Bài giảng môn học Động lực học kết cấu

1993. 5. Rao S. S., Mechnical Vibrations, Addison-Wesley Publishing Company, 1990. CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 1.1 NHIỆM VỤ MÔN HỌC Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc) trong kết cấu khi chịu tác dụng của các nguyên nhân động. 1.2 TẢI TRỌNG ĐỘNG Khái niệm: Tải trọng động là tải trọng thay đổi theo thời gian về trị số, phương, vị trí, gây ra ứng suất, chuyển vị cũng thay đổi theo thời gian. Phân loại: - Tải trọng tiền định (Deterministic Loads): là tải trọng biết trước được qui luật biến đổi theo thời gian P = P(t). Thí dụ: Tải trọng điều hòa, chu kỳ, không chu kỳ, xungđược mô tả theo qui luật cho trước. - Tải trọng ngẫu nhiên (Random, Stochastic Loads): là tải trọng biết trước được qui luật xác suất và các đặc trưng xác suất như giá trị trung bình, độ lệch chuẩn Thí dụ: tải trọng gió, sóng biển, lực động đất. Bài toán ĐLHKC chịu tải trọng ngẫu nhiên được giải quyết bằng lý thuyết dao động ngẫu nhiên (Random Vibration Theory). Các thông tin cần tìm bao gồm ứng suất, chuyển vị, cũng mang tính ngẫu nhiên với các đặc trưng xác suất giá trị trung bình, độ lệch chuẩn Nói chung, các tải trọng trong thực tế đều mang tính chất ngẫu nhiên ở mức độ khác nhau, và được xác định bằng phương pháp thống kê toán học. Các quan điểm phân tích động lực học: Phân tích tiền định, phân tích ngẫu nhiên và phân tích mờ (Fuzzy Analysis). 1.3 ĐẶC THÙ CỦA BÀI TOÁN ĐỘNG Bài toán tĩnh: nội lực được xác định từ sự cân bằng với ngoại lực, không cần dùng đường đàn hồi nên mang tính chất đơn giản. Ứng suất và chuyển vị không phụ thuộc thời gian. Tĩnh Động q(t)= r y(t) P(t) P Bài toán động: ngoại lực bao gồm lực quán tính phụ thuộc vào đường đàn hồi y = y(x,t). Vì vậy, dẫn tới phương trình vi phân, phức tạp về toán học, khối lượng tính lớn, phải bắt đầu từ việc xác định y(x,t). Nhận xét: Bài toán tĩnh (bao gồm cả bài toán ổn định) là trường hợp đặc biệt của bài toán động khi lực quán tính được bỏ qua. 1.4 BẬC TỰ DO CỦA KẾT CẤU Bậc tự do động lực học (Number of dynamics degrees of freedom) của kết cấu là số thành phần chuyển vị phải xét để thể hiện được ảnh hưởng của tất cả các lực quán tính. Bậc tự do được định nghĩa trong sự liên quan đến lực quán tính và do đó liên quan đến khối lượng. Số khối lượng càng nhiều thì càng chính xác nhưng cũng càng phức tạp. Chú ý: Bậc tự do động lực học khác với bậc tự do trong bài toán tĩnh (số chuyển vị nút của kết cấu). Thí dụ: cho kết cấu như hình bên, nếu P là tải trọng tĩnh thì số bậc tự do là 3, nếu P là tải trọng động thì số bậc tự do là vô cùng. Trong thực tế, các kết cấu đều có khối lượng phân bố nên có vô hạn bậc tự do, việc giải bài toán rất phức tạp nên tìm cách rời rạc hóa hệ. 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP RỜI RẠC HÓA 1.5.1 Phương pháp khối lượng thu gọn (Lumped Mass) Thay thế hệ có khối lượng phân bố (a) thành các khối lượng tập trung (b) theo nguyên tắc tương đương tĩnh học. Đây là phương pháp thường được dùng trong hệ kết cấu phức tạp. Khối lượng thường được thu gọn về điểm nút (thí dụ như hệ dàn). P(t) m(z) P(t) m m m1 2 3 (a) (b) P Số bậc tự do của hệ tùy thuộc vào giả thiết về tính chất chuyển vị của hệ và tính chất quán tính của các khối lượng mi. Chẳng hạn, xét hệ (b) là hệ phẳng: Nếu biến dạng dọc trục và mi có quán tính xoay: 9 BTD (3BTD/mass). Nếu coi mi là một điểm (không có quán tính xoay): 6 BTD (2 chuyển vị thẳng/mass). Bỏ qua biến dạng dọc trục nên chỉ có chuyển vị đứng: 3 BTD (1 chuyển vị đứng/mass). Chú ý: Độ phức tạp của bài toán động lực học phụ thuộc vào số bậc tự do. 1.5.2 Phương pháp dùng tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates) Giả sử đường đàn hồi là tổ hợp tuyến tính của các hàm xác định ψi(x) có biên độ Zi như sau: ∑∞ = = 1 )()(),( i ii xtZtxy ψ (*) trong đó: ψi(x) : Hàm dạng (Shape Functions) Zi(t) : Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates) Hàm dạng ψi(x) được tìm từ việc giải phương trình L Z2 Z3 y(x,t) ψ1(x) Z1 ψ3(x) ψ2(x) ( ) sin 1, 2,...,i i xx i n L πψ = = vi phân đạo hàm riêng, hoặc do giả thiết phù hợp với điều kiện biên. Khi tính toán thường giữ lại một số số hạng đầu tiên của chuỗi (*) và hệ trở thành hữu hạn bậc tự do (Zi đóng vai trò bậc tự do). 1.5.3 Phương pháp phần tữ hữu hạn (Finite Element Method - FEM) Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp tọa độ suy rộng, trong đó: - Zi là các chuyển vị nút (Tọa độ suy rộng). - ψi(x) là các hàm nội suy (Interpolation Functions) các phần tử - Hàm dạng. Thường các hàm nội suy ψi(x) được chọn giống nhau cho các phần tử (ứng với cùng một bậc tự do) và là hàm đa thức nên việc tính toán được đơn giản. Đặc biệt, do tính chất cục bộ của các hàm nội suy nên các 321 4 5 v3=1 ψ3v(c) ψ3v(b) a b c d θ3=1 ψ3θ(c) ψ3θ(b) phương trình ít liên kết (uncoupled) với nhau làm giảm nhiều khối lượng tính toán. 1.6 CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 1.6.1 Nguyên lý D’Alembert Xét khối lượng mi (i=1,n) chịu tác động của lực Pi(t) có chuyển vị vi(t) và gia tốc )(tvi . Nếu đặt thêm lực quán tính thì khối lượng mi sẽ cân bằng: 0)()( =− tvmtP iii GG (1.1) Nếu hệ có n bậc tự do thì sẽ có n phương trình vi phân chuyển động. 1.6.2 Nguyên lý công khả dĩ Cho khối lượng mi (i=1,n) một chuyển vị khả dĩ δvi , công khã dĩ δW của các lực tác dụng lên mi (cân bằng) trên chuyển vị δvi phải triệt tiêu: ∑ =− 0)]()([ iiii vtvmtP G GG δ (1.2) Nguyên lí công khả dĩ thích hợp cho hệ phức tạp gồm các khối lượng điểm và khối lượng có quán tính xoay. Các số hạng trong phương trình là các vô hướng (scalar) nên lập phương trình đơn giản so với phương trình vector. Nếu cho hệ các chuyển vị khả dĩ ivδ lần lượt theo các bậc tự do sẽ thu được n phương trình vi phân của chuyển động. Ký hiệu công khả dĩ của ngoại lực Pi(t) là δW, từ (1.2) ta có biến phân công khả dĩ: ∑ ∑== iiii vtvmvtPW δδδ )]()(  (1.3) 1.6.3 Nguyên lý Hamilton (page 344, [1]) Xét hệ gồm các khối lượng mi (i=1, n) có các chuyển vị vi(t) ở hai thời điểm t1 và t2, chuyển vị có các trị số vi(t1) và vi(t2) tương ứng với hai đường biến dạng (b) và (c). Đường biến dạng (d) ứng với t = t1 + ∆t < t2. Đường biến dạng thật tuân theo định luật II Newton. Đường lệch trùng với đường thật tại hai thời điểm t1 và t2: δv1(t1) =δv1(t2) =0 (1.4) Động năng của hệ tại thời điểm t: )( 2 1 1 2 i n i ii vTvmT  == ∑ = Biến phân của động năng δT tương ứng với biến phân của chuyển vị δvi: δT= 1 1 n n i i i i i i i i i i i i i ii dvT dv m v v m v m v v V dt dt δ δ δ δ = = ∂ = =∂∑ ∑ ∑ ∑     (1.5) Mặt khác, ta có đồng nhất thức: ( )i i i i i i d dv v v v v v dt dt δ δ δ= +   Nhân cả hai vế với mi và lấy tổng cho toàn hệ: ∑+∑=∑ i iii i iii i ii vdt dvmvvmvvm dt d δδδ  )( WTvvm dt d i iii δδδ +=∑ )(  (1.6) Nhân hai vế với dt và lấy tích phân từ t1 đến t2: ∫ +=∑ 2 1 2 1 )( t t t tiii dtWTvvm δδδ Theo trên vì δvi(t1) = δvi(t2) = 0 với mọi i nên vế trái triệt tiêu: 0)( 2 1 =∫ + t t dtWT δδ (1.7) Nếu ngoại lực tác dụng trên hệ gồm lực bảo toàn (lực thế) và lực không bảo toàn (thí dụ lực m 1 m 2 m 3 m 4 v v v 1 2 3 v 4 v (t ) 1 1 v (t ) 1 2 t=t 1 t=t 2 t=t + ∆ t < t1 2 v(t + D t) 1 1 d v 1 2d v 3 d v 4d v thật (a) (b) (c) (d) 1 1t t 2 t + ∆ t 1 1 1 v(t + ∆ t) v (t )1 21v (t )1 v (t)1 t d v (t + ∆ t)1 1 Đường lệch v(t)+dv1 1 Đường Newton (thật) ma sát) thì biến phân của công ngoại lực δW được tách ra hai thành phần: δW = δWc + δWnc (1.8) Đối với lực bảo toàn thì công của lực bằng độ giảm thế năng của hệ nên: δWc = -δV (1.9) với δV là biến phân của thế năng. Thế (1.9) vào (1.8): δW = -δV + δWnc (1.10) Thế vào (1.7): 0)( 2 1 2 1 =∫ ∫+− t t t t nc dtWdtVT δδ (1.11) Đây là nguyên lý biến phân của Hamilton, trong đó: T: Động năng của hệ. V: Thế năng của hệ, gồm thế năng biến dạng đàn hồi và thế năng của lực bảo toàn. Wnc : Công của lực không bảo toàn (lực cản, ma sát, ngoại lực...) • Ý nghĩa Công thức (1.7) được viết lại: 0)( 2 1 =∫ + t t dtWTδ (1.12) Như vậy, trong tất cả các đường chuyển động trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 thì đường làm cho tích phân 0)( 2 1 =∫ + t t dtWT có giá trị dừng (cực tiểu) là đường chuyển động tuân theo định luật Newton. Bài toán tĩnh T = 0 thì (1.7) trở thành: 0 2 1 =∫ t t Wdtδ suy ra 0=Wδ hay 0)( =− ncWVδ (1.13) Đây là nguyên lý thế năng cực tiểu trong bài toán tĩnh (Nếu một hệ cân bằng ổn định thì thế năng của hệ cực tiểu). Chú ý: Nguyên lý Hamilton cũng là một phương pháp năng lượng, trong đó không dùng trực tiếp đến lực quán tính và lực bảo toàn. Dùng thích hợp cho hệ phức tạp, khối lượng phân bố. Nhận xét: Cả 3 phương pháp D’Alembert, Virtual Work và Hamilton đều dẫn đến phương trình chuyển động giống nhau (đều cùng mang bản chất định luật II Newton). Phương trình Lagrange Gọi q1, q2,...., qn là các tọa độ suy rộng. Trong công thức (1.11) ta có: ),....,,,,....,,( 2121 nn qqqqqqTT = ),....,,( 21 nqqqVV = 1 1 2 2 ....nc n nW Q q Q q Q qδ δ δ δ= + + + với Qi là lực suy rộng không bảo toàn. Thế vào (1.11): 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ... .... ... ... ) 0 t n nt n n n n n n T T Tq q q q q q T V Vq q q Q q Q q dt q q q δ δ δ δ δ δ δ δ ∂ ∂ ∂+ + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − − + + =∂ ∂ ∂ ∫   (*) Tích phân các số hạng chứa vận tốc iqδ từng phần: 22 2 1 11 ( ) tt t i i i i i it tt T T Tq dt q q dt q q t q δ δ δ∂ ∂ ∂ ∂= −∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫   (1.14) Thế vào biểu thức (*): ∫ ∑ =⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +∂ ∂−∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂− = 2 1 0)( 1 t t n i ii iii dtqQ q V q T q T t δ (1.15) Vì δqi là tùy ý nên: i iii Q q V q T q T t =∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂ )(  (1.16) Đây là phương trình Lagrange, dùng được cho hệ tuyến tính và phi tuyến. CHÖÔNG 2. HEÄ MOÄT BAÄC TÖÏ DO 2.1 THIEÁT LAÄP PHÖÔNG TRÌNH CHUYEÅN ÑOÄNG 2.1.1 Moâ hình heä moät baäc töï do Single Degree of Freedom system – SDOF Concentrated Properties Khoái löôïng: m Ñoä cöùng: k Heä soá caûn: c Löïc kích ñoäng: p(t) Chuù yù: Heä moät baäc töï do coù caùc ñaëc tröng phaân boá m, k, c, p(t) ñeàu coù theå ñöa veà moâ hình coù caùc ñaëc tröng vaät lyù taäp trung (heä moät baäc töï do suy roäng). 2.1.2 Caùc phöông phaùp thieát laäp phöông trình chuyeån ñoäng 2.1.2.1 Nguyeân lyù D’Alembert p(t) + fS + fI + fD =0 hay )(tpkvvcvm =++  (2.1) 2.1.2.2 Nguyeân lyù coâng khaû dó p(t) f f f D S I Löïc taùc duïng c k v(t) p(t) m Moâ hình SDOFs Cho khoái löôïng chuyeån vò khaû dó δv. Coâng khaû dó: δW = p(t)δv + fS δv + fI δv + fD δv = 0 hay 0)]([ =+−−− vtpkvvcvm δ vì δv ≠ 0 neân thu ñöôïc gioáng nhö (2.1). 2.1.2.3 Nguyeân lyù Hamilton Ñoäng naêng cuûa heä: 2 2 1 vmT = , bieán phaân ñoäng naêng vvmT δδ = Theá naêng bieán daïng ñaøn hoài cuûa loø xo: 2 2 1 kvV = , bieán phaân vkvV δδ = Bieán phaân coâng cuûa löïc khoâng baûo toaøn p(t) vaø fD (töùc laø coâng khaû dó cuûa hai löïc naøy treân chuyeån vò khaû dó δv): vvcvtpWnc δδδ −= )( Theo nguyeân lyù Hamilton: 0])([ 2 1 =+−∫ t t nc dtWVT δδ 0])([ 2 1 =+−−∫ t t dtvtpvvcvkvvvm δδδδ  (2.2) tích phaân töøng phaàn soá haïng thöù nhaát: O v f = kv s Löïc Chuyeån vò 2 2 2 1 1 10 t t t t t t mv vdt mv v mv vdtδ δ δ= −∫ ∫     (2.3) theá (2.3), (2.2): 0)]([ 2 1 =∫ +−−− t t vdttpkvvcvm δ (2.4) Nhaän xeùt: Caû 3 phöông phaùp cho cuøng keát quûa vì cuøng döïa treân ñònh luaät quaùn tính cuûa Newton. Trong tröôøng hôïp cuï theå naøy nguyeân lyù D’Alembert laø ñôn giaûn nhaát. 2.1.3 AÛnh höôûng cuûa troïng löïc Phöông trình chuyeån ñoäng: W)t(pkvvcvm +=++  trong ñoù W laø troïng löôïng cuûa khoái cöùng. Chuyeån vò v goàm toång cuûa chuyeån vò tónh (Static Displacement) st∆ gaây bôûi troïng löôïng W vaø chuyeån vò ñoäng v stv v= ∆ + , v v=  , v v=  Thay bieåu thöùc cuûa löïc ñaøn hoài vkkkvf sts +∆== vaøo phöông trình chuyeån ñoäng: Wtpvkkvcvm st +=+∆++ )( Maët khaùc stkW ∆= neân phöông trình cuoái cuøng: ( )mv cv kv p t+ + =  Keát luaän: Neáu laáy vò trí caân baèng tónh hoïc do troïng löôïng P = mg gaây ra laøm moác ñeå tính chuyeån vò thì phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng vaãn coù daïng (2.1). Nhö vaäy, troïng löïc khoâng aûnh höôûng ñeán phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng. 2.1.4 AÛnh höôûng cuûa söï rung ñoäng goái töïa c k m v(t) p(t) (W) Sf fD p(t) fI ∆ st Aûnh höôûng cuûa troïng löïc fS fD fI p(t) W W v(t) v (t) vg(t) v vt fI fD 0.5fS 0.5fS Phöông trình caân baèng löïc: 0=++ SDI fff trong ñoù löïc quaùn tính: tI vmf = vôùi gt vvv += laø toång cuûa v laø chuyeån vò uoán vaø vg laø chuyeån vò goái töïa (maët ñaát). 0=+++ kvvcvmvm g  hay: )(tPvmkvvcvm effg ≡−=++  (2.5) Keát luaän: geff vmtP −=)( laø taûi troïng do rung ñoäng goái töïa. Nhö vaäy söï rung ñoäng cuûa maët ñaát töông ñöông nhö löïc kích ñoäng effP taùc duïng taïi vaät naëng. 2.1.5 Heä moät baäc töï do suy roäng (Generalised SDOF System) Heä coù ñaëc tröng vaät lyù phaân boá (m, EI), thöïc chaát coù voâ haïn baäc töï do. Neáu coi heä chæ dao ñoäng vôùi moät haøm daïng naøo ñoù thì heä trôû thaønh 1 baäc töï do. Tìm caùc ñaëc tröng taäp trung cho heä 1 DOF. Giaû söû heä chòu rung ñoäng ngang vg(t) cuûa goái töïa (do ñoäng ñaát chaúng haïn). Duøng nguyeân lyù l x x N vg(t) v (x,t) e(t) z(t) m(x) EI(x) v(x,t) chuyeån vò O t Hamilton ñeå thieát laäp phöông trình chuyeån ñoäng. Ñaët: v(x,t) = ψ(x) Z(t) (2.6) ψ(x) - Haøm daïng (Shape Function) Z(t)- Toïa ñoä suy roäng (Generalised Coordinate) Ñoäng naêng cuûa heä: [ ] dxtxvxmT tl 2 0 ),()( 2 1 ∫= dxvtxvxmT tt l  δδ ),()( 0 ∫= Theá naêng uoán: [ ] dxtxvxEIV lf 2 0 ),(")( 2 1 ∫= dxvtxvxEIV l f "),(")( 0 δδ ∫= (2.8) Ñoä co ngaén cuûa thanh: [ ] dxtxvte l 20 ),('2 1)( ∫= (2.9) Theá naêng löïc doïc: [ ] dxtxvNNeV l N 2 0 ),(' 2 ∫−=−= hay dxvtxvNV l N ∫−= 0 '),(' δδ (2.10) Vì heä khoâng coù löïc khoâng baûo toaøn (löïc caûn, löïc kích thích) neân: ∫ =−2 1 0)( t t dtVTδ (*), vôùi V = Vf + VN Theá (2.7), (2.8) vaø (2.10) vaøo (*): 0'),('),("),(")(),()( 2 1 0 0 0 =∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ ∫ ∫+− dtdxvtxvNdxtxvtxvxEIdxvtxvxm t t l l l tt δδδ  (2.11) Duøng caùc lieân heä: )(tv = v + gv vaø )(tvδ = vδ "v = z"ψ vaø Zv δψδ "" = v’ = ψ’Z vaø Zv δψδ '' = Zv  ψ= vaø vδ =ψ Zδ (2.12) Theá (2.12) vaøo (2.11) 0)'(")()()()( 2 1 0 0 0 0 222 =∫ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∫ ∫ ∫ ∫+−+ dtdxZNZdxxEIZZdxxmtvZdxxmZZ t t l l l l g ψδψδψδψδ  (2.13) Chuù yù raèng tích phaân ∫l dxxf 0 )( khoâng phuï thuoäc t, neân ñoùng vai troø laø caùc haèng soá khi thöïc hieän tích phaân theo bieán t. Ñeå laøm xuaát hieän caùc thöøa soá δZ trong 2 soá haïng ñaàu, tích phaân töøng phaàn: 22 2 2 2 2 1 1 1 1 11 ( ) tt t t t t t t t t tt dZ dZ Zdt Z dt Z Z dt Z Z Z Zdt Z Zdt dt dt δ δ δ δ δ δ= = = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫       (2.14) ∫∫ −= 2 1 2 1 2 1 )()()( t t g t t t t gg ZdttvZtvdtZtv δδδ  (2.15) Theá (2.14) vaø (2.15), phöông trình (2.13) trôû thaønh: z δ z vt O vg δ v v [ ]∫ =−−+2 1 0)(**** t t tG ZdttpZkZkZm δ (2.16) ∫= l dxxmm 0 2* )( ψ : Khoái löôïng suy roäng ∫= l dxxEIk 0 2* )")(( ψ : Ñoä cöùng suy roäng ∫= l G dxNk 0 2* )'(ψ : Ñoä cöùng hình hoïc suy roäng ∫−= l gt dxxmtvtp 0 * )()()( ψ : Taûi troïng suy roäng Vì δZ baát kyø neân löôïng trong ngoaëc trieät tieâu, thu ñöôïc phöông trình chuyeån ñoäng heä suy roäng: )()()( *** tptZktZm t=+ (2.18) vôùi *** Gkkk −= : Ñoä cöùng suy roäng keát hôïp (2.19) Khi löïc doïc N ñaït trò soá tôùi haïn N = Ncr thì 0* =k . Töø ñoù, suy ra coâng thöùc tính löïc Ncr laø: ∫ ∫ = l l cr dx dxxEI N 0 2 0 2 )'( )")(( ψ ψ (2.20) Ñaây laø coâng thöùc cuûa phöông phaùp Rayleigh. Chuù yù: Neáu thanh chòu löïc kích thích phaân boá p(x,t) vaø löïc doïc N(x) thì coâng thöùc tính löïc kích thích suy roäng (löïc taäp trung) p*(t) vaø ñoä cöùng hình hoïc k*G laàn löôït laø: ∫= l dxxtxptp 0 * )(),()( ψ (2.21) ∫= l G dxxxNk 0 2* )](')[( ψ (2.22) ∫= l dxxxcC 0 2* )]()[( ψ (2.23) Thí duï: Example E8.3, page 144, [1] Thieát laäp phöông trình vi phaân dao ñoäng cuûa heä moät baäc töï do suy roäng. Cho bieát phöông trình ñöôøng ñaøn hoài (haøm daïng ) ñöôïc choïn nhö sau: L xx 2 cos1)( πψ −= (a) Giaûi: Aùp duïng (2.17), khoái löôïng vaø ñoä cöùng suy roäng: ( ) Lmdx L xmdxmm LL 228.0 2 cos1 0 2 0 2* =∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=∫= πψ (b) p(x,t) c(x) L x x N vg(t) v (x,t) e(t) z(t) m EI v(x,t) chuyeån vò O t ( ) 3 4 0 2 2 2 0 2* 322 cos 4 " L EIdx L x L EIdxEIk LL πππψ =∫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=∫= (c) Taûi troïng töông ñöông suy roäng (boû qua daáu tröø): )(364.0 2 cos1)()()( 00 * tvLmdx L xtvmdxmtvtP g L g L g  ∫∫ =⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −== πψ (d) Boû qua löïc doïc truïc, phöông trình caân baèng: )(364.0)( 32 )(228.0 3 4 tvLmtZ L EItZLm g =+ π (e) Neáu xeùt löïc doïc N thì ñoä cöùng hình hoïc suy roäng: ( )∫ ∫ =⎟⎠⎞⎜⎝⎛== L L G L Ndx L x L NdxNk 0 2 0 2 2* 82 sin 2 ' πππψ (f) Ñoä cöùng suy roäng keát hôïp: L N L EIkkk G 832 2 3 4 *** ππ −=−= Vì vaäy taûi troïng tôùi haïn maát oån ñònh thu ñöôïc khi cho ñoä cöùng keát hôïp baèng 0 laø: 3 2 23 4 4 8 32 L EIL L EINcr π π π == (h) Ñaây laø taûi troïng maát oån ñònh thaät söï cho coät console chòu taûi troïng phaân boá ñeàu, bôûi vì haøm daïng ñöôïc ruùt ra töø (a) laø daïng maát oån ñònh thaät cuûa keát caáu. Thay (h) vaøo (f) ta coù theå bieåu dieãn ñoä cöùng hình hoïc bôûi: cr G N N L EIk 3 4 * 32 π= (i) thay vaøo (e) ta coù phöông trình caân baèng bao goàm aûnh höôûng cuûa löïc doïc truïc laø: )(364.0)(1 32 )(228.0 3 4 tvLmtZ N N L EItZLm g cr  =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+ π (j) Do ñoù, baát kyø hình daïng naøo thoûa maõn ñieàu kieän bieân hình hoïc ñeàu ñöôïc ruùt ra töø haøm daïng )(xψ . Neáu haøm naøy ñöôïc cho bôûi daïng parabolic 2 2 )( L xx =ψ Khi naøy ñoä cöùng ñaøn hoài suy roäng trôû thaønh: 3 0 2 2 * 42 L EIdx L EIk L =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∫ LNdxLxNk L G 3 42 0 2 2 * =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ∫ Taûi troïng tôùi haïn ñöôïc ruùt ra töø ** Gkk = laø: 23 3 4 34 L EIL L EINcr == (l) giaù trò naøy lôùn hôn 21% so vôùi giaù trò töø (h). 2.2 DAO ÑOÄNG TÖÏ DO 2.2.1 Nghieäm cuûa phöông trình chuyeån ñoäng Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa heä 1 baäc töï do (keå caû suy roäng) coù daïng: )()()( tpkvtvctvm =++  Neáu khoâng coù löïc kích thích p(t) = 0 thì: 0)()( =++ kvtvctvm  (a) Nghieäm coù daïng: v(t) = Gest Theá vaøo (a) ta ñöôïc: (ms2 + cs + k) Get = 0 (b) Ñaët m k=2ω thì (b) daãn tôùi: s2 + m c + ω2 = 0 (c) (c) laø phöông trình ñaëc tröng, nghieäm s cuûa (c) tuøy thuoäc vaøo heä soá caûn c. Imaginary 1 1 Real e i ω t ω t O e = cos ω t ± isin ω t ± iω t Coâng thöùc Euler: 2.2.2 Dao ñoäng töï do khoâng caûn c = 0 Khi ñoù (c) coù nghieäm: s = ± iω do ñoù nghieäm cuûa (a) laø: v(t) = G1eiωt + G2e-iωt hay vieát laïi döôùi daïng thöïc: v(t) = Asinωt + Bcosωt (d) vôùi A, B ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän ban ñaàu: B = v(0), A = ω )0(v neân: v(t) = ω )0(v sinωt + v(0)cosωt (2.24) Coù theå vieát (2.24) döôùi daïng khaùc: v(t) = ρ cos(ωt - θ) (2.24') Vôùi bieân ñoä 2 2 )0()]0([ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+= ωρ vv  vaø pha ban ñaàu θ = tan-1 )0( )0( v v ω  (2.25) chu kyø: T = f 12 =ω π (2.26) 2.2.3 Dao ñoäng töï do coù caûn c ≠ 0 Nghieäm cuûa (c): s = 2 2 22 ω−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛±− m c m c (2.27) Daïng dao ñoäng phuï thuoäc vaøo trò soá cuûa heä soá caûn c (vaøo bieåu thöùc döôùi daáu caên coù daáu döông, aâm hay baèng khoâng) - Caûn tôùi haïn (Critical damping) c = ccr ccr = 2mω thì 0 2 2 2 =−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ω m ccr s = ω−=− m ccr 2 v(t) v(0) ρ T = ω v(0) θ 2π ω t v(0) v(0) v(t) tO Phöông trình chuyeån ñoäng: v(t)=(G1+ G2t)e-iωt =[v(0)(1+ωt)+ )0(v t]e-ωt (2.28) Ñoà thò chuyeån ñoäng coù daïng nhö hình veõ, khoâng coù dao ñoäng. - Caûn ít (Underdamping): c < ccr =2mω. Ñaët ξ = crc c = ωm c 2 trong ñoù ξ laø tæ soá caûn (damping ratio). Theá vaøo (2.27): s = -ξ ω ± 22)( ωξω − = -ξ ω ± iωD vôùi ωD = ω 21 ξ− : taàn soá dao ñoäng coù caûn, trong thöïc teá caùc keát caáu coù ξ <20% neân ωD ≈ ω ( vôùi ξ = 0.2 thì ωD = 0.98ω). Phöông trình chuyeån ñoäng: v(t) = G1 ti De )( ωξω +− + G2 ti De )( ωξω −− = e-ξωt (G1 ti De ω + G2 ti De ω− ) hay v(t) = e-ξωt (AsinωDt + BcosωDt) = ρ e-ξωt cos(ωDt - θ) (2.29) ξ O 1 1 ω ωD trong ñoù: [ ]2 2 )0()0()0( vvv D +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += ω ξωρ  θ = tan-1 )0( )0()0( v vv Dω ξω+ (2.30) Ñoà thò chuyeån ñoäng vôùi v(0) ≠ 0, )0(v = 0. Xaùc ñònh tæ soá caûn ξ: Phöông trình dao ñoäng töï do theo ñieàu kieän ñaàu: v ( t) ρ t πω 2 πω 3 πω 4 πω D D D D v 0 O -ξ ωte v 1 v 2 v(t)= e-ξωt( D vv ω ξω)0()0( + sinωDt+v(0)cosωDt) (2.31) Chu kyø dao ñoäng coù caûn: T = Dω π2 Theá vaøo (2.29): )2exp()exp( 1 Dn n T v v ω ωπξξω == + Ñoä giaûm Loga: 2 1 1 22ln ξω ωπξω ωπξδ −=== + Dn n v v = 21 2 ξ πξ − ≈ 2 πξ , vôùi ξ nhoû. πξπξπξπξδ 21...... !2 )2(21 2 2 1 +≈+++=== + ee v v n n Do ñoù: ξ = 1 1 2 + +− n nn v vv π (2.32) Chính xaùc hôn: ξ = mn mnn vm vv + +− π2 (töø mt mn n e v v ξω= + ) (2.33) Coâng thöùc (2.32) vaø (2.33) duøng xaùc ñònh tæ soá caûn ξ baèng thöïc nghieäm. Heä soá caûn: c = 2mωξ (2.34) - Caûn nhieàu (Overdamping) Khi ξ > 1 (c > ccr) thì khoâng coù dao ñoäng, töông töï khi c = ccr ξ caøng lôùn thì chuyeån ñoäng veà vò trí caân baèng caøng chaäm. 2.3 PHAÛN ÖÙNG VÔÙI TAÛI TROÏNG ÑIEÀU HOAØ 2.3.1 Heä khoâng caûn Löïc kích thích: tptp ωsin)( 0= Phöông trình: tptkvtvm o ωsin)()( =+ (a) Nghieäm thuaàn nhaát: tBtAtvh ωω cossin)( += Nghieäm rieâng daïng (oån ñònh): tGtvp ωsin)( = Theá vaøo (a) ruùt ra: 21 1 β−= k pG o vôùi: ω ωβ = Vaäy nghieäm toång quaùt: t k ptBtA tvtvtv o ph ωβωω sin1 1cossin )()()( 2−++ =+= (2.35) A, B xaùc ñònh töø ñieàu kieän ban ñaàu. Neáu 0)0()0( == vv  , deã daøng tìm ñöôïc: 0, 1 1 2 =−−= Bk pA o β β (2.36) theá vaøo (2.35) ta ñöôïc: )sin(sin 1 1)( 2 tt k ptv o ωβωβ −−= (2.37) Tæ soá phaûn öùng (Response Ratio): )sin(sin 1 1)()()( 2 tt k p tv v tvtR ost ωβωβ −−=== Trong thöïc teá, löïc caûn laøm cho soá haïng sau bieán maát sau moät khoaûng thôøi gian ngaén. Khi ñoù heä soá ñoäng (Manification Factor) seõ laø: 2 )( 1 1)( β−== st tpv tvMF (2.38) 2.3.2 Heä coù caûn Phöông trình chuyeån ñoäng: t m ptvtvtv o ωωξω sin)()(2)( 2 =++  (2.39) Nghieäm toång quaùt: tBtAetv DD t h ωωξω cossin()( += − ) Nghieäm rieâng: tGtGtvp ωω cossin)( 21 += Theá vaøo (2.39) vaø ñoàng nhaát 2 veá, thu ñöôïc: 2222 222 2 1 )2()1( 2 )2()1( 1 ξββ ξβ ξββ β +− −= +− −= k pG k pG o o (2.40) Vì nghieäm quaù ñoä taét raát nhanh, neân heä chæ dao ñoäng theo nghieäm rieâng. Duøng vector quay treân giaûn ñoà Argrand, ta tìm ñöôïc: 12 2 2 12 2 2[(1 ) (2 ) ] tan 1 op k ξβρ β ξω θ β − −= − + = − (2.41) vaø phöông trình dao ñoäng oån ñònh: )sin()( θωρ −= ttv (2.42) - Heä soá ñoäng (Dynamic Magnification Factor): Imaginary Real ϖ t ϖ t ρ θ 2ξβ (1−β ) +(2ξβ) 2 2 p k o 1 − β (1−β ) +(2ξβ) k p o 2 2 2 2 2 Bieåu dieãn dao ñoäng baèng vectô quay 222 )2()1( 1 ξββ ρ +−== k pD o (2.43) Khi ω >>ω thì khoâng coù chuyeån ñoäng. 0 1 2 3 900 1800 ξ = 0 Phase Angle Frequency ratio β ξ = 0.05 ξ = 0.2 ξ = 0.5 ξ = 1 ξ =0 ξ =0.2 ξ =0.5 ξ =0.7 ξ =1.0 1 2 3 4 D 0 1 2 3 β k m ξ 2.3.3 Söï coäng höôûng (Resonance) Khi 1== ω ωβ thì xaûy ra coäng höôûng. Luùc naøy heä soá ñoäng theo (2.43) laø: ξβ 2 1 1 ==D (2.44) Neáu heä khoâng caûn, töùc laø ξ = 0 thì Dβ=1 → ∝ Ñoái vôùi heä coù caûn ξ khaùc 0, thì Dmax xaûy ra khi: 2max 2 12 1 210 ξξ ξββ −= −=⇒= D d dD dinh (2.45) Nhö vaäy: Dmax khaùc Dβ=1 Tuy nhieân, vôùi heä coù tæ soá caûn ξ beù thì coù theå coi: ξβ 2 1 1max =≈ =DD (2.46) 2.3.4 Söï coâ laäp dao ñoäng (Vibration Isolation) Söï coâ laäp dao ñoäng caàn thieát trong 2 tröôøng hôïp: - Thieát bò maùy moùc truyeàn rung ñoäng coù haïi xuoáng keát caáu ñôõ. - Keát caáu ñôõ (bò rung) truyeàn dao ñoäng coù haïi cho thieát bò ôû treân. 1. Xeùt motor quay, taïo ra löïc kích ñoäng: tptp o ωsin)( = Chuyeån ñoäng oån ñònh (Steady-State Displacement): )sin()( θω −= tD k ptv o Vaän toác: )cos()( θωω −= tD k ptv o p(t) = p0 sinω t f v Phaûn löïc neàn Löïc ñaøn hoài: )sin()( θω −== tDptkvf os Löïc caûn: )cos(2 )cos()( θωξβ θωϖ − =−== tDp t k Dcptvcf o o D  Vì fS(t) vaø fD(t) leäch pha 90o, neân bieân ñoä phaûn löïc neàn laø: ( )[ ] 212max2max2max 21 ξβ+=+= Dpfff oDS Tyû soá truyeàn löïc (Transmissibility Ratio-TR ), ñöôïc ñònh nghóa: ( ) ( ) ( )[ ] )21( 21 2 122 2max −+−= +== βξβ ξβ D D p fTR o (2.47) TR = D neáu ξ = 0 (khoâng caûn) Ñoà thò cho thaáy caùc ñöôøng cong ñeàu: Ñaït cöïc ñaïi taïi β =1 Cuøng ñi qua ñieåm coù β = 2 Vôùi β > 2 thì TR < 1 Tyû soá caûn ξ laøm giaûm hieäu quaû cuûa vieäc coâ laäp dao ñoäng khi β > 2 ==> Khoâng neân duøng damper 2. Xeùt khoái löôïng m, chòu kích ñoäng cuûa goái töïa Chuyeån ñoäng töông ñoái cuûa m so vôùi goái töïa cho bôûi phöông trình: )sin()( 2 θωβ −= tDvtv go vt m vg (t)=vg sinω t Tyû soá truyeàn dao ñoäng Vibra. Transmi. Ratio β 0 1 ξ = 0.33 ξ = 0.2 ξ = 0 2 3 2 1 2 3 ξ = 0.25 TR Chuyeån ñoäng toaøn boä vt baèng toång vector cuûa vg vaø v: ( ) )sin(21)( 2 θωξβ −+= tDvtv got Tyû soá truyeàn: ( )2max 21 ξβ+== DTR v v go t (2.48) Tyû soá truyeàn dao ñoäng gioáng nhau cho caû 2 tröôøng hôïp. Chuù yù: Neáu khoâng coù damper thì: 1 1 2 −= βTR (2.49) Thí duï: Xe ñöôïc moâ hình moät baäc töï do, chuyeån ñoäng v = 72.4km/h. Ñoä cöùng loø xo: 100lb gaây chuyeån vò 0.8 in, ξ=0.4. Coi kích ñoäng ñöùng laø ñieàu hoaø vaø caàu raát nhieàu nhòp. Giaûi Ñoä cöùng loø xo: cm kG cm kG in lbk 4.233 203.0 4.45 08.0 100 === Chu kyø dao ñoäng töï nhieân cuûa xe: )(572.0 81.94.223 18162 . 2 s gk T =×== π ωπ Chu kyø kích ñoäng baèng thôøi gian ñi heát moät nhòp caàu: )(606.0 1.20 2.12 s v LTp === Tyû soá chu kyø: 994.0 606.0 572.0 === pT Tβ Bieân ñoä dao ñoäng ñöùng cuûa oâtoâ laø: L = 40fl = 12,2m vt v=45miles/h=72,4km/h=20,1m/s W=4000lb=1816kG 1,2in=3,05cm maët caàu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(009.5 944.04.02944.01 944.04.2105.3 21 21 2 1 22 2 2 1 222 2 max cm TR vvv gogot =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ××+− ××+× =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− +== ξββ βξ Neáu xe khoâng coù damper (ξ = 0) thì: )(69.27 944.01 05.3 1 1 22max cmvv got =−=−= β lôùn gaáp 5.5 laàn khi coù damper. Ñieàu ñoù noùi leân söï caàn thieát cuûa damper ñeå haïn cheá söï dao ñoäng ñöùng cuûa oâtoâ khi chaïy treân maët ñöôøng löôïn soùng. Baøi taäp 4-3, page-77, [1] Xeùt laïi baøi toaùn treân, nhöng nhòp L = 36 ft = 10.97 m. Xaùc ñònh: a. Toáùc ñoä gaây coäng höôûng cho xe: Tp = T = 0.572 s v = L/Tp = 10.97/0.572 = 19.18 m/s = 69km/h. b. Bieân ñoä toaøn phaàn tvmax cuûa xe khi coäng höôûng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(88.4 4.02 4.02105.3 2 21 2 21 21 21 1 2 22 1 2 2 2 1 222 2 max cm TR T T vv vvv gogo gogo t p =× ×+ =+=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− +== === ξ ξ ξ ξ βξβ ξβ ω ϖβ c. Bieân ñoä toaøn phaàn khi toác ñoä v = 45mph = 72.4km/h =20.1m/s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 546.1048.14.02048.11 48.104.021 21 21 )(048.1 546.0 572.0 )(546.0 1.20 97.10 2 1 22 2 2 1 222 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ××+− ××+ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− += === === βξβ βξ β TR s T T s v LT p p )(72.4546.105.3max cmTRv vgot =×== 2.4 PHAÛN ÖÙNG VÔÙI TAÛI TROÏNG CHU KYØ 2.4.1 Khai trieån taûi troïng thaønh chuoãi Fourier Taûi troïng p(t) coù chu kyø Tp ñöôïc khai trieån chuoãi Fourier: p n n p n no T nbt T naatp ππ 2sin2cos)( 11 ∑∑ ∞ = ∞ = ++= (2.50) vôùi caùc heä soá ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: 0 0 0 1 ( ) 2 2( )cos( ) 2 2( )sin( ) p p p T o p T n p p T n p p a p t dt T na p t t dt T T nb p t t dt T T π π = = = ∫ ∫ ∫ (2.51) v(t) t O Tp Tp Tp 2.4.2 Phaûn öùng vôùi taûi troïng chu kyø (tuaàn hoaøn) Khi moät taûi troïng chu kyø ñöôïc phaân tích ra chuoãi Fourier (2.50) thì phaûn öùng cuûa heä ñöôïc xaùc ñònh theo nguyeân lyù choàng chaát. Boû qua nghieäm quaù ñoä, trong tröôøng hôïp heä khoâng caûn, phaûn öùng nhö sau: - Vôùi soá haïng taûi troïng 2sin( )n p nb t T π thì phaûn öùng cuûa heä theo (2.37) laø: 12 1( ) sin( ) 1 n n n bv t n t k ωβ= − vôùi ω ω ω ωβ 1n T nT p n n === ; PT πω 21 = : taàn soá voøng cô baûn cuûa taûi troïng. - Soá haïng t T na p n π2cos , phaûn öùng ñöôïc xaùc ñònh töông töï: tn k atv n n n 12 cos1 1)( ωβ−= - Soá haïng ao - taûi troïng haèng soá, gaây chuyeån vò tónh: k av oo = - Phaûn öùng toaøn boä ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+= ∑ ∞ =1 112 sincos 1 11)( n nn n o tbtnaak tv ωωβ (2.52) 2.4.3 Da... EILx L EIxL L EIkk =+== )2(2)2( )2( 42 2 3 2 332 LL EIL L EIxk == 2L L EI EI 4EI v1 v2 v3 EI EI 4EI k11 k21 k31 v1=1 EI EI 4EI k12 k22 k32 v2=1 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 3 2 1 22 22 3 3 2 1 623 263 3312 2 v v v LLL LLL LL L EI f f f S S S Chuù yù: Baøi toaùn ñoäng löïc hoïc cuûa heä phaân boá thöôøng ñoøi hoûi nhieàu baäc töï do hôn so vôùi baøi toaùn tónh, do aûnh höôûng cuûa löïc quaùn tính. Tuy nhieân, khi ñaõ choïn caùc baäc töï do cho baøi toaùn ñoäng roài thì vieäc xaây döïng ma traän cöùng gioáng nhö tröôøng hôïp baøi toaùn tónh. 3.2.2 Tính chaát khoái löôïng 3.2.2.1 Ma traän khoái löôïng thu goïn (Lumped Mass Matrix) Ta xem khoái löôïng phaân boá cuûa caùc phaàn töû ñöôïc thu goïn veà caùc nuùt theo nguyeân taéc tónh hoïc, ta coù heä goàm caùc khoái löôïng taäp trung. Ma traän khoái löôïng thu goïn laø ma traän ñöôøng cheùo: 1m m2 m3 1 2 3 [M] = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ Nm m m 00 0 0 00 2 1 " %# # " (3.32) trong ñoù: mij = 0 vôùi i ≠ j, vì gia toác taïi khoái löôïng naøo chæ gaây ra löïc quaùn tính taïi khoái löôïng ñoù. 3.2.2.2 Ma traän khoái löôïng töông thích (Consistent - Mass Matrix) Xeùt phaàn töû daàm coù hai baäc töï do moãi nuùt. Duøng caùc haøm noäi suy ψi(x) nhö ma traän cöùng. Giaû söû daàm chòu taùc duïng cuûa gia toác goùc baèng ñôn vò taïi nuùt a, 3v = aθ = 1, gia toác chuyeån ñoäng ngang cuûa daàm laø: L m(x) v(x) v 1 a 3 v v4 b 2 v x δ v = δ v θ =v =1 a 3 a (chuyeån vò khaû dó) δ v(x)= ψ (x) δ v m =p 1 13 a 1 f (x) Ι 1 1 .. .. )()( 33 xvxv ψ = (3.33) Löïc quaùn tính: )()()()()( 33 xvxmxvxmxfI ψ == (3.34) Cho daàm chòu chuyeån vò khaû dó δv(x) = ψ1(x) δv1. Caân baèng coâng khaû dó cuûa löïc nuùt vaø löïc quaùn tính, ta coù: paδva = dxxvxfL I )()( 0 δ∫ hay m13 = dxxxxm L )()()( 3 0 1 ψψ∫ KL suy roäng mij = dxxxxm j L i )()()( 0 ψψ∫ (3.35) vì mij = mji, neân ma traän töông thích ñoái xöùng. - Neáu daàm coù khoái löôïng phaân boá ñeàu thì ta coù: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 4 3 2 1 I I I I f f f f = 420 mL ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− − − − 22 22 432213 341322 221315654 132254156 LLLL LLLL LL LL ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 4 3 2 1 v v v v     (3.36) Ma traän khoái löôïng cuûa keát caáu cuõng ñöôïc “choàng chaát’’ töø ma traän cuûa phaàn töû, töông töï nhö ma traän cöùng. Thí duï Thaønh laäp ma traän khoái löôïng cho keát caáu nhö hình veõ theo hai phöông phaùp. Quaù trình tính caùc heä soá khoái löôïng ñöôïc chæ roõ treân caùc hình veõ. Ma traän khoái löôïng thu goïn: [M] = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 840 210 Lm m11 m21 m31 11 =v =1 m12 m22 m32 12 =v 2L L m m v1 v2 v3 1.5 m v1 v2 v3 1.5 m L 0.5 m L 0.5 m L 0.5 m L 0.5 m L 1.5 m L m11= 4 m L m22 = m33 = 0 m22 = m33 = 0 vì giaû thieát raèng khoái löôïng thu goïn khoâng coù quaùn tính xoay, töùc laø caùc gia toác goùc taïi nuùt khoâng gaây ra momen quaùn tính. Ma traän khoái löôïng töông thích: 768 210 25.1)2156( 42011 LmLxmxLmm =+= LLmLLmmm 11 210 )22( 4203121 === 222 3322 26210 )2(4 420 25.14 420 LLmLLxmLLmmm =+== 22 32 )18(210 )2()3( 420 25.1 LLmLxLxmm −=−= [M] = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 22 22 261811 182611 1111786 210 LLL LLL LL Lm Nhaän xeùt Baøi toaùn ñoäng löïc hoïc öùng vôùi ma traän khoái löôïng thu goïn ñôn giaûn hôn vì: - [M] thu goïn daïng ñöôøng cheùo, trong khi [M] töông thích coù nhieàu heä soá khaùc 0 ôû ngoaøi ñöôøng cheùo. Caùc heä soá cuûa [M] thu goïn öùng vôùi caùc chuyeån vò xoay cuõng baèng 0, caøng laøm cho baøi toaùn ñôn giaûn hôn. - Duøng [M] thu goïn coù theå loaïi boû caùc chuyeån vò xoay, nhöng duøng [M] töông thích thì khoâng theå loaïi boû ñöôïc. 3.2.3 Tính chaát caûn Heä soá caûn cuûa phaàn töû ñöôïc xaùc ñònh bôûi FEM, cho bôûi coâng thöùc: cij = dxxxxc j L i )()()( 0 ψψ∫ Heä soá caûn suy roäng (3.37) trong ñoù: c(x) - tính chaát caûn phaân boá cuûa phaàn töû. Ma traän caûn keát caáu cuõng ñöôïc choàng chaát töø ma traän caûn cuûa phaàn töû, töông töï ma traän ñoä cöùng hoaëc ma traän khoái löôïng. Tuy nhieân, ñeå xaùc ñònh haøm c(x) trong thöïc teá thì khoâng laøm ñöôïc. Thöôøng tính caûn cuûa keát caáu xaùc ñònh bôûi thöïc nghieäm baèng tæ soá caûn ξ. 3.2.4 Taûi troïng Neáu taûi troïng taùc duïng treân phaàn töû thì phaûi thay theá baèng taûi troïng nuùt töông ñöông, duøng khaùi nieäm löïc suy roäng. Coù hai phöông phaùp: 3.2.4.1 Taûi troïng nuùt töông ñöông tónh hoïc Xem nhö taûi troïng ñaët treân daàm phuï coù maét truyeàn löïc ñaët taïi nuùt. Löïc truyeàn vaøo nuùt seõ thay theá cho taûi troïng ñaët treân phaàn töû. Nhö vaäy khoâng truyeàn moâ men taäp trung vaøo nuùt. 3.2.4.2 Taûi troïng nuùt töông thích p(x,t) q(x,t)F(t) pi(t) pj(t) Löïc nuùt töông ñöông p a 3 p 1 p 4 b 2 p L δ v(x)= ψ (x) δ v 1 1 δ v = δ v a 1 p(x,t) Taûi troïng suy roäng Taûi troïng nuùt ñöôïc tính theo nguyeân lí chuyeån vò khaû dó, duøng caùc haøm noäi suy ψi(x). Thí duï: p1(t) = dxxtxp L ∫ 0 1 )(),( ψ Taûi troïng suy roäng pi(t) = dxxtxp L i∫ 0 )(),( ψ (3.38) Neáu taûi troïng coù daïng phaân ly (tröôøng hôïp naøy thöôøng gaëp trong thöïc teá) p(x,t) = χ(x)ζ(t) thì löïc nuùt suy roäng trôû thaønh: pi(t) = ζ(t) dxxxL i∫ 0 )()( ψχ (3.39) Chuù yù raèng, vôùi caùc haøm noäi suy ψi(x) (i = 1,4) ta coù 2 löïc nuùt vaø 2 moâ men nuùt taïi 2 ñaàu daàm. 3.2.5 Ñoä cöùng hình hoïc Ñoä cöùng hình hoïc theå hieän khuynh höôùng laøm taêng chuyeån vò uoán cuûa löïc neùn N. Heä soá cöùng hình hoïc chính laø löïc nuùt do N taïo ra. Giaû iv j v i j x v N O N N i i Li iv j v i Gif = v -i v j L i iN i N Gjf = L i v - j v i thieát raèng löïc neùn N do taûi troïng tónh gaây ra laø chuû yeáu; phaàn do löïc ñoäng gaây ra coù theå boû qua ñöôïc. Vì vaäy, coi N khoâng ñoåi trong quaù trình dao ñoäng. (Neáu N(t) thay ñoåi theo thôøi gian thì [KG] cuõng thay ñoåi theo thôøi gian. Baøi toaùn trôû neân phi tuyeán). Xaáp xæ tuyeán tính: 1 BTD/nuùt Giaû söû löïc doïc trong phaàn töû i laø Ni. Coi phaân töû i thaúng thì löïc nuùt fGi vaø fGj ñöôïc xaùc ñònh theo löïc neùn Ni treân hình veõ. Vieát laïi daïng ma traän: ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ j i i i Gj Gi v v l N f f 11 11 (3.40) Ma traän cöùng hình hoïc cuûa keát caáu daàm: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− −+− −+− −+ = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − − − − − n i n n n n n N i i i i i i i i Gn Gi G G v v v v L N L N L N l N l N l N l N l N l N l N l N l N l N l N f f f f 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 1 00 0 0 00 (3.41) coù daïng 3 veät cheùo. Vieát daïng kí hieäu: ]][[][ vKf GG = (3.42) + Ñoä cöùng hình hoïc töông thích: Duøng khaùi nieäm phaàn töû höõu haïn, ta thu ñöôïc coâng thöùc: ( ) ( ) ( )dxxxxNk jiLoGij '' ψψ∫= (3.43) Neáu phaàn töû coù löïc doïc N(x) = N = const, duøng caùc haøm noäi suy tröôùc ñaây, ta thu ñöôïc ma traän cöùng hình hoïc phaàn töû: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −− −−− − = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 4 3 2 1 22 22 4 3 2 1 433 433 333636 333636 30 v v v v LLLL LLLL LL LL L N f f f f G G G G (3.44) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −− −−− − = 22 22 433 433 333636 333636 30 ][ LLLL LLLL LL LL L NK eG [ eGK ] laø ma traän ñoä cöùng cuûa phaàn töû (ñoái xöùng). Bieåu ñoà N(x) PG2 b PG4 PG1 PG3 a Ma traän [KG] cuûa keát caáu suy ra töø [ eGK ] töông töï nhö [K], [M]. 3.2.6 Löïa choïn caùch thieát laäp ma traän tính chaát Coù 2 caùch tính gaàn ñuùng caùc ma traän khoái löôïng, ñoä cöùng hình hoïc, taûi troïng: - Phöông phaùp sô caáp chæ xeùt chuyeån vò thaúng. - Phöông phaùp töông thích xeùt caû chuyeån vò thaúng vaø chuyeån vò xoay. Veà nguyeân taéc, phöông phaùp töông thích cho ñoä chính xaùc cao hôn, vì xeùt ñaày ñuû vaø heä thoáng hôn caùc phaàn naêng löôïng lieân quan ñeán söï laøm vieäc ñoäng cuûa keát caáu. Tuy nhieân, trong thöïc teá thì ñoä chính xaùc cuûa phöông phaùp töông thích khoâng troäi bao nhieâu so vôùi phöông phaùp sô caáp, nhöng khoái löôïng tính toaùn thì lôùn hôn nhieàu. Ñieàu ñoù chöùng toû chuyeån vò xoay cuûa nuùt ñoùng vai troø keùm quan troïng so vôùi chuyeån vò thaúng. Phöông phaùp sô caáp deã daøng hôn, vì caùc ma traän xuaát phaùt deã tính hôn vaø soá baäc töï do phaûi xeùt cuõng ít hôn. Neáu phöông phaùp thu goïn khoái löôïng ñöôïc duøng vôùi ma traän cöùng thieát laäp baèng FEM (töùc laø keå ñeán baäc töï do chuyeån vò xoay) thì coù theå loaïi tröø caùc chuyeån vò xoay naøy trong phöông trình chuyeån ñoäng. Khi ñoù ma traän cöùng cuõng ñöôïc ruùt goïn laïi, goïi laø Static Condensation (kích thöôùc ma traän cöùng thu nhoû laïi). Ñeå minh hoïa, ta vieát laïi phöông trình (3.2) trong ñoù ñaõ saép xeáp laïi caùc chuyeån vò thaønh 2 nhoùm: vt laø thaønh phaàn chuyeån vò thaúng vaø vo laø thaønh phaàn chuyeån vò xoay. Phöông trình chuyeån ñoäng ñöôïc vieát laïi daïng ma traän chia khoái (ma traän con): { } { } { } { } { } { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0][][ ][][ St S Stt t ttt f f f v v KK KK θθθθθ θ (3.45) Trong ñoù { } { }0=θSf , töùc laø caùc moment nuùt ñaøn hoài baèng 0, neáu taùc ñoäng treân heä chæ laø löïc chöù khoâng coù moment taäp trung ñaët ngay taïi nuùt. Trong (3.45) coù theå bieåu dieãn caùc chuyeån vò xoay { }θv theo chuyeån vò thaúng { }tv : { } { }tt vKKv ][][ 1 θθθθ −−= (3.46) Phöông trình thöù nhaát cuûa ma traän con töø (3.45): { } { } { }Sttttt fvKvK =+ θθ ][][ [ ]{ } { }Stttttt fvKKKK =− − ][]][[][ 1 θθθθ hay { } { }Sttt fvK =][ (3.47) trong ñoù [ ]][]][[][][ 1 ttttt KKKKK θθθθ −−= (3.48) laø ma traän ñoä cöùng töông öùng vôùi chuyeån vò thaúng (ma traän cöùng ruùt goïn). Nhö vaäy, caùc chuyeån vò xoay trong FEM coù theå loaïi tröø vaø soá baäc töï do thöïc söï phaûi giaûi quyeát giaûm xuoáng. Ñoù laø öu ñieåm lôùn cuûa phöông phaùp khoái löôïng thu goïn. Thí duï: Trong thí duï treân, ta coù: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 3 2 1 s s s f f f = 3 2 L EI ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 22 22 623 263 3312 LLL LLL LL ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 3 2 1 v v v ][ θθK = 3 2 L EI ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 22 22 62 26 LL LL = L EI4 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 31 13 2L L EI EI 4EI v1 v2 v3 1][ −θθK = EI L 32 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 31 13 Bieåu dieãn chuyeån vò xoay theo chuyeån vò thaúng (3.46): θv = ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ 3 2 v v = - EI L 32 − ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 31 13 3 2 L EI ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ L L 3 3 1v =- L8 3 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 1 1 1v Ma traän cöùng ruùt goïn theo (3.48): tK = 3 2 L EI [ ] ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − L LLL 8 3 8 3 3312 = 3 2 L EI 4 39 3.3 DAO ÑOÄNG TÖÏ DO KHOÂNG CAÛN 3.3.1 Phaân tích taàn soá dao ñoäng Töø phöông trình (3.8), phaân tích dao ñoäng töï do neân vectô taûi troïng ngoaøi p(t) = 0, ta coù: { } { } { } { }0)(][)(][)(][ =++ tvKtvCtvM  Boû qua thaønh phaàn löïc caûn [C]= [0] { } { } { }0)(][)(][ =+ tvKtvM  (3.49) Do tính chaát tuaàn hoaøn neân choïn nghieäm coù daïng: { } { } )sin(ˆ)( θω += tvtv (3.50) trong ñoù: { })(tv -theå hieän daïng dao ñoäng; { }vˆ - laø bieân ñoä dao ñoäng. { } { } )sin(ˆ)( 2 θωω +−= tvtv Thay vaøo (3.49) treân ta coù: { } { } { }0)sin(ˆ][)sin(ˆ][2 =+++− θωθωω tvKtvM hay: { } { }0ˆ]][][[ 2 =− vMK ω (3.51) Vì { } 0ˆ ≠v , neân ñònh thöùc cuûa ma traän vuoâng N x N phaûi trieät tieâu: 0]][][[det 2 =− MK ω (3.52) Ñaây laø phöông trình ñaïi soá baäc N, do ñoù coù N nghieäm ω21 , ω22 , ..., ω 2N . Lyù thuyeát ma traän chöùng minh: ma traän vuoâng thöïc, ñoái xöùng vaø xaùc ñònh döông coù caùc trò rieâng thöïc vaø döông. Vectô taàn soá rieâng nhö sau: { } ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = Nω ω ω ω # 2 1 (3.53) Töø ωi ta seõ tìm ñöôïc chu kì hay taàn soá dao ñoäng töï nhieân cuûa coâng trình: T = 2π/ω vaø f = T 1 Thí duï (E12-1) Tính taàn soá rieâng cuûa khung saøn cöùng: khoái löôïng vaø ñoä cöùng nhö hình veõ (a). Caùc heä soá cöùng tính treân hình veõ (b). Caùc ma traän cuûa khung: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0,20 5,1 00,1 ][M (kip.s2/in) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − = 520 231 011 600][K (kip.s/in) Phöông trình ñaëc tröng (3.52): 1,0 kip.s2/in 1,5 2,0 v1 k in 600 1200 1800 v1 =1 K = 60011 K = - 60021 K =031 K = -60012 K = 180022 K = -120032 K = 0 13 K = -1200 23 K = 300033 v =1 2 V =1 3 (a) (b) v2 v3 0 2520 25,131 011 600 0,20 5,1 00,1 520 231 011 600][][ 22 = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− −− = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − =− B B B MK ωω vôùi 600 2ω=B B3 – 5,5B2 + 7,5B – 2 = 0 Nghieäm laø: B1 = 0,351 B2 = 1,61 B3 = 3,54 Do ñoù: [ω] = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 1,46 1,31 5,14 3 2 1 ω ω ω (rad/s). 3.3.2 Phaân tích hình daïng mode cuûa dao ñoäng Töø phöông trình (3.51), öùng vôùi moãi taàn soá ωn ta coù moät vectô rieâng { }nvˆ . Nhöng vì ñònh thöùc (3.52) trieät tieâu, neân haïng cuûa ma traän chæ coøn N-1, do ñoù chæ coù N-1 thaønh phaàn cuûa { }vˆ ñoäc laäp. Thöôøng choïn thaønh phaàn ñaàu tieân { } 11ˆ =nv , khi ñoù vectô chuyeån vò trôû thaønh: { } ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = Nn n Nn n n n v v v v v v ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 22 1 ## Ñaët: ][][][ 2)( MKE nn ω−= (3.53) Phöông trình (3.51) ñöôïc vieát laïi: ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 ˆ ˆ 1 2 )()( 2 )( 1 )( 2 )( 22 )( 21 )( 1 )( 22 )( 11 ## " #"## " " Nn n n NN n N n N n N nn n N nn v v eee eee eee (3.54) Vieát laïi (3.54) daïng kí hieäu duøng ma traän con: ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ][][ ][ )( 00 )( 01 )( 10 )( 11 nn nn EE Ee { }⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ nv0ˆ 1 = { }⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ 0 0 Töông ñöông vôùi 2 phöông trình: { } 0]ˆ][[ 0]ˆ][[][ 0 )( 10 )( 11 0 )( 00 )( 01 =+ =+ n nn n nn vEe vEE (a) Giaûi heä phöông trình (a) treân ta ñöôïc: { } ][][ˆ )(011)(00 nnon EEv −−= (3.55) Daïng dao ñoäng (mode shape) thöù n ñöôïc ñònh nghóa bôûi vectô (khoâng thöù nguyeân) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = Nn n kn Nn n n n v v v ˆ ˆ 1 ˆ 1][ 22 1 ## φ φ φ φ (3.56) vôùi knvˆ laø thaønh phaàn (chuyeån vò) moác ñeå so saùnh. Ma traän daïng dao ñoäng (Mode shape matric) laø taäp hôïp cuûa N vectô daïng dao ñoäng: [φ]= [[φ1] [φ2]... [φN]] = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ NNNN N N φφφ φφφ φφφ " #"## " " 21 22221 11211 (3.57) Nhö vaäy khi xaùc ñònh ñöôïc [φi] ta seõ bieát ñöôïc hình daïng dao ñoäng cuûa mode thöù i. Thí duï (E12-2) Xeùt laïi thí duï tröôùc, tìm caùc daïng chính cuûa dao ñoäng. Laáy chuyeån vò treân cuøng baèng 1. Hai chuyeån vò taàng döôùi cuûa mode n tìm theo (3.55): ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ n n 3 2 θ θ = - ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− −− n n B B 252 25,13 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧− 0 1 vôùi Bn =600 2 nω Keát quaû nhö hình veõ. 3.3.3 Phaân tích taàn soá theo ma traän meàm Nhieàu baøi toaùn duøng ma traän meàm [f] tieän hôn ma traän cöùng [K]. Khi ñoù caàn xaùc ñònh taàn soá rieâng theo [f]. Phöông trình (3.51) ñöôïc vieát laïi vaø bieán ñoåi nhö sau: { } { }0ˆ]][][[ 2 =− vMK ω (3.51) Nhaân 2 veá [f]: { } { }0ˆ]]][[]][[1[ 2 =− vMfKfω vì 1][][ −= Kf neân ][]][[ IKf = , ta coù: { } { }0ˆ]]][[][1[ 2 =− vMfIω (3.58) 1.000 1.000 1.000 -2.570 2.470 -0.601 -0.676 0.644 0.300 Mode 1 Mode 2 Mode 3 ω =14.5 1 ω =31.12 ω =46.13 do { } 0ˆ ≠v , neân phöông trình taàn soá: 0]]][[][1[det 2 =− MfIω (3.59) 3.3.4 AÛnh höôûng cuûa löïc hoïc 3.3.4.1 Dao ñoäng töï do Phöông trình dao ñoäng (3.49) keå ñeán ñoä cöùng hình hoïc coù daïng: { } { } { } { }0)(][)(][)(][ =−+ tvKtvKtvM G (3.60) hay { } { } { }0)(][)(][ =+ tvKtvM  Phöông trình taàn soá: 0]][][[det 2 =− MK ω (3.61) Löïc doïc laøm cho keát caáu bò “meàm” hôn, neân caùc taàn soá rieâng cuõng thaáp hôn. Keát caáu thöôøng laøm vieäc baát lôïi hôn döôùi taùc duïng cuûa taûi troïng ñoäng trong thöïc teá. Töông öùng, caùc daïng dao ñoäng chính (mode shapes) cuõng bò thay ñoåi do löïc doïc. 3.3.4.2 Taûi troïng tôùi haïn (gaây maát oån ñònh) Khi löïc doïc ñaït giaù trò tôùi haïn N0 thì keát caáu khoâng dao ñoäng (ω = 0). Löïc quaùn tính cuõng trieät tieâu. Phöông trình (3.60) trôû thaønh: { } { } { }0)(][)(][ 0 =− tvKtvK G (3.60’) ][ 0GK - Ma traän cöùng hình hoïc, öùng vôùi löïc doïc N0(x), vôùi caùc heä soá xaùc ñònh bôûi: ijGk 0 = ∫L jio dxxxxN0 '' )()()( ψψ (3.62) Goïi tham soá taûi troïng (load factor) Gλ = )( )(0 xN xN (3.63) vôùi N(x) laø löïc doïc do taûi troïng ñang xeùt gaây ra thì ta coù: ijGk 0 = ijGG kλ do ñoù: ][][ 0 GGG KK λ= (3.64) Theá (3.64) vaøo (3.60’): { } { }0)(]][][[ 0 =− tvKK GGλ (3.65) vì { } { }0)( ≠tv neân phöông trình xaùc ñònh tham soá taûi troïng Gλ 0][][det 0 =− GG KK λ (3.66) Taûi troïng tôùi haïn thaáp nhaát öùng vôùi 1Gλ = min laø coù yù nghóa thöïc teá. Daïng maát oån ñònh töông öùng vôùi vector chuyeån vò 1v , ñöôïc tìm baèng caùch theá 1Gλ vaøo (3.65). Maát oån ñònh vôùi taûi troïng ñieàu hoaø Xeùt taûi troïng taùc duïng coù daïng: tptp o ωsin)( = trong ñoù: ω laø taàn soá cuûa taûi troïng taùc duïng. Phöông trình caân baèng dao ñoäng khoâng caûn: tpvkkvvm oG ωsin=−+ Phöông trình naøy coù nghieäm: tvtv ωsinˆ)( = tvtv ωω sinˆ)( 2−= Thay caùc nghieäm naøy vaøo treân ta coù: oG pvkvkvm =−+− ˆˆˆ2ω Ñoä cöùng ñoäng cuûa heä ñöôïc ñònh nghóa bôûi: mkk 2ω−≡ Thay vaøo bieåu thöùc treân vaø bieåu dieãn ñoä cöùng hình hoïc laø moät haøm cuûa heä soá taûi troïng Gλ , ta coù: oGoG pvkk =− ˆλ Neáu bieân ñoä taùc duïng cuûa taûi troïng tieán daàn ñeán 0 thì phaûn öùng (chuyeån vò) vaãn coù theå khaùc 0 neáu ñònh thöùc cuûa ma traän vuoâng baèng 0. Vì vaäy ñieàu kieän maát oån ñònh ñoái vôùi keát caáu chòu taûi troïng ñieàu hoaø laø: 0=− GOG kk λ Khi taûi troïng thoâi taùc duïng, phöông trình taùc duïng coù theå vieát: 0ˆ2 =−− vkmk GOGλω Ta thaáy söï toå hôïp cuûa taûi troïng maát oån ñònh Gλ vaø taàn soá dao ñoäng 2ω seõ thoûa maõn phöông trình trò rieâng. Nhö vaäy khi chòu taûi troïng ñieàu hoaø öùng vôùi moät taàn soá naøo ñoù thì heä coù theå maát oån ñònh ngay caû khi bieân ñoä löïc baèng 0. 3.3.5 Ñieàu kieän tröïc giao (Orthogonality) 3.3.5.1 Caùc ñieàu kieän cô baûn Phöông trình dao ñoäng (3.51) vieát laïi cho taàn soá nω vaø mω (giaû thieát nω ≠ mω ) { } { }nnn vMvK ˆ ][ ˆ ][ 2ω= (3.67) { } { }mmm vMvK ˆ ][ ˆ ][ 2ω= (3.68) Nhaân tröôùc { }Tmvˆ cho (3.67): { } { } { } { }nTmnnTm vMvvKv ˆ ][ ˆ ˆ ][ ˆ 2ω= (3.69) Chuyeån trí (3.69) caû hai veá, chuù yù ][][ ],[][ MMKK TT == vì chuùng ñoái xöùng: { } { } { } { }mTnnmTn vMvvKv ˆ][ˆ ˆ][ˆ 2ω= (3.70) Nhaân tröôùc { }Tnvˆ cho (3.68): { } { } { } { }mTnmmTn vMvvKv ˆ][ˆ ˆ][ˆ 2ω= (3.71) Töø (3.70), (3.71) suy ra: { } { } 0ˆ ][ˆ )( 22 =− mTnnm vMvωω Vì nω ≠ mω neân ta coù ñieàu kieän tröïc giao ñaàu tieân: { } { } 0ˆ][ˆ =mTn vMv (3.72) Theá (3.72) vaøo (3.71) suy ra ñieàu kieän thöù 2: { } { } 0ˆ][ˆ =mTn vKv (3.73) Bieåu dieãn ñieàu kieän tröïc giao theo mode, ta coù: { } { } { } { } 0][ 0][ = = m T n m T n K M φφ φφ nm nm ≠ ≠ (3.74) Chuù yù: Ñieàu kieän tröïc giao chæ duøng cho 2 mode coù taàn soá khaùc nhau: nω ≠ mω 3.3.5.2 Chuaån hoùa theo ma traän khoái löôïng Vector bieân ñoä { }nvˆ ñöôïc chuaån hoùa theo ma traän khoái löôïng thaønh { }nφˆ thoûa maõn ñieàu kieän: { } { } 1ˆ][ˆ =nTn M φφ (3.75) Goïi { } { } nnTn MvMv =ˆ][ˆ = scalar. Thì vector chuaån hoùa seõ laø: { } { } nnn Mvˆˆ =φ (3.76) Khi ñoù ma traän vuoâng { }φˆ goàm N vector { }nφˆ seõ thoûa maõn: { } { } IMT =φφ ˆ][ˆ (3.71) Caùc vector { }nφˆ ñöôïc goïi laø caùc vector tröïc chuaån (Orthonormal). 3.4 PHAÂN TÍCH PHAÛN ÖÙNG ÑOÄNG Phöông phaùp duøng ñeå phaân tích phaûn öùng ñoäng ñöôïc duøng laø phöông phaùp choàng chaát mode. Noäi dung chính cuûa phöông phaùp naøy laø bieán heä dao ñoäng coù heä n phöông trình vi phaân thaønh daïng heä ñoäng coù n phöông trình vi phaân taùch rôøi. Ñeå duøng phöông phaùp treân ta phaûi tìm hieåu toïa ñoä chuaån, sau ñoù thieát laäp phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi cuûa heä khoâng caûn vaø coù caûn. 3.4.1 Toïa ñoä chuaån (Normal Coordinates) v1 v2 v3 11v 12v 13 v 21v 31v 22v 32v 23 v 33 v v =φ Y v = φ Y v = φ Y v = φ Y 1 1 1 2 3 2 2 3 3 = + + + .... Vectô chuyeån vò [v] cuûa heä N baäc töï do coù theå taïo ra baèng caùch toå hôïp tuyeán tính cuûa N vectô cô sôû ñaõ bieát naøo ñoù. Tuy nhieân, neáu choïn caùc vectô cô sôû laø caùc daïng chính (Mode Shapes) cuûa dao ñoäng töï do thì seõ coù nhieàu öu ñieåm do tính tröïc giao cuûa chuùng. Caùc daïng chính ñoùng vai troø töông töï nhö caùc haøm löôïng giaùc cuûa chuoãi Fourier, vaø chuyeån vò cuûa heä coù theå xaáp xæ khaù toát vôùi moät soá soá haïng cuûa chuoãi. Xeùt daàm console nhö hình veõ ñeå minh hoïa. Vectô chuyeån vò öùng vôùi haøm daïng [φn] laø ]ˆ[ nv xaùc ñònh bôûi coâng thöùc: ]ˆ[ nv = [φn] Yn (t) (3.78) trong ñoù: Yn(t) laø bieân ñoä (toïa ñoä suy roäng) öùng vôùi haøm daïng [φn] Chuyeån vò toaøn phaàn [v] ñöôïc phaân tích thaønh toång caùc daïng chính nhö sau: [v]=[φ1]Y1 + [φ2]Y2+ ... +[φn]Yn = ∑ = N n nn Y 1 ]][[φ (3.79) Daïng ma traän: [v] = [φ ] [Y(t)] [φ ]: ma traän vuoâng cuûa caùc daïng chính. [Y] : veùc tô caùc toïa ñoä suy roäng, cuõng ñöôïc goïi laø caùc toïa ñoä chuaån. Caùc thaønh phaàn Yn cuûa vectô [Y] coù theå tìm deã daøng nhôø tính tröïc giao cuûa caùc haøm daïng nhö sau: Nhaân 2 veá cuûa (3.79) vôùi [φn]T [M]: [φn]T [M][v] = [φn]T [M] [φ][Y] (3.80) aùp duïng tính tröïc giao [φi]T [M][φj] = 0 vôùi i ≠ j, veá phaûi (3.80) ñöôïc trieån khai: [φn]T[M][φ][Y]=[φn]T[M][φ1][Y1]+[φn]T[M][φ2][Y2] + ...+ [φn]T [M][φn][Yn] = ]][][[][ nnTn YM φφ (3.81) Theá (3.81) vaøo (3.80): [φn]T [M][v] = [φn]T [M][φn][Yn] hay Yn = ]][[][ ]][[][ n T n T n M vM φφ φ (3.82) Nhö vaäy, moãi toïa ñoä chuaån Yn, n =1..N, ñeàu ñöôïc xaùc ñònh theo (3.82) 3.4.2 Phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi (uncoupled) cuûa heä khoâng caûn Phöông trình chuyeån ñoäng khoâng caûn cuûa heä nhieàu baäc töï do: )]([]][[]][[ tpvKvM =+ (3.83) Theá ]][[][ Yv  φ= töø (3.79) vaøo (3.83): )]([]][][[]][][[ tpYKYM =+ φφ  (3.84) Nhaân tröôùc 2 veá cho [φn]T: )]([][]][][[][]][][[][ tpYKYM Tn T n T n φφφφφ =+ (3.85) Do tính tröïc giao neân ta coù: )]([][]][[][]][[][ tpYKYM Tnnn T nnn T n φφφφφ =+ (3.86) Ñaët caùc kí hieäu môùi: )]([][)( ]][[][ ]][[][ tptP KK MM T nn n T nn n T nn φ φφ φφ = = = (3.87) laàn löôït goïi laø: khoái löôïng, ñoä cöùng vaø taûi troïng suy roäng cho daïng dao ñoäng chính thöù n. Phöông trình (3.86) ñöôïc vieát laïi: )()()( tPtYKtYM nnnnn =+ (3.88) Ñaây laø phöông trình dao ñoäng cho heä moät baäc töï do cho daïng chính n. Töø phöông trình ñieàu kieän tröïc giao (3.67): ]ˆ][[]ˆ][[ 2 nnn vMvK ω= Theá nnn Yv ][][ φ= vaøo vaø ñôn giaûn ñi Yn cho 2 veá: ]][[]][[ 2 nnn MK φωφ = (3.89) Nhaân tröôùc [φn]T cho 2 veá cuûa (3.89): ]][[][][][][ 2 n T nnn T n MK φφωφφ = hay: Kn = ωn2 Mn (3.90) Nhö vaäy, vieäc duøng toïa ñoä chuaån ñaõ bieán heä N phöông trình vi phaân dao ñoäng cuûa heä coù N baäc töï do veà daïng goàm N phöông trình vi phaân taùch rôøi nhau. ÖÙng vôùi moãi daïng dao ñoäng chính thì phaûn öùng ñoäng cuûa heä ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch choàng chaát caùc phaûn öùng cuûa caùc daïng chính (mode). Phöông phaùp ñöôïc goïi laø phöông phaùp choàng chaát mode (Mode Superposition Method). 3.4.3 Phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi cuûa heä coù caûn + Thieát laäp phöông trình Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa heä coù caûn: )]([]][[]][[]][[ tpvKvCvM =++  (3.91) Bieán ñoåi töông töï nhö tröôøng hôïp khoâng caûn: )]([][ ]][][[][]][][[][]][][[][ tp YKYCYM T n T n T n T n φ φφφφφφ = ++  (3.92) Giaû thuyeát ma traän caûn [C] cuõng coù tính chaát laøm tröïc giao caùc daïng chính töông töï nhö ma traän [M] vaø [K], töùc laø: [φn]T[C] [φm] = 0, vôùi m ≠ n (3.93) Phöông trình (3.92) trôû thaønh: )(tPYKYCYM nnnnnnn =++  (3.94a) hay )(12 2 tP M YYY n n nnnnnn =++ ωωξ  (3.94b) vôùi: )]([][)( 2]][[][ ]][[][ ]][[][ tptP MCC KK MM T nn nnnn T nn n T nn n T nn φ ωξφφ φφ φφ = == = = (3.95) ( ξn laø tæ soá caûn cuûa mode thöù n). + Ñieàu kieän tröïc giao cuûa ma traän caûn Ñeå thu ñöôïc phöông trình chuyeån ñoäng daïng taùch rôøi (3.94a,b) cho caùc dao ñoäng chính, ma traän caûn [C] phaûi thoûa maõn ñieàu kieän tröïc giao. Rayleigh chöùng minh raèng, neáu ma traän caûn [C] coù daïng: [C] = a0[M] + a1[K] (3.96) vôùi a0, a1 laø caùc haèng soá, seõ thoûa ñieàu kieän tröïc giao (3.93) Vieäc xaùc ñònh caùc heä soá cuûa ma traän caûn [C] raát khoù khaên. Trong thöïc teá, thöôøng ngöôøi ta choïn giaù trò cuûa tæ soá caûn ξn (ñöôïc suy ra töø ñieàu kieän coäng höôûng) tuøy vaøo loaïi vaät lieäu vaø daïng keát caáu (Thí duï: keát caáu theùp thöôøng laáy ξ = 2%, BTCT ξ = 3%). Sau ñoù tính Cn theo caùc coâng thöùc treân (3.95). 3.4.4 Toùm taét phöông phaùp choàng chaát daïng Pheùp bieán ñoåi sang toïa ñoä chuaån ñaõ bieán heä N phöông trình vi phaân lieân quan vôùi nhau thaønh N phöông trình taùch bieät. Ñoù chính laø öu ñieåm cô baûn cuûa phöông phaùp choàng chaát mode. Ngoaøi ra, do tính hoäi tuï cao neân thöôøng duøng chæ caàn choàng chaát moät soá mode coù taàn soá thaáp. Trình töï phöông phaùp nhö sau: Böôùc 1: Phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng cuûa heä vôùi caùc toïa ñoä hình hoïc: )]([]][[]][[]][[ tpvKvCvM =++  Böôùc 2: Phaân tích daïng chính vaø taàn soá, boû qua aûnh höôûng cuûa löïc caûn ñoái vôùi daïng chính vaø taàn soá, ta coù phöông trình trò rieâng ([K] - ω2[M])[v] = [0] Töø ñoù xaùc ñònh ñöôïc ma traän daïng chính [φ] vaø vectô taàn soá [ω ]. Böôùc 3: Khoái löôïng vaø taûi troïng suy roäng )]([][)( ]][[][ tptP MM T nn n T nn φ φφ = = Böôùc 4: Phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi (uncoupled) )(12 2 tP M YYY n n nnnnnn =++ ωωξ  Böôùc 5: Phaûn öùng cuûa daïng chính vôùi taûi troïng Phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi laø phöông trình chuyeån ñoäng cuûa heä moät baäc töï do coù caûn. Coù theå tìm nghieäm baèng tích phaân Duhamel: ∫ −= −− t Dn t n Dnn n dtePM tY nn 0 )( )(sin)(1)( ττωτω τωξ ωDn = ωn 21 nξ− - taàn soá dao ñoäng coù caûn. Phöông trình treân aùp duïng cho tröôøng hôïp ñieàu kieän ban ñaàu t = 0 thì Yn(0)= nY (0) = 0. Coù theå giaûi phöông trình treân baèng phöông phaùp soá. Böôùc 6: Dao ñoäng töï do cuûa daïng chính Neáu ñieàu kieän ban ñaàu Yn(0) ≠ 0, nY (0) ≠ 0 thì phaûn öùng cuûa daïng chính phaûi coäng theâm phaàn dao ñoäng töï do coù caûn sau: t n nnetY ωξ−=)( ⎢⎣ ⎡ + Dn nnnn YY ω ωξ)0()0( sinωDnt+ Yn(0)cosωDnt ] Caùc trò soá Yn(0) vaø nY (0) xaùc ñònh theo vectô chuyeån vò vaø vaän toác ban ñaàu [v(0)] vaø [v(0)]: n T n n n T n n M vMY M vMY )]0(][[][ )0( )]0(][[][ )0( • = = φ φ  (3.97) Böôùc 7: Chuyeån vò trong toïa ñoä hình hoïc Duøng nguyeân lí choàng chaát: [v(t)] = [φ][Y(t)] = [φ1][Y1(t)] + [φ2][Y2(t)] + ... + [φn][Yn(t)] Thöôøng duøng moät soá mode coù taàn soá thaáp nhaát, vôùi hai lí do: - Chuoãi treân thöôøng hoäi tuï nhanh, neân chæ caàn ít soá haïng laø ñuû chính xaùc (daøn khoan: 1, daøn caàu: 3 ÷ 5, caàu daây vaêng: < 20). - Mode taàn soá cao keùm tin caäy, do söï gaàn ñuùng sô ñoà tính cuûa keát caáu. Thí duï: Daàm ñôn giaûn ñöôïc thay baèng khoái löôïng taäp trung. Mode caøng cao thì caøng sai leäch nhieàu vaø keùm tin caäy hôn. Heä thaät Sô ñoà gaàn ñuùng Mode 1 Mode 2 Mode 3 Böôùc 8: Löïc ñaøn hoài Löïc ñaøn hoài ñeå duy trì söï bieán daïng cuûa keát caáu, ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc: [fS(t)] = [K][v(t)] = [K][φ][Y(t)] = [K][φ1][Y1(t)] + [K][φ2][Y2(t)] +...+ [K][φn][Yn(t)] = 21ω [M][φ1][Y1(t)] + 22ω [M][φ2][Y2(t)] +...+ 2nω [M][φn][Yn(t)] Daïng ma traän: [fs(t)] = [M][φ] [ 2nω Yn(t)] (3.98) trong ñoù: [ 2nω Yn(t)] = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ )( )( )( 2 2 2 2 1 2 1 tY tY tY nnω ω ω # (3.99) Böôùc 9: Noäi löïc vaø öùng suaát Trong moãi dao ñoäng chính (mode), noäi löïc vaø öùng suaát trong moät phaàn töû tæ leä vôùi toïa ñoä chuaån Yn(t). Chaúng haïn, öùng suaát cuûa phaàn töû khi dao ñoäng vôùi mode n coù daïng: σn = αnYn(t) , vôùi αn laø heä soá tæ leä (3.100) Duøng nguyeân lí choàng chaát cho caùc mode: σ = α1Y1(t) + α2Y2(t) +... + αnYn(t) (3.101) Caùc toïa ñoä chuaån Yn(t) ñoùng vai troø nhö chuyeån vò cöôõng böùc, töông öùng vôùi caùc sô ñoà bieán daïng [φn]. Coâng thöùc cho noäi löïc cuõng coù daïng töông töï nhö coâng thöùc (3.101) nhöng αn laø heä soá tæ leä töông öùng cho noäi löïc ñang xeùt. Thí duï minh hoïa Xeùt keát caáu ñaõ thí duï ôû muïc 3.3. (E12-1 Trang 178, [1]). Caàn xaùc ñònh phaûn öùng cuûa keát caáu do taûi troïng xung hình sin nhö sau: ,cos)500( 3 2 1 )( )( )( 12 3 2 1 tKips tp tp tp t