Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHÓA V : 2004 – 2008 Chuyên ngành : PPDH Toán học PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC SVTH : HUỲNH CHÍ THIỆN GVHD : NGUYỄN THỌ SÂM Long Xuyên, tháng 05 năm 2008 LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn gửi đến BGH, Ban Chủ Nhiệm Khoa Sư Phạm ĐHAG đã tạo điều kiện cho em được nghiên cứu khoá luận Tốt Nghiệp này. Để thực hiện khoá luận với đề tài “Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy giải bài tập hình học” tôi đã được sự hướng dẫn tận tình, tận tâm giúp đỡ của thầy Nguyễn Thọ Sâm. Em xin chân thành cảm ơn thầy đã hướng dẫn em thực hiện tốt đề tài này. Em xin cảm ơn quý thầy cô trường Đại Học An Giang đã trang bị cho em những kiến thức trong các năm học đại học, từ đó giúp em có đủ điều kiện để thực hiện và hoàn thành khoá luận Tốt Nghiệp. Những kiến thức ấy sẽ còn giúp ích cho em rất nhiều trong công tác giảng dạy cũng như việc học tập và nghiên cứu sau này. Nhân đây em cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô ở Trường THCS Mạc Đỉnh Chi và Trường THPT Bình Khánh đã nhiệt tình giúp đỡ tạo mọi điều kiện cho em dạy thực nghiệm cũng như sẵn lòng trao đổi giúp cho em có thêm những thông tin cần thiết về công tác giảng dạy theo phương pháp mới của trường hiện nay. Cảm ơn các em học sinh ở các lớp dạy thực nghiệm đã tích cực học tập, hợp tác vui vẻ để có những tiết học thú vị và thành công ! Cuối cùng, con xin gửi lời cảm ơn đến ba mẹ, những người thân trong gia đình đã ủng hộ, động viện con không ngừng. Và tôi chân thành cảm ơn những người bạn đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong thời gian qua để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luân. Long xuyên,…tháng 05 năm 2008 SVTH MỤC LỤC Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................2 2. Đối tượng nghiên cứu ......................................................................................3 3. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................3 4. Nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................................3 5. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................3 Phần II KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH ...............................6 THÔNG QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN 1.1 Làm cho học sinh nắm vững tri thức và có kỹ ............................................6 năng thực hành toán học 1.1.1 Các dạng khác nhau của tri thức dạy học .............................................6 1.1.2 Chất lượng của tri thức dạy học............................................................7 1.1.3 Từ tri thức đến kỹ năng.........................................................................7 1.2 Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.......................................................8 1.2.1 Rèn luyện các thao tác tư duy ...............................................................8 1.2.2 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác...................................16 2. CÁC TRÌNH ĐỘ TƯ DUY CỦA HỌC SINH ...............................................17 TRONG HỌC HÌNH HỌC 3. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH .........................................................19 3.1 Lược đồ chứng minh..................................................................................19 3.2 Các phương pháp chứng minh ...................................................................20 3.2.1 Chứng minh trực tiếp ...........................................................................20 3.2.2 Chứng minh gián tiếp...........................................................................23 3.2.3 Chứng minh quy nạp............................................................................23 4. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC .........................................25 4.1 Tìm hiểu đề toán ........................................................................................25 4.2 Tìm tòi lời giải của bài toán........................................................................26 4.2.1 Hãy nghĩ đến những bài toán liên quan ...............................................26 4.2.2 Tìm cách vẽ thêm phần tử phụ.............................................................28 4.2.3 Tìm tòi lời giải bằng cách xét một số ..................................................30 trường hợp đặc biệt hay tương tự 4.2.4 Tìm tòi theo sơ đồ “phân tích đi lên” hoặc sơ đồ.................................31 hoặc “phân tích đi xuống” 4.3 Trình bày lời giải của bài toán ....................................................................35 4.4 Nhìn lại bài toán và lời giải.........................................................................35 Chương 2 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC 1. Thực trạng của việc dạy và học hình học hiện nay..........................................36 2. Các phương pháp suy luận trong giải toán chứng minh hình học ...................36 2.1 Phương pháp suy luận diễn dịch ................................................................36 2.2 Những suy luận có lí thường gặp trong giải toán chứng minh hình học . 41 2. 2.1 Dự đoán nhờ phép suy luận không hoàn toàn......................................41 2.2.2 Dự đoán nhờ tương tự ..........................................................................43 3. Khai thác bài toán chứng minh hình học phù hợp với trình độ học sinh........46 Chương 3 THỰC NGHIỆM Mục đích thực nghiệm ......................................................................................54 Giả thuyết thực nghiệm.....................................................................................54 Hình thức thực nghiệm .....................................................................................54 A – THỰC NGHIỆM DÀNH CHO GIÁO VIÊN..................................................54 1. Mục đích thực nghiệm ..................................................................................54 2. Hình thức tổ chức thực nghiệm......................................................................55 3. Phân tích hệ thống câu hỏi .............................................................................55 3.1 Nội dung câu hỏi ......................................................................................55 3.2 Phân tích hệ thống câu hỏi .......................................................................57 B – THỰC NGHIỆM DÀNH CHO HỌC SINH...................................................57 1. Mục đích của việc thực nghiệm .....................................................................57 2. Biện pháp thực nghiệm ..................................................................................58 3. Nội dung thực nghiệm ..................................................................................58 4. Kết quả thực nghiệm......................................................................................63 4.1 Phần giảng dạy........................................................................................63 4.2 Kết quả bài kiểm tra................................................................................63 PHẦN III KẾT LUẬN III.1 Kết quả nghiên cứu .....................................................................................67 III.2 Những hạn chế của đề tài............................................................................67 III.3 Hướng nghiên cứu tiếp tục..........................................................................67 PHỤ LỤC..................................................................................................................68 MỘT SỐ GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM.....................................................................71 GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 1 Phần I PHẦN MỞ ĐẦU GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 2 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học là một ngành của toán học, nó nghiên cứu hình dạng, kích thước và vị trí của các hình trong không gian. Bộ môn hình học ở trường phổ thông có hai đặc trưng cơ bản : thứ nhất nó có tính lôgíc chặt chẽ kết hợp với biểu tượng trực quan sinh động, thứ hai là mối liên hệ giữa hình học thuần túy với hình học thực tế, trong đó hình học thuần túy lấy hình học thực tế làm điểm xuất phát để trừu tượng hóa đồng thời kiểm nghiệm tính đúng đắn của nó. Đó là con đường lôgíc đến thực tiễn. Việc dạy học hình học ở trường phổ thông phải thể hiện được hai đặc trưng trên. Muốn vậy phải làm cho học sinh nắm được hệ thống kiến thức cơ bản vững chắc, đồng thời có kĩ năng vận dụng vào thực hành toán học và thực tiễn. Các bài tập hình học ở trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng vào thực tiễn. Việc giải các bài tập hình học là điều kiện tốt để thực hiện các mục đích của dạy học toán ở trường phổ thông, được thể hiện thông qua các chức năng của bài tập toán học là : chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển và chức năng kiểm tra. Các chức năng trên được thể hiện tiềm ẩn trong hệ thống các bài tập thể hiện ở sách giáo khoa. Có ba loại bài tập là: • Loại toán chứng minh với hai phần chính là giả thiết và kết luận. Giải toán thuộc loại này là tìm ra bằng suy diễn, con đường từ giả thiết đến kết luận. Với loại toán chứng minh thì nổi hơn cả là tính lôgíc. • Loại toán tìm tòi, chẳng hạn tìm tập hợp điểm (quỹ tích), dựng hình, tính toán,... với ba phần chính là : ẩn, dữ kiện, điều kiện ràng buộc ẩn với dữ kiện. Giải toán thuộc loại này là tìm ra ẩn thỏa mãn điều kiện ràng buộc ẩn với các dữ kiện. Loại toán này vừa thể hiện tính lôgíc, vừa thể hiện tính trừu tượng. • Loại toán có nội dung thực tiễn. Với loại toán này, khi qua giai đoạn toán học hóa sẽ trở về một trong hai loại nêu trên. Loại này nổi bật bởi tính thực tiễn. Bài tập tổng hợp bao gồm ba loại nêu trên. Việc giải bài tâp hình học sẽ thể hiện rõ tính lôgíc, tính trừu tượng và tính thực tiễn; muốn chú trọng khâu nào ta lựa chọn bài tập theo mục đích đó; muốn rèn luyện chung thì ta lựa chọn bài tập tổng hợp là thích hợp nhất. Các bài toán chứng minh trong hình học có một tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy logic cho học sinh, nó vừa giúp học sinh nắm vững kiến thức vừa giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh… Bằng kinh nghiệm của bản thân, trải qua quá trình học tập ở trường phổ thông, nhất là khi được đào tạo ở khoa sư phạm Trường Đại học An Giang để trở thành một giáo viên dạy Toán ở trường Trung học phổ thông tôi lại nhận thức rõ hơn tầm quan trọng trong việc phát triển năng lực chứng minh toán học cho học sinh thông qua việc giải các bài tập về chứng minh….. Vì vậy, tôi lựa chọn đề tài “ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH THÔNG QUA DẠY GIẢI BÀI TẨP HÌNH HỌC CHO HỌC SINH” như một lời hứa của bản thân tôi rằng phải chú trọng đến việc hình thành và rèn luyện cho học GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 3 sinh năng lực chứng minh toán học trong việc dạy học toán sau này ở trường phổ thông. Năng lực chứng minh toán học như đã nói ở trên có một phạm vi rất rộng. Do hạn chế về mặt thời gian cũng như năng lực cá nhân nên trong đề tài này tôi chỉ nghiên cứu việc rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh ở trường phổ thông thông qua giải lớp bài tập về chứng minh trong hình học. Phạm vi nghiên cứu ở đây bao gồm học sinh bậc Trung học Cơ sở và lớp 10 , lớp 11 bậc Trung học Phổ thông. 2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU • Nghiên cứu nội dung hình học Sách giáo khoa môn Toán bậc Trung học và lựa chọn một hệ thống bài tập phù hợp với nội dung của đề tài. • Tình hình học tập của học sinh về chủ đề trên ở trung học cơ sở và phổ thông trung học. 3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu để đề ra được các biện pháp chủ yếu và có tính khả thi trong việc phát triển năng lực chứng minh cho học sinh qua giải bài tập hình học. 4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU • Nghiên cứu chương trình Sách giáo khoa, sách bài tập từ lớp 6 đến lớp 11, phân môn hình học (vì lớp 12 chưa thay đổi sách và chương trình toán) để tìm hiểu nội dung và hệ thống bài tập • Tìm hiểu quá trình học tập môn hình học của học sinh hiện nay từ lớp 6 đến lớp 11 và khả năng giải các bài tập liên quan đến chứng minh. Trao đổi với giáo viên dạy toán ở trường phổ thông về vấn đề này. • Tổ chức dạy thực nghiệm một số tiết hình học có nội dung liên quan đến chủ đề đã lựa chọn. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Nghiên cứu lí luận + Nghiên cứu tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán, liên quan đến dạy học chứng minh và chứng minh định lí. + Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách giáo viên và các tài liệu có liên quan đến vấn đề này. • Phương pháp điều tra phỏng vấn + Phát phiếu điều tra nhằm tìm hiểu thực trạng về khả năng chứng minh một định lí hay chứng minh một bài toán Hình học ở học sinh. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 4 • Phương pháp quan sát + Dự giờ giáo viên dạy Toán nhằm tìm hiểu việc tổ chức dạy học phương pháp chứng minh cho học sinh như thế nào. • Phương pháp thực nghiệm + Tổ chức dạy thực nghiệm một số tiết ở Trung học Cơ sở và Trung học Phổ thông. + Thu thập kết quả khảo sát bài kiểm tra của học sinh sau mỗi tiết dạy thực nghiệm, thống kê kết quả đạt được, phân tích để bước đầu đánh giá hiệu quả của phương pháp dạy học phát triển năng lực chứng minh cho học sinh. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 5 Phần II KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 6 Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN Một trong những nhiệm vụ của dạy học toán ở trường phổ thông là làm cho học sinh nắm vững tri thức và có kĩ năng thực hành toán học, đồng thời phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh thông qua học tập môn toán. 1.1 Làm cho học sinh nắm vững tri thức và có kỹ năng thực hành toán học 1.1.1 Các dạng khác nhau của tri thức dạy học Tri thức sự vật trong môn toán là tri thức về một khái niệm (khái niệm về một đối tượng hoặc về một quan hệ toán học) hoặc về một sự kiện toán học, được trình bày trực diện trong nội dung mỗi định nghĩa, định lí. Tri thức phương pháp luôn gắn liền với tri thức sự vật, bám vào tri thức sự vật, nói lên những phương pháp nhằm đạt được những tri thức sự vật hoặc những phương pháp do tri thức sự vật mang lại. Có hai loại tri thức phương pháp: Tri thức phương pháp thuộc loại tìm đoán và tri thức phương pháp thuộc loại thuật toán. Ví dụ: Khi dạy định lí “Tổng số đo ba góc của tam giác bằng 0180 ” ta đã dạy cho học sinh một tri thức sự vật, đó chính là nội dung của định lí này. Có một tri thức phương pháp thuộc loại tìm đoán, đó là việc vẽ tia Ax sao cho ·xAB , ·CBA so le trong và do đó bằng nhau, vẽ tia Ay sao cho ·yAC , ·BCA cũng ở vị trí so le trong và do đó chúng bằng nhau. Việc vẽ thêm hai tia phụ nói trên đã gợi ý cho việc chứng minh định lí. Đưa thêm yếu tố phụ (vẽ thêm đường phụ) là một tri thức phương pháp trong giải toán chứng minh hình học. Học sinh học được phương pháp này khi học định lí tương ứng . Tri thức giá trị liên quan đến những mệnh đề đánh giá, bình luận nhân học một tri thức sự vật. Chẳng hạn lời đánh giá sau đây về định lí ba đường vuông góc có thể xem là một tri thức giá trị : “Trước đây (khi chưa biết định lí này), mỗi khi phải chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian ta phải chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường kia. Bây giờ nhờ định lí ba đường vuông góc, trong nhiều trường hợp ta có một phương pháp mới chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian ngắn gọn, thuận tiện hơn”. Tri thức chuẩn liên quan đến những qui định, giúp cho việc học tập và giao lưu tri thức. Ví dụ, chuẩn mực về trình bày giả thiết, kết luận, chứng minh cho một bài toán, các cách nói khác nhau để diễn tả mệnh đề “ “nếu A thì B” là mệnh đề đúng”, bảng GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 7 chỉ dẫn các kí hiệu dùng cho một cuốn sách…. là những điều cần phải biết trong học tập môn toán, những tri thức này thuộc dạng tri thức chuẩn. 1.1.2 Chất lượng của tri thức dạy học Tri thức giáo khoa là kết quả của phép biến đổi sư phạm từ tri thức khoa học, phép biến đổi này được hội đồng bộ môn, các nhà nghiên cứu lí luận dạy học, các tác giả sách giáo khoa thực hiện. Phép biến đổi này đảm bảo tính cơ bản, hiện đại, sát với thực tiễn Việt Nam của tri thức giáo khoa. Khi dạy học trên lớp để biến tri thức giáo khoa thành tri thức dạy học người giáo viên cần phải khai thác sách giáo khoa và các sách tham khảo để bảo đảm các tính chất nói trên của tri thức dạy học. Ngoài ra, người giáo viên còn phải bảo đảm tính hệ thống, tính vững chắc của tri thức dạy học. Tính hệ thống của tri thức dạy học: Nhận thức của con người luôn vận động và phát triển vì vậy một tri thức khoa học bao giờ cũng là kết quả của những tri thức nào đó đã có trước và đồng thời cũng là nguyên nhân ra đời của những tri thức khác tiếp sau. Khi dạy học một hệ thống các tri thức nào đó, cần thiết lập được vị trí của từng tri thức cụ thể trong toàn bộ hệ thống của nó. Để làm việc này, tùy theo nội dung cần hệ thống hóa, ta sử dụng hợp lí những sơ đồ hệ thống hóa tri thức bằng bảng, bằng sơ đồ mạng, bằng biểu đồ Ven…Một tri thức, đứng trong một hệ thống tri thức liên quan với nó sẽ dễ dàng được huy động khi cần thiết. Tính vững chắc của tri thức dạy học: Nắm tri thức một cách vững chắc bao gồm việc hiểu nội dung tri thức thông qua hình thức biểu đạt của nó. Ví dụ : Các đẳng thức sin , os = , tan , cotAB AC AB ACc BC BC AC AB α α α α= = = là hình thức biểu đạt các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Cần thông qua các đẳng thức này làm cho học sinh thấy sự tương ứng giữa các góc nhọn với các tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng. Nhờ những hàm này người ta có thể chuyển việc so sánh các góc nhọn về việc so sánh các tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng. Những hàm này thiết lập quan hệ về lượng giữa các yếu tố về cạnh và về góc trong tam giác. Nắm tri thức một cách vững chắc bao gồm cả việc ghi nhớ tri thức. Trong mỗi giai đoạn học tập của mình, học sinh phải nắm được những tri thức xác định để sẵn sàng huy động chúng vào việc xây dựng tri thức mới. Vấn đề là phải biết ghi nhớ những gì ? (cái cơ bản, cái phục vụ cho từng giai đoạn nhất định) và biết ghi nhớ như thế nào ? (phối hợp ghi nhớ máy móc và ghi nhớ ý nghĩa). Nắm vững tri thức một cách vững chắc còn bao gồm cả việc không ngừng tự sắp xếp lại, tự bổ sung các tri thức mới, tri thức cũ góp phần xây dựng tri thức mới, song tri thức cũ so với tri thức mới bao giờ cũng mang tính địa phương, bộ phận. Những tri thức cũ nếu không được sắp xếp lại sẽ gây ra những sai lầm trong những tình huống nhất định. 1.1.3 Từ tri thức đến kỹ năng Theo tâm lí học, kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu ta tạm thời tách tri thức và GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 8 kĩ năng để xem xét riêng từng cái thì : Tri thức thuộc phạm vi nhận thức thuộc về khả năng “biết” còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”. Tri thức và kĩ năng thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để tiến hành các thao tác, độ thành thạo của các thao tác là kĩ năng, các thao tác này được thực hiện dưới sự kiểm tra của tri thức. Con đường đi từ chỗ có tri thức “biết” đến chỗ có tri thức tương ứng “biết làm” là con đường luyện tập, nội dung của sự luyện tập này rất phong phú, song một nội dung có tính cốt yếu, đó là việc luyện tập các thao tác nhận dạng và thể hiện sau khi học một định nghĩa khái niệm, một định lí hay một phương pháp. Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có các đặc trưng của khái niệm đó không. Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tượng có các đặc trưng của khái niệm đó. Nhận dạng một định lí là phát hiện xem một tình huống cho trước có ăn khớp với định lí đó không. Thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lí đó. Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có phù hợp với phương pháp đó không. Thể hiện một phương pháp là tạo một dãy tình huống phù hợp với các bước của phương pháp đó. Kĩ năng vận dụng tri thức toán học được thể hiện trên những bình diện khác nhau + Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, giải các bài tập toán học. + Kĩ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các bộ môn khác. + Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống. 1.2 Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh Điều quan trọng nhất đối với người học là phải biết xây dựng tri thức mới xuất phát từ những tri thức ban đầu. Cần các thao tác tư duy, đó là khả năng suy đoán và tưởng tượng, là tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, những yếu tố cấu thành năng lực trí tuệ, những yếu tố cần phải có để học tập môn toán và cũng là những yếu tố mà việc học tập môn toán có thể mang đến cho người học. 1.2.1 Rèn luyện các thao tác tư duy 1. Phân tích và tổng hợp a. Khái niệm Phân tích là sự suy nghĩ tạm thời tách một hệ thống những đối tượng (hoặc những tính chất, quan hệ) thành những bộ phận để việc xem xét những bộ phận này được đơn giản hơn. Tổng hợp là sự suy nghĩ nhằm liên kết những kết quả đã xem xét được ở từng bộ phận của một hệ thống để việc xem xét cả hệ thống được toàn diện hơn. Việc học toán, làm toán luôn gắn liền với thao tác tư duy phân tích và tổng hợp. Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu một hình lăng trụ có các mặt bên là hình chữ nhật thì cạnh bên vuông góc với đáy. Ta có thể thực hiện cả phân tích và tổng hợp, quá trình này được mô tả như sau: • Phân tích GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 9 A B D C A ' B ' D ' C ' + Tách mặt bên A’D’DA của hình lăng trụ ra khỏi các mặt khác, thấy nó là hình chữ nhật ta có: AA’⊥AD (1) + Tách mặt bên A’B’BA của hình lăng trụ ra khỏi các mặt khác, thấy nó là hình chữ nhật ta có: AA’⊥AB (2) • Tổng hợp + Liên kết hai kết quả (1) và (2) ta có AA’⊥ (ABCD). Ở bước này ta nhìn A’A với tư cách là cạnh bên của hình lăng trụ, khác với hai bước trước, nhìn A’A với tư cách là cạnh của hình chữ nhật ta có điều phải chứng minh . b. Tác dụng trong dạy học toán Từ ví dụ đơn giản trên, ta thấy rằng phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất: đó là quá trình nhận thức. Do đó trong dạy học toán, phân tích và tổng hợp có tác dụng to lớn như sau. + Nhờ phân tích mà học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lí… + Từ những thuộc tính riêng lẻ của một số các đối tượng nào đó, học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác, đầy đủ một khái niệm, một định lí... hay một vấn đề có tính chất toán học nào đó. Đây là hai thao tác cơ bản được luôn luôn sử dụng để tiến hành những thao tác khác. • Khi dạy khái niệm: Tập cho học sinh phân tích các thuộc tính bản chất của mỗi khái niệm để từ đó tổng hợp lại để hiểu sâu sắc hơn khái niệm đó, đồng thời giúp học sinh biết phân biệt khái niệm này với các khái niệm khác hoặc để tìm ra mối liên hệ giữa các khái niệm gần gũi nhau. Ví dụ 2: – Phân tích các thuộc tính bản chất của khái niệm “ Tia phân giác của góc” để hiểu sâu sắc hơn khái niệm này ( Toán 6) như sau: • Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu): + Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy + xOz zOy= • Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu) xOz zOy xOz zOy xOy ⎧ =⎪⎨ + =⎪⎩ GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 10 • Oz là tia phân giác của góc xOy nếu (và chỉ nếu) 2 xOyxOz zOy= = – Phân tích để thấy sự khác nhau và giống nhau của hai khái niệm “chóp đều và chóp có đáy là đa giác đều” Chóp có đáy là đa giác đều Chóp đều + Hình chóp + Hình chóp + Đáy là một đa giác đều + Các cạnh bên bằng nhau – Phân tích để phân biệt (do đó hiểu sâu sắc hơn) hai khái niệm “ Hình vuông” và “Hình chữ nhật” Hình vuông Hình chữ nhật + Tứ giác + Tứ giác + Hai cạnh liên tiếp bằng nhau + Hai cặp cạnh đối bằng nhau + Có một góc vuông + Có một góc vuông • Khi dạy học định lí Khi dạy định lí phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết luận, phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt sự giống nhau và khác nhau giữa các định lí gần gũi nhau. Ví dụ 3: Phân tích để thấy sự giống nhau và khác nhau giữa các định lí nhận biết một hình bình hành: có hai cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một,có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường….. Ví dụ 4: Định lí “ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó”. - Phân tích giả thiết và kết luận: + Định lí cho biết điều gì ? Ta phải chứng minh cái gì ? Hãy vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận của định lí? Giả thiết Kết luận α γ⊥ β γ⊥ d γ⊥ dα β∩ = - Phân tích các bước nhỏ của quá trình chứng minh + Hiểu rõ giả thiết: vaø aaα γ α γ⊥ ⇒ ∃ ⊂ ⊥ b vaø bβ γ β γ⊥ ⇒ ∃ ⊂ ⊥ d a b GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 11 + Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết vừa phân tích được với yêu cầu của kết luận. Phân tích thành các trường hợp sau : hay b chöùng minh xong ; / / ; / / a d d a d b d a b da b a a d γγ γ α ≡ ≡ ⇒ ⎫⎫≠ ≠ ⇒ ⎪⎬ ⇒ ⊥⊥ ⊥ ⎬⎭ ⎪⊂ ⇒ ⎭ o o - Phân tích, tổng hợp còn có thể được hiểu theo nghĩa sau: • Phân tích là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết (giả thiết) với cái cần tìm, cần chứng minh (kết luận) theo chiều đi từ cái cần tìm, cần chứng minh đến cái đã biết (đi từ KẾT LUẬN đến GIẢ THIẾT) Sơ đồ của phép phân tích là: 1 2 1...n nY X X X X X−⇐ ⇐ ⇐ ⇐ ⇐ ⇐ . Nghĩa là: Muốn chứng minh Y, ta phải chứng minh Xn Muốn chứng minh Xn, ta phải chứng minh Xn-1 .......................................................................... Muốn chứng minh X1, ta phải chứng minh X • Tổng hợp là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết với cái cần tìm (hoặc điều phải chứng minh) theo chiều đi từ cái đã biết đến cái cần tìm ( đi từ GIẢ THIẾT đến KẾT LUẬN) Sơ đồ của phép tổng hợp là: 1 2 ... nX X X X Y⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ . Nghĩa là: Từ X, ta suy ra X1, từ X1 ta suy ra X2 ,..., từ Xn ta suy ra Y Ví dụ 5: Định lí : Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy . GT : a ⊂ ( )α , b ⊂ ( )α , a cắt b. d ⊥ a , d ⊥ b. KL : d ⊥ ( )α Có thể hướng dẫn học sinh chứng minh bằng phương pháp phân tích như sau: + Muốn chứng minh d vuông góc với ( )α , ta chứng minh điều gì ? ( câu trả lời mong muốn : ta chứng minh d vuông góc với một đường thẳng c bất kì nằm trong ( )α ). b a c d GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 12 + Muốn chứng minh d vuông góc với một đường thẳng c bất kì nằm trong ( )α , ta chứng minh điều gì ? ( câu trả lời mong muốn : ta chứng minh véctơ chỉ phương u r của d và véctơ chỉ phương p ur của c vuông góc với nhau, hay là u r . p ur = 0 ). + Muốn chứng minh u r . p ur = 0, ta chứng minh điều gì ? ( câu trả lời mong muốn : véctơ p ur biểu thị tuyến tính được qua 2 véctơ chỉ phương , nm uur r của hai đường thẳng a và b ). + Bài toán đã cho biết điều gì ? ( đã cho : a ⊂ ( )α , b ⊂ ( )α , a cắt b và d ⊥ a , d ⊥ b hay ur .muur = 0, ur .nur = 0 ). + Từ giả thiết ta có điều gì ? -- a cắt b nên , nm uur r không cùng phương, suy ra tồn tại cặp số x, y duy nhất mà : p ur = x.m uur + y.n ur . -- p ur .u r = u r .( x.m uur + y.n ur ) = 0 Dựa vào hệ thống câu hỏi nói trên học sinh có thể tự mình chứng minh được định lí như SGK hình học 11. • Khi dạy học sinh giải bài tập toán, cần phải + Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào? Phân tích cái đã cho và cái cần tìm… + Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau. Sau khi phân tích được một số ý thì tổng hợp lại để xem ta có thu được điều gì bổ ích không? Còn thiếu yếu tố nào nữa? + Tách bài toán đã cho ( thường là khó hơn ) thành nhiều bài toán thành phần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và dễ hơn, cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả. Ví dụ 6 : Cho hình vuông ABCD, dựng các hình vuông ABEF và ADGH nằm phía ngoài hình vuông ABCD. Chứng minh rằng AC = HF. GT : ABCD laø hình vuoâng ABEF laø hình vuoâng ADGH la hình vuoâng ìïïïïíïïïïî KL : AC = HF 1. Phân tích • Muốn chứng minh AC = HF ta chứng minh D ABC = D HAF ( Y ⇐X1 ) EF H G BA D C GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 13 • Muốn chứng minh D ABC = D HAF ta chứng minh : · ·ABC = HAF , AF = AB , AH = BC ( X1⇐ X ) • Bài toán đã cho: ABCD, ABEF, ADGH là các hình vuông. ( X là GT ) 2. Lời giải bài toán Xét D ABC và D HAF ta có : · ·ABC = HAF (gt) AF = AB (gt) AH = BC (gt) üïïïïï Þýïïïïïþ D ABC = D HAF Þ AC = HF Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A (-3 ; 2), B ( -4 ; 5), C (-1 ; 3). Chứng minh rằng các điểm A’ (2 ; 3), B’ (5 ; 4), C’ (3 ; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm O góc - 090 . Hướng dẫn chứng minh + Nếu gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên Ox và Oy. Gọi M’ N’ lần lượt là hình chiếu của A’ trên Oy và Ox. + Muốn chứng minh điểm A’ là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay - 090 ta phải chứng minh điều gì ? Tại sao ? 2. So sánh a. So sánh là xác định sự giống ._.nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng. Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếu chúng với nhau rồi tổng hợp lại để xem chỗ giống nhau và khác nhau. b. Tác dụng trong dạy học toán + Nhờ so sánh mà học sinh hiểu sâu, hiểu đúng và đầy đủ những thuộc tính của các đối tượng được phản ánh trong một khái niệm, một định lí… + Nhờ so sánh mà học sinh thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng. + Giúp cho việc tiến hành thao tác tương tự sau này. Ví dụ 8: - So sánh ( định nghĩa) các khái niệm hình vuông và hình chữ nhật. - So sánh ( định nghĩa) khái niệm hai tam giác bằng nhau với khái niệm hai tam giác đồng dạng. So sánh các trường hợp (định lí) bằng nhau của hai tam giác với các trường hợp đồng dạng của hai tam giác. 3. Khái quát hóa và đặc biệt hóa a. Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, hiện tượng, sự kiện. Muốn khái quát hóa phải so sánh nhiều đối tượng…với nhau để rút ra cái O A A' M N N' M' GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 14 chung, nhưng cũng có khi chỉ từ một đối tượng…ta cũng có thể khái quát hóa để có một tính chất hay một phương pháp. Đặc biệt hóa là xét một trường hợp cụ thể nằm trong cái chung. b. Trong việc dạy học môn toán ở trường phổ thông, giáo viên có nhiều cơ hội để tổ chức cho học sinh tập khái quát hóa. Chẳng hạn, bước đầu giáo viên tập cho học sinh khái quát hóa đối với sự kiện đơn giản nhất. Ví dụ 9: Để có định lí về tổng số đo các góc trong tam giác, ta có thể tiến hành như sau: + Đầu tiên hãy yêu cầu mỗi học sinh vẽ một tam giác vào giấy, dùng thước đo góc đo các góc của tam giác đó và tính tổng của chúng. + Cho học sinh nêu kết quả, giáo viên thống kê các kết quả lên bảng. Kết quả mong muốn thu được là tần suất tổng các góc của tam giác bằng 1800 là phổ biến. Từ đó có thể nêu một giả thuyết tổng quát “ Trong một tam giác, tổng các góc bằng 180o” Cần lưu ý là khái quát hóa chỉ cho ta dự đoán, mệnh đề rút ra bằng khái quát hóa có thể đúng hoặc sai, nó sẽ phải được chứng minh hoặc bác bỏ. Việc bác bỏ một dự đoán khái quát có liên quan đến việc thử xem dự đoán khái quát đó có đúng không trong các trường hợp riêng đơn giản. Việc làm này gọi là đặc biệt hóa. c. Khái quát hóa và đặc biệt hóa có tác dụng to lớn trong dạy học toán. Nó giúp cho học sinh có một cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong nhiều cái riêng lẻ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn. Đây là một con đường phát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết. Lưu ý rằng: các giả thuyết rút ra được từ khái quát hóa có thể đúng và có thể sai. Vì vậy phải chứng minh. Ví dụ 10: Bài toán “Đếm số mặt m, số đỉnh đ và số cạnh c của một hình chóp, hình lăng trụ. Sau mỗi lần đếm trên một hình lại tính số trị của biểu thức m + đ - c. Có nhận xét gì về số trị của biểu thức ấy? ” Đây là một dạng bài toán mang tính chất khái quát hóa để đi đến công thức về đặc số Euler của hình đa diện: m + đ = c + 2 Ví dụ 11: Từ bài toán “ Tập hợp những điểm M sao cho + =2 2 2MA MB k là một đường tròn” ta có hai bài toán khái quát như sau: 2 2 2 2 2. . , 0m MA n MB k m n+ = + ≠ 2 2 2 21 2 ..... nMA MA MA k+ + + = 4. Trừu tượng hóa và cụ thể hóa: a. Khi khái quát hóa ta đã tách cái chung trong các đối tượng, sự kiện, hiện tượng đồng thời ta đã gạt bỏ những thuộc tính riêng của chúng, mà chính những thuộc tính này làm cho chúng phân biệt với nhau. Đây là quá trình trừu tượng hóa tức là nói đến cái chung nhất mà không gán cho một đối tượng cụ thể nào. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 15 Nói cách khác: Trừu tượng hóa là quá trình gạt bỏ những thuộc tính riêng của các đối tượng, chỉ giữ lại những thuộc tính chung nhất của các đối tượng đang được nghiên cứu. Kết quả của quá trình này là ta nhận được khái niệm về các đối tượng đó Cụ thể hóa là tìm một ví dụ minh họa cho cái chung đó. Tức là ta tìm một cái riêng mà cái riêng này thỏa mãn các tính chất (điều kiện) của cái chung đã xác định. b. Trong quá trình dạy học môn toán ở trường phổ thông, chúng ta có những cơ hội để cho học sinh tập trừu tượng hóa. Ví dụ 12: Hình thành khái niệm hình vuông • Hình thành biểu tượng hình vuông + Cho học sinh ( lớp 1) quan sát một tấm bìa có hình dạng “hình vuông”, sau khi giới thiệu “tấm bìa này có hình dạng hình vuông, gọi tắt là hình vuông” rồi cất đi khi đó trong trí nhớ của các em sẽ lưu lại hình ảnh một “hình vuông” cụ thể với đầy đủ các yếu tố về chất liệu, màu sắc, kích thước và vị trí đặt “hình vuông”. + Bây giờ lại cho học sinh quan sát cùng một lúc nhiều “hình vuông” khác nhau về chất liệu, màu sắc, kích thước và vị trí đặt. Khi cất đi, trong trí óc các em đã có biểu tượng về “hình vuông”, không phụ thuộc vào chất liệu, màu sắc, kích thước và vị trí đặt. Lúc này nếu ta cho học sinh lựa chọn “hình vuông” trong các đồ chơi gồm nhiều loại “tứ giác”, làm bằng các chất liệu khác nhau, màu sắc, kích thước khác nhau thì các em sẽ nhặt ra được đúng “hình vuông” như mong muốn. • Mô tả trực quan khái niệm hình vuông + Sau khi học sinh đã được học thêm các khái niệm về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc (lớp 3), giáo viên vẽ hình vuông trên bảng, học sinh vẽ trên giấy. Sau đó bằng thực nghiệm học sinh mô tả được bằng lời : “hình vuông là hình có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông”. Đây là một quá trình trừu tượng hóa : từ các mô hình bằng bìa, bằng gỗ với các màu sắc, kích thước khác nhau ta đã thay bởi hình vẽ tượng trưng hình vuông với các thuộc tính cơ bản là : tứ giác có các cạnh bằng nhau, các góc vuông. • Định nghĩa khái niệm bằng lôgíc chặt chẽ. + Lên THCS, khái niệm hình vuông được định nghĩa một cách chặt chẽ về mặt lôgíc : “Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau”. Đây lại là bước trừu tượng hóa cao hơn, từ sự trừu tượng hóa ở bước trên. c. Trừu tượng hóa và cụ thể hóa có tác dụng to lớn trong dạy học toán. Nhờ trừu tượng hóa mà ta có được các khái niệm toán học và các tính chất của chúng. Trừu tượng hóa giúp cho học sinh có một cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong nhiều cái riêng lẻ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn. 5. Tương tự hóa, cụ thể hóa: Tương tự hóa là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau giữa hai đối tượng để từ những sự kiện đã biết đối với đối tượng này dự đoán những sự kiện tương ứng đối với đối tượng kia. Để tiến hành tương tự hóa bao giờ người ta cũng bắt đầu từ sự so sánh, tức là tìm ra chỗ giống nhau, khác nhau của hai đối tượng mang ra so sánh, song sự so sánh không bao giờ dừng ở đó, sự so sánh phải dẫn đến dự đoán những sự kiện mới. Ở GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 16 đây trong hai đối tượng mang ra so sánh, có một đối tượng mà ta đã biết tường tận, còn đối tượng kia thì ta đang đặt vấn đề tìm hiểu nó. Vì vậy mục đích so sánh là dẫn đến những dự đoán về những sự kiện sẽ xảy ra, đối với đối tượng mà ta đang nghiên cứu. Như vậy so sánh là điểm bắt đầu của tương tự hóa và tương tự hóa là mục đích của sự so sánh. Tương tự hóa giúp ta dự đoán những sự kiện chưa biết để từ những sự kiện đã biết tương ứng với nó trong phép tương tự này. Trong quá trình dạy học các nội dung toán học, có thể vận dụng các cơ hội thích hợp để cho học sinh dự đoán bằng tương tự. Chẳng hạn các trường hợp đồng dạng của tam giác tương tự như các trường hợp bằng nhau của tam giác vậy. Cũng như khái quát hóa, tương tự hóa chỉ cho những dự đoán, dự đoán này sẽ được chứng minh hoặc bị bác bỏ. Tương tự còn có tác dụng tập cho học sinh nhìn các đối tượng, hiện tượng dưới nhiều góc độ khác nhau, phát hiện chúng có những bộ phận, tính chất giống nhau, từ đó suy ra những sự giống nhau khác có thể có. Ví dụ 13: Tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian ở chỗ chúng được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản (đường thẳng trong mặt phẳng và mặt phẳng trong không gian). Từ đó, tam giác vuông tương tự với tứ diện vuông (tứ diện có một góc tam diện là vuông). Trong tam giác vuông có định lí Pitago: “Bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông”. Trong tứ diện vuông cũng có một định lí tương tự: “Bình phương diện tích “mặt huyền” bằng tổng các bình phương diện tích các mặt vuông”. 1.2.2 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác 1. Nội dung: Tư duy và ngôn ngữ gắn chặt với nhau. Tư duy phải được thể hiện qua ngôn ngữ đối với toán là các thuật ngữ, ký hiệu….toán học. Chẳng hạn các thuật ngữ: đạo hàm, hàm số, hình vuông…, các kí hiệu toán học: //, ,⊥ ∩ , các kí hiệu lôgíc , , ∀ ⇔ ∃ . Mỗi một thuật ngữ, kí hiệu đều chứa đựng một nội dung xác định, do vậy viết đúng, hiểu đúng và diễn đạt đúng là một yêu cầu quan trọng trong dạy học toán. Nội dung của vấn đề này bao gồm: + Nắm vững các thuật ngữ toán học, các kí hiệu toán học, kí hiệu lôgíc và sử dụng đúng mà không được nhầm lẫn, ví dụ “giá trị cực đại” và “giá trị lớn nhất” của hàm số trong một đoạn nào đó. + Phát triển khả năng định nghĩa các khái niệm: các cách định nghĩa, cấu trúc của định nghĩa. + Phát triển khả năng suy luận chính xác, chặt chẽ, có đầy đủ căn cứ… 2. Biện pháp: a. Không chỉ học thuộc lòng các câu chữ mà phải hiểu rõ và đúng nội dung, phát biểu chính xác bằng lời và bằng các kí hiệu thích hợp. Ví dụ 14: GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 17 + Có ít nhất một, kí hiệu:∃ ; Với mọi, kí hiệu ∀ + a dương, kí hiệu a>0; a không âm, kí hiệu a≥0 + a ⊥ b : đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b + AB uuur , , ABC ABC∆ ... là các kí hiệu quen thuộc trong hình học b. Tập cho học sinh sử dụng đúng đắn các phép nối lôgíc cùng với các kí hiệu và ngôn ngữ tương ứng. Ví dụ 15: Kí hiệu A ⇒ B, diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường là: + Nếu A thì B; Có A thì Có B + Điều kiện cần để có A là có B; B là điều kiện cần để có A + A là điều kiện đủ để có B c. Nắm vững các cấu trúc của định nghĩa, định lí. Biết phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau (nếu được) nhưng phải gọn và đúng. Biết “phiên dịch” từ dạng ngôn ngữ thông thường các mệnh đề toán học sang kí hiệu, thuật ngữ toán học. Ví dụ 16: – Biết phát biểu định nghĩa hình bình hành dưới nhiều cách khác nhau. – Định lí : “ Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”. Cho học sinh vẽ hình rồi dựa vào đó chuyển từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học như sau : b ab' M P d. Tập cho học sinh biết và sử dụng đúng các quy tắc chứng minh (tổng hợp, phản chứng, quy nạp), các mệnh đề thuận, đảo. e. Uốn nắn kịp thời các sai lầm, tùy tiện của học sinh khi phát biểu hay trình bày lời giải. 2. CÁC TRÌNH ĐỘ TƯ DUY CỦA HỌC SINH TRONG HỌC HÌNH HỌC Trong việc dạy hình học, theo Van Hiele việc tiếp thu của học sinh phải trải qua năm cấp độ. GT : a và b chéo nhau. KL : ∃ ! (P)⊃ a và b // (P) GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 18 Tư duy về mặt hình dạng không gian của học sinh trải qua năm trình độ và sự chuyển biến từ trình độ này qua các trình độ khác xảy ra dưới ảnh hưởng của việc dạy học chứ không phải tự phát theo sự phát triển sinh lí của trẻ em. 2.1 Cấp độ 1: Hình dung Đặc trưng của cấp độ này là học sinh tri giác các hình như là một “tổng thể” và sự phân biệt hình này với hình kia bằng dạng của chúng. Ở trình độ này, nếu ta cho học sinh tiếp xúc với một số hình như hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, hình tam giác, hình tròn,... và nói rõ tên gọi tương ứng của các hình đó, thì sau một số lần lặp đi lặp lại, học sinh có thể nhận biết hình bằng “trực giác”, phân biệt được hình này với hình kia cũng nhờ vào “trực giác”, nhưng chưa có thể thấy được mối liên hệ giữa các hình đó. Bằng quan sát, đo đạc, gấp, cắt giấy,... học sinh có thể nhận biết một số tính chất đơn giản của các hình. Việc dạy hình học ở trình độ này có thể áp dụng cho học sinh tiểu học. 2.2 Cấp độ 2: Phân tích Học sinh đã biết phân tích những mối quan hệ giữa hình dạng các hình hoặc giữa các yếu tố của từng hình, qua đó có thể nhận biết tính chất của các hình bằng quan sát, đo đạc, gấp, cắt giấy,... bằng con đường quy nạp, nhờ thực nghiệm. Việc dạy hình học ở trình độ này có thể áp dụng cho học sinh lớp đầu cấp THCS ( lớp 6, lớp 7). 2.3 Cấp độ 3: Suy diễn không hình thức Đặc trưng của cấp độ này là học sinh biết thiết lập các quan hệ giữa các yếu tố của các hình hoặc từng hình, rút ra các tính chất của hình bằng con đường lôgíc. Các em đã có thể hiểu sự phân loại, sắp xếp các hình theo một dấu hiệu nhất định, có thể từ tính chất này tìm ra tính chất khác của hình bằng con đường suy diễn lôgíc. Việc dạy học ở trình độ này bắt đầu từ lớp 7 đến lớp 9 THCS. 2.4 Cấp độ 4: Suy diễn Ở cấp độ này, học sinh có thể nhận biết được cấu tạo lôgíc của hình học theo phương pháp tiên đề, bằng trừu tượng hóa các hình ảnh của một loại thực tế khách quan nhất định. Học sinh có thể hiểu bản chất của khái niệm cơ bản, tiên đề, định lí, các quy tắc và các phương pháp suy luận để xây dựng hình học. Trình độ này ứng với học sinh THPT. 2.5 Cấp độ 5: Chặt chẽ Đặc trưng của cấp độ này là học sinh có thể so sánh các hệ hình học khác nhau, có thể làm việc trong một hệ hình học mà không cần các mô hình cụ thể. Việc xây dựng GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 19 hình học, với các đối tượng và tương quan cơ bản hoàn toàn trừu tượng, kết quả của sự khái quát hóa nhiều loại thực tiễn khác nhau: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng bây giờ tuy vẫn mang tên gọi như trước, nhưng mang nhiều nội dung thực tế khác nhau. Chẳng hạn: Điểm có thể là điểm như ta hiểu ở trình độ thứ tư, nhưng cũng có thể là số, là màu sắc, là âm thanh, là một trạng thái nào đấy,... Chỉ ở những năm cuối của chương trình đại học mới có thể thực hiện được trình độ tư duy hòan toàn trừu tượng này về hình dạng không gian. Tóm lại, mức độ tư duy về hình dạng không gian của học sinh THCS tương đương trình độ thứ ba, cho nên một trong những yêu cầu quan trọng của việc dạy hình học là rèn luyện tư duy lôgíc cho học sinh. Những điều kiện tiên quyết để có tư duy lôgíc về hình học là học sinh phải nắm vững hệ thống các kiến thức cơ bản về hình học (khái niệm cơ bản, đối tượng, tương quan cơ bản, khái niệm dẫn xuất thể hiện qua các định nghĩa, các tiên đề và các định lí, công thức quan trọng). Do vậy, trước khi đề cập đến vấn đề rèn luyện tư duy lôgíc và năng lực chứng minh cho học sinh thì công việc đầu tiên rất quan trọng là phải bàn đến tư duy lĩnh hội, ghi nhớ hệ thống kiến thức cơ bản của chương trình, SGK. Biết vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn, vào các bài tập, vì rằng không nắm được kiến thức, không vận dụng được kiến thức thì không thể suy luận diễn dịch từ những điều đã biết đến những điều mới chưa biết. 3. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 3.1 Lược đồ chứng minh 3.1.1 Nếu từ các tiền đề 1 2, ,..., nA A A . Ta rút ra kết luận B bằng cách vận dụng các quy tắc suy luận lùi thì ta bảo B là kết luận lôgíc của các tiên đề 1 2, ,..., nA A A và suy luận đó là suy luận hợp lôgíc. Nếu các tiên đề 1 2, ,..., nA A A đều đúng thì ta gọi kết luận B là một kết luận chứng minh và suy luận đó gọi là một phép chứng minh. 3.1.2 Mọi phép chứng minh lôgíc đều gồm có 3 bộ phận a) Luận đề : là mệnh đề cần phải chứng minh Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh cái gì ?” Ta còn gọi luận đề là kết luận b) Luận cứ : là những mệnh đề đã được thừa nhận (định nghĩa, tiên đề, định lí) được đưa ra làm tiên đề trong mỗi suy luận. Nó trả lời cho câu hỏi : “Chứng minh dựa vào cái gì ?”. Trong mỗi bài toán chứng minh, luận cứ còn là các dữ kiện, các quan hệ đã cho trong bài toán. c) Luận chứng : là những quy tắc suy luận lôgíc. Nó trả lời cho câu hỏi : “chứng minh như thế nào ?”, “theo những qui tắc suy luận nào ?”. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 20 3.2 Các phương pháp chứng minh 3.2.1. Chứng minh trực tiếp: Chứng minh trực tiếp là đưa ra luận cứ, dùng qui tắc suy luận để rút ra luận đề. Cơ sở của chứng minh trực tiếp là các qui tắc suy luận kết luận (Modus ponens) và suy luận bắc cầu. Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A ⇒ B là đúng ( A là giả thiết, B là kết luận), ta lập các mệnh đề mới A1, A2 ,..., An gọi là các mệnh đề trung gian và chứng minh các mệnh đề sau đây đúng: A ⇒ A1, A1⇒ A2,..., An ⇒ B. Tức là ta đã vận dụng liên tiếp các quy tắc kết luận sau: 1 1 ,A A A A ⇒ , 1 1 2 2 , ,,..., n nA A A A A B A B ⇒ ⇒ . Theo qui tắc bắc cầu, ta có: ( ) ( ) ( )1 1 2, ,..., nA A A A A B B ⇒ ⇒ ⇒ . Ví dụ 17: Chứng minh định lí: Với mọi tam giác ABC ta có: sin sin sin a b c A B C = = HH B C A CB A Sau khi cho học sinh vẽ hình, ghi GT, KL như trên, định lí được chứng minh như sau: Chứng minh: Kẻ đường cao AH.Ta có AH BC suy ra . ( ) 0 hay . . .AH BC AH AC AB AH AC AH AB⊥ = − = =uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Töùc laø: . . os . . osAH AC c HAC AH AB c HAB= vì cos sin vaø cos sin neân AC.sinC=AB.sinBHAC C HAB B= = Vaäy bsinC=csinB Vì sinB vaø sinC ñeàu khaùc 0 neân sin sin b c B C = GT: ∆ABC có BC = a, AC = b, AB = c KL: sin sin sin a b c A B C = = GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 21 Ví dụ 18 : ( tr. 9, sách bài tập hh 11) Cho hai điểm phân biệt B, C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn. Lời giải Cách 1 : GT : B, C Î (O), A là điểm di động trên (O) KL : Chứng minh rằng khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì trực tâm H di chuyển trên một đường tròn . Gọi H là trực tâm tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại D. Vì · 0BCD = 90 nên DC // AH . Tương tự AD // CH Do tứ giác ADCH là hình bình hành nên AH = = 2DC OM uuur uuur uuur Vì OM uuur không đổi nên H là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vecto 2 OM uuur . Do đó khi điểm A di động trên đường tròn (O) thì H di động trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vecto 2 OM uuur . Cách 2 : Gọi I, H’ theo thứ tự là giao điểm của tia AH với BC và đường tròn (O). Ta có : · ·BAH = HCB ( tương ứng vuông góc ) · ·BHA = BCH' ( cùng chắn một cung ) Vậy D CHH’ cân tại C Suy ra H và H’ đối xứng với nhau qua đường thẳng BC . Khi A chạy trên đường tròn (O) thì H’ cũng chạy trên đường tròn (O). Do đó H phải chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng qua đường thẳng BC . Ví dụ 19: (tr. 23, Sách bài tập hh 11) Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF . a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 060 . I H O B C A H ' D H M O B C A GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 22 b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC, chứng minh tam giác BMN đều . Lời giải a) Gọi 060 BQ là phép quay tâm B góc quay 060 . 060 BQ biến các điểm E, C lần lượt thành các điểm A, F nên nó biến đường thẳng EC thành đường thẳng AF . Do đó AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 060 . b) 060 BQ biến trung điểm N của EC thành trung điểm M của AF nên BN = BM và ( BN , BM ) = 060 Do đó D BMN đều . Ví dụ 20 : (tr. 35, Sách bài tập hh 11) Cho hai hình chữ nhật có tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài bằng 1 2 . Chứng minh rằng luôn có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia . Lời giải Giả sử ta có hai hình chữ nhật ABCD, ELNM và BC LN 1= = AB EL 2 Phép tịnh tiến AETuuur biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật EFGH. Phép quay Q E a với a = ( EF , EL ) biến hình chữ nhật EFGH thành hình chữ nhật EIJK. Vì EK EM 1= = EI EL 2 Nên EK EI EJ = = EM EL EN Từ đó suy ra phép vị tự KVE với EN ENK = = EK AD sẽ biến hình chữ nhật EIJK thành hình chữ nhật ELNM. Vậy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép biến hình AETuuur , Q E a và KVE sẽ biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật ELNM . Phép chứng minh trực tiếp ưu điểm nổi bật là trình bày gọn gàng, chặt chẽ, có hệ thống. Do vậy phép chứng minh này thường được sử dụng để trình bày phép chứng minh một định lí trong sách giáo khoa hoặc trình bày bài giải một bài toán nói chung J NM K G H C D A B E I L F N M F E A CB GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 23 và lời giải một bài toán chứng minh trong hình học nói riêng. Tuy nhiên, về phương diện sư phạm phép chứng minh này thiếu tự nhiên, vì học sinh không hiểu lí do vì sao (tìm đâu ra, làm sao phải tìm) lại bắt đầu từ 1A mà trong ví dụ 17 là vẽ đường cao AH để có AH BC⊥ . 3.2.2 Chứng minh gián tiếp Chứng minh gián tiếp một mệnh đề là chứng minh một mệnh đề khác sai. Cơ sở của phép chứng minh này là quy tắc suy luận phản chứng. Giả sử ta phải chứng minh mệnh đề A ⇒ B là đúng , A là giả thiết, là mệnh đề đã cho là đúng, ta phải chứng minh B đúng. Giả thiết phản chứng là B , ta suy ra A , điều này mâu thuẫn với giả thiết A hoặc mâu thuẫn với một mệnh đề đúng đã biết. Vậy B đúng (theo luật mâu thuẫn). Ví dụ 21: Chứng minh định lí: Nếu mặt phẳng (α ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng ( β ) thì (α ) song song với ( β ). GT: a⊂ ( )α , b ( )α⊂ , a ∩ b = A a // ( )β , b // ( )β . KL: ( )α // ( )β Sau khi cho học sinh vẽ hình ghi giả thiết, kết luận ta chứng minh bằng phản chứng như sau: Giả sử ( )α , ( )β không song song (B ) ( )α cắt ( )β theo giao tuyến c. Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / b// / / vaø / / a a c a b c b c c β β α α α β α β ⎫ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⊃ ⇒ ⊃ ⇒⎬ ⎬⎪ ⎪∩ = ∩ =⎪ ⎪⎭ ⎭ Như vậy từ A ta kẻ được hai đường thẳng a, b cùng song song với c. Mâu thuẫn với định lí đã biết là: “Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.” Vậy ( )α và ( )β phải song song với nhau. 3.2.3 Chứng minh quy nạp Phép chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, gọi tắt là chứng minh quy nạp cũng là một phương pháp chứng minh thường gặp. Nội dung của phương pháp này như sau: ba c A GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 24 Giả sử phải chứng minh một mệnh đề P(n) nào đó đúng với mọi số tự nhiên n ( P(n) là hàm mệnh đề về số tự nhiên ), với n≥ a, trong đó a là số tự nhiên cho trước. Ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n = a: P(a)=1 Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên n = k (k≥ a) nào đó. Tức là P(k) = 1. Từ đó ta chứng minh nó đúng với n = k+1. Nghĩa là: ( ), ( ) ( 1) ( 1) P k P k P k P k ⇒ + + Bước 3: Kết luận P(n) = 1 với mọi n≥ a Cơ sở lí luận của phương pháp này là: Theo bước 1: Mệnh đề đúng với n = a,tức P(a) = 1 Theo bước 2: Từ P(a) = 1 suy ra P(a+1) = 1 Lại vì P(a+1) = 1 suy ra P(a+2) = 1 Lại vì P(a+2) = 1 suy ra P(a+3) = 1 ................................................................. Nghĩa là P(n) = 1,∀ n≥ a. Ví dụ 22: ( Định lí con nhím) Cho đa giác đều n cạnh 1 2... nA A A . Với mỗi cạnh 1k kA A + ta lấy một ka r như sau: + Véctơ ka r vuông góc với đoạn thẳng 1k kA A + , điểm đầu của ka r nằm trên cạnh 1k kA A + . + Véctơ ka r luôn hướng ra phía ngoài của đa giác. + Độ dài của véctơ ka r bằng 1k kA A + (xem điểm n+1 1A )A≡ Chứng minh rằng tổng n véctơ ka r là bằng 0 r .(Các véctơ ia ur được gọi là các “lông nhím”) Lời giải: Trước hết ta chứng minh cho trường hợp n=3. Xét tam giác A1A2A3 ta có : 1 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 2 3 2 1 3 2 1 3 3 2 3 3 2 3 ( ). ( ). ( )( ) . . . os(a ; ) . os(a ; ). a a a A A a a A A a a A A A A a A A a A A a A A c A A a A A c A A + + = + = + − = − = − ur uur uur uuuur uur uur uuuuur uur uur uuuur uuuur uur uuuur uur uuuur uur uur uuuur uur uur uuuur a a A A A a GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 25 Theo giả thiết 2 2 3a A A= uur và 3 1 3a A A= uur . Dễ thấy 2 1 3 3 2 3os(a ; ) os(a ; )c A A c A A= uur uuuur uur uuuur Suy ra : 1 2 3 1 2( ). 0a a a A A+ + = ur uur uur uuuur . Do đó, véctơ 1 2 3a a a+ + ur uur uur vuông góc với đường thẳng 2 3A A . Vậy 1 2 3a a a+ + ur uur uur = 0 r . Bây giờ, giả sử rằng định lí đúng với đa giác n cạnh (n≥3) ta chứng minh nó cũng đúng cho đa giác n+1 cạnh. Xét đa giác n+1 cạnh 1 2 1.... nA A A + với các véctơ “lông nhím” là 1 2 1, ,...., na a a + ur uur uuur (hình vẽ). Vẽ đoạn thẳng 1 nA A ta chia đa giác đã cho thành hai phần,một là tam giác 1 1n nA A A + và n-giác 1 2 .... nA A A . Gọi a r là véctơ “lông nhím” của tam giác 1 1n nA A A + ứng với cạnh 1 nA A . Khi đó hiển nhiên là véctơ “lông nhím” của đa giác 1 2 ... nA A A ứng với cạnh 1 nA A là -a r . Vì định lí đúng cho trường hợp tam giác và n-giác nên ta có: 1 0n na a a++ + = uur uuur r r và 1 2 1... 0na a a a−+ + + − = ur uur uuur r r Cộng hai đẳng thức trên ta có : 1 2 1.... 0na a a ++ + + = ur uur uuur r . 4. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC Quá trình giải một bài toán thường phải trải qua các bước sau đây: Tìm hiểu đề toán, tìm tòi lời giải của bài toán, trình bày lời giải của bài toán, nhìn lại bài toán. Sau đây ta bàn thêm về các bước nói trên. 4.1 Tìm hiểu đề toán Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó. Vì thế cần giúp học sinh tìm hiểu đề và cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú cho các em. a a A A A A GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 26 1) Để hiểu rõ đề toán, trước hết cần phải nắm vững mọi khái niệm đề cập đến trong bài toán. Cần phải nhớ lại định nghĩa các khái niệm đó hoặc có thể định nghĩa khái niệm đó bằng những cách khác như thế nào? Ví dụ 23 : Trong đề toán người ta cho G là trọng tâm ∆ABC. Khi đó ít nhất học sinh phải biết được một số định nghĩa tương đương của khái niệm trọng tâm tam giác. Chẳng hạn: + G là giao điểm ba đường trung tuyến. + G là giao điểm hai đường trung tuyến bất kì. + G nằm trên một đường trung tuyến và chia nó theo tỉ số 2:1 tính từ đỉnh. + G là điểm sao cho 0GA GB GC+ + =uuur uuur uuur r . + G là điểm mà với điểm O bất kì thì 1 ( ). 3 OG OA OB OC= + +uuur uuur uuur uuur 2) Phải nắm được giả thiết và kết luận của bài toán. Nghĩa là bài toán cho những gì ? Ta phải chứng minh cái gì? Ta phải tìm cái gì? 3) Dựa vào bài toán đã cho, vẽ hình mô tả nội dung bài toán. Hình vẽ sẽ giúp ta hiểu được đề toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn. Hình vẽ còn có tác dụng gợi ý cho việc tìm ra cách giải và giúp phát triển trí tưởng tượng không gian. Nếu cần thiết phải vẽ thêm hình phụ cho bài toán Khi vẽ hình cho bài toán cần lưu ý: • Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt vì như thế dễ gây ngộ nhận. • Nên thể hiện những điều đã cho và những điều cần tìm trên hình vẽ. • Để làm nổi bật các đường, các hình, trong hình vẽ có thể vẽ nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt hoặc tô màu khác nhau. 4) Dựa vào hình vẽ, ghi giả thiết, kết luận của bài toán. Việc ghi giả thiết, kết luận giúp ta nắm vững hơn nội dung bài toán, chuẩn bị tốt hơn cho bước tiếp theo. 4.2 Tìm tòi lời giải của bài toán Việc tìm tòi lời giải là một bước quan trọng bậc nhất trong hoạt động giải toán. Điều cơ bản của bước này là biết định hướng đúng để tìm ra được nhanh chóng hướng giải bài toán. Sau đây là một vài lời khuyên cho việc tìm tòi lời giải một bài toán hình học. 4.2.1 Hãy nghĩ đến những bài toán liên quan: Những bài toán liên quan có thể là những bài toán tương tự với bài toán đã cho hoặc là bài toán tổng quát hơn bài toán đã cho, hoặc là trường hợp đặc biệt của bài GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 27 toán đã cho, thậm chí là bài tóan na ná bài toán đã cho,…Nghĩ đến những bài toán liên quan là để tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải các bài toán đó. Ví dụ 24 : Cho tam giác nhọn ABC, xác định một tam giác MPQ có chu vi bé nhất, nội tiếp tam giác ABC (có nghĩa là các đỉnh M, P, Q của tam giác MPQ lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC). Bài toán nói trên gợi cho ta nhớ đến bài toán quen thuộc sau đây ở lớp 8 như sau: Bài toán liên quan: Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm A và B lần lượt nằm trên hai tia Ox và Oy sao cho chu vi tam giác MAB bé nhất. Bài toán này được giải như sau: Gọi M’, M’’ là các điểm đối xứng với điểm M lần lượt qua đường thẳng Ox và Oy. Gọi A là giao điểm của đoạn thẳng M’M’’ với tia Ox và B là giao điểm của đoạn thẳng M’M’’ với tia Oy . Từ bài toán đó và cách giải của nó ta tìm thấy lời giải của bài toán ban đầu như sau: Giả sử MPQ là tam giác nội tiếp tam giác ABC. Gọi M’, M’’ lần lượt là các điểm đối xứng với M lần lượt qua các đường thẳng AC và AB. Khi đó ta có: MP + PQ + QM = M’P + PQ + QM’’ Ta có chu vi ∆MAB bằng: MA + AB + BM = M’A + AB + BM’’ = M’M’’ Với hai điểm A’ và B’ khác A, B trên Ox và Oy, ta có chu vi ∆MA’B’ bằng: MA’ + A’B’ + B’M = M’A’+ A’B’ + B’M’’ Đường gấp khúc M’A’B’M’’ có độ dài lớn hơn độ dài đoạn thẳng M’M’’. Vậy các điểm A,._.6 thì chúng tôi muốn tìm hiểu trung thực các đánh giá của giáo viên đối với học sinh của mình trong việc trình bày lời giải và các biện pháp giáo viên đưa ra để khắc phục. B – THỰC NGHIỆM DÀNH CHO HỌC SINH 1. Mục đích của việc thực nghiệm • Thăm dò khả năng tiếp thu của học sinh, khả năng nắm và vận dụng lí thuyết để áp dụng vào việc giải các bài toán chứng minh hình học. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 58 • Nhằm kiểm tra hiệu quả của một số bài dạy đã được thiết kế theo định hướng đổi mới PPDH nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh nói chung và phát huy năng lực chứng minh cho học sinh nói riêng. • Nhằm đúc kết cho bản thân một số kinh nghiệm về thiết kế bài dạy theo mục tiêu phát triển năng lực chứng minh cho học sinh. 2. Biện pháp thực nghiệm • Tiến hành giảng dạy theo kế hoạch bài dạy đã được thiết kế theo định hướng đổi mới PPDH nhằm phát triển năng lực chứng minh cho học sinh ở một số lớp sau đây : 1. Lớp 7A2, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Tia Phân Giác Của Góc” 2. Lớp 7A5, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Tiên Đề Ơclit Về Đường Thẳng Song Song”. 3. Lớp 8A1, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Hai Tam Giác Đồng Dạng”. 4. Lớp 8A2, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Hai Tam Giác Đồng Dạng”. 5. Lớp 9A3, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Tứ Giác Nội Tiếp” 6. Lớp 9A1, trường THCS Mạc Đỉnh Chi, với bài dạy “Tứ Giác Nội Tiếp”. 7. Lớp 10C1, trường THPT Bình Khánh, với bài dạy “Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác” ( tiết 1: Định lý hàm số cosin). 8. Lớp 10C2, trường THPT Bình Khánh, với bài dạy “Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác” (tiết 2: Định lý hàm số sin và công thức tính diện tích tam giác). 9. Lớp 11A8, trường THPT Chu Văn An, với bài dạy “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”. 10. Lớp 11A4, trường THPT Chu Văn An,với bài dạy “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” • Sau mỗi tiết học ấy, cho các em làm bài kiểm tra 10 phút nhằm khảo sát mức độ nắm bài cũng như khả năng vận dụng kiến thức mới của các em qua tiết học. 3. Nội dung thực nghiệm 3.1 Giảng dạy bài “Tia phân giác của góc” Nội dung đề kiểm tra Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Chứng minh : ∆ABM = ∆DCM GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 59 Đáp án – Thang điểm Vẽ hình 1 điểm ; GT-KL 1 điểm GT ∆ ABC, MB = MC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD KL C/m ∆ ABM = ∆DCM Xét hai tam giác ∆ABM và ∆DCM ta có : MB = MC (vì M là trung điểm của BC) AM = MD (giả thiết) AMB CMD= (đối đỉnh) Suy ra ∆ABM = ∆DCM (c-g-c) 3.2 Giảng dạy bài “ Hai tam giác đồng dạng” Nội dung đề kiểm tra Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE = 2cm. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh hai tam giác ABC và AED đồng dạng. Đáp án – Thang điểm (Vẽ hình : 1đ, GT + KL : 1đ ) GT ∆ABC: AB = 6cm, AC = 9cm AE = 2cm, AD = DB KL Chứng minh 2 ∆ABC và ∆AED đồng dạng. D M A B C D A B C E GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 60 Xét hai tam giác ∆ABC và ∆AED ta có : AD 3 1 AC 9 3 = = (1) 2 1 6 3 AE AB = = (2) Từ (1) và (2) ta suy ra AD AE AC AB = mà µA là góc chung Suy ra ∆ABC và ∆AED đồng dạng. 3.3 Giảng dạy bài “Tứ giác nội tiếp” Nội dung đề kiểm tra Cho tam giác đều ABC, trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC không chứa điểm A lấy điểm D sao cho DB = DC và · ·1 2 DCB ACB= . Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp. Đáp án – Thang điểm (Vẽ hình : 1đ, GT + KL : 1đ ) GT ∆ABC đều, DB = DC, · ·1 2 DCB ACB= KL C/m tứ giác ABDC nội tiếp Ta có : · 060ACB = ( vì ∆ABC đều) Mà · ·1 2 DCB ACB= = 030 · · · 0 0 060 30 90ACD ACB BCDÞ = + = + = Tương tự · · · 090ABD ABC CBD= + = Suy ra : · · 0 0 090 90 180ACD ABD+ = + = Suy ra tứ giác ABDC nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng 0180 ) A B C D GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 61 a b m n CB A D c = 1 3 c m a = 8 c m b = 1 0 c m A B C 3.4 Giảng dạy bài “Các hệ thức lượng trong tam giác” Nội dung đề kiểm tra Đề 1 : Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm. a) Chứng minh rằng tam giác ABC có một góc tù? b) Chứng minh rằng đường trung truyến AM = 237 2 cm ? Đề 2 : Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n. Chứng minh rằng 2 2 2 22( )m n a b+ = + . Đáp án-Thang điểm Đề 1 : Vẽ hình 1đ – GT+KL 1đ – Câu a) 4đ – Câu b) 4đ a) Ta có : 2 2 2 2 cosc a b bc C= + − 2 2 2 cos 2 64 100 169 5 2.8.10 160 a b cC ab + −⇒ = + −= = − 0 '91 47C⇒ Vậy tam giác ABC có góc C là góc tù. b) Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 2(10 13 ) 8 237 4 2 a b c aMA m + −= = + −= = 237= cm 2a m⇒ (đpcm) Đề 2 : Vẽ hình 1đ – GT+KL 1đ Cách 1 : Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) 2( ) (ñpcm) m n BD AC AD AB AD AB AD AB a b + = + = − + + = + = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 62 M A C S B Cách 2: 2 2 2 24( )m n AO BO+ = + mà 2 2 2 2 2 4 a b nAO += − và 2 2 22 2 4 a b mBO += − nên 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) 2 4 2 4 a b n a b mm n + ++ = − + − 2 2 2 2= 4(a )b m n+ − − Hay 2 2 2 22( )m n a b+ = + 3.5 Giảng dạy bài “Hai đường thẳng vuông góc” Nội dung đề kiểm tra Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có tam giác ABC vuông tại B. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. Chứng minh rằng : a) BC⊥ (SAB) b) AM⊥ (SBC) Đáp án – Thang điểm Vẽ hình :1 điểm ; GT+KL :1 điểm ; Câu a : 4 điểm ; câu b : 4 điểm a) Ta có : ( ) ( ) SA ABC BC SA BC ABC ⎫⊥ ⇒ ⊥⎬⊂ ⎭ (1) BC⊥AB (gt) (2) Mà AB∩ SA={ }A (3) Từ (1), (2), (3) suy ra BC⊥ (SAB) GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 63 b) Ta có : AM⊥ SB (gt) (1) ( ) ( ) BC SAB AM BC AM SAB ⎫⊥ ⇒ ⊥⎬⊂ ⎭ (2) Mà BC∩ SB={ }B (3) Từ (1), (2), (3) suy ra AM⊥ (SBC) 4. Kết quả thực nghiệm 4.1 Phần giảng dạy Tiến hành giảng dạy đúng như kế hoạch dạy học đã được thiết kế, truyền tải được hết nội dung kiến thức có trong giáo án đề ra. 4.2 Kết quả bài kiểm tra Thực nghiệm dành cho cấp THCS Cũng đề như trên, chúng tôi kiểm tra ở những lớp không dạy thực nghiệm để đối chứng. Kết quả như sau: Điểm Lớp Sỉ số học sinh 0-3 4 5 6 7 8 9 10 7A1 35 4 11,4% 3 8,6% 3 8,6% 6 17,1% 8 22,9% 5 14,3% 6 17,1% 0 0% 7A5 34 5 14,7% 2 5,9% 4 11,8% 4 11,8% 5 14,7% 6 17,6% 7 20,6% 1 2,9% 8A1 32 4 12,5% 4 12,5% 3 9,4% 6 18,8% 7 21,9% 5 15,6% 1 3,1% 2 6,2% 9A3 32 3 9,4% 4 12,5% 3 9,4% 7 21,9% 4 12,5% 6 18,7% 5 15,6% 0 0% GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 64 Điểm Lớp Sỉ số học sinh 0-3 4 5 6 7 8 9 10 7A2 35 6 17,1% 3 8,6% 6 17,1% 7 20% 6 17,1% 5 14,3% 2 5,7% 0 0% 7A3 36 8 19,4% 3 8,3% 8 22,2% 4 11,1% 2 5,6% 6 16,7% 3 8,3% 3 8,3% 8A2 33 3 9,1% 6 18,2% 7 21,2% 4 12,1% 3 9,1% 5 15,1% 3 9,1% 2 6,1% 9A1 32 5 15,6% 4 12,5% 6 18,7% 4 12,5% 6 18,7% 4 12,5% 2 6,3% 1 3,1% Thực nghiệm ở cấp THPT Cũng đề như trên, chúng tôi kiểm tra ở những lớp không dạy thực nghiệm để đối chứng. Kết quả như sau: Điểm Lớp Sỉ số học sinh 0-3 4 5 6 7 8 9 10 10C1 33 5 15,2% 2 6,1% 2 6,1% 5 15,1% 6 18,2% 5 15,1% 7 21,2% 1 3% 10C3 31 2 6,5% 4 12,9% 3 9,7% 6 19,4% 4 12,9% 5 16,1% 7 22,5% 0 0% 11A8 39 3 7,7% 2 5,1% 6 15,4% 8 20,5% 6 15,4% 10 25,6% 3 7,7% 1 2,6% 11A4 41 2 4,9% 3 7,3% 5 12,2% 10 24,4% 8 19,5% 6 14,6% 7 17,1% 0 0% GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 65 Điểm Lớp Sỉ số học sinh 0-3 4 5 6 7 8 9 10 10C2 35 5 14,3% 3 8,6% 6 17,1% 8 22,9% 5 14,3% 6 17,1% 2 5,7% 0 0% 10C4 34 6 17,6% 2 5,9% 8 23,5% 6 17,6% 5 8,8% 5 14,7% 2 5,9% 0 0% 11A2 38 4 10,5% 3 7,9% 9 23,7% 7 18,4% 8 21% 5 13,2% 2 5,3% 0 0% 11A3 41 5 12,2% 2 4,9% 7 17,1% 8 19,5% 8 19,5% 7 17,1% 2 4,9% 2 4,9% Nhận xét: • Nội dung kiểm tra : đảm bảo đầy đủ kiến thức yêu cầu của tiết học, trong đó đòi hỏi học sinh phải nắm vững các định nghĩa, định lí, các kí hiệu mới và biết vận dụng chúng vào việc giải toán. • Qua bảng thống kê kết quả khảo sát cho thấy : bước đầu học sinh đã nắm vững nội dung bài mới, các em đã nhớ và có khắc sâu các định nghĩa, định lí, các kí hiệu mới hay những “chú ý” ngay tại lớp. Hơn nữa, phần lớn các em đã biết vận dụng kiến thức mới vào việc giải toán hình học. • Mặc dù thời gian tương đối ngắn (10 phút), nội dung bài kiểm tra vẫn đảm bảo yêu cầu học sinh nắm vững bài ngay tại lớp và có vận dụng giải toán, tuy nhiên kết quả thu được là khá tốt. Từ đó cho thấy hiệu quả của phương pháp dạy học mới này. Đạt được kết quả đó bởi vì từ phương pháp dạy học mới này ta đã tạo hứng thú học toán cho các em, kích thích các em tích cực suy nghĩ, giải quyết các vấn đề được đặt ra, giáo viên có thể khai thác hết nội dung SGK (có thể mở rộng thích hợp) hay chuẩn bị các bài tập nhằm khắc sâu các kiến thức mới cho học sinh. Hơn nữa, giáo viên có nhiều thời gian để quan tâm, theo dõi tiến trình học tập, tiếp thu kiến thức của các em hơn. Vì vậy, giáo viên có thể điều chỉnh một cách thích hợp, linh hoạt để có thể đạt được mục tiêu bài học một cách thuận lợi. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 66 Phần III KẾT LUẬN GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 67 Thực hiện đề tài này chúng tôi đạt được một số kết quả sau đây : 1. Trên cơ sở các ví dụ phân tích một cách tương đối cụ thể cơ sở lí luận của việc dạy học liên quan đến đề tài đã chọn như phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh thông qua rèn luyện các thao tác tư duy : phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá và đặc biệt hóa, tương tự hoá và cụ thể hoá… Phân tích ta có một hệ thống các bước để giải một bài toán hình học trong đó chú trọng đến việc tìm tòi cách giải bằng phương pháp phân tích. Đồng thời nêu bật hai phương pháp suy luận thường sử dụng trong giải toán hình học là : suy luận diễn dịch và những suy luận có lí. Bước đầu chúng tôi đã đề cập đến việc khai thác, phát triển bài toán sao cho phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh ở từng cấp lớp. 2. Tiến hành thực nghiệm sư phạm và trao đổi với giáo viên xung quanh việc dạy học hình học ở Trung học Cơ sở và Trung học Phổ thông. 3. Kết quả nghiên cứu đề tài là rất có ích đối với giáo viên dạy toán ở Trung học Cơ sở và Trung học Phổ thông trong việc dạy học hình học. III.2 NHỮNG HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI 1. Về phương pháp nghiên cứu Do các hạn chế về : thời gian nghiên cứu, năng lực nghiên cứu nên đề tài còn nhiều thiếu sót. • Các nghiên cứu chỉ dựa trên nghiên cứu lý luận và thực nghiệm sư phạm, các kết quả này còn phải được thực tế kiểm nghiệm đánh giá một cách đầy đủ hơn. • Các biện pháp hình thành và rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh được dựa trên cơ sở lí luận và thông qua việc “dạy giải các bài tập chứng minh hình học”. Nhưng do thời gian còn hạn chế nên đề tài chưa thể liệt kê hết các bài toán chứng minh trong sách giáo khoa. 2. Về nội dung nghiên cứu Do phạm vi rộng lớn của đề tài nên chúng tôi chỉ mới tìm hiểu một số nội dung và phương pháp rèn luyện năng lực chứng minh cho học sinh thông qua việc giải các bài tập chứng minh hình học . III.3 HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP TỤC Kết quả nghiên cứu của chúng tôi chỉ là bước đầu. Rất mong vấn đề này sẽ được mở rộng theo các hướng : nghiên cứu toàn bộ tác dụng của việc giải bài tập hình học đối với rèn luyện tư duy lôgíc của học sinh. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 68 PHỤ LỤC GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 69 GIÁO ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG II I - Mục tiêu: 1. Về kiến thức: - Học sinh nắm được định lí côsin, định lí sin, công thức về đường trung tuyến trong tam giác, các công thức tính diện tích tam giác và giải tam giác. - Sử dụng thành thạo các công thức tính. - Biết vận dụng kiến thức đã học vào thực tế. 2. Về kỹ năng: - Biết áp dụng các công thức trên để giải một số bài toán có liên quan và áp dụng được các diện tích tam giác. Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi. 3. Thái độ: - Cẩn thận, chính xác. - Về tư duy: biết vận dụng kiến thức giải tam giác vào các bài toán có thực tế. II - Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Chuẩn bị của giáo viên: - Giáo án, một số câu hỏi vấn đáp. - Bảng phụ, phiếu học tập. 2. Chuẩn bị của học sinh: - Các công thức của bài học trước. III - Phương pháp dạy học: - Gợi mở vấn đề. - Phát hiện giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm. IV - Tiến trình dạy học: A - Ổn định lớp và kiểm tra bài cũ: (10 phút) - Giáo viên gọi 3 học sinh lên bảng nêu định lí sin và côsin, các công thức tính diện tích tam giác. - Cho học sinh làm các bài tập 1, 2, 3 trong SGK. Giải Bài 1: C ∧ = 90o B ∧− = 32o b = asinB = 61,06 (cm) c = asinC = 38,15 (cm) . a b ch a = = 32,36 (cm) GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 70 Bài 2: cosA = 2 2 2 2 b c a bc + − = 0,8090 ⇒  = 36o cosB = 2 2 2 2 a c b ac + − = -0,2834 106 28'oB ∧⇒ = 180oC ∧ = − (Â+ B∧ ) = 37 32 'o Bài 3: Theo định lí cosin ta có: 2 2 2 2 osA = 129a b c bcc= + − ⇒ a = 11,36 (cm) cosB = 2 2 2 2 a c b ac + − = 0,79 37 48'oB ∧⇒ = 180oC ∧ = − (Â+ B∧ ) = 22 12 'o B - Vào bài mới: -Hoạt động 1: Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 3’ - Giáo viên ghi đề bài tập 4 trong SGK lên bảng. - Giáo viên đặt các câu hỏi sau: + Khi biết 3 cạnh của tam giác thì chúng ta dựa vào công thức nào để tính diện tích tam giác. - Gọi học sinh lên bảng làm bài tập 4. - Chỉnh sửa sai sót của học sinh. - Tích cực phát biểu ý kiến. - Đóng góp ý kiến cho cách làm khác. - Quan sát bài làm trên bảng. - Ghi chép. Bài tập 4: SGK/59 p = 1 2 (7+9+12) = 14 S= 14(14 7)(14 9)(14 12)− − − =31,3 (đvdt). - Hoạt động 2: (3 phút) Œ Giáo viên gọi 1 học sinh lên bảng sửa bài tập 5 trong SGK. Œ Chỉnh sửa bài làm của học sinh. Kết hợp với hỏi vấn đáp. Giải: 2 2 2 2 o 2 2 2 2 2 2 2 12 os120 2 .( ) 2 BC a b c bcc a b c bc BC b c bc m n mn = = + − ⇒ = + − − ⇒ = + + = + + -Hoạt động 3: GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 71 Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 5’ - Giáo viên ghi đề bài tập 6 lên bảng. - Giáo viên đặt các câu hỏi sau: 1. Trong các canh a, b, c thì cạnh nào lớn nhất? 2. Góc đối diện với cạnh lớn nhất trong tam giác sẽ là góc nào ? 3. Tính góc C và cho nhận xét ? - Gọi học sinh lên bảng trình bày hoàn chỉnh lời giải. + Gợi ý trả lời câu hỏi 1: cạnh c. + Gợi ý trả lời câu hỏi 2: Góc C + Gợi ý trả lời câu hỏi 3: ^ 091 47'C= Bài tập 6: SGK/59 a) Nếu tam giác ABC có góc tù thì góc tù phải đối diện với cạnh lớn nhất là c = 13(cm).Ta có công thức: 2 2 2 2 osCc a b abc= + − ⇒ cosC= 64 100 169 5 2.8.10 160 91 47 'oC ∧ + − = − ⇒ = là góc tù của tam giác b) Ta có 2 2 2 2 2 2( ) 4 118,5 10,89( ) a a b c aMA m m cm + −= = = ⇒ = -Hoạt động 4: Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 5’ -Giáo viên gọi 2 học sinh lên bảng làm bài tập 7. -Cho các học sinh khác quan sát bài làm của bạn trên bảng và nhận xét đúng hay sai. -Giáo viên chỉnh sửa kết hợp với hỏi vấn đáp. -Suy nghĩ,ghi chép. Bài tập 7:SGK trang 59 a)Vì cạnh c=6cm lớn nhất nên góc C lớn nhất,ta có 2 2 2a 11osC= 2 24 117 16 'o b cc ab C ∧ + − −= ⇒ = b)Vì cạnh a=40cm lớn nhất nên góc A lớn nhất,ta có: 2 2 2b 62osA= 0,064 2 962 c ac bc + − = − = ⇒Â=93 41'o -Hoạt động 5: (5 phút) + Hướng dẫn học sinh cách giải bài tập 8, kết hợp với hỏi vấn đáp. + Giáo viên đặt ra các câu hỏi sau: GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 72 Œ Tổng số đo ba góc trong tam giác bằng bao nhiêu? Từ đó tính góc A. Œ Hãy phát biểu định lí sin. Từ đó tính bán kính R. Œ Dùng định lí sin để tính cạnh b và c. C-Củng cố: Œ Chia lớp thành 6 nhóm. Œ Gọi đại diện mỗi nhóm lên bảng sửa. PHIẾU HỌC TẬP Câu 1: Tam giác ABC có AB = 2cm, AC = 1cm, 60OA ∧ = . Khi đó độ dài cạnh BC bằng: a) 1cm b) 2cm c) 3 cm d) 5 cm Câu 2: Tam giác ABC có a = 5cm, b = 3cm, c = 5cm. Khi đó số đo của góc ˆBAC là: a) ˆ 45oA = b) ˆ 30oA = c) ˆ 60oA > d) ˆ 90oA = Câu 3: Tam giác ABC có AB = 8cm, BC = 10cm, CA = 6cm. Đường trung tuyến AM của tam giác đó có độ dài: a) 4cm b) 5cm c) 6cm d) 7cm Câu 4: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, BC = 10cm. Đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính r bằng: a) 1cm b) 2 cm c) 2cm d) 3cm Câu 5: Tam giác ABC có a = 3 cm, b = 2 cm, c = 1cm. Đường trung tuyến am có độ dài bằng: a) 1cm b) 1,5cm c) 3 2 cm d) 2,5cm Câu 6: Tam giác đều nội tiếp đường tròn có bán kính R = 4cm, có diện tích là: a) 13 2cm b) 213 2cm c) 212 3cm d) 15 2cm D - Dặn dò: - Về nhà làm lại các bài tập đã sửa và ôn lại các công thức đã học ở chương II. GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 73 GIÁO ÁN Bài : CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ( Tiết 2) I. MỤC TIÊU . 1. Về kiến thức : + Học sinh cần nắm được định lí sin trong tam giác và biết vận dụng định lí này để tính cạnh hoặc góc của một tam giác trong các bài toán cụ thể. + Học sinh biết sử dụng các công thức tính diện tích tam giác. 2. Về kỹ năng: - Biết áp dụng các công thức trên để giải một số bài toán có liên quan. Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi. 3. Thái độ: - Cẩn thận, chính xác. -Về tư duy : • Rèn luyện tư duy logic. Biết quy lạ về quen. • Cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận. II - Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Chuẩn bị của giáo viên: - Giáo án, một số câu hỏi vấn đáp. - Bảng phụ, phiếu học tập. 2.Chuẩn bị của học sinh: - Các công thức của bài học trước. III - Phương pháp dạy học: - Gợi mở vấn đề. - Phát hiện giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm. IV - Tiến trình dạy học: A - Ổn định lớp và kiểm tra bài cũ: - Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính số đo các góc A, B, C? GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 74 B - Vào bài mới: Hoạt động 1: Thực hiện hoạt động 5 trong SGK. Kiểm chứng các đẳng thức sau nếu góc A vuông : Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Câu hỏi 1: Hãy tính sin A? Câu hỏi 2: BC bằng bao nhiêu? Câu hỏi 3: Tính a SinA bằng bao nhiêu ? Câu hỏi 4: sin b B bằng bao nhiêu? Câu hỏi 5: Hãy kết luận. Trả lời: Ta có sin A = 0sin 90 =1 Trả lời: BC=2R. Trả lời: a SinA =2R Trả lời: sin b B = sin b b B =2R Trả lời: a SinA = sin b B = sin c C =2R 2. Định lí sin: Hoạt động 5: SGK/50 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính R và có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh hệ thức : a SinA = sin b B = sin c C =2R c b a C O B A Đối với tam giác ABC bất kì ta cũng có hệ thức trên.Hệ thức này gọi là định lí sin trong tam giác. Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: a SinA = sin b B = sin c C =2R Chứng minh: GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 75 Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Tam giác ABC vuông thì các đẳng thức trên còn đúng không ? Giáo viên treo hình vẽ lên bảng. Câu hỏi 1: Tam giác BCD là tam giác gì? Vì sao? Câu hỏi 2: BC bằng bao nhiêu ? Câu hỏi 3: sin ( BAC ) = sin( BDC ) ? Vì sao? Câu 4: Tính a SinA bằng bao nhiêu? Câu 5: Kết luận. Suy nghĩ…… BCD là tam giác vuông. Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. BC = BD.sinD hay a = 2R.sinD sin ( BAC ) = sin( BDC ) ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn một cung BC nếu góc A nhọn, là hai góc bù nhau nếu A tù). a SinA =2R Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự. a SinA = sin b B = sin c C =2 R a) Định lí sin: -Trường hợp góc A nhọn: - Trường hợp góc A tù: Hoạt động 2 : Hoạt động 6: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Câu hỏi 1: Hãy tính sinA. Câu hỏi 2: BC bằng bao nhiêu? Câu hỏi 3: Tỉ số sin a A bằng bao nhiêu? Câu 4: Hãy tính R. Ta có: sin A = sin 060 = 3 2 , BC = a. a SinA = 2R a SinA = 2R ⇔ 3 2 = 2R hay R = 1 3 Hoạt động 6: SGK / 52 c b a D C OB A D c b a O C B A GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 76 Hoạt động 3: Ví dụ. Cho tam giác ABC có 020B = , 031C = và cạnh b = 210cm. Tính Â, các cạnh còn lại và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. -Giáo viên giải ví dụ kết hợp vơi hỏi vấn đáp. Hoạt động 4: Công thức tính diện tích tam giác. Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Câu hỏi 1: Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo BC và ah . Câu hỏi 2: Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo AC và ah . Câu hỏi3: Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo AB và ah . Trả lời: S= 1 2 .BC. ah 1 1. . . . 2 2b b AC h b h= 1 1. . . . 2 2c c AB h c h= Hoạt động 7:SGK/53 Cho tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giac và p = 2 a b c+ + là nửa chu vi của tam giác. Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau: 1 1 1sin sin asin (1) 2 2 2 S ab C bc A c B= = = 4 abcS R = (2) S=pr (3) ( )( )( )S p p a p b p c= − − − (Công thức Hê-Rông) (4) Hướng dẫn học sinh chứng minh công thức (1). Giáo viên treo bảng phụ hình 2.18 lên bảng để thực hiện các thao tác chứng minh công thức (1). Ta đã biết S = 1 2 a ah với ACsin sinah AH C b C= = = (kể cả C nhọn, tù hay vuông). (h.2.18). GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 77 Do đó 1 sin 2 S ab C= Các công thức 1 sin 2 S bc A= và 1 asin 2 S c B= được chứng minh tương tự. Hoạt động 5: Chứng minh công thức (2) Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Câu hỏi 1: Theo định lí sin ta có 4 a R bằng bao nhiêu? Câu 2: So sánh 1 sin 2 bc A và 4 abc R 4 a R = 1 2 sinA 1 sin 2 bc A = 4 abc R Hoạt động 8: Dựa vào công thức (1) và định lí sin,hãy chứng minh S= 4 abc R Hoạt động 6: Chứng minh công thức (3) Giáo viêm treo bảng phụ hình 2.19 lên bảng. Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng Câu hỏi 1: So sánh S và AOB BOC AOCS S S∆ ∆ ∆+ + Câu hỏi 2: Hãy kết luận S= AOB BOC AOCS S S∆ ∆ ∆+ + S=pr Hoạt động 9:SGK/54 Ta thừa nhận công thức Hê-Rông Hoạt động 7: - Giáo viên hướng dẫn học sinh làm 2 ví dụ kết hợp vơi hỏi vấn đáp C - Củng cố - Cho học sinh nhắc lại định lí sin và 5 công thức tính diện tích tam giác. - Sau đó giáo viên treo bảng phụ tóm tắt kiến thức cho học sinh. D- Dặn dò: - Về nhà xem bài trước.Làm các bài tập 1,2 ,3,4.SGK/59 GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 78 GIÁO ÁN Bài : HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU - HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I - Mục tiêu: 1. Kiến thức : + Nắm được định nghĩa hai đường thẳng song song với nhau và hai đường thẳng chéo nhau. + Vận dụng định lí : Qua một điểm không thuộc đường thẳng cho trước, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. + Định lí về giao tuyến ba mặt phẳng và hệ quả ba định lí đó. + Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. 2. Kĩ năng : Vận dụng các định lí giải toán vào giải các bài toán hình học không gian. 3. Thái độ học tập: Thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế và phục vụ cho cuộc sống. II - Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Chuẩn bị của giáo viên: - Giáo án, một số câu hỏi vấn đáp. - Bảng phụ, phiếu học tập. 2. Chuẩn bị của học sinh: Xem lại vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng. III - Phương pháp dạy học: - Gợi mở vấn đề. - Phát hiện giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm. IV - Tiến trình dạy học: A - Ổn định lớp và kiểm tra bài cũ: ( 5 phút ) Bài toán : Cho tứ diện ABCD, I, J, M, N, P, Q của các cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD. Chứng minh IM, JN, PQ đồng quy. Yêu cầu : Xét các cặp đoạn IM, JN, IM, PQ, JN, PQ. Chúng giao nhau ở trung điểm các đoạn. B - Vào bài mới: Giáo viên đặt vấn đề : Trong thực tế tự nhiên chúng ta thường gặp hình ảnh của các đường thẳng song song, các đường thẳng chéo nhau. Vậy chúng ta hiểu nó như thế nào trong toán học? Yêu cầu học sinh chỉ một số hình ảnh của các đường thẳng song song, các đường thẳng chéo nhau trong phòng học của mình. Hoạt động 1 : Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 79 Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 15 phút -Giáo viên nêu vị trí các đường trong một hình hộp. + Học sinh nhắc lại một số vị trí tương đối của hai đường thẳng a, b trong không gian. 1.1 Trường hợp 1 : Có một mặt phẳng chứa a và b. + Hãy nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng a, b. (hình 2.27) + Vậy, a // b là hai đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng và không có điểm chung + Rút ra kết luận về hai đường thẳng song song? 1.2 Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. -Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài tập ở 2∆ -Tích cực phát biêu. -Ghi chép, vẽ hình. I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian: - Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b. - Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. 2∆ : Cho tứ diện ABCD, chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau. Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này. Hoạt động 2:Tính chất Thời gian Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng 15 phút - Giáo viên nêu nội dung định lí và yêu cầu học sinh ghi tóm tắt và vẽ hình. + Nêu phương hướng chứng minh duy nhất đường thẳng d’. + Gợi ý: Có d’ // d, M∈d’, d” // d’, và M’∈d”. Chứng minh d” ≡ d’. Nhận xét: a // b ⇒ tồn tại duy nhất mặt phẳng (P) chứa a, b. Kí hiệu (P) = (a , b). - Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình và chứng minh bài tập ở 3∆ . -Học sinh ghi bài vào tập. -Học sinh nêu cách chứng minh (sách giáo khoa). - Học sinh vẽ hình 3∆ và chứng minh vào vở nháp. - Học sinh ghi tóm tắt: Giả thiết: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a c b α β α γ β γ ⎧ ∩ =⎪ ∩ =⎨⎪ ∩ =⎩ II-Tính chất: Định lí 1 : SGK / 56 Chứng minh: GVHD : Nguyễn Thọ Sâm SVTH : Huỳnh Chí Thiện Khóa luận tốt nghiệp Trang 80 - Giáo viên kiểm tra, nhận xét. - Giáo viên gọi học sinh đọc định lí 2 và yêu cầu các học sinh vẽ hình ghi tóm tắt và trình bày phương án chứng minh. Giáo viên nêu các câu hỏi: + Các đường thẳng a, b thuộc mặt phẳng nào? + Vị trí tương đối của a, b. + Xét trường hợp a∩ b=∅ .Gọi a∩ b=I.Hãy chứng minh I∉c. + Xét a // b: hãy chứng minh a // c. Gợi ý: chứng minh bằng phương pháp phản chứng. -Giáo viên nêu nội dung của hệ quả và yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi tóm tắt và công nhận nội dung để giải bài tập. - Trả lời: / / a b a b ⎡ ∩ ≠ ∅⎢⎣ - Trả lời: ( ) ( ) I c I c αα ⎧ ∈ ⇒ ∈⎨ ⊂⎩ ( ) ( ) I b I b γγ ⎧ ∈ ⇒ ∈⎨ ⊂⎩ Suy ra I∈c. - Học sinh nêu cách chứng minh. - Học sinh vẽ hình và nêu tóm tắt. Định lí 2 : SGK / 57 Chứng minh: Hệ quả:SGK/57 - Hoạt động 3: ( 5 phút ) + Giáo viên hướng dẫn cho học sinh làm 2 ví dụ kết hợp với hỏi vấn đáp. + Yêu cầu học sinh nắm nội dung định lí 3 để áp dụng làm bài tập. C - Củng cố: ( 5 phút ) - Cho học sinh đọc lại 3 định lí. - Yêu cầu học sinh phát biểu lại định lí bằng lời theo cách hiểu của mình. D - Dặn dò: Về nhà làm các bài tập 1, 2, 3 ( SGK trang 59, 60). TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Văn Như Cương, Hình Học Sơ Cấp và Thực Hành Giải Toán, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm, 2005. 2. Phạm Gia Đức – Phạm Đức Quy, Giáo Trình Đổi Mới Phương Pháp Dạy Học Môn Toán ở trường THCS nhằm hình thành và phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm, 2007. 3.Trần Khánh Hưng, Giáo Trình PP Dạy – Học Toán, Nhà xuất bản Giáo Dục, 2000. 4.Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm, 2004. 5.Vũ Dương Thụy – Trương Công Thành – Nguyễn Ngọc Đạm, 255 Bài Toán Chọn Lọc Hình Học, 1993. 6. Sách Giáo Khoa – Sách Giáo Viên Toán các lớp 6, 7, 8, 9, 10, 11, Nhà xuất bản Giáo Dục ._.