Tính an pha ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm

iến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, ( )u t là biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống, những dữ liệu đầu vào có tác động quan trọng có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống. Như vậy ta hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hình toán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào-ra: ( ) ( ) ( )( )x t f t,x t ,u t=& x(t)u(t) Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều khiển đầu vào sao cho đầu ra có những tính chất mà ta mong muốn. Trong đó, tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, kinh tế,… Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó. Nói một cách giải tích, cho một hệ thống mô tả bởi phương trình toán học điều khiển, bài toán ổn định hóa của hệ là tìm hàm điều khiển, người ta thường gọi là hàm điều khiển ngược (feedback control), ( ) (u t h t, x= ) sao cho hệ động lực: ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )x t f t, x t , h t, x t F t, x t= =& . là ổn định hoặc ổn định tiệm cận tại trạng thái cân bằng. Trong các bài toán ổn định hóa tổng quát, hệ điều khiển thường được mô hình hóa với các tác động của điều khiển ngược, của các nhiễu điều khiển, các thiết bị điều khiển, quan sát,… và thường được mô tả theo sơ đồ sau: Thiết bị điều khiển đầu vào ( )u t Hệ điều khiển ( )x f t, x, u=& đầu ra ( )x t Cơ sở lý thuyết được sử dụng trong bài toán ổn định hóa này là lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết ổn định này được hình thành bởi những công trình nghiên cứu đầu tiên của nhà toán học người Nga A. M. Lyapunov từ cuối thế kỷ XIX. Trước Lyapunov đã có một số công trình nghiên cứu về tính ổn định, tuy nhiên phải đến khi Lyapunov công bố công trình nổi tiếng “Bài toán tổng quát về sự ổn định của chuyển động, 1892” thì lý thuyết ổn định mới thực sự được quan tâm và có bước tiến mạnh mẽ. Vấn đề ổn định phương trình vi phân đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và giải quyết, có thể kể ra đây một số tác giả trong nước như: Hoàng Hữu Đường, Vũ Tuấn, Nguyễn Thế Hoàn, Vũ Ngọc Phát, Trần Thị Loan,.v.v…. Những định nghĩa về tính ổn định của Lyapunov đưa ra hơn một thế kỷ qua vẫn còn nguyên giá trị và ngày càng phát triển. Hai phương pháp do ông đề xuất là phương pháp số mũ đặc trưng và phương pháp hàm Lyapunov. Trong đó, phương pháp hàm Lyapunov được xem là cách tiếp cận chính khi nghiên cứu về tính ổn định, nội dung của phương pháp này là dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm đặc biệt (được gọi là hàm Lyapunov) mà tính ổn định của hệ đã cho được kiểm tra trực tiếp qua dấu của đạo hàm (dọc theo quỹ đạo đang xét) của hàm Lyapunov tương ứng. Cùng với sự phát triển của lý thuyết ổn định, lý thuyết điều khiển toán học cũng là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng mới được xuất hiện và phát triển trong mấy thập kỷ gần đây, tính điều khiển được hệ động lực được khởi xướng bởi một công trình nổi tiếng của Kalman từ những năm 60 của thế kỷ XX, trong đó đã chứng minh một điều kiện đại số về tính điều khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều không có hạn chế điều khiển. Từ những kết quả của Kalman thì việc nghiên cứu tính điều khiển được đã không ngừng phát triển và trở thành một hướng quan trọng của lý thuyết điều khiển hệ động lực. Do nhu cầu nghiên cứu các tính chất định tính của hệ thống điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hoá các hệ điều khiển. Đây là nội dung nghiên cứu chính của đề tài này. PHẦN TÓM TẮT Đề tài nghiên cứu tính α -ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm. Dựa trên phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii để thiết lập điều kiện đủ cho hệ được xét là α -ổn định hóa được thông qua nghiệm phương trình Riccati vi phân. Đây là vấn đề đang rất được quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây. Sau phần mở đầu là phần nội dung gồm 2 chương: Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về phương trình vi phân, lý thuyết ổn định Lyapunov, bài toán ổn định hóa và một số kết quả đã có trong những năm gần đây. Chương 2 nghiên cứu tính α -ổn định hóa cho một lớp hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến có chậm dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 1x t A t x t A t x t h t B t u t f t,x t ,x t h t ,u t , t 0, x t t ,t h,0 ,h 0, 1φ = + − + + − ≥ = ∈ − ≥ & trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )n m n n n m1x t , u t ,A t ,A t ,B t , C h,0 , ,φ× ×∈ ∈ ∈ ∈ ∈ − n ( ) ( )0 h t h, h t 1, t 0,δ≤ ≤ ≤ < ∀ ≥& ( ) [ ) n n mf t, x, y, u : 0,∞ × × × → n thỏa mãn: ( ) ( ) n n ma,b,c 0 : f t, x, y,u a x b y c u , x, y,u .∃ > ≤ + + ∀ ∈ × × Đặt ( )1 2 2 23 2 h1 3a b e 1 − − αγ = ε + +ε − δ c , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T1 12 h1 3 3Q t B t B t A t A t I, 4 e 1− α = − ε − δ − γ ( ) ( ) ( ) 2 22 2 h 2 2 1 2 3 12 h 1 32 he 3 B 2 A e 1 α − α βε = αβ+β γ + ε + ε + ε + β + βμ + ηε − δ A . Định lý. Cho trước 0α > . Giả sử tồn tại các số thực dương và ma trận 1 2 3, , , 0β ε ε ε > ( ) (P t BM 0,+∈ )∝ thỏa mãn phương trình Riccati vi phân sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TP t A t P t P t A t P t Q t P t 2 P t I 0+ + − + α +βγ + ε& = . Khi đó hệ (1) là -ổn định hóa được với điều khiển ngược α ( ) ( ) ( ) ( )T1u t B t P t 2 I x t . 2 = − − β⎡ ⎤⎣ ⎦ Hơn nữa, nghiệm ( )x t,φ thỏa mãn điều kiện ( ) tx t, Ne , t 0.−αφ ≤ φ ∀ ≥ Với định lý trên, đề tài đã đưa ra và chứng minh các điều kiện đủ về tính α -ổn định hóa được cho một lớp các hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm. MỤC LỤC Mở đầu............................................................................................................................. 1 Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV VÀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ CÓ CHẬM........................................................ 2 1.1. Phương trình vi phân ................................................................................................. 2 1.2. Lý thuyết ổn định Lyapunov ..................................................................................... 4 1.3. Bài toán ổn định hóa.................................................................................................. 6 1.4. Một vài kết quả.......................................................................................................... 7 Chương 2. TÍNH α -ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN KHÔNG ÔTÔNÔM CÓ CHẬM ................................ 11 2.1. Các định lý............................................................................................................... 11 2.2. So sánh với một vài kết quả đã có........................................................................... 29 Kết luận ......................................................................................................................... 32 Tài liệu tham khảo........................................................................................................ 33 DANH MỤC KÝ HIỆU Trong toàn bộ đề tài này, trừ các trường hợp đặc biệt ký hiệu rõ ở mỗi mục, còn lại sử dụng các ký hiệu sau đây: • là tập các số thực, [ )0,+ = +∞ . • n không gian Euclide n chiều với ký hiệu tích vô hướng là .,. , chuẩn véctơ là . . • n m× không gian các ma trận ( )n m× chiều. • [ ](C a, b , )n không gian Banach các hàm liên tục trên [ ]a, b nhận giá trị trong n . • [ ]( )mpL 0,T , không gian các hàm khả tích ( ) [ ] mu . : 0,T → với chuẩn ( ) 1 T pp 0 u u s ds ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ . • TA là ma trận chuyển vị của ma trận A; ma trận A được gọi là ma trận đối xứng nếu TA A= ; I là ma trận đơn vị. • ( )Aλ là tập các giá trị riêng của ma trận A. • P 0> là ma trận P xác định dương. • P 0≥ là ma trận P xác định không âm. • ( ) là tập các ma trận hàm đối xứng xác định không âm và bị chặn trên ( )0,∞ . BM 0,+ ∞ MỞ ĐẦU 1. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu. - Mục tiêu nghiên cứu: Tìm điều kiện đủ cho tính α -ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm hay còn gọi là bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển, tức là tìm hàm điều khiển (đầu vào) sao cho hệ động lực với điều khiển đó là α -ổn định. - Nội dung nghiên cứu: Nghiên cứu tính α -ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1x t A t x t A t x t h t B t u t f t, x t , x t h t , u t= + − + + −& . 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu một lớp các hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm. 3. Cơ sở lý luận và phương pháp nghiên cứu - Cơ sở lý thuyết được sử dụng là lý thuyết phương trình vi phân hàm, lý thuyết ổn định Lyapunov và lý thuyết điều khiển toán học. - Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii để thiết lập điều kiện đủ cho hệ được xét là α -ổn định hóa được thông qua nghiệm phương trình Riccati vi phân. Trang 1 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV VÀ BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ CÓ CHẬM Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định Lyapunov, bài toán ổn định hóa và một số kết quả đã có trong những năm gần đây. 1.1. Phương trình vi phân Xét phương trình vi phân ( ) ( )( ) [ ] ( ) 0 0 n 0 0 0 x t f t, x t , t I t , t b x t x , x , t 0 ⎧ = ∈ = +⎪⎨ = ∈ ≥⎪⎩ & (1.1) trong đó ( ) { }n n 0f .,. :I D , D x : x x a× → = ∈ − ≤ . Nghiệm của phương trình vi phân (1.1) là hàm x(t) khả vi liên tục thoả mãn: i) , ( )( )t, x t I D∈ × ii) x(t) thoả mãn phương trình vi phân (1.1). Giả sử liên tục trên (f t, x ) I D× . Khi đó nghiệm x(t) của hệ (1.1) cho bởi dạng tích phân: ( ) ( )( ) 0 t 0 t x t x f s, x s ds= + ∫ Định lý 1.1. (Định lý Picard-Lindeloff) Xét hệ phương trình vi phân (1.1), trong đó giả sử ( ) nf .,. :I D× → D liên tục theo và thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến t I∈ x∈ , tức là tồn tại sao cho k 0> ( ) ( )1 2 1f t, x f t, x k x x− ≤ − 2 với mọi . Khi đó với mỗi ( ) sẽ tìm được số sao cho hệ (1.1) luôn có duy nhất nghiệm trên khoảng t 0≥ 0 0t , x ( )x t I D∈ × d 0> [ ]0 0t d, t− + d . Định lý 1.2. (Định lý Caratheodory) Giả sử là hàm đo được theo (f t, x ) It∈ và liên tục theo . Nếu tồn tại hàm khả tích m(t) trên x D∈ ( 0 0t , t b)+ sao cho ( )( ) ( )f t, x t m t≤ với mọi ( )t, x I D∈ × thì hệ (1.1) có nghiệm trên khoảng [ ]0 0t , t , 0β β+ > nào đó. Chú ý rằng định lý Caratheodory chỉ khẳng định sự tồn tại nghiệm chứ không duy nhất. Trang 2 Định lý 1.3. (Định lý kéo dài nghiệm) Giả sử ( ) nf C a,b D,⎡∈ ×⎣ ⎤⎦ , , thỏa mãn a 0≥ ( )f t, x M≤ và ( ) ( )1 2f t, x f t, x 1 2k x x− ≤ − trên ( ) Da, b × . Giả sử ( ) ( 0 0x t x t, t , x= ) là nghiệm của (1.1) xác định trên [ )0t ,β , ( )a,0t ∈ b . Khi đó, tồn tại . Hơn nữa nếu ( ) ( t lim x t : xβ β→ = )0− ( )( ) ( )a, b− ∈, x 0β β D× thì nghiệm ( )x t có thể thác triển lên [ )0t ,β α+ , với 0α > nào đó. Chúng ta nhận thấy rằng các quá trình xãy ra trong tự nhiên thường có liên quan đến quá khứ. Các hệ phương trình có phụ thuộc chậm thể hiện được đặc điểm phụ thuộc vào quá khứ này của hệ thống, phần dưới đây sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản cho hệ có chậm. Xét một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ chậm . Với là một hàm liên tục, đặt ( )h 0 h≤ < + ∝ ( ) nx t : + → ( ) ( ) [ ]tx x t ,θ θ= + h,0θ∀ ∈ − và ký hiệu [ ] ( )t h,0x sup x tθ θ∈ −= + . Khi đó, hệ phương trình vi phân có chậm được cho dưới dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] tx t f t, x , t 0, x t t , t h,0 ,φ ⎧ = ≥⎪⎨ = ∈ −⎪⎩ & (1.2) trong đó [ ]( ) [ ]( )n n: D , D C h,0 , , C h,0 ,φ→ ⊂ × − ∈ − nf , [ ] ( )t h,0sup tφ φ∈ −= . Hàm được gọi là nghiệm của phương trình vi phân có chậm (1.2) trên ( )x t [ ]0 0t h, t− A+ nếu tồn tại 0t +∈ và sao cho: A 0> i. [ ]( ) ( )n0 0 tx C t h, t A , , t, x D∈ − + ∈ . ii. x(t) thỏa mãn phương trình (1.1) với [ ]0 0t t , t A∈ + . Hệ (1.1) được gọi là tuyến tính nếu ( ) ( ) (f t, L t, h tφ φ= + ) , trong đó ( ),L t φ là tuyến tính theo φ . Hệ (1.1) được gọi là hệ ôtônôm nếu ( ) (g )f t,φ φ= , trong đó g không phụ thuộc theo t. Giả sử [ ]( )n0t 0, C h,0 ,φ= ∈ − cho trước và ( )f t,φ liên tục trên D. Khi đó, nghiệm x(t) của hệ (1.1) cho bởi dạng tích phân: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( )t 0 x t t , t h;0 x t 0 f s, x s ds, t 0 φ φ = ∈ − = + ≥∫ (1.3) Trong phần nghiên cứu này chúng tôi luôn giả thiết hàm f của hệ (1.2) thỏa mãn điều kiện tồn tại, kéo dài nghiệm, phụ thuộc liên tục theo điều kiện ban đầu. Trang 3 1.2. Lý thuyết ổn định Lyapunov 1.2.1. Các định nghĩa Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân (1.1), giả thiết là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiên ban đầu luôn có nghiệm. Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi: (f t, x ) ( )0 0 0x t x , t 0= ≥ . ( ) ( )( ) 0 t 0 t x t x f s, x s ds= + ∫ Định nghĩa 1.1. Nghiệm ( )x t của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với mọi 0ε > , , tồn tại 0t ≥ 0 0δ > (δ phụ thuộc vào 0,ε t ) sao cho bất kỳ nghiệm của hệ thoả mãn ( )y t : ( )0y t = 0y 0 0y x δ− < thì ta đều có ( ) ( )y t x t ε− < . Định nghĩa 1.2. Nghiệm ( )x t của hệ (1.1) được gọi là không ổn định theo Lyapunov khi nếu tồn tại t →+∝ 0 0ε > và sao cho có nghiệm của hệ thoả mãn 0t ≥ 0 ( ) ( )0y t : y t y= 0 0 0y x δ− ( ) ( )1 1 0y t x t ε− ≥ . Định nghĩa 1.3. Nghiệm ( )x t của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có 0δ > sao cho với 0 0y x δ− < thì ( ) ( )tlim y t x t 0→+∞ − = . Trong định nghĩa 1.3, nếu số δ không phụ thuộc vào thì ta nói hệ là ổn định tiệm cận đều. 0t Định nghĩa 1.4. Nghiệm ( )x t của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận mũ nếu nó là ổn định tiệm cận và có các hằng số dương ,Mα sao cho với 0 0y x δ− < thì ( ) ( ) ( )0t t 0y t x t M.e xα− −− ≤ với mọi . 0t t≥ Xét hệ phương trình vi phân có chậm (1.2) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] tx t f t, x , t 0, x t t , t h,0 ,φ ⎧ = ≥⎪⎨ = ∈ −⎪⎩ & (1.2) Với hệ có chậm tổng quát (1.2) ta luôn giả thiết ( )f t,0 0, t += ∀ ∈ . Điều đó đảm bảo cho hệ (1.2) luôn có nghiệm 0. Định nghĩa 1.5. Hệ (1.2) được gọi là ổn định nếu với mọi 0ε > , với mọi , tồn tại số 0t +∈ ( )0t , 0δ δ ε= > sao cho với mọi [ ]( )n,C h,0φ ∈ − mà φ δ< thì nghiệm của hệ (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu ( )x t ( ) [ ]( )nh,0 ,− 0t ,φ C+∈ × đều nghiệm đúng bất đẳng thức ( ) 0x t t≥, tε< ∀ . Trang 4 Định nghĩa 1.6. Hệ (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và có ( )0 0 0b b t 0= > sao cho với mọi [ ]( )nC h,0 ,φ ∈ − mà 0bφ < thì nghiệm x(t) của hệ (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu ( ) [ ]( nC h,0 ,+∈ × − )0t ,φ đều thỏa mãn ( ) t lim x t 0.→∞ = Định nghĩa 1.7. Cho 0,α > hệ chậm (1.2) là α -ổn định nếu tồn tại hàm sao cho với mọi ( ). :ξ + → + [ ]( )nC h,0 ,∈ −φ thì nghiệm (x t, )φ của hệ thỏa mãn ( ) ( ) tx t, e , t 0αφ ξ φ −≤ ∀ ≥ . 1.2.2. Phương pháp hàm Lyapunov. Đây là phương pháp dùng hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của hệ phương trình vi phân, hiện nay chưa có một thuật toán tổng quát nào để tìm được hàm Lyapunov cho tất cả các phương trình. Kí hiệu là lớp các hàm số tăng chặt ℑ ( ) (a . : , a 0 0+ +→ = ) . Định nghĩa 1.8. Hàm ( )V .,. : D+ × → khả vi liên tục được gọi là hàm Lyapunov nếu nó thoả mãn 2 điều kiện sau: i) ( )V t, x là hàm xác định dương theo nghĩa ( ) ( ) ( ) ( )a . : V t, x a x t, x D+∃ ∈ℑ ≥ ∀ ∈ × ii) ( ) ( ) ( )f V VD V t, x : f t, x 0 t, x Dt x + ∂ ∂= + ≤ ∀ ∈ ×∂ ∂ Trường hợp là hàm Lyapunov chặt nếu thoả mãn thêm các điều kiện sau: (V t, x) iii) ( ) ( ) ( ) ( )b . : V t, x b x , t, x +∃ ∈ℑ ≤ ∀ ∈ × D . iv) ( ) ( ) ( ) { }f. : D V t, x x t , x D \ 0γ γ +∃ ∈ℑ ≤ − ∀ ∈ ∀ ∈ . Định lý 1.4. Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov thì ổn định. Hơn nữa nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận đều. Định lý 1.5 (định lý Lyapunov). Giả sử tồn tại hàm ( ) [ ]( )ntV t, x : C h,0 ,+ +× − → và sao cho: i) ( ) ( )2 21 t 2 tx t V t, x x t 0,λ λ≤ ≤ ∀ ≥ ii) ( ) ( ) 2t 3d V t, x x t t 0,dt λ≤ − ∀ ≥ thì hệ (1.2) là ổn định tiệm cận. Nếu thay điều kiện ii) bằng điều kiện iii) ( ) ( )t td V t, x 2 V t, x 0 t 0, 0dt α α+ ≤ ∀ ≥ iii) > cho trước, Trang 5 thì hệ ) là α - (1.2 ổn định. Bổ đề 1.1. Giả sử n nS ×∈ là một ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó, n với mọi ma trậ n nQ ×∈ ta đều có 1 T n2 Q Sy, y QS Q x, x , y, x−≤ ∀ ∈ y, x − Bổ đề 1.2. Giả sử là một ma trận đối xứng. Khi đó, với bất kỳ ta có bất c sau: 1.3. Bài toán ương trình vi phân 0N > đẳng thứnx, y , 0ε∈ > T T 1 1x y x Nx yN yε ε − −≤ + . ổn định hóa 2 Xét hệ điều khiển mô tả bởi ph ( ) ( )( ( )) , ( ) 0x 0 x .⎨ =⎪⎩ (1.4) x t f t, x t , u t⎧ =⎪ & trong đó x(t) là biến trạng thái mô tả đầu đầu vào của hệ thống. Các đối tượng điều khiển trong mô hình điều khiển hệ thống ổn định hoá của hệ là tìm hàm điều khiển (có thể phụ thuộc vào biến trạng thái) mà người ta thường gọi là hàm điều khiển ngược sao cho hệ ra, u(t) là biến điều khiển mô tả đối tượng được mô tả như những dữ liệu đầu vào có tác động quan trọng, có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống. Như vậy ta hiểu một hệ phương trình điều khiển có chậm là sự mô tả một mô hình toán học của hệ thống điều khiển biểu thị sự liên hệ vào – ra: ( ) ( ) ( )( )x t f t, x t ,u t=& u(t) x(t) Bài toán ( ) ( )u x h t, x= ( ) ( ) ( )( ) ( )( )t f t, x t , h t F t, x t= = là ổn định hoặc ổn định tiệm cận đều tại trạng ( ) x& thái cân bằng. Như vậy, hệ (1.4) gọi là ổn định hoá được nếu tồn tại hàm ( )( ) ( ), h x t u t phân n mh . : → = sao cho với hàm điều khiển này hệ phương trình vi ( ) ( ) ( )( ) ( )( )x t f t, x t , h t F t, x t= =& ổn định tiệm cận. Hàm h(x) thường được ( ) ( ) ( ) gọi là hàm điều khiển ngược (feedback control). Trường hợp hệ tuyến tính ( ) ( )x t A t x t B t u t ,= +⎧⎪ & ( ) 0x 0 x .⎨ =⎪⎩ (1.5) trong đó A(t), B(t) là các ma trận n n, n m× × tương ứng liên tục theo t 0≥ . Khi đó, hệ là ổn định hóa được nếu tồ u khiển n tại hàm điề ( ) ( )u t K t x t= ( ) sao cho hệ đóng: Trang 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t K t x t& là ổn định tiệm cận đều. N A t B= +⎡ ⎤⎣ ⎦ hư vậy mục đích của bài toán ổn định hoá là tìm các hàm điều khiển ngược h(.) (hoặc ma trận ( )m n _ K t× ) sao cho hệ là ổn định tiệ cận đều, hoặc m α -ổn định. Định nghĩa 1.9. Hệ (1.4) được gọi là α -ổn định hóa được nếu tồn tại hàm ( ) ( ( )) ( )t u t ( ) ( ) n mh . : , h x→ = sao cho với hàm điều khiển này hệ phương trình vi phân ( )( ) ( )( )t, x tx t f t, x t , h t F= =& là α -ổn định, tức là với hàm điều khiển ((h x )) ( )t u t= tồn tại các hằng số 0, M 0α > > sao cho ( )( )( ) t0 0, x , h x t M x ex t α−≤ với mọi 0t ≥ . Bây sau: giờ xét hệ điều khiển có chậm ( ) ( )( ) ( ) [ ] tx t f t, x , u t , t 0, t , t ,φ ⎧ ( )x t h,0 = ≥ ∈ &⎪⎨ = −⎪⎩ (1.6) trong đó [ ]( )n nf : C h,0 ,+ × − → , ([ ] )nh,0 ,−Cφ ∈ , h 0≥ . Hệ điều khiển (1.6) được gọi là ổn định hóa đ m , sao cho hệ ược nếu tồn tại hà ( ) n mg . : → ( ) ( )( )( )tx t f t, x , x t , t 0,⎧ g ( ) ( ) [ ]x t t , t h,0 , = ≥⎪⎨ & = φ ∈ −⎪⎩ (1.7) là ổn định tiệm cận. Cho 0α > , ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.10. Hệ (1.6) được gọi là α -ổn định hóa được nếu tồn tại hàm ( ) ( )( )u t g x t= sao cho h ương trình vi phân (1.7) là ệ ph α -điều khiển ngược ổn xét. hĩa trên thường được gọi là số mũ Lyapunov, bài to định. Nhận Số 0α > trong định ng án α -ổn định hóa được là bài toán xét tính α -ổn định của một hệ điều khiển với số mũ Lyapuno 1.4. M v cho trước. ột vài kết quả hiển* Xét hệ điều k phi tuyến ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t⎧ =⎪ ( ) ( ) ( )( ) ] 1A t x t h B t u t f t, x t , x t h ,u t , t 0, ,0 , h 0, + − +& ⎪ ( ) ( ) [x t t , t h + − ≥ ≥ (1.8) ⎨⎪ = φ ∈ −⎪⎩ Trang 7 trong đó là biến trạng thái, ( )x t X∈ ( )u t U∈ là biến điều khiển và là hàm ước thỏ( )f t, x, y, u X X U X× × × →[ ): 0,∝ phi tuyến cho tr a mãn: a,b,c 0 :∃ > ( )f t, x, y, u a x b y c u≤ + + . Đặt ( )[ ) [ ) ( ) [ ) ( )1 10, t 0,B t , a sup A t , P t+∝ ∈ +∝ . t 0, tsup p supβ ∈ +∝ ∈= = = Trước đây, GS. TSKH Vũ Ngọc Phát (2001) đã đưa ra kết quả sau. Định lý 1.6. Cho hệ điều khiển tuyến tính ( ) ( )A t ,B t⎡ ⎤⎣ ⎦ là điều khiển được về 0 toàn cục trong thời gian hữu hạn. Giả sử 1 1a 2p ≤ và tồn tại các số dương thỏa a,b,c mãn 2 2 2 2 2 2 211 4a p 4p 2 − Khi 2 1 1a , 2b p c p 4ba p 2ap 2a p< + β + < − − . đó hệ (1.8) là ổn định hóa được. * Xét hệ tuyến tính không ôtônôm (1.9) trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m0 i ix t A t x t A t x t h , t 0 h 0, ⎧ = + − ≥⎪⎨ ≥⎩ ∑& ( ) ( ) [ ] i 1 x t t , t h,0 , = ⎪ = φ ∈ − { }ih max h : i 1, 2,..., n= = , ( ) ( )n niA t i 0,1, 2,...., n×∈ = là các ma trận hàm cho trước liên tục trên + , [ ]( )nC h,0 ,−φ∈ . Với , ta ký hiệu 0α > ( ) ( ) ( ) ( )ih0, 0 i, iA t A t I A t e A t , i 1, 2,..., nαα α= + α = =, Sau đây là kết quả của N Vũ gọc Phát và Phan Thanh Nam (2005). là Định lý 1.7. Hệ (1.9) α -ổn định nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định không âm P(t) thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T i 1 P t A t P t I P t I A t = + + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )Ti, i,P t I A t A t P t I mI 0.α α 0, 0, m α α + + + + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ & * Xét hệ điều khiển phi tuyến ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ] 1x t A t x t A t x t h B t u t f t, x t , x t h ,u t , t 0, ,0 , h 0, ⎧ = + − +⎪⎪ ( ) ( ) [x t t , t h + − ≥⎨⎪ ≥ & = φ ∈ −⎪⎩ (1.10) trong đó ( ) [ ) n n mf t, x, y, u : 0,∝ × × × → n n tại các hàm liên tục không âm và giới nộ là hàm phi tuyến cho trước thỏa mãn: Tồ i ( ) ( ) (1a t , a t , b t ) sao cho Trang 8 ( ) ( ) ( ) ( )1f t, x, y,u a t x a t y b t u≤ + + . , đặt ( ) ( )A t A t Iδ= + và xét phương trình vi ph sau: = . (1.11) hiệu ân RiccatiVới số 0δ > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T TP t A t P t P t A t P t B t B t P t I 0+ + − +& Với ( )P t là nghiệm phương trình (1.11), ta ký )( t p sup P t +∈ = và đặt ( ) ( ) ( )h1 t A t e A t , b sup b t ,δ +∈ = = < ( ) +∞ ( ) ( )1 t t t B s t , a su ∈ ∈ ∈ = < +∞ = Kết quả sau đây được trích trong luận án tiến sĩ của Nguyễn 006). 1 1 1up B pa t , A sup A t+ + += < +∞ Mạnh Linh (2 Định lý 1.8. Giả sử hệ ( ) ( )A t ,B t⎡ ⎤⎣ ⎦ là điều khiển đượ về 0 sauc toàn cục một thời gian hữu hạn. Hơn nữa, với số 0δ > , các điều kiện sau được thỏa 2 10 p bB 2 < < 2 1 1 ha A 2peδ + < , 1 2p bB− ( ) ( )2 2 h1 1 t supa t pbB p A a e 2 1 1 4p δ +∈ < − − + . δ -Khi đó hệ điều khiển (1.10) là ổn định hóa c. * Xét hệ điều khiển tuyến tính không ôtônôm nhiều chậm (1.12) trong đó đượ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] m 0 i i i 1 x t A t x t A t x t h B t t , t 0 x t t , t h,0 , h 0, = ⎧ = + − + ≥⎪⎨⎪ = φ ∈ − ≥⎩ ∑& u { }ih max h : i 1, 2,..., n= = , ( ) ( )n nA t i 0,1, 2,...., n×∈ =i ước liên tục trên là các ma trận hàm cho tr + , [ ]( )nφ∈ −C h,0 , . ( ) Ký hiệu im 2 h0 i 1 1N P 1 1 e 2 α α − = = + + −∑ và xét phương trình Riccati vi phân sau đây: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T 0, m T i, i, i 1 P t A t P t I P t I A t P t I B t B t P t I P t I A t t P t I mI 0. α α α α = + + + + − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣0, A + ⎦ + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ & + = u đây được trích trong luận án ti ∑ (1.13) Kết quả sa ến sĩ của Phan Thanh Nam (2008). Trang 9 Định lý 1.9. Cho 0α > n đối x . Hệ điều khiển tuyến tính (1.12) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trậ ứng α - ( ) ( )P t BM 0,+∈ ∞ c xác định là là nghiệm c ương trình (1.13). Khi đó điều khiể đượ ủa ph n ngược ( ) ( ) ( ) ( )T1u t B t P t I x t= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ . 2 Hơn nữa, ta có đánh giá ( ) tx t N e , tαφ − 0≤ ≥ . Trang 10 CHƯƠNG 2 TÍNH α -ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN KHÔNG ÔTÔNÔM CÓ CHẬM Phần này sẽ nghiên cứu tính α -ổn định hóa cho một lớp hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến có chậm. Sử dụng hàm Lyapunov để tìm hiểu và nghiên cứu các điều kiện đủ cho tính α -ổn định mũ dưới dạng nghiệm phương trình Riccati vi phân. 2.1. Các định lý * Xét hệ điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] m 0 i i i 1 1 m x t A t x t A t x t h B t u t f t, x t , x t h ,..., x t h , u t , t 0, x t t , t h,0 , h 0,φ = ⎧ = + − +⎪⎪⎪ + − −⎨⎪ = ∈ − ≥⎪⎪⎩ ∑& ≥ (2.1) trong đó là biến trạng thái, ( ) nx t ∈ ( ) mu t ∈ là biến điều khiển, ( ) )( ( ) n miA t 2,...., n , B tn n i 0,1,× ×∈ + ∈ = [ là các ma trận hàm cho trước liên tục trên , ](C h,0− )n,φ∈ là hàm giá trị ban đầu với chuẩn [ ] ( )s h,0sup s ,∈ −φ = φ thời gian trễ { }imax h :=h i 1, 2,..., m= và ( ) [ ), y,u : 0,∝ n n m, x × × × → nf t là hàm phi tuyến cho trước thỏa mãn: ia, b ,c 0 :∃ > ( )1 m m mf t, x, y ,..., y , u a x b y c u , i 1, 2,...m≤ + + = 1 1y ... b+ + . Định nghĩa 2.1. Cho trước 0α > N , hệ (2.1) được gọi là α -ổn định hóa được nếu tồn tại hàm u(t)=g(x(t)) và 0> sao cho nghi số ệm ( )t,φ của hệ sau đx ây: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) [ ] m 0 i i i 1 1 m x t A t x t A t x t h B t g x t f t, x t , x t h ,..., x t h ,g x t , t 0, x t t , t h,0 , h 0,φ = ⎧ = + − +⎪⎪⎪ + − −⎨⎪ = ∈ − ≥⎪⎪⎩ ∑& ≥ thỏa mãn ( ) tx t, Ne , t 0−αφ ≤ φ ∀ ≥ . Cho 0α > , kí hiệu ( ) ( ) ( ) ( )ih0, 0 i, iA t A t I, A t e A t , i 1, 2,..., nαα α= + α = = . Trang 11 Đặt và ( ) ( )ty t e x tα= ( ) ( ) ( )u t K t x t= ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nt t 0 i i i 1 y t e x t e A t x t A t x t h B t K t x t f .α α = ⎡ ⎤= α + + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑& ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n t0, i, i i 1 A t B t K t y t A t y t h e f .αα α = ⎡ ⎤= + + − +⎣ ⎦ ∑ . trong đó ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t 1 m m t i i i 1 e f t, x t , x t h ,..., x t h , u t e a x t b x t h c K t x t α α = − − ≤ ⎡ ⎤≤ + − +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii i m t hht t i i i 1 m h i i i 1 a e x t b e e x t h c K t e x t a y t b e y t h c K t y t . ααα α α − = = ≤ + − + ≤ + − + ∑ ∑ Khi đó hệ (2.1) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) % ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) m 0, i, i i 1 1 m t y t A t B t K t y t A t y t h f t, y t , y t h ,..., y t h , u t , t 0, 2.2 y t e t , t h,0 , h 0, α α α φ = ⎧ ⎡ ⎤= + + −⎪ ⎣ ⎦⎪⎪ + − − ≥⎨⎪ = ∈ − ≥⎪⎪⎩ ∑& trong đó ( ) ( ) ( ) % ( )( ) ( ) ( ) % ( )im h1 m i i i 1 f t, y t , y t h ,..., y t h , u t a y t b e y t h c u tα = − − ≤ + − +∑ , với . % ( ) ( ) ( )u t K t y t= Định lý dưới đây đưa ra điều kiện α -ổn định hóa cho hệ (2.1) thông qua nghiệm phương trình Riccati vi phân tương ứng nhưng vẫn còn đặt điều kiện đối với các hệ số của nhiễu phi tuyến f phụ thuộc vào nghiệm phương trình Riccati vi phân thu được. ia, b ,c Với , 0α β > , đặt ( ) ( ) 0 1P t P t I, m m ,β 2= +β ε = ε + ε + ε ( ) ( ) t 0 t 0 p sup P t I , B sup B t ,β ≥ ≥ = +β = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T 1 T1 i, i,Q t B t B t A t A t− α α= − ε ∑ . Định lý 2.1. Cho 0α > , nếu tồn tại các số 0 1 2, , , 0β ε ε ε > và ma trận thỏa mãn: ( ) ( )P t BM 0,+∈ ∝ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (T0, 0,P t A t P t P t A t P t Q t P t I 0. RDE1β α β β α β β+ + − + ε =& ) Trang 12 Khi đó, hệ (2.1) là α -ổn định hóa được nếu ( )0 1a ,2pβ i ε< ( ) 1 2 0 1 2h 2ap1b , i p e 3 β α β ⎡ ⎤ε ε −⎣ ⎦< ( ) k i i 1 2 h2 2 2 0 k k 1 m 3h 2ap b p e 1 ( )b , i 2,...,m i p e 3 − α β β = α β ⎡ ⎤ε ε − −⎣ ⎦< = ∑ ( ) i m 2 h1 2 2 0 2 i i 1 42 2ap b p e c , p B α− β β = β ε − − ε < ∑ i Hơn nữa, hàm điều khiển là ( ) ( ) ( ) ( )T1u t B t P t x t . 2 β = − Chứng minh. Đặt và ( )ty e x tα= ( ) ( ) ( )T1K t B t P t 2 β = − thì với điều khiển ngược hệ (2.1) trở thành ( )u t K t= ( ) ( )x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) % ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) m 0, i, i i 1 1 m t y t A t B t K t y t A t y t h f t, y t , y t h ,..., y t h , u t , t 0, 2.2 y t e t , t h,0 , h 0, α α = α ⎧ ⎡ ⎤= + + −⎪ ⎣ ⎦⎪⎪ + − − ≥⎨⎪ = φ ∈ − ≥⎪⎪⎩ ∑& trong đó ( ) ( ) ( ) % ( )( ) ( ) ( ) % ( )im h1 m i i i 1 f t, y t , y t h ,..., y t h , u t a y t b e y t h c u tα = − − ≤ + − +∑ , với % ( ) ( ) (u t K t y t= ) . Xét hàm Lyapunov ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i tm t 1 2 i 1 t h V t, y P t y t , y t y s , y s dsβ = − = + ε + ε ∑ ∫ Lấy đạo hàm của hàm ( )tV t, y dọc theo nghiệm ( )y t của hệ ta được Trang 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t m 1 2 1 2 i i i 1 V t, y P t y t , y t 2 P t y t , y t m y t , y t y t h , y t h β β = = + + ε + ε − ε + ε − −∑ & & & ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T 0, 0, 1 2 m T i, i i 1 m m 1 i i 2 i i 1 i 1 P t A t P t P t A t m I y t , y t P t B t B t P t y t , y t 2 P t A t y t h , y t y t h , y t h 2 P t f . , y t y t h , y t h α β β α β β β α = β = = ⎡ ⎤= + + + ε + ε⎣ ⎦ − + − ε − − + −ε − − ∑ ∑ ∑ & i − Sử dụng bổ đề bình phương đủ ta có đánh giá sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m i, i 1 i i i 1 i 1 m 1 T i, i. i 1 2 P t A t y t h , y t y t h , y t h P t A t A t P t y t , y t . β α = = − β α α β = − − ε − − ≤ ε ∑ ∑ ∑ Khi đó ta có đánh giá sau ( ) ( ) ( ) ._.