Luận văn Vận dụng phương pháp khám phá vào dạy chủ đề tích phân (lớp 12 thpt)

VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TS Bùi Văn Nghị THÁI NGUYÊN - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng, số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn “Vận dụng phương pháp khám phá vào dạy chủ đề Tích phân (Lớp 12 THPT)’’ là trung thực, là kết quả nghiên cứu của riêng tôi. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Tác giả luận văn Dƣơng Thùy Linh ii LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện đề tài: “Vận dụng phương pháp khám phá vào dạy chủ đề Tích phân (Lớp 12 THPT)’’, em đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ, động viên của các cá nhân và tập thể. Em xin được bày tỏ sự cảm ơn sâu sắc nhất tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TS Bùi Văn Nghị, người thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn. Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Phòng Đào tạo trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, HS khối 12, Trường Văn hóa I – Bộ công an đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và thực nghiệm tại trường. Dù đã rất cố gắng, xong Luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Tác giả luận văn Dƣơng Thùy Linh iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................ i LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... ii MỤC LỤC ......................................................................................................... iii DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT ........................................................... iv DANH MỤC BẢNG .......................................................................................... v DANH MỤC BIỂU ĐỒ .................................................................................... vi MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2 3. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3 6. Dự kiến kết quả đạt được ................................................................................. 3 7. Cấu trúc luận văn ............................................................................................. 3 Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 4 1.1. Phương pháp dạy học tích cực ...................................................................... 4 1.1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ............................................... 4 1.1.2. Quan niệm về phương pháp dạy học tích cực ........................................... 5 1.1.3. Một số phương pháp dạy học tích cực ...................................................... 9 1.2. Phương pháp dạy học khám phá ................................................................... 9 1.2.1. Quan niệm về phương pháp dạy học khám phá ........................................ 9 1.2.2. Mối liên hệ giữa dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và dạy học khám phá......................................................................................................................11 1.2.3. Những cách thức tổ chức dạy học khám phá..........................................13 1.2.4. Các kiểu dạy học khám phá ..................................................................... 16 1.2.5. Điều kiện thực hiện phương pháp khám phá ........................................... 17 1.2.6. Ưu điểm và nhược điểm của phương pháp dạy học khám phá ................... 18 iv 1.3. Một số thực trạng ........................................................................................ 20 1.3.1. Khái quát nội dung chương trình tích phân lớp 12 .................................. 20 1.3.2 . Khảo sát thực tiễn ................................................................................... 22 1.4. Tiểu kết chương 1 ....................................................................................... 24 Chƣơng 2. ĐỀ XUẤT MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC KHÁM PHÁ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN Ở LỚP 12 THPT ...................................................... 26 2.1. Tình huống 1. Khám phá mối quan hệ giữa diện tích hình thang cong - Khái niệm tích phân ........................................................................................... 26 2.2.1. Mục đích xây dựng tình huống ................................................................ 26 2.2.2. Phương pháp dạy học .............................................................................. 26 2.2.3. Kịch bản trong tình huống ....................................................................... 26 2.2. Tình huống 2. Khám phá biến số mới trong tính Tích phân bằng phương pháp đổi biến số. ................................................................................................ 35 2.2.1. Mục đích xây dựng tình huống ................................................................ 35 2.2.2. Phương pháp dạy học .............................................................................. 35 2.2.3. Kịch bản trong tình huống ....................................................................... 35 2.3. Tình huống 3. Khám phá các hàm u, v trong tích phân từng phần. ........... 50 2.3.1. Mục đích xây dựng tình huống ................................................................ 50 2.3.2. Phương pháp dạy học .............................................................................. 50 2.3.3. Kịch bản trong tình huống ....................................................................... 50 2.4. Tình huống 4. Khám phá phương pháp tính tích phân lũy thừa một hàm số lượng giác. ..................................................................................................... 64 2.4.1. Mục đích xây dựng tình huống ................................................................ 64 2.4.2. Phương pháp dạy học .............................................................................. 64 2.4.3. Kịch bản trong tình huống ....................................................................... 64 2.5. Tiểu kết chương 2 ....................................................................................... 73 Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM....................................................... 74 3.1. Mục đích, tổ chức, kế hoạch thực nghiệm .................................................. 74 v 3.2. Nội dung thực nghiệm ................................................................................ 74 3.2.1. Các giáo án thực nghiệm ......................................................................... 74 3.2.2. Đề bài kiểm tra đánh giá .......................................................................... 75 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm .................................................................... 77 3.3.1. Kết quả bài kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ................. 77 3.3.2. Kết quả điều tra ........................................................................................ 78 3.4. Tiểu kết chương 3 ....................................................................................... 81 KẾT LUẬN ....................................................................................................... 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 83 PHỤ LỤC iv DANH MỤC NHỮNG TỪ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ DHKP Dạy học khám phá GV Giáo viên HĐ Hoạt động HĐH Hiện đại hóa HS Học sinh KP Khám phá PP Phương pháp PPDH Phương pháp dạy học PPKP Phương pháp khám phá SGK Sách giáo khoa TH Trường hợp THPT Trung học phổ thông v DANH MỤC BẢNG Bảng 3.1. Kết quả điểm kiểm tra đề số 1 của lớp thực nghiệm 12A6 (35 HS) và lớp đối chứng 12A7(35 HS). ............................................................. 77 Bảng 3.2. Kết quả điểm kiểm tra đề số 2 của lớp thực nghiệm 12A6 (35HS) và lớp đối chứng 12A7 (35 HS). ............................................................ 78 vi DANH MỤC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1. So sánh tỉ lệ (%) điểm bài kiểm tra đề kiểm tra số 1 của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ................................................................... 77 Biểu đồ 3.2. So sánh tỉ lệ (%) điểm bài kiểm đề kiểm tra số 2 của lớp thực nghiệm(TN) và lớp đối chứng (ĐC) .................................................. 78 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đất nước ta đang trong giai đoạn công nghiệp hoá, hiện đại hoá, với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam về cơ bản sẽ trở thành nước công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế. Nhân tố quyết định thắng lợi của công cuộc công nghiệp hoá, hiện đại hoá và hội nhập quốc tế là con người. Nguồn lực người Việt Nam phải được phát triển về số lượng và chất lượng trên cơ sở mặt bằng dân trí được nâng cao. Việc này cần bắt đầu từ giáo dục phổ thông, đòi hỏi sự nghiệp Giáo dục và Đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học (PPDH), trong đó có PPDH môn Toán. Trong điều kiện phát triển của các phương tiện truyền thông, trong bối cảnh hội nhập, mở rộng giao lưu, học sinh (HS) được tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú từ nhiều mặt của cuộc sống. Trong những năm gần đây việc đổi mới PPDH ở nước ta đã có một số chuyển biến tích cực. Có nhiều PPDH tích cực như dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học kiến tạo, dạy học khám phá,... đã và đang được các nhà sư phạm, các thầy cô giáo quan tâm nghiên cứu và áp dụng ở một góc độ nào đó qua từng tiết dạy, qua từng bài tập. Những sự đổi mới đó nhằm tổ chức các môi trường học tập trong đó HS được hoạt động trí tuệ nhiều hơn, có cơ hội để khám phá và kiến tạo tri thức hơn, qua đó HS lĩnh hội bài học và phát triển tư duy tốt hơn. Dạy học theo phương pháp khám phá (PPKP) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, trong đó có: Lê Võ Bình (2007) [2], Trần Bá Hoành (2002, 2004) [9], [10], Nguyễn Văn Hiến (2007) [8], Nguyễn Thị Duyến (2014) [4]...Theo các tác giả nếu GV biết tạo ra các tình huống phù hợp với trình độ nhận thức của HS để trên cơ sở kiến thức đã có, HS khảo sát tìm tòi phát hiện 2 kiến thức mới thì việc học tập khám phá sẽ đem lại kết quả tốt hơn so với nhiều hình thức học tập khác. Tuy nhiên hiện nay việc vận dụng PPKP vào dạy học môn Toán nói chung và dạy học Tích phân nói riêng còn gặp một số khó khăn vì đây là một nội dung mới và khó đối với HS, các em không được làm quen từ lớp dưới. Nếu giáo viên không thiết kế những hoạt động làm tích cực hoá người học giúp các em chủ động, tự giác, tích cực trong việc chiếm lĩnh tri thức thì việc học tập nội dung này đối với học sinh càng khó khăn hơn. Hơn nữa phương pháp dạy học khám phá là một phương pháp dạy học tích cực, có ưu thế đối với nội dung kiến thức mới và khó đối với học sinh. Với những lý do trên, đề tài được chọn là: “Vận dụng phương pháp khám phá vào dạy chủ đề Tích phân (Lớp 12 THPT)’’. 2. Mục đích nghiên cứu Đề xuất một số tình huống dạy hoc khám phá chủ đề Tích phân ở lớp 12 THPT, nhằm phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh trong quá trình học tập và nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy học chủ đề này. 3. Giả thuyết khoa học Nếu áp dụng phương pháp khám phá vào dạy chủ đề tích phân ở lớp 12 THPT vừa trang bị tri thức, rèn luyện kĩ năng tính tích phân cho học sinh, vừa giúp học sinh biết cách tìm ra những tri thức đó. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận của phương pháp dạy học khám phá. - Đề xuất được một số tình huống dạy học khám phá chủ đề tích phân ở lớp 12 THPT. - Thực nghiệm sư phạm hai giáo án soạn theo tinh thần của phương pháp dạy học khám phá tại Trường Văn hóa I - Bộ Công An, so sánh với phương pháp truyền thống để thấy được tính hiệu quả và khả thi của đề tài. 3 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu về phương pháp dạy học tích cực nói chung, phương pháp dạy học khám phá nói riêng. - Phương pháp điều tra, quan sát: Tìm hiểu thực tế dạy và học chủ đề Tích phân ở lớp 12 hiện nay, nhằm thấy được những khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy và học chủ đề này. - Phương pháp thực nghiệm: Tổ chức dạy một số tiết dạy với giáo án thiết kế theo kết quả nghiên cứu của đề tài, nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 6. Kết quả đạt đƣợc - Làm rõ một số vấn đề liên quan tới PPKP trong dạy học môn toán ở trường Trung học phổ thông (THPT). - Đề xuất một số tình huống DHKP nội dung tích phân cho HS nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học tích phân cho HS lớp 12. 7. Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn được trình bày trong ba chương. Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chƣơng 2: Đề xuất một số tình huống dạy học khám phá chủ đề Tích phân ở lớp 12 THPT. Chƣơng 3: Thực nghiệm sư phạm. 4 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Phƣơng pháp dạy học tích cực 1.1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học Bước sang thế kỉ XXI, yêu cầu về nguồn nhân lực có chất lượng ngày càng trở thành vấn đề hết sức cần thiết đối với mỗi quốc gia, nó đóng vai trò quyết định trong sự phát triển và sự thành công của mỗi nước trong xu thế hội nhập quốc tế ngày càng sâu rộng và cạnh tranh trên trường quốc tế ngày càng gay gắt. Sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức và xu hướng toàn cầu hóa đang trở thành thách thức đối với việc đào tạo nguồn nhân lực của mỗi quốc gia. Nhận thức được điều này, các nước trên thế giới đều xác định giáo dục là một trong những nhân tố cơ bản quyết định sự phát triển bền vững của đất nước. Ở Việt Nam, trong nhiều năm qua, Đảng và Nhà nước ta luôn quan tâm và coi trọng phát triển giáo dục. Văn kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XI tiếp tục chỉ rõ: “Phát triển giáo dục và đào tạo cùng với phát triển khoa học và công nghệ là quốc sách hàng đầu; đầu tư cho giáo dục và đào tạo là đầu tư phát triển. Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và đào tạo theo nhu cầu phát triển của xã hội; nâng cao chất lượng theo yêu cầu chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế, phục vụ đắc lực sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” [5]. Năm 2013, hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương Đảng (khóa XI) đã thông qua nghị quyết số 29 về “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo”, trong đó khẳng định: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích 5 tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực”[1]. Tại khoản 2, Điều 28, chương II Luật giáo dục (2005) chỉ rõ: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”[14]. Như vậy đổi mới PPDH thực chất không phải là sự thay thế các PPDH cũ bằng một loạt các PPDH mới mà kết hợp với các phương pháp dạy học không truyền thống. Về mặt bản chất, đổi mới PPDH là đổi mới cách tiến hành các phương pháp, đổi mới các phương tiện và hình thức triển khai phương pháp trên cơ sở khai thác triệt để ưu điểm của các phương pháp cũ và vận dụng linh hoạt một số phương pháp mới nhằm phát huy tối đa tính tích cực, chủ động và sáng tạo của người học. Như vậy, mục đích cuối cùng của đổi mới PPDH là làm thế nào để HS phải thực sự tích cực, chủ động, tự giác, luôn trăn trở tìm tòi, suy nghĩ và sáng tạo trong quá trình lĩnh hội tri thức và lĩnh hội cả cách thức để có được tri thức ấy nhằm phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình. 1.1.2. Quan niệm về phương pháp dạy học tích cực Những “PPDH tích cực” là cụm từ dùng để nói một cách vắn tắt những PPDH phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học. Những PPDH tập trung vào phát huy tính tích cực của người học chứ không phải là tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy. Đành rằng, để dạy theo phương pháp tích cực thì giáo viên phải nỗ lực nhiều so với dạy theo phương pháp thuyết trình, giảng giải. Song đổi mới cách học thì phải đổi mới cách dạy. Rõ ràng, cách dạy chi phối cách học, ngược lại, thói quen học tập của trò có ảnh hưởng đến cách dạy của thầy. Có trường hợp, học sinh đòi hỏi cách dạy tích cực hoạt động nhưng giáo viên chưa đáp ứng được. Cũng 6 có trường hợp, giáo viên hăng hái áp dụng phương pháp tích cực, nhưng thất bại vì học sinh chưa thích ứng kịp và quen lối học tập thụ động. Vì vậy người giáo viên phải kiên trì tạo ra các hoạt động để dần dần xây dựng cho học sinh phương pháp học tập chủ động một cách vừa sức, từ thấp đến cao. Trong đổi mới phải có sự hợp tác của thầy và trò, có sự phối hợp giữa hoạt động dạy và hoạt động học thì mới thành công. Để phân biệt với các phương pháp thụ động, theo tác giả Trần Bá Hoành [9, tr. 27] có thể nêu bốn dấu hiệu cơ bản đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực như sau:  Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của HS. Trong phương pháp dạy học tích cực, người học, đồng thời là chủ thể của hoạt động học, cuốn hút vào các hoạt động học tập do GV tổ chức và chỉ đạo. Thông qua đó, tự lực khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải là thụ động tiếp thu những tri thức đã được GV sắp đặt sẵn. Được đặt vào những tình huống của đời sống thực tế, người học trực tiếp quan sát thảo luận, làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt ra theo cách suy nghĩ của mình. Từ đó, vừa nắm được kiến thức, kĩ năng mới, vừa nắm được phương pháp tìm ra kiến thức, kĩ năng đó; không rập khuôn theo mẫu sẵn có, được bộc lộ và phát huy tiềm năng sáng tạo. Dạy theo cách này thì GV không chỉ đơn giản là truyền đạt tri thức mà còn hướng dẫn hành động. Chương trình dạy học phải giúp cho từng HS biết hành động và tích cực tham gia các chương trình hành động của cộng đồng.  Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học. Phương pháp dạy học tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho HS không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là một mục tiêu dạy học. Xã hội ngày càng phát triển với sự bùng nổ của thông tin, khoa học, kĩ thuật và công nghệ, lượng kiến thức cần cập nhật ngày càng nhiều. Song chúng ta không thể nhồi nhét tất cả tri thức đó cho trẻ mà phải dạy cho trẻ phương pháp học và lĩnh hội kiến thức ngay từ cấp Tiểu học. Trong các phương 7 pháp học thì cốt lõi là phương pháp tự học. Nếu rèn luyện cho người học có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi con người, kết quả học tập sẽ được nhân lên gấp bội. Vì vậy, ngày nay người ta nhấn mạnh mặt hoạt động học trong quá trình dạy học, nỗ lực tạo ra sự chuyển biến từ học tập thụ động sang tự học chủ động, đặt vấn đề phát triển tự học ngay trong nhà trường phổ thông, không chỉ tự học ở nhà sau mỗi bài học lên lớp mà tự học cả trong tiết học có sự hướng dẫn của GV.  Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác. Trong một lớp học mà trình độ kiến thức, tư duy của HS không đồng đều thì khi áp dụng phương pháp dạy học tích cực buộc phải chấp nhận sự phân hoá về cường độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập, nhất là khi bài học được thiết kế thành một chuỗi hoạt động độc lập. Áp dụng phương pháp dạy học tích cực ở trình độ càng cao thì sự phân hoá này ngày càng lớn. Việc sử dụng các phương tiện công nghệ thông tin trong nhà trường sẽ đáp ứng yêu cầu cá thể hoá hoạt động học tập theo nhu cầu và khả năng của mỗi HS. Tuy nhiên, trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được hình thành bằng những hoạt động cá nhân. Lớp học là môi trường giao tiếp thầy - trò, trò - trò, tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trên con đường chiếm lĩnh nội dung học tập. Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua đó người học nâng mình lên một trình độ mới. Bài học vận dụng được vốn hiểu biết và kinh nghiệm sống của GV. Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức ở cấp nhóm, tổ, lớp hoặc trường. Được sử dụng phổ biến trong dạy học là hoạt động hợp tác trong nhóm nhỏ 4 đến 6 người. Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập, nhất là lúc phải giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu phối hợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung. Trong hoạt động theo nhóm nhỏ sẽ không thể có hiện tượng ỉ lại, tính cách năng lực của mỗi thành 8 viên được bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ. Mô hình hợp tác trong xã hội được đưa vào trong đời sống học đường sẽ làm cho các thành viên quen dần với sự phân công hợp tác trong lao động xã hội. Trong nền kinh tế thị trường đã xuất hiện nhu cầu hợp tác xuyên quốc gia, liên quốc gia, năng lực hợp tác phải trở thành một mục tiêu giáo dục mà nhà trường phải chuẩn bị cho HS.  Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò. Trong dạy học, đánh giá HS không chỉ nhằm mục đích nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động của trò mà còn tạo điều kiện nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của GV. Trước đây, GV giữ độc quyền đánh giá HS. Trong phương pháp dạy học tích cực, GV phải hướng dẫn HS phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học. Liên quan với điều này, GV cần tạo điều kiện thuận lợi để HS được tham gia đánh giá lẫn nhau. Tự đánh giá đúng và điều chỉnh hoạt động kịp thời là năng lực rất cần cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường phải trang bị cho HS. Theo hướng phát triển các phương pháp tích cực để đào tạo những con người năng động, sớm thích nghi với đời sống xã hội, thì việc kiểm tra, đánh giá không thể dừng lại ở yêu cầu tái hiện các kiến thức, lặp lại các kĩ năng đã học mà phải khuyến khích trí thông minh, óc sáng tạo khi giải quyết những tình huống thực tế. Với sự trợ giúp của các thiết bị kĩ thuật, kiểm tra đánh giá sẽ không còn là một công việc nặng nhọc đối với GV, mà lại cho nhiều thông tin kịp thời hơn để linh hoạt điều chỉnh hoạt động dạy, chỉ đạo hoạt động học. Từ dạy và học thụ động sang dạy và học tích cực, GV không còn đóng vai trò đơn thuần là người truyền đạt kiến thức, GV trở thành người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn các hoạt động độc lập, hoặc theo nhóm nhỏ để HS tự lực chiếm lĩnh nội dung học tập, chủ động đạt mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ theo yêu cầu của chương trình. Trên lớp, HS hoạt động là chính, GV chỉ là người hướng dẫn, trong khi soạn giáo án, GV đã phải đầu tư công sức, thời 9 gian rất nhiều so với kiểu dạy và học thụ động mới có thể thực hiện bài lên lớp với vai trò là người gợi mở, xúc tác, động viên, cố vấn, trọng tài trong các hoạt động tìm tòi hào hứng, tranh luận sôi nổi của HS. GV phải có trình độ chuyên môn sâu, rộng, có trình độ sư phạm mới có thể tổ chức, hướng dẫn các hoạt động của HS mà nhiều khi diễn biến ngoài dự kiến. 1.1.3. Một số phương pháp dạy học tích cực Có thể kể ra những phương pháp dạy học tích cực đang được quan tâm là: phương pháp dạy học hợp tác, phương pháp dạy học tự học, phương pháp dạy học đàm thoại và phát hiện, phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn, phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học theo lý thuyết kiến tạo, phương pháp dạy học chương trình hoá, phương pháp dạy học theo lý thuyết tình huống, phương pháp dạy học theo đề án. 1.2. Phƣơng pháp dạy học khám phá 1.2.1. Quan niệm về phương pháp dạy học khám phá Theo nghĩa từ điển: Khám phá (KP) là tìm ra, phát hiện ra cái ẩn giấu, bí mật [17]. "Khám phá là quá trình hoạt động (HĐ) và tư duy, có thể bao gồm quan sát, phân tích, nhận định, đánh giá, nêu giả thuyết, suy luận... nhằm đưa ra những khái niệm, phát hiện ra những tính chất, quy luật... trong các sự vật, hiện tượng và các mối liên hệ giữa chúng" [15, tr 159]. Theo Trần Bá Hoành [10]: Khám phá trong học tập ở nhà trường, dành cho HS, không phải tìm ra những điều gì "to tát", mà chỉ nhằm tìm thấy, phát hiện ra những tri thức mới đối với chính mình (có trong chương trình), giúp họ tích cực, chủ động chiếm lĩnh những tri thức trong đó. PPDH, ở đó, HS tự mình KP ra và lĩnh hội tri thức mới, dưới sự hướng dẫn của GV, được xem là PPDHKP. Trong phương pháp (PP) này "Thầy giáo tìm cách giúp cho HS tự KP ra các sự kiện, khái niệm, quy tắc... mà người thầy muốn truyền đạt" và tác giả nhận xét: "Đây là một PPDH nhằm tích 10 cực hoá HĐ nhận thức của HS, đặt người học vào thế chủ động, sáng tạo. GV tạo ra những tình huống HĐ, những câu hỏi gợi mở, có thể bằng đàm thoại phát hiện, thảo luận nhóm, sử dụng phiếu học tập... qua đó HS có thể KP được, nhận thức được những tri thức mới". Theo Jackc Richards (2004) [21]: DHKP là PP dạy và học dựa trên những quy luật sau: - Người học phát triển quá trình tư duy liên quan đến việc KP và tìm hiểu thông qua quá trình quan sát, phân loại, đánh giá, tiên đoán, mô tả và suy luận. - GV sử dụng một phương pháp giảng dạy đặc trưng hỗ trợ quá trình khám phá và tìm hiểu. - Giáo trình giảng dạy không phải là nguồn duy nhất cho người học. - Kết luận được đưa ra với mục đích thảo luận chứ không phải là cuối cùng. Người học phải lập kế hoạch, tiến hành và đánh giá quá trình học của mình với sự hỗ trợ một phần của GV. Theo Bùi Văn Nghị [15, tr 160]: Có thể nói DHKP là một phương pháp dạy học trong đó dưới sự hướng dẫn của giáo viên, học trò tự mình khám phá và lĩnh hội tri thức mới. Định nghĩa: Phƣơng pháp dạy học khám phá là cách dạy học theo hƣớng tổ chức cho học sinh tự tìm tòi, khám phá phát hiện ra tri thức mới,cách thức hành động mới. Qua đó rèn luyện tính cách tích cực cho bản thân. * Những đặc điểm của phương pháp dạy học khám phá:  Phương pháp dạy học khám phá trong nhà trường không nhằm phát hiện những điều loài người chưa biết, mà chỉ nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh một số tri thức mà loài người đã phát hiện được, nhưng đối với học sinh đó là những điều mới mẻ đối với họ. 11  Khác với khám phá trong nghiên cứu khoa học, khám phá trong học tập không phải là một quá trình mò mẫm tự phát mà là một quá trình có hướng dẫn của giáo viên, trong đó giáo viên khéo léo đặt học sinh vào địa vị người phát hiện lại, khám phá lại một số tri thức trong kho tàng tri thức của nhân loại thông qua những câu hỏi hoặc những yêu cầu hành động mà học sinh phải thực hiện hàng loạt các hoạt động khám phá sẽ dẫn học sinh đến con đường của tri thức mới. Theo Trần Thúc Trình [20, tr.19]: Mục tiêu của phương pháp dạy học khám phá là học sinh tự tìm tòi ra kiến thức, kĩ năng mới, từ kiến thức và kinh nghiệm sẵn có của mình, bằng những hoạt động khám phá có hướng dẫn, đồng thời nắm bắt được con đường nhận thức, rèn luyện kĩ năng tư duy với quan niệm rằng: “Những gì diễn ra trong quá trình học tập cũng quan trọng như kết quả học tập”. Như vậy, phương pháp dạy học khám phá không chỉ làm cho HS chiếm lĩnh được tri thức của môn học, mà còn trang bị cho họ những thủ pháp suy nghĩ; những cách thức phát hiện và giải quyết vấn đề mang tính độc lập, sáng tạo. 1.2.2.Mối liên hệ giữa dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và dạy học khám phá Giữa dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề và dạy học khám phá có điểm giống nhau là có liên quan đến tìm tòi, phát hiện vấn đề. Chính vì vậy mà có sự tương tự giữa các mức độ thể hiện hai phương pháp đó. Mối liên hệ giữa giải quyết vấn đề và dạy học khám phá được tổng kết ở sơ đồ sau: 12 [2, tr. 34] Sự khác nhau giữa dạy học khám phá và dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề được thể hiện ở mức độ: Dạy học khám phá có tính mở hơn với dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong dạy học khám phá, GV phải tạo cơ hội để HS được làm việc tự do hơn, phải suy đoán nhiều hơn thông qua các câu hỏi mở. Tuy nhiên, ranh giới để phân biệt tính đóng mở và mở ngỏ của một vấn đề cũng không thật sự tách bạch, rõ ràng và do đó cũng khó có thể khằng định trong giải quyết vấn đề thì không có tính mở và ngược lại, trong khám phá cũng chỉ hoàn toàn mở. Việc vận dụng phối hợp phương pháp khám phá với phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp hợp tác theo nhóm trong quá trình dạy học một cách hợp lí. “Vấn đề” Giải quyết Khám phá Hoạt động đồng quy Hoạt động phân kỳ Mục đích được biết trước Vấn đề mở ngỏ Vấn đề mở Tìm phương pháp trước Tìm mục tiêu Khám phá tình huống và chọn mục tiêu Mục tiêu biết chọn phương pháp 13 1.2.3. Những cách thức tổ chức dạy học khám phá Theo Trần Bá Ho... phiếu học tập 1) 2 0 (2 1) .x dx Đặt 2 1u x  . Ta có 2 2 du du dx dx   Đổi cận: x 0 2 u 1 5 Vậy 2 5 5 2 1 0 1 1 (2 1) 6. 2 4 u x dx du u     2) 2 1 2( 2) .x x dx Đặt 2 2u x  . Ta có 2 2 du du xdx xdx   Đổi cận: x 1 3 u 2 6 Vậy 2 6 6 2 3 1 3 2 1 27( 2) . 2 4 4 u x x dx du u     3) 2 0 4( 3) .x dx Đặt 3u x  . Ta có du dx Đổi cận: 38 x 0 2 u 3 5 Vậy 52 5 5 4 0 3 3 4 2882( 3) . 5 5 u x dx u du     4) /2 3 0 cos .sin .x xdx   Đặt osxu c . Ta có sinxdu dx Đổi cận: x 0 2  u 1 0 Vậy 1/2 0 1 4 3 3 3 0 1 0 0 1 cos .sin . . 4 4 u x x dx u du u du         5) 4 0 cos(2 ) . 4 x dx    Đặt 2 4 u x    . Ta có 2du dx Đổi cận: x 0 4  u 4  3 4  39 Vậy 3 3 4 4 4 0 4 4 1 1 cos(2 ) cosu. sin 0. 4 2 2 x dx du u            6)   2 0 2 1 . 1 dx x   Đặt 1u x  . Ta có du dx Đổi cận: x 0 2 u 1 3 Vậy   32 3 2 10 1 2 1 1 2 . 31 du dx uux        7) 1 2 3 0 . 1 x dx x  Đặt 3 1u x  . Ta có 2 23 3 du du x dx x dx   . Đổi cận: x 0 1 u 1 2 Vậy 1 22 2 3 1 0 1 1 1 1 ln ln2. 1 3 3 3 x du dx u x u      2 1 1 0 8) . .xe xdx Đặt 2 1u x  . Ta có 2 . 2 du du xdx xdx   40 Đổi cận: x 0 1 u 1 2 Vậy   2 1 2 2 1 2 1 0 1 1 1 1 . . 2 2 2 x u ue xdx e du e e e      9) 2 1 . ln e e dx x x Đặt lnu x . Ta có dx du x  Đổi cận: x e e 2 u 1 2 Vậy 2 2 2 1 1 1 1 ln ln 2. ln e e dx du u x x u     10) 1 0 . 1 x x e dx e    Đặt 1xu e  . Ta có xdu e dx  Đổi cận: x 0 1 u 2 e -1 +1 Vậy   1 1 1 1 1 1 2 0 2 1 ln ln 2 ln 1 . 1 ex e x e dx du u e e u                41 Hoạt động 3: Khám phá biến số mới nhờ kiến thức về vi phân một cách khái quát. Từ kinh nghiệm tính các tích phân trên, khi tính tích phân, nếu gặp các biểu thức sau thì nên đổi biến số như thế nào? Hãy đề xuất ý kiến của các em vào cột bên phải tương ứng với mỗi trường hợp. Biểu thức PP đổi biến số u = (ax + b)dx. u = ax + b. xdx; x 2 dx ; ; xn dx. u = x2 ; u = x3 ; ; u = xn+1 . 2 1 x dx. u = x 1 . cosx.dx; sinx.dx; x2cos 1 dx. u = sinx; u = cosx; u = tanx. x2sin 1 dx. u = cotx. dx x u = lnx. Hoạt động 4: Bài tập vận dụng - Tính các tích phân sau: 1) 1 2 0 4 2 ; 1 x dx x x    2 5 0 2) sin .cos ;x xdx   2 2 0 3) sin .cos ;x xdx   1 0 4) x x 1dx;   1 3 4 0 5) 1 ;x x dx   1 2 2 3 0 6) 1 .x x dx Hoạt động 5: Đối với tích phân dạng 1 2 0 1 . 1 dx x  Ta không đổi biến số theo PP chung đã nêu ở trên, nên giáo viên cần gợi ý để HS liên tưởng tới biểu thức (1 + tan2α) để các em có thể khám phá ra biến số mới trong bài này đặt x = tanα. 42 Một cách tổng quát: Nếu biểu thức dưới dâú tích phân có dạng  2 2 , 0 k a x a  , ta có thể đặt a tanx t hoặc cotx a t . Từ đó các em có thể tính được các tích phân sau: 1 2 0 1 1) ; 1 dx x 2) 2 2 2 2 1 1 1 1 ; 2x 2 ( 1) 1 dx dx x x       1 2 2 0 1 3) . (1 3 ) dx x Tóm tắt lời giải: 1 2 0 1 1) 1 dx x . Đặt tan , ; 2 2 x t t          . 2 tan cos dt x t dx t    x 0 1 t 0 4  1 4 4 2 2 2 0 0 0 1 . .4 1 1 tan cos 4 0 dx dt dt t x t t              Bây giờ ta thử mở rộng bài toán một chút bằng cách thay x bởi x-1 để có bài toán 2) 2 2 2 2 1 1 1 1 2x 2 ( 1) 1 dx dx x x       Đặt 2 1 1 tan , ; 2 2 cos x t t dx dt t             . x 1 2 t 0 4  43 Vậy 2 4 42 4 2 2 0 1 0 0 1 1 cos . 2x 2 tan 1 4 tdx dt dt t x t              1 2 2 0 1 3) . (1 3 ) dx x Đặt x = 1 tan 3 t ,  dx = 2 2 1 1 (1 tan ) . cos3 3 dt t dt t   x 0 1 t 0 3  Vậy 1 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 0 3 0 1 1 1 1 cos 1+cos2 (1 3 ) 1 tan3 2 3 1 sin 2 1 3 . 2 3 42 3 2 3 dx dt tdt tdt x t t t                             PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 Khám phá biến số mới là biểu thức chứa một căn thức  n f x Cho các tích phân sau: 1 2 0 1 ;A x x dx  1 3 4 0 1 ;B x x dx  1 23 0 1 ;C x x dx  1 2 0 ; 4 x D dx x    1 2 0 1 ;E x dx  1 2 0 1 .F x dx  a) Hãy tính các tích phân A, B, C, D bằng cách đặt mỗi căn thức trong biểu thức tính tích phân là một biến số mới. b) Tính các tích phân E, F bằng PP tương tự như các tích phân A, B, C, D có được hay không? Sự khác biệt giữa hai dạng tích phân này là gì? 44 Hoạt động 1: Từng nhóm học sinh thực hiện phiếu học tập số 2. Khám phá sự khác biệt trong việc tìm ra các biến số mới trong các bài tính tích phân ở trên. Từ đó hãy đề xuất ý kiến khái quát về việc đổi biến số trong các dạng tích phân này. Biểu thức lượng giác nào có dạng 21 x , 21 x là bình phương của một biểu thức, có thể khử được căn thức dạng 21 x và 21 x ? Hoạt động 2: Trao đổi thảo luận về kết quả thực hiện phiếu học tập. a) Tính các tích phân: 1 1 2 2 2 0 0 1 ) 1 1 ( 1). 2 A x x dx x d x       Đặt 2 1 1 2 2 x t xdx dt xdx dt      . Đổi cận: x 0 1 t 1 2 Vậy 2 2 1/2 3/2 1 1 1 1 1 ( 8 1). 2 3 3 A t dt t      1 1 3 4 4 4 0 0 1 ) 1 1 1 . 4 B x x dx x d x       Đặt 4 3 1 1 4 x t x dx dt    . Đổi cận: x 0 1 t 1 2 45 Vậy   22 1 3 2 2 1 1 1 1 1 8 1 . 4 6 6 B t dt t      1 1 2 2 23 3 0 0 1 ) 1 1 1 . 2 C x x dx x d x       Đặt 2 1 1 2 x t xdx dt    . Đổi cận: x 0 1 t 1 2 Vậy   22 1 4 33 3 1 1 1 3 3 2 2 1 . 2 8 8 C t dt t    1 2 0 ) . 4 x D dx x     Đặt 2 1 4 2 x t xdx dt    Đổi cận: x 0 1 t 4 5 Vậy 1 5 1 5 2 2 4 0 4 1 5 2. 24 x D dx t dt t x          b) Tính các tích phân E, F bằng PP tương tự không được. Thật vậy Tính 1 2 0 1 ;E x dx  1 2 0 1 .F x dx  46 Đặt 21 x t  thì 2 2 1x t  , 2 1 t dx dt t   , 2 2 2 1 1 t E dt t    Dẫn đến bài toán phức tạp hơn. Tính F cũng gặp phải khó khăn tương tự. +) Sự khác biệt giữa hai dạng tích phân A, B, C, D và E, F ở chỗ: các biểu thức dưới dấu tích phân trong các tích phân A, B, C, D đều đưa về dạng ))((.)())(( xfdxfxfu , trong đó u(f(x)) là một biểu thức đại số của f(x) nên sau khi đặt  f x t ta được một bài toán tích phân đơn giải hơn còn ở E, F không làm được như vậy. +) Ta có thể liên tưởng biểu thức 21 x , 21 x với các biểu thức lượng giác: 1 + tan2x = 2 1 cos x và 1 - cos2x = sin2x; Từ đó ta có thể khử được căn thức dạng 21 x và 21 x và tính các tích phân E, F như sau: 1 2 0 ) 1 .E x dx   Đặt tan , ; 2 2 x t t          , 2 , ; cos 2 2 dt dx t t          Đổi cận: x 0 1 t 0 4  Vậy   1 4 4 2 2 2 3 0 0 0 1 1 2 1 1 . ln 2 1 . cos cos cos t 2 2 dt E x dx dt t t            47 1 2 0 ) 1 .F x dx   Đặt sint, ; 2 2 x t          , Đổi cận: x 0 1 t 0 2  Vậy 1 2 2 2 0 0 0 1 cos sin 1.F x dx tdt t         Hoạt động 3: Khái quát hóa - mở rộng kết quả dạng tích phân E, F. +) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân chứa số hạng dạng  2 0a x a  ta có thể sử dụng phép biến đổi sau: Đặt asinx t hoặc acos .x t Ví dụ 2.6: Tính tích phân 2 2 0 1) 4 .x dx Đặt 2sin , ; 2 2 x t t          2cosdx tdt . Đổi cận: x 0 2 t 0 2  Vậy 2 2 2 2 2 2 0 0 0 4 4 4sin .2cos 4 cosx dx t tdt tdt          . 48 2 22 2 0 2) . 1 x dx x  Đặt sin , ; 2 2 x t t          cosdx tdt . Đổi cận: x 0 2 2 t 0 4  Vậy 2 2 22 4 4 4 4 2 0 0 0 0 0 sin .cos 1 os2 1 os2 1 . cos 2 2 2 8 41 x t t c t c t dx dt dt dt dt tx                  1 2 2 0 3) 4 3 .x x dx Đặt 2 sin 3 x t dx = tdtcos 3 2 Đổi cận: x 0 1 t 0 3  Vậy 1 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0 3 3 0 0 4 2 4 4 3 sin 4 4sin . cos sin 2 3 3 3 3 2 2 1 2 3 (1 cos4 ) sin 4 ( ). 4 3 83 3 3 3 3 3 x x t t tdt tdt t dt t t                         +) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân chứa số hạng có dạng  2 2 0x a a  ta có thể dùng phép đổi biến: ; . sin cos a a x x t t   49 Ví dụ 2.7: Tính tích phân 6 2 3 2 1 4) . 9 dx x x   Đặt 3 sin x t  , với 2 3cos 0; 2 sin t t dx dt t          . Đổi cận: x 3 2 6 t 4  6  Ta có 6 6 4 2 23 2 24 6 1 3cos 1 . 3 363 99 sin . 9 sin sin t dx dt dt x x t t t              2 2 2 3 1 5) 1 dx x x   . Đặt 1 cos x t   2 sin cos t dx dt t  . Đổi cận: x 3 2 2 t 6  4  Vậy 2 4 4 42 2 4 2 2 6 26 6 63 sin sin 1 cos cos sin1 121 11 1 cost costcost cos t t t t tdx dt dt dt t tx x                     50 Hoạt động 4: Bài tập vận dụng - Tính các tích phân sau: 1) 1 2 3 0 2 ;x x dx 2 3 2 5 1 2) ; 4 dx x x   8 2 0 3) 16 ;x dx 2 2 0 4) 4 ;x dx   5) 2 2 0 2 ;x dx 6) 3 2 2 1 9 3 ; x dx x   7) 3 2 2 1 2 1 ; 1 dx x  8) 2 2 2 ; 1 dx x x   9) 7 3 3 0 1 ; 3 1 x dx x    10) 37 23 0 ; 1 x dx x  11) 1 3 2 0 1 ;x x dx 12) 3 2 0 1 ; 1 x dx x    13) 1 0 ; 2 1 x dx x   14) 3 0 3 4 ; 4 x dx x    15) 3 3 2 0 1 ;x x dx 2.3. Tình huống 3. Khám phá các hàm u, v trong tích phân từng phần 2.3.1. Mục đích xây dựng tình huống Tình huống này nhằm tạo cơ hội cho học sinh tham gia khám phá ra các hàm số u(x), v(x) trong tính tích phân từng phần. 2.3.2. Phương pháp dạy học Phối hợp một số PPDH tích cực như: Đàm thoại phát hiện, hợp tác nhóm, sử dụng phiếu học tập. 2.3.3. Kịch bản trong tình huống Hoạt động 1: Giáo viên đặt vấn đề Trong bài học về Nguyên hàm, các em đã biết định lí sau: Nếu  u u x và  v v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên  ;a b thì            ' '.u x v x dx u x v x u x v x dx   . Hay udv uv vdu   . 51 Vấn đề đặt ra là, trong biểu thức dưới dấu tích phân, nên đặt biểu thức nào là u, biểu thức nào là v ? Chúng ta cùng nhau khám phá vấn đề đó thông qua các phiếu học tập sau. Hoạt động 2: Từng nhóm thực hiện các phiếu học tập. PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3 Khám phá các hàm u,v trong tích phân từng phần: Trong dạng f(x)g(x)dx, nên chọn biểu thức nào là u, biểu thức nào là dv Trong các tích phân sau, biểu thức dưới dấu tích phân có dạng f(x)g(x) - tích của hai hàm số, hãy lần lượt thực hiện hai phương án: 1) Chọn f(x) là u và g(x)dx là dv. 2) Chọn g(x) là u và f(x)dx là dv, để tính tích phân từng phần. Từ đó khám phá ra cách chọn nào thích hợp? 1) 2 0 cos ;x xdx   2) 2 2 0 ( 1)sinx ;x dx   3) 2 0 (2 1) ;xx e dx 4) 2 0 4( 3) ;xx e dx 5) 3 2 4 ; cos x dx x    6) /2 0 sin . ;xx e dx   0 7) cos ;xe xdx   2 5 1 8) ln . .x x dx Hoạt động 3: Trao đổi thảo luận kết quả hoạt động. 2 0 1) cos .I x xdx    Phương án 1: Đặt osx sinx u x du dx dv c dx v         Ta có 2 2 2 2 0 0 0 0 cosxdx= x.sinx sin x osx 1 2 2 x dx c            . 52 Phương án 2: Đặt 2 sinx osx 2 du dx u c x dv xdx v           Ta có 22 22 2 0 00 1 cosxdx= cosx sin x 2 2 x I x x dx      . (1) Tính 2 2 0 sin xJ x dx    . Nếu đặt 2 2 osxsinx du xdxu x v cdv dx         2 2 2 2 2 0 0 0 sin x cosx 2 . osx 2J x dx x x c dx I          . (2) Thay (2) vào (1) ta được 22 2 0 0 1 cosxdx= cosx 2 2 2 x I x I I I       . Nếu đặt 2 3 osx sinx 1 3 du c dx u dv x dx v x         2 2 2 2 3 3 00 0 1 1 sin x sinx . osx 3 3 J x dx x x c dx       . Nhận xét: Khi thực hiện phương án 2 ta phải tính một tích phân J phức tạp hơn tích phân ban đầu vì số bậc của đa thức được nâng lên và nếu không tuân thủ theo cách đặt thì sẽ xảy ra hiện tượng I = I. Vậy phương án tối ưu trong trường hợp này đó là phương án 1. 53 2) 2 2 0 ( 1)sinx .x dx   Phương án 1: Đặt 2 21 osxsinx du xdxu x v cdv dx          Ta có 2 2 2 2 2 0 0 0 ( 1)sinx ( 1). osx 2 cos .I x dx x c x xdx           (1) Xét tích phân 2 0 cos .J x xdx    Đặt osx sinx u x du dx dv c dx v         2 2 2 0 0 0 cos .sinx sin x 1. (2) 2 J x xdx x dx           Thay (2) vào (1) ta được: 1 2 1 1 2 I             . Phương án 2: Đặt   3 2 osxsinx 1 3 du c dxu x dv x dx v x           Trường hợp này cũng như trên nên phương án tối ưu sẽ là phương án 1. 2 0 3) (2 1) .xx e dx Phương án 1: Đặt 2 1 2 x x u x du dx dv e dx v e          54 2 22 2 00 0 (2 1) (2 1) 2 3 1.x x xx e dx x e e dx e       Phương án 2: Đặt    22 1 xx du e dxu e dv x dx v x x            2 22 2 2 2 00 0 (2 1) ( ) ( ) 3 1.x x xx e dx x x e x x e dx e        Nhận xét : Khi thực hiện phương án 2 ta phải tích phân mới phức tạp hơn tích phân ban đầu. 4) 2 2 0 ( 3) .xI x e dx  Phương án 1: Đặt     2 2 33 xx du x dxu x v edv e dx           2 22 2 00 0 2( 3) ( 3) 4 ( 3) . 1x x xI x e dx x e x e dx       Tính 2 0 ( 3) .xJ x e dx  Đặt  3 xx du dxu x v edv e dx        2 22 2 00 0 ( 3) ( 3) 4 2. (2)x x xJ x e dx x e e dx e        Thay (2) vào (1) ta có 2 2 2 0 ( 3) 9 1.xI x e dx e    55 Phương án 2: Đặt     3 2 3 3 3 x x du e dxu e x dv x dx v              Ta thấy phương án này phức tạp và khó hơn phương án 1 5) 3 2 4 . cos x dx x    Phương án 1: Đặt 2 1 tan cos u x du dx v xdv dx x       Vậy 3 3 3 3 3 2 4 4 4 4 4 3 .tan tan .tan ln cosx ln 2 cos 3 4 x dx x x xdx x x x                     Phương án 2: Đặt 3 2 2 2sin 1 cos cos 2 x du dx u x x x dv xdx v           2 0 6) sin xxe dx   . Phương án 1: Đặt sinx cos . x x u du x dx dv e dx v e         Ta có 2 2 22 0 0 0 sin x sin x .cos .x x xI e dx e e x dx e J          , trong đó 2 0 .cos .xJ e x dx    . 56 Tính J Đặt cos sinx. x x u x du dx dv e dx v e          Ta có 2 2 2 2 0 0 0 0 .cos . .cos .sin 1 .sin 1x x x xJ e x dx e x e xdx e xdx I                 . Như thế,   2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 e I e I e I I e I                  . Vậy 2 1 2 e I    . Phương án 2: Đặt . sinx cos x xu e du e dx dv dx v x          2 2 2 0 0 0 sin x cos . osx. 1x x xI e dx e x e c dx J           . Tính J 2 0 . osx.xJ e c dx    . Đặt cos sinx x xu e du e dx dv xdx v         Ta có 2 2 2 2 22 0 0 0 0 .cos . .sinx .sin .sinx x x xJ e x dx e e xdx e e xdx e I               . Thay vào ta có 2 2 1 1 2 e I e I I             . 57 Nhận xét: Cả hai phương án trên vai trò của u và dv giống nhau nên chọn phương án nào cũng phù hợp. 2 5 1 7) ln .x x dx . Đặt 5 6 1 ln 6 du dx u x x dv x dx x v          Vậy 22 26 5 5 1 11 1 32 7 ln . ln ln 2 6 6 3 4 x x x dx x x dx     . Hoạt động 4: Thực hiện phiếu học tập số 4. PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4 Từ kết quả trải nghiệm tính các tích phân trên, hãy đề xuất chọn u, v nhƣ thế nào cho thích hợp với mỗi trƣờng hợp sau: Dạng f(x).g(x).dx Chọn u Chọn v xcosxdx = xd(sinx) = cosx.d( 2 1 x 2 ). u = x. v = sinx.  2 2 3 ( 1)sinx ( 1) -cosx 1 sin x . 3 x dx x d d x x             2 1u x  . osxv c  .        22 1 2 1 .x x xx e dx x d e e d x x      2 1u x  . xv e .  2 2 31( 3) ( 3) ( 3) . 5 x x xx e dx x d e e d x             2 3u x  . xv e .    sin . sin osx .xx xx e dx xd e e d c   sinxu  . xv e .    cosx. cosx sinx .xx xe dx d e e d  osxu c . xv e . 5 61ln . ln 6 x x dx xd x        . lnu x . 61 . 6 v x 58 Khái quát hóa - Đề xuất cách chọn u, dv trong mỗi trường hợp sau, trong đó P(x) là đa thức của x. Dạng f(x).g(x).dx Chọn u Chọn dv ( ) os x.dxP x c  hoặc ( )sin x.dxP x  . u = P(x). sin x.dx os x.dx dv dv c      ( ) dx.xP x e u = P(x). xdv e dx . ( )ln xdx.kP x lnku x . dv = P(x)dx.  cos dx.xe x  hoặc  sin dx.xe x      os x sin x u c u       xdv e dx . e x lnxdx. lnu x . xdv e dx . cosx lnxdx hoặc sinx lnxdx. lnu x . dv = sinxdx. Ghi nhớ Có thể ghi nhớ cách chọn u theo cách sau: “Nhất log (logarit), nhì đa (thức), tam gia (lượng giác), tứ mũ (hàm mũ)” . Hoạt động 5: Luyện tập Ví dụ 2.8: Tính tích phân sau a) 4 0 cos2I x xdx    . Đặt 1 cos2 sin2x 2 du dx u x dv xdx v         Ta có 4 2 4 00 0 1 1 2 cos2 sin2x sin2x 2 2 8 I x xdx x dx          . 59 b)   6 0 2 sin3I x xdx    . Đặt 2 1 sin3 cos3x 3 du dx u x dv xdx v                6 6 6 6 00 0 0 1 1 1 1 5 2 cos3 cos3 2 cos3 sin3 3 3 3 9 9 I x x xdx x x x              . Ví dụ 2.9: Tính tích phân sau a)   1 2 2 0 1 xI x e dx  . Đặt    2 22 2. 1 1 1 2 xx du x dx u x v edv e dx                 1 1 22 2 0 0 1 1 1 2 x xI e x x e dx    (1) Xét   1 2 0 1 xJ x e dx  . Đặt   2 2 1 1 2 x x du dx u x dv e dx v e          Khi đó     1 1 2 1 2 2 2 0 0 0 1 3 1 1 1 . 2 4 4 x x x eJ x e dx e x e dx        (2) Thay (2) vào (1) ta có 25 1 4 4 e I   60 b)   1 2 0 2 xI x x e dx  . Đặt  2 2 12 xx du x dxu x x v edv e dx               1 1 2 0 0 2 2 1x xI x x e x e dx      . Xét   1 0 1 xJ x e dx  . Đặt 1 x x u x du dx dv e dx v e              1 1 0 0 2 1 1x xJ x e e dx e        Vậy     1 1 2 0 0 3 2 7 2 2 1 2 1 2x xI x x e x e dx e e e                   . Ví dụ 2.10: Tính tích phân sau   3 2 2 ) lna x x dx . Đặt  2 2 2 1 ln x x x u x du dx x dv dx v x            Vậy           3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 1 2 2 1 ln .ln 3ln 6 3ln 2 1 1 ln54 2 3ln3 2. 1 x x x x x dx x x x dx dx x x x x dx dx x                        61 b) 3 2 1 ln e x xdx . Đặt 2 3 4 2ln ln x 4 x du dx u x dv x dx x v           Ta có 4 3 2 2 3 1 11 1 ln ln ln . 4 2 ee e x x xdx x x xdx   (1) Lại đặt 1 1 3 4 1 1 1 ln x 4 du dx u x dv x dx x v          Ta lại có 4 4 3 3 1 11 1 3 1 ln ln 4 4 16 16 ee e x e x xdx x x dx     . (2) Thay (2) vào (1) 4 4 4 3 2 1 3 1 5 1 ln 4 32 32 32 e e e e x xdx      . c)   2 0 cos .ln 1 osxI x c dx    . Đặt   sinx ln 1 osx 1 osx osx sinx du dxu c c dv c dx v                 22 2 2 2 0 0 0 0 sin sinx.ln 1 osx 1 osx sinx 1 1 osx 2 x I c dx c dx x c                 . Ví dụ 2.11: Tính tích phân sau a) 2 2 0 os3xI e c xdx    . 62 Đặt 2 2 2 1 os3 sin3 3 x x du e dxu e dv c xdx v x            Vậy   2 2 22 0 0 1 2 sin3 sin3 . 1 3 3 x xI e x e xdx      2 2 0 1 2 sin3 3 3 xe e xdx     lại đặt 2 2 2 1 sin3 os3 3 x x du e dxu e dv xdx v c x               2 2 2 2 22 0 0 0 1 2 1 2 sin3 os3 os3 . 2 3 3 3 3 x x xe xdx e c x e c xdx I          Thay (2) vào (1) ta có 1 2 4 13 3 2 3 9 9 9 9 e I e I I          3 2 13 e I    . Xét cách chọ u,v khác (theo lý thuyết) đặt 2 2 3sin3 os3 1 2 x x du xdx u c x dv e dx v e          Như vậy ta có:   2 2 22 0 0 1 3 os3 sin3 . 3 2 2 x xI e c x e xdx      2 2 0 1 3 sin3 2 2 xe xdx      lại đặt 2 2 3 os3 sin3 1 2 x x du c xdx u x dv e dx v e           2 2 2 2 22 0 0 0 1 3 1 3 sin3 sin3 os3 . 4 2 2 2 2 x x xe xdx e x e c xdx e I          63 Thay (4) vào (3) ta có 3 2 13 e I    . b) 2 2 0 sinxe xdx   .  2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 sin 1 os2x os2x (1) 2 2 x x x xI e xdx e c dx e dx e c dx                  Xét 2 2 2 1 00 1 1 . (2) 2 2 2 x x eI e dx e       2 2 0 os2xxI e c dx    . Đặt 2 2sin 2 os2 1 2 x du xdx u c x dv dx v e          2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 os2x .sin2 .sin2 . 2 2 2 x x xI e c e xdx e e xdx         (3) Lại đặt 2 2 2 os2 sin 2 1 2 x x du c xdx u x dv e dx v e         2 2 2 20 0 0 1 .sin2 .sin2 2 2 x x xe xdx e x e cos xdx I         (4) Thay (4) vào (3) ta được 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 4 e I e I I        (5) thay (2) và (5) vào (1) ta được  21 1 8 I e   . 64 Hoạt động 6: Bài tập vận dụng - Tính các tích phân sau:   2 0 1) 1 .sin x ;x dx   2 1 2) .ln ; e x xdx   1 0 3) ln 1 ;x dx   2 2 0 4) 2 1 . ;xx x e dx    2 2 2 0 5) .sin ;x xdx     2 2 0 6) 2 . ;xx e dx   7) 2 2 2 0 cos ;xe xdx   8)   1 2 2 0 .ln 1 ;x x dx 9)   2 0 1 3 sin 2 ;x xdx   10)   2 2 0 1 3 cos 2 ;x x xdx   11) 2 2 0 cos5 ;xe xdx   12)     1 2 0 2 1 .ln ;x x x dx  13)   1 1 cos ln ;x dx 14)   2 2 0 ln 1 .x x dx  2.4. Tình huống 4. Khám phá phương pháp tính tích phân lũy thừa một hàm số lượng giác. 2.4.1. Mục đích xây dựng tình huống Tình huống này nhằm tạo cơ hội cho học sinh tham gia khám phá ra phá phương pháp tính tích phân lũy thừa một hàm số lượng giác. 2.4.2. Phương pháp dạy học Phối hợp một số PPDH tích cực như: Đàm thoại phát hiện, hợp tác nhóm, sử dụng phiếu học tập. 2.4.3. Kịch bản trong tình huống Giáo viên đặt vấn đề. Từ công thức nguyên hàm của sin x cosdx x c  và cos sinxxdx c   65 2 tan cos dx x c x   và 2 cotsin x dx x c   Vấn đề đặt ra là nếu biểu thức tính tích phân chứa lũy thừa của một hàm số lượng giác thì ta tính tích phân đó như thế nào? Chúng ta cùng khám phá vấn đề đó thông qua phiếu học tập sau. Hoạt động 1: Từng nhóm thực hiện các phiếu học tập PHIẾU HỌC TẬP SỐ 5 Tính các tích phân sau: 1) 2 2 0 sin xdx   ; 2) 2 3 0 sin xdx;   3) 2 4 0 sin xdx;   2 5 0 4) sin xdx;   5) 4 0 dx ; cosx   6) 4 2 0 dx ; cos x   7) 4 3 0 dx ; cos x   8) 4 4 0 dx . cos x   Hoạt động 2: Trao đổi kết quả thực hiện phiếu học tập   2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 cos2x 1 1 sin 2x 1) sin xdx dx 1 cos2x dx x . 2 2 2 2 4                      2 2 2 3 2 2 0 0 0 2) sin xdx sin x.sinxdx 1 cos x sinxdx.         Đặt cosx = t , sindt xdx Đổi cận: x 0 2  t 1 0 Vậy   1 1 32 3 2 0 0 0 t 2 sin xdx 1 t dt t . 3 3              66     22 2 2 2 2 24 2 0 0 0 0 1 cos2x 1 3) sin xdx sin x dx dx 1 cos2x dx 2 4                       2 2 2 2 0 0 1 1 1 cos2x dx 1 2cos2x cos 2x dx 4 4          2 2 0 0 1 1 cos4x 1 1 sin 4x 3 1 2cos2x dx x sin 2x x . 4 2 4 2 8 16                          2 2 2 2 5 4 2 0 0 0 4) sin xdx sin xsin xdx 1 cos x sinxdx.         Dùng phương pháp đổi biến số Đặt cosx = t , sindt xdx Đổi cận: x 0 2  t 1 0 Vậy   12 2 5 2 0 0 8 sin xdx 1 t dt . 15      4 4 4 2 2 0 0 0 dx cos x cos x 5) dx dx. cosx cos x 1 sin x         Đặt sinx = t , cosdt xdx Đổi cận: x 0 4  t 0 2 2 67 Vậy        2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 t 1 t dtdx dt 1 1 dt dt cosx 1 t 2 1 t 1 t 2 1 t 1 t                              2 2 2 2 0 0 1 ln 1 ln 1 ln 2 1 . 2 t t            6) 4 4 2 0 0 dx tan x 1 cos x     . 7) 4 4 3 2 0 0 dx 1 dx I . cos x cosx cos x      . Đặt 2 2 1 sinx cosx cos x tan cos u du dx dx v xdv x             224 4 44 3 3 0 0 0 0 1 os1 sin tan 2 2 cosx cos cos cos c x dxxdx dx I x I x x x              4 0 2 2 cos dx I x       2 ln 2 1 . 2 I    8)     34 4 4 4 2 4 2 2 0 0 0 0 dx 1 dx tan x 4 1 tan x d tan x tan x . cos x cos x cos x 3 3                   Hoạt động 3: Khám phá phương pháp tổng quát tính tích phân của hàm số chứa lũy thừa của một hàm số lượng giác. +) Giáo viên đặt vấn đề: Từ việc tính các tích phân ở trên hãy đề xuất phương pháp tính các tích phân dạng: sin b n a xdx ; os b n a c xdx ; 1 ( ); sin b n a dx n Z x  1 ( ) cos b n a dx n Z x  68 +) Trao đổi giải quyết vấn đề: Dạng 1: 2 0 sinnxdx   và 2 0 os .nc xdx   +) n chẵn: “hạ bậc” ( 2 1 cos2 sin 2 x    ; 2 1 os2 os 2 c x c x   ) có khi ta phải hạ bậc nhiều lần mới gia được nguyên hàm lượng giác cơ bản đã biết. +) n lẻ: “Tách một giá trị sin hoặc cos”, sau đó ta dùng hai công thức 2 2 2 2sin 1 os ; cos 1 sinc x x x     . Khi đó ta đưa về tích phân hàm đa thức với biến phụ là sin hoặc cos. Chú ý: Khi đưa về tích phân hàm đa thức với lũy thừa bậc cao ta sử dụng tam giác Pascal để phân tích. Ví dụ 2.12: Tính tích phân 7 0 sinI xdx    . Ta có :     3 7 6 2 2 4 6sin sin .sinx= 1-cos sinx= 1-3cos 3cos os sinxx x x x x c x    7 2 4 6 0 0 sin 1-3cos 3cos os sinxxdx x x c x dx           2 4 6 0 1-3cos 3cos os cosxx x c x d      7 5 3 0 cos 3 32 cos cos osx 7 5 35 x x x c            . Dạng 2: 1 ( ); sin b n a dx n Z x  1 ( ) cos b n a dx n Z x  +) Nếu n chẵn: Tách    22 1 1 tan . os x c x         69    2.2 1 1 cot . sin x x         Để đưa về tích phân hàm đa thức với biến phụ là tan và cot +) Nếu n lẻ: Thêm hoặc bớt    sin ; osx c x     để đưa về hàm phân thức hữu tỉ. Đặt biến phụ tan 2 x b t        , khi đó ta tính được  2 2 1 dt dx t   và   2 2 sin 1 t x t     (Chú ý: os sin 2 c           ) Khi đó ta đưa được về tích phân của hàm phân thức hữu tỉ đơn giản. Hoạt động 4: Một số dạng tích phân khác Dạng 3:  ; 1 sinx cos b b a a dx dx m m x m      Bước 1: Thực hiện phép biến đổi đưa tích phân cần tính về dạng 1 sinx sinx sin 2 2sin os 2 2 b b b a a a dx dx dx x xm c           Bước 2: Sử dụng đồng nhất thức     os 1 os c a b c a b    . Ví dụ 2.13: Tính tích phân 2 0 1 dx. 1 cosx   2 2 2 2 00 0 1 1 1 x 1 dx dx tan . x1 cosx 2 2 2 2cos 2         70 Ví dụ 2.14: Tính tích phân 2 3 1 dx. sinx    2 2 2 2 2 2 33 3 3 3 x tan 1 x 12 ln tan ln3. x x xsinx 2 3 2sin cos 2tan cos tan 2 2 2 2 2 d dx dx dx x x                       Ví dụ 2.15: Tính tích phân 2 0 1 dx. sinx+1   2 2 2 2 2 20 0 0 0 x d 1 dx dx 4 2 dx x x1 sinx 1 cos x 2cos 2cos 2 4 2 4 2                                           2 0 x tan 1. 4 2           Ví dụ 2.16: Tính tích phân 2 0 1 dx. 2sinx+1   2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 . 6 612sin 1 2 4 sinx sin sin os2 sin 6 12 122 dx dx dx dx x xx cx                       Sử dụng đồng nhất thức: 6 6 osos 2 6 612 1261 os 12 123 3os 6 2 x x cc x x c c                     71 Ta được: 2 2 2 0 0 0 6 6 os 1 1 12 12 6 6 6 62sin 1 4 2 3sin os sin os 12 12 12 12 x x c dx dx dx x x x xx c c                         2 0 6 sin 1 112ln ln tan . 6 122 3 2 3os 12 x x c          Dạng 4: 1 . asin cos n m dx x b x Cách 1:    2 2 2 22 os 11 1 ln os 1 2tan os 2 2 n n m m c xdx I x x c xa b a bc                Cách 2:  2 2 1 1 asin cos sin n n m m dx I dx x b x xa b                22 2 2 2 sin os 11 1 ln sin os 1 n n m m x dx c x x c xa b a b                72 Cách 3: Đặt 2 2 2 2 2 1 2 tan ;cos ;sinx 2 1 1 1 x dt t t t dx x t t t          Khi đó ta đưa về tích phân hàm phân t