Xây dựng hàm băm trên các cấp số nhân cyclic

ew hash function is also presented. I. MỞ ĐẦU Cụm từ hàm băm có nguồn gốc lịch sử từ khoa học máy tính, nó biểu thị một hàm dùng để nén một chuỗi đầu vào tùy ý thành một chuỗi có độ dài cố định ở đầu ra. Hàm băm còn được phổ biến rộng rãi dưới cái tên hàm băm mật mã. Hàm băm sẽ tạo ra một kết quả ở đầu ra từ bản tin đầu vào, đầu ra này được biết đến với nhiều tên khác nhau: mã băm, kết quả băm, giá trị băm, mã xác thực. Hàm băm dùng để tính giá trị băm của một tài liệu số (văn bản số, ảnh số,...). Giá trị băm có thể xem như “đại diện” của tài liệu số hay “tóm lược” thông báo và được sử dụng trong một số ứng dụng như: Xác thực tính toàn vẹn của dữ liệu; xác thực số, chữ ký số, bảo vệ bản quyền tài liệu số, nhân dạng mật khẩu; nhận dạng đối tượng... 1. Định nghĩa hàm băm Định nghĩa 1: Hàm băm là một hàm có ít nhất hai tính chất sau: + Tính chất nén: sẽ ánh xạ một đầu vào có độ dài bit hữu hạn tuỳ ý tới một đầu ra có độ dài bit hữu hạn. + Tính chất dễ dàng tính toán: Với cho trước và một đầu vào , có thể dễ dàng tính được . 2. Một số tính chất của hàm băm không khoá Giả sử là một hàm băm không có khoá, và là các đầu vào, và là các đầu ra tương ứng. Ngoài hai tính chất cơ bản trên ta còn có 3 tính chất sau: a) Tính khó tính toán nghịch ảnh: Đối với hầu hết các đầu ra được xác định trước, khó có khả năng tính toán để tìm một đầu vào bất kỳ mà khi băm sẽ cho ra đầu ra tương ứng (Tức là tìm một nghịch ảnh sao cho với cho trước và không biến đổi đầu vào tương ứng). b) Khó tìm nghịch ảnh thứ hai: Khó có khả năng tính toán để tìm một đầu vào đã cho trước (Tức là với cho trước phải tìm sao cho ) c) Tính khó va chạm. Khó có khả năng tính toán để tìm hai đầu vào khác nhau bất kỳ và để sao cho . Định nghĩa 2: Hàm băm một chiều (OWHF - oneway hash function). OWHF là một hàm băm có tính chất bổ sung là: - Khó tìm nghịch ảnh - Khó tìm nghịch ảnh thứ hai. Định nghĩa 3: Hàm băm khó va chạm (CRHF: Collision Resistant HF) CRHF là một hàm băm có tính chất bổ sung là: - Khó tìm nghịch ảnh thứ hai - Khó và chạm Xây dựng hàm băm trên các cấp số nhân cyclic Constructing Hash Function Based on Cyclic Geometric Progressions Hồ Quang Bửu, Ngô Đức Thiện, Trần Đức Sự Các công trình nghiên cứu, phát triển và ứng dụng CNTT-TT Tập V-1, Số 7 (27), tháng 5/2012 - 99 - II. CÁC SƠ ĐỒ XÂY DỰNG HÀM BĂM Phân loại các hàm băm cho trong sơ đồ Hình 1. Trong đó: MAC: Message Authentication Code. MDC: Modification Detection Code. Hình 1. Phân loại các hàm băm 1. Các hàm băm không có khoá Định nghĩa 4: Mật mã khối là một mã khối xác định một hàm khả nghịch từ các bản rõ bit sang các bản bit bằng cách sử dụng một khoá bit. Nếu là một phép mã hoá như vậy thì ký hiệu cho phép mã hoá bằng khoá . Định nghĩa 5: Cho là một hàm băm có lặp được xây dựng từ một mật mã khối với hàm nén thực hiện phép mã hoá khối để xử lý từng khối bản tin bit. Khi đó tốc độ của là . a. MDC độ dài đơn Ba sơ đồ Hình 2, 3 và 4 dưới đây có liên quan chặt chẽ với các hàm băm độ dài đơn, xây dựng trên các mật mã khối. Các sơ đồ này có sử dụng các thành phần được xác định trước như sau: - Một mật mã khối bit khởi tạo được tham số hoá bằng một khoá đối xứng . - Một hàm ánh xạ bit vào thành khoá sử dụng cho (Nếu các khoá cho cũng có độ dài thì có thể là hàm đồng nhất). Một giá trị ban đầu IV thích hợp dùng với . Hình 4. Sơ đồ Miyaguchi – Preneel b. MDC độ dài kép: MDC-2 và MDC-4 MDC-2 và MDC-4 là các mã phát hiện sự sửa đổi yêu cầu tương ứng là 2 và 4 phép toán mã hoá khối trên mỗi khối đầu vào hàm băm. Các sơ đồ này sử dụng 2 hoặc 4 phép lặp của sơ đồ M-D-O để tạo ra hàm băm có độ dài kép. Khi sử dụng DES thì MDC-2 và MDC-4 sẽ tạo ra mã băm 128 bit. Tuy nhiên trong cấu trúc tổng quát có thể dùng các hệ mật mã khối khác. MDC-2 và MDC-4 sử dụng các thành phần xác định như sau: - DES được dùng làm mật mã khối có đầu vào /đầu ra là 64 bit và với khoá 56 bit. - Hai hàm và ánh xạ các giá trị 64 bit U thành các khoá DES 56 bit như sau: Cho , xoá mọi bit thứ 8 và đặt các bit thứ 2 và thứ 3 về "10" đối với , và "01" đối với . Hình 2. Matyas-Mayer–Oseas Hình 3. Davies-Mayer OWHF CRHF Các ứng dụng khác MDC Các ứng dụng khác MAC Hàm băm Không có khóa Có khóa Các công trình nghiên cứu, phát triển và ứng dụng CNTT-TT Tập V-1, Số 7 (27), tháng 5/2012 - 100 - Đồng thời phải đảm bảo các khoá DES không yếu hoặc nửa yếu vì các khoá loại này có bit thứ hai bằng bit thứ ba, và cũng đảm bảo yêu cầu bảo mật là . Hình 5. Thuật toán MDC-2 Hình 6. Thuật toán MDC-4 Các thuật toán MDC-2 và MDC-4 được mô tả trong Hình 5 và Hình 6. 2. Các hàm băm có khoá (MAC) Các hàm băm có khoá được sử dụng để xác thực thông báo và thường được gọi là các thuật toán tạo mã xác thực thông báo (MAC). MAC dựa trên các mật mã khối, thuật toán như sau: Vào: Dữ liệu x, mật mã khối E, khoá MAC bí mật K của E. Ra: n bit MAC trên x (n là độ dài khối của E) (1) Độn và chia khối: Độn thêm các bit vào x nếu cần. Chia dữ liệu đã độn thành khối, mỗi khối n bit: . (2) Xử lý theo chế độ CBC. Ký hiệu là phép mã hoá E với khoá K. Tính khối như sau: (3) Xử lý thêm để tăng sức mạnh của MAC: Dùng một khoá bí mật thứ hai . Tính: (4) Kết thúc: MAC là khối bit . Hình 7. Sơ đồ Miyaguchi – Preneel 3. Một số phương pháp toàn vẹn dữ liệu và xác thực thông báo Xác thực thông báo là một thuật ngữ được dùng tương đương với xác thực nguyên gốc của dữ liệu. Có ba phương pháp xác định tính toàn vẹn của dữ liệu bằng cách dùng các hàm băm: - Chỉ dùng MAC (Hình 8). - Dùng MDC và mã hoá (Hình 9). - Sử dụng MDC và kênh tin cậy (Hình 10) Xử lý thêm IV=0 MDC-2 MDC-2 Int 3 Int 4 Int 2 Int 1 Int 3 Int 4 Int 2 Int 1 Out 1 Out 2 Int3 Int1 Int2 Int4 Out 1 Out 2 Các công trình nghiên cứu, phát triển và ứng dụng CNTT-TT Tập V-1, Số 7 (27), tháng 5/2012 - 101 - Hình 8. Toàn vẹn dữ liệu dùng MAC Hình 9. Toàn vẹn dữ liệu dùng MDC và mã hóa Hình 10. Toàn vẹn dữ liệu dùng MDC và kênh tin cậy III. XÂY DỰNG HÀM BĂM KHÔNG KHÓA TRÊN CÁC CẤP SỐ NHÂN CYCLIC 1. Nhóm nhân của vành đa thức Định nghĩa 6: Tập các đa thức trong vành đa thức với một phép toán nhân đa thức tạo nên một nhóm nhân . Nếu thì . Trong nhóm nhân tồn tại phần tử đơn vị với . Bổ đề 1: Trong vành với , tập các đa thức có trọng số lẻ sẽ tạo nên một nhóm nhân các đa thức theo modulo [1]. Bổ đề 2: Mọi phần tử trong nhóm nhân G có cấp là hoặc có cấp là ước của [1]. Bổ đề 3: Số các thặng dư bậc hai trong nhóm nhân G của vành được xác định như sau [1]: Các phần tử cấp n và nhóm nhân cyclic cấp n. Xét với . Ta có bổ đề sau: Bổ đề 4: Đa thức là phần tử cấp khi nó có chứa một số lẻ các đơn thức có mũ lẻ có cấp và một số chẵn các đơn thức có mũ chẵn có cấp là ước của . Số các đa thức cấp n bằng [1]. Ví dụ 1: Với , có tất cả các phần tử cấp . Ta có thể sử dụng các phần tử này để xây dựng các nhóm nhân cyclic cấp . Có tất cả các nhóm nhân cyclic cấp và nhóm nhân I cũng thuộc vào lớp các nhóm nhân này. Ta gọi I là nhóm nhân cyclic đơn vị. 2. Các cấp số nhân cyclic cấp n Nếu ta nhân các phần tử của một nhóm nhân cyclic cấp với một phần tử bất kỳ trong nhóm nhân của vành đa thức ta sẽ thu được một cấp số nhân có công bội là phần tử sinh của nhóm nhân và có số hạng ban đầu là đa thức đem nhân. Bổ đề 5: Số các cấp số nhân cyclic cấp xây dựng được trong G được xác định như sau [1]: 3. Xây dựng hàm băm trên các cấp số nhân cyclic Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một phương pháp xây dựng hàm băm 128 bit dựa trên các cấp số nhân cyclic của vành đa thức, với nền tảng là sơ đồ hàm băm Matyas–Mayer–Oseas như Hình 2, đầu ra Kênh tin cậy Kênh không an toàn Thông báo Thuật toán MDC Thông báo Thông báo Thuật toán MDC Khóa bí mật Kênh không an toàn Thông báo MDC Thông báo MDC Thuật toán Thông báo MAC Khóa bí mật Kênh không an toàn Thông báo Thuật toán MAC Các công trình nghiên cứu, phát triển và ứng dụng CNTT-TT Tập V-1, Số 7 (27), tháng 5/2012 - 102 - có độ dài 128 bit. Khối mật mã trong sơ đồ này được xây dựng theo mô hình mạng hoán vị thay thế Feistel (Hình 11). Hình 11. Sơ đồ khối mã hóa E Khối E sẽ mã hóa cho chuỗi bit có độ dài 128. Trong sơ đồ hình 11 các hoán vị IP và hoán vị đảo được chúng tôi xây dựng và phát triển từ các bảng IP và của hệ mật DES, cho trong Bảng 1 và Bảng 2. Hàm được xây dựng trên cơ sở hệ mật sử dụng các cấp số nhân cyclic trên vành đa thức có hai lớp kề. Các khóa là các phần tử trong một cấp số nhân được chọn như sau [5]: Bảng 1. Bảng hoán vị ban đầu (IP) 122 114 106 98 90 82 74 66 58 50 42 34 26 18 10 124 116 108 100 92 84 76 68 60 52 44 36 28 20 12 126 118 110 102 94 86 78 70 62 54 46 38 30 22 14 128 120 112 104 96 88 80 72 64 56 48 40 32 24 16 121 113 105 97 89 81 73 65 57 49 41 33 25 17 9 123 115 107 99 91 83 75 67 59 51 43 35 27 19 11 125 117 109 101 93 85 77 69 61 53 45 37 29 21 13 127 119 111 103 95 87 79 71 63 55 47 39 31 23 15 Bảng 2. Bảng hoán vị đảo (IP-1) 80 16 96 32 112 48 128 64 79 15 95 31 111 47 127 63 78 14 94 30 110 46 126 62 77 13 93 29 109 45 125 61 76 12 92 28 108 44 124 60 75 11 91 27 107 43 123 59 74 10 90 26 106 42 122 58 73 9 89 25 105 41 121 57 72 8 88 24 104 40 120 56 71 7 87 23 103 39 119 55 70 6 86 22 102 38 118 54 69 5 85 21 101 37 117 53 68 4 84 20 100 36 116 52 67 3 83 19 99 35 115 51 66 2 82 18 98 34 114 50 65 1 81 17 97 33 113 49 với là một đa thức có trọng số lẻ tùy ý sao cho: ; là một phần tử nguyên thủy của nhóm nhân cyclic có cấp bằng và cũng là một đa thức có trọng số lẻ [3]. Giả sử ta chọn khóa , Phần tử đầu là . Phần tử đầu của cấp số nhân và cũng là khóa đầu tiên là: . (Chú ý giá trị là dạng biểu diễn số mũ của đa thức). Sơ đồ khối bộ mã hóa với khóa như trong Hình 12. Hoán vị ban đầu Hoán vị đảo Dữ liệu mã hóa 128 bit L16 (64) R16 (64) ƒ K16 L15 (64) R15 (64) ƒ K1 L1 (64) R1 (64) IP Dữ liệu bản rõ 128 bit IP-1 L0 (64) R0 (64) Các công trình nghiên cứu, phát triển và ứng dụng CNTT-TT Tập V-1, Số 7 (27), tháng 5/2012 - 103 - Hình 12. Sơ đồ khối mã hóa f với khóa Một khâu mã hóa được thực hiện theo quy tắc: Khối trong sơ đồ Hình 11 thực hiện việc trích trọn các khóa cho các vòng tiếp theo của quá trình băm. Khối mật mã trong sơ đồ sử dụng các khóa có độ dài 61 bit. Trong 61 bit khóa ở bước thứ do khối tạo ra thì 60 bit đầu tiên sẽ được trích trọn từ 128 bit của còn bit thứ 61 là bit kiểm tra chẵn lẻ. Việc trích trọn được lấy liên tục các bit cách nhau 2 vị trí trong (trong khoảng bit 1 đến bit 120). Dưới đây là một vài kết quả đánh giá của hàm băm xây dựng trên các cấp số nhân cyclic. Bảng 3. Khoảng cách Hamming khi các khối dữ liệu khác khối ban đầu 1 bit. TT Bản rõ Giá trị băm 1 0123456789ABCDEF 0123456789ABCDEF 4771249F4AB0E564 908F1456E0D3A239 0 2 2123456789ABCDEF 0123456789ABCDEF 7B13337D3B31DC7B 91287CE5FCDFD274 56 3 0323456789ABCDEF 0123456789ABCDEF 995F0EF13134BFAF D43A47B676DFA356 62 4 0133456789ABCDEF 0123456789ABCDEF 00EEA6CB284338F5 704DE9AFEC8A592C 68 5 012B456789ABCDEF 0123456789ABCDEF 0BC2CE7B57041014 0609BC377F579110 62 6 0123056789ABCDEF 0123456789ABCDEF E1EDDCED0686C4F6 E1DACEE0AA906D52 64 7 0123476789ABCDEF 0123456789ABCDEF 09B62BF471BA9644 A9C64A47762FF6BD 60 8 0123457789ABCDEF 0123456789ABCDEF 0CA4992082D77070 73C61EA33CE5D66D 68 9 0123456389ABCDEF 0123456789ABCDEF 1E25F66DC86E2888 44CCBDC4367DA463 64 10 0123456799ABCDEF 0123456789ABCDEF 1AD3061B585D4602 FBEBA645F50D0203 58 11 012345678DABCDEF 0123456789ABCDEF E1589BF99823EF04 1210020DA32B4C50 64 12 01234567898BCDEF 0123456789ABCDEF 1EE7BE47AC923862 90929EA7F6E837C1 60 13 0123456789AFCDEF 0123456789ABCDEF BEB0D922F4ECAE48 CF098E0B9CCDF9CE 78 14 0123456789AB8DEF 0123456789ABCDEF AD5C0C8D0A61348B B96861BE92EEBB16 64 15 0123456789ABC5EF 0123456789ABCDEF 7906EF1395B4DE95 522E47E70DD5C738 64 16 0123456789ABCDFF 0123456789ABCDEF FD4109489863FD3B 4E79C434BF8355DC 72 17 0123456789ABCDEB 0123456789ABCDEF C6DBEA49E116BEDC 1FF11DF8F7A44A3F 68 18 0123456789ABCDEF 8123456789ABCDEF BBE4AE6094334B90 49D253F55195427D 70 19 0123456789ABCDEF 0323456789ABCDEF BA79EFB1AF077CB5 1988B7580AEA44C1 68 20 0123456789ABCDEF 0133456789ABCDEF 22C2135FCD25DB6C BB0CE7ED5F43BEFE 66 21 0123456789ABCDEF 0121456789ABCDEF ADFA46A0CEC37C5A E0C53DAF31B45B8D 68 22 0123456789ABCDEF 0123056789ABCDEF A0A88D98F147A0D7 C4284C7EAF58BC1F 68 23 0123456789ABCDEF 0123416789ABCDEF 8DD5B3218D448641 313E52AD01747037 68 24 0123456789ABCDEF 0123457789ABCDEF 62F9919F4FF1A2AE 27C31BD6042FBB04 54 25 0123456789ABCDEF 0123456589ABCDEF FF3D7A429626EF4E C61B8CF1325300F4 60 26 0123456789ABCDEF 0123456799ABCDEF 48CBABA51460CEF1 4ABFA6A62B4C006B 66 27 0123456789ABCDEF 012345678DABCDEF A69350AB67BBCC6F 0053037523D9343F 54 28 0123456789ABCDEF 01234567892BCDEF 36F0DCFCCF106D0F 76F938F7FBFBBE0C 56 29 0123456789ABCDEF 0123456789AACDEF 4D16387FD0FA8E8A E12F2ED638A059FF 62 30 0123456789ABCDEF 0123456789AB4DEF 422DDC211E659AB0 C3D7A66C29F82331 62 31 0123456789ABCDEF 0123456789ABCCEF 8353E1BF4DB4264B 6D7007E1DFA73B51 64 32 0123456789ABCDEF 0123456789ABCDFF 7945A131C04B6182 ED6E54D50BE28723 62 33 0123456789ABCDEF 0123456789ABCDED 5DA15DE212D18181 4813623B0E06F874 68 (Chú ý: Trong Bảng 3 và Bảng 4, các ký tự hexa in đậm chứa bit thay đổi). Bảng 3 là kết quả tính toán phân bố của 32 hàm băm khi thay đổi duy nhất một bit dữ liệu trong 32 khối bản tin rõ so với bản tin ban đầu [2], để thuận tiện cho việc quan sát chúng tôi chỉ thay đổi 1 bit trong chuỗi bản tin đầu tiên của một khối. Mỗi khối bản tin bao gồm 10 bản tin, mỗi bản tin có độ dài 128 bit. Các hàm băm sử dụng cùng một bộ khóa K khởi tạo: Các công trình nghiên cứu, phát triển và ứng dụng CNTT-TT Tập V-1, Số 7 (27), tháng 5/2012 - 104 - Phần tử sinh của khóa khởi tạo là đa thức: Phần tử đầu là: Phần tử đầu của cấp số nhân (khóa đầu tiên) cũng là khóa khởi tạo sẽ là: Khối bản tin đầu tiên được xây dựng như sau: Bản tin đầu tiên gồm 32 ký tự dạng hexa (tương ứng 128 bit) được chọn là: M1=0123456789ABCDEF0123456789ABCDEF Các bản tin tiếp theo (từ 2 đến 10) được tạo một cách ngẫu nhiên. Tiến hành thay đổi lần lượt từng bit từ bit 1 đến bit 128 của bản tin đầu vào , tính khoảng cách Hamming của từng lần thay đổi, cuối cùng tính được khoảng cách Hamming trung bình giữa các giá trị băm với giá trị băm ban đầu là: Bảng 4 là kết quả tính toán phân bố của bộ mã khi thay đổi khóa khởi tạo , mỗi khóa khác với khóa đầu tiên 2 bit. Sở dĩ ta phải thay đổi 2 bit (tương ứng thay đổi 2 vị trí) là để đảm bảo đa thức sinh của khóa có trọng số lẻ. Bản tin đầu vào gồm 10 khối 128 bit được tạo ngẫu nhiên [2]. Chú ý, chiều dài của khóa là 61 bit, do đó khi mô tả khóa bằng 16 ký tự hexa nhưng thực tế chỉ có 15 ký tự đầu là dạng hexa, còn ký tự cuối cùng chỉ có 1 bit nên nó nhận giá trị “1” hoặc “0”. Chọn phần tử đầu của cấp số nhân tạo khóa là: . Bảng 4. Khoảng cách Hamming giữa các cặp giá trị băm khi các khóa khác khóa 2 bit. TT Khóa Giá trị băm 1 123456789ABCDEF1 53C51349140008F9 AA66F954C307AD44 0 2 B23456789ABCDEF1 537140BB7C26F26E DD57CFDDA9CE1B8F 64 3 173456789ABCDEF1 2BA0259D1F16C021 F3A22319AF753ED0 60 4 126456789ABCDEF1 A9FD04E4E1BAC7C0 6119B3FBD8FFD12D 78 5 123E56789ABCDEF1 773979064BE2FC31 F0BE347B1EB2D776 72 6 1234F6789ABCDEF1 CD24285FFA002E86 5E8AECFACEAB37A5 66 7 12345C789ABCDEF1 12F25C6397752342 98EFF42CB48F44A8 64 8 123456289ABCDEF1 764025970C5F0A26 A623D1A24B6D1809 60 9 1234567D9ABCDEF1 530804E85FA92A29 C9D3B064481D81F4 52 10 123456780ABCDEF1 36188474DCE9230F 7BFE8799EC1221C4 68 11 123456789FBCDEF1 633497CBED502E08 B33AB54809D2DBE2 58 12 123456789AECDEF1 6756EEEBC53E948F E408A13DFF72AA20 66 13 123456789AB6DEF1 8778B1FBDE80A5DA 4BEF05156D968B48 58 14 123456789ABC7EF1 18DA5D34CA879807 D99ECDBC169ED8AD 74 15 123456789ABCDBF1 F9787D06F99822CB 41E264158FF93D0C 64 16 123456789ABCDEA1 27395F8741475A8A A3845BB4FB6D0D0E 58 Phần tử sinh khóa đầu tiên là: . Các khóa chỉ thay đổi 2 bit trong một số hexa của khóa đầu tiên . Chú ý: vị trí các bit “1” trong các khóa tương ứng là số mũ của trong đa thức sinh tạo khóa. Ví dụ: Khoảng cách Hamming trung bình của các giá trị băm với giá trị băm ban đầu: Các công trình nghiên cứu, phát triển và ứng dụng CNTT-TT Tập V-1, Số 7 (27), tháng 5/2012 - 105 - Để khảo sát thêm tính khuếch tán của hàm băm, ta thay đổi cả bản tin rõ và khóa như sau: Giữa nguyên bản tin và lần lượt thay đổi từng bit của khóa từ bit 1 đến bit 60, bit 61 dùng để kiểm tra chẵn lẻ. Sau đó tính khoảng cách Hamming trung bình giữa các giá trị băm với giá trị băm ban đầu theo công thức: Thực hiện lặp lại với 10 bản tin được tạo ngẫu nhiên khác nhau ta có kết quả như Bảng 5. Bảng 5. Tính khoảng cách Hamming trung bình khi thay đổi khóa K và thay đổi bản tin rõ Bản tin thứ 1 2 3 4 5 63,27 63,67 64,23 64,67 64,50 Bản tin thứ 6 7 8 9 10 62,30 63,87 65,37 64,33 63,97 Khoảng cách Hamming trung bình tính được là: Qua các kết quả khảo sát khoảng cách Hamming ở trên ta thấy tính khuếch tán của các hàm băm đề xuất là khá tốt. Để tăng hiệu quả hàm băm ta có thể sử dụng các sơ đồ hàm băm kép với cách xây dựng tương tự như đã trình bày ở trên. IV. KẾT LUẬN Bằng việc sử dụng cấu trúc nhóm nhân và cấp số nhân cyclic trên vành đa thức để tạo khóa, ta có thể xây dựng một mật mã khối trên cơ sở mạng hoán vị Feistel với một số ưu điểm sau: (1) việc tính toán khá đơn giản, các khóa được tạo từ các cấp số nhân cyclic và chúng có thể thực hiện được bằng thuật toán nhân và bình phương; (2) số lượng khóa tìm được rất nhiều đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của hệ thống; (3) mạch điện mã hóa và giải mã khá đơn giản được thực hiện bởi các thanh ghi dịch và bộ cộng modul 2. Hệ mật như đề xuất trong bài báo này có thể được sử dụng để xây dựng các hàm băm với độ khuếch tán tốt dùng cho các dịch vụ xác thực và chữ ký số. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. NGUYỄN BÌNH, Giáo trình Mật mã học, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 2004. [2]. JEAN-YVES CHOUINARD, ELG 5373 Secure Communi-cations and Data Encryption, School of Information Technology and Engineering, University of Ottawa, April 2002. [3]. NGUYEN BINH, LE DINH THICH, The oders of polynomials and algorithms for defining order of polynomial over polynomial ring, VICA-5, Hanoi, Vietnam, 2002. [4]. NGUYỄN BÌNH, LÊ ĐÌNH THÍCH, Các mã cyclic hệ thống xây dựng từ các mã cyclic cục bộ trên vành đa thức. REV'98, Hà Nội, Việt Nam, 1998. [5]. HỒ QUANG BỬU, TRẦN ĐỨC SỰ, Constructing Interleaved M-sequences over Polynomial Rings with Two Cyclotomic Cosets, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Quân sự, 2011. Nhận bài ngày: 14/12/2011 SƠ LƯỢC VỀ TÁC GIẢ HỒ QUANG BỬU Sinh năm 1972 tại Huyện Vụ Bản Tỉnh Nam Định. Tốt nghiệp đại học năm 1995 tại Đại học Bách Khoa Đà Nẵng, thạc sĩ năm 2007 tại Học viện Công nghệ BCVT. Công tác tại Sở Thông tin Truyền thông tỉnh Quảng Nam từ năm 2005. Lĩnh vực nghiên cứu hiện nay: Lý thuyết mã hóa, mật mã. Email: hoquangbuu@gmail.com Các công trình nghiên cứu, phát triển và ứng dụng CNTT-TT Tập V-1, Số 7 (27), tháng 5/2012 - 106 - NGÔ ĐỨC THIỆN Sinh năm 1974 tại Điện Biên. Tốt nghiệp đại học năm 1997 tại Đại học Bách Khoa Hà Nội, Thạc sĩ năm 2003 và bảo vệ luận án Tiến sỹ kỹ thuật năm 2010 tại Học viện Công nghệ BCVT. Công tác tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông từ năm 1997. Lĩnh vực nghiên cứu: Lý thuyết thông tin, lý thuyết mã hóa và mật mã. Email: thienptit@yahoo.com TRẦN ĐỨC SỰ Sinh năm 1965 tại Nhân Thắng-Gia Bình-Bắc Ninh. Tốt nghiệp Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1988 và bảo vệ luận án Tiến sỹ kỹ thuật năm 2004 tại Viện Điện tử – Tin học – Tự động hóa. Hiện là Giảng viên – Học viện Kỹ thuật Mật mã. Lĩnh vực nghiện cứu: Lý thuyết thông tin, lý thuyết mã hóa, mật mã. Email: su_attt@yahoo.com