Giáo trình Xử lí số tín hiệu - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số liên tục

   n njj enxeX  )()( jj j j arg X ( e )X ( e ) X( e ) e   /X(ej)/ - phổ biên độ argX(ej) - phổ pha 2 • Nhận thấy X(ej) tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy:      n njj enxeX )2()2( )()(  )()(  j n nj eXenx      Áp dụng kết quả: 2 0 j ( l n ) : l ne d : l n            1 2 j j nx( n ) X( e )e d            j j n n X e x( n )e      j le d         ejld  j l n n x( n ) e d             Biến đổi Fourier ngược: 3 Ví dụ 3.1.1: Tìm biến đổi F của các dãy: 1:)()(1  anuanx n nj n nj enuaeX      )()(1      0n njae  jae  1 1 1:)1()(2  anuanx n nj n nj enuaeX       )1()(2      1 1 n njea       1 1 m mjea    1 0 1      m mjea  jea 11 1 1   jae  1 1 4     n njjω enxeX )()( 3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER     n njenx )(     n nx )( Vậy, để X() hội tụ thì điều kiện cần là:   n nx )( Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng, thậy vậy:     n x nxE 2 )( 2 )(          n nx Nếu:   n nx )(    n x nxE 2 )( 5 Ví dụ 3.1.2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:   n nx )(1 )()( );()( );(2)( );(5.0)( 4321 nrectnxnunxnunxnunx N nn      n n nu )()5.0(     0 )5.0( n n 2 5.01 1      n nx )(2     n n nu )(2   0 2 n n   n nx )(3     n nu )(   n nx )(4     n N nrect )(   0 )( n nu Nnrect N n N    1 0 )( X2(e j) không tồn tại X3(e j) không tồn tại 6 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 3.2.1 Tuyến tính )()( jF eXnx 11  )()()()(  jjF eXaeXanxanxa 22112211  Nếu: Thì: )()( jF eXnx 22  3.2.2 Dịch theo thời gian )()( jF eXnx Nếu: Thì: )()( 0 n-j  jF eXennx  0 7 Ví dụ 3.2.1: Tìm biến đổi F của dãy (n) và (n-2) 1     n njjF eneXnnx   )()()()( 3.2.3 Liên hiệp phức )()( jF eXnx Nếu: )(*)(* jF eXnx Thì: Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:  2222 jjjF eeXenxn   )()()( 8 3.2.4 Đảo biến số )()( jF eXnx  )()( jF eXnx  Nếu: Thì: Ví dụ 3.2.2: Tìm biến đổi F của dãy y(n)=2nu(-n) )()( nunx n        2 1 2ny( n ) x( n ) u( n )    Theo ví dụ 3.1.1, có kết quả:   j jF e eX   )/( )( 211 1   j jF e eX )/( )( 211 1    9 3.2.5 Vi phân trong miền tần số 1 1 1     a;)()()(   j jFn ae eXnuanx )()( jF eXnx  )(   d )dX(e jnxn j F   1 1 2      a ae ae d edX jeGnnxng j jj jF ; )( )()()(      Nếu: Ví dụ 3.2.3: Tìm biến đổi F của g(n)=nanu(n); /a/<1 Thì: 10 3.2.6 Dịch theo tần số 1 1 1     a;)()()(   j jFn ae eXnuanx )()( jF eXnx  ][)( )-( 00  jFnj eXnxe  Nếu: Ví dụ 3.2.4: Tìm biến đổi F của y(n)=ancos(0n)u(n); /a/<1 Thì:  njnjnn eenuannuany 00 2 1 0   )()cos()()(  njnj eenxny 00 2 1   )()( 11 3.2.7 Tích 2 dãy )()( jF eXnx 11         '][)()()( )'(' deXeXnxnx jjF 2121 2 1 Thì: Nếu:  ][][)( )()( 00 2 1    jjj eXeXeY            )()( )( )()( 00 1 1 1 1 2 1   jj j aeae eY )()( jF eXnx 22         '][)( )'(' deXeX jj 12 2 1 F 12 3.2.8 Tổng chập 2 dãy )()( jF eXnx 11  )()()(*)(  jjF eXeXnxnx 2121 Thì: Nếu: )()( jF eXnx 22  Ví dụ 3.2.5: Tìm y(n)=x(n)*h(n) biết x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2)  22 )()( jjjj eeeHeX  Theo ví dụ 3.2.1, có kết quả: 222 )( )()()(  jjjjj eeeHeXeY   44 2 jj ee  )]([)(*)()( 1 YFnhnxny  )4()(2)4()(  nnnny  13 - gọi là phổ mật độ năng lượng 3.2.9 Quan hệ Parseval )()( jF eXnx 11       deXeXnxnx jj n      )()()()( ** 2121 2 1 Thì: Nếu: )()( jF eXnx 22  (*) Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval Nhận xét: Nếu: )()()( 21 nxnxnx  Theo quan hệ Parseval, ta có:      deXnx j n      22 2 1 )()( Với: 2 )()(  jjxx eXeS  14 3.2.10 Tương quan các tín hiệu )()( jF eXnx 11  1 2 1 2 1 2 j j j x x x xFT r R ( e ) X ( e )X ( e )       Thì: Nếu: )()( jF eXnx 22   Vậy biến đổi Fourier của hàm tự tương quan sẽ bằng phổ mật độ năng lượng, quan hệ này còn được gọi là định lý Weiner-Khintchine Nhận xét: Nếu: )()()( 21 nxnxnx  2 j j j j j xx xxR ( e ) X( e )X ( e ) X( e ) S ( e )        15 TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER x(n) X() a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(e j)+a2X2(e j) x(n-n0) e -jn0 X(ej) ej0n x(n) Xej (- 0) nx(n) jdX(ej)/d x(-n) X(e-j) x*(n) X*(e-j) x1(n)x2(n)  1 2 1 2 ' 'j j( ) 'X ( e )X e d           1 2 1 2 j * jX ( e )X ( e )d       1 2 * n x ( n )x ( n )    16 TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER x(n) X() 21 2 jX ( e ) d       2 n x( n )    1 2 1 2x x m r ( n ) x (m )x (m n )     1 2j jX ( e )X ( e )  2j j j xx xxR ( e ) X( e ) S ( e )    1 2x xr ( n ) 17 3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z F j j n n x( n ) X ( e ) x( n )e        Hay biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được lấy trên vòng tròn đơn vị theo biến số  Z n n x( n ) X ( z ) x( n )z       j j z e X( e ) X( z )     /z/= 1 Re(z) ROC X(z) Im(z) /z/=1  • Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1 X(ej)=X(z) với z=ej • Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1 X(ej) không hội tụ 18 Ví dụ 3.3.1: Tìm biến đổi ZT & FT của các dãy: x1(n)=(0.5) nu(n) x2(n)=2 nu(n) 5.0; 5.01 1 )( 11     z z zX Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên:    jez j e zXeX j    5.01 1 )()( 11 2; 21 1 )( 12     z z zX Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2(e j) không tồn tại 19 3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n)Miền n: Miền : H(ej)X(ej) Y(ej)=X(ej)H(ej) F h(n) F H(ej)=Y(ej)/X(ej): gọi là đáp ứng tần số j j j ( )H( e ) H( e ) e    Nếu H(ej) biểu diễn dạng môdun và pha: )( jeH ( )  - Đáp ứng biên độ - Đáp ứng pha 20 Ví dụ: 3.4.1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết: h(n)=rect4(n) Biến đổi Fourier của h(n): nj n j enrecteH      )()( 4    j j n nj e e e         1 1 43 0 )( )( )( 2/2/2/ 222    jjj jjj j eee eee eH      2/3 )2/sin( )2sin(    je )2/sin( )2sin( )(    A 2 2 j sin( )H( e ) sin( / )     3 2 0 3 2 0 / : A( ) ( ) / : A( )               với 21 - -/2 0 /2  3/2 2  4 /H(ej)/ 3/4 argH(ej) -3/4 - -/2 0 /2  3/2 2  -/2 -/4 22 3.4.2 Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối a. Ghép nối tiếp:  Miền  : h2(n)x(n) y(n)h1(n) x(n) y(n)h(n)=h1(n)*h2(n)   Miền n: H2(e j)X(ej) Y(ej)H1(e j) X(ej) Y(ej)H(ej)=H1(e j)H2(e j)  Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) F H1(e j)H2(e j) 23 b. Ghép song song:  Miền :  h2(n) x(n) y(n) h1(n) + x(n) y(n)h1(n)+h2(n)  Miền n:  H2(e j) X(ej) Y(ej) H1(e j) + X(ej) Y(ej)H1(e j)+H2(e j) 24 3.4.3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức )()()(*)()(*)()( mnxmhnxnhnhnxny m     )()()( mnj m Aemhny      )()()(  jmj m nj eHnxemhAe      Ví dụ: 3.4.2: Tìm y(n) biết x(n)=2ejn/3 và h(n)=0.5nu(n) 3 2 1 1 1 2)()()( 3                    j nj e eHnxny 3 3 2 1 1 2   j nj e e    Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejn 25 3.4.4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin  njnj eeAnAnx 00 2 )cos()( 0    njjnjjj eeHeeHAeHnxny 00000 )()( 2 )()()(      njjnjjnjj eeHAeeHeeHAny 000000 )(Re.)(*)( 2 )(    Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos: Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha: )()()(  jjj eeHeH     )(cos)()(Re.)( 00000   neHAeeHAny jnjj 26  njnj ee j A nAnx 00 2 )sin()( 0   Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin: Ta cũng được kết quả:    )(sin)()(Im.)( 00000   neHAeeHAny jnjj Tổng quát:    2221110 sincos)(   nAnAAnx            2222 1111 0 0 sin cos)( 2 1       neHA neHAeHAny j jj 27 Ví dụ: 3.4.3: Tìm y(n) biết: h(n)=(0.5)nu(n) x(n)=10 + 20sin(n/2) - 30cos(n + /4)   j j e eH   5.01 1 )( 2 5.01 1 )( 0   jeH Tín hiệu vào chứa 3 thành phần tần số:  = 0, /2 và    = 0:   148.02 894.0 5.01 1 )( j j e j eH     = /2 : 0 3 2 5.01 1 )( jj eeH     =  :              4 os20 148.0 2 sin88.1720)(    ncnny 28 3.5 LẤY MẪU VÀ KHÔI PHỤC TÍN HiỆU 3.5.1 Khái niệm lấy mẫu tín hiệu Mã hóa xd(n) Rời rạc hóa xa(t) x(n) Lượng tử hóa xq(n) Chuyển xung sang mẫu xa(nTs)= x(n)xa(t) X sa(t) xs(t)  Quá trình lấy mẫu tín hiệu  Quá trình biến đổi tín hiệu tương tự -> tín hiệu số 29 Tín hiệu tương tự xa(t) t 0 xa(nTs) n 0 Ts 2Ts Tín hiệu rời rạcTín hiệu được lấy mẫu xs(t) n 0 Ts 2Ts t 0 Chuỗi xung lấy mẫu Ts 2Ts     n sa nTtts )()(  30 3.5.2 Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự   tAtxa  cos   )cos( ssa TnAnTx  Lấy mẫu t = nTs   )cos()cos()( nATnAnTxnx ssa  sT Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc  - tần số của tín hiệu tương tự Ts - chu kỳ lấy mẫu 31 3.5.3 Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và phổ tín hiệu tương tự   s a s ms F X f X F X ( F mF ) F            Ví dụ: 3.5.1: Hãy vẽ phổ biên độ tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ tín hiệu tương tự cho như hình vẽ, với các tốc độ lấy mẫu: a)Fs>2FM b) Fs=2FM c) Fs<2FM Trong đó: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc Xa(F) – phổ của tín hiệu tương tự /Xa(F)/ F 0-FM FM 1 32 /X(F/Fs)/ F 0-FM FM-Fs Fs Fs a) Fs>2FM F 0-FM FM-Fs Fs /X(F/Fs)/ Fs b) Fs=2FM F 0-FM FM-Fs Fs /X(F/Fs)/ Fs 2Fs-2Fs c) Fs<2FM 33 3.5.4 Định lý lấy mẫu “Tín hiệu tương tự xa(t) có dải phổ hữu hạn (-FM ,FM) chỉ có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu xa(nTs) nếu tốc độ lấy mẫu thỏa Fs ≥ 2FM” Ví dụ 3.5.2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự • Fs =2FM=FN: Tốc độ (tần số) Nyquist ttttxa  12000cos106000sin52000cos3)(  Tín hiệu có các tần số: F1=1 kHz, F2=3 kHz, F3=6 kHz FM=max{F1, F2, F3}=6 kHz  FN =2FM = 12 kHz 34 3.5.5 Khôi phục lại tín hiệu tương tự • Để khôi phục lại tín hiệu tương tự xa(t) thì phổ của tín hiệu được khôi phục phải giống với phổ ban đầu của xa(t). • Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổ tín hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta cho các mẫu xa(nTs) đi qua mạch lọc thông thấp lý tưởng trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứng tần số:       : 0 2 f 2 f - : /1 )( ss fF fH slp ở các tần số khác 35 )( ])(sin[ )()()()( ss ss n salpsaa nTtF nTtF nTxthnTxtx         Low pass Filter hlp(t) xa(nTs) xa(t)=xa(nTs)*hlp(t)   tf tf dfefHdeHth s sftj lp tj lplp     sin)()( 2 1 )( 2        Công thức nội suy, cho phép khôi phục xa(t) từ xa(nTs) 36