Phân tích ảnh hưởng số lượng vết nứt thở đến ứng xử động của dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn

ứng xử phi tuyến. Phương trình chuyển động của hệ được thiết lập dựa trên sự cân bằng động, phương pháp phần tử hữu hạn và giải bằng phương pháp tích phân số Newmark trên toàn miền thời gian.Một chương trình máy tính được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB để phân tích ảnh hưởng của chiều sâu và số lượng vết nứt đến ứng xử động của khung được thực hiện. Từ khoá: Vết nứt thở, Phân tích động, Dầm, Phần tử hữu hạn. 1. Giới thiệu Kết cấu dầm là dạng kết cấu khá phổ biến trong lĩnh vực kỹ thuật kết cấu xây dựng, vì vậy việc phân tích ứng xử động lực học của kết cấu này được rất nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm. Dưới tác dụng của tải trọng, sự nứt dầm là khó tránh khỏi. Sự hiện diện của nó có thể dẫn đến ảnh hưởng xấu đến ứng xử và chất lượng kết cấu, thậm chí có thể dẫn đến nguy hiểm cho toàn kết cấu. Mô hình vết nứt mở được giới thiệu từ khá sớm và được sử dụng khá phổ biến trong việc nghiên cứu ứng xử của kết cấu [1, 2],với giả thiết phần tử có vết nứt là luôn luôn mở trong suốt quá trình dao động. Điều này làm cho thuận lợi hơn trong quá trình phân tích nhưng chưa mô tả hết bản chất là vết nứt ở một phía của thanh có thể bị đóng lại trong quá trình dao động do chuyển vị đổi dấu.Hiện tượng ―thở‖của vết nứt xảy ra khi hai bề mặtcó thể khép lại nếu chịu nén và mở ra nếu chịu kéo. Có một số nghiên cứu đề cập đến mô hình thở của vết nứt trong thanh như sau. Năm 2000, Kisa và Bradon [3] đã giới thiệu mô hình phân tích ứng xử đóng lại của dầm; bằng cách chia dầm thành hai phần tại vị trí vết nứt, xác định độ cứng dầm khi vết nứt mở hoàn toàn và dùng mô hình tiếp xúc để xác định độ cứng khi vết nứt đónng lại; hệ có ứng xử phi tuyến tính được chia thành hai hệ con tuyến tính, liên kết với nhau bởi một độ cứng gián đoạn cục bộ. Năm 2001, Chondros và Dimarogonas [4] đã nghiên cứu dao động của dầm Euler liên tục tựa đơn, giả thiết là một hệ tuyến tính từng phần, vết nứt thở loại song tuyến tính chỉ có hai trạng thái, hoặc mở hoàn toàn hoặc đóng hoàn toàn;kết quả cho thấy có sự thay đổi tần số tự nhiên nếu so với vết nứt mở. Đến năm 2009, Ariaei [5]đã trình bày một phương pháp phân tích phản ứng động của dầm Euler-Bernoulli với vết nứt thở chịu tải trọng di động bằng phương pháp kỹ thuật phần tử rời rạc và phương pháp phần tử hữu hạn; đã đưa ra công thức tính toán ma trận độ cứng cho phần tử dầm có vết nứt Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015 70 thở thay đổi theo thời gian. Năm 2013, Nguyễn Việt Khoa [6] đã phát triển đề tài phân tích ảnh hưởng của vết nứt thở lên kết cấu cầu chịu tải di động; đã so sánh ảnh hưởng giữa hai trường hợp vết nứt mở và vết nứt thở để mô tả một phương pháp phát hiện vị trí vết nứt thở trên dầm.Qua các trích dẫn trên, có thể nhận thấy rằng việc phân tích ứng xử động của kết cấu dưới ảnh hưởng của vết nứt thở được quan tâm nhiều bằng các mô hình vật lý khác nhau và các phương pháp giải khác nhau; có ý nghĩa cả về lý thuyết và thực tiễn. Tuy nhiên, đối tượng nghiên cứu thường chỉ dừng lại cấu kiện dầm;kết quả phân tích chỉ là tần số tự nhiên và kết cấu có xét đến tải trọng động còn ít. Tiếp nối sự quan tâm đến ứng xử của kết cấu có vết nứt thở, bài báo này xét ảnh hưởng của số lượng vết nứt thở trên đến ứng xử động của dầm. Ma trận độ cứng của phần tử khung có vết nứt thở phụ thuộc vào độ cong của phần tử tại vị trí vết nứt tùy từng thời điểm trong quá trình dao động. Vì vậy độ cứng của dầm sẽ thay đổi trong suốt quá trình chuyển động dẫn đến ứng xử động lực học là phi tuyến tính. 2. Cơ sở lý thuyết 2.1. Phần tử thanh phẳng không có vết nứt Phần tử thanh điển hình được trình bày như hình 1, hệ trục tọa độ địa phương là x-y và hệ trục tọa độ tổng thể là x’-y’. Ma trận độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể từ các tài liệu về phần tử hữu hạn thiết lập như sau.               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 L L Ac + Bs A - B cs -B s - Ac + Bs - A - B cs -B s L L As + Bc B c - A - B cs - As + Bc B c L L E I B s -B c I K' =e L L Ac + Bs A - B cs B s L As + Bc -B s sym I                            (1) trong đó các cosin chỉ phương l và m ( ,l cos m sin   ); với α là góc hợp bởi giữa trục của phần tử với phương nằm ngang và có chiều dương theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, ký hiệu 12 2 I L B  , A là diện tích mặt cắt ngang của phần tử, I là mômen quán tính của mặt cắt ngang phần tử. Kích thước ma trận này là 6 6 tương ứng với các bậc tự do là:     T q' = q' q' q' q' q' q'4 51 2 3 6e (2) Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015 71 Hình 1: Phần tử thanh phẳng Ma trận khối lượng tương thích của phần tử thanh trong hệ tọa độ địa phương và tổng thể lần lượt thể hiện như sau.   140 0 0 70 0 0 0 156 22 0 54 13 2 2 0 22 4 0 13 3 70 0 0 140 0 0 420 0 54 13 0 156 22 2 2 0 13 3 0 22 4 L L AL L L L L M e L L L L L L                    (3)         T M' T M T e e e e  (4) Với ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ được cho bởi:           0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 1 l m m l T e l m m l                      (5) Phần tử thanh có vết nứt mở Ma trận độ cứng cho phần tử có vết nứt mở được xác địnhdựa trên cơ sở cơ học rạn nứt như sau [3]: 1 Te c  K TC T (6) vớiT được xác định từ điều kiện cân bằng thể hiện ở Hình 2, thay đổi mômen, lực cắt và lực dọc từ nút này sang nút khác. y x a h Mi+1 Pi+1Pi Mi Ni+1Ni Hình 2: Phần tử dầm hai điểm nút có vết nứt 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 T le            T (7) C là ma trận độ mềm của phần tử thanh có vết nứt mở, là tổng số hạng của ma trận độ mềm của phần tử không nứt ( 0 ) ij c và ma trận độ mềm cục bộ thêm (1) ij c vào do vết nứt gây ra, được xác định như sau: 2 ( 0 ) ( 0 ) ij 1 2 3 W ; , 1, 2, 3, P , , i j c i j F P Q P M P P         (8)  2 1 (1) ; , 1, .., 3, , ,1 2 3ij W c i j P F P Q P M P Pi j         (9) trong đó: Pj là lực gây ra chuyển vị, Pilà lực theo hướng chuyển vị; F, Q và M lần lượt là lực dọc, lực cắt và mômen uốn tại nút phải của phần tử.Với W(1) là năng lượng biến dạng thêm vào do vết nứt được cho bởi:   2(1) 2 * 0 1 ( ) ( ) ( ) a I I II W b K F K M K Q da E    (10) và W (0)là năng lượng biến dạng của một phần tử không nứt:   22 (0) 0 2 3 2 2 2 2 2 1 = 2 3 2 e l e e e e M QzN W dz EA EI Q l N l M l MQl EI EA                    (11) trong đó: Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015 72 2 6 (F) ( ) ; ( ) ; I IF I I II II F a M a K aF K M aF bh h h b h Q a K Q aF bh h                         (12)   3 4 2 32 2 2 0.752 2.02( / h) 0.37(1 sin / 2 ) tan 2 cos( / 2 ) 2 0.923 0.199(1 sin / 2 ) tan 2 cos( / 2 ) 1.122 0.561( / h) 0.085( / h) 0.180( / h) 3 2 1 / h IF I II h a a a h F a h a h h a a h F a h a h a a aa a F h h a                                        (13) với E*=E trong trường hợp ứng suất phẳng, E*=E/(1-υ2)cho biến dạng phẳng, (a/h) là độ sâu tương đối của các vết nứt, h là chiều cao của dầm, a là chiều sâu của vết nứt. Mode I do mômen uốn M và lực dọc F, Mode II nhận từ lực cắt Q. Phần tử thanh có vết nứt thở Khi vết nứt thở hiện diện trong kết cấu, có một bằng chứng thực nghiệm rằng các vết nứt mở và đóng dần từ từ dẫn đến một sự thay đổi từ từ trong độ cứng tại mặt cắt ngang của cấu kiện trong quá trình dao động. Ariaei [5] đã đề xuất một phương pháp để xây dựng ma trận độ cứng của phần tử có vết nứt thở sử dụng độ cong của dầm tại vị trí vết nứt, độ cứng tại vị trí vết nứt phụ thuộc vào độ cong của thanh tại vị trí nứt và diễn tả bởi một hàm liên tục theo thời gian dưới dạng sau:   " b e cr e " max 1 d = + - 1+ 2 d       K K K K (14) trong đó: Kb là ma trận độ cứng của phần tử có vết nứt thở, Kcr là ma trận độ cứng của phần tử có vết nứt mở, Ke là ma trận độ cứng của phần tử còn nguyên vẹn, d” là độ cong tức thời của dầm tại vị trí nứt và " maxd là độ cong lớn nhất của dầm tại vị trí nứt trong quá trình dao động. Trong công thức (14), nhận thấy rằng khi " " max d = -d thì độ cứng Kb là lớn nhất và bằng Ke, khi " " max d = d thì độ cứng Kb là nhỏ nhất và bằng với Kcr.Tỷ số độ cong " c " max d d d  phụ thuộc vào chuyển vị tại vị trí nứt tùy vào từng thời điểm t. Vì thế bK cũng là một hàm phụ thuộc vào chuyển vị tại vị trí nứt biến thiên theo t trong suốt quá trình chuyển động của thanh. Trong quá trình dao động, chuyển vị tại vị trí nứt liên tục thay đổi, do đó bK biến thiên liên tục. Độ cứng của dầm có vết nứt thở thay đổi dẫn đến sự thay đổi tần số dao động tự nhiên trong sự dao động. Qua công thức này, nhận thấy rằng độ cứng của dầm có vết nứt thở luôn lớn hơn hoặc bằng độ cứng dầm có vết nứt mở và nhỏ hơn độ cứng dầm nguyên. Bản chất của ứng xử vết nứt thở là độ cứng thay đổi và tùy thuộc vào độ cong tức thời của thanh do vậy độ cứng này cũng phụ thuộc vào chuyển vị tại thời điểm đó của hệ nên ứng xử này có tính chất phi tuyến.Phương trình chuyển động của cả hệ được thiết lập và giải bằng phương pháp tích phân số Newmark trên toàn miền thời gian dựa vào chương trình máy tính được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB. Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015 73 Kết quả số 3.1. Kiểm chứng chƣơng trình tính Bài báo tiến hành khảo sát một số ví dụ số nhằm kiểm tra độ chính xác của chương trình máy tính đã viết. Các kết quả từ chương trình này được so sánh với các kết quả được trích dẫn trong các tài liệu khi có dữ liệu đầu vào giống nhau. Trong ví dụ số kiểm chứng đầu tiên là khảo sát dao động tự nhiên của một dầm tựa đơn có một vết nứt thở tại giữa nhịp, bài toán này đã được giải trong tài liệu [4] và dầm console có một vết nứt thở trong tài liệu [8].Kết quả về tỷ số tần số tự nhiên được khảo sát và thể hiện trongBảng 1, 2 và Hình 3. Bảng 1. Tỷ số tần số tự nhiên của dầm tựa đơn một vết nứt thở a/h Bài báo này Chondros [4] Sai số (%) Nứt mở Nứt thở Nứt mở Nứt thở Nứt mở Nứt thở 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.00% 0.00% 0.1 0.9710 0.9878 0.9865 0.9932 -1.60% -0.60% 0.2 0.9042 0.9708 0.9501 0.9744 -4.80% -0.40% 0.3 0.8247 0.9612 0.8936 0.9438 -7.70% 1.80% 0.4 0.7513 0.9574 0.8182 0.9000 -8.20% 6.00% 0.5 0.6968 0.9566 0.7240 0.8399 -3.80% 12.20% Hình 3. Tỷ số tần số tự nhiên của dầm tựa đơn một vết nứt thở Bảng 2. Tỷ số tần số thứ nhất của dầm console một vết nứt thở a/h Bài báo này Doukaa [8] Sai số (%) Nứt mở Nứt thở Nứt mở Nứt thở Nứt mở Nứt thở 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.00% 0.00% 0.1 0.9942 0.9971 0.9897 0.9948 0.45% 0.23% 0.2 0.9767 0.9913 0.9617 0.9805 1.56% 1.10% Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015 74 0.3 0.9491 0.9840 0.9166 0.9565 3.55% 2.88% 0.4 0.9068 0.9782 0.8536 0.9210 6.23% 6.21% 0.5 0.8457 0.9738 0.7704 0.8703 9.77% 11.89% Từ các kết quả số kiểm chứng trên cho thấy rằng các kết quả từ chương trình máy tính trong bài báo có độ chính xác nhất định, các sai số khá nhỏ khi chiều sâu vết nứt vừa phải và sai số lớn hơn khi chiều sâu vết nứt tăng lên được giải thích là mô hình của tất cả các lời giải chưa thật sự chính xác. Bài báo dùng chương trình máy tính đã viết để khảo sát số tiếp theo. 3.2. Ứng xử động của dầm Trong khảo sát đầu tiên, bài báo khảo sát chuyển vị đứng dầm có nhiều vết nứt thở chịu tải trọng động với số liệu đầu vào dựa trên các số liệu dầm có vết nứt thở từ [6] nhưng khác số lượng vết nứt. Các số liệu E=2.1x10 11 N/m 2 , b=0.5m, h=1.0m, ρ=7855kg/m3, P=200000sin(1.41πt)N. Kết quả chuyển vị đứng tại giữa dầm được xem xét, thể hiện qua Hình 4, Hình 5, Hình 6. Hình 4. Chuyển vị tại giữa dầm tựa đơn Hình 5. Chuyển vị tại giữa dầm tựa có vết nứt thở đơn có hai vết nứt thở Hình 6. Chuyển vị tại giữa dầm tựa đơn có ba vết nứt thở Nhận thấy rằng khi độ sâu vết nứt tăng thì chuyển vị tăng lên, điều này đã xác nhận về định tính của các nghiên cứu trước; với số lượng vết nứt có một hoặc hai thì chuyển vị tại chính giữa dầm thì chênh lệch không nhiều như hình 4 và 5; Tuy nhiên nếu dầm có nhiều vết nứt hơn thì chuyển Thông báo Khoa học và Công nghệ * Số 2-2015 75 vị tăng khá nhiều và sự khác biệt càng rõ hơn khi hệ dao động sau thời gian dài. Qua các kết quả khảo sát thu đƣợc, nhận thấy rằng tần số dao động tự nhiên trong trƣờng hợp vết nứt thở nhỏ hơn trƣờng hợp không nứt nhƣng lại lớn hơn trƣờng hợp có vết nứt mở. Chuyển vị của hệ càng tăng khi số lƣợng vết nứt và chiều sâu tăng. 4. Kết luận Bài báo này đã phân tích ảnh hưởng của số lượng và độ sâu của vết nứt thở đến ứng xử động lực học của kết cấu dầm có nhiều vết nứt thở trên mỗi phần tử thanh chịu tác dụng của tải trọng điều hòa bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Mô hình vết nứt thở tạo ra ứng xử phi tuyến do độ cong của thanh ngay tại vị trí vết nứt được xem xét. Một chương trình máy tính đã được viết để giải quyết bài toán này. Kết quả số đã được thực hiện cho thấy sự ảnh hưởng khá nhạy của số lượng và chiều sâu vết nứt thở đến ứng xử động của dầm và định lượng sơ lược này cũng được cung cấp trong cấp trong bài báo này. Nhận định này có thể có ý nghĩa cho việc chẩn đoán kết cấu mà hiện nay đang quan tâm. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S. Christides and A. D. S. Barr, "One demensional theory of cracked Bernoulli - Euler beams" International Journal of Mechanical Sceince, vol. 26, pp. 639-648, 1984. [2] M. I. Friswell and J. E. T. Penny, "Crack Modeling for Structural Health Monitoring" Structural Health Monitoring, vol. 1, no. 2, pp. 139-148, 2002. [3] M. Kisa and J. Brandon, "The effects of closure of crack on the dynamics of a cracked cantilever beam" Journal of Sound and Vibration, vol. 238, no. 1, pp. 1-18, 2000. [4] T. G. Chondros, A. D. Dimorogonas and J. Yao, "Vibration of a beam with a breathing crack" Journal of Sound and Vibration, vol. 239, no. 1, pp. 57-67, 2001. [5] A. Ariaei, S. Ziaei-Rad and M. Ghayour, "Vibration analysis of beams with open and breathing cracks subjected to moving masses" Journal of Sound and Vibration, vol. 326, pp. 709-724, 2009. [6] K. V. Nguyen, "Comparison studies of open and breathing crack detections of a bem – like bridge subjected to a moving vehicle" Engineering Structures, vol. 51, pp. 306-314, 2013. [7] E. E. Gdoutos, Fracture Mechanics - An Introduction, The Netherlands: Springer, 2005. [8] E. Doukaa and L. J. Hadjileontiadis, "Time–frequency analysis of the free vibration response of a beam with a breathing crack" NDT&E International, vol. 38, pp. 3-10, 2005. [9] S. Mogal, D. Behera and S. Pawar, "Vibration analysis of cracked beam" International Journal of Advanced Engineering Technology, vol. 3, no. 1, pp. 371-377, 2012.