - Giải bài toán theo sức bền vật liệu: Theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, phương trình vi phân chủ đạo của dầm chịu uốn: 2 2 ( ) 0 d y EI M x dx   (3.1) ở đây : E là môđun đàn hồi, I là mômen quán tính của mặt cắt ngang trong mặt phẳng uốn, L là chiều dài của dầm. Điều kiện biên của bài toán: (0) 0 ( ) 0 y y L    (3.2) Với bài toán hiện tại, M0 là giá trị tải trọng cho trước và là một hằng số. Do đó 0( )M x M và (3.1) trở thành: 0 ''EIy M (3.3) Nghiệm của phương trình (3.3): 0( ) ( ) 2 M y x x x L EI   (3.4) - Bài toán cũng có thể được giải theo lý thuyết biến phân như sau: Năng lượng toàn phần (bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt (Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli)): 2 0 0 ' 2 L EIy I U M y dx          W (3.5) Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng (bỏ qua ảnh hưởng của phần năng lượng do từ, nhiệt, điện,): 0I  Hay Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 14 2 0 0 0 0 ' ' ' 0 2 L LEIy M y dx EIy y dx M y              (3.6) Đối với tích phân đầu tiên: 0 0 0 0 ' ' ' ( ) ' '' L L LL EIy y dx EIy d y EIy y EIy ydx           Từ đó:  00 0' '' 0 LL EIy y EIy M ydx    (3.7) Phương trình (3.7) tồn tại khi: 0y  tại x = 0 và x = L (3.8) và 0'' 0, (0 )EIy M x L    (3.9) (3.9) là phương trình Euler theo lý thuyết tính toán biến phân và cũng chính là phương trình vi phân cân bằng của dầm (Sức bền vật liệu). Giải phương trình (3.9), kết hợp điều kiện biên tại hai đầu dầm (3.8) (không tồn tại chuyển vị), ta được: 0( ) ( ) 2 M y x x x L EI   (3.10) Kết quả (3.4) và (3.10) trùng nhau. 3.1.2. Dầm đơn giản, chịu tác dụng của tải phân bố đều Xét một dầm đơn giản, chịu tác dụng của lực phân bố đều q như hình 3.2 [5]. Hình 3.2: Dầm đàn hồi chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều - Giải bài toán theo sức bền vật liệu: Theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, phương trình vi phân chủ đạo của dầm chịu uốn: 2 2 ( ) 0 d y EI M x dx   (3.11) ở đây: E là môđun đàn hồi, I là mômen quán tính của mặt cắt ngang trong mặt phẳng uốn, L là chiều dài của dầm. Điều kiện biên của bài toán: (0) 0 ( ) 0 y y L    (3.12) Với bài toán hiện tại, q là giá trị tải trọng cho trước và là một hằng số. Do đó 2( ) ( ) 2 q M x Lx x  và (3.11) trở thành: 2'' ( ) 2 q EIy Lx x  (3.13) Nghiệm của phương trình (3.13): 3 2 3( ) 2 24 qx y x x Lx L EI       (3.14) - Bài toán cũng có thể được giải theo lý thuyết biến phân như sau: Năng lượng toàn phần (bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt (Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli): 2 0 '' 2 L EIy I U W qy dx           (3.15) Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng (bỏ qua ảnh hưởng của phần năng lượng do từ, nhiệt, điện,): 0I  Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 15 Hay:   2 0 0 '' '' '' 0 2 L LEIy qy dx EIy y q y dx              (3.16) Đối với tích phân đầu tiên: 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 '' '' '' ( ') '' ' ''' ' '' ' ''' ( ) '' ' ''' L L LL LL LL L IV EIy y dx EIy d y EIy y EIy y dx EIy y EIy d y EIy y EIy y EIy ydx                       Do đó, (3.16) trở thành:  ( )0 0 0'' ' ''' 0 LL L IVEIy y EIy y EIy q ydx      (3.17) Phương trình (3.17) tồn tại khi: Tại x = 0 và x = L: '' 0EIy  hoặc 0y  (3.18) và ( ) 0, (0 )IVEIy q x L    (3.19) (3.19) là phương trình Euler theo lý thuyết tính toán biến phân và cũng chính là phương trình vi phân cân bằng của dầm (sức bền vật liệu). Kết quả giải phương trình (3.19) với các điều kiện biên (3.18) về chuyển vị và mômen tại các gối không tồn tại, ta được:  3 2 32 24 qx y x Lx L EI     (3.20) Kết quả (3.14) và (3.20) trùng nhau. 3.2. Bài toán thanh chịu tác dụng lực dọc trục Xét một thanh có mặt cắt ngang không đổi A, sơ đồ liên kết và chịu lực dọc trục q như hình 3.3 [5]. Hình 3.3: Thanh chịu tải dọc trục - Lời giải bài toán theo phương pháp tích phân trực tiếp: Phương trình vi phân cân bằng cho bài toán thanh như sau: 2 2 ( )d u x q E dx A   (3.21) Hay: 2 2 ( )d u x q dx EA   (3.22) Điều kiện biên của bài toán: 0 (0) 0 ( ) x u du x L EA L P dx         (3.23) Tích phân hai lần phương trình (3.22) và dùng điều kiện biên (3.23), ta được: 2( ) 2 q q u x x Lx EA EA    (3.24) - Lời giải bài toán theo phương pháp biến phân: Năng lượng toàn phần của thanh: 2 0 ' 2 L EAu I U qu dx          W (3.25) Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 16 Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng (bỏ qua ảnh hưởng của phần năng lượng do từ, nhiệt, điện,): - 0I  Hay   2 0 0 ' ' ' 0 2 L LEAu qu dx EAu u q u dx              (3.26) Đối với tích phân đầu tiên: 0 0 0 0 ' ' ' ( ) ' '' L L LL EAu u dx EAu d u EAu u EAu udx           Từ đó:   0 0 ' '' 0 LL EAu u EAu q udx    (3.27) Phương trình (3.27) tồn tại khi: Tại x = 0: 0u  (3.28) tại x = L: ' 0EAu  (3.29) và '' 0EAu q  (3.30) (3.30) là phương trình Euler theo lý thuyết tính toán biến phân và cũng chính là phương trình vi phân cân bằng của thanh (sức bền vật liệu). Lời giải (3.30) hoàn toàn giống (3.22). 3.3. Bài toán dây chịu tác dụng lực phân bố ngang đều Hình 3.4: Dây chịu kéo bởi lực ngang phân bố đều Cho một sợi dây có chiều dài L, được cố định ở hai đầu, trên dây chịu tác dụng của tải trọng ngang đồng phẳng w0 bằng hằng số như hình 3.4 [5]. Gọi T là lực kéo trong sợi dây, ta có: Năng lượng toàn phần của dây: I U W (3.31) Ở đây : U là năng lượng biến dạng trong dây, được xác định 2 2 0 0 1 1 2 L Ldy T dy U T dx dx dx dx                     (3.32) Và W là công của ngoại lực, được tính 0 0 L W w ydx  (3.33) Do đó (3.31) được viết lại: 2 0 0 2 L T dy I w y dx dx             (3.34) Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng: 0I  Hay 2 0 00 0 0 2 L LT dy dy dy w y dx T w y dx dx dx dx                                   (3.35) Đối với tích phân đầu tiên của (3.35): 0 0 2 20 0 ( ) L L L L dy dy dy T dx T d y dx dx dx dy d y T y T ydx dx dx                                       Do đó, (3.35) trở thành: 2 020 0 0 0 L L Ldy d y T y T ydx w ydx dx dx                   Hay 2 020 0 0 L Ldy d y T y T w ydx dx dx                    (3.36) Bản tin Khoa học và Công nghệ Newsletter of Science and Technology Số 1/2019 No 1/2019 17 Phương trình (3.36) tồn tại khi: Tại x = 0 và x = L: 0y  (3.37) và 2 02 0 d y T w dx        (3.38) (3.38) là phương trình Euler theo lý thuyết tính toán biến phân và cũng chính là phương trình vi phân cân bằng của dây. Lời giải giải tích phương trình (3.38):  0 2 w x y L x T   (3.39) 4. Kết luận Tính toán biến phân là một trong những ứng dụng rất phổ biến trong việc thiết lập các phương trình chủ đạo cho các bài toán giá trị biên. Từ các phương trình chủ đạo này chúng ta có thể tiến hành tìm nghiệm giải tích cho các bài toán hoặc các lời giải xấp xỉ. Do đó, ứng dụng của tính toán biến phân trong việc giải quyết các bài toán kỹ thuật là rất quan trọng và hữu ích. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. J. N. Reddy (1993), An introduction to the finite element method, McGraw-Hill, Inc. 2. E. Ventsel and T. Krauthammer (2001), Thin Plates and Shells (Theory, Analysis, and Applications), Marcel Dekker, Inc. 3. Abdusamad A. Salih (2004), Finite element methods in engineering, Lecture notes, Department of Aerospace Engineering Indian Institute of Space Science and Technology, India. 4. E. Miersemann (2012), Calculus of variations, Lecture notes, Department of Mathematics Leipzig University. 5. T. Senjuntichai and T. Pothisi (2013), Finite element method for civil engineers, Lecture notes - Chulalongkorn University.