Các công trình khoa học đã được công bố có liên quan đến Luận án tiến sỹ Toán học (Nghiên cứu sinh Bùi Tiến Dũng)

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Nghieân cuùu sinh BUØI TIEÁN DUÕNG CAÙC COÂNG TRÌNH KHOA HOÏC ÑAÕ ÑÖÔÏC COÂNG BOÁ COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN LUAÄN AÙN TIEÁN SYÕ TOAÙN HOÏC Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc : TS. NGUYEÃN THAØNH LONG PGS.TS. NGUYEÃN HOÄI NGHÓA TP. HOÀ CHÍ MINH – 2005 LÔØI CAM ÑOAN  Toâi xin cam ñoan ñaây laø coâng trình nghieân cöùu cuûa toâi. Caùc keát quaû vaø soá lieäu trong luaän aùn laø trung thöïc vaø chöa töøng ñöôïc ai coâng boá trong baát kyø moät coâng trình naøo khaùc. Taùc giaû luaän aùn Lôøi caûm ôn     Con xin ghi taïc coâng ôn sinh thaønh vaø döôõng duïc cuûa Cha meï ñeå con khoân lôùn neân ngöôøi. Toâi xin ghi ôn taát caû Quyù Thaày, Coâ ñaõ daïy cho toâi töø thuôû aáu thô cho ñeán ngaøy toâi ñöôïc thaønh ñaït hoâm nay. Kính göûi ñeán TS. Nguyeãn Thaønh Long, Khoa Toaùn – Tin cuûa Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï Nhieân Thaønh phoá Hoà Chí Minh, cuøng PGS. TS. Nguyeãn Hoäi Nghóa, Ban Sau Ñaïi Hoïc cuûa Ñaïi Hoïc Quoác Gia Thaønh phoá Hoà Chí Minh, loøng bieát ôn vaø taát caû nhöõng tình caûm toát ñeïp nhaát vì söï taän tuïy daïy doã cuûa Quyù Thaày ñaõ daønh cho toâi, keå caû nhöõng nghieâm khaéc caàn thieát cuûa Quyù Thaày trong vieäc höôùng daãn cho toâi hoïc taäp vaø nghieân cöùu khoa hoïc, nhaèm giuùp toâi ñöôïc neân ngöôøi. Toâi cuõng xin baøy toû loøng bieát ôn ñeán Quyù Thaày phaûn bieän ñoäc laäp luaän aùn, Quyù Thaày trong Hoäi ñoàng ñaùnh giaù luaän aùn tieán syõ caáp Boä moân, Hoäi ñoàng ñaùnh giaù luaän aùn tieán syõ caáp Nhaø nöôùc, ñaõ ñoùng goùp nhieàu yù kieán quyù baùu, giuùp cho toâi hoaøn thaønh toát ñeïp luaän aùn naøy. Chaân thaønh caûm ôn Quyù Thaày, Coâ cuøng caùc Chuyeân vieân ôû Vuï Ñaïi hoïc vaø Sau Ñaïi hoïc cuûa Boä Giaùo Duïc vaø Ñaøo Taïo, vaø ôû Phoøng Sau Ñaïi hoïc cuûa Truôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình giuùp cho toâi hoaøn taát caùc thuû tuïc hoïc taäp vaø baûo veä luaän aùn tieán syõ. Toâi cuõng xin chaân thaønh caûm ôn Ban Giaùm Hieäu Tröôøng Ñaïi hoïc Kieán Truùc Thaønh phoá Hoà Chí Minh cuøng Quùy Thaày, Coâ ñoàng nghieäp thuoäc Khoa Khoa hoïc Cô Baûn ñaõ ñoäâng vieân vaø taïo nhieàu ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi hoaøn taát vieäc hoïc taäp, nghieân cöùu khoa hoïc. Ñaëc bieät xin ñöôïc caûm ôn Thaïc syõ Ninh Quang Thaêng, Khoa Tröôûng Khoa Khoa Hoïc Cô Baûn cuûa Tröôøng Ñaïi hoïc Kieán Truùc Thaønh phoá Hoà Chí Minh, ngöôøi laõnh ñaïo, ngöôøi anh, vaø laø ñoàng nghieäp ñaõ luoân saùt caùnh beân toâi, giuùp ñôõ raát nhieàu cho toâi trong söï nghieäp giaûng daïy, quaûn lyù toå chöùc ñeå cho toâi taäp trung hoaøn thaønh ñöôïc luaän aùn tieán syõ naøy. Sau cuøng, toâi xin göûi taát caû nhöõng tình caûm yeâu thöông vaø loøng bieát ôn ñoái vôùi gia ñình, nôi ñaõ göûi gaém ôû toâi nieàm tin, nôi cho toâi nhöõng an laønh vaø söùc maïnh, nhôø ñoù toâi coù theå vöôït qua khoù khaên, trôû ngaïi ñeå hoïc taäp, nghieân cöùu vaø hoaøn thaønh luaän aùn tieán syõ cuûa mình. Buøi Tieán Duõng PHAÀN MÔÛ ÑAÀU Trong caùc ngaønh Khoa hoïc öùng duïng nhö Vaät lyù, Hoùa hoïc, Cô hoïc, Kyõ thuaät, ... thöôøng xuaát hieän caùc baøi toaùn bieân phi tuyeán raát phong phuù vaø ña daïng. Ñaây chính laø nguoàn ñeà taøi khoâng bao giôø caïn maø raát nhieàu caùc nhaø toaùn hoïc töø tröôùc ñeán nay quan taâm nghieân cöùu. Hieän nay, vôùi nhöõng thaønh töïu cuûa Toaùn hoïc hieän ñaïi, nhieàu coâng cuï saâu saéc döïa vaøo neàn taûng cuûa Giaûi tích haøm ñaõ xaâm nhaäp vaøo töøng baøi toaùn bieân phi tuyeán cuï theå ôû moät möùc ñoä naøo ñoù. Tuy nhieân, nhìn moät caùch toång quaùt, chuùng ta vaãn chöa coù moät phöông phaùp toaùn hoïc chung ñeå giaûi quyeát cho moïi baøi toaùn bieân phi tuyeán. Do ñoù coøn raát nhieàu caùc baøi toaùn bieân phi tuyeán vaãn chöa giaûi hoaëc giaûi ñöôïc moät phaàn töông öùng vôùi soá haïng phi tuyeán cuï theå naøo ñoù. Trong luaän aùn naøy chuùng toâi seõ khaûo saùt moät soá baøi toaùn bieân coù lieân quan ñeán nhieàu vaán ñeà trong caùc ngaønh Khoa hoïc öùng duïng. Chaúng haïn caùc phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi caùc loaïi ñieàu kieän bieân khaùc nhau xuaát hieän trong caùc baøi toaùn moâ taû dao ñoäng cuûa moät vaät ñaøn hoài ( moät daây hoaëc moät thanh ñaøn hoài) vôùi caùc raøng buoäc phi tuyeán ôû beà maët vaø taïi bieân, hoaëc moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vôùi moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính treân moät neàn cöùng hoaëc moät neàn ñaøn nhôùt vôùi caùc raøng buoäc ñaøn hoài phi tuyeán ôû beà maët, caùc raøng buoäc lieân heä vôùi löïc caûn ma saùt nhôùt. Coâng cuï ñeå khaûo saùt caùc baøi toaùn bieân treân ñöôïc chuùng toâi söû duïng vaø trình baøy trong luaän aùn laø caùc phöông phaùp cuûa Giaûi tích haøm phi tuyeán nhö: phöông phaùp Galerkin, phöông phaùp compact vaø ñôn ñieäu, phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính lieân heä vôùi caùc ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng, phöông phaùp tieäm caän ... Ngoaøi phaàn toång quan ôû chöông môû ñaàu, keát quaû chính cuûa luaän aùn seõ ñöôïc trình baøy trong hai chöông sau: Chöông 1: Trong chöông naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán moät daïng phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchhoff ,0 ),1,0(),,,,,,() ,( 22 TtxuuuutxfuutBu txxtt  (0.1) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát ,(t)),1( ),(),0(),0( 100 gtutgtuhtux  (0.2) vaø ñieàu kieän ñaàu ),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t  (0.3) trong ñoù 1010 , , ~ ,~ , , gguufB laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát ôû phaàn sau vaø 00 h laø haèng soá cho tröôùc. Trong phöông trình (0.1) caùc soá haïng phi tuyeán ),( 2 utB  vaø ),,,,,( 2 uuuutxf t  phuï thuoäc vaøo tích phaân .),()( 1 2 2       N i i dxtx x u tu (0.4) Phöông trình (0.1) ñöôïc toång quaùt hoùa töø phöông trình moâ taû dao ñoäng cuûa moät daây ñaøn hoài (Kirchhoff [16]):  ,0 , 0 ,),( y u 2 0 2 0 TtLxudyty L E Phu xx L tt             (0.5) ôÛ ñaây u laø ñoä voõng,  laø khoái löôïng rieâng, h laø thieát dieän, L laø chieàu daøi sôïi daây ôû traïng thaùi ban ñaàu, E laø moâñun Young vaø 0P laø löïc caêng luùc ban ñaàu. Tuy nhieân, trong nhieàu taøi lieäu sau naøy ( xem [13, 15, 23, 24, 30, 39]) vaãn goïi phöông trình thuoäc daïng (0.5) laø phöông trình soùng chöùa toaùn töû Carrier hoaëc gheùp teân chung vaø goïi laø phöông trình soùng chöùa toaùn töû Kirchhoff-Carrier. Thaät ra giöõa hai baøi baùo goác cuûa Kirchhoff (1876)[16] vaø cuûa Carrier (1945)[7] coù söï khaùc bieät, bôûi vì chuùng toâi tìm thaáy trong [7] cuûa Carrier ñaõ coâng boá naêm 1945 thì phöông trình khoâng phaûi thuoäc daïng (0.5), maø laïi laø ,0 , 0 ,),( 0 2 10 TtLxudytyuPPu xx L tt           (0.6) trong ñoù 10 , PP laø caùc haèng soá döông. Trong moät soá tröôøng hôïp rieâng cuûa B vaø f, baøi toaùn Cauchy hay hoãn hôïp cho phöông trình (0.1) ñaõ ñöôïc nghieân cöùu bôûi nhieàu taùc giaû nhö Ebihara, Medeiros vaø Miranda[13]; Pohozaev[34]; Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36], Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39]. Trong hai coâng trình gaàn ñaây (xem [31, 32]), caùc taùc giaû Medeiros, Limaco, Menezes ñaõ cho moät toång quan caùc keát quaû veà khía caïnh toaùn hoïc coù lieân quan ñeán moâ hình Kirchhoff-Carrier. Trong [14], Frotta chuù yù nghieân cöùu phöông trình soùng cho mieàn n-chieàu nIR ,0,),,() ,( 2 TtxtxfuuxButt  (0.7) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát vaø ñieàu kieän ñaàu. Thay vì xeùt (0.7), Larkin[18] nghieân cöùu phöông trình soùng ,0 ,),,(),,())( ,,( 2 TtxtxfutxgututxBu ttt  (0.8) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát vaø ñieàu kieän ñaàu, vôùi    .),()( 22 dxtxutu Trong [37], caùc taùc giaû Santos-Ferreira-Pereira-Raposo nghieân cöùu baøi toaùn vôùi phöông trình soùng ,0 ),1,0(,0)()( 2 TtxufuuuBu ttt  (0.9) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp phi tuyeán vaø ñieàu kieän ñaàu. Trong [38], Tucsnak nghieân cöùu baøi toaùn ,0 , 10 0,),( 1 0 2              txudytyy u bau xxtt (0.10) ,0 ,0),1( ),1( ,0),0(  ttututu tx  (0.11) ),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t  (0.12) trong ñoù 0 ,0 ,0  ba laø caùc haèng soá cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy, baøi toaùn (0.10) - (0.12) moâ taû söï keùo giaõn sôïi daây. Trong [30] Medeiros ñaõ khaûo saùt baøi toaùn )1.0( - )3.0( vôùi ,)( 2buuff  ôû ñaây b laø moät haèng soá döông cho tröôùc,  laø moät taäp môû bò chaän cuûa .3IR Trong [15], Hosoya vaø Yamada ñaõ xeùt baøi toaùn vôùi ,)( uuuff   trong ñoù  > 0 ,   0 laø caùc haèng soá cho tröôùc. Trong [8] Dmitriyeva ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn ),(0,),( ),,( . 22 TtxtxFuuuuu ttt   (0.13)       2 1 2 2 0 ,0 i i i v x u u treân , (0.14) ),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t  (0.15) trong ñoù, ),,0(),0(   vectô ),( 21 vvv  laø phaùp tuyeán ñôn vò treân bieân  höôùng ra ngoaøi, ,6/22h  vôùi ,h laø caùc haèng soá döông. Trong tröôøng hôïp naøy, baøi toaùn (0.13)-(0.15) moâ taû dao ñoäng phi tuyeán cuûa moät baûn hình vuoâng coù taûi troïng tónh. Trong [26], N.T Long vaø caùc taùc giaû ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn ),,0(),( ),,( )(. 122 TtxtxFuuuuBuu tttt    (0.16) 0 ,0     v u u treân  , (0.17) ),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t  (0.18) trong ñoù  > ,0  > ,0 0 <  < 1 laø caùc haèng soá cho tröôùc vaø  laø moät taäp môû bò chaän cuûa .nIR Baèng caùch toång quaùt keát quaû cuûa [8, 26], caùc taùc giaû N.T Long vaø T.M. Thuyeát [27] ñaõ xeùt baøi toaùn ),,0(),( ),,(),( )(. 22 TtxtxFuufuuBuu ttt   (0.19) 0 ,0     v u u treân  , (0.20) ).(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t  (0.21) Trong [9], Alain Phaïm ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø daùng ñieäu tieäm caän khi   0 cuûa nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn )1.0( - )3.0( vôùi B  1 lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát Dirichlet ,0),1( ),0(  tutu (0.22) ôû ñaây soá haïng phi tuyeán coù daïng ).,( 1 utff  Sau ñoù, trong [10] Alain P.N. Ñònh vaø N.T. Long ñaõ xeùt baøi toaùn )1.0( - )3.0( vôùi B  1 vaø soá haïng phi tuyeán coù daïng ),,( 1 tuutff  (0.23) Trong [21] N.T. Long vaø T.N. Dieãm ñaõ khaûo saùt phöông trình soùng phi tuyeán ,0),1,0(),,,,,( ),,,,( 1 Ttxuuutxfuuutxfuu txtxxxtt   0.24) lieân keát vôùi ñieàu kieän ñaàu (0.3) vaø ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát 0,),0(),1(),0(),0( 10  tuhtutuhtu xx (0.25) trong ñoù 10 , hh laø caùc haèng soá döông cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp )),0[]1,0([ 32 IRCf  vaø ),),0[]1,0([ 311 IRCf  trong [12] thu ñöôïc keát quaû thu ñöôïc lieân quan ñeán khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm baøi toaùn nhieãu ñeán caáp 2 theo moät tham soá  ñuû nhoû. Keát quaû naøy tieáp tuïc ñöôïc môû roäng trong [24] vôùi phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchhoff: ),,,,,( ),,,,( )] (.) ([ 1 2 1 2 0 txtx xxxxtt uuutxfuuutxf uuBuBbu     (0.26) lieân keát vôùi ñieàu kieän )3.0( vaø )22.0( trong ñoù 00 b laø haèng soá cho tröôùc vaø 0 ,0 ),( ),( 1 1 1 2   BBIRCBIRCB laø caùc haøm cho tröôùc. Trong chöông naøy, chuùng toâi taäp trung giaûi quyeát hai vaán ñeà: Vaán ñeà thöù nhaát: Chuùng toâi lieân keát baøi toaùn vôùi moät daõy qui naïp tuyeán tính hoäi tuï maïnh trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp vaø chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn baèng phöông phaùp Galerkin thoâng duïng keát hôïp vôùi phöông phaùp compact. Chuù yù raèng phöông phaùp tuyeán tính hoùa trong chöông naøy cuõng nhö trong caùc baøi baùo [6, 10, 21, 23, 24, 33] khoâng theå söû duïng trong caùc baøi baùo [3, 5, 9, 11, 12, 13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34] Vaán ñeà thöù hai: Chuùng toâi khaûo saùt baøi toaùn nhieãu ) ,,,,,(.ε) ,,,,,( )] ,(.ε) ,([ 2 1 2 2 1 2 xtxxtx xxxxtt uuuutxfuuuutxf uutButBu   (0.27) vaø tìm caùch khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu ),(ε txu ñeán caáp N+1 theo moät tham soá beù . Trong vaán ñeà thöù nhaát, tröôùc heát chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn (0.1) - (0.3) töông öùng vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát ,0 ),1,0( ),,,,,,() ( 22 TtxuuuutxfuuBu xtxxxxtt  (0.28) ,0),1(),0(),0( 0  tutuhtux (0.29) ),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t  (0.30) trong ñoù 10 ~ ,~ , , uufB laø caùc haøm cho tröôùc. ÔÛ ñaây, soá haïng phi tuyeán ôû veá phaûi cuûa (0.28) xaùc ñònh bôûi haøm f ñöôïc giaû söû raèng )]1,0([ 30   IRIRIRCf vaø theâm moät soá ñieàu kieän phuï. Keá tieáp chuùng toâi môû roäng vieäc khaûo saùt cuõng vôùi phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchhoff-Carrier nhöng laïi lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát nhö sau: ,0),1,0(),,,,,,() ,( 22 TtxuuuutxfuutBu xtxxxxtt  (0.31) ,(t)),1( ),(),0(),0( 100 gtutgtuhtux  (0.32) ),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t  (0.33) trong ñoù 1010 , , ~ ,~ , , gguufB laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát sau. Baèng vieäc ñaët aån phuï thích hôïp, chuùng toâi ñöa baøi toaùn (0.31) - (0.33) veà baøi toaùn coù ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát thuoäc daïng (0.28) - (0.30) vôùi söï ñieàu chænh laïi caùc haøm 10 ~ ,~ , , uufB trong (0.28) - (0.30) thaønh caùc haøm 10 ~ ,~ , ~ , ~ vvfB . Tuy nhieân ñeå giaûi baøi toaùn (0.31) - (0.33) thì giaû thieát )]1,0([ 30   IRIRIRCf khoâng ñuû maø phaûi laø ),]1,0([ 31   IRIRIRCf dó nhieân cuõng phaûi boå sung theâm moät soá ñieàu kieän phuï. Maët khaùc cho duø ),]1,0([ 31   IRIRIRCf thì vôùi caùc döõ kieän 10 ~ ,~ , ~ , ~ vvfB cho baøi toaùn (0.31) - (0.33) cuõng khoâng aùp duïng tröïc tieáp keát quaû ñaõ khaûo saùt cho baøi toaùn (0.28) - (0.30). Ñieàu naøy cho thaáy raèng baøi toaùn (0.28) - (0.30) laø tröôøng hôïp rieâng cuûa baøi toaùn (0.31) - (0.33), nhöng veà keát quaû thì laïi laø khoâng. Chính vì vaäy, chuùng toâi vaãn phaûi trình baøy hai baøi toaùn (0.1) - (0.3) töông öùng vôùi hai ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát vaø khoâng thuaàn nhaát. Trong vaán ñeà thöù hai, ñeå xaây döïng yù töôûng vaø cô sôû laäp luaän, tröôùc tieân chuùng toâi khaûo saùt phöông trình nhieãu ) ,,,,,(.ε) ,,,,,( )] ,(.ε) ,([ 2 1 2 2 1 2 xtxxtx xxxxtt uuuutxfuuuutxf uutButBu   0.34) lieân keát vôùi (0.32) vaø (0.33). Khi ñoù vôùi caùc giaû thieát thích hôïp veà 1010 , , ~ ,~ , , gguufB , chuùng toâi thu ñöôïc moät nghieäm yeáu ),(ε txu coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo moät tham soá  ñuû nhoû. Keá tieáp, chuùng toâi môû roäng vieäc khai trieån tieäm caän ñeán caáp cao hôn cho phöông trình nhieãu ) ,,,,,(.ε) ,,,,,( )](.ε)([ 22 2 1 2 xtxxtx xxxxtt uuuutxfuuuutxf uuBuBu   (0.35) lieân keát vôùi (0.29) vaø (0.30). Chuùng toâi thu ñöôïc moät nghieäm yeáu ),(ε txu coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp N+1 theo moät tham soá  ñuû nhoû vaø caùc giaû thieát thích hôïp cho 10 ~ ,~ , , uufB . Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng boá trong hai baøi baùo [d1, d2] Chöông 2: Chuùng toâi xeùt phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi moät phöông trình tích phaân phi tuyeán chöùa giaù trò bieân. Baøi toaùn ñaët ra laø tìm moät caëp haøm (u, P) thoûa ,0),1,0( ,0),( Ttxuufuu txxtt  (0.36) ,0),1( ),(),0(  tutPtux (0.37) ),()0,( ),()0,( 10 xuxuxuxu t  (0.38) trong ñoù 10 , , uuf laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá ñieàu kieän naøo ñoù seõ ñöôïc giaû thieát sau. AÅn haøm u(x,t) vaø giaù trò bieân chöa bieát P(t) thoûa moät phöông trình tích phaân phi tuyeán   t dssustKtuHtgtP 0 ,)),0(,()),0(()()( (0.39) trong ñoù g, H vaø K laø caùc haøm cho tröôùc. Baøi toaùn (0.36) - (0.39) ñaõ ñöôïc nhieàu taùc giaû quan taâm nghieân cöùu theo nhieàu kieåu ñieàu kieän bieân khaùc nhau töông öùng vôùi caùc yù nghóa cô hoïc naøo ñoù, chaúng haïn nhö : Trong [1], N.T. An vaø N.Ñ. Trieàu vaø trong [20] N.T. Long, Alain P.N. Ñònh ñaõ xeùt baøi toaùn (0.36), (0.38) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân ,0),1( ),(),0(  tutPtux (0.40) trong ñoù aån haøm u(x,t) vaø giaù trò bieân chöa bieát P(t) thoûa baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân thöôøng ,0 ,),0()()('' 2 TtthutPtP tt  (0.41) ,)0(' ,)0( 10 PPPP  (0.42) ôû ñaây 10 , ,0 ,0 PPh  laø caùc haèng soá cho tröôùc [1, 20]. Trong [1] ñaõ nghieân cöùu moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa baøi toaùn (0.36), (0.38) (0.41), (0.42) vôùi 0 010  Puu vaø ,.),( tt uKuuuf  (0.43) vôùi K vaø  laø caùc haèng soá döông cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy baøi toaùn (0.36), (0.38), (0.41), (0.42) laø moâ hình toaùn hoïc moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vaø moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính coù moät ñaàu ñaët treân moät neàn cöùng. Baèng vieäc giaûi baøi toaùn (0.41), (0.42) ta thu ñöôïc P(t) bieåu thò theo t)(0, , , , , 10 ttuhPP  vaø sau khi tích phaân töøng phaàn, ta ñöôïc   t dssustkthutgtP 0 ,),0()(),0()()( (0.44) trong ñoù       . sin)( , sin))0(( 1 cos))0(()( 1100 thtk thuPtuhPtg     (0.45) Baèng caùch khöû bôùt moät aån haøm P(t) thì ñieàu kieän bieân (0.37) coù daïng .0),1( s,),0()(),0()(),0( 0   tudsustkthutgtu t x (0.46) Cuõng vôùi tt uKuuuf .),(  , trong [5], Bergounioux, N.T. Long vaø Alain P.N. Ñònh ñaõ khaûo saùt baøi toaùn (0.36), (0.38), (0.44) vaø 0,),1(.),1(),1( ),(),0( 1  tutuKtutPtu txx  (0.47) ôû ñaây 11 , , ,  KK laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc. Baøi toaùn naøy moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vaø moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính töïa treân moät neàn ñaøn nhôùt vôùi caùc raøng buoäc tuyeán tính ôû beà maët vaø caùc raøng buoäc lieân keát vôùi löïc caûn ma saùt nhôùt. Trong tröôøng hôïp ),10( ),( 1     ttt uuuuf (0.48) Ñ.Ñ. AÙng vaø Alain P.N. Ñònh trong [3] ñaõ thieát laäp ñöôïc moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát cuûa moät nghieäm toaøn cuïc cho baøi toaùn (0.36) - (0.38) vôùi 10 , , uuP laø caùc haøm cho tröôùc. Baèng söï toång quaùt hoùa cuûa [1, 3, 20], baøi toaùn (0.36) - (0.38) cuõng ñöôïc xeùt bôûi - Alain P.N. Ñònh vaø N.T. Long [11,12] vôùi k  0 vaø )),,0(()()( tuHtgtP  (0.49) ôû ñaây H laø haøm cho tröôùc cuõng nhaän tröôøng hôïp H(s) = hs nhö laø tröôøng hôïp rieâng. - N.T. Long vaø T.M. Thuyeát [28] vôùi   t dsustktuHtgtP 0 s.),0()()),0(()()( (0.50) Trong chöông naøy, chuùng toâi thöïc hieän hai phaàn chính. ÔÛ phaàn thöù 1, chuùng toâi chöùng minh ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm yeáu toaøn cuïc cuûa baøi toaùn (0.36) - (0.39). Vieäc chöùng minh döïa treân cô sôû cuûa phöông phaùp xaáp xæ Galerkin keát hôïp vôùi caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm, caùc kyõ thuaät cuûa phöông phaùp compact vaø phöông phaùp hoäi tuï yeáu. Trong phaàn xaáp xæ Galerkin, chuùng toâi cuõng söû duïng ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng Schauder ñeå kieåm tra söï toàn taïi cuûa nghieäm xaáp xæ. Söï khoù khaên chính gaëp phaûi trong phaàn naøy laø ñieàu kieän bieân taïi 0x . Ta chuù yù raèng phöông phaùp tuyeán tính hoùa ñaõ söû duïng trong [6, 10, 21, 23, 24, 33] khoâng duøng ñöôïc trong [3, 5, 9, 11-13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34]. Trong phaàn thöù 2 cuûa chöông naøy, chuùng toâi chöùng minh nghieäm (u,P) laø oån ñònh ñoái vôùi caùc haøm g, H vaø K. Caùc keát quaû thu ñöôïc ôû ñaây ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû trong [1, 3, 5, 9-12, 17, 20, 21, 25, 28, 33] vaø ñaõ ñöôïc coâng boá trong [d3]. Caùc keát quaû treân ñaây cuûa luaän aùn ñaõ ñöôïc coâng boá trong ([d1]-[d4]) vaø ñaõ tham gia baùo caùo trong caùc hoäi nghò: - Hoäi nghò veà Phöông trình ñaïo haøm rieâng vaø ÖÙng duïng, Haø Noäi, 27-29/12/99. - Hoäi nghò Toaùn hoïc Vieät nam toaøn quoác laàn thöù 6, Hueá, 7-10/9/2002. - Hoäi nghò Khoa hoïc laàn 2, ÑHKH Töï Nhieân Tp HCM, 5-2000. - Hoäi nghò Khoa hoïc laàn 3, ÑHKH Töï Nhieân Tp HCM, 10-2002. - Hoäi nghò Khoa hoïc Khoa Toaùn – Tin hoïc, Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp HCM, 22/12/2000. - Hoäi nghò Khoa hoïc Khoa Toaùn – Tin hoïc, Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp HCM, 21-22/12/2002. Chöông 1 PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN COÙ CHÖÙA TOAÙN TÖÛ KIRCHHOFF 1.1. Giôùi thieäu Trong chöông naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán moät daïng phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchhoff ñöôïc lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp ,0),1,0(),,,,,,() ,( 22 TtxuuuutxfuutBu xtxxxxtt  (1.1.1) ,(t)),1( ),(),0(),0( 100 gtutgtuhtux  (1.1.2) ),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t  (1.1.3) trong ñoù 1010 , , ~ ,~ , , gguufB laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá giaû thieát naøo ñoù maø ta seõ ñaët sau. Trong phöông trình (1.1.1) caùc soá haïng phi tuyeán ),( 2 xutB vaø ),,,,,( 2 xtx uuuutxf phuï thuoäc vaøo tích phaân  1 0 22 .),( dxtxuu xx (1.1.4) Chuùng toâi taäp trung giaûi quyeát hai vaán ñeà Vaán ñeà thöù nhaát: Chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñòa phöông cuûa baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) töông öùng vôùi hai tröôøng hôïp thuaàn nhaát ( 0)()( 10  tgtg ) vaø khoâng thuaàn nhaát ( )(0)( 10 tgtg  ). YÙ töôûng vaø coâng cuï toång quaùt ñeå khaûo saùt söï toàn taïi nghieäm laø thieát laäp moät daõy qui naïp tuyeán tính lieân keát vôùi baøi toaùn, sau ñoù söû duïng xaáp xæ Galerkin vaø phöông phaùp compact ñeå chöùng minh daõy naøy hoäi tuï maïnh veà nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp. Söï duy nhaát nghieäm ñöôïc chöùng minh nhôø vaøo boå ñeà Gronwall sau moät soá caùc pheùp tính toaùn vaø ñaùnh giaù cuï theå. Vaán ñeà thöù hai: Chuùng toâi khaûo saùt baøi toaùn nhieãu ) ,,,,,(.ε) ,,,,,( )] ,(.ε) ,([ 2 1 2 2 1 2 xtxxtx xxxxtt uuuutxfuuuutxf uutButBu   (1.1.5) lieân keát vôùi (1.1.2), (1.1.3) vaø tìm caùch khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu ),(ε txu ñeán moät caáp naøo ñoù phuï thuoäc vaøo tính trôn cuûa caùc haøm 11 , , , ffBB theo moät tham soá beù . Trong vaán ñeà thöù nhaát, tröôùc heát chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát ,0 ),1,0( ),,,,,,() ( 22 TtxuuuutxfuuBu xtxxxxtt  (1.1.6) ,0),1(),0(),0( 0  tutuhtux (1.1.7) ),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t  (1.1.8) trong ñoù 10 ~ ,~ , , uufB laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát ôû phaàn sau vaø 00 h laø haèng soá cho tröôùc. Trong phöông trình (1.1.6) soá haïng phi tuyeán )( 2 xuB baây giôø khoâng phuï thuoäc vaøo bieán thöù nhaát ( bieán thôøi gian t ) maø chæ phuï thuoäc vaøo tích phaân  1 0 22 ),( dxtxuu xx . Sau ñoù, vôùi moät soá giaû thieát naøo ñoù treân caùc haøm cho tröôùc 1010 , , ~ ,~ , , gguufB vaø baèng vieäc ñoåi aån haøm baèng pheùp tònh tieán           ),()()1( 1 1 ),( ),,(),(),( 10 0 ) (0 tgetgx h tx txtxutxv txh  (1.1.9) baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) ñöôïc ñöa veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát sau ,0,10 ),)()(,,,,,( ~ ))()( ,( 22 Ttx ttvvvvtxfvttvtBv xxtxxxxxtt    (1.1.10) ,0),1(),0(),0( 0  tvtvhtvx (1.1.11) ),(~)0,( ),(~)0,( 10 xvxvxvxv t  (1.1.12) trong ñoù ,),(),,,,,(),,,,,( ~ ttzzttxxtx ztBzvvvtxfzvvvtxf   (1.1.13) ).0,()(~)(~ ),0,()(~)(~ 1100 xxuxvxxuxv t  (1.1.14) Tuy nhieân, baøi toaùn (1.1.10) - (1.1.13) khoâng söû duïng ñöôïc keát quaû cuûa baøi toaùn (1.1.6) - (1.1.8). Do ñoù, chuùng toâi tieáp tuïc trình baøy chöùng minh keát quaû toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) töông öùng vôùi tröôøng hôïp khoâng thuaàn nhaát ( )(0)( 10 tgtg  ). Trong vaán ñeà thöù hai, ñeå xaây döïng yù töôûng vaø cô sôû laäp luaän, tröôùc tieân chuùng toâi khaûo saùt phöông trình nhieãu (1.1.5) lieân keát vôùi (1.1.2), (1.1.3) vaø thu ñöôïc moät nghieäm yeáu ),(ε txu coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo moät tham soá  ñuû nhoû. Keá tieáp, chuùng toâi môû roäng vieäc khai trieån tieäm caän cho phöông trình nhieãu ) ,,,,,( ε) ,,,,,( )] ( ε) ([ 2 1 2 2 1 2 xtxxtx xxxxtt uuuutxfuuuutxf uuBuBu   (1.1.15) lieân keát vôùi (1.1.7) vaø (1.1.8) ñeå thu ñöôïc moät nghieäm yeáu ),(ε txu coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp N+1 theo moät tham soá beù . Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng boá trong hai baøi baùo [d1, d2]. 1.2. Kyù hieäu vaø caùc keát quaû chuaån bò Chuùng ta boû qua caùc ñònh nghóa cuûa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng. Ta kyù hieäu .T,T),(ΩQ(ΩHH(ΩHH(ΩLL T mmmmPP 00),),), 00  Ta duøng kyù hieäu  ,  ñeå chæ tích voâ höôùng trong 2L hay caëp tích ñoái ngaãu cuûa moät phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc vôùi moät phaàn töû cuûa moät khoâng gian haøm Kyù hieäu  ñeå chæ chuaån trong 2L vaø kyù hieäu X  ñeå chæ chuaån trong moät khoâng gian Banach X. Ta goïi X  laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa X. Ta kyù hieäu ,1),;,0(  pXTLP laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm ño ñöôïc u : (0 ,T) X, sao cho           )( 1 0 );,0( pT P XP dttuu XTL neáu ,1  p vaø X tuessu Tt XTL )(sup 0 );,0(    neáu .p Kyù hieäu )()( ),()( ),()( ),()( ),( tututututututututu xxxttt   thay cho ),)(/( ),,)(/( ),,)(/( ),,)(/( ),,( 2222 txxutxxutxtutxtutxu  laàn löôït töông öùng. Vôùi f = f(x,t,u,v,w,z), ta ñaët ./ ,/ ,/ ,/ ,/ ,/ 654321 zffDwffDvffDuffDtffDxffD  Baây giôø ñaët }, 0)1(:)1,0( { 1  vHvV )1.2.1( .)0()0()()(),( 1 0 0  vuhdxxvxuvua xx )2.2.1( Khi ñoù V laø moät khoâng gian con ñoùng cuûa 1H vaø treân V thì ba chuaån ,1Hv , xv Vv ),( vva laø töông ñöông. Chuùng ta coù caùc boå ñeà sau Boå ñeà 1.2.1. Pheùp nhuùng V  ])1,0([0C laø compact vaø vôùi moïi ,Vv ta coù V vvv xC ])1,0([0  , )3.2.1( 2 1  1Hv  xv Vv 1),1max( 0 Hvh . )4.2.1( Boå ñeà 1.2.2. Daïng song tuyeán tính ñoái xöùng a( , ) ñöôïc ñònh nghóa trong )2.2.1( laø lieân tuïc treân VV  vaø cöôõng böùc treân V. Boå ñeà 1.2.3. Toàn taïi moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert }~ { jw cuûa 2L goàm caùc haøm rieâng }~ { jw töông öùng vôùi giaù trò rieâng j sao cho : ...,...0 21  j ,lim  jj  )5.2.1( vwvwa jjj , ~),~(  vôùi moïi ,Vv j = 1, 2, ... )6.2.1( Hôn nöõa, daõy } /~{ jjw  cuõng laø moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert cuûa V ñoái vôùi tích voâ höôùng a( , ). Maët khaùc, jw ~ cuõng thoûa baøi toaùn giaù trò bieân          ]).1,0([ ~ ,0)1(~)0(~)0(~ , trong~~ 0 CVw wwhw ww j jjj jjj x  )7.2.1( Vieäc chöùng minh caùc boå ñeà 1.2.1 vaø 1.2.2 thì khoâng coù gì khoù khaên vaø phöùc taïp, ta coù theå boû qua. Ñoái vôùi boâû ñeà 1.2.3, phaàn chöùng minh coù theå tìm thaáy trong [35], trang 137, Ñònh lyù ,1.2.6 vôùi H = ,2L coøn V, a( , ) ñöôïc ñònh nghóa bôûi )1.2.1( vaø )2.2.1( . 1.3. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát Chuùng ta baét ñaàu khaûo saùt baøi toaùn )6.1.1( - )8.1.1( vôùi caùc giaû thieát ñöôïc ñaët ra döôùi ñaây :)( 1H 00 h :)( 2H ;, ~ 1 2 0 VuHVu  :)( 3H ;0)( ),( 0 1   bzBIRCB :)( 4H )]1,0([ 30   IRIRIRCf thoûa 0),,,,,1(:)( '4 zwvutfH vôùi moïi t, z 0 vaø ,),,( 3IRwvu  :)( ''4H .6 5, 4, 3, 1,),]1,0([ 30   iIRIRIRCfDi (Chuù yù raèng khoâng caàn thieát ).]1,0([ 31   IRIRIRCf Vôùi B vaø f thoûa caùc giaû thieát )( 3H vaø )( 4H töông öùng, ta xaây döïng caùc haèng soá sau ñoái vôùi moãi M > 0 vaø T > 0 ,),,,,,(sup),,(00 zwvutxffTMKK  )1.3.1( ),,,,,,)(sup(),,( 6 3 111 zwvutxfDfDfTMKK i i   )2.3.1( ôû ñaây, trong moãi tröôøng hôïp, sup ñöôïc laáy treân mieàn ,0 Tt  ,10  x ,Mwvu  .0 2Mz  ,)(sup),( ~ 20 00 zBBMKK Mz  )3.3.1( .)('sup),( ~ 20 11 zBBMKK Mz  )4.3.1( Vôùi moãi M >0 vaø T > ,0 ta ñaët }, ,, ),(),;,0(:);,0( {),( )();,0();,0( 2 22 2 Mvvv QLvVTLvHVTLvTMW T ttt Tttt QLVTLHVTL     )5.3.1( )}.,,0(),,({),( 21 LTLvTMWvTMW tt  )6.3.1( Ta lieân keát baøi toaùn )6.1.1( - )8.1.1( vôùi moät daõy quy naïp tuyeán tính }{ mu sau Tröôùc heát, choïn soá haïng ñaàu tieân 00 ~uu  . Giaû söû raèng ).,(11 TMWum  )7.3.1( Sau ñoù, tìm ),(1 TMWum  thoûa baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính  vtFvtuatbvtu mmmm ),()),(()(),( vôùi moïi ,Vv )8.3.1( ,~)0( 0uum  , ~)0( 1uum  )9.3.1( ôû ñaây ).)(),(),(),(,,(),( ),)(()( 2 1111 2 1         tututututxftxF tuBtb mmmmm mm  )10.3.1( Khi ñoù, ta coù Ñònh lyù 1.3.1. Giaû söû caùc giaû thieát )()( 41 HH  ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá döông M vaø T vaø moät daõy qui naïp tuyeán tính ),(}{ 1 TMWum  ñöôïc xaùc ñònh bôûi ).10.3.1()8.3.1(  Chöùng minh. Vieäc chöùng minh ñònh lyù bao goàm nhieàu böôùc Böôùc1. Xaáp xæ Galerkin (xem Lions[17]) Trong V ta choïn cô sôû tröïc chuaån Hilbert } /~{ jjj ww  nhö ñaõ neâu ra trong boå ñeà 1.2.3. Ñaët    k j j k mj k m wtctu 1 )()( ,)()( )11.3.1( trong ñoù )(kmjc thoûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính ,1 ,),()),(()(),( )()( kjwtFwtuatbwtu jmj k mmj k m   )12.3.1( k k m uu 0 )( ~)0(  , ,~)0( 1 )( k k m uu  )13.3.1( ôû ñaây 00 ~~ uu k  maïnh trong , 2HV  )14.3.1( 11 ~~ uu k  maïnh trong V . )15.3.1( Töø giaû thieát ),(11 TMWum  ta suy ra heä phöông trình )13.3.1()12.3.1(  coù duy nhaát nghieäm )( )( tu km trong khoaûng .0 )( TTt km  Caùc ñaùnh giaù tieân löôïng sau ñaây cho pheùp ta laáy TT k m  )( vôùi moïi m vaø k. Böôùc 2. Ñaùnh giaù tieân löôïng. Ñaët  t k m k m k m k m dssutYtXtS 0 2)()()()( ,)()()()(  )16.3.1( ôû ñaây )),(),(()()()( )()( 2)()( tutuatbtutX km k mm k m k m   )17.3.1( .)()())(),(()( 2)()()()( tutbtutuatY kmm k m k m k m   )18.3.1( Töø ),12.3.1( )13.3.1( vaø ),18.3.1()16.3.1(  ta ñöôïc       t k m k m k mm k m k m dssususuasbStS 0 2)()()()()( )())(),(()()0()( +   t k mm t k mm dssusFadssusF 0 )( 0 )( ))(),((2)(),(2   t k m dssu 0 2)( )( = 4321 )( )0( IIIIS km  . )19.3.1( Chuùng ta t._.ieán haønh ñaùnh giaù caùc tích phaân coù maët trong veá phaûi cuûa (1.3.19). Tích phaân thöù 1. Ta coù ),)(()( 2 1 tuBtb mm  .)(),())((2)( 11 2 1   tututuBtb mmmm  )20.3.1( Duøng giaû thieát ),( 3H ta thu ñöôïc töø )4.3.1( vaø ),7.3.1( raèng   .~2)( )( )(2)( 121121 KMtututuBtb mmmm    )21.3.1( Keát hôïp )18.3.1()16.3.1(  vaø ),21.3.1( ta ñöôïc  t k m dssS b KM I 0 )( 0 1 2 1 .)( ~ 2 )22.3.1( Tích phaân thöù 2. Töø ),1.3.1( ),10.3.1( )16.3.1( vaø ),17.3.1( ta coù   t k m t k mm dssSKdssusFI 0 )( 0 0 )( 2 .)(2)( )(2 )23.3.1( Tích phaân thöù 3. Töø (1.3.1), (1.3.2), (1.3.7) vaø )10.3.1( ta suy ñöôïc raèng 2 )( V sFm = .)31(4),0()( 2 00 22 1 2 0 2 KhMKsFhsF mm  )24.3.1( Do vaäy töø (1.3.16), (1.3.18) vaø (1.3.24) ta thu ñöôïc  t k mm dssusFI VV 0 )( 3 )( )(2   t k m dssSKhMK 0 )( 00 2 1 .)(]312[2 )25.3.1( Tích phaân thöù 4. Phöông trình )12.3.1( ñöôïc vieát laïi ,1 ,),(),()(),( )()( kjwtFwtutbwtu jmj k mmj k m   )26.3.1( theo ñoù ta thay jw bôûi )( )( tu km vaø tích phaân hai veá ta ñöôïc   t m t k mm t k m dssFdssusbdssu 0 2 0 2)(2 0 2)( .)(2)()(2)( )27.3.1( Töø (1.3.1), (1.3.3), (1.3.7), (1.3.10), (1.3.16) vaø (1.3.18), ta keát luaän .2)( ~ 2 0 2 0 )( 04   t k m TKdssSKI )28.3.1( Keát hôïp (1.3.19), (1.3.22), (1.3.23), (1.3.25) vaø (1.3.28), ta coù   t k m k m k m dssSKhMKTKStS 0 )( 00 2 1 2 0 )()( )()1(31222)0()(         t k m dssS b KM K 0 )( 0 1 2 0 )( ~ ~ 2 200 2 1 2 0 )( ])1(312[ 2 1 2)0( KhMKTTKS km          t k m dssS b KM K 0 )( 0 1 2 0 )( ~ ~ 12  t k m k m dssSMCTMCS 0 )( 21 )( ,)()(),()0( )29.3.1( ôû ñaây                  . ~ ~ 12)( ,])1(312[ 2 1 2),( 0 1 2 02 2 00 2 1 2 01 b KM KMC KhMKTTKTMC )30.3.1( Baây giôø ta caàn ñaùnh giaù soá haïng ).0()(kmS Ta coù ].~)~,~()[~()~,~(~)0( 2 000 2 011 2 1 )( kkkkkk k m uuuauBuuauS  )31.3.1( Do (1.3.14), )15.3.1( vaø )31.3.1( ta suy ra raèng toàn taïi moät haèng soá ,0M ñoäc laäp vôùi k vaø m sao cho 2)( 2 1 )0( MS km  vôùi moïi k vaø m. )32.3.1( Chuù yù raèng töø giaû thieát )( 4H ta coù .1 ,0 ,0),,( 0 lim   ifTMKT i T )33.3.1( Nhö vaäy töø )30.3.1( vaø (1.3.33), ta choïn ñöôïc moät haèng soá 0T sao cho 221 2 ))(exp()),( 2 1 ( MMTCTMCM  )34.3.1( vaø .1 ) ~ 1)( 1 1(exp ))1( ~ ( 1 122 1 2 0 2 11 2 0               TKM b KMKM b TkT )35.3.1( Cuoái cuøng töø (1.3.29), (1.3.32) vaø (1.3.34), ta thu ñöôïc  t k m k m dssSMCMTCMtS 0 )( 22 2)( ,)()())(exp()( .0 )( TTt km  )36.3.1( AÙp duïng boå ñeà Gronwall ta suy ñöôïc töø )36.3.1( raèng 222 2)( ))(exp())(exp()( MtMCMTCMtS km  vôùi moïi ].,0[ )(kmTt )37.3.1( Do ñoù coù theå choïn TT km  )( vôùi moïi k vaø m. Vaäy ta coù ),(1 )( TMWu km  vôùi moïi k vaø m. )38.3.1( Töø )38.3.1( ta trích ra töø daõy }{ )(kmu moät daõy con vaãn kyù hieäu laø }{ )(k mu sao cho m k m uu  )( yeáu * trong ),;,0( 2HVTL  )39.3.1( m k m uu   )( yeáu * trong ),;,0( VTL )40.3.1( m k m uu   )( yeáu trong ),(2 TQL )41.3.1( ).,( TMWum  )42.3.1( Qua giôùi haïn trong (1.3.12), (1.3.13) bôûi ),41.3.1()39.3.1(  ta coù mu thoûa )9.3.1()8.3.1(  yeáu trong ).,0(2 TL Maët khaùc, töø (1.3.7), )8.3.1( vaø )42.3.1( cho ),,,0()( 2LTLFutbu mmmm  do vaäy ),(1 TMWum  vaø Ñònh lyù 1.3.1 ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn. Ñònh lyù 1.3.2. Giaû söû )()( 41 HH  ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá 0,0  TM thoûa (1.3.32), )34.3.1( vaø )35.3.1( sao cho baøi toaùn (1.1.6) - (1.1.8) coù duy nhaát moät nghieäm yeáu ).,(1 TMWu Maët khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính }{ mu ñöôïc xaùc ñònh bôûi )10.3.1()8.3.1(  thì hoäi tuï maïnh veà nghieäm u trong khoâng gian )}.;,0( :);,0({)( 21 LTLvVTLvTW    Hôn nöõa, ta cuõng coù ñaùnh giaù m Tmm Ckuuuu LTLVTL );,0();,0( 2    , vôùi moïi m, )43.3.1( trong ñoù , 1 ) ~ 1)( 1 1(exp ))1( ~ ( 1 122 1 2 0 2 11 2 0               TKM b KMKM b TkT )44.3.1( vaø C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo T, , , 10 uu vaø Tk . Chöùng minh. a./ Söï toàn taïi nghieäm Tröôùc heát, ta löu yù raèng )(1 TW laø moät khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån (xem Lions[17]) )(1 TW v = );,0();,0( 2LTLVTL vv    . )45.3.1( Ta seõ chöùng minh raèng }{ mu laø moät daõy Cauchy trong ).(1 TW Ñaët .1 mmm uuv   Khi ñoù mv thoûa baøi toaùn bieán phaân , ,),()( ),())()(()),(()(),( 1 11 VvvtFtF vtutbtbvtvatbvtv mm mmmmmm      )46.3.1( .0)0()0(  mm vv  )47.3.1( Choïn mvv  trong (1.3.46), sau ñoù laáy tích phaân theo bieán t, ta ñöôïc dssvsvasbtP mm t mm ))(),(()()( 0 1  + dssvsusbsb mm t mm   )(),())()((2 0 1  + ,)(,)()(2 0 1 dssvsFsF m t mm    )48.3.1( ôû ñaây ))(),(()()()( 1 2 tvtvatbtvtP mmmmm   )49.3.1( Maët khaùc, töø ),2.3.1( )4.3.1( vaø )7.3.1( ta thu ñöôïc , ~ 2)( )())((2)( 1 22 1 KMtututuBtb mmmm    )50.3.1( , ~ 2)( ~ 2)()( )(1 11111 TWmmmm vKMtvKMtbtb   )51.3.1(  )()()1(2)()( 1111 tvtvMKtFtF mmmm    .)1(2 )(1 11 TWm vMK  )52.3.1( Töø )52.3.1()48.3.1(  suy ra raèng 2 0 2 )()( Vmm tvbtv   t Vmm dssvKMtP 0 2 1 2 )( ~ 2)( +  t mm dssvvKM TW 0 1 11 2 )( ~ 4 )(  +  t mm dssvvMK TW 0 1 11 )()1(4 )(   t Vm dssvKM 0 2 1 2 )( ~ 2 +  t mm dssvvKMKM TW 0 1 111 2 )(])1( ~ [4 )(  2 1 1 2 11 2 )( ])1( ~ [2 TWm vKMKMT  + .))()(() ~ 1(2 2 0 2 1 2 dssvsvKM Vm t m    )53.3.1( Do vaäy )( 1 1)()( 0 22 tP b tvtv mVmm        2 )1 1 2 11 2 0 ( ))1( ~ ( 1 12 TWm vKMKMT b        .))()(() ~ 1( 1 12 2 0 2 1 2 0 dssvsvKM b V m t m          )54.3.1( Töø (1.3.54), ta suy ra raèng )()( 1 1 1 TWTW mTm vkv  vôùi moïi m, )55.3.1( trong ñoù 1 ) ~ 1)( 1 1(exp))1( ~ ( 1 122 1 2 0 2 11 2 0              TKM b KMKM b TkT . Töø ñaây ta thu ñöôïc )()( 1 01 1 1 )( TWTW uu k k uu T m T mpm    vôùi moïi m, p. )56.3.1( Suy ra }{ mu laø moät daõy Cauchy trong ).(1 TW Do ñoù toàn taïi moät )(1 TWu thoûa uum  maïnh trong ).(1 TW )57.3.1( Chuù yù raèng vì ),,(1 TMWum  cho neân töø }{ mu ta coù theå tìm ra moät daõy con }{ jmu sao cho uu jm  yeáu * trong ),;,0( 2HVTL  )58.3.1( uu jm   yeáu * trong ),;,0( VTL )59.3.1( uu jm   yeáu trong ),(2 TQL )60.3.1( ).,( TMWu )61.3.1( Chuù yù raèng )())(()()( 2 tutuBtutb mm  )()( ~ 2)()( ~ 11 2 0 tutuKMtutuK mm   ).,0( .,. , ~ 2 ~ )()( 1 11 2 1 0 TteauuKMuuK TWTW mm   )62.3.1( Töø )57.3.1( vaø )62.3.1( cho utuBtutb mm  ))(()()( 2 maïnh trong ).;,0( 2LTL )63.3.1( Töông töï . )();,0( 1 112 2 )1(2 ))(,,,,,( TWLTL uuKMtuuuutxfF mxxm   )64.3.1( Keát hôïp )57.3.1( vaø )64.3.1( ta ñöôïc ))(,,,,,( 2 tuuuutxfF xxm  maïnh trong ).;,0( 2LTL )65.3.1( Laáy giôùi haïn trong )10.3.1()8.3.1(  vôùi , jmm keát hôïp vôùi (1.3.58) - (1.3.60), )63.3.1( vaø )65.3.1( ta suy ñöôïc raèng toàn taïi ),( TMWu thoûa phöông trình , ,,)(,,,,,( )),(())( (),( 2 2 Vvvtuuuutxf vtuatuBvtu xx x     )66.3.1( vaø ñieàu kieän ñaàu .~)0( ,~)0( 10 uuuu   )67.3.1( Maët khaùc, töø (1.3.63), (1.3.65) vaø )66.3.1( ta thu ñöôïc  ))(,,,,,())( ( 22 tuuuutxfutuBu xxxxx  ).;,0( 2LTL )68.3.1( Nhö vaäy ).,( 1 TMWu b./ Tính duy nhaát nghieäm Giaû söû 21, uu laø caëp nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3), thoûa .2 ,1 ),,(1  iTMWui )69.3.1( Khi ñoù, 21 uuu  seõ thoûa baøi toaùn bieán phaân , ,),( ~ )( ~ ),())t( ~ )t( ~ ()),(()( ~ ),( 21 2211 VvvtFtF vtuBBvtuatBvtu    )70.3.1( vaø ñieàu kieän ñaàu ,0)0()0(  uu  )71.3.1( ôû ñaây .2 ,1 ),)(,,,,,()( ~ ),)(()( ~ 22  ituuuutxftFtuBtB iiiiiii  )72.3.1( Choïn uv  trong (1.3.70), roài tích phaân töøng phaàn ta thu ñöôïc dssusuasBtubtu t V ))(),(()( ~ )()( 0 1 2 0 2   +   t dssususBsB 0 221 )(),())( ~ )( ~ (2  + .)(),( ~ )( ~ 2 0 21  t dssusFsF  )73.3.1( Ñaët Z(t) = 22 )()( V tutu  vaø ].)2( ~ 2[ 1 12 ~ 11 2 0 KMKM b KM        )74.3.1( Khi ñoù töø (1.3.73), (1.3.74) cho )(tZ .],0[ ,)( ~ 0   t M TtdssZK )75.3.1( AÙp duïng boå ñeà Gronwall, ta suy ñöôïc ,0)( tZ coù nghóa laø . 21 uu  Vaäy Ñònh lyù 1.3.2 ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn. 1.4. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát Chuùng ta tieáp tuïc khaûo saùt baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) vôùi caùc giaû thieát ñöôïc ñaët ra döôùi ñaây: :)( 1G 00 h ; );( , :)( 3102  IRCggG :)( 3G ; ~,~ 1 2 0 VuHVu  :)( 4G ;0),( ),( 0 21   bztBIRCB :)( 5G )]1,0([ 31   IRIRIRCf thoûa 0),,,,,1( zwvutf vôùi moïi t, z 0 vaø .),,( 3IRwvu  Thay vì xeùt baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3), ta seõ ñöa noù veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát theo caùch laøm nhö sau: Vôùi 0 ],1,0[  zx vaø ,0t ta ñaët ),()()1( 1 1 ),( 1 0 0 0 )1( tgetgx h tx xh     )1.4.1( ,),(),,,,,(),,,,,( ~ ttxxttxxtx ztBzvvvtxfzvvvtxf  )2.4.1( ),0,()(~)(~ 00 xxuxv  ),0,()( ~)(~ 11 xxuxv t )3.4.1( cuøng vôùi caùc ñieàu kieän nhaát quaùn ).1(~)0,1()0( ),0(~)0(~)0,0()0,0()0( 01 00 / 000 uug uhuuhug x   )4.4.1( Khi ñoù vôùi pheùp ñoåi bieán ),,(),(),( txtxutxv  )5.4.1( baøi toaùn (1.1.1) – (1.1.3) ñöôïc ñöa veà baøi toaùn bieân – giaù trò ñaàu sau ,0 ),1,0( ),)()(,,,,,( ~ ))()(,( 22 Ttx ttvvvvtxfvttvtBv xxtxxxxxtt   )6.4.1( ,0),1(),0(),0( 0  tvtvhtvx )7.4.1( ).(~)0,( ),(~)0,( 10 xvxvxvxv t  )8.4.1( Ta seõ giaûi baøi toaùn (1.4.6) – (1.4.8) vôùi fvv ~ ,~ ,~ 10 cho bôûi (1.4.2), (1.4.3). Cho tröôùc M >0 vaø T >0, ta ñaët ,),( );,0();,0( 2211 LTLLTL TMM    )9.4.1( ,),,,,,( ~ sup) ~ ,,(00 zwvutxffTMKK  )10.4.1(   , ),,,,,( ~~~~~ sup ) ~ ,,( ///// 11 zwvutxfffff fTMKK zwvux   )11.4.1( ôû ñaây, trong moãi tröôøng hôïp, sup ñöôïc laáy treân mieàn ,0 Tt  ,10  x ,Mwvu  ,)(0 21MMz  , ),(sup),,( ~~ 2)(0 ,0 00 1 ztBBTMKK MMT zt   )12.4.1( . ),(),(sup),,( ~~ 2 1)(0 ,0 11              zt z B zt t B BTMKK MMT zt )13.4.1( Vôùi moãi M >0 vaø T > 0, ta ñaët }, ,, ),(),;,0(:);,0( {),( )();,0();,0( 22 22 Mvvv QLvVTLvHVTLvTMW T ttt Tttt QLVTLHVTL     )14.4.1( )},;,0( :),( {),( 21 LTLvTMWvTMW tt  )15.4.1( ôû ñaây ),0( TQT  . Ta lieân keát baøi toaùn )6.4.1( - )8.4.1( vôùi moät daõy quy naïp tuyeán tính nhö sau Choïn soá haïng ñaàu tieân 00 ~vv  . Giaû söû raèng ).,(11 TMWvm  )16.4.1( Ta tìm ),(1 TMWvm  thoûa baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính  wtFwtvatbwtv mmmm ),()),(()(),( vôùi moïi ,Vw )17.4.1( ,~)0( 0vvm  , ~)0( 1vvm  )18.4.1( trong ñoù         ).)()(),(),(),(,,( ~ ),( ),)()(,()( 2 1111 2 1 ttvtvtvtvtxftxF ttvtBtb mmmmm mm  )19.4.1( Ñònh lyù 1.4.1. Giaû söû caùc giaû thieát )()( 51 GG  ñöôïc thoûa. Khi ñoù, toàn taïi caùc haèng soá döông M vaø T vaø moät daõy qui naïp tuyeán tính ),(}{ 1 TMWvm  ñöôïc xaùc ñònh bôûi ).19.4.1()17.4.1(  Chöùng minh. Vieäc chöùng minh ñònh lyù bao goàm nhieàu böôùc Böôùc 1. Xaáp xæ Galerkin (xem Lions [17]) Trong V ta choïn cô sôû tröïc chuaån Hilbert } /~{ jjj ww  nhö ñaõ neâu ra trong boå ñeà 1.1.3. Ñaët    k j j k mj k m wtctv 1 )()( ,)()( )20.4.1( trong ñoù )(kmjc thoûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính ,1 ,),()),(()(),( )()( kjwtFwtvatbwtv jmj k mmj k m   )21.4.1( k k m vv 0 )( ~)0(  , ,~)0( 1 )( k k m vv  )22.4.1( ôû ñaây 00 ~~ vv k  maïnh trong , 2H )23.4.1( 11 ~~ vv k  maïnh trong . 1H )24.4.1( Töø giaû thieát ),,(11 TMWvm  ta suy ra raèng heä phöông trình )22.4.1()21.4.1(  coù duy nhaát nghieäm )()( tv km trong khoaûng .0 )( TTt km  Caùc ñaùnh giaù tieân löôïng sau ñaây seõ cho pheùp ta laáy TT k m  )( vôùi moïi m vaø k. Böôùc 2. Ñaùnh giaù tieân löôïng. Ñaët  t k m k m k m k m dssvtYtXtS 0 2)()()()( ,)()()()(  )25.4.1( ôû ñaây )),(),(()()()( )()( 2)()( tvtvatbtvtX km k mm k m k m   )26.4.1( .)()())(),(()( 2)()()()( tvtbtvtvatY kmm k m k m k m   )27.4.1( Töø ),21.4.1( )22.4.1( vaø ),27.4.1()25.4.1(  ta ñöôïc       t k m k m k mm k m k m dssvsvsvasbStS 0 2)()()()()( )())(),(()()0()( +   t k mm t k mm dssvsFadssvsF 0 )( 0 )( ))(),((2)(),(2      t k mm tvdssF s 0 )( ),1()),1((2 ),1(),1(2 )( tvtF kmm  )0,1()0,1(2 )(kmm vF   t k m dssv 0 2)( )( )0()(kmS )1( ~)0,1(2 0km vF        t k m k m k mm dssvsvsvasb 0 2)()()( )())(),(()( +   t k mm t k mm dssvsFadssvsF 0 )( 0 )( ))(),((2)(),(2   t k m dssv 0 2)( )( +    t k mm dssvsF s 0 )( ),1()),1((2     t k mm tvdssF s 0 )( ),1()),1((2 ),1()0,1(2 )( tvF kmm  )0()(kmS )1( ~)0,1(2 0km vF  + 654321 IIIIII  ).,1()0,1(2 )( tvF kmm  )28.4.1( Chuùng ta seõ tieán haønh ñaùnh giaù caùc tích phaân coù maët trong veá phaûi cuûa )28.4.1( . Tích phaân thöù 1. Ta coù ),)()(,(2)( 2 1 ttvtBtb mm   .)()(),()( ))()(,(2 ))()(,()( 11 2 1 2 1             ttvttv ttvt z B ttvt t B tb mm m mm  )29.4.1( Duøng giaû thieát ),( 4G ta thu ñöôïc töø )13.4.1( vaø ),16.4.1( raèng )()( )()( ))()(,(2 ))()(,()( 11 2 1 2 1 ttvttv ttvt z B ttvt t B tb mm m mm              . ~ ))(21( 1 2 1 KMM  )30.4.1( Keát hôïp )27.4.1()25.4.1(  vaø ),30.4.1( ta ñöôïc            t k m t k m k m k mm dssSKMM b dssvsvsvasbI 0 )( 1 2 1 0 0 2)()()(/ 1 .)( ~ )(21 1 )())(),(()( )31.4.1( Tích phaân thöù 2. Töø ),2.4.1( ),10.4.1( )25.4.1( ),19.4.1( vaø ),26.4.1( ta coù     t k m t k mm t k mm dssSKdssvsF dssvsFI 0 )( 0 0 )( 0 )( 2 .)(2)( )(2 )(),(2   )32.4.1( Tích phaân thöù 3. Töø ),2.4.1( ),10.4.1( )16.4.1( ),11.4.1( vaø )19.3.1( ta suy ra 2 )( V sFm = .)31(4),0()( 2 00 22 1 2 0 2 KhMKsFhsF mm  )33.4.1( Do vaäy töø )25.4.1( , )27.4.1( vaø ),33.4.1( ta thu ñöôïc  t k mm dssvsFaI 0 )( 3 ))(),((2    t k mm dssvsF VV 0 )( )( )(2   t k m dssSKhMK 0 )( 00 2 1 .)(]312[2 )34.4.1( Tích phaân thöù 4. Phöông trình )21.4.1( ñöôïc vieát laïi .1 ,),(),()(),( )()( kjwtFwtvtbwtv jmj k mmj k m   )35.4.1( Töø ñoù ta thay jw bôûi )(k mv vaø tích phaân hai veá ta ñöôïc   t m t k mm t k m dssFdssvsbdssv 0 2 0 2)(2 0 2)( .)(2)()(2)( )36.4.1( Töø ),2.4.1( ),10.4.1( ),12.4.1( ),16.4.1( )25.4.1( ),19.4.1( vaø ),27.4.1( ta keát luaän .2)( ~ 2)( 0 2 0 )( 0 0 2)( 4   t k m t k m TKdssSKdssvI  )37.4.1( Tích phaân thöù 5. Töø giaû thieát )( 2G vaø ),( 5G ta suy ñöôïc töø ),3.4.1()1.4.1(  raèng ),()()(),1( 11 2 0 tgtghtbtF mm  )38.4.1( ).()()()()()),1(( 11 2 01 2 0 tgtgtbhtgtbhtF t mmm    )39.4.1( Töø )30.4.1( vaø )39.4.1( daãn ñeán )()()()()()),1(( 11 2 01 2 0 tgtgtbhtgtbhtF t mmm      ),,( ~~ )(21 1 110 2 011 2 0 2 1 TMD ggKhgKhMM        )40.4.1( ôû ñaây ta kyù hieäu  . laø chuaån ]),0([0 TC . . Ta chuù yù raèng .)()1( 1 )()( ),(),0(),1( )( 0 0 )()( 0 1 0 )()()( tSh b tvtvh dxtxvtvtv k m k mV k m k m k m k m     )41.4.1( Töø )40.4.1( vaø )41.4.1( cho ta   .)(),()1( 1 ),1(),1(2 0 )( 10 0 0 )( 5        t k m t k mm dssSTMDh b dssvsF s I )42.4.1( Tích phaân thöù 6. Söû duïng baát ñaúng thöùc , , ,3 3 1 2 22 IRbabaab  )43.4.1( ta thu ñöôïc töø )40.4.1( vaø )41.4.1( raèng   ).( 3 1 ),()1( 3 )(),()1( 2 ),1(.),1(2 )(2 1 22 0 0 )( 10 0 0 )( 6 tSTMDTh b tSTMTDh b tvdssF s I k m k m t k mm        )44.4.1( Maët khaùc, söû duïng moät laàn nöõa baát ñaúng thöùc )43.4.1( vaø do ),41.4.1( ta thu ñöôïc soá haïng cuoái cuøng beân veá phaûi cuûa )28.4.1( ñöôïc ñaùnh giaù nhö sau ).( 3 1~ 4 3 )( ~ )(])0()0())0(~,0()[1( 2 ),1()0,1(2 )(2 0 )( 0 )( 11 2 0 2 00 0 )( tSDtSD tSgghvBh b tvF k m k m k m k mm    )45.4.1( Keát hôïp (1.4.28), )44.4.1( ),42.4.1( ),37.4.1( ),34.4.1( ),32.4.1( ),31.4.1( vaø ),45.4.1( ta coù   t k m km k m k m dssSTMCTMC DvFStS 0 )( 21 2 00 )()( ,)(),(),( ~ 4 9 )1(~)0,1(6)0(3)( )46.4.1( ôû ñaây                                          . ~)(21 233),( ,),( 1 312)1(3 ),()1( 9 6),( , ~~ ])(21[),( , )0()0())0(~,0()1( 2~ 0 0 2 1 2 2 1 0 02 100 2 1 22 0 0 2 01 110 2 011 2 0 2 11 11 2 0 2 00 0 0 K b MM TMC TMD b h MKKhT TMDTh b TKTMC ggKhgKhMMTMD gghvBh b D )47.4.1( Baây giôø ta caàn ñaùnh giaù soá haïng ).1(~)0,1(6)0(3 0 )( km k m vFS  Ta coù ).1(~)]0()0())0(~,0([6 ]~)~,~()[)0(~,0(3 )~,~(3~3 )1(~)0,1(6 )0(3 011 2 0 2 0 2 000 2 0 11 2 1 0 )( k kkk kkk km k m vgghvB vvvavB vvav vFS     )48.4.1( Do )24.4.1( ),23.4.1( ),1.4.1( vaø )47.4.1( ta suy ra raèng toàn taïi moät haèng soá ,0M ñoäc laäp vôùi k vaø m sao cho 2 00 )( ~ 4 9 )1(~)0,1(6)0(3 DvFS km k m  , 2 1 2M vôùi moïi k vaø m. )49.4.1( Chuù yù raèng töø giaû thieát )( 4G vaø )( 5G ta coù .1 ,0 ,0),,( ~ ) ~ ,,( 00 limlim   iBTMKTfTMKT ii TT )50.4.1( Nhö vaäy töø )47.4.1( vaø ),50.4.1( ta choïn ñöôïc moät haèng soá 0T sao cho 221 2 )),(exp()),( 2 1 ( MTMTCTMCM  )51.4.1( vaø   .1 )1( ~ )2)(( 2 1 ) 1 1(exp )1( ~ )( 1 18 11111 0 1111 0                             TKMMKTMMMM b KMMKMMM b T )52.4.1( Cuoái cuøng töø (1.4.46), )49.4.1( vaø )51.4.1( ta thu ñöôïc  t k m k m dssSTMCTMTCMtS 0 )( 22 2)( ,)(),()),(exp()( .0 )( TTt km  )53.4.1( Aùp duïng boå ñeà Gronwall ta suy ñöôïc töø ),53.4.1( raèng 222 2)( )),(exp()),(exp()( MtTMCTMTCMtS km  vôùi moïi ].,0[ )(kmTt )54.4.1( Do ñoù ta coù theå choïn TT km  )( vôùi moïi k vaø m. Vaäy ta coù ),(1 )( TMWv km  vôùi moïi k vaø m. )55.4.1( Töø )55.4.1( ta coù theå trích ra töø daõy }{ )(kmv moät daõy con vaãn kyù hieäu laø }{ )(k mv sao cho m k m vv  )( yeáu * trong ),;,0( 2HVTL  )56.4.1( m k m vv   )( yeáu * trong ),;,0( VTL )57.4.1( m k m vv   )( yeáu trong ),(2 TQL )58.4.1( ).,( TMWvm  )59.4.1( Qua giôùi haïn trong ),22.4.1( ),21.4.1( bôûi ),59.4.1()56.4.1(  ta coù mv thoûa )19.4.1()17.4.1(  yeáu trong ).,0(2 TL Maët khaùc, töø (1.4.16), (1.4.17) vaø (1.4.59), ta coù ),;,0()( 2LTLFvtbv mmmm  do vaäy ),(1 TMWvm  vaø Ñònh lyù 1.4.1 ñöôïc chöùng minh hoaøn taát. Ñònh lyù 1.4.2. Giaû söû )()( 51 GG  thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá 0,0  TM thoûa (1.4.49), )51.4.1( vaø )52.4.1( sao cho baøi toaùn )6.4.1( - )8.4.1( coù duy nhaát moät nghieäm yeáu ).,(1 TMWv Maët khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính }{ mv ñöôïc xaùc ñònh bôûi )19.4.1()17.4.1(  hoäi tuï maïnh veà nghieäm v trong khoâng gian )}.;,0(:);,0({)( 21 LTLvVTLvTW    Hôn nöõa, ta cuõng coù ñaùnh giaù m Tmm Ckvvvv LTLVTL );,0();,0( 2    , vôùi moïi m, )60.4.1( trong ñoù   1 )1( ~ )2)(( 2 1 ) 1 1(exp )1( ~ ) 1 18 11111 0 1111 0                             TKMMKTMMMM b KMMKMMM b TkT )61.4.1( vaø C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo T, , , 10 uu vaø Tk . Chöùng minh. a./ Söï toàn taïi nghieäm Tröôùc heát, ta seõ chöùng minh raèng }{ mv laø moät daõy Cauchy trong ).(1 TW Vôùi cuøng pheùp tính toaùn nhö trong ñoaïn (1.3.45) - (1.3.48) ôû chöùng minh ñònh lyù 1.3.2, neáu ñaët mmm vvw  1 , ta cuõng thu ñöôïc dsswswasbtp mm t mm ))(),(()()( 0 1  + dsswsvsbsb mm t mm   )(),())()((2 0 1  + ,)(,)()(2 0 1 dsswsFsF m t mm    (1.4.62) ôû ñaây )).(),(()()()( 1 2 twtwatbtwtp mmmmm   (1.4.63) Maët khaùc, töø ),11.4.1( )13.4.1( vaø )16.4.1( ta thu ñöôïc , ~ ))(21( )()( )()())()(,(2 ))()(,()( 1 2 1 2 2 1 KMM ttv ttvttvt z B ttvt t B tb m mm mm             (1.4.64) ,)( ~ 2 )()( ~ 2)()( )(1 111 1111 TWm mmm wMMK twMMKtbtb     (1.4.65)  )()()222()()( 11111 twtwMMKtFtF mmmm    .)1(2 )(1 111 TWm wMMK  (1.4.66) Töø (1.4.62) - (1.4.66) ta suy ra raèng    t VmmVmm dsswKMMtptwbtw 0 2 1 2 1 2 0 2 )( ~ )(21)()()( +  t mm dsswwMMMK TW 0 1 111 )()( ~ 4 )(  +  t mm dsswwMMK TW 0 1 111 )()1(4 )(     t Vm dsswKMM 0 2 1 2 1 )( ~ )(21    t mm dsswwMMKMMMK TW 0 1 11111 )( )1()( ~ 4 )(     t Vm dsswKMM 0 2 1 2 1 )( ~ )(21   2 1 11111 )( )1()( ~ 2 TWm wMMKMMMKT    t m dsswMMKMMMK 0 2 1111 )()1()( ~ 2    2 1 11111 )( )1()( ~ 2 TWm wMMKMMMKT  +   )1(2)(~2~)(21 1111121 MMKMMMKKMM     t Vmm dsswsw 0 22 )()(   2 1 11111 )( )1( ~ )(2 TWm wKMMKMMMT    )1(2~)2)((21 11111 MMKKMMMM    .)()( 0 22   t Vmm dsswsw (1.4.67) Do vaäy )( 1 1)()( 0 22 tp b twtw mVmm               0 1 12 b T 2 1 11111 )( ])1( ~ )[( TWm wKMMKMMM         0 1 1 b   )1(2~)2)((21 11111 MMKKMMMM    .)()( 0 22   t Vmm dsswsw (1.4.68) Töø (1.4.68), ta suy ra raèng )()( 1 1 1 TWTW mTm wkw  vôùi moïi m, (1.4.69) trong ñoù 1 0  Tk ñöôïc xaùc ñònh nhö trong (1.4.61). Töø ñaây ta thu ñöôïc )()( 1 01 1 1 )( TWTW vv k k vv T m T mpm    vôùi moïi m, p. (1.4.70) Suy ra }{ mv laø moät daõy Cauchy trong ).(1 TW Do ñoù toàn taïi moät )(1 TWv sao cho vvm  maïnh trong ).(1 TW (1.4.71) Vì ),,(1 TMWvm  cho neân ta coù theå laáy ra töø }{ mv moät daõy con }{ jmv sao cho vv jm  yeáu * trong ),;,0( 2HVTL  (1.4.72) vv jm   yeáu * trong ),;,0( VTL (1.4.73) vv jm   yeáu trong ),(2 TQL (1.4.74) ).,( TMWv (1.4.75) Chuù yù raèng )())()(,()()( 2 tvttvtBtvtb xxmm  )()( ~ )(2)()( ~ 1110 tvtvMKMMtvtvK mm   )()( 1 111 1 0 ~ )(2 ~ TWTW vvMKMMvvK mm   (1.4.76) ).,0( .,. Ttea  Töø (1.4.71) vaø (1.4.76) cho vttvtBtvtb xxmm  ))()(,()()( 2 maïnh trong ).;,0( 2LTL (1.4.77) Töông töï   . )( );,0( 1 111 2 2 )1(2 )()(,,,,, ~ TW LTL vvKMM ttvvvvtxfF m xxxm      (1.4.78) Ta suy ra töø (1.4.71) vaø (1.4.78), raèng ))()(,,,,,( ~ 2 ttvvvvtxfF xxxm   maïnh trong ).;,0( 2LTL (1.4.79) Laáy giôùi haïn trong )19.4.1()17.4.1(  vôùi  jmm vaø keát hôïp vôùi caùc keát quaû (1.4.72) - (1.4.75), (1.4.77) vaø (1.4.79), ta suy ra raèng ),( TMWv laø nghieäm cuûa phöông trình , ,),)()(,,,,,( ~ )),(())()( ,(),( 2 2 Vwwttvvvvtxf wtvattvtBwtv xxx xx   moïi vôùi  1.4.80) vôùi ñieàu kieän ñaàu 10 ~)0( ,~)0( vvvv   . (1.4.81) Maët khaùc, töø (1.4.77), (1.4.79) vaø (1.4.80) ta thu ñöôïc ))()(,,,,,( ~ ))()( ,( 22 ttvvvvtxfvttvtBv xxxxxxx   ),;,0( 2LTL )85.4.1( do ñoù ),(1 TMWv vaø chöùng minh toàn taïi nghieäm laø hoaøn taát. b./ Tính duy nhaát nghieäm Giaû söû 21 , vv laø hai nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn ),8.4.1()6.4.1(  thoûa 2,1 ),,(1  iTMWvi . (1.4.83) Khi ñoù, )()()( 21 tvtvtv  thoûa baøi toaùn bieán phaân , ,),( ~ )( ~ ),())t( ~ )t( ~ ()),(()( ~ ),( 21 2211 VwwtFtF wtvBBwtvatBwtv   moïi vôùi  (1.4.84) vaø ñieàu kieän ñaàu ,0)0()0(  vv  (1.4.85) ôû ñaây       .2 ,1 ),)()(,,,,,( ~ )( ~ ),)()(,()( ~ 2 2 ittvvvvtxftF ttvtBtB iiiii ii  (1.4.86) Choïn vw  trong (1.4.84), sau ñoù tích phaân töøng phaàn ta thu ñöôïc dsswswasBtwbtw t V ))(),(()( ~ )()( 0 1 2 0 2   +   t dsswsvsBsB 0 221 )(),())( ~ )( ~ (2  + .)(),( ~ )( ~ 2 0 21  t dsswsFsF  (1.4.87) Ñaët                  . )2(2 ~ )2)((21 1 1 ~ ,)()()( 11111 0 22 KMMKMMMM b K twtwtZ M V  1.4.88) Khi ñoù ta suy ra töø (1.4.87), (1.4.88) raèng )(tZ  t M dssZK 0 ,)( ~ ].,0[ Tt  (1.4.89) AÙp duïng boå ñeà Gronwall ta suy ñöôïc ,0)( tZ coù nghóa laø . 21 vv  Vaäy Ñònh lyù 1.4.2 ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn. Chuù thích 1.4.1. Veà tính duy nhaát nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn coù ñieàu kieän bieân khoâng thuaàn nhaát (1.1.1) - (1.1.3). Giaû söû baøi toaùn coù hai ngieäm yeáu 21 , uu sao cho ),;,0( 2HTLui  ),;,0( 1HTLui  ),;,0( 2LTLui  2 ,1i vôùi moät 0T thích hôïp. Khi ñoù 21 - uuu  laø nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn coù ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát (1.1.1) - (1.1.3) töông öùng vôùi          2 2222 2 1111 1010 ,,,,, ,,,,, ,0~~ ,0 uuuutxfuuuutxff uugg  (1.4.90) thoûa ),;,0( 2HTLu  ),;,0( 1HTLu  ).;,0( 2LTLu  (1.4.91) Vôùi caùch laøm töông töï cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát, ta thu ñöôïc .0 - 21  uuu Do ñoù baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) coù duy nhaát moät nghieäm yeáu maø khoâng phuï thuoäc vaøo haøm  trong caùch ñoåi aån haøm .  uv 1.5. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu ñeán caáp 3 theo moät tham soá  Trong phaàn naøy, ta tieáp tuïc xeùt baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) cuøng vôùi caùc giaû thieát )()( 51 GG  , vaø giaû söû theâm raèng ; 0),( ),( :)( 1 21 16   ztBIRCBG 17 :)( fG thoûa giaû thieát ).( 5G Chuùng ta khaûo saùt baøi toaùn nhieãu trong ñoù ε laø tham soá, ε 1:                      ).,(ε),(),( ),,,,,,(ε),,,,,(),,,,,( ),(~)0,( ),(~)0,( ),(),1( ),(),0(),0( ,0 ,10 ),,,,,,(),( )( 2 1 22 2 1 22 10 100 22 ε ε εε ε xxx xtxxtxxtx t x xtxxtt utButButB uuuutxfuuuutxfuuuutxF xuxuxuxu tgtutgtuhtu TtxuuuutxFuutBu P Tröôùc heát, ta chuù yù raèng neáu caùc haøm 111010 , , , ,g ,g , ~ ,~ ffBBuu thoûa caùc giaû thieát )()( 71 GG  thì baøi toaùn )( εP töông ñöông vôùi baøi toaùn bieân - giaù trò ñaàu: ) ~ ( εP            ),(~)0,( ),(~)0,( ,0),1(),0(),0( ,0 ,10 ),)()(,,,,,( ~ ))()(,( 10 0 22 εε xvxvxvxv tvtvhtv Ttx ttvvvvtxFvttvtBv t x xxtxxxxxtt trong ñoù ),()()1( 1 1 ),( 1 )1(0 0 0 tgetgx h tx xh     ,),(),,,,,(),,,,,( ~ εε ttxxttxxtx ztBzvvvtxFzvvvtxF  )0,()(~)(~ 00 xxuxv  , )0,()( ~)(~ 11 xxuxv t . Chuù yù raèng caùc ñaùnh giaù tieân löôïng cuûa daõy xaáp xæ Galerkin }{ )(kmv trong phaàn chöùng minh cuûa ñònh lyù 1.4.1 ñoái vôùi baøi toaùn ) ~ ( εP , thoûa ),,(1 )( TMWv km  )1.5.1( trong ñoù M vaø T laø caùc haèng soá ñoäïc laäp vôùi . Thaät vaäy, trong tieán trình chöùng minh, ta cuõng choïn caùc haèng soá döông M vaø T töông töï nhö trong ),49.4.1( ),51.4.1( ),52.4.1( vôùi ) ~ ,,( fTMKi vaø ),,,( ~ BTMKi 1 ,0i laàn löôït thay bôûi ) ~ ,,(sup ε 1 ε FTMKi  vaø ),,( ~ ),,( ~ 1BTMKBTMK ii  , 1 ,0i . Do vaäy, giôùi haïn εv cuûa daõy }{ )(k mv trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp, khi ,k roài sau ñoù laø ,m laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn ) ~ ( εP thoûa εv ).,( 1 TMW )2.5.1( Töông töï nhö chöùng minh cuûa Ñònh lyù 1.4.2, ta coù theå chöùng minh ñöôïc giôùi haïn 0v cuûa hoï }{ εv trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp, khi ,0ε laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn ) ~ ( 0P töông öùng vôùi 0ε  thoûa 0v ),( 1 TMW . )3.5.1( Do ñoù εu = εv +  vaø 0u = 0v +  laàn löôït laø caùc nghieäm duy nhaát cuûa baøi toaùn )( εP vaø cuûa )( 0P ( )( 0P laø baøi toaùn töông öùng vôùi 0ε  ). Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau Ñònh lyù 1.5.1. Giaû söû raèng caùc giaû thieát )()( 71 GG  ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá 0M vaø 0T sao cho vôùi moãi  , ,1ε  baøi toaùn )( εP coù duy nhaát moät nghieäm yeáu εu sao cho εε vu  ),( 1 TMW thoûa ε )2;,0() ;,0( 00 εε Cuuuu LTLVTL    , )4.5.1( ôû ñaây C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo , , , , , 100 MMThb ),,,(1 fTMK ),,,( ~ 1 BTMK ),,( 10 fTMK vaø ).,,( ~ 10 BTMK Chöùng minh. Ñaët 00 εε uuvvv  , khi ñoù v thoûa baøi toaùn bieán phaân   )),(( )(,),( 2ε wtvatutBwtv       ._.), ta chæ caàn chöùng minh (2.2.73). Töø (2.2.63), aùp duïng caùc Boå ñeà 2.2.3 vaø 2.2.4, ta ñöôïc 2 000 2/ 0 2 )()(8)(2),0(   s mm tt m t m dPsKdsdssdssu    t mm duuftDC 0 2 2 ))(),(()(22  .),0(88 0 0 2)4()3(    t s mTT dudsCC  (2.2.75) Maët khaùc, töø caùc giaû thieát )( 2F vaø )( 3F ta thu ñöôïc ,||)(||)0(2||)(||)(max2||))(),((|| 222 22 1 || 2  Vmm Cs mm tuBtusBtutuf T   (2.2.76) vì 10  neân α2||.|| ||.|| L . Do ñoù söû duïng (2.2.60) vaø (2.2.76), ta coù . ||))(),((|| )7(Tmm Ctutuf  (2.2.77) Cuoái cuøng töø (2.2.75) vaø (2.2.77) ta thu ñöôïc baát ñaúng thöùc ,),0(8),0( 0 2 0 )4()8( 0 2   s m t TT t m dudsCCdssu  (2.2.78) maø ñieàu naøy suy ra (2.2.73) nhôø vaøo boå ñeà Gronwall vaø boå ñeà (2.2.5) ñöôïc chöùng minh. Böôùc 3. Qua giôùi haïn. Töø caùc keát quaû (2.2.8), (2.2.43), (2.2.60), (2.2.73), (2.2.74) vaø (2.2.77), ta suy ra raèng toàn taïi moät daõy con cuûa  ,),( mm Pu vaãn kyù hieäu laø  ,),( mm Pu sao cho uum  trong );,0( VTL  yeáu *, (2.2.79) /uum  trong );,0( 2LTL yeáu *, (2.2.80) ),0(),0( tutum  trong ),0( TL  yeáu *, (2.2.81) ),0(),0( tutum  trong ),0( 2 TL yeáu, (2.2.82)  ),( mm uuf trong );,0( 2LTL yeáu *, (2.2.83) PPm ˆ trong ),0(1 TH yeáu. (2.2.84) Nhôø boå ñeà compact cuûa Lions [30], ta suy ra töø (2.2.79) - (2.2.82), raèng toàn taïi moät daõy con vaãn kyù hieäu laø  mu sao cho ),0(),0( tutum  maïnh trong ]),,0([ 0 TC (2.2.85) uum  maïnh trong )( 2 TQL vaø haàu khaép nôi trong .TQ (2.2.86) Do caùc giaû thieát (H ), (K) vaø söû duïng (2.2.8), (2.2.85) ta ñöôïc )()),0(,()),0(()()( 0 tPdssustKtuHtgtP t m   maïnh trong ]).,0([0 TC (2.2.87) Töø (2.2.84) vaø (2.2.87) cho PP ˆ haàu khaép nôi trong TQ . (2.2.88) Qua giôùi haïn trong (2.2.7) bôûi (2.2.79), (2.2.80), (2.2.87), (2.2.88), ta ñöôïc 0,)0()()),((),(  vvtPvtuavtu dt d  .Vv (2.2.89) Töông töï nhö trong [19], ta cuõng chöùng minh ñöôïc raèng ,)0( 0uu  .)0( 1uu  (2.2.90) Ñeå chöùng minh toàn taïi cuûa nghieäm u, ta caàn chöùng minh raèng ).,( uuf  Ta caàn ñeán boå ñeà sau maø chöùng minh cuûa noù coù theå tìm thaáy trong [3]. Boå ñeà 2.2.6. Giaû söû u laø nghieäm cuûa baøi toaùn             ).,0() ,0( ),;,0( ),;,0( ),()0,( ),()0,( ,0),1( ),(),0( ,0 ,10 ,0 12 10 THuLTLuVTLu xuxuxuxu tutPtu Ttxuu t x xxtt  Khi ñoù   tt V dssusdssusPtutu 00 22 )(),(),0()(||)(|| 2 1 ||)(|| 2 1  ,|||| 2 1 |||| 2 1 2 0 2 1 Vuu  (2.2.91) a.e ],0[ Tt . Hôn nöõa, neáu 010  uu thì (2.2.91) xaûy ra ñaúng thöùc. Baây giôø, töø (2.2.7) - (2.2.9) ta coù   t mmm dssususuf 0 )()),(),(( 220 2 1 ||)(|| 2 1 |||| 2 1 |||| 2 1 tuuu mVmm    t mmVm dssusPtu 0 2 .),0()(||)(|| 2 1 (2.2.92) Do boå ñeà 2.2.6 vaø töø (2.2.9), (2.2.79), (2.2.80), (2.2.82), (2.2.87), (2.2.92), ta suy ra    t mmm dssususuflimsup m 0 )()),(),((   t VV dssusPtutuuu 0 222 0 2 1 ),0()(||)(|| 2 1 ||)(|| 2 1 |||| 2 1 |||| 2 1 ,)(),( 0   t dssus ].,0[ Tt (2.2.93) Laäp luaän gioáng nhö trong [19], ta chöùng minh raèng ),( uuf  TQtxea ),(.. . Söï toàn taïi nghieäm ñöôïc chöùng minh. Böôùc 4. Tính duy nhaát cuûa nghieäm. Baây giôø ta giaû söû raèng  = 1 trong )( 3F vaø cuõng giaû söû raèng H, K, f thoûa caùc giaû thieát ).(),(),( 431 FKH Goïi ),( ),,( 2211 PuPu laø hai nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4). Ñaët 21 uuu  vaø 21 PPP  . Khi ñoù (u, P) thoûa baøi toaùn sau         ,0)0,()0,( ,0),1(),(),0( ,0,10,0 xuxu tutPtu Ttxuu x xx  trong ñoù .2 ,1 ),,0( ),,0() ,0( ),;,0( ),;,0( ,))),0(,()),0(,(( )),0(()),0(()()()( ),,(),( 11 2 0 21 2121 2211                   iTHPTHu LTLuVTLu dssustKsustK tuHtuHtPtPtP uufuuf ii ii t  AÙp duïng Boå ñeà 2.2.6 vôùi ,010  uu ta thu ñöôïc ,0)(),(),0()(||)(|| 2 1 ||)(|| 2 1 00 22   tt V dssusdssusPtutu  (2.2.94) a.e., ].,0[ Tt Ñaët          )).,0(,()),0(,( ~ )),,0(()),0(()( ~ ,||)(|| ||)(|| )( 211 211 22 sustKsustKK tuHtuHtH tutut V (2.2.95) Thay  ),(tP vaøo (2.2.94) vaø duøng tính khoâng giaûm cuûa haøm f theo bieán thöù hai, ta coù   t dssusHt 0 1 ),0()( ~ 2)( dssususufsusuf t )())(),(())(),((2 0 2221     t s drrsKdssu 0 0 1 .),( ~ ),0(2 (2.2.96) Söû duïng giaû thieát ),( 3F ta coù   .)()( ))(),(())(),(( 222221 VsusuBsusufsusuf  (2.2.97) Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho tích phaân cuoái cuøng cuûa (2.2.96), ta ñöôïc   st drrsKdssuJ 0 1 0 ),( ~ ),0(2 . ),( ~ ),( ~ ),0(2),( ~ ),0(2 0 0 1 1 0 1            t st drrs s K ssKdssudrrtKtu (2.2.98) Töø giaû thieát ),( 3K ta coù ,)()( |),0(|)( |),( ~ | ,,1 rrsprursprsK TMTM  ,)()0( |),0(|)0( |),( ~ | ,,1 spsupssK TMTM  (2.2.99) ,)()( |),0(|)( ),( ~ ., 1 rrsqrursqrs s K TMTM    trong ñoù .||||max );,0(2,1 VTLii uM  Ta suy töø (2.2.98), (2.2.99), raèng   t TM t TM dsspdrrrtptJ 0 . 0 . )()0(2 )()()(2 ||    s TM t drrrsqdss 0 0 )()()(2   tt TM drrdrrpt 00 , 2 1 1 )()( β 1 )(β           tt TM t TM dssdrrqtdssp 0 2 1 0 . 2 0 , )()(2)()0(2  (2.2.100)      t TMTM drrppt 0 , 2 1 ,1 )( β 1 )0(2)(β  ,)()(2 0 2 1 0 2 .               tt TM dssdrrqt  .0β1  Ñaët ),(min || 1 sHm Ms   .|)(|max || 2 sHm Ms   (2.2.101) Töø giaû thieát ),( 1H ta coù .11 m (2.2.102) Maët khaùc, duøng tích phaân töøng phaàn vaø (2.2.102) suy ra raèng   dssudsusuH d d dssusH tt ),0( ),0(),0(2),0()( ~ 2 0 1 0 2 0 1              1 0 2 2 ),0(),0(),0(  dsusuHtu (2.2.103)     1 0 22 0 2 ),0(),0(),0(),0(),0(  dsusususuHdssu t    t dssususumtum 0 21 2 2 2 1 |),0(||),0(|),0(),0(   .|),0(||),0(|)(),0( 0 212 2 1   t dssususmtum  Töø (2.2.96) - (2.2.98), (2.2.100) vaø (2.2.103), ta thu ñöôïc    t dssususumtumt 0 21 2 2 2 1 |),0(||),0(|),0(),0()( ).(|| )(|))((| 0 22 tJdsssuB t    (2.2.104) Chuù yù raèng töø boå ñeà (1.2.1), (2.2.102) vaø (2.2.104), ta cuõng ñöôïc ).(),0()(),0()1( 21 2 1 ttumttum   (2.2.105) Töø (2.2.104) vaø (2.2.105) raèng ),0()]1(β[)( 2121 tummt  )()β1( 2 t     t dsssuBsusum 0 222122 )(|||))((||||),0(| |),0(|)β1(  )(β)β1( 12 t (2.2.106)      t TMTM drrpp 0 , 2 1 ,2 )( β 1 )0(2)β1( ,)()(2 0 2 1 0 2 .               tt TM dssdrrqt  .0β,0β 21  Choïn 0β ,0β 21  sao cho 21β)β1( ,21)1(β 12121  mm vaø ñaët  |))((| |)),0(||),0((|)β1(2)( 2221221 tuBtutumtR  .||||2)0(2|||| β 1 ),0(),0( 2.. 2 2. 1 TLTL TMTMTM qTpp  . (2.2.107) Khi ñoù, ta coù töø (2.2.106) vaø (2.2.107), raèng , )],0()()[(),0()( 0 2 1 2   t dssussRtut  (2.2.108) Do boå ñeà Gronwall ta ñöôïc .0),0()( 2  tut Do ñoù, Ñònh lyù 2.2.1 ñöôïc chöùng minh. Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät      ,0)0( ,0),,0( ,)(),( 0 ,)( 1 kTTHkutkutK hhssH soá haènglaø (2.2.109) ñònh lyù sau ñaây chính laø heä quaû cuûa Ñònh lyù 2.2.1. Ñònh lyù 2.2.2. Giaû söû (A), (G) vaø )( 1F - )( 3F ñöôïc thoûa. Khi ñoù vôùi moãi T > 0, baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) coù ít nhaát moät nghieäm (u,P) thoûa (2.2.4), (2.2.5). Hôn nöõa neáu  =1 trong )( 3F vaø 2B thoûa ),( 4F thì nghieäm naøy duy nhaát. Chuù thích 2.2.1. Trong [20], N.T. Long vaø Alain P.N. Ñònh ñaõ thieát laäp Ñònh lyù 2.2.2 nhöng phaûi boå sung theâm giaû thieát: “ 1B laø haøm khoâng giaûm ”. Trong tröôøng hôïp rieâng K(t,u) = 0, P = g + H, thì Ñònh lyù sau cuõng laø moät heä quaû ñöôïc suy ra töø Ñònh lyù 2.2.1. Ñònh lyù 2.2.3. Giaû söû (A), (G), (H), )( 1F - )( 3F ñöôïc thoûa. Khi ñoù vôùi moãi T > 0, baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.3) töông öùng vôùi P = g + H, coù ít nhaát moät nghieäm u thoûa (2.2.3). Hôn nöõa, neáu  =1 trong )( 3F vaø caùc haøm H, 2B thoûa )( 1H vaø ),( 4F thì nghieäm naøy duy nhaát. Chuù thích 2.2.2. Cuõng nhö chuù thích ,1.2.2 Ñònh lyù 2.2.3 cho moät keát quaû töông töï nhö trong [12], nhöng trong luaän aùn naøy khoâng caàn ñeán giaû thieát 1B laø haøm khoâng giaûm. 2.3 . Söï oån ñònh cuûa nghieäm Trong phaàn naøy, giaû söû  =1 vaø caùc haøm H vaø 2B laàn löôït thoûa caùc giaû thieát (H), )( 1H vaø ).( 4F Nhôø Ñònh lyù 2.2.1, baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) coù nghieäm (u,P) duy nhaát phuï thuoäc vaøo g, H , K ),,,( KHguu  ),,,( KHgPP  trong ñoù g, H , K thoûa caùc giaû thieát (G), (H), )( 1H , )()( 31 KK  vaø fuu , , 10 laø nhöõng haøm cho tröôùc coá ñònh thoûa caùc giaû thieát (A), )( 1F - ).( 4F Giaû söû 00 h laø haèng soá cho tröôùc vaø   IRIRH :0 laø haøm soá cho tröôùc. Ta ñaët ,,1)( ,)( ;0)0(:)({),( 0 0 2 00 IRxxHhdssH HIRCHHh x    }.0),(|))(||)((|sup 0 ||   MMHsHsH Ms Cho ,0 ,0  Mt vaø ),; (0 IRIRIRCK   ta ñaët . ),(),( sup),,( , |||,| vu vtKutK tKMN vuMvu h     Cho moät hoï haøm 0,0},{ ,  TMp TM phuï thuoäc vaøo hai tham soá 0 , TM goàm caùc haøm khoâng aâm 0 ,0 ),,,()(.  TMtTMptp TM , sao cho ),,0( 2 , TLp TM  vôùi moïi .0 , TM Cho ),,0( ),,0( 12 2 1 TLkTLk  vôùi moïi .0T Ta ñaët }.0],,0[,),(||)( |),(||),(| ,0,],,0[),(),,(),,( ),(:)({}){,,( 21 , 00 ,21              TTtIRutkutkut t K utK TMTttpt t K MNtKMN IRIRC t K IRIRCKpkk TMhh TM Khi ñoù, ta coù ñònh lyù sau Ñònh lyù 2.3.1. Giaû söû  =1 vaø (A), )( 1F - )( 4F ñöôïc thoûa. Khi ñoù vôùi moãi ,0T nghieäm cuûa baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) laø oån ñònh ñoái vôùi caùc döõ kieän g, H , K theo nghóa sau: Neáu ),,,( KHg }){,,(),(),0(),,( ,2100 1 TMjjj pkkHhTHKHg  thoûa ),(),( HgHg jj  maïnh trong ]),([),0( 11 MMCTH  (2.3.1) ),(),( tKKtKK jj  maïnh trong 20 ])],[],0([[ MMTC  (2.3.2) khi j , vôùi moïi .0, TM Khi ñoù )),,0(,,()),,0(,,( PtuuuPtuuu jjjj  maïnh trong ]),0([]),0([),,0(),,0( 002 TCTCLTLVTL   khi ,j vôùi moïi ,0 , TM trong ñoù ).,,( ),,,( jjjjjjjj KHgPPKHguu  Chöùng minh. Tröôùc heát ta chuù yù raèng neáu döõ kieän ),,( KHg thoûa ,|||| 0),0(1 Gg TH  ),,( 00 HhH  }),{,,( ,21 TMpkkK  (2.3.3) khi ñoù, caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm cuûa caùc daõy }{ mu vaø }{ mP trong chöùng minh cuûa Ñònh lyù 2.2.1 thoûa 222 ||)(||||)(|| TVmm Ctutu  ,0],,0[  TTt (2.3.4) 2 0 2 ),0( T t m Cdssu  ,0],,0[  TTt (2.3.5) 2 0 2 )( T t m CdssP  ,0],,0[  TTt (2.3.6) trong ñoù TC laø haèng soá chæ phuï thuoäc 2100010 , , , , , , , , kkHhGfuuT , }{ ,TMp (ñoäc laäp vôùi KHg , , ). Do ñoù, giôùi haïn ),( Pu trong khoâng gian haøm thích hôïp cuûa daõy xaáp xæ )},{( mm Pu ñöôïc xaùc ñònh bôûi (2.2.7) – (2.2.9), chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn (2.1.1) – (2.1.4) vaø thoûa caùc ñaùnh giaù (2.3.4) - (2.3.6). Baây giôø, töø (2.3.1) vaø (2.3.2) ta giaû söû raèng toàn taïi moät haèng soá 00 G ñeå cho döõ kieän ),,( jjj KHg thoûa (2.3.3) töông öùng vôùi ).,,(),,( jjj KHgKHg  Khi ñoù töø chuù yù ôû treân, ta coù nghieäm ),( jj Pu cuûa baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) töông öùng vôùi ),,,(),,( jjj KHgKHg  thoûa caùc ñaùnh giaù 222 ||)(||||)(|| TVjj Ctutu  ,0],,0[  TTt (2.3.7) 2 0 2 ),0( T t j Cdssu  ,0],,0[  TTt (2.3.8) 2 0 2 )( T t j CdssP  .0],,0[  TTt (2.3.9) Ñaët . ~ , ~ ,~ KKKHHHggg jjjjjj  Khi ñoù uuv jj  vaø PPQ jj  thoûa baøi toaùn ,0)0,()0,( ,0),1( ),(),0( ,0 ,10 ,0         xvxv tvtQtv Ttxvv jj jjjx jjxxj  (2.3.10) trong ñoù                    .)),0(,( ~ )),0(( ~ )(~)(ˆ ,)),0(,()),0(,( )),0(()),0(()(ˆ)( ),,(),( 0 0 t jjjjjj t j jjj jjj dssustKtuHtgtg dssustKsustK suHsuHtgtQ uufuuf (2.3.11) AÙp duïng Boå ñeà 2.2.6 vôùi ,010  uu , , jj QP   ta coù .0)(),(2),0()(2 ||)(||||)(|| 00 22   t jj t jjVjj dssvsdssvsQtvtv  Ñaët ),,0( ||)(||||)(|| )( 222 tvtvtvtS jVjjj  ,TCM  ,1)(min || 1   sHm Ms .|)(|max || 2 sHm Ms   Khi ñoù, theo moät caùch töông töï nhö ôû phaàn treân, ta chöùng minh ñöôïc baát ñaúng thöùc sau ñaây     ),()(||||2 |||| 1 )(|)),0(||),0((| |||))((||| )(ˆ)(ˆ 1 )( 2 )(||||2 |||| 1 )(ˆ)(ˆ 1 )()( 2 )(|),0(||),0(|)(|))((| ),0( ||)(||||)(|| 0 ),0(, 2 ),0(, 0 22 0 22 0 ),0(, 2 ),0(, 0 22 0 0 2 0 2 2 1 22 22 22 tydssSpTp dssSsusumsuB dssgtgtS dssSpTp dssgtgdssStS dssSsusumdssSsuB tvmtvtv j t jTLTMTLTM t jj t jjj t jTLTMTLTM t jj t jj t jj t j jVjj                                                 (2.3.12) vôùi moïi 0 vaø ].,0[ Tt Chuù yù raèng 22 ||)(|| ),0( Vjj tvtv  , do ñoù ).(),0( ||)(|| ||)(|| ),0()1( 21 222 1 tytvmtvtvtvm jjVjjj  (2.3.13) Nhaân hai veá cuûa (2.3.13) cho 1β > 0, sau ñoù coäng vôùi (2.3.12), ta ñöôïc ),0(]β)1[( ||)(||||)(|| 2111 22 tvmmtvtv jVjj  )()β1( 1 ty j                   t jjj dssgtgtS 0 22 1 )(ˆ)(ˆ ε 1 )(ε2)β1( (2.3.14) ,)(),,( ~ 0  t jj dssSsTR  ],,0[ ,0β ,0 1 Tt trong ñoù    ),0(, 2 ),0(,1 22 ||||2|||| 1 )β1(),,( ~ TLTMTLTMj pTpsTR    . |),0(||),0(||||))((||| 22 susumsuB j (2.3.15) Choïn 0β1  vaø 0 sao cho ,1β)1( 111  mm 21)β1(2 1  . Duøng pheùp nhuùng ),0(1 TH  ]),,0([0 TC keát hôïp vôùi (2.3.14), ta ñöôïc , )(),,( ~ 2 ||ˆ|| 1 )β1(2)( 0 2 ),0( )9( 1 1  t jjTHjTj dssSsTRgCtS   (2.3.16) trong ñoù )9(TC laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo T. Nhôø boå ñeà Gronwall, ta thu ñöôïc töø (2.3.16), raèng ,),,( ~ 2exp||ˆ|| 1 )β1(2)( 0 2 ),0( )9( 1 1      T jTHjTj dssTRgCtS   (2.3.17) vôùi moïi ].,0[ Tt Maët khaùc, nhôø (2.3.4), (2.3.10), (2.3.11), (2.3.15) vaø (2.3.17), ta thu ñöôïc 2 ),0( )10( 1||ˆ||)( THjTj gCtS  ],,0[ Tt (2.3.18) .)(||||)(|)(|max|)(ˆ| |)(| 2/1 0 ),0(, 2 ||           t jTLTMjjj dssSptSsHtgtQ Ms (2.3.19) Baây giôø, ta söû duïng moät laàn nöõa pheùp nhuùng ),0(1 TH  ]),,0([0 TC khi ñoù, ta suy töø (2.3.18) vaø (2.3.19), raèng .||ˆ|||||| ),0( )11( ]),0([ 10 THjTTCj gCQ  Cuoái cuøng, ta chæ caàn chöùng minh raèng .0||ˆ||lim ),0(1   TH j j g Thaät vaäy, töø (2.3.11) keát hôïp vôùi (2.3.8), ta suy ñöôïc baát ñaúng thöùc sau ]),([ 2 ),0(),0( 111 || ~ || ||~|| ||ˆ|| MMCjTHjTHj HMTgg    . ||/~||||~||)1(2 ]),[ ],0([]),[ ],0([ 2 00 MMTCjMMTCj tKKTT   Ñònh lyù (2.3.1)õ ñöôïc chöùng minh. 2.4. Moät vaøi nhaän xeùt veà caùc keát quaû thu ñöôïc 1./ Keát quaû thu ñöôïc töø Ñònh lyù 2.2.1 maïnh hôn keát quaû thu ñöôïc trong [19]. Thaät vaäy, töông öùng vôùi cuøng baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) vôùi 0),( utK vaø ,)( hssH  ,0h caùc giaû thieát sau ñöôïc thieát laäp trong [19] laø khoâng caàn thieát: + )()( ,10 )1( 2 1 TQLuB   vôùi moïi );,0( VTLu  vaø ,0T + 21 ,BB laø caùc haøm khoâng giaûm. 2./ Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät 0)0( ,0),,0( ,)(),( 1  kTTHkutkutK , H(s) = hs, h > 0 laø haèng soá, Ñònh lyù 2.2.2 laø moät heä quaû cuûa Ñònh lyù ,1.2.2 cuõng maïnh hôn keát quaû trong [20], trong luaän aùn naøy cuõng khoâng söû duïng giaû thieát 1B laø haøm khoâng giaûm. 3./ Trong tröôøng hôïp K(t,u) = 0 thì Ñònh lyù 2.2.3 cuõng toång quaùt hôn keát quaû töông töï nhö trong [12]. 4./ Keát quaû veà tính oån ñònh cuûa nghieäm trong Ñònh lyù 2.3.1 cuõng toång quaùt vaø roäng hôn caùc keát quaû trong [11, 12, 19, 20, 28]. PHAÀN KEÁT LUAÄN Vôùi söï phaùt trieån maïnh meõ vaø nhöõng thaønh töïu röïc rôõ cuûa Toaùn hoïc hieän ñaïi, nhöõng coâng cuï saâu saéc cuûa Giaûi tích haøm öùng duïng ñaõ xaâm nhaäp vaøo raát nhieàu baøi toaùn bieân phi tuyeán cuï theå ôû nhieàu möùc ñoä. Maëc duø, trong moät caùch nhìn toång quaùt, chuùng ta vaãn chöa coù nhöõng phöông phaùp toaùn hoïc chung ñeå giaûi quyeát ñoái vôùi moïi baøi toaùn bieân phi tuyeán, nhöng nhöõng öùng duïng cuûa Giaûi tích Toaùn hoïc ñaõ giuùp chuùng ta thu ñöôïc moät soá caùc keát quaû khaû quan treân moät soá lôùùp caùc baøi toaùn giaù trò bieân phi tuyeán ñöôïc xaây döïng vaø phaùt trieån töø nhöõng moâ hình Toaùn hoïc cuûa caùc vaán ñeà trong Khoa hoïc kyõ thuaät, thöïc nghieäm ... Trong luaän aùn naøy chuùng toâi ñaõ khaûo saùt moät soá baøi toaùn bieân coù lieân quan ñeán nhieàu vaán ñeà trong caùc ngaønh Khoa hoïc öùng duïng. Chaúng haïn caùc phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi caùc loaïi ñieàu kieän bieân khaùc nhau xuaát hieän trong caùc baøi toaùn moâ taû dao ñoäng cuûa moät vaät ñaøn hoài ( moät daây hoaëc moät thanh ) vôùi caùc raøng buoäc phi tuyeán ôû beà maët vaø taïi bieân, hoaëc moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vôùi moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính treân moät neàn cöùng hoaëc moät neàn ñaøn nhôùt vôi caùc raøng buoäc ñaøn hoài phi tuyeán ôû beà maët, caùc raøng buoäc lieân heä vôùi löïc caûn ma saùt nhôùt. Coâng cuï ñeå khaûo saùt ñöôïc söû duïng trong luaän aùn laø caùc phöông phaùp cuûa Giaûi tích haøm phi tuyeán nhö : phöông phaùp Galerkin, phöông phaùp compact vaø ñôn ñieäu, phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính lieân heä vôùi caùc ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng, phöông phaùp tieäm caän ... Ngoaøi Chöông môû ñaàu trình baøy toång quan veà caùc baøi toaùn, keát quaû chính cuûa luaän aùn ñöôïc trình baøy ôû hai chöông tieáp theo. Caùc keát quaû ñoù bao goàm 1. Chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñòa phöông cuûa baøi toaùn töông öùng vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát: ,0 ),1,0( ), ,,,,,()( 22 TtxuuuutxfuuBu xtxxxxtt  (1) ,0),1(),0(),0( 0  tuthtux (2) ),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t  (3) trong ñoù 10 ~ ,~ , , uufB laø caùc haøm cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy soá haïng phi tuyeán ôû veá phaûi cuûa (1) xaùc ñònh bôûi haøm f ñöôïc giaû söû raèng )]1,0([ 30   IRIRIRCf vaø theâm moät soá ñieàu kieän phuï. 2. Keát quaû treân cuõng ñöôïc nôùi roäng cho phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchhoff – Carrier lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát: ,0 ),1,0( ), ,,,,,(),( 22 TtxuuuutxfuutBu xtxxxxtt  (4) ),(),1( ),(),0(),0( 100 tgtutgthtux  (5) vaø ñieàu kieän ñaàu (3), trong ñoù ),]1,0([ 31   IRIRIRCf 1010 , , ~ ,~ , , gguufB laø caùc haøm cho tröôùc thoûa theâm moät soá caùc ñieàu kieän phuï naøo ñoù. 3. Chöùng minh nghieäm yeáu ),(ε txu cuûa baøi toaùn nhieãu ) ,,,,,(ε) ,,,,,( )] ,(ε) ,([ 2 1 2 2 1 2 xtxxtx xxxxtt uuuutxfuuuutxf uutButBu   (6) lieân keát vôùi (3) vaø (5) coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo moät tham soá  ñuû nhoû. 4. Chöùng minh nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn nhieãu ) ,,,,,(ε) ,,,,,( )] (ε) ([ 2 1 2 2 1 2 xtxxtx xxxxtt uuuutxfuuuutxf uuBuBu   (7) lieân keát vôùi (2) vaø (3) laø moät haøm ),(ε txu coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp N+1 theo moät tham soá beù . Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng boá trong hai baøi baùo [d1], [d2]. 5. Chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm toaøn cuïc ),( Pu cuûa baøi toaùn bieân cho phöông trình soùng phi tuyeán ,0),1,0( ,0),( Ttxuufuu txxtt  (8) ,0),1( ),(),0(  tutPtux (9) lieân keát vôùi ñieàu kieän ñaàu (3), trong ñoù giaù trò bieân chöa bieát )(tP vaø aån haøm ),( txu thoûa moät phöông trình tích phaân phi tuyeán   t dssustKtuHtgtP 0 ,)),0(,()),0(()()( (10) trong ñoù 10 , , uuf , g, H vaø K laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá ñieàu kieän phuï naøo ñoù. 6. Chöùng minh nghieäm ),( Pu cuûa baøi toaùn (3), (8) – (10) laø oån ñònh ñoái vôùi caùc haøm g, H vaø K. Caùc keát quaû thu ñöôïc ôû ñaây ñaõ ñöôïc coâng boá trong [d3]. TAØI LIEÄU THAM KHAÛO [1] Nguyeãn Thuùc An, Nguyeãn Ñình Trieàu, Shock between absolutely solid body and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J. Mech. NSCR. VietNam, Tom XIII (2) (1991), 1-7. [2] R.A. Adams, Sobolev Spaces, Academic press, Newyork, 1975. [3] Ñaëng Ñình AÙng, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Mixed problem for semilinear wave equations with a nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 12 (1988), 581 - 592. [4] H. Breùzis, Analyse Fonctionnelle. Theùorie et applications, Masson Paris, 1983. [5] M. Bergounioux, Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Mathema- -tical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal. 43, (2001), 547- 561. [6] Döông Thò Thanh Bình, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, Linear recursive schemes associated with the nonlinear wave equation involving Bessel’s operator, Math. Comp. Modelling, 34 (2001), No.5-6, 541-556. [7] G.F. Carrier, On the nonlinear vibrations problem of elastic string, Q.J. Appl. Math. 3 (1945), 157-165. [8] Zh. N. Dmitriyeva, On stable solutions in nonlinear oscillations of rectangular plates under random loads, Prikl. Mat. Mekh. L.4 (1979), 189-197. [9] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Sur un probleøme hyperbolique faiblement non lineùaire en dimension 1, Demonstratio Math. 16 (1983), 269-289. [10] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated to the nonlinear wave equation in one dimension, Demonstratio Math. 19 (1986), 45 – 63. [11] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, On the quasilinear wave equation with a mixed nonhomogeneous condition, SEA. Bull. Math. 19 (1995), 127 – 130. [12] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, The semilinear wave equation associated with a nonlinear boundary, Demonstratio Math. 30 (1997), 557 – 572. [13] Y. Ebihara, L.A. Medeiros, M.M. Miranda, Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation, Nonlinear Anal. 10 (1986), 27 – 40. [14] C.L. Frota, Nonlocal solutions of a nonlinear hyperbolic partial differential equation, Portugaliae Math., Vol. 51, No.3 (1994), 455- 473. [15] M. Hosoya, Y. Yamada, On some nonlinear wave equations I: Local existence and regularity of solutions, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, Math. 38 (1991), 225 – 238. [16] G.R. Kirchhoff, Vorlesungen beru Mathematiche Physik: Mechanik, Teuber, Leipzig, 1876. Section 29.7. [17] J.L. Lions, Quelques meùthodes de reùsolution des probleømes aux limites non lineùaires, Dunod, Gauthier – Villars, Paris, 1969. [18] N.A. Larkin, Global regular solutions for the nonhomogeneous Carrier equation, Math. Prob. Eng., Vol. 8, (2002), 15-31. [19] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, On the quasilinear wave equation: 0),(  ttt uufuu associated with a nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 19 (1992), 613 – 623. [20] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal. 24 (1995), 1261 –1279. [21] Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Ngoïc Dieãm, On the nonlinear wave equation: ),,,,( txxxtt uuutxfuu  associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal. 29 (1997), 1217 -1230. [22] Nguyeãn Thaønh Long, Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal. 45 (2001), 261 - 272. [23] Nguyeãn Thaønh Long, On the nonlinear wave equation:  xxxtt uutBu ),( 2 ),,,,( tx uuutxf associated with the mixed homogeneous conditions, J. Math. Anal. Appl. 274, (2002), 102 - 123. [24] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Traàn Ngoïc Dieãm, Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff -Carrier operator, J. Math. Anal. Appl. 267, (2002), 116 -134. [25] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Traàn Ngoïc Dieãm, Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Demontratio Math. 36, No.3, (2003), 683 - 695. [26] Nguyeãn Thaønh Long et al., On the nonlinear vibrations equation with a coefficient containing an integral, Comp. Maths. Math. Phys. 33 (1993), 1171 – 1178. [27] Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Minh Thuyeát, On the existence, uniqueness of solution of the nonlinear vibrations equation, Demonstratio Math. 32 (1999), 749 – 758. [28] Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Minh Thuyeát, A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math. 36 (2003), 915 – 938. [29] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Döông Thò Thanh Bình, Mixed problem for some semilinear wave equations involving Bessel’s operator , Demonstratio Math. 32 (1999), 77 – 94. [30] L.A. Medeiros, On some nonlinear perturbation of Kirchhoff - Carrier operator, Comp. Appl. Math. 13 (1994), 225 – 233. [31] L.A Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes, Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part I, J. Comp. Anal. Appl. 4, No. 2, (2002), 91 – 127. [32] L.A Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes, Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects, Part II, J. Comp. Anal. Appl. 4, No. 3, (2002), 211 – 263. [33] E.L Ortiz, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Linear recursive schemes associated with some nonlinear partial differential equations in one dimension and the Tau method, SIAM J. Math. Anal. 18 (1987), 452 – 464. [34] S.I. Pohozaev, On a class of quasilinear hyperbolic equation, Math. USSR. Sb. 25 (1975), 145 – 158. [35] P.A. Raviart, J.A. Thomas, Introduction aø l’analyse numeùrique des equations aux deùriveùes partielles, Masson, Paris, 1983. [36] M.L Santos, Asymptotic behavior of solutions to wave equations with a memory condition at the boundary, Electronic J. Diff. Equations, Vol. 2001 (2001), No. 73, 1-11. [37] M.L. Santos, J. Ferreira, D.C. Pereira, C.A. Raposo, Global existence and stability for wave equation Kirchhoff type with memory condition at the boundary, Nonlinear Anal. 54 (2003), 959- 976. [38] M. Tucsnack, Boundary stabilization for stretched string equations, Differential and Integral equation, Vol. 6, No.4, (1993), 925- 935. [39] Y. Yamada, Some nonlinear degenerate wave equations, Nonlinear Anal. 11 (1987), 1155- 1168. DANH MUÏC CAÙC COÂNG TRÌNH CUÛA TAÙC GIAÛ COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN LUAÄN AÙN [d1] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, On the nonlinear wave equation ),,,,,( ) ( 22 xtxxxxtt uuuutxfuuBu  associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal., Ser. A: Theory Methods, 55. (2003), 493 – 519. [d2] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, On the nonlinear wave equation ),,,,,( ) ,( 22 xtxxxxtt uuuutxfuutBu  associated with the mixed nonhomoge- -neous conditions, J. Math. Anal. Appl. 292. (2004), 433 – 458. [d3] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, A nonlinear wave equation with a nonlinear integral equation involving the boundary value, Electron J. Diff. Eqns. Vol. 2004(2004), No.133, pp.1-21. [d4] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, Veà phöông trình soùng phi tuyeán chöùa toaùn töû Kirchhoff – Carrier lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát, Taïp chí Khoa hoïc – Khoa hoïc Töï nhieân, Ñaïi hoïc Sö Phaïm Tp. Hoà Chí Minh, taäp 32, No.1 (2003), 53-60. Th«ng tin vÒ luËn ¸n ®Ó ®­a lªn m¹ng §Ò tµi luËn ¸n: Sö dông ph­¬ng ph¸p Gi¶i tÝch vµo mét sè bµi to¸n biªn phi tuyÕn Chuyªn ngµnh: To¸n Gi¶i tÝch M· sè: 1.01.01 Hä tªn nghiªn cøu sinh: Bïi TiÕn Dòng Hä tªn Ng­êi h­íng dÉn: 1. TS. NguyÔn Thµnh Long 2. PGS.TS. NguyÔn Héi NghÜa C¬ së ®µo t¹o: Tr­êng §¹i häc S­ Ph¹m Thµnh phè Hå ChÝ Minh Tãm t¾t nh÷ng kÕt luËn míi cña luËn ¸n: Sö dông ph­¬ng ph¸p Gi¶i tÝch vµo mét sè bµi to¸n biªn phi tuyÕn ®· cho kÕt qu¶: 1. C¸c bµi to¸n thuéc lo¹i ph­¬ng tr×nh sãng phi tuyÕn d¹ng Kirchhoff- Carrier: ,0),1,0(),,,,,,() ,( 22 TtxuuuutxfuutBu xtxxxxtt  (1) ,(t)),1( ),(),0(),0( 100 gtutgtuhtux  (2) ),(~)0,( ),(~)0,( 10 xuxuxuxu t  (3) trong ®ã 1010 , , ~ ,~ , , gguufB lµ c¸c hµm ®­îc cho. Trong (1), c¸c sè h¹ng phi tuyÕn ),( 2 xutB vµ ),,,,,( 2 xtx uuuutxf phô thuéc vµo tÝch ph©n  1 0 22 .),( dxtxuu xx - §· chøng minh sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm ®Þa ph­¬ng cña bµi to¸n (1) - (3) t­¬ng øng víi hai tr­êng hîp thuÇn nhÊt ( 0)()( 10  tgtg ) vµ kh«ng thuÇn nhÊt ( )(0)( 10 tgtg  ). - Kh¶o s¸t bµi to¸n nhiÔu: ) ,,,,,(ε) ,,,,,( )] ,(ε) ,([ 2 1 22 1 2 xtxxtxxxxxtt uuuutxfuuuutxfuutButBu  (4) liªn kÕt víi (2), (3) vµ khai triÓn tiÖm cËn cña nghiÖm yÕu ),(ε txu ®Õn mét cÊp nµo ®ã phô thuéc vµo tÝnh tr¬n cña c¸c hµm 11 , , , ffBB theo mét tham sè bÐ . 2. M« h×nh to¸n häc cña va ch¹m mét vËt r¾n vµ mét thanh ®µn håi tùa trªn mét nÒn cøng dÉn ®Õn bµi to¸n t×m mét cÆp hµm sè ),( Pu tho¶: ,0),1,0( ,0),( Ttxuufuu txxtt  (5) ,0),1( ),(),0(  tutPtux (6) ),()0,( ),()0,( 10 xuxuxuxu t  (7) trong ®ã 10 , , uuf lµ c¸c hµm cho tr­íc tháa mét sè ®iÒu kiÖn nµo ®ã. AÅn hµm ),( txu vµ gi¸ trÞ biªn ch­a biÕt )(tP tháa mét ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n phi tuyÕn   t dssustKtuHtgtP 0 ,)),0(,()),0(()()( (8) trong ®ã g, H vµ K lµ c¸c hµm cho tr­íc. - §· chøng minh sù tån t¹i duy nhÊt nghiÖm toµn côc cña bµi to¸n, nghiÖm nµy æn ®Þnh ®èi víi c¸c hµm g, H vµ K. §¹i diÖn tËp thÓ h­íng dÉn Nghiªn cøu sinh TS. NguyÔn Thµnh Long Bïi TiÕn Dòng ._.