Phát hiện trong mạng radar nhiều vị trí xử lý phân tán khi quyết định từ các đài thành phần tương quan

bố Laplace. Đồng thời so sánh, đánh giá hiệu quả của các quy luật hợp nhất khác nhau tới chất lượng phát hiện của mạng radar NVTXLPT. Keywords- mạng radar nhiều vị trí xử lý phân tán, quyết định tương quan, phân bố Laplace. I. GIỚI THIỆU Bài toán phát hiện luôn là một bài toán quan trọng trong lĩnh vực radar. Để nâng cao khả năng phát hiện mục tiêu các đài radar đơn lẻ được kết nối thành mạng. Với một hệ thống các đài radar nhiều vị trí xử lý phân tán (NVTXLPT), khi hoạt động các đài radar thành phần thường chịu ảnh hưởng của các loại nhiễu khác nhau. Nguyên nhân gây nhiễu có thể do ảnh hưởng của môi trường hoặc việc bố trí các đài radar thành phần trong mạng có vùng quan sát chồng lấn lên nhau [1]. Dưới tác động của nhiễu kết quả phát hiện mục tiêu được đưa về trung tâm hợp nhất FC (Fusion Center) từ các đài radar thành phần trong mạng sẽ không đảm bảo tính chất độc lập thống kê (tương quan). Do vậy, việc hợp nhất kết quả phát hiện tại trung tâm hợp nhất trong trường hợp này là rất khó khăn và phức tạp, đặc biệt là khi số đài radar thành phần trong mạng tăng lên [5]. Nội dung của bài báo này tập trung vào việc khảo sát ảnh hưởng của các quyết định tương quan có phân bố thống kê Laplace từ các đài radar thành phần trong mạng tới chất lượng phát hiện của hệ thống. Đồng thời so sánh đánh giá chất lượng phát hiện của hệ thống khi sử dụng các quy luật hợp nhất khác nhau tại trung tâm hợp nhất. Phần còn lại của bài báo được tổ chức như sau: trong phần II, chúng tôi mô tả mô hình toán học của bài toán phát hiện trong mạng radar NVTXLPT khi các đài radar thành phần trong mạng chịu ảnh hưởng của nhiễu dẫn tới các quyết định có tương quan theo phân bố Laplace. Trong phần III, chúng tôi giải bài toán phát hiện. Phần IV cung cấp các kết quả mô phỏng và đánh giá. Cuối cùng, chúng tôi kết luận bài báo trong phần V. II. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG Xét một mạng radar phân tán có cấu hình song song [1] bao gồm N đài radar thành phần và một trung tâm hợp nhất như hình vẽ 1. Các đài radar trong mạng chịu ảnh hưởng của nhiễu và đồng thời quan sát chung một vùng không gian với phép quan sát iZ tại mỗi đài radar thành phần, trong đó ( ) 1,2,...,iZ i N= { 0 1 i i i n H Z n S H = + díi gi¶ thuyÕt díi gi¶ thuyÕt (1) Ở đây nhiễu in chính là thành phần khiến cho các đài radar trong mạng tương quan với nhau. Giả thiết mối tương quan giữa các đài radar có phân bố thống kê Laplace. S(dB) là tỷ số tín/tạp. Không gian quan sát chung Đài radar 1 Đài radar 2 Đài radar N Trung tâm hợp nhất Z 1 U 0 .. .. Z 2 Z N u1=γ1(z1) u2=γ2(z2) uN=γN(zN) Hình vẽ 1. Mô hình mạng radar nhiều vị trí xử lý phân tán Mỗi đài radar thành phần thực hiện phép kiểm định tỷ số hợp lý (Likelyhoood Ratio Test-LRT) của riêng mình để đưa ra quyết định sơ bộ ( )i i iu Zg= về việc có hay không có mục tiêu { 0 1i u = khi kh«ng ph¸t hiÖn ra môc tiªu khi ph¸t hiÖn cã môc tiªu (2) Các đài radar thành phần sau đó sẽ truyền các quyết định nhị phân iu của riêng mình về trung tâm hợp nhất. Dựa trên các quyết định thành phần ( )1 2, ,..., NU u u u= này tại trung tâm hợp nhất với quy luật hợp nhất cho trước sẽ đưa ra quyết định 24 cuối cùng ( )0 0U Ug= về việc có mục tiêu ( )1 0 1H U = hay không có mục tiêu ( )0 0 0H U = . Giả thiết rằng các đài radar thành phần không liên lạc với nhau và trung tâm hợp nhất không phản hồi lại các đài radar thành phần. Tất cả các đài radar hoạt động tại cùng một ngưỡng t. Tín hiệu quyết định truyền từ các đài radar thành phần về trung tâm hợp nhất được truyền trên các kênh truyền có băng thông hữu hạn và không chịu ảnh hưởng của nhiễu. Tại trung tâm hợp nhất sử dụng các quy luật hợp nhất biết trước, trong khuôn khổ bài báo chúng tôi nghiên cứu 3 quy luật hợp nhất: AND, OR và K/N. III. GIẢI BÀI TOÁN PHÁT HIỆN Do chịu ảnh hưởng của nhiễu, việc các đài radar thành phần cùng quan sát một mục tiêu và đồng thời đưa ra các quyết định dẫn đến các kết quả quan sát tại các đài radar thành phần là tương quan, từ đó các quyết định sơ bộ từ các đài radar thành phần truyền về trung tâm hợp nhất là không bảo đảm tính chất độc lập thống kê [2]. Chú ý rằng trong khuôn khổ bài báo chúng ta chỉ xét mối tương quan tuyến tính. Theo tiêu chuẩn Neyman-Pearson chúng ta cần tính tỷ số hợp lý LRT nhằm đưa ra quyết định cuối cùng về việc có hay không có mục tiêu [5]: 1 0 1 1 2 1 0 1 2 0 ( | ) ( , ,..., | ) ( ) ( | ) ( , ,..., | ) H H N N P H P u u u H P H P u u u H l > < L = = u u u (3) Trong đó l là ngưỡng phát hiện tại trung tâm hợp nhất. Ngưỡng này được xác định bởi yêu cầu về xác suất báo động lầm của hệ thống radar. Để bài toán đỡ phức tạp và có thể tính được bằng các tính toán số học ta giả sử phép quan sát của các đài radar là đối xứng hay mối tương quan giữa các đài radar là giống nhau. Nói cách khác, các đài radar trong mạng có mối tương quan đều và ta có thể biểu diễn mối tương quan đều đó bằng một hệ số tương quan r . Bài toán của chúng ta chính là việc thực hiện kiểm định tỷ số hợp lý ( )L u . Biểu thức (3) có thể được viết lại dưới dạng: 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ... 1 2 1 ... 1 2 0 ... ( , ,..., | ) ... ( ) ... ( , ,..., | ) ... N N N N Z Z Z N Z Z Z u u u Z Z Z N Z Z Z u u u P Z Z Z H d d d P Z Z Z H d d d L = ò ò ò ò ò ò u (4) Trong đó 1 2, ,..., Nu u u trong tích phân ở công thức trên biểu diễn không gian hay vùng lấy tích phân tùy thuộc vào việc 1iu = hay 0iu = . Xét trường hợp mạng gồm 3 đài radar và một trung tâm hợp nhất, khi đó mật độ xác suất liên kết tại các đài radar có ma trận hiệp phương sai dạng: 1 1 1 r r r r r r æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø Λ (5) Một cách tổng quát thì điều kiện của hệ số tương quan sẽ là: 1 1r- £ £ . Khi trung tâm hợp nhất FC sử dụng quy luật hợp nhất AND. Xác suất báo động lầm của trung tâm hợp nhất khi đó được cho bởi công thức: ( )1 2 3 0 0 Pr 1, 1, 1 | ( | ) F t t t P u u u H P H d +¥ +¥ +¥ = = = = = ò ò ò Z Z Z (6) Với mỗi FP cho trước ta xác định được các giá trị tương ứng của t. Từ đó, xác suất phát hiện đúng của hệ thống được tính bởi công thức: ( )1 2 3 1 1 r 1, 1, 1| ( | ) D t t t P P u u u H P H d +¥ +¥ +¥ = = = = = ò ò ò Z Z Z (7) Trong đó 0( | )P Hz Z chính là hàm mật độ xác suất trong phép quan sát của các đài radar dưới giả thuyết 0H - không có mục tiêu và 1( | )P Hz Z chính là hàm mật độ xác suất trong phép quan sát của các đài radar dưới giả thuyết 1H - có mục tiêu. Tương tự như vậy, khi FC sử dụng quy luật hợp nhất OR. Xác suất báo động lầm FP của trung tâm hợp nhất có thể được viết dưới dạng như sau: ( )1 2 3 0 0 1 r 0, 0, 0 | 1 ( | ) F t t t P P u u u H P H d -¥ -¥ -¥ = - = = = = - ò ò ò Z Z Z (8) Và xác suất phát hiện đúng DP được cho bởi công thức: ( ) ( ) 1 2 3 1 1 1 r 0, 0, 0 | =1- | D t t t P P u u u H P H d -¥ -¥ -¥ = - = = = ò ò ò Z Z Z (9) Khi FC sử dụng quy luật hợp nhất K/N, xác suất báo động lầm của trung tâm hợp nhất được cho dưới dạng; 0 03 ( | ) ( | ) t F t t t t t P P H d P H d +¥ +¥ +¥ +¥ +¥ -¥ = ´ + ò ò ò ò ò ò Z ZZ Z Z Z (10) Xác suất phát hiện đúng được cho bởi công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 r 1, 1, 0 | r 1, 0, 1 | r 0, 1, 1 | r 1, 1, 1 | ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) 3 ( | ) D t t t t t t t t t t t t t t t P P u u u H P u u u H P u u u H P u u u H P H d P H d P H d P H d P H +¥ +¥ +¥ +¥ -¥ -¥ +¥ +¥ +¥ +¥ +¥ -¥ +¥ -¥ = = = = + = = = + + = = = + = = = = + + + + = ´ ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 1( | ) t t t d P H d +¥ +¥ +¥ +¥ + ò ò ò ò ZZ Z Z (11) Trong các công thức (6) đến (11) thì 0( | )P Hz Z chính là hàm mật độ xác suất trong phép quan sát của các đài radar dưới giả thiết 0H - không có mục tiêu và 1( | )P Hz Z chính là hàm mật độ xác suất trong phép quan sát của các đài radar dưới giả thuyết 1H - có mục tiêu, và cả hai đều là các hàm số của hệ số tương quan ρ. Để giải bài toán phát hiện, với một giá trị báo động lầm FP cho trước của chúng ta cần tìm được ngưỡng t từ các công thức (6), (8), (10), sau đó với ngưỡng t vừa tìm 25 được chúng ta tính xác suất phát hiện đúng DP trong các công thức (7), (9), (11). Do không thể biểu diễn trực tiếp được hàm mật độ xác suất nhiều chiều của phân bố Laplace với các tham số của phân bố này để có thể đưa vào công thức tính tích phân xác suất nhiều chiều của bài toán phát hiện trong mạng radar, do đó cần thực hiện các biến đổi toán học theo phương pháp đổi biến để có thể biểu diễn được hàm mật độ phân bố xác suất của phân bố Laplace nhiều chiều dưới dạng các tham số của phân bố Chuẩn nhiều chiều. Ta gọi Y là biến ngẫu nhiên có phân bố Laplace [3] nếu Y có thể được biểu diễn dưới dạng: Y Z X= , trong đó các biến ngẫu nhiên độc lập Z có phân bố mũ chuẩn tắc và X là phân bố Chuẩn chuẩn tắc tương ứng. Mở rộng cho trường hợp phân bố nhiều chiều một cách tương tự ta gọi X là vector ngẫu nhiên phân bố Chuẩn N chiều, ký hiệu : ( ) 0,NX Σ và giả sử rằng Z là một biến ngẫu nhiên vô hướng tuân theo phân bố mũ chuẩn tắc, khi đó phân bố Laplace nhiều chiều tổng quát được cho bởi: 1 2Z= +Y μ Σ X (12) Với μ là vector kỳ vọng toán học, ký hiệu phân bố này là ( ) MLY μ, Σ . Ta thấy phân bố này chỉ phụ thuộc vào tham số μ và Σ . Chúng ta quan sát thấy rằng phân bố xác suất có điều kiện của Y theo Z là một phân bố Gauss nhiều chiều có hàm mật độ xác suất: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 | 1 1 | exp 22 N T Z Z zf zzp - = é ù = - - - ê ú ë û Y y y μ Σ y μ (13) Trong đó Σ cũng là ma trận hiệp phương sai của Y. Theo [4] để có được mật độ xác suất biên của Y ta thực hiện việc lấy tích phân công thức (13) qua phân bố của Z. Kết quả ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 21 2 2 2 2 N T N N T K f p - - - - - - = æ ö - - ç ÷ ç ÷ è ø Y y μ Σ y μ y Σ y μ Σ y μ (14) Với ( )mK x là hàm Bessel sửa đổi loại 2 bậc m của x. Nếu chúng ta đặt: ( ) ( ) ( ) 1Tq -= - -y y μ Σ y μ (15) Thì công thức (14) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 N N N K q f y q p - - = æ ö ç ÷ ç ÷ è ø Y y Σ y (16) Với hàm Bessel được tính bởi công thức: ( ) ( ) exp khi 2xm K x x x p » - ®¥ (17) Đặt: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 T T M V - - = - - - - = z μ Σ z μ z μ Σ z μ (18) Ta có thể viết lại công thức (16) dưới dạng sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 2 exp2 2 N N M M f V p p - - =Y y Σ (19) Như vậy chúng ta thấy rằng sau khi biến đổi thì có thể biểu diễn được hàm mật độ xác suất nhiều chiều của phân bố Laplace dưới dạng các tham số đặc trưng của một phân bố Chuẩn nhiều chiều. Trong bài toán cụ thể của chúng ta giả thiết rằng các trạm radar trong mạng chịu ảnh hưởng của nhiễu tương quan có mô hình phân bố thống kê Laplace. Mối tương quan giữa các đài radar là giống nhau (tương quan đều) do vậy các đặc trưng thống kê của phân bố Laplace ở đây sẽ là: kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 2s như nhau. Ma trận tương quan đều của Y sẽ có dạng: ( ) 1 ... 1 ... ; -1 1 ... ... ... ... ... 1 N N Corr r r r r r r r ´ é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û = £ £Y (20) Khi đó ta có: ( ) 2 2 1 ... 1 ... ; -1 1 ... ... ... ... ... 1 N N Corr r r r r s s r r r ´ é ù ê ú ê ú = = £ £ ê ú ê ú ë û Σ Y (21) Và do đó: ( ) ( ) ( ) 1 det 1 1 1 NN Ns r r - = = - + -Σ Σ (22) Từ công thức (19) với các điều kiện 1 2Σ xác định trên và kết hợp với công thức (22) ta có điều kiện: 1 1N r ³ - - (23) Như vậy với biểu diễn hàm mật độ xác suất của phân bố Laplace như công thức (19) có thể tính được xác suất phát hiện đúng cho trường hợp trung tâm hợp nhất FC sử dụng quy luật hợp nhất AND như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 2 3 1 1 1 2 1 2 3 1 2 Pr 1, 1, 1 | ( | ) 2 exp2 2 N D t S t S t S N t S t S t S P u u u H P H d M M dz dz dz V p p +¥ +¥ +¥ - - - +¥ +¥ +¥ - - - - = = = = = é ù - ê ú = ê ú ê ú ë û ò ò ò ò ò ò Z Z Z Σ (24) Trường hợp FC sử dụng quy luật hợp nhất OR: 26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 1 2 exp2 1 2 1 r 0, 0, 0 | =1- | N t S t S t S N D t S t S t S M M dz dz dz V P P u u u H P H d p p - - - - -¥ -¥ -¥ - - - -¥ -¥ -¥ é ù - ê ú = - ê ú ê ú ë û = - = = = ò ò ò ò ò ò Z Σ Z Z (25) Trường hợp FC sử dụng quy luật hợp nhất K/N: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 ( | ) ( | ) 2 exp2 3 2 2 exp2 2 N N t S D t S t S t S t S t S t S N t S t S N t S t S t S P P H d P H d M M dz dz dz V M M dz dz dz V p p p p - +¥ +¥ +¥ +¥ +¥ - - -¥ - - - - +¥ +¥ - - - -¥ +¥ +¥ +¥ - - - - = ´ + é ù - ê ú = ´ ê ú ê ú ë û é ù - ê ú + ê ú ê ú ë û ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò Z ZZ Z Z Z Σ Σ (26) IV. MÔ PHỎNG VÀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ Với DP thu được từ (24), (25), (26) chúng ta thực hiện khảo sát chất lượng phát hiện của hệ thống phụ thuộc vào mức tín hiệu S(dB), vào hệ số tương quan ρ, xác suất báo động lầm FAP . Các kết quả khảo sát bằng cách mô phỏng và tính toán có thể được mở rộng cho tới N đài, tuy nhiên trong khuôn khổ bài báo chúng tôi chỉ thực hiện khảo sát với N =3 radar. Các bước tính toán và mô phỏng được cho như sau: Bắt đầu Bước 1: Nhập các tham số đầu vào Nhập giá trị của xác suất báo động lầm theo yêu cầu AFP . Nhập số trạm radar có trong mạng N. Nhập hệ số tương quan đều giữa các đài radar ρ. Nhập phương sai σ2 của phân bố. Nhập giá trị SNR. Bước 2: Kiểm tra các điều kiện của các tham số đầu vào. Điều kiện với hệ số tương quan đều ρ là: 1 1N r - ³ - . Bước 3:Tính ma trận hiệp phương sai của phân bố Laplace: ( ) 2 2 1 ... 1 ... 1 ; 1 ... ... ... ... 1 ... 1 N N Corr N r r r r s s r r r ´ é ù ê ú - ê ú = = £ £ ê ú - ê ú ë û Σ Y Bước 4: Giải phương trình ( ) AF FP t P= . Đối với mỗi một quy luật hợp nhất AND, OR hay K/N thì phương trình này sẽ khác nhau. Kết quả của việc giải phương trình này ta tìm được 0t t= , đây chính là ngưỡng thỏa mãn AFP theo yêu cầu. Bước 5: Tính 0 D t t S P = - . Tính xác xuất phát hiện PD khi 0 t t S= - . Kết thúc. Hình vẽ lưu đồ thuật toán để giải bài toán phát hiện trong mạng radar nhiều vị trí phân tán trong trường hợp các đài radar thành phần có tương quan tuân theo mô hình phân bố Laplace được cho như hình vẽ 2. Bắt đầu Kết thúc Đúng AFP Sai ( ) 0 Gi¶i pt P T×m t F FAt P= 0 TÝnh PD t t S= - NhËp N, S, , , PFAr s TÝnh Σ 1 1N r ³ - - Hình vẽ 2. Lưu đồ thuật toán tính xác suất phát hiện khi hệ thống chịu ảnh hưởng của nhiễu tương quan phân bố Laplace. Các kết quả mô phỏng thu được cho các trường hợp hệ thống gồm 3 đài radar thành phần khi FC sử dụng quy luật hợp nhất AND được cho như hình vẽ 3. Hình vẽ 3. Quy luật hợp nhất AND, số đài N=3. 27 Khi trung tâm hợp nhất FC sử dụng quy luật hợp nhất OR kết quả được cho trong hình vẽ 4. Hình vẽ 4. Quy luật hợp nhất OR, số đài N=3 Khi trung tâm hợp nhất FC sử dụng quy luật hợp nhất K/N kết quả được cho trong hình vẽ 5. Hỉnh vẽ 5. Quy luật hợp nhất K/N (K=2, N=3) Nhận xét: Khi các đài radar trong mạng có tương quan theo phân bố thống kê Laplace và với quy luật hợp nhất bất kỳ (AND, OR hay K/N) ở trung tâm hợp nhất khi hệ số tương quan càng lớn, chất lượng phát hiện càng giảm. Với mối tương quan giữa các đài radar thành phần có phân bố Laplace thì trung tâm xử lý sử dụng quy luật hợp nhất OR ít bị ảnh hưởng bởi mối tương quan giữa các đài radar nhất. Từ đây chúng tôi đưa ra khuyến nghị: trong trường hợp các đài radar thành phần có tương quan phân bố Laplace thì trung tâm hợp nhất nên sử dụng quy luật hợp nhất OR. V. KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã giải bài toán phát hiện trong mạng radar nhiều vị trí xử lý phân tán khi các đài radar thành phần trong mạng có mối tương quan tuân theo phân bố thống kê Laplace bằng cách tính trực tiếp các tích phân xác suất thông qua việc biểu diễn phân bố Laplace nhiều chiều bằng các tham số của một phân bố Chuẩn. Khi mối tương quan giữa các đài radar thành phần trong mạng radar NVTXLPT càng lớn thì chất lượng phát hiện càng giảm. Quy luật hợp nhất OR tỏ ra ít chịu ảnh hưởng bởi mối tương quan giữa các đài radar thành phần trong mạng hơn các quy luật AND và quy luật K/N. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Varshney P.K, “Distributed detection and data fusion”, Signal processing and digital filtering, Vol. I, Springer-Verlag Inc, New York, 1997. [2] Aalo V. and Viswanathan R, “On d istributed detection with correlated sensors: Two examples”, IEEE Trans. Aerospace Elect.Syst.25,pp.414- 421. May 1989. [3] Wang D., Zhang C., and Zhao X, “Mult ivariate Laplace Filter: a Heavy - Tailed Model for Target T racking” 19th International Conference on Pattern Recognition, Tampa, FL, USA, 2009. [4] Eltoft T., Kim T., and Lee T. W,"On the Multivariate Laplace Distribution", IEEE Signal Processing Letters. 13(5), 2006. [5] Xiang Ming, “Some new results on distributed Neyman-Pearson detection with correlated sensor observations”, 10th International Conference on Information Fusion 2007, IEEE, Quebec, Que., Canada., 2017. 28