Bài giảng Đàn hồi ứng dụng - Chương 5: FEM - Phần tử thanh gậy (Truss, Bar Element) - Nguyễn Thanh Nhã

thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng 5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng Hình học phần tử thanh gậy Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng Hình học phần tử thanh gậy Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.1. Khái niệm về phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng 5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng Các thành phần ứng suất Giả thiết đầu tiên và cơ bản nhất cho mô hình thanh gậy là trong thanh chỉ có một thành phần ứng suất pháp duy nhất chính là ứng suất pháp theo phương dọc trục của thanh 11  0 22  33   12   23   13  0 * 1100  nt 1   1  0 0 0  nt   * *   22   σ n t * 0 0 0  nt33   Thanh chỉ chịu lực dọc trục nên có trạng thái ứng suất đơn Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng Quan hệ biến dạng – Chuyển vị Giả thiết thứ 2 cơ bản cho mô hình thanh gậy cho trường chuyển vị trong thanh: tất cả các điểm trên 1 mặt cắt bất kỳ của thanh đều có chuyển vị giống nhau dọc theo trục thanh. u1 u 1() X 1 11 11()()X 1 u 1,1 X 1 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.2. Các đặc trưng cơ học của phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng Quan hệ Ứng suất – Biến dạng Với giả thiết đầu tiên về các thành phần ứng suất trong thanh, viết phương trình định luật Hook 11  2     0 0 0  11 0   2   0 0 0       22 0   2 0 0 0  33      0 0 0 2     12 00    223      0  sym   213  Ta có:         22 332( ) 11 11 (3  2  )  (2    )    (    )    E  E 11 11 22 33 11 11 11 11       0 12 13 23 11 11()X 1 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng 5.3. Nguyên lý công ảo áp dụng cho phần tử thanh gậy Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.3. Nguyên lý công ảo áp dụng cho phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng Công thức tổng quát Áp dụng nguyên lý công ảo cho một phần tử thanh gậy trong không gian 3 chiều:  WWWWWdyn int   ext   ext   ext uu1   1    11    11  W  W   u    u   dV      0  dV dyn int 2   2   22     uu3   3    33  0  * u1  t 1  u 1   b 1   W  W   u  00 dA    u      dV ext ext 22        uu33 00     Trong bài toán tĩnh, bỏ qua thành phần Wdyn Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.3. Nguyên lý công ảo áp dụng cho phần tử thanh gậy Đàn hồi Ứng dụng Khai triển các thành phần công ảo Công ảo của thành phần lực bề mặt:  LLLLLLLL****    Wut ()()()()()()()()   ut dAuN     uN ext 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2A 2 2 2 2 Công ảo của thành phần lực thể tích: L/2 W  u p() X dX ext  1 1 1 1 L/2 Công ảo của thành phần nội lực: LL/2 /2 W   dAdX   AdX int 11 11  1  11 11 1 LAL/2 /2 LLL/2 /2 /2 uuAdX  A   dX   uNe1 e 1   uN e 2 e 2   updX 11 1  11111 11 11  111 LLL/2  /2  /2 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng 5.4. Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ tự nhiên Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.4. Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ địa phương Đàn hồi Ứng dụng Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ tự nhiên Hệ tọa độ vật lý (physical coordinates) L /2 0 L /2 LL X1 X1  , 22 Hệ tọa độ tự nhiên (natural coordinates)  1  1,1 1 0 1 1 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.4. Hệ tọa độ vật lý và hệ tọa độ địa phương Đàn hồi Ứng dụng Quan hệ giữa tọa độ vật lý và tọa độ tự nhiên Hệ tọa độ vật lý (physical coordinates) Hệ tọa độ t.nhiên (natural coordinates) L /2 0 L /2 X1 L Quan hệ giữa tọa độ vật lý và tọa độ tự nhiên: X   112 Ma trận chuyển đổi giữa 2 hệ tọa độ (ma trận Jacobi): XL L 1 1 JX1 0 1,1  1 dX1 d 1 J d 1 1 2 2 Quan hệ giữa chiều dài phần tử và định thức ma trận Jacobi: L dX d J d 12 1 1 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng 5.5. Hàm dạng (shape function) Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Tính liên tục của hàm dạng u 1 fullfilled u11, e 1 e e 1 violated jump kink Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Hàm xấp xỉ u1   1  2  3 u1 1 2 3 Xấp xỉ tuyến tính với 3 phần tử Xấp xỉ bậc 2 với 3 phần tử Xấp xỉ tuyến tính với 6 phần tử Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Đa thức nội suy Lagrange Xấp xỉ hàm chuyển vị u bất kì bằng các giá trị chuyển vị nút với đa thức nội suy: p1 ei1 e u1()()()() 1 u 1  1  u 1 N  1  Nu  1 i1 12 n -> Vector các hàm dạng N()()()()1 NNN  1  1  1 là hàm theo 1 T e e11 e en u  u1 u 1 u 1 -> Vector các chuyển vị nút độc lập với Xấp xỉ đạo hàm hàm chuyển vị u bất kì bởi các giá trị chuyển vị nút với hàm dạng: p1 u11() e1 i e u1,1()()()() 1  u 1,1  1  u 1 N ,1  1  Nu ,1  1 1 i1 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Đa thức nội suy Lagrange bậc p: p1 k ik 1 if i k i 11 N ()  N ()1   1  ki 0 if i k k1 11  ki -> Điều kiện Kronecker dealta 1 2 Ví dụ: Đa thức nội suy Lagrange bậc 1 (p=1) 1 1 2 k 2 1 1  1  1   111   1 N (11 ) k 1  2 1   (1  ) p1 k k1 1  1  1   1 1  (  1) 2 i 11 k1 N ()1   ki 1 1 2 k 1 k1 11      11   ki 2 1 1 1 1 1 N (11 ) k 2  1 2   (1  ) k1 1  1  1   1 1  1 2 k2 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Đa thức nội suy Lagrange 1 2 3 Ví dụ: Đa thức nội suy Lagrange bậc 2 (p=2) 2 1 3 k 23 1 1  1  1   1  1   10   1 1   1 1 N (1 ) k 1  2 1 3 1   (  1  1)  1 kk1; 1 1  1  1   1  1   1 0  (  1) 1  (  1) 2 2 1 3 k 13 221  1  1   1  1   1 11   1   1 N (11 ) k 2  1 2 3 2   1  kk1; 2 1  1  1   1  1   1 1  0 1  0 2 1 3 k 12 3 1  1  1   1  1   1 1   1 0   1 1 N (1 ) k 3  1 3 2 3   (1   1 )  1 kk1; 3 1  1  1   1  1   1 1  1 0  1 2 Ví dụ: Đa thức nội suy Lagrange bậc 3 (p=3) Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Xấp xỉ các đại lượng cơ học thông qua hàm dạng 12 Hàm dạng tuyến tính (Linear shape functions): N()()()1 NN  1  1 1 1 1 N ( ) (1 ) N ()1 112 1 N 2 ( ) (1 ) 1 11 2 2 N ()1 Xấp xỉ các biến cho bài toán: 2 Xấp xỉ trường chuyển vị u 11 ()  và biến phân của trường chuyển vị  u 11 () thông qua ma trận các hàm dạng N ()  1 . T e ue uu e12 e uu1()()() 1 1  1Nu  1 11 T e e e12 e uu1()()()  1  1  1Nu  1  u   uu11  T e e e12 e uu1()()() 1 1  1Nu  1 u  uu11 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Xấp xỉ các đại lượng cơ học thông qua hàm dạng Xấp xỉ đẳng tham số cho hình học Trong công thức phần tử hữu hạn đẳng tham số, tọa độ hình học cũng được xấp xỉ thông qua ma trận các hàm dạng giống như phép xấp xỉ chuyển vị. T XX()()() NX  e e e12 e 1 1 1 1 1 XXX 11 Với phần tử thanh gậy: 1 1   LLL 1   1   XXX()ee121  1  1  1  1 1 12 1 2 2 2 2 2 2 1 Xấp xỉ ma trận Jacobi: XL J 1 1 2 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Xấp xỉ các đại lượng cơ học thông qua hàm dạng Xấp xỉ trường biến dạng Trường biến dạng của bài toán trong hệ tọa độ tự nhiên: u1  u 1( 1 ( X 1 ))  u 1 (  1 )   1 2 11()()  1    u 1,1  1 XXXL1  1  1  1 1 u1,1() 1 J Xấp xỉ trường biến dạng thông qua vector các hàm dạng: 22 22 ei i ei i 111111()()()()    u 1 N  1  u 1,11 N  LL1 ii11 Viết dạng vector: 2 ue1 ()()()()()    NN12  1  Bu  e 11 1 11 1 ,1 1 ,1 1e2 1 L u1 B-Operator (ma trận tính biến dạng): 212 1 1 B NN,1()() 1 ,1 1   LLL Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Xấp xỉ các đại lượng cơ học thông qua hàm dạng Xấp xỉ biến phân của biến dạng Xấp xỉ biến phân của biến dạng thông qua vector các hàm dạng: 2 2  ei i 11()()()  1  11  1 uN 1  1 L 1 i1 2 ue1 NN12()()() 1 Bu   e ,1 1 ,1 1e2 1 L u1 B-Operator (ma trận tính biến dạng): 212 1 1 B NN,1()() 1 ,1 1   LLL Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Xấp xỉ các thành phần công ảo thông qua hàm dạng Xấp xỉ thành phần công ảo nội L/2 1 1 L We   EA dX   EAJ d   EA d  int 11 11 1  11 11 1  11 11 1 L/2  1  1 2 Thay các xấp xỉ của biến dạng và biến phân của biến dạng vào: 1 2222L We  u ei N i()()  EA u ej N j  d  int  1 ,1 1 1 ,1 1 1 1 LLij112 2EA 221  uei N i()()  N j  u ej d   1 ,1 1 ,1 1 1 1 L ij111 2EA 22 1  uei N i()()  N j  d  u ej  1 ,1 1 ,1 1 1 1 L ij11 1 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Xấp xỉ các thành phần công ảo thông qua hàm dạng Xấp xỉ thành phần công ảo nội Viết dưới dạng ma trận: uuee11 2EA 1 N 1 ()   We  11,1 1  N12()()  N  d  intee22  2  ,1 1 ,1 1 1   uu11 L 1 N,1() 1   uuee11 2EA 1 NNNN1()()()() 1  1  2     11,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 d ee22  2 1 2 1 1   uu11 L 1 NNNN,1()()()() 1 ,1  1 ,1  1 ,1  1   Đạo hàm của hàm dạng tuyến tính là hằng số, suy ra: ee111 1 1 2 e uu11 4EA NNNN,1 ,1 ,1 ,1   Wint  ee22 2 1 2 1   uu11 L NNNN,1 ,1 ,1 ,1   uuee11 EA 11    11 ee22    uu11 L 11    ue ke ue Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Xấp xỉ các thành phần công ảo thông qua hàm dạng Xấp xỉ thành phần công ảo nội Viết dưới dạng B-Operator: 1LL 1 1 We  EA  d  B  u e EA Bu e d    u e  B T EA Bu e J d  int 11 11 1     1  1 122  1  1 Ma trận độ cứng phần tử thanh gậy: 1 eT k BEA B J d1 e EA 11  k   1 L 11 e1 e e e e u W u k u e 1 int u  e2 u1 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Xấp xỉ các thành phần công ảo thông qua hàm dạng Xấp xỉ thành phần công ảo ngoại Công ảo của các thành phần ngoại lực được xấp xỉ qua vector các hàm dạng uNee11    1 L We 11.()()  u  p  d  ext ee22     1 1 1 1 1 uN11    1 2 uNee11    1 2 L 11.()()uei N i  p  d  ee22      1 1 1 1 1 uN11    1 i1 2 ue1   N e 1    u e 1 1  N 1()   L 1.. 1 1 1 pd() e2   e 2   e 2   2  1 1 1 u1   N 1    u 1 1  N ()  1  2 e e rn r p e1 e N1 Vector tải phần tử do lực tập trung đặt tại đầu thanh: rn  e2 N1 Vector tải phần tử do lực phân bố dọc trục: e1 111 eTrp N ()1 L rp  p1()()() 1 d  1  N  1 p 1  1 J d  1 re2 2 p 11N ()1 2 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Xấp xỉ các thành phần công ảo thông qua hàm dạng Xấp xỉ thành phần công ảo ngoại Công ảo của các thành phần ngoại lực được xấp xỉ qua vector các hàm dạng e e e e e e e Wext u  r n   u  r p   u  r Trường hợp đặc biệt với tải phân bố dọc trục là hằng số vector tải phần tử được viết như sau: 1 1 2 e1   1 11 e rp p1 L11 p 1 L2 p 1 L 1 rp  d1   re2  1  11 p 41 1 42 2  11 2 1 e1 pL N  1 1 e e e 2 r r  r   np pL N e2  1 1 2 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Ma trận độ cứng và vector tải phần tử Ma trận độ cứng phần tử thanh gậy: e e e e e e e Wext u  r n   u  r p   u  r Vector tải phần tử được viết như sau: e EA 11 k   L 11 e e e e Wint u k u e e ee1 epL e e e e e e WW   uN  k u1   u  r int ext 1 k u r e e e 2 r r  r   np pL N e2  1 1 2 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy Ví dụ 1: 1 e1 2 F 12 1 Ma trận độ cứng phần tử: 2 Vector tải phần tử: e1 e e e N11 p L /2 RR11 0    e EA 11 r rnp  r    Ne2  p L /2 kFF 0    11 L  11  EA 11 u1 R  kue er e 1  1 Hệ phương trình:  2   L 11 u1 F  1 Điều kiện biên: u1  0 Hệ phương trình EA LF uF2  u2 rút gọn sau khi áp L 1 1 EA điều kiện biên: Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23 a - Rời rạc hóa vật thể, chia làm 2 phần tử: - Đánh số thứ tự nút và phần tử như trên: - Thiết lập ma trận chỉ số liên kết giữa các phần tử: Chỉ số cục bộ Nút đầu Nút cuối Phần tử (nút i) (nút j) (1) 1 2 (2) 2 3 Ma trận chỉ số liên kết bậc tự do: 12 b   23 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23 a 12 Chỉ số tổng thể: - Thiết lập các ma trận cứng của phần tử: 1 2 23 e1 EA 11 e2 EA 11 2 k   k   a 11 a 11 3 - Ghép nối ma trận cứng tổng thể: 1 2 3 1 1 0 1 EA ke  1 1  1  1 2 a  0 1 1 3 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23 a Chỉ số tổng thể: - Thiết lập các vector tải phần tử: e1 e 1 e 1 R11 pa/ 2   R pa / 2  1 r rnp  r      0 pa / 2   pa / 2  2 e2 e 2 e 2 0 pa / 2   pa / 2 pa  1  2 r rnp  r         0 pa / 2   pa / 2 2  1  3 - Vector tải tổng thể: R11 pa/ 2   R pa / 2  1 re pa/ 2  pa / 2    pa      2 pa/ 2   pa / 2  3 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23 a - Hệ phương trình tổng thể: ke u e r e 1 1 1 0 u11  R pa / 2  EA  1 1  1  1 u2   pa  a  1   3 0 1 1 u1  pa / 2  1 - Áp đặt điều kiện biên: u1  0 EA2 1 u2 pa  pa  2  1   3     a 1 1 u1 pa / 2 2  1  Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23 a - Giải hệ phương trình tổng thể, tìm được vector các chuyển vị chưa biết: u2 pa2 3 ue' 1 3  u1 2EA 4 1 u1 0  pa2 - Vector các chuyển vị tổng thể: ue u2 3 1 2EA  3 u1 4 - Vector chuyển vị từng phần tử: u1 pa2 0 u2 pa2 3 ue1 1 ue2 1 2  3  u1 2EA 3 u1 2EA 4 - Hàm chuyển vị mỗi phần tử: e1 1 1 2 2 e2 1 2 2 3 u1()()() x N x u 1 N x u 1 u1()()() x N x u 1 N x u 1 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng Ví dụ đơn giản bài toán thanh gậy Ví dụ 2: 1 (1) p (2) 23 a - Ứng suất trên từng phần tử: 2 e1 e 1 e 1 1 1pa0 3 pa EEE Bu    11 11  a a22 EA3 A 2 e2 e 2 e 2 1 1pa3 1 pa EEE Bu    11 11  a a22 EA4 A - Nội lực dọc trục trên từng phần tử : 3 Nee11 A pa 1 11 2 1 Nee22 A pa 1 11 2 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng Tích phân số (Numerical integration) Trong phương pháp phần tử hữu hạn, phép tích phân thường sử dụng là phép cầu phương Gauss (Gauss-Legendre quadrature): Tích phân của hàm f trong hệ tọa độ tự nhiên được xấp xỉ bởi phép tổng sau: 1 n f()() d  ii f   1 1 1 1 i1 2 f 1  f ()1 1 f 1  1 2 1 1 0 1 1 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng Tích phân số (Numerical integration) Số điểm Gauss cần thiết (n) cho phép cầu phương Gauss thỏa biểu thức sau: pn21 Tọa độ các điểu Gauss và các trọng số được cho như bảng sau: i i n pn21 f ()1 1  1 1 1 1   0 1  1 1/ 3   1 2 1 2  2  1 1 1/ 3  1  3 / 5 1 3 5 1   5 / 9 2 2 1  0   8 / 9 3 3 1  3/ 5   5 / 9 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.5. Hàm dạng (shape function) Đàn hồi Ứng dụng Tích phân số (Numerical integration) Ví dụ: 1 121 23d    1 1 1 1 331 22 1 1   1  2 2d  11     11    1 33    3 f ()1 1 1 1 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 Đàn hồi Ứng dụng 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Quan hệ giữa chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể và chuyển vị dọc trục thanh trong không gian 3 chiều e1 e 1' e 1' e 1' u1 u 1cos 1  u 2 cos  2  u 3 cos  3 e2 e 2' e 2' e 2' u1 u 1cos 1  u 2 cos  2  u 3 cos  3 e1' u1 e1' u2 e1 e1' u cos1 cos  2 cos  3 0 0 0 u 1  3 e2 0 0 0 cos cos  cos  e2' u1 1 2 3 u1 e2' ue T  u2 e2' u3 e' Vector u Vector chuyển vị Ti  cos1 cos  2 cos  3  chuyển vị dọc trục trong hệ thanh XXee2' 1' tọa độ tổng cos  jj thể j L Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử trong hệ tọa độ tổng thể 3D Vector chuyển vị trong hệ tọa độ tổng thể: uee Tu ' ue'  T T u e uee T u ' ue'  T T u e Công nội (ảo): e eee eeeTT eee''''' eTee e WWint uku    u ku  Tu  kTu    uTkTu    int 2x12x 2 2x1 ke' Công ngoại (ảo): e e e e'''' T e e e e WWext  u  r   u  T r   u  r   int re' Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử trong hệ tọa độ tổng thể: ke'  T T k e T re'  T T r e Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Quan hệ giữa chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể và chuyển vị dọc trục thanh trong không gian 2 chiều ue2' 2 x e2 u1 ue2' e1' 1 X 2 y e u2 ue1 1 ue1 u e 1'cos u e 1' sin  1 1 2 e2 e 2' e 2' e1' u u1 u 1cos u 2 sin X1 1 e1' u1  uuee1cos sin 0 0 1' 12  ee2 2' uu110 0 cos sin e2' ue T u2 ue' Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Ma trận chuyển đổi giữa hệ trục phần tử và hệ trục tổng thể ue2' 2 x e2 u1 X ' e2' 2 u1 ue1' e 2 e1 u1 cos sin 0 0 T   0 0 cos sin '  X1 e1' u1 XXee2' 1' cos 0 cos  11 L sin 0 TT   XXee2' 1' 0 cos sin  22  L 0 sin e2' e 1'22 e 2' e 1' LXXXX 1  1  2  2  Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử trong hệ tọa độ tổng thể 2D Ma trận độ cứng phần tử hệ tọa độ tổng thể 2 chiều: cos 0 sin 0 1 1 cos  sin  0 0 e' T e EA     k T k T     0 cosL  1 1   0 0 cos  sin    0 sin cos22 cos  sin  cos  cos  sin   EA sin22 cos  sin  sin  ke'   L cos2  cos  sin  2 sym sin  Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử trong hệ tọa độ tổng thể 2D Ma trận độ cứng phần tử hệ tọa độ tổng thể không gian 2 chiều viết gọn: c22 cs c cs  EA s22 cs s ke'   L c2 cs 2 sym s Trong đó: cscos ; sin  : Góc giữa thanh và trục x’ E : Module đàn hồi A: Diện tích mặt cắt thanh L : Chiều dài thanh Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Nội lực trong thanh dàn Biến dạng và ứng suất trong thanh: e 11  Bu 11 E 11 Nội lực dọc trục trong thanh: e e e''' e e N11 A  EABu  EA BTu  S u Trong đó: Se' : Ma trận tính nội lực e' 11cos sin 0 0 SEA BT EA LL0 0 cos sin EA  cos  sin  cos  sin  L Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Tính ứng xử hệ thanh dàn phẳng có mô hình như sau: F2  1 F1  2 L3  10 2 L2  10 EA3  200 2 (3) EA  50 (2) 2 (1) L1  10 EA1  100 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu, đánh số phần tử, đánh số nút, tại mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 chuyển vị trong hệ tọa độ tổng thể, thiết lập ma trận chỉ số nút: 3 ' u2 u6 3 3 ' u1 u5 (3) (2) u1 u' 2 u2 2 ' (1) 2 u4 1 2 ' ' 1 u1 2 u1 u1 u3 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu, đánh số phần tử, đánh số nút, tại mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 chuyển vị trong hệ tọa độ tổng thể, thiết lập ma trận chỉ số nút: ' u6 3 Chỉ số cục bộ Nút đầu Nút cuối (nút i) (nút j) Phần tử ' 1 2 3 4u 5 (1) 1 2 3 4 (2) 3 4 5 6 (3) (2) (3) 1 2 5 6 ' u2 ' (1) u4 ' ' 1 2 u1 u3 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 2: Thiết lập các ma trận độ cứng phần tử: c22 cs c cs 22 e' EA s cs s '  u6 k  2 L c cs 3  sym s2  ' u5 cos2 (0 0 ) cos(0 0 )sin(0 0 ) cos 2 (0 0 ) cos(0 0 )sin(0 0 )  EA sin2 (0 0 ) cos(0 0 )sin(0 0 ) sin 2 (0 0 ) ' 1 (3) k1  2 0 0 0 L1 (2) cos (0 ) cos(0 )sin(0 ) 20 sym ' sin (0 ) 1 2 3u 42 ' (1) u4 1 0 1 0 1  ' 0000 2 ' ' 1 k1  10 2 u u 1 0 1 01 3 3  0000 4 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 2: Thiết lập các ma trận độ cứng phần tử: c22 cs c cs 22 e' EA s cs s '  u6 k  2 L c cs 3  sym s2  ' u5 cos2 (90 0 ) cos(90 0 )sin(90 0 ) cos 2 (90 0 ) cos(90 0 )sin(90) 0  EA sin2 (90 0 ) cos(90 0 )sin(90 0 ) sin 2 (90 0 ) ' 2 (3) k2  2 0 0 0 L2 (2) cos (90 ) cos(90 )sin(90 ) 20 sym ' sin (90 ) 3 4 5u 62 ' (1) u4 0000 3  ' 0 1 0 1 4 ' ' 1 k2  5 2 u u 00001 5 3  0 1 0 1 6 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 2: Thiết lập các ma trận độ cứng phần tử: c22 cs c cs 22 e' EA s cs s '  u6 k  2 L c cs 3  sym s2  ' u5 cos2 (45 0 ) cos(45 0 )sin(45 0 ) cos 2 (45 0 ) cos(45 0 )sin(45) 0  EA sin2 (45 0 ) cos(45 0 )sin(45 0 ) sin 2 (45 0 ) ' 3 (3) k3  2 0 0 0 L3 (2) cos (45 ) cos(45 )sin(45 ) 20 sym ' sin (45 ) 1 2 5u2 6 (1) u' 0.5 0.5 0.5 0.5 1 4  ' 0.5 0.5 0.5 0.5 2 k  20 ' ' 1 3 2 0.5 0.5 0.5u1 0.5 5 u3  0.5 0.5 0.5 0.5 6 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 3: Lắp ghép các ma trận cứng phần tử thành ma trận cứng tổng thể: 1 2 3 4 5 6 u' 000000 6 3 1 000000 2 u' 000000 3 5 k '   000000 4 000000(3) 5 (2) 000000 6 ' u2 ' (1) u4 ' ' 1 2 u1 u3 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 3: Lắp ghép các ma trận cứng phần tử thành ma trận cứng tổng thể: 10 0 10 0 000000 1 2 3 4 5 6 0000 '  k1  000000 10 0 10 0 10 0 10 0 0 0 1  0000000000  k '  0 0 0 0 0 0 2 000000  000000 10 0 10 0 0 0 3 k '   000000 0 0 0 0 0 0 4  1 2 3 40 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 0 0 6 2 3 4 (Bước trước) Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 3: Lắp ghép các ma trận cứng phần tử thành ma trận cứng tổng thể: 0000 1 2 3 4 5 6 0 5 0 5 k'   2 0000 1010 0 0 10 10 0 0 0 0 0 1  0 5 0 5 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2  1010 0 0 10 10 0 0 0 0 0 3 kk' '  00 0 0 0 0 5 0 0 0 5 4  3 4 50 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 00 0 0 0 0 0 5 0 0 5 6 4 5 6 (Bước trước) Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 3: Lắp ghép các ma trận cứng phần tử thành ma trận cứng tổng thể: 10 10 10 10 10 10 10 10 1 2 3 4 5 6 k'   3 10 10 10 10 10 0 10 0 0 0 1 10 10 10 10 20 10 10 0  10  10  100 10 0 0 0 0 0 10 0 10 0 2  1010 0 0 10 10 0 0 0 0 0 0 3 k '   k '  0 0 0 5 0 5 4 0 0 0 5 0 5 10 10 0 0 10 10 5 1 2 50 6 0 0 0 0 0 10  101 0  5 10 15 6 0 0 0 5 0 5 2 5 6 (Bước trước) Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 3: Lắp ghép các ma trận cứng phần tử thành ma trận cứng tổng thể: 20 10 10 0  10  10 10 10 0 0 10 10  10 0 10 0 0 0 k '   0 0 0 5 0 5 10 10 0 0 10 10  10  10 0  5 10 15 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 4: Vector tải của hệ trong hệ tọa độ tổng thể: 00 0   00 0       ' 00 0   f       00 0   02 F1       01 F2   Lực phân bố dọc Lực tập trung thanh phân về các nút tại các nút Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 5: Áp đặt điều kiện biên và thiết lập hệ PT tổng thể: Hệ PT tổng thể: F2  1 F1  2 1 2 3 4 5 6 L  10 2 ' 1 203 10 10 0  10  10 u1  0  L  10 EA  200 2 2 '   10 103 0 0 10 10 0 2 u2 (3) EA 2  50   (2) ' 3 10 0 10 0 0 0 u3  0   '    0 0 0 5 0 5 0 4 (1) u4     ' 10 10 0 0 10 10 u5  2  5 L1  10  '   10  10 0  5 10 15u 1 6 EA1  100 6   Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011 5.6. Phần tử thanh gậy trong hệ tọa độ tổng thể Đàn hồi Ứng dụng Bài toán ví dụ 1 Bước 5: Áp đặt điều kiện biên và thiết lập hệ PT tổng thể: Hệ PT tổng thể sau khi khử các điều kiện biên: F2  1 F1  2 ' 10 0 0 u3  0   0 10 10 u'   2  L  10 2 5   3 ' L  10 0 10 15 u6  1  2 EA3  200 2    (3) EA  50 (2) 2 Bước 6: Giải hệ phương trình: ' (1) u3 0 '  uL1  10 0.4 5  EA'   100 1 u6 0.2 Nguyễn Thanh Nhã Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – ĐH Bách Khoa TpHCM – 2011