Vai trò của tham số tự do trong phương pháp toán tử qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa

...................................................................................................................... 3 2TLỜI MỞ ĐẦU2T ....................................................................................................................... 4 2TChương 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG2T .................................................................. 7 2T1.1 Sơ đồ Rayleigh-Schrưdinger và phương pháp nhiễu loạn dừng:2T ................................... 7 2T1.2 Bài tốn dao động tử phi điều hịa:2T ............................................................................... 9 2TChương 2: PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ VÀ BÀI TỐN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HỊA BẬC BỐN2T ............................................................................................................................ 13 2T .1 Phương pháp tốn tử và bài tốn dao động tử phi điều hịa bậc bốn:2T .......................... 13 2T .2 Kết quả:2T ..................................................................................................................... 16 2TChương 3: VAI TRỊ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ QUA VÍ DỤ BÀI TỐN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HỊA BẬC BỐN2T ................................................ 19 2T3.1 Tham số tự do ω và lý thuyết cực tiểu năng lượng:2T .................................................... 19 2T3.2 Kết quả khảo sát thực tế và phương pháp dùng tỉ số 2T 2 2 nn nn V H 2T :2T ......................................... 22 2TKẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI2T .............................................................. 31 2T ÀI LIỆU THAM KHẢO2T ................................................................................................... 32 2TPHỤ LỤC2T ............................................................................................................................ 33 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện khĩa luận này, tơi đã nhận được sự quan tâm hỗ trợ rất lớn từ phía các thầy cơ trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh. Xin được được bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc đến cơ Hồng Đỗ Ngọc Trầm, người đã khơng chỉ hướng dẫn tơi hồn thành khĩa luận này mà cịn truyền đạt cho tơi nhiều bài học quý báu. Ngồi ra cũng xin được gởi lời cảm ơn đến thầy Lê Văn Hồng nĩi riêng cũng như các thầy cơ trong tổ Vật lý lý thuyết nĩi chung đã đĩng gĩp cho tơi nhiều ý kiến, kinh nghiệm quý báu để tơi cĩ thể hồn thành tốt khĩa luận này. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình đã luơn ở bên cạnh và động viên tơi trong suốt những năm học đại học cũng như trong trong quá trình hồn thành khĩa luận. Xin chân thành cảm ơn. Dương Nhật Huy LỜI MỞ ĐẦU Nhân loại bước vào thế kỷ XXI với những thành tựu vĩ đại của khoa học cơng nghệ, trong đĩ phải kể đến những bước tiến lớn trong lĩnh vực tiến cơng vào thế giới vi mơ. Trong thời gian gần đây, hoạt động nghiên cứu và ứng dụng các cơng nghệ ở cấp độ nguyên tử và hạ nguyên tử ngày một phát triển mạnh, điều này địi hỏi phải cĩ một cơng cụ đủ mạnh để giải quyết các bài tốn về những hệ lượng tử với độ chính xác ngày càng cao. Như chúng ta đã biết, việc giải phương trình Schrưdinger là nhiệm vụ quan trọng của các bài tốn về hệ lượng tử. Tuy nhiên trong đa số các trường hợp, việc tìm nghiệm chính xác là khơng thể và ta phải tìm nghiệm của phương trình Schrưdinger bằng các phương pháp gần đúng. Một trong các phương pháp gần đúng mạnh và được biết đến nhiều nhất là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý tưởng chính của phương pháp này là tách tốn tử Hamilton của bài tốn thành hai thành phần: một thành phần cĩ thể tìm nghiệm chính xác, thành phần cịn lại được gọi là nhiễu loạn. Điều kiện để áp dụng phương pháp này là thành phần nhiễu loạn phải “nhỏ” so với thành phần cĩ thể tìm nghiệm chính xác. Đây cũng chính là một trong những hạn chế lớn của phương pháp này, vì trong thực tế cĩ nhiều bài tốn thành phần được tách ra lại khơng đủ “nhỏ” để được xem như là thành phần nhiễu loạn. Do đĩ, phương pháp này chỉ áp dụng được cho một số ít các bài tốn. Vì vậy, việc tìm ra một phương pháp để giải quyết các bài tốn phi nhiễu loạn là hết sức cần thiết. Trong luận văn này, chúng tơi sử dụng phương pháp tốn tử (Operator Method) là một trong các phương pháp mạnh để giải các bài tốn phi nhiễu loạn được nêu ở trên [6],[8]. Phương pháp tốn tử được nhĩm nghiên cứu của giáo sư Komarov L.I. ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng vào những năm 80 [6] và đã ứng dụng thành cơng cho một loạt các bài tốn khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài tốn lý thuyết trường [2]. Qua các bài tốn đã được giải quyết, phương pháp tốn tử đã cho thấy những điểm ưu việt và hiệu quả của nĩ so với phương pháp nhiễu loạn cũng như các phương pháp tính gần đúng đã biết khác như: - Đơn giản hĩa việc tính tốn do trong suốt quá trình tính tốn chỉ sử dụng các phép tính thuần đại số. Vì vậy, ta cĩ thể sử dụng các chương trình lập trình tính tốn như Matlab, Mathematica, Fortran,… để tự động hĩa quá trình tính tốn. - Cho phép tính tốn trên các cơ hệ lượng tử với trường ngồi cĩ cường độ bất kỳ. - Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sĩng của hệ trong tồn miền thay đổi tham số trường ngồi. Ý tưởng chính của phương pháp tốn tử nằm trong bốn bước sau: - Biểu diễn tốn tử Hamilton qua các tốn tử sinh hủy của Dirac ˆ ˆ( , ) ( , , )ω+→H x p H a a ; - Tách tốn tử Hamilton thành hai thành phần: trung hịa 0 ˆ ˆ( , )ω+H a a và khơng trung hịa ˆ ˆ( , , )ω+V a a ; - Chọn tham số ω sao cho thành phần trung hịa là thành phần chính của tốn tử Hamilton và nghiệm riêng của 0 ˆ ˆ( , )ω+H a a chính là năng lượng gần đúng bậc khơng của bài tốn; - Xem thành phần khơng trung hịa là thành phần “nhiễu loạn” và tính các bổ chính bậc cao của bài tốn bằng các sơ đồ thích hợp. Một trong những ưu điểm của phương pháp tốn tử là cĩ thể chọn tham số ω để điều chỉnh tốc độ hội tụ của bài tốn. Trong các cơng trình trước [6], [8], [9], chúng tơi đã sử dụng điều kiện cực tiểu hĩa năng lượng, tức xác định ω thơng qua điều kiện ( )0 0 ω ∂ = ∂ nE . Cách chọn này đã cho thấy sự hiệu quả trong một số bài tốn [6], tuy nhiên vẫn cho thấy sự hạn chế trong một số trường hợp phức tạp hơn [8]. Do đĩ, trong luận văn này chúng tơi tiến hành khảo sát riêng tham số ω để tìm được cách chọn ω tốt nhất nhằm tối ưu hĩa tốc độ tính tốn. Mục tiêu của luận văn này là: - Tìm hiểu về phương pháp nhiễu loạn và phương pháp tốn tử, so sánh hai phương pháp trên thơng qua ví dụ về bài tốn dao động tử phi điều hịa; - Khảo sát sự hội tụ của bài tốn dao động tử phi điều hịa theo tham số ω, từ đĩ kiểm tra một phương pháp mới để chọn tham số tự do ω là dựa vào sự thay đổi của biểu thức 2 2 nn nn V H , tức là dựa vào mối quan hệ giữa VRnnR và HRnnR. Ngồi phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương: Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng Giới thiệu các ý tưởng của phương pháp nhiễu loạn dừng thơng qua sơ đồ Rayleigh- Schrưdinger. Áp dụng sơ đồ trên để giải bài tốn dao động tử phi điều hịa, từ các kết quả thu được tác giả sẽ phân tích các điểm cịn hạn chế của phương pháp trên. Mặc dù cịn nhiều hạn chế nhưng các ý tưởng chính của phương pháp nhiễu loạn là nền tảng quan trọng để xây dựng nên phương pháp tốn tử được sử dụng trong luận văn này. Chương 2: Phương pháp tốn tử và bài tốn dao động tử phi điều hịa bậc bốn. ˆ ˆ( , , )ω+V a a Chương này sẽ giới thiệu một cách tổng quát về phương pháp tốn tử: sự hình thành, các ý tưởng chính, ưu điểm và nhược điểm. Ngồi ra, tác giả cũng sẽ áp dụng phương pháp tốn tử cho một bài tốn cụ thể là bài tốn dao động tử phi điều hịa bậc bốn để thấy được những ưu điểm của phương pháp này so với phương pháp nhiễu loạn đã được nêu ở trên. Chương 3: Vai trị của tham số ω trong phương pháp tốn tử qua ví dụ bài tốn dao động tử phi điều hịa bậc bốn. Chương này sẽ phân tích cụ thể hơn vai trị của tham số ω đối với việc tối ưu hĩa quá trình tính tốn dựa trên kết quả một bài tốn cụ thể là bài tốn dao động tử phi điều hịa bậc bốn. Ngồi ra, tác giả cũng sẽ đề xuất và kiểm tra một phương pháp mới để chọn tham số ω là phương pháp dựa vào tỉ số 2 2 nn nn V H . Với các kết quả so sánh, tác giả sẽ phân tích các trường hợp đáp ứng tốt cũng như chưa tốt của phương pháp trên để từ đĩ đưa ra các kết luận, đề xuất cải tiến phương pháp sao cho hiệu quả hơn. Phần kết luận và hướng phát triển đề tài: Phương pháp khảo sát dựa vào tỉ số 2 2 nn nn V H áp dụng tốt cho các trường hợp ở trạng thái kích thích. Riêng với trạng thái cơ bản, phương pháp trên chỉ đáp ứng tốt khi hệ số phi điều hịa bé. Do đĩ, tác giả đề xuất cần khảo sát kỹ hơn trường hợp cơ bản với các hàm sĩng bậc cao hơn. Ngồi ra, để khơng mất tính tổng quát, cần áp dụng các kết quả cĩ được trong luận văn này để khảo sát các bài tốn khác phức tạp hơn như bài tốn exciton, bài tốn nguyên tử Hidro. Chương 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG Trong chương này, tác giả sẽ giới thiệu về lý thuyết nhiễu loạn thơng qua sơ đồ Rayleigh- Schrưdinger, sơ đồ thơng dụng nhất được trình bày trong phần lớn các sách giáo khoa về Cơ học lượng tử. Ngồi ra, tác giả cũng sẽ giới thiệu và phân tích các kết quả cụ thể của phương pháp nhiễu loạn trên bài tốn dao động tử phi điều hịa bậc 4 để cho thấy những điểm cịn hạn chế của phương pháp trên. 1.1 Sơ đồ Rayleigh-Schrưdinger và phương pháp nhiễu loạn dừng: Như chúng ta đã biết, phương trình Schrưdinger là phương trình động học của Cơ học lượng tử và việc giải quyết các bài tốn trong thế giới vi mơ đều dẫn đến việc giải phương trình trên. Tuy nhiên, phương trình Schrưdinger lại là một phương trình phức tạp mà ta chỉ cĩ thể tìm được nghiệm chính xác của nĩ trong một số ít trường hợp đơn giản như bài tốn nguyên tử Hidro, bài tốn dao động tử điều hịa, chuyển động của hạt vi mơ trong hố thế vuơng gĩc,…Do đĩ, khi xét đến các hệ lượng tử thực với độ phức tạp cao hơn thì việc tìm nghiệm chính xác là điều khơng thể và ta phải dùng đến các phương pháp gần đúng để tìm hàm riêng và trị riêng của nĩ. Mặc dù vẫn cịn nhiều hạn chế nhưng phương pháp nhiễu loạn là một trong những phương pháp tính gần đúng quan trọng hiện nay của Cơ học lượng tử. Trong phần này, chúng tơi sẽ giới thiệu phương pháp nhiễu loạn dừng dựa trên một trong những sơ đồ được sử dụng thơng dụng nhất của phương pháp này là sơ đồ Rayleigh-Schrưdinger. Xét phương trình Schrưdinger: ˆ ( ) ( )H x E xΨ = Ψ . (1.1) Ý tưởng chính của phương pháp nhiễu loạn là ta tách tốn tử Hamilton của bài tốn thành hai thành phần: 0ˆ ˆ ˆH H Vβ= + ; (1.2) trong đĩ thành phần 0Hˆ là tốn tử Hamilton cĩ nghiệm riêng chính xác: 0ˆ n n nH ψ ε ψ= , (1.3) trong khi thành phần Vˆ cịn lại được gọi là thành phần nhiễu loạn, điều kiện để được xem là nhiễu loạn ta sẽ xét trong trường hợp cụ thể sau. Tuy nhiên nhìn chung điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với 0Hˆ , 0ˆ ˆV H= . Khi đĩ, nghiệm của phương trình (1.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (1.1). Lúc này chúng ta xem nε và nψ là nghiệm gần đúng bậc zero của (1.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh hưởng của Vˆ thơng qua các bổ chính năng lượng và hàm sĩng. Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn β để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính tốn qua số mũ của β . Giả thiết rằng các trị riêng của Hˆ là khơng suy biến và cĩ phổ gián đoạn, hệ hàm riêng nψ của 0Hˆ là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng nε , với 0,1,2,...n = . Khi đĩ, chúng ta tìm nghiệm của (1.1) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của 0Hˆ như sau: 0 ( ) ( )k k k x C xψ +∞ = Ψ =∑ . Khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể giả thuyết hàm sĩng cho trạng thái n như sau: 0 ( ) ( ) ( ) ( )n n k k k k n x x C xψ ψ +∞ = ≠ Ψ = + ∑ . (1.4) Thế vào phương trình (1.1) ta cĩ: 0 0, 0, ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n k k n n k k k k n k k n H V x C x E x C xβ ψ ψ ψ ψ +∞ +∞ = ≠ = ≠     + + = +        ∑ ∑ . (1.5) Nhân hai vế của (1.5) với *( )n xψ rồi tích phân theo tồn miền biến số x ta được: 0 ( ) nn nn k nk n k k n H V C V Eβ β +∞ = ≠ + + =∑ . (1.6) Bây giờ làm tương tự như trên cho *( ),j x j nψ ≠ ta cĩ: 0 ( ) j jj jn k jk n j k k n C H V C V E Cβ β +∞ = ≠ + + =∑ . (1.7) Ta viết (1.6) và (1.7) lại như sau: 0, n nn nn k nk k k n E H V C Vβ β +∞ = ≠ = + + ∑ , (1.8) 0 ( )n jj j jn k jk k k n E H C V C Vβ β +∞ = ≠ − = + ∑ , ( )j n≠ (1.9) với ký hiệu các yếu tố ma trận: * 0ˆ( ) ( )kk k kH x H x dxψ ψ +∞ −∞ = ∫ , * ˆ( ) ( )jk j kV x V x dxψ ψ +∞ −∞ = ∫ . (1.10) Hệ phương trình đại số (1.8) - (1.9) cĩ thể xem tương đương với phương trình Schrưdinger (1.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng nE và các hệ số jC , nghĩa là tìm được hàm sĩng ( )n xΨ qua cơng thức (1.4). Ta cĩ thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn như sau: (0) ( ) 1 s s n n s E E Eβ +∞ = = + ∆∑ , (1.11) (0) ( ) 1 ,s sj j j s C C C j nβ +∞ = = + ∆ ≠∑ (1.12) Ở đây ta ký hiệu (0) (0),n jE C là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, cịn ( ) ( ), , 1s sn jE C s∆ ∆ ≥ là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sĩng. Đem (1.11) và (1.12) thế vào (1.9), (1.10) sau đĩ đồng nhất hai vế theo bậc s ta được: (0) (0), 0n nn jE H C= = , (1) (1) (0), ( ) jn n nn j n jj V E V C j n E H ∆ = ∆ = ≠ − ; 2 :s ≥ ( ) ( 1) 0 s s n nk k k k n E V C +∞ − = ≠ ∆ = ∆∑ , 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) (0) 0 1 1 ( ) s s s s t t j jk k n j k tn jj k n C V C E C j n E H +∞ − − − = = ≠    ∆ = ∆ − ∆ ∆ ≠ −     ∑ ∑ . (1.13) Đây là sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn mà ta sẽ sử dụng trong các phần sau. 1.2 Bài tốn dao động tử phi điều hịa: Ta xét bài tốn dao động tử phi điều hịa một chiều với tốn tử Hamilton cĩ dạng sau: 2 2 4 2 1 1ˆ 2 2 dH x x dx λ= − + + (1.14) với hệ số phi điều hịa 0λ > . Bài tốn này cĩ dạng chuyển động trong hố thế và cĩ các mức năng lượng gián đoạn. Phương pháp nhiễu loạn được sử dụng cho bài tốn này trong hầu hết các sách giáo khoa về cơ học lượng tử [1],[5]. Ta chia tốn tử Hamilton thành hai phần như sau: 2 2 0 2 1 1ˆ 2 2 dH x dx = − + , 4Vˆ xλ= . (1.15) Cách chia này phù hợp với lý thuyết nhiễu loạn là tốn tử Hamilton gần đúng 0Hˆ cĩ nghiệm riêng chính xác là các hàm sĩng của dao động tử điều hịa: ( ) 2 exp 2n n n xA H xψ   = −    , (1.16) với ( )nH x là đa thức Hermit được định nghĩa như sau: ( ) 2 2( 1) n n x x n n dH x e e dx −= − ; hàm sĩng này ứng với trị riêng là năng lượng gần đúng bậc zero 1/ 2n nε = + . Các yếu tố ma trận của các tốn tử 0Hˆ và Vˆ ứng với các hàm số (1.16) cĩ thể tính được như sau: 1 2nn H n= + , , , 2 (2 3) ( 2)( 1)2n n V n n nλ+ = + + + , , 4 ( 4)( 3)( 2)( 1)4n n V n n n nλ+ = + + + + 2(6 6 3) 4nn V n nλ= + + . (1.17) Các yếu tố ma trận khác khơng khác thu được từ tính đối xứng: km mkV V= . Kết quả: Trong các bảng sau tác giả sẽ đưa ra các số liệu thu được cho trường hợp trạng thái cơ bản 0n = và một trạng thái kích thích 4n = . Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn µ µ 0ψ ψ ψ ψ=n n n nV H lúc này trở thành: ( ) 2 2 2 1 6 6 3 λ + + + = n n n . (1.18) - Ứng với trạng thái cơ bản là: 0.67λ = , ta sẽ xét bốn trường hợp 0.01λ = , 0.05λ = , 0.1λ = và 0.3λ = . - Tương tự cho trạng thái kích thích 4n = điều kiện (1.18) trở thành 0.146λ = ta sẽ xét bốn trường hợp 0.01λ = , 0.03λ = , 0.06λ = và 0.1λ = . Bảng.1.1: Trạng thái cơ bản 0n = 0.01λ = 0.05λ = 0.1λ = 0.3λ = ( )0 0E 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 ( )1 0E 0.5075000000 0.5375000000 0.5750000000 0.7250000000 (2) 0E 0.5072375000 0.5309375002 0.5487500013 4.8875000929 ( )3 0E 0.5072583125 0.5335390626 0.5695624993 1.0506874797 ( )4 0E 0.5072558996 0.5320310060 0.5454335949 -0.9037538228 ( )5 0E 0.5072562577 0.5331500624 0.5812433983 7.7980283886 ( )6 0E 0.5072561937 0.5321503309 0.5172605857 -38.8454419856 ( )7 0E 0.5072562070 0.5331891854 0.6502339597 251.9673269259 ( )8 0E 0.5072562038 0.5319607395 0.3357518043 -1811.3500941848 ( )9 0E 0.5072562047 0.5335887505 1.1692934364 14595.2498498883 ( )10 0E 0.5072562044 0.5311982288 -1.2786007173 -129950.4520395805 Bảng.1.2: Trạng thái kích thích 4n = : 0.01λ = 0.03λ = 0.06λ = 0.1λ = ( )0 4E 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 ( )1 4E 4.8075000000 5.4225000000 6.3450000000 7.5750000000 (2) 4E 4.7668874959 5.0569874638 4.8829498552 3.5137495980 ( )3 4E 4.7775845596 5.3458081837 7.1935156144 14.2108132978 ( )4 4E 4.7738544635 5.0436703988 2.3593110572 -23.0901477918 ( )5 4E 4.7753851516 5.4156275988 14.2619414562 129.9786587800 ( )6 4E 4.7746833968 4.9040483689 -18.4791292566 -571.7761147298 ( )7 4E 4.7750329077 5.6684285196 79.3615300321 2923.3320274444 ( )8 4E 4.7748469756 4.4448528730 -232.9328160495 -15669.8670185477 ( )9 4E 4.7749514618 6.5051300165 820.0470425212 888816.3030916408 ( )10 4E 4.7748899061 2.8703274765 -2901.9907584706 -526740.6987256789 Với các kết quả thu được, ta thấy rằng ở trạng thái cơ bản, phương pháp nhiễu loạn chỉ cho kết quả tốt trong trường hợp hệ số phi điều hịa rất bé so với giá trị giới hạn (0.01). Tuy nhiên, với giá trị vẫn cịn khá nhỏ của λ, độ chính xác đã giảm xuống đáng kể (chỉ chính xác đến hàng phần trăm) và xuất hiện dấu hiệu của sự phân kỳ. Với giá trị λ=0.1, mặc dù vẫn cịn nhỏ hơn giá trị giới hạn, nhưng sự phân kỳ đã xuất hiện rất rõ và chúng ta chỉ cĩ thể sử dụng đến bổ chính bậc 5, các bổ chính lớn hơn khơng cịn mang ý nghĩa vật lý. Với 0.3λ ≥ trở đi, phương pháp nhiễu loạn khơng cịn áp dụng được nữa. Tương tự với các trạng thái kích thích, phương pháp nhiễu loạn cũng chỉ áp dụng được trong các trường hợp giá trị λ thỏa mãn điều kiện µ µ0ψ ψ ψ ψ=n n n nV H và hầu như chỉ sử dụng được các bổ chính bậc thấp, các bổ chính bậc cao hầu như khơng cĩ ý nghĩa. Từ các kết quả trên, ta cĩ thể nhận thấy rằng phương pháp nhiễu loạn cĩ độ hội tụ khơng cao, chỉ áp dụng được trong những trường hợp λ bé và khi trạng thái kích thích càng cao thì miền áp dụng lại càng bị thu hẹp lại. Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ VÀ BÀI TỐN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HỊA BẬC BỐN Chương này sẽ trình bày về các ý tưởng chính của phương pháp tốn tử, đồng thời áp dụng nĩ để giải lại bài tốn dao động tử phi điều hịa đã được nhắc tới ở chương trước. Từ các kết quả thu được, tác giả sẽ phân tích những ưu điểm của phương pháp tốn tử so với phương pháp nhiễu loạn. Mặc dù cịn nhiều hạn chế, nhưng chúng ta cũng cĩ thể thấy được rằng phương pháp nhiễu loạn đã gĩp phần đưa ra những ý tưởng cơ bản cho phương pháp tốn tử. 2.1 Phương pháp tốn tử và bài tốn dao động tử phi điều hịa bậc bốn: Những ý tưởng về phương pháp tốn tử đã xuất hiện vào những năm 1979 [9]. Tuy nhiên, phương pháp tốn tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhĩm các giáo sư ở trường Đại học Belarus và được ứng dụng thành cơng trong một nhĩm rộng rãi các bài tốn về vật lý chất rắn, bài tốn tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường, bài tốn nguyên tử, phân tử trong trường điện từ [3],[4],[7]. Ta sẽ trình bày các điểm chính của phương pháp tốn tử trên cơ sở ví dụ bài tốn dao động tử phi điều hịa một chiều. Kết quả thu được sẽ so sánh với phương pháp nhiễu loạn ở phần 1.2. Xét phương trình Schrưdinger (1.1) cho dao động tử phi điều hịa với tốn tử Hamilton khơng thứ nguyên (1.14). Ta sẽ giải phương trình này bằng phương pháp tốn tử với bốn bước cơ bản như sau: Bước một: Chuyển tốn tử Hamilton về biểu diễn của các tốn tử sinh - hủy bằng cách đặt biến số động lực (tọa độ và tốn tử đạo hàm) thơng qua các tốn tử sau: 1ˆ ˆ ˆ ; 2 2 1ˆ ˆ ˆ . 2 2 i da x p x dx i da x p x dx ω ω ω ω ω ω ω ω +                         = + = + = − = − (2.1) Ở đây tốn tử aˆ được gọi là “tốn tử hủy” và aˆ+ được gọi là “tốn tử sinh” (xem [1],[5]); ω là tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính tốn, ta sẽ nĩi rõ hơn về tham số này trong bước ba và phần sau của luận văn. Ta dễ dàng thu được hệ thức giao hốn: ˆ ˆ, 1a a+   = . (2.2) Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các tốn tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các tốn tử sinh nằm ở phía bên trái và các tốn tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các tính tốn đại số sau này. Từ đây về sau ta gọi nĩ là dạng chuẩn (normal) của tốn tử. Thế (2.1) vào (1.14) và sử dụng (2.2), ta được biểu thức dạng chuẩn của tốn tử Hamilton như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 4 4 3 24 3 2 2 1 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1 4 4 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 6 6 . 4 H a a a a a a a a a a a a a a a a ω ω λ ω ω ω λ ω + + + + + + + +                 + −= + + + + + + + + + + + + (2.3) Bước hai: Tách Hamiltonian ở phương trình (2.3) thành hai thành phần như sau: - Phần thứ nhất là ( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+ chỉ chứa các thành phần ˆ ˆ ˆn a a+= , các thành phần này được gọi là các tốn tử “trung hịa”, nghĩa là các số hạng chứa số tốn tử sinh và số tốn tử hủy bằng nhau: ( ) ( ) 2 2 0 2 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1 4 4 OMH a a a a a aω λ ω ω + + +     += + + + + . (2.4) - Phần cịn lại ta kí hiệu là ( )ˆ ˆ ˆ, , ,OMV a a λ ω+ . Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở đây ta tách tốn tử Hamilton thành hai thành phần: thành phần ( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+ cĩ nghiệm chính xác mà chúng ta sẽ dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần ( )ˆ ˆ ˆ, , ,OMV a a λ ω+ được xem như thành phần “nhiễu loạn” sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ” để thỏa điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn thơng qua việc chọn tham số ω . Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 00ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a Eλ ω ψ ψ+ = . (2.5) Ta thấy ( )0ˆ ˆ ˆ, ,OMH a a λ ω+ giao hốn với tốn tử ˆ ˆ ˆn a a+= và nghiệm của nĩ dễ dàng xây dựng như sau: ( )1 ˆ( ) 0 ! n n a n ω += , (2.6) Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đĩ nghiệm (1.24) ta gọi là vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân khơng” (vacuum) 0 được xác định bằng phương trình: ˆ( ) 0 0; 0 0 1a ω = = . (2.7) Khi cần thiết chúng ta cĩ thể sử dụng phương trình này để xác định dạng tường minh của hàm sĩng biểu diễn trạng thái chân khơng. Từ các tính chất của tốn tử sinh – hủy (1.20), ta dễ dàng kiểm chứng: ˆ ˆ ;a a n n n+ = (2.8) điều này cĩ nghĩa là trạng thái (2.7) là nghiệm riêng của tốn tử ˆ ˆ ˆn a a+= , từ đĩ cĩ thể thấy rằng nĩ cũng chính là nghiệm riêng của tốn tử ( )0ˆ ˆ ˆ, ,H a a λ ω+ . Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) 2 0 2 2 1 32 1 2 2 1 4 4n E n n nω λ ω ω += + + + + (2.9) là năng lượng gần đúng bậc khơng tìm được phụ thuộc vào tham số ω . Như đã nĩi, đây là tham số được đưa vào để tối ưu hĩa quá trình tính tốn, ta xác định ω từ điều kiện: ( )0 0.nE ω ∂ = ∂ (2.10) Tiêu chí để chọn giá trị ω theo phương pháp tốn tử đã được thảo luận trong một số cơng trình (xem [6],[9]) và đã chỉ ra rằng phương trình (2.10) cho ta kết quả tương đối chính xác ở gần đúng bậc zero đối với nhiều bài tốn khác nhau. Phương trình này cũng phù hợp với điều kiện 0 ˆ ˆH V>> . Với bài tốn chúng ta đang xét, điều kiện (2.10) dẫn tới phương trình để xác định ω như sau: ( ) ( ) ( )3 22 1 2 1 6 2 2 1 0n n n nω ω λ+ − + − + + = . (2.11) Bước bốn: Phương pháp tốn tử tìm nghiệm bằng số: Đến đây chúng ta cĩ thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn (1.11)-(1.13) để tính các bổ chính bậc cao. Ngồi ra, do tính hội tụ của phương pháp tốn tử rất cao và chúng ta cĩ tham số tự do ω để điều khiển tốc độ hội tụ, ta cĩ thể sử dụng phương pháp vịng lặp để giải trực tiếp hệ phương trình (1.8)-(1.9). Phương pháp vịng lặp cho ta sơ đồ sau: ( )( ) 0, n s ss n nn nn k nk k k n E H V C V + = ≠ = + + ∑ , ( ) ( 1) ( ) 0 ( ) n s s s s n jj j jn k jk k k n E H C V C V + + = ≠ − = +∑ , (2.12) với điều kiện ban đầu là ( ) ( )0 0,jC j n= ≠ . Chú ý rằng ở đây chúng ta khơng cần sử dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho 1β = . Ngồi ra các giá trị ( )( ) , ssn jE C tương ứng với các bước lặp khác nhau chứ khơng phải là bổ chính. Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn được định nghĩa như (1.10), viết lại như sau: 0ˆ OMkkH k H k= , ˆjkV j V k= ; các phần tử ma trận này cĩ thể tính một cách dễ dàng bằng các biến đổi thuần đại số nhờ các hệ thức (2.2), (2.7). Để tiện trong tính tốn ta đưa ra hai cơng thức sau: ˆ ˆ1 1 ; 1 .a n n n a n n n+ = + + = − (2.13) Cách tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần đại số là một trong những ưu điểm của phương pháp tốn tử. Thật vậy, thay vì định nghĩa các phần tử ma trận như (1.10) và tính các tích phân tương ứng với các hàm sĩng ở dạng tường minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số nhờ các hệ thức (2.2) và (2.7) và cụ thể là sử dụng (2.8) và (2.13). Kết quả ta cĩ các phần tử ma trận khác khơng như sau (xem phụ lục 3): ( ) ( ) 2 2 2 1 32 1 2 2 1 4 4nn H n n nω λ ω ω += + + + + , ( ) ( ) ( ) 2 , 2 2 1 2 3 2 1 4 2n n V n n nω λ ω ω+       −= + + + + , ( ) ( ) ( ) ( ), 4 2 4 3 2 1 ;4n nV n n n n λ ω+ = + + + + (2.14) các phần tử ma trận khác thu được dựa vào tính đối xứng nm mnV V= . 2.2 Kết quả: Bảng.2.1: Phương pháp OM cho trạng thái cơ bản 0n = 0.01λ = 0.05λ = 0.1λ = 0.3λ = 1.5λ = ( )0 0E 0.5072875 0.53310181 0.56030737 0.64162986 0.89581792 ( )1 0E 0.50725627 0.53265332 0.55920022 0.63833728 0.88647098 (2) 0E 0.50725627 0.53265336 0.55920043 0.63833858 0.88647706 ( )3 0E 0.50725620 0.53264195 0.55914212 0.63797283 0.88477781 ( )4 0E 0.50725620 0.53264335 0.55915195 0.63805733 0.88525604 ( )5 0E 0.50725620 0.53264260 0.55914457 0.63796813 0.88462605 ( )6 0E 0.50725620 0.53264283 0.55914751 0.63801524 0.88502178 ( )7 0E 0.50725620 0.53264273 0.55914573 0.63797690 0.88463332 ( )8 0E 0.50725620 0.53264277 0.55914671 0.63800453 0.88496195 ( )9 0E 0.50725620 0.53264275 0.55914609 0.63798175 0.88464335 ( )10 0E 0.50725620 0.53264276 0.55914649 0.63800055 0.88494854 ( ) 0 TE 0.50725620 0.53264275 0.55914632 0.63799178 0.88479443 Bảng.2.1: Phương pháp OM cho trạng thái kích thích 4n = 0.01λ = 0.03λ = 0.06λ = 0.1λ = 1.5λ = ( )0 4E 4.77402649 5.20086071 5.69163300 6.20519257 12.28126648 ( )1 4E 4.77502613 5.20618235 5.70398382 6.22585316 12.39708482 (2) 4E 4.77491518 5.20517700 5.70108541 6.22041107 12.35724872 ( )3 4E 4.77491319 5.20515405 5.70103082 6.22034316 12.35822818 ( )4 4E 4.77491314 5.20515230 5.70102178 6.22031937 12.35780347 ( )5 4E 4.77491312 5.20515109 5.70101460 6.22029984 12.35750145 ( )6 4E 4.77491312 5.20515121 5.70101550 6.22030269 12.35756777 ( )7 4E 4.77491312 5.20515114 5.70101486 6.22030041 12.35750140 ( )8 4E 4.77491312 5.20515116 5.70101505 6.22030120 12.35753138 ( )9 4E 4.77491312 5.20515115 5.70101496 6.22030077 12.35751031 ( )10 4E 4.77491312 5.20515115 5.70101500 6.22030097 12.35752305 ( ) 4 TE 4.77491312 5.20515115 5.70101495 6.22030088 12.35751765 Từ các kết quả thu được, ta cĩ thể nhận thấy rằng phương pháp tốn tử cĩ thể tìm ra được nghiệm với độ chính xác cao, với mọi giá trị bất kỳ của λ, đối với trạng thái cơ bản hay kích thích. Tuy chỉ giải trên một bài tốn cụ thể là bài tốn dao động tử phi điều hịa bậc 4 nhưng sơ đồ tính tốn của nĩ khơng phụ thuộc và dạng cụ thể của tốn tử Hamilton nên cĩ thể áp dụng cho một nhĩm rộng rãi các bài tốn. Chương 3: VAI TRỊ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ QUA VÍ DỤ BÀI TỐN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HỊA BẬC BỐN Trong chương này, chúng ta sẽ đi sâu vào tìm hiểu một trong những khĩ khăn hiện tại mà phương pháp tốn tử gặp phải là tối ưu tốc độ của phương pháp bằng việc chọn tham số tự do ω thích hợp. Như chúng ta đã biết, sự hội tụ nhanh hay chậm của một bài tốn khi áp dụng phương pháp tốn tử phụ thuộc khá nhiều vào việc chọn tham số tự do ω. Một trong những phương pháp đã được đề xuất để giải quyết vấn đề này là lý thuyết cực tiểu hĩa năng lượng. Tuy nhiên, qua một số bài tốn cụ thể, lý thuyết này vẫn cho thấy những hạn chế nhất định [8]. Nhằm đĩng gĩp cho việc phát triển phương pháp tốn tử, tác giả sẽ đề xuất một phương pháp mới để chọn giá trị của tham số ω nhằm đạt được tốc độ hội tụ tối ưu cho bài tốn, đĩ là khảo sát giá trị ω dựa vào tỉ số 2 2 nn nn V H . Dựa trên kết quả khảo sát cụ thể trên bài tốn dao động tử phi điều hịa, chúng ta sẽ phân tích để tìm được vùng tối ưu mà phương pháp mới đáp ứng tốt, cũng như những trường hợp mà phương pháp này khơng cho kết quả thỏa đáng để từ đĩ đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo để hồn thiện phương pháp tìm ω trên. 3.1 Tham số tự do ω và lý thuyết cực tiểu năng lượng: Như chúng ta đã biết, tham số tự do ω trong tốn tử sinh – hủy Dirac ở cơng thức (2.1) là một số thực dương cĩ thể được chọn bất kỳ. Theo như lý thuyết, kết quả cuối cùng cho bởi phương pháp tốn tử sẽ khơng phụ thuộc vào việc chọn tham số tự do ω. Qua Bảng.3.1, ta cũng cĩ thể thấy là với các giá trị ω khác nhau, ta đều thu được cùng một kết quả cho từng trường hợp n và λ cụ thể. Tuy khơng ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng nhưng việc chọn tham số ω lại ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ của bài tốn. Nếu chọn được tham số ω thích hợp, bài tốn sẽ cho kết quả hội tụ rất nhanh. Trong trường hợp ngược lại, kết quả sẽ hội tụ chậm. Ta cĩ thể thấy rõ điều này qua Bảng.3.1: với cùng một trường hợp, khi chọn ω khác nhau thì số vịng lặp (s) để đạt tới kết quả sau cùng là khác nhau. Và ngồi ra chúng ta cũng cĩ thể nhận thấy rằng cĩ một vùng các giá trị ω mà ở đĩ, bài tốn hội tụ rất nhanh. Mặc dù một trong những ưu điểm của phương pháp tốn tử là cĩ thể tự động hĩa quá trình tính tốn và tốc độ của các máy tính hiện ._.