Nghiên cứu phương pháp Polynomial chaos áp dụng cho hệ thống treo trên ô tô

cứu về động lực học của ô tô, việc sử dụng các phần mềm mô phỏng để nghiên cứu sẽ giúp rút ngắn quá trình thử nghiệm và giảm chi phí để tạo ra sản phẩm. Để mô phỏng sát với quá trình thực tế thì số lượng trường hợp mô phỏng là rất lớn và có nhiều tham số không chắc chắn. Phương pháp Polynomial Chaos (PC) là phương pháp có thể đáp ứng các điều kiện trên với thời gian mô phỏng ngắn. Đã có một số công trình trên thế giới nghiên cứu sử dụng phương pháp PC để mô phỏng dao động trên ô tô [6,7]. Tuy nhiên, hiện nay trong nước việc nghiên cứu phương pháp PC còn hạn chế, do đó trong bài viết này chúng tôi đề xuất sử dụng phương pháp PC để mô phỏng dao động của ô tô và dùng phương pháp Monte Carlo (MC) để kiểm chứng lại phương pháp PC. Từ khóa: Phương pháp Monte Carlo; phương pháp Polynomial Chaos; động lực học; biến ngẫu nhiên. Abstract In the study of automobile dynamics, there use of simulation software to study will help shorten the testing process and reduce the cost of creating product. Numerical simulation will help shorten the testing process and the cost of the simulation process. To closely simulate the actual process, the number of simulation cases is very large and there are many uncertain parameters. The Chaos Polynomial method (PC) is a method that can meet the above conditions with a short simulation time. In this article we propose to use the PC method to simulate the suspension system in the car and use the method Monte Carlo method (MC) to verify PC method. Keywords: Monte Carlo method; Chaos Polynomial method; dynamics; random variabletu. 1. GIỚI THIỆU CHUNG 1.1. Phương pháp Monte Carlo Tên gọi của phương pháp này được đặt theo tên của một thành phố ở Monaco. Với phương pháp này sẽ lấy ngẫu nhiên mẫu và tính toán trực tiếp trên các mẫu này, như vậy số lượng mẫu lấy càng lớn thì kết quả càng chính xác. Độ chính xác của kết quả phụ thuộc vào số lượng và cách chọn mẫu. Để có kết quả chính xác cần tính toán với số lượng mẫu lớn, do đó cần thời gian tính toán rất lớn. Người ta sử dụng phương pháp này để kiểm chứng kết quả. Người phản biện: 1. PGS.TS. Trần Vĕn Như 2. TS. Vũ Hoa Kỳ Hình 1. Sơ đồ khối phương pháp Monte Carlo Với x i , x là tập hợp các mẫu được lấy, theo luật số lớn thì giá trị trung bình được tính theo công thức [4, 5]: ∑ = = MCn j i MC MC x n x 1 )( 1 ξ (1) Với nMC là số lượng lấy mẫu. 44 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 2(65).2019 1.2. Phương pháp Polynomial Chaos Đây phương pháp tính theo xác suất. Với phương pháp này người ta sẽ chọn một số lượng mẫu nhỏ, tính toán trên các mẫu này, các kết quả còn lại sẽ được nội suy theo kết quả tính toán ở các mẫu. Do đó với phương pháp này tính toán với số lượng mẫu nhỏ nên thời gian tính toán được rút ngắn, tuy nhiên kết quả có sai số. Hình 2. Sơ đồ khối phương pháp Chaos Polynomial Với x i là các mẫu được lấy trong tập hợp , giá trị trung bình được tính theo công thức [3]: 0 ( ) ( ) Np PC j j j x xξ φ ξ = =∑ (2) f j : đa thức của PC. Theo tài liệu [3], đa thức này được tính theo công thức: )(...)(),...()( )()( 1 1 1 1 ri r k irjj j r j LL ξξξξφξφ ⊗== ∏ = (3) Với Lik là đa thức Legendre được xác định bởi công thức: (n + 1)Ln +1(x) = (2n + 1) × Ln(x) - nLn-1(x) (4) Với L 0 (x) = 1 và L 1 (x) = x Np được tính theo công thức: Với r: số tham số không chắc chắn; p: hệ số của đa thức (do người tính toán chọn) 2. MÔ HÌNH DAO ĐỘNG 1/4 TRÊN Ô TÔ Hình 3. Mô hình dao động 1/4 trên ô tô Theo tài liệu [1, 2], mô hình dao động 1/4 trên ô tô được mô tả như sau : (6) (7) Với ms: khối lượng của phần được treo; mu: khối lượng của phần không được treo; ks: độ cứng của hệ thống treo; c: hệ số cản giảm chấn; ku: độ cứng của bánh xe; z(t): độ nhấp nhô của mặt đường; x 1 (t): hệ tọa độ gắn với thân xe; x 2 (t): hệ tọa độ gắn với bánh xe. Trong quá trình dao động của ô tô, một số thông số của hệ thống treo trên ô tô là phi tuyến như: độ cứng của lốp xe, ụ cao su, Do đó, chúng tôi đề xuất giá trị của độ cứng hệ thống treo và độ cứng của bánh xe thay đổi trong khoảng 10%. Bảng 1. Thông số của xe ô tô được khảo sát [6] Thông số Giá trị ks 400 N/m ± 10% ku 2000 N/m ± 10% ms 40 kg mu 20 kg c 600 Ns/m Zmax 0,2 m 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Với hệ phương trình trên, sử dụng chương trình phần mềm Matlab ta được kết quả mô phỏng ứng với trường hợp đầu vào là mặt đường được mô phỏng như hình 4. Hình 4. Độ nhấp nhô của mặt đường Qua hình vẽ trên ta thấy trong giây đầu tiên xe chuyển động trên mặt đường bằng phẳng, sau đó gặp mấp mô với độ cao là 0,2 m, sau đó xe tiếp tục đi trên mặt đường bằng phẳng. Với đầu vào được mô phỏng như hình 4, khi tính toán với phương pháp PC với hệ số p = 1 và p = 4 tương ứng với số lượng lấy mẫu là Np= 2 và )()( 2 . 1 . 3 211 .. xxcxxkxm ss −−−−= ))(()()( 22 . 1 . 3 212 .. xtzkxxcxxkxm usu −+−+−= !! )!( 1 rp rp N p + =+ (5) LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC 45Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 2(65).2019 Trong đó: xPC: tọa độ của thân xe tính theo phương pháp PC; xMC: tọa độ của thân xe tính theo phương pháp MC. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 thời gian -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 lỗi max min mean max-min lỗi giá trị trung bình của lỗi Hình 7. Lỗi theo thời gian với p = 1 Hình 8. Lỗi theo thời gian với p = 4 Qua hình 7 ta có thể thấy khi tính toán với p = 1, lỗi trong quá trình tính toán xuất hiện từ giây thứ 1,7, còn khi tính với p = 4 thì lỗi xuất hiện từ giây thứ 3,5. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất và giá trị trung bình của lỗi xảy ra khi tính toán với p = 4 rất nhỏ khi tính toán với p = 1, điều này thể hiện rõ hơn ở hình 8. Hình 9. Giá trị trung bình của lỗi theo thời gian Ưu điểm của phương pháp PC có thể nhận thấy rõ hơn ở bảng 2. Ta có thể thấy khi tính toán với Np= 14, độ dao động của phần được treo trên ô tô được thể hiện trên hình 5. Hình 5. Kết quả mô phỏng giữa 2 phương pháp MC và PC với hệ số p = 1 Hình 6. Kết quả mô phỏng giữa 2 phương pháp MC và PC với hệ số p = 4 Qua đồ thị ta thấy trong quá trình xe đi trên đường bằng phẳng ở giây đầu tiên thì phần được treo trên ô tô không dao động, khi vượt qua mấp mô của mặt đường thì phần được treo dao động nhiều nhất, sau đó giảm dần theo thời gian. Khi tính toán với p = 1 thì sự khác biệt kết quả giữa hai phương pháp là lớn, sự khác biệt này gồm cả sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giá trị trung bình. Sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hai phương pháp xuất hiện ở giây thứ 2,5 và sự khác biệt giữa giá trị trung bình của hai phương pháp xuất hiện từ giây thứ 6. Khi tính toán với p = 4, sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hai phương pháp xuất hiện ở giây thứ 6,5. Tuy nhiên, giá trị trung bình của hai phương pháp là gần hoàn toàn giống nhau. Như vậy, sự khác biệt giữa kết quả của hai phương pháp giảm đi khi hệ số p tĕng lên. Lỗi xảy ra trong quá trình tính toán được tính toán theo công thức: e = xPC - xMC (8) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 thời gian -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 lỗi max min mean max min của lỗi giá trị trung bình của lỗi 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 thời gian 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 e 2 10 -4 e 2 (p=1) e 2 (p=2) e 2 (p=3) e 2 (p=4) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 thời gian (s) -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 X1 xMC giá trị trung bình xMC xPC giá trị trung bình xPC 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 thời gian (s) -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 X1 xMC giá trị trung bình xMC xPC giá trị trung bình xPC 46 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 2(65).2019 phương pháp PC thời gian tính toán với p = 1 là 7 giây chỉ là 1/3.960 và số lượng lấy mẫu chỉ là 1/500.000 so với thời gian tính toán và số lượng lấy mẫu bằng phương pháp MC, còn khi tính với p = 4 thời gian tính toán là 49 giây tương ứng 1/566 so với thời gian tính toán bằng phương pháp MC và số lượng lấy mẫu chỉ là 7/500.000. Bảng 2. Bảng so sánh thời gian oán của hai phương pháp và số lượng lấy mẫu MC p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 Thời gian tính toán (s) 27.720 7 14 28 79 Số lượng lấy mẫu 106 2 5 9 14 Như vậy, khi tính toán với phương pháp PC thời gian tính toán và số lượng lấy mẫu được giảm một cách đáng kể, tuy nhiên xuất hiện lỗi trong quá trình tính toán. Lỗi này sẽ được giảm khi hệ số p tĕng lên. 4. KẾT LUẬN Khi áp dụng phương pháp này có thể giải quyết được các bài toán có khối lượng tính toán lớn với thời gian tính toán hợp lý. Phương pháp này rất hiệu quả cho việc nghiên cứu động lực học của hệ thống trên ô tô. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Động lực học ô tô (2014), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam. [2] Wiener N. (October 1938), The Homogeneous Chaos, American Journal of Mathematics, American Journal of Mathematics, Vol. 60, No. 4. 60 (4): 897-936. doi :10.2307/2371268. [3] D. Xiu, Numerical Methods for Stochastic Computations, A Spectral Method Approach Princeton University Press, 2010. [4] Emmanuel Gobet, Méthodes de Monte-Carlo et processus stochastiques - du linéaire au non linéaire [archive], Éditions de l'École polytechnique, 2013. [5] Michael Mascagni, Advanced Monte Carlo Methods I & II, Cours du ETH de Zurich (2005/2006). [6] Gaurav Kewlania, Justin Crawfordb and Karl Iagnemmaa (2012), A polynomial chaos approach to the analysis of vehicle dynamics under uncertainty. [7] Ling Feng, Ma Ze-Yu, Tang Zheng-Fei, Chen Yong-Fu (2013), Uncertainty Analysis of Vehicle Suspension Systems Based on Polynomial Chaos Methods. Đào Đức Thụ - Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, nghiên cứu): + Nĕm 2008: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Ô tô - xe chuyên dụng, Đại học Bách khoa Hà Nội + Nĕm 2012: Tốt nghiệp Thạc sĩ Kỹ thuật ô tô, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội + Nĕm 2017: Học tiến sĩ tại Pháp - Tóm tắt công việc hiện tại: NCS Kỹ thuật ô tô tại Pháp. Giảng viên khoa Ô tô, Trường Đại học Sao Đỏ - Lĩnh vực quan tâm: Cơ khí chính xác, mô phỏng, kỹ thuật động cơ, ô tô, cơ khí động lực - Email: daoducthu85@gmail.com - Điện thoại: 0972802963 THÔNG TIN VỀ TÁC GIẢ LIÊN NGÀNH CƠ KHÍ - ĐỘNG LỰC 47Tạp chí Nghiên cứu khoa học - Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190 Số 2(65).2019 Pham Vĕn Trọng - Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, nghiên cứu): + Nĕm 2011: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Động cơ đốt trong, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội + Nĕm 2015: Tốt nghiệp Thạc sĩ Kỹ thuật ô tô, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội - Tóm tắt công việc hiện tại (chức vụ, cơ quan): Giảng viên khoa Ô tô, Trường Đại học Sao Đỏ - Lĩnh vực quan tâm: Kỹ thuật động cơ, ô tô, xe máy, cơ khí động lực - Email: trongbk2010@gmail.com - Điện thoại: 0356071085 Trần Quang Thanh - Tóm tắt công việc hiện tại (chức vụ, cơ quan): Giảng viên khoa Ô tô, Trường Đại học Sao Đỏ - Lĩnh vực quan tâm: Kỹ thuật động cơ, ô tô, xe máy, cơ khí động lực - Email: thanhtrandhsd@gmail.com - Điện thoại: 0904155603