CHƯƠNG 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Các định nghĩa y
Giả sử trong mặt phẳng tọa độ Oxy
có mặt cắt ngang với diện tích F, A (x,y)
là một điểm bất kỳ trên mặt cắt F, xung y A
quanh A ta lấy 1 phân tố diện tích là dF dF
(Hình 4.1) F
x
O
x
1.1 Mô men tĩnh của mặt cắt đối với
một trục
Hình 4.1
Mômen tĩnh của diện tích F đối với trục x hay đối với trục y là các
biểu thức tích phân sau đây:
Sx ydF Sy xdF
F F
Nếu mô men tĩnh củ
111 trang |
Chia sẻ: Tài Huệ | Ngày: 17/02/2024 | Lượt xem: 280 | Lượt tải: 0
Tóm tắt tài liệu Bài tập Sức bền vật liệu (Tập 1) (Phần 2), để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ủa mặt cắt F đối với 1 trục nào đó bằng không
thì trục đó gọi là trục trung tâm của mặt cắt.
Giao điểm của 2 trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt C(xC,
yC)
Tọa độ trọng tâm:
S S
y x x y
C F C F
Nếu diện tích F bao gồm tổng đại số của nhiều diện tích đơn giản
F = Fi thì tọa độ trọng tâm của nó được xác định theo công thức.
n n
Fxii Fyii
y i1 x i1
C F C F
1.2 Mô men quán tính của mặt cắt ngang
Ta gọi mômen quán tính của diện tích F đối với trục x hay y là các
biểu thức tích phân sau đây:
104
2 2
Jx y dF Jy x dF
F F
Mô men quán tính độc cực của diện tích F đối với gốc tọa độ O
được xác định bởi tích phân sau đây:
2
Jp dF J x J y
F
Ở đây: - Là khoảng cách từ gốc O tới điểm A(x,y).
Mô men quán tính ly tâm của diện tích F đối với hệ trục tọa độ
vuông góc Oxy là biểu thức tích phân:
Jxy xydF
F
Một hệ trục có Jxy = 0 thì được gọi là hệ trục quán tính chính. Như
vậy khi đó Jx và Jy gọi là mô men quán tính chính
Hệ trục quán tính chính Oxy có gốc tọa độ O trùng với trọng tâm
của mặt cắt (Jxy = 0, Sx = Sy = 0) thì được gọi là hệ trục quán tính chính
trung tâm. Tương ứng ta có mô men quán tính chính trung tâm.
Nếu mặt cắt mà có 1 trục là trục đối xứng thì trục đối xứng là 1
trục của hệ trục quán tính chính trung tâm. Trục quán tính chính trung
tâm còn lại sẽ vuông góc với trục đối xứng và đi qua trọng tâm C của
mặt cắt.
2. Công thức tính mô men quán tính của một số mặt cắt ngang
a) Hình chữ nhật b) Hình bình hành
y
O x
x
bh3
bh3 hb3 J
J ; J x 3
x 12 y 12
105
c) Hình tam giác d) Hình tròn
y y
O x
C xC
O x
4 4
3 D D
bh JJ ; J
; J xy p
xC 36 64 32
e) Hình tròn rỗng f) Hình bán nguyệt
y y
C xC
x
O x
O
D4 64
;
JxC 1
128 9
4
4 D
D 4 JJxy
;
JJxy 1 128
64
4
D 4
J p 1
32
3. Công thức chuyển trục song song của mô men quán tính
A(x,y) trong hệ trục Oxy. A(X,Y), O(a,b) trong hệ trục O1XY song
bh3 song với hệ trục Oxy (Hình 4.2) khi đó ta có:
J
x 12
106
2
JX J x 2 bS x b F
J J 2 aS a2 F y
Y y y Y
JXY J xy aS x bS y abF
Nếu Oxy là hệ trục quán tính y A
Y
trung tâm (Sx = Sy = 0) dF
2
JXx J b F F
b O x
2
x
JYy J a F
O X
1
JXY J xy abF
a X
Nếu Oxy là hệ trục quán tính
chính trung tâm (Jxy = 0, Sx = Sy = 0) Hình 4.2
JXY abF
4. Công thức xoay trục của mô men v y
quán tính
Ouv là vị trí sau khi hệ trục Oxy y A
đã xoay đi 1 góc (Hình 4.3) dF F
JJJJ u
JJx y x y cos2 sin2
u22 xy
O x
x
Hình 4.3
JJJJ
JJx y x y cos2 sin2
u22 xy
JJ
JJxysin2 cos2
uv2 xy
Giá trị của các mô men quán tính chính và phương của các trục
chính:
2
JJxy 1 2
JJJJmax x y 4 xy
22
107
2
JJxy 1 2
JJJJmin x y 4 xy
22
J
xy
t g1/2
JJx max
min
II. CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU
Bài 4.1. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt
như hình vẽ:
Chọn hệ trục tọa độ gốc ban đầu Oxy.
Chia mặt cắt hình thang làm 2 hình là
hình I (Hình chữ nhật) và II (Hình tam
giác).
Gọi tọa độ trọng tâm của mặt cắt là
C(xC, yC)
Hình 4.1
Tọa độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau:
SSSI II FI x I F II x II
x y y y CC
C FFFFFI II I II
14a
4a .6 a .2 a 4 a .6 a . 4 a
2328
x a 3,111 a
C 1
4a .6 a 4 a .6 a 9 y
2
SSSI II FI y I F II y II
y x x x CC
C FFFFFI II I II
I II
1
4a .6 a .3 a 4 a .6 a .2 a
8
y2 a 2,666 a
C 1 z
4a .6 a 4 a .6 a 3
2 O
Vậy tọa độ trọng tâm C(3,111a, 2,666a)
108
Bài 4.2. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt
như hình vẽ:
Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy.
Chia mặt cắt làm 2 hình là hình I
(Hình chữ nhật to) và II (Hình chữ nhật bị
khoét).
Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là
C(xC, yC).
Tọa độ trọng tâm C của hình được tính
theo công thức sau: Hình 4.2
SSSI II FI x I F II x II
x y y y CC
C FFFFFI II I II y
3a
4a .6 a .2 a 3 a .4 a . a
2 I
xa1,5
C 4a .6 a 3 a .4 a
SSSI II FI y I F II y II
y x x x CC II
C FFFFFI II I II
4a .6 a .3 a 3 a .4 a .2 a x
ya4
C 4a .6 a 3 a .4 a O
Vậy tọa độ trọng tâm C(1,5a, 4a)
Bài 4.3. Xác định vị trí trọng tâm
và tính mô men quán tính đối với X
trục trung tâm song song với cạnh
x
đáy của hình thang cân trên Hình
4.3a
Hình 4.3
Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như hình vẽ
109
Chia mặt cắt làm 3 hình là hình I (Hình chữ nhật giữa), II (Hình
tam giác bên trái) và III (Hình tam giác bên phải).
Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC)
Do Oy là trục đối xứng nên y
xC = 0
Tung độ trọng tâm C của I
III
hình được tính theo công thức II
sau: C1
X
I II III C
SSSS C2
y x x x x x
C FFFFI II III O
FI y I F II y II F III y III
y CCC
C FFFI II III
1 1b b 1 b b
b...... b b b b
4 Vậy tọa độ trọng tâm C(0, 4 )
yb2 2 2 3 2 2 3 b
C 11bb 9
b... b b b 9
2 2 2 2
Tính mô men quán tính chính trung tâm JX:
I II III I II
JJJJJJXXXXXX 2
Sử dụng công thức chuyển trục song song để tính các mô men
quán tính I và II
J X J X
3 2
III24b. b b 4 b 7
JXx J11 b F b. b b
12 2 9 81
b 3
.b 2
II II24 II 4b b 1 b 11
2
JXx J22 b F . b b
36 9 3 2 2 648
7 11 13
J JI 2 J II b4 2. b 4 b 4
XXX 81 648 108
Bài 4.4. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men
quán tính chính trung tâm của mặt cắt.
110
Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như
hình vẽ.
Chia mặt cắt làm 2 hình là hình I
(Hình chữ nhật dưới), II (Hình chữ nhật
trên).
Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là
C(xC, yC)
Do Oy là trục đối xứng nên xC = 0
Hình 4.4
Oy là 1 trục quán tính chính trung tâm.
Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau:
SSSI II FI.. y I F II y II
y x x x CC
C FFFFFI II I II
0b .8 b .( b 4 b )
yb2
C 6b .2 b b .8 b
Như vậy ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0,2b).
Từ đó xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY.
Tính mô men quán tính chính trung tâm: JX, JY
2b .(6 b )33 8 b . b 110
J JI J II b4
YYY 12 12 3
I II
JJJXXX
Áp dụng công thức chuyển trục song song:
6bb .(2 )3
JIII J b2 F (2 b ) 2 .6 b .2 b 52 b 4
Xx11 12
111
bb.(8 )3 344
JII J II b2 F II (3 b ) 2 . b .8 b b 4
Xx22 12 3
344 500
J JI J II 52 b4 b 4 b 4
XXX 33
Bài 4.5. Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men quán tính
chính trung tâm của mặt cắt.
Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như
hình vẽ
Chia mặt cắt làm 3 hình là hình I
(Hình chữ nhật trên), II (Hình chữ nhật
dưới bên trái) và III (Hình chữ nhật dưới
bên phải)
Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là
C(xC, yC)
Do Oy là trục đối xứng nên xC
= 0
Oy là 1 trục quán tính chính trung
tâm Hình 4.5
Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau:
S
y x y y=Y
C F 2
Mô men tĩnh của mặt cắt đối với
trục x.
x
S SI S II S III F I y I F II y II F III y III
x x x x C CI C O
X
3 C
Sx 0 a .10 a .( 6 a ) a .10 a .( 6 a ) 120 a
x2
C2
Diện tích của mặt cắt ngang:
II III
F FI F II F III 6 a .2 a a .10 a a .10 a
112
Fa 32 2
120a3
ya3,75
C 32a2
Ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0,-3,75a)
Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm là XCY
Tính mô men quán tính chính trung tâm JX, JY
I II III I II
JJJJJJYYYYYY 2
2aa .(6 )3
JaI 36 4
Y 12
3 2
II II24 II 10aa . 3 70
JYy J22 a F a. a .10 a a
12 2 3
70 248
J JI 2 J II 36 a4 2. a 4 a 4
YYY 33
Áp dụng công thức chuyển trục song song để tính J I và J II
JJJJJJI II III I X 2 II X
3 XXXXXX
6aa .(2 ) 2
JIII J b24 F 3,75 a 6 a .2 a 172,75 a
Xx11 12
ab.(10 )3 3215
JII J II b2 F II (2,25 a ) 2 . a .10 a a 4
Xx22 12 24
3215
J JI 2 J II 172,75 a44 2. a
XXX 24
y y
1322 o
J a44440,666 a
X 3
x
Bài 4.6. Cho mặt cắt gồm 2 thép chữ I
O
No24, hãy xác đinh khoảng cách c giữa 2 I II
mặt cắt để có Jx = Jy (Mặt cắt hợp lý).
Do mặt cắt có 2 trục Ox và Oy đều
là các trục đối xứng của mặt cắt. Hình 4.6
Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.
113
Ta chia mặt cắt làm 2 phần là I và II.
Mô men quán tính chính trung tâm Jx và Jy:
I II I
JJJJx x x 2 x
J 2.3460 6920 cm4
x
I II I
(Do 2 phần đối xứng nhau qua trục y)
JJJJy y y 2 y
Sử dụng công thức chuyển trục song song ta có
2
III2 c
Jyy J0 a F 198 .34,8
2
2
c 4
cm
Jy 2. 198 .34,8
2
Do mặt cắp hợp lý ta có Jx = Jy
2
c
2. 198 .34,8 6920
2
Giải phương trình ta tìm được c = 19,36 cm.
Bài 4.7. Xác định hệ trục quán tính chính trung
tâm và tính các mô men quán tính chính trung tâm
của mặt cắt như hình.
Chọn Shệ trục tọa độ ban đầu Oxy
y x
ChiaC mặtF cắt làm 2 hình là hình I (Hình chữ
nhật dưới) và II ( Nửa hình tròn phía trên)
Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC)
Do Oy là trục đối xứng nên xC = 0
Hình 4.7
Oy là 1 trục quán tính chính trung tâm
Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau:
Mô men tĩnh của mặt cắt đối với trục x.
114
I II I I II II
Sx S x S x F y C F y C
142 r
cm
Srx 0 . 20 9315
23
Diện tích của mặt cắt ngang:
11
F FI F II 12.40 . r 22 12.40 .15
22
F 833,25 cm2
S 9315
y x 11,179 cm
C F 833,25
Ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0;11,179)
Xác định được hệ trục quán tính
chính trung tâm là XCY y
Tính mô men quán tính chính trung II
tâm JX, JY
34
I II 40.12 1 d I II
X
JJJ J X J X
YYY 12 2 64 C
x
40.1234 1 (2.15)
J . O I
Y 12 2 64
4
JY 25630,3125 cm
I II
JJJXXX
Áp dụng công thức chuyển trục song song để tính và
3
12.(40) 2
JIII J b2 F 11,179 .12.40
Xx11 12
I 4
JX 123985,62 cm
II II2 II
JXx J22 b F
422 2 4 2
II 1d 4 r r 1 (2 r ) 4 r r
Jx 2
2 64 3 2 2 64 3 2
1 (2r )4 4 r22 r 2 4 r r 2
II
Jx 20 11,179
2 64 3 2 3 2
115
1 (2.15)4 4.1522 15 2 4.15 .15 2
II
Jx 20 11,179
2 64 3 2 3 2
II 4
cm
Jx 87051,21
I II 4
cm
JJJXXX 123985,62 87051,21 211036,83
Bài 4.8. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mômen quán
tính chính trung tâm của mặt cắt ghép sau đây
Tra bảng thép hình ta được:
y=y1 Y
y2
Đối với mặt cắt [No22a II
I 2 100x100x10
cm ,
F 28,6 xO1 2,47
x2
cm O2
I 4 I X
cm ,
Jx1 2320 Jy1 186 C
cm4
x=x1
Đối với mặt cắt 100x100x10 O=O1
II 2
cm ,
F 19,2 yO2 2,83
cm
o
II II 4 N 24a
cm
JJmxax 0 284
II II 4 I
cm
JJminy 0 74,1
II II 4
cm Hình 4.8
JJxy22179
Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt
Chia mặt cắt làm 2 phần là I (Thép chữ [No22a) và II (Thép góc
đều 100x100x10)
Chọn hệ trục x1O1y1 làm gốc ban đầu, đối với hệ trục này
II
SSxy110
II II II cm3
SxC1 F. y 19,2. 11 2,83 157
II II II 3
cm
SyC1 F. x 19,2. 2,46 2,83 102
Vậy trong hệ trục tọa độ gốc ban đầu tọa độ trọng tâm C
116
SSSI II 0 157
y x1 x 1 x 1 3,28 cm
C F FFI II 28,6 19,2
SSSI II 0 102
x y1 y 1 y 1 2,13 cm
C F FFI II 28,6 19,2
Tọa độ trọng tâm C(2,13;3,28)
Từ đó ta xác định được hệ trục trung tâm XCY của mặt cắt như
trên hình vẽ.
Trong hệ trục tọa độ này trọng tâm O1 của hình I là:
a1 = XO1 = -2,13 cm
b1 = YO1 = -3,28 cm
Trọng tâm O2 của hình II là:
a2 = XO2 = 3,17 cm
b2 = YO2 = 4,89 cm
Xác định mô men quán tính JX, JY của mặt cắt đối với hệ trục trung
tâm.
III22 4
cm
JXx J11 b F 2320 3,28 .28,6 2627,69
II II22 II 4
cm
JXx J22 b F 179 4,89 .19,2 638,11
I II 4
JJJXXX 2627,69 638,11 3265,8 cm
I II
JJJXXXI II
JJJYYY
III22 4
cm
JYy J11 a F 186 2,13 .28,6 315,75
II II22 II 4
cm
JYy J22 a F 179 3,17 .19,2 317,93
I II 4
JJJYYY 315,75 317,93 633,68 cm
J JI J II J I abFJ I II abF II
XY XY XY x1 y 11 1 x 2 y 2 2 2
J0 a b FI J II a b F II 602,5 cm4
XY1 1 x2 y 2 2 2
Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm
Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục nhận được khi quay hệ
trục trung tâm đi một góc o:
117
2J
XY 2.602,5
tg20 0,4578
JJYX633,68 3265,8
0 0
o1 = -12 30'; o2 = -102 30'
Xác định mô men quán tính chính trung tâm:
JJ 1 2
JJJJXY 4 2
1,2 22X Y XY
JJ 1 2 4
JJJJJ XY 42 3407 cm
1 max 22X Y XY
JJ 1 2 4
JJJJJ XY 42 547,5 cm
2 min 22X Y XY
III. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 4.1. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt như trên hình vẽ:
(a)
(b)
Hướng dẫn:
a) Chia mặt cắt làm 3 hình I, II và III
Sử dụng công thức tính tọa độ trong tâm:
11 2
FFFFI II III 6.3 6.6 6.9 72 cm
22
I II III I I II II III III
Sx S x S x S x F y C F y C F y C
118
11 3
S 6.3.7 6.6.3 6.9.6 333 cm
x 22
S 333
y x 4,625 cm
C F 72
11 3
S 6.3.4 6.6.3 6.9.8 360 cm
y 22
S 360
x y 5 cm
C F 72
b) Chia mặt cắt làm 2 hình I (Hình vuông) và II (1/4 hình tròn)
Do mặt cắt đối xứng:
S
yxx
CCF
6a2
F FI F II 6 a .6 a
4
3
2 6a
S SI S II 6 a 3 a 36 a3
x x x 3
36a3
y x 4,651 a
CC 6a2
6aa .6
4
Bài 4.2. Xác định vị trí trọng tâm của các mặt cắt cho trên hình vẽ:
119
(a)
(b)
Hướng dẫn:
a) Chia mặt cắt làm 2 hình I (Hình chữ nhật) và II (Hình tam giác)
Do mặt cắt đối xứng:
xC 0
1
F FI F II 4 a .8 a 2 a .3 a 29 a2
2
1
S SI S II 4 a .8 a .4 a 2 a .3 a .5 a 113 a3
x x x 2
S 113a3
yax 3,896
C Fa29 2
b) Chia mặt cắt làm 3 hình I (Hình chữ nhật), II (Hình tam giác)
và III (Nửa hình tròn)
Do mặt cắt đối xứng:
I II III 1122
F F F F 4 a .8 a 2 a .4 a a 28 a
2 2 2
I II 1 2 123 4a
SSSaaaaaax x x 4 .8 .4 2 .4 . 6 .2 a a . 98 a
2 3 2 3
120
3
Sx 98a
yaC 3,708
F 2
28 a
2
Bài 4.3. Xác định mô men quán tính chính trung tâm của các hình dưới
đây:
(a) (b)
Hướng dẫn:
a) Mặt cắt có 2 trục đối xứng là Ox và Oy
Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm.
3
3
2aa . 3 2aa . 13 4
J JI J II a4 526,5 cm
x x x 12 12 2
33
3a . 2 a a . 2 a 4 4
J JI J II a4 108 cm
y y y 12 12 3
a) Mặt cắt có 2 trục đối xứng là Ox và Oy
Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm.
4
3
4a 2.aa 4
J JI J II 12,226 a4 990,36 cm
x x x 64 12
43
4a a . 2 a 4
J JI J II 11,893 a4 963,36 cm
y y y 64 12
121
Bài 4.4. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men
quán tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình.
(a)
(b)
Hướng dẫn:
a) Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau:
SSSI II
y x x x
C FFFI II
0 6.14.2
y 1,272 cm
C 12.18 6.14
Trọng tâm C(0,-1,272)
Từ đó xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY
33
18.12 14.6 4
JJJI II 2340 cm
YYY 12 12
I II
JJJXXX
12.183
JIII J b22 F 1,272 .12.18 6181,484
Xx11 12
6.143
JII J II b22 F II 3,272 .6.14 2271,302
Xx22 12
I II 4
JJJXXX 3910,182 cm
122
b) Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau:
SSSI II
y x x x
C FFFI II
0 10.30.25
y 9,615 cm
C 12.40 10.30
Trọng tâm mặt cắt C(0,9,615)
Hệ trục quán tính chính trung tâm XCY
33
40.12 10.30 4
JJJI II 28260 cm
YYY 12 12
I II
JJJXXX
12.403
JIII J b22 F 9,615 .12.40 108375,148
Xx11 12
30.103
JII J II b22 F II 15,385 .30.10 73509,467
Xx22 12
I II 4
JJJXXX 108375,148 73509,467 181884,615 cm
Bài 4.5. Tính trọng tâm và tính mô men quán tính chính trung tâm của
mặt cắt như trên hình.
SSSI II
y x x x
C FFFI II
Hướng dẫn:
Trọng tâm C của mặt cắt:
xC 0
123
0 5 . r 2 1570,8
y 1,67 cm
C Rr22 942,5
Trọng tâm C(0,1,67)
Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY
44
..Rr 4
JJJI II 117810 cm
YYY 44
.R4
JIII J b2 F 1,67 2 . . R 2
Xx11 4
4
r 2
JII J II b22 F II 1,67 5 . r
Xx22 4
I II 4
cm
JJJXXX 107400
Bài 4.6. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men
quán tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình.
(a)
I II (b)
JJJXXX
Hướng dẫn:
Tọa độ trọng tâm C của mặt cắt:
yC 0
SSSI II
x y y y
C FFFI II
124
0 6.10.6
y 0,967 cm
C 18.24 6.10
Trọng tâm C(-0,967;0)
Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY
44
24.18 6.10 4
JJJI II 204952 cm
XXX 12 12
I II
JJJYYY
4
18.24 2
JIII J a2 F 0,967 .18.24 498067,96
Yy11 12
4
10.6 2
JII J II a2 F II 0,967 6 .10.6 3992,34
Yy22 12
I II 4
cm
JJJYYY 494075,62
b) Trọng tâm của mặt cắt
xC 0
S
y x
C F
FFFFI II III 6.1 0,6.6 1.3 12,6 cm2
Sx 6.1. 3,5 0 3.1.3,5 10,5
S 10,5 5
y x cm
C F 12,6 6
5
Trọng tâm mặt cắt C(0; )
6
Hệ trục quán tính chính trung tâm XCY
3 3 3
1.6 6.0,6 1.3 4
JJJJI II III 20,358 cm
YYYY 12 12 12
I II III
JJJJXXXX
3 2
I 6.1 5 259
JX 3,5 .6.1
12 6 6
125
3 2
II 0,6.6 5
JX .0,6.6 13,3
12 6
3 2
III 3.1 5 679
JX 3,5 .3.1
12 6 12
I II III 4
cm
JJJJXXXX 113,05
Bài 4.7. Tính khoảng cách c của 2 mặt cắt gồm 2 thép chữ [số hiệu 30
được bố trí như ở hình vẽ để có Jx = Jy.
(a)
(b)
Hướng dẫn:
a) Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm
I 4
JJxx2. 2.5810 cm
c 2
III2
Jy2. J y 2 J y11 a F 2 327 2,52 40,5
2
cm
JJxy c 18,23
b) Ox và Oy là hai trục đối xứng Oxy là hệ trục quán tính
chính trung tâm
cm4
c 2
III2
Jy2. J y 2 J y11 a F 2 327 2,52 40,5
2
126
c 28,31 cm
Bài 4.8. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men
quán tính chính trung tâm của mặt cắt ghép bởi 2 thép chữ I No24 bố trí
như hình vẽ.
H.1
H.2
Hướng dẫn:
a) Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm
I 4
JJxx2. 2.3460 6920 cm
III22
Jy2. J y 2 J y11 a F 2 198 12 .34,8
4
cm
Jy 10418,4
b) Ox và Oy là hai trục đốiJJxy xứng Oxy là hệ trục quán tính
chính trung tâm của mặt cắt
I 4
cm
JJyy2 2.198 396
hc2
IIIII2
Jx2. J x 2 J x1 a 1 F 2 J x 1 F
22
127
4
Jx 22580 cm
Bài 4.9. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men
quán tính chính trung tâm của mặt cắt ghép như hình vẽ.
a) : Thép I số hiệu 24
b) : Thép [ số hiệu 24
(a) (b)
Hướng dẫn:
a) Tọa độ trọng tâm của mặt cắt:
xC 0
FFFFI II III 34,8.2 5.23 184,6 cm2
I II III 24 3
cm
SSSSx x x x 2.0 5.23. 2,5 1667,5
2
S 1667,5
y x 9,033 cm
C F 184,6
Trọng tâm C(0;-9,033)
Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY
3
b 2 5. 2b
I III I I
JJJJFY2. Y Y 2 y1 .
2 12
4
JY 7766,73 cm
128
3 2
I III I2 I 2b .5 24
JX2 J X J X 2 J x11 b . F 2,5 9,033 .2 b .5
12 2
4
JX 16275,73 cm
b) Tọa độ trọng tâm của mặt cắt:
FFFFI II III 30,6.2 5.25 186,2 cm2
I II III 24 3
cm
SSSSx x x x 2.0 5.25. 2,5 1812,5
2
S 1812,5
y x 9,734 cm
C F 186,2
Trọng tâm C(0;-9,734)
Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY
252 5.253
I III I I
JY2. J Y J Y 2 J y10 z . F
2 12
4
JY 13144,728 cm
xC 0 3
I III I22 I 25.5
JX2 J X J X 2 J x1 b 1 . F b 2 .5.25
12
4
JX 14698,5 cm
Bài 4.10. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men
quán tính chính trung tâm của mặt cắt ghép bởi 2 thép chữ [ số hiệu 20
như hình vẽ.
129
Hướng dẫn:
a) Ox và Oy là hai trục đối xứng Oxy là hệ trục quán tính
chính trung tâm của mặt cắt
3
I II I2 I 5.20
Jy2 J y 2 J y 2 J y11 a F 2
12
202 5.203
Jy 2 113 2,07 .23,4 2 9835,68
2 12
4
cm
Jy 9835,68
3
20.5 2
I II
JJJx2 x 2 x 2.1520 2 10 2,5 .20.5
12
4
Jx 34706,66 cm
Bài 4.11. Xác định các mô men quán tính chính trung tâm và phương
của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình. Biết a =
10 cm
130
Đáp số:
4 4 4
cm ; cm4 ; = -29º ; = 61º
Jmax 38,64.10 Jmin 10,4.10 1 2
Bài 4.12. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mô men
quán tính chính trung tâm của mặt cắt cho như hình vẽ.
Hướng dẫn:
Mô men quán tính trung tâm: Jx, Jy, Jxy
I II III 4
JJJJx x x x 214,5 cm
I II III 4
cm
JJJJy y y y 62,34
I II III 4
cm
JJJJxy xy xy xy 90,1
Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm:
2J
tg2 xy 1,189
JJxy
131
o
1 24 55'
o
2 114 55'
Mô men quán tính chính trung tâm
2
JJxy 1 2 4
cm
JJJJmax x y 4 xy 252
22
2
JJxy 1 2 4
cm
JJJJmin x y 4 xy 25
22
Bài 4.13. Một thanh ghép gồm 2 thanh định hình như trên hình. Xác
định mô men quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính
trung tâm.
(b)
(a)
Đáp số:
4 4
a) Jmax 1679 cm ; Jmin 257 cm ; 1 = 8º57’ ; 2 = 98º57’
4 4
b) Jmax 7698 cm ; Jmin 3098 cm ; 1 = -33º38’ ; 2 = 56º52’
Bài 4.14. Một thanh ghép gồm 2 thanh định hình có mặt cắt ngang như
trên hình..
Xác định mô men quán tính chính và phương của hệ trục quán tính
chính trung tâm.
132
Hướng dẫn:
Xác định trọng tâm mặt cắt
S S
y x 2,15 cm ; x y 0 cm
C F C F
Mô men quán tính đối với hệ trục trung tâm
4
Jx 3055 cm
4
cm
Jy 670
4
cm
Jxy 566
Phương của hệ trục quán tính chính
2J
tg2 xy 0,475
JJxy
oo
1212 42'; 102 42'
Mô men quán tính chính trung tâm
2
JJxy 1 2 4
cm
JJJJmax x y 4 xy 3183
22
2
JJxy 1 2 4
cm
JJJJmin x y 4 xy 543
22
133
CHƯƠNG 5: THANH TRÒN CHỊU XOẮN THUẦN TUÝ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Một số khái niệm cơ bản
a- Khái niệm thanh chịu xoắn thuần tuý: là thanh mà trên mọi mặt cắt
ngang của nó chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn Mz.
b- Ứng suất tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang:
M
z
J p
Trong đó:
JP : Mômen quán tính độc cực của mặt cắt ngang.
: Khoảng cách từ điểm cần tính ứng suất đến trọng tâm mặt cắt.
c- Biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang
Căn cứ vào biểu thức tính ứng suất trên ta biểu diễn quy luật phân
bố của ứng suất tiếp trên 1 mặt cắt ngang bằng biểu đồ gọi là biểu đồ
phân bố ứng suất tiếp trên mặt
cắt như hình vẽ.
Mz
O
max
134
d- Ứng suất tiếp lớn nhất trên một mặt cắt ngang:
MM
zz
max max
JWpp
J
ở đây W P được gọi là mômen chống xoắn của mặt cắt ngang
p R
- Với mặt cắt tròn đặc đường kính D thì:
J D3
W p
p D/ 2 16
- Với mặt cắt tròn rỗng đường kính ngoài D và hệ số rỗng thì:
3
D 4
Wp 1
16
e- Biến dạng xoắn :
Mz
GJ p
Trong đó:
- Tích số GJp được gọi là độ cứng chống xoắn
D4
- Với mặt cắt tròn đặc đường kính là D : J
P 32
- Với mặt cắt hình vành khăn (tròn rỗng) đường kính ngoài là D,
đường kính trong là d thì:
4 4 4 4
D d D d
JP 1
32 32 32 D
d
Tỉ số gọi là hệ số rỗng của mặt cắt ta được:
D
D4
4
JP 1
32
4
và D 4
JJxy 1
64
f- Góc xoắn tương đối giữa hai đầu thanh
Thanh có n đoạn, trên mỗi đoạn Mz, GJp biến thiên liên tục
135
n li M
z dz
i1 GJ p
li1 i
* Trường hợp riêng: Thanh có nhiều đoạn, trên mỗi đoạn Mz, GJp là
hằng số
n
M z .l
( )i
i1 GJ p
h. Tính toán lò xo xoắn ốc hình trụ bước ngắn
* Các thông số của một lò xo
Trên hình vẽ là một lò xo xoắn ốc hình trụ. Lò xo này có các đặc
trưng sau:
- D là đường kính trung bình của lò xo
- d là đường kính của dây lò xo
- h là bước của lò xo
- n là số vòng dây làm việc của lò xo
Ở đây ta chỉ xem xét một lò xo bước ngắn, tức là h < 2d
* Ứng suất lớn nhất trên mặt cắt ngang dây lò xo
136
8PD
max d 3
Công thức trên đã bỏ qua độ cong của dây lò xo. Với cách tính
chính xác hơn, có tính đến độ cong và nghiêng vòng của dây lò xo, thì
công thức max sẽ là:
8PD
k (4-23)
max d 3
Trong đó k là hệ số điều chỉnh tính theo công thức:
D
0,25
k d
D
1
d
- Độ co dãn ( độ lún ) của lò xo :
8PD3 n
Gd 4
Ta gọi trị số của lực tác dụnglàm lò xo co hay dãn
ra một đơn vị là độ cứng của lò xo và ký hiệu là C
thì:
P Gd 4
C (4-26)
8Dn3
i ) Điều kiện bền :
P
Mz
max
max W
p max
Trong đó :
max max Ứng suất tiếp lớn nhất trong thanh
[] Ứng suất tiếp cho phép có hai cách xác định:
* Bằng thực nghiệm
0
o là ứng suất tiếp nguy hiểm xác định từ thí nghiệm
n
137
* Xác định dựa vào các lý thuyết bền: ta tách ra khỏi trục một phân tố
nguy hiểm, có max phân tố này thuộc trạng thái trượt thuần tuý.
Phân tố này có:
1 = max
2 = 0
3 = - max
Theo thuyết bền số (3):
t3 2
Theo thuyết bền số (4): t 4
3
Theo thuyết bền Mo:
k
tMO 1
trong đó k (c)
n
j- Điều kiện cứng
Theo từng điều kiện cụ thể mà điều kiện cứng có thể là một trong các
điều kiện sau :
M
z
max
GJ p
max
n li M
z dz
AB AB
i1 GJ
0 p i
k
z < []
k
Trong đó (z) là chuyển vị của mặt cắt K nào đó
138
II. CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU:
Ví dụ 1: Một trục tròn chịu xoắn như hình vẽ.
(2)
(1)
(1)
(2) d = 10 (cm)
0,7 m 1,5 m
(1)
(1)
(2)
(2)
Yêu cầu: a) Vẽ biểu đồ nội lực cho trục.
b) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất trên trục.
c) Xác định gó xoắn tại đầu tự do biết G = 8.103 (KN/cm2).
d) Vẽ biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang tại đầu tự do.
Bài giải
a) Vẽ biểu đồ nội lực.
- Chọn hệ trục oxyz như hình vẽ.
- Sử dụng phương pháp mặt cắt ta có:
OA ( O ≤ z ≤ 7m
Mzz M1 M 1 m.0 AB M 2
Mz1 M 2 M 1 m. AB 200 300 100.1,5 250 N . m
AB(0,7 m z 2,2 m )
Mzz M22 m.( OB z ) M 0
Mz22 M m.( OB z ) 100.(2,2 z ) 200
139
Mzz2 100 20 bậc nhất
- Tại z0,7 m Mz2 50 N . m
- Tại z2,2 m Mz2 200 N . m
b) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất trên trục
- Vì thanh có tiết diện không thay đổi nên mặt cắt có ứng suất lớn
nhất sẽ là mặt cắt có trị số tuyệt đối momen xoắn lớn nhất.
- Từ biểu đồ momen xoắn Mz ta thấy mặt cắt có momen xoắn là
mặt cắt có Mz maxlà các mặt cắt thuộc đoạn OA, có Mz max = -250
N.m= -25 KN.cm
- Vậy ta có ứng suất lớn nhất:
MMMz max z m ax16 z m ax 16.25 KN
0,13
max 3 3 3 3
WP .d .d .10 cm
16
c) Xác định góc xoắn tại đầu tự do (điểm B)
- Theo hình vẽ ta có:
M.. OA2,2 M dz
zz12
B OB OA AB
GJGJ..0,7
44
d .10 4
J 981,3( cm )
32 32
25.70
2,23.104 (rad )
OA 8.103 .981,3
2,2
(100z 20). dz 1242,2 1875
AB (50z 20 z ) 2,39.10 ( rad )
0,7 3
0,7 GJGJ. . 8.10 .981,3
4 4 4
- Vậy B 2,23.10 2,39.10 0,16.10 (rad )
d) Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang tại đầu tự do
(tại B).
- Tại B ta có : Mz=200N.m dương nên theo chiều kim đồng hồ
- Giá trị ứng suất lớn nhất trên mặt cắt tại B là:
()B
()B M z 20.16 KN
max 32 0,102
W .10 cm
140
=> Ta có biểu đồ phân bố ứng suất nhự hình vẽ:
2
max=0,102 (kN/cm )
Ví dụ 2: Cho trục chịu xoắn như hình vẽ
a) Kiểm tra điều kiện bền và điều kiên cứng cho trục biết
M=1,5KN.m; D=10cm; d=6cm; [τ]=80 MN/m2; [θ]=1,2
(o/m); G=8.104 MN/m2
b) Xác định tải trọng cho phép cho trục
4M (2) 5M
M (3) (1)
D
d
z d
C B A O
(3) (1)
(2)
x
3a 3a 2a
4M 5M M
M Z1 (1)
(1)
M 4M MZ2 (2)
(2)
M
M Z1 (3)
(3)
2M
M
MZ
3M
y
141
a) Kiểm tra điều kiện bền và điều kiện cứng cho trục
* Vẽ biểu đồ nội lực Mz
- Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ
- Sử dụng phương pháp mặt cắt:
OA(0 z 2 a ) : mz M z11 5 M 4 M M 0 M z 2 M
AB(2 a z 5 a ) : mz M z22 4 M M 0 M z 3 M
BC(8 a z 8 a ) : mz M z33 M 0 M z M
=> Ta vẽ được biểu đồ Mz
∗Xác định mặt cắt ngang nguy hiểm ( Mặt cắt có max )
- Vì tiết diện và nội lực trong mỗi đoạn thanh không thay đổi nên
ta có:
M z1 2M 32 M 32.150 KN
OA: (1) 7,1
max 3 3 3 3
W1 .d .d .6 cm
16
M z 2 3M 48 M 48.150 KN
AB : (2) 2,3
max 3 3 3 3
W 2 .D .D .10 cm
16
M z3 M16 M 16.150 KN
BC : (3) 3,54
max 3 3 3 3
W 3 .d .d .6 cm
16
KN KN
- So sánh ta có : (1)
mmax ax 7,122 8
cm
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_tap_suc_ben_vat_lieu_tap_1_phan_2.pdf