Cuộc sống ngầm ẩn của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở Trung học phổ thông (THPT)

Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi làm quen, học tập và nghiên cứu về didactic toán trong suốt khóa học. - Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Trường Chinh nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô trong tổ toán Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu, Trường THPT Trường Chinh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. TRỊNH DUY TRỌNG DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK : Sách giáo khoa THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông TXĐ : Tập xác định [ĐS10] : Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục [BT-ĐS10] : Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục [SGV-ĐS10] : Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục [GT12] : Đoàn Quỳnh (2008), “Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục [BT-GT12] : Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục [SGV-GT12] : Đoàn Quỳnh (2008), “Giải tích 12 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục MỞ ĐẦU 1. Những vấn đề đặt ra 1.1. Tính toán đại số: hình thái hình thức và hình thái hoạt động Thuật ngữ tính toán đại số được dùng để chỉ những tính toán trên các biểu thức đại số. Trong bài viết Bước chuyển từ số học sang đại số trong giảng dạy toán học ở trường trung học cơ sở1, tác giả Yves CHEVALLARD đã cho thấy vai trò của các cách biểu diễn khác nhau của cùng một biểu thức đại số. Chẳng hạn, khi nghiên cứu hàm số xác định bởi biểu thức f(x) = 3 22 25 6 x x x x x     :  Việc phân tích mẫu số x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) (có thể thông qua giải phương trình bậc hai tương ứng) là cần thiết để xác định TXĐ của hàm số.  Bằng cách viết biểu thức f(x) ở dạng f(x) = 3 2 2 3 2 x x x x x     ta xác định được ngay giới hạn của hàm số khi x tiến đến 2 và 2 .  Trong khi đó, biểu thức f(x) viết ở dạng f(x) = x + 6 + 222 365 6 x x x    sẽ phù hợp với việc xác định tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.  Nhưng để tìm nguyên hàm của hàm số thì dừng lại đó là chưa đủ mà phải tiếp tục biến đổi 222 365 6 x x x    = 8 30 2 3x x    để có f(x) = x + 6 + 8 30 2 3x x    . Như vậy, mỗi dạng biểu diễn của biểu thức f(x) được sử dụng để nghiên cứu một vấn đề khác nhau của hàm số xác định bởi f(x). Sự lựa chọn dạng biểu diễn phù hợp sẽ tạo thuận lợi cho việc nghiên cứu các vấn đề của hàm số. Các tính toán đại số đã được sử dụng để đưa biểu thức f(x) về dạng được xem là phù hợp này. Lựa chọn các tính toán đại số cần thực hiện như thế nào là hoàn toàn do yêu cầu nội tại 1 Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement des mathématiques au collège, Petit X, no19 của nhiệm vụ đang giải quyết quy định chứ không phải do những yêu cầu, những chỉ dẫn cho trước. Tiếp tục đi sâu nghiên cứu vấn đề này, Chevallard đã đề cập đến hai mặt hình thức và hoạt động (hình thái hình thức và hình thái hoạt động) của tính toán đại số. Tác giả phân biệt sự khác nhau giữa hai hình thái này như sau: Tính toán hình thức là tính toán mà học sinh thực hiện một cách rất bình thường để đáp ứng một trong những chỉ dẫn, yêu cầu cổ điển của tính toán như thực hiện phép tính, rút gọn, phân tích thành nhân tử, khai triển, … Đó là những thao tác biến đổi các biểu thức đại số không nhằm mục đích gì ngoài việc tính toán đại số. Tác giả đã đưa ra một số ví dụ và phân tích như sau để làm rõ quan điểm của mình: “Tính biểu thức: (2a + 1) + (2a + 3)” Câu trả lời mong đợi là câu trả lời nảy sinh qua giảng dạy, được tạo thành từ kết quả sau: (2a + 1) + (2a + 3) = … = 4a + 4 Một trong những dấu hiệu hình thức ở đây là tiêu chí để kết thúc phép tính: tại sao coi tính toán là trọn vẹn khi nhận được biểu thức 4a + 4? Tại sao người ta không thực hiện tiếp để viết như sau: (2a + 1) + (2a + 3) = … = 4a + 4 = 4(a + 1) Trong trường hợp dạng của kết quả tính toán không đáp ứng bất cứ yêu cầu nào ngoài tính toán, với tư cách tính toán hình thức, việc kết thúc được xác định bởi cái mà người ta có thể gọi là “quy tắc hướng dẫn tính toán đại số” (quy tắc mà ở đây chúng ta không xem xét động lực và nguồn gốc của nó) thuyết phục rằng 4a + 4 là dạng “đẹp” trong số tất cả các dạng. Nhiều cái sẽ thay đổi nếu tính toán trên xuất hiện như “hoạt động” (fonctionnel), tức là xuất hiện ở một thời điểm trong lời giải của bài toán mà yêu cầu không chỉ đơn thuần là tính toán. Chẳng hạn, xét bài toán “Chứng minh rằng: tổng của 2 số nguyên lẻ liên tiếp là bội của 4” Thực hiện các thao tác biến đổi, các tính toán đại số trên biểu thức (2a + 1) + (2a + 3) có thể mang lại câu trả lời cho câu hỏi trên. Nhưng ở đây, việc kết thúc tính toán ở điểm nào được xác định bởi bài toán mà người ta cố gắng giải quyết, nó nằm ngoài việc tính toán. Dạng 4a + 4 không được xem như một dạng tối ưu nữa mà dạng 4(a + 1) mới là hợp thức. Như vậy, chính mặt “hoạt động” của tính toán đại số và việc sử dụng nó như một công cụ để giải toán cho phép mang lại nghĩa của tính toán đại số. 1.2. Tính toán đại số ở trường phổ thông: khó khăn của học sinh Theo tài liệu “Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques”, công bố ở Pháp, bước chuyển từ tính toán số sang tính toán đại số thực sự là một cuộc cách mạng. Việc xác định một đại lượng chưa biết, thay đổi, chưa xác định bởi một chữ và đưa các chữ này vào các tính toán tương tự như các đại lượng đã biết làm tăng khả năng của tính toán. Phương pháp đại số buộc học sinh phải xem lại một cách sâu sắc những chiến lược tính toán của chúng. Trong số học, nó phát triển từ cái đã biết đến cái chưa biết bằng cách tạo ra dần dần những kết quả trung gian. Trong đại số, phải thiết lập mối liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết, sau đó tính toán trên những mối liên hệ này đến khi nhận được kết quả cần tìm. Chính sự đảo ngược về tư tưởng này khiến việc giảng dạy thường gặp phải khó khăn. Bên cạnh đó, cách thức điều khiển tính toán cũng thay đổi. Nếu như các tính toán số nhắm đến việc tìm ra giá trị số của một biểu thức số, thì tính toán đại số lại nhắm đến một kết quả tổng quát cho tất cả những biểu thức đạt được bằng cách gán giá trị cụ thể cho các chữ có mặt trong biểu thức. Trong trường hợp này, tính thỏa đáng của kết quả do nhiệm vụ cần giải quyết quy định, bởi ở đây tính toán không phải là mục đích mà là công cụ. Nói cách khác, tính toán đại số được điều khiển bởi ý nghĩa của tình huống. Sức mạnh của nó thể hiện ở khả năng thoát khỏi nghĩa “bên ngoài” và các biến đổi được thực hiện trên những quy tắc rõ ràng. Điều này tạo ra một sự điều khiển tính toán khác, làm tác động đến nghĩa bên trong của các biểu thức. Tuy nhiên, phần lớn các tính toán này, đặc biệt là tính toán gắn liền với vấn đề tìm nghiệm đúng của các phương trình, bất phương trình sẽ nhanh chóng được algorith hóa, thậm chí được tự động hóa. Việc thiếu sự kiểm soát nghĩa của các tính toán đại số khiến cho nghĩa đó bị che dấu. Ấy thế mà khả năng thực hiện tính toán đại số trên các mối liên hệ lại đòi hỏi một sự kiểm soát nghĩa của các tính toán được thao tác, sự nhận biết các dạng của chúng (phân tích thành nhân tử, khai triển, đưa về dạng chính tắc hay hằng đẳng thức đáng nhớ, …) Mỗi dạng mang những thông tin đặc thù trên đối tượng mà nó xác định, và gần hay xa với lời giải cần tìm. Theo Chevallard, nhiều sai lầm tái diễn của học sinh đã chỉ ra khó khăn mà họ gặp phải khi chiếm lĩnh các tính toán này. 1.3. Tính toán đại số và hàm số: câu hỏi nghiên cứu Ta biết rằng có ít nhất là bốn cách để biểu thị một hàm số: lời, bảng, đồ thị và biểu thức giải tích. Hai cách biểu diễn đầu tiên đã có từ thuở ban đầu của lịch sử toán học, khi người ta quan tâm đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lượng biến thiên. Nhưng chính cách biểu diễn cuối cùng mới mang lại nhiều thuận lợi cho việc nghiên cứu hàm số. Trong lịch sử toán học, nó chỉ xuất hiện sau khi hệ thống ký hiệu của đại số ra đời. Sự hình thành nên hệ thống ký hiệu này giúp cho việc giải quyết các vấn đề của toán học trở nên dễ dàng hơn nhiều so với việc sử dụng các hệ thống biểu đạt đã tồn tại trước đó. Sức mạnh của hệ thống biểu đạt của đại số đã khiến Descartes và Fermat tìm cách “du nhập” nó vào hình học và từ đó xây dựng nên ngành Hình học giải tích. Cũng chính nhờ hệ thống biểu đạt này mà Giải tích – ngành toán học có hàm số là đối tượng nghiên cứu cơ bản – phát triển nhanh chóng. Như vậy, nghiên cứu hàm số qua biểu thức giải tích biểu diễn nó là một phương pháp mang lại nhiều hiệu quả. Có lẽ đó chính là nguyên nhân khiến cho ở Việt Nam sự lựa chọn truyền thống của các chương trình là ưu tiên xem xét hàm số được biểu diễn bằng biểu thức giải tích. Nghiên cứu hàm số biểu diễn ở dạng này bắt buộc người ta phải thao tác trên các biểu thức, phải thực hiện các tính toán đại số. Thế nhưng, như Chevallard đã nói, việc các tính toán này thường được algorit hóa dẫn đến chỗ nhiều khi học sinh không hiểu được nghĩa của các tính toán đại số, mà hậu quả là họ có thể không biết khai thác các tính toán này để giải quyết vấn đề theo một cách thức tối ưu hơn. Khi nghiên cứu vị trí, vai trò của tính toán đại số trong chương trình Toán THPT ở Pháp, tác giả Claude RIQUET (2004) trong khóa luận “Mặt hoạt động của tính toán đại số ở lớp 10”2 cũng đã chỉ ra rằng: “Tính toán số và tính toán đại số không được hệ thống thành một chương mà được tìm thấy qua nhiều chương khác nhau. Đặc biệt, nó được trình bày trong mối 2 Un aspect fonctionnel du calcul algebrique en classe de 2nde quan hệ hẹp với việc nghiên cứu hàm số. Giống như hình học, các hoạt động tính toán phải là cơ hội để phát triển suy luận và chứng minh”. Những phân tích trên đã hướng sự quan tâm của chúng tôi đến đề tài Cuộc sống của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở Trung học phổ thông. Và, bởi vì nghĩa của các tính toán đại số thường bị che dấu, nên để rõ hơn, chúng tôi xác định đề tài nghiên cứu là Cuộc sống ngầm ẩn của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở Trung học phổ thông. Những câu hỏi đầu tiên mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là: – Tính toán đại số hiện diện ra sao trong thực tế dạy học ở trường phổ thông Việt Nam? – Các tính toán đại số được sử dụng như thế nào trong việc nghiên cứu hàm số? Nghĩa của tính toán đại số có được thể hiện thông qua việc nghiên cứu hàm số hay không? 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán, cụ thể là “Lý thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic”. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày sơ lược một số khái niệm cơ bản3 của “Lý thuyết nhân chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic”. Đồng thời, chúng tôi cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn của mình. 2.1. Lý thuyết nhân chủng học  Quan hệ cá nhân Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X. Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, … R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết O. Một con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết. Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người. 3 Những khái niệm này được trình bày trong cuốn sách song ngữ Việt – Pháp “Những yếu tố cơ bản của Didactic toán” của các tác giả Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến  Quan hệ thể chế Một cá nhân X không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất một thể chế I. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định. Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy. Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O). Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công cụ để thực hiện công việc đó.  Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie. Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , , ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật  ,  là lí thuyết giải thích cho  , nghĩa là công nghệ của công nghệ  . Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique). Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định” Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X (tồn tại trong I) với O, bởi vì: “Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”. Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể phân tích và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Toán ở Việt Nam với đối tượng tính toán đại số, đối tượng hàm số và hai đối tượng này có những quan hệ, ràng buộc nào; đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh với các đối tượng nêu trên. Điều này sẽ cho phép trả lời những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi đã đặt ra. 2.2. Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy – học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức được giảng dạy” toán học được giảng dạy. Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua. Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:  Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách: – Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức. – Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó. – Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đang xét không thể giải quyết được. – Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đơi ở học sinh.  Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách: – Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học. – Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức. – Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK. Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến việc sử dụng các tính toán đại số trong nghiên cứu các vấn đề về hàm số sẽ cho phép chúng tôi “giải mã” các ứng xử của học sinh và tìm ra ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành. Điều này cho phép trả lời phần nào câu hỏi 2 đã đặt ra ở trên. Tóm lại, vệc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Lý thuyết nhân chủng học và khài niệm hợp đồng didactic theo chúng tôi là thỏa đáng. 3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - mục đích nghiên cứu Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn nà:  Q1: Trong chương trình THCS, vai trò của hình thái hoạt động của tính toán đại số được xác định ra sao?  Q2: Hình thái hoạt động của tính toán đại số tác động như thế nào lên việc nghiên cứu hàm số?  Q3: Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành trong dạy học khái niệm hàm số? 4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Để đạt được các mục đích nghiên cứu nêu trên và trả lời được các câu hỏi đặt ra, chúng tôi thấy cần thiết phải thực hiện hai phần sau: Phần 1 trình bày một nghiên cứu thể chế về hai đối tượng hàm số và tính toán đại số với hai chương 1 và 2. Chương 1 trình bày các kết quả nghiên cứu về hai đối tượng này trong chương trình THCS, cấp học mà tính toán đại số và hàm số được đưa vào 1 cách tường minh. Thông qua việc phân tích chương trình chúng tôi sẽ làm rõ vai trò của hình thái hoạt động của tính toán đại số và tác động của nó đến việc nghiên cứu hàm số ở cấp độ này. Ở bậc THPT, hình thái hoạt động của tính toán đại số có tác động đến việc nghiên cứu hàm số giống như ở bậc THCS hay không? Nếu có sự khác biệt thì điều đó được thể hiện như thế nào? Các câu trả lời sẽ được chúng tôi đưa ra sau khi tiến hành phân tích chương trình và SGK THPT. Những nghiên cứu này cũng giúp chúng tôi xác định rõ mối quan hệ thể chế đối với đối tượng hàm số; đồng thời cho phép chúng tôi hình thành giả thuyết về sự tồn tại của các quy tắc hợp đồng didactic liên quan đến việc dạy học hàm số. Đó là những nội dung chúng tôi trình bày trong chương 2. Phần 2 trình bày một nghiên cứu thực nghiệm về tính toán đại số và hàm số. Thật vậy, để kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết đã đặt ra ở trên và phần nào giúp học sinh hiểu được nghĩa của các tính toán đại số, việc xây dựng các bài toán thực nghiệm và tổ chức thực nghiệm trên các chủ thể của hệ thống dạy học là một điều cần thiết. Phần 1: HÀM SỐ VÀ TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ Chương 1: HÀM SỐ VÀ TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS 1.1. Tính toán đại số ở THCS Chương trình lớp 6 và đầu lớp 7 tiếp tục hoàn thiện quá trình xây dựng tập hợp số nguyên, số hữu tỷ, số thực và các phép toán số học trên chúng. Chương trình đại số lớp 7 gồm các chương: - Chương 1: Số hữu tỉ và số thực - Chương 2: Hàm số và đồ thị - Chương 3: Thống kê - Chương 4: Biểu thức đại số Khái niệm biểu thức đại số được đề cập một cách tường minh trong chương 4. Yêu cầu đặt ra cho việc dạy học chương 4 là: “Học sinh nhận biết được biểu thức đại số (trong biểu thức đại số, coi chữ là “đại diện” cho số), biết cách tính giá trị của biểu thức đại số. Nhận biết được đơn thức, đa thức đồng dạng, biết thu gọn đơn, đa thức; biết cộng, trừ đa thức, đặc biệt là đa thức một biến. …”.(SGV Toán 7, tập 1, tr. 5) Có lẽ ở thời điểm này, thời điểm các biểu thức đại số cùng những phép toán trên chúng mới được giới thiệu, thì mức độ yêu cầu như vậy là hợp lý. Vậy, ở những lớp sau, hình thái hoạt động của tính toán đại số có được đề cập? Học sinh có thể sử dụng tính toán đại số như một công cụ để giải quyết những bài toán ngoài tính toán hay không? Chương trình đại số lớp 8 đề cập đến những nội dung sau: - Chương 1: Phép nhân và phép chia đa thức - Chương 2: Phân thức đại số - Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn - Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn Liên quan đến tính toán đại số, chương trình xác định mục đích dạy học là làm cho học sinh: – nắm vững và thực hành tốt các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức. Nắm vững bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và vận dụng được các hằng đẳng thức đó trong tính nhẩm, trong việc phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức. (SGV Toán 8, tập 1, tr. 4) – nắm vững và vận dụng các phương pháp thông dụng để phân tích đa thức thành nhân tử : phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hẳng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử và phối hợp nhiều phương pháp trên. Việc biến tổng thành tích chủ yếu là thành hai nhân tử, không nên đưa ra dạng quá ba nhân tử. (SGV Toán 8, tập 1, tr. 4) – nắm vững quy tắc chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức, chia đa thức cho đa thức đã sắp xếp (chủ yếu là phép chia hết của các đa thức có cùng một biến) (SGV Toán 8, tập 1, tr. 4) Như vậy, yêu cầu chủ yếu của chương trình lớp 8 vẫn là thực hiện các tính toán đại số ở hình thái hình thức, còn việc nắm vững quy tắc, thực hiện thành thạo các phép tính, nắm các phương pháp phân tích thành nhân tử để làm gì thì không được nói rõ. Tóm lại, trích dẫn trên cho thấy, liên quan đến tính toán đại số, trong giai đoạn đầu, chương trình dành trọng tâm cho việc xây dựng các quy tắc tính toán trên các biểu thức đại số. Người ta chỉ đưa ra yêu cầu thực hiện các tính toán đại số ở hình thái hình thức: biết cộng, trừ đa thức, thực hành tốt các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, vận dụng được các phương pháp thông dụng để phân tích đa thức thành nhân tử,… Điều này là tự nhiên, vì không có kỹ năng thực hiện các thao tác tính toán hình thức thì không thể nói đến hình thái hoạt động của những tính toán ấy. Tuy nhiên, cũng rất hợp lý nếu đặt ra câu hỏi: người ta có tổ chức cho học sinh nghiên cứu các quy tắc tính toán (phương diện hình thức của tính toán đại số) trong mục đích xây dựng nghĩa của chúng thông qua việc xét chúng ở hình thái hoạt động hay không? Chẳng hạn, rút gọn biểu thức, hay phân tích biểu thức thành nhân tử, … có được gắn với một mục đích nào đó không? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi đã phân tích sâu hơn các chương tiếp theo của chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9. Hai nội dung chủ yếu được nghiên cứu sau khi giới thiệu Biểu thức đại số là hàm số và phương trình bậc nhất, bậc hai. Những nội dung về hàm số sẽ được chúng tôi trình bày riêng ở phần II. Ở đây chúng tôi chỉ bàn về vai trò của tính toán đại số trong nghiên cứu đối tượng phương trình ở THCS. Trong chương trình Đại số lớp 8, “Phương trình bậc nhất một ẩn” được trình bày ở chương 3. Đúng như tiêu đề của chương, các phương trình được nghiên cứu đều có dạng hoặc có thể đưa về dạng bậc nhất một ẩn. Liên quan đến phương trình ở đây, điều đầu tiên cần nói là không có một giải thích nào của nossphère đề cập một cách tường minh về vai trò của tính toán đại số. Tuy nhiên, khi giới thiệu các dạng phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu số (khi giải đều đưa về dạng bậc nhất) dường như nossphère không muốn chỉ dừng lại ở việc thực hiện các tính toán đại số ở hình thái hình thức. Bởi để đưa phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu số về dạng bậc nhất không thể không sử dụng tính toán đại số. Các tính toán đại số này được thực hiện như thế nào là tùy thuộc vào mỗi phương trình, nó trở thành công cụ để biến đổi phương trình về dạng bậc nhất. Chương trình Đại số lớp 9 gồm: - Chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba - Chương 2: Hàm số bậc nhất - Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn - Chương 4: Hàm số y = ax2 (a 0) – Phương trình bậc hai một ẩn Tương tự như khi giới thiệu phương trình bậc nhất một ẩn, chương 4 của Chương trình Đại số lớp 9 các phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn được giới thiệu ngay sau phương trình bậc hai một ẩn. Đương nhiên, để giải các phương trình này cũng bắt buộc phải sử dụng các tính toán đại số. Nhưng không giống như ở lớp 8, bây giờ nossphère chính thức đề cập đến vai trò của tính toán đại số: “Biết giải các phương trình quy về phương trình bậc hai (chỉ xét các trường hợp đơn giản: biến đổi vế trái về dạng tích của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai (vế phải bằng 0)…)”.(SGV Toán 9, tập 1, tr5) Như vậy, có thể nói hình thái hoạt động của tính toán đại số đã được xem xét đến, trong một chừng mực nào đó, khi nghiên cứu chủ đề phương trình ở THCS hiện hành. Cùng với nội dung Phương trình, tính toán đại số tác động như thế nào vào việc nghiên cứu hàm số trong chương trình này. Dưới đây, chúng tôi sẽ tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi đó. 1.2. Tính toán đại số với việc nghiên cứu hàm số trong chương trình THCS Liếc qua tên các chương của chương trình lớp 7, ta có thể đặt ngay ra câu hỏi: khi chưa đưa vào khái niệm biểu thức đại số thì người ta trình bày khái niệm hàm số như thế nào? Tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, chúng tôi thấy khái niệm hàm số được hình thành từ việc xem xét các đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch. Liên hệ giữa hai đại lượng x, y được cho qua các bảng, nhằm dẫn đến ghi nhận về sự phụ thuộc giữa hai đại lượng, từ đó hình thành nên khái niệm hàm số. Như thế là dù chưa nghiên cứu biểu thức đại số, các ký hiệu bằng chữ đã được sử dụng. Việc làm này thực ra đã từng có ở bậc tiểu học và lớp 6. Lúc đó, thao tác trên những biểu thức chứa chữ được thực hiện nhờ các quy tắc tính toán trên số (chẳng hạn như tìm số bị trừ khi biết hiệu và số trừ, tìm số bị chia khi biết thương và số chia, tìm một số hạng khi biết tổng và số hạng kia, …). Như thế thì việc biểu thị hàm số bằng một biểu thức đại số – đối tượng chưa được định nghĩa tường minh ở thời điểm này, có thể không gây nên sự gián đoạn khi hình thành khái niệm hàm số. Tuy nhiên, việc nghiên cứu hàm số bậc nhất ngay sau đó sẽ tiến hành ra sao? Ở đấy người ta khai thác như thế nào các tính toán đại số? Chúng tôi không tìm thấy trong chương trình một sự nói rõ nào về vấn đề này. Để trả lời câu hỏi đặt ra, chúng tôi xét những nội dung được đề cập ở đây: khái niệm hàm số, giá trị của hàm số, đồ thị hàm số. Các hàm số đều được cho rất cụ thể và đơn giản (bằng bảng, bằng công thức). Việc tính giá trị của hàm số tại một giá trị của biến số (hoặc kiểm tra một điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không) chỉ cần các tính toán số. Hàm số còn được chương trình THCS đề cập ở lớp 9 với hai hàm số cụ thể là hàm số y = ax + b (a 0) và y = ax2 (a  0). Ở đây, ngoài các vấn đề như ở lớp 7 chương trình còn giới thiệu thêm các vấn đề khác của hai hàm số trên: sự biến thiên, sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số, xác định các hệ số của hàm số. Tuy nhiên, tất cả các vấn đề trên đều có thể dễ dàng giải quyết bằng cách sử dụng các tính toán số (như lớp 7) hoặc hệ số a của hàm số. Như vậy, khi nghiên cứu các vấn đề của hàm số ở THCS hoàn toàn chưa sử dụng đến tính toán đại số. 1.3. Kết luận Phân tích chương trình THCS chúng tôi thấy rằng: – Ở cấp THCS, các tính toán đại số được giới thiệu tương đối đầy đủ. Nó cũng được đề cập đến ở cả hai hình thái như sự phân biệt của Chevallard: hình thái hình thức và hình thái hoạt động. – Nhưng, yêu cầu chủ yếu của chương trình là học sinh biết thực hiện các tính toán đại số hình thức. Tính toán và biến đổi chỉ thuần túy là những thao tác biến đổi hình thức và được thực hiện theo những yêu cầu nêu rõ, đã được chuẩn hóa, như “thực hiện phép tính”, “rút gọn biểu thức”, “phân tích biểu thức thành nhân tử”, … – Hình thái hoạt động của tính toán đại số không nằm trong “phạm vi yêu cầu” của chương trình, hay nói chính xác hơn là khi nghiên cứu hàm số. Trong thực tế, không chỉ phân tích chương trình, chúng tôi còn nghiên cứu cả các sách giáo khoa toán ở THCS. Trong khuôn khổ của luận văn, để tránh sự dàn trải, chúng tôi không trình bày kết quả đạt được qua nghiên cứu này. Tuy nhiên, một cách ngắn gọn, chúng tôi cũng muốn thông báo rằng trong các sách giáo khoa toán THCS, loại bài tập sử dụng tính toán đại số ở hình thái hình thức hoàn toàn áp đảo so với loại bài tập sử dụng tính toán đại số ở hình thái hoạt động. Tính toán đại số đơn thuần chỉ là những tính toán, các biến đổi chỉ mang tính hình thức, không vì mục đích gì cả. Mặt hoạt động của tính toán đại số chỉ tác động ở một số rất ít bài toán có nội dung thực tế, hay những bài toán toán học thuần túy như “chứng minh rằng (n + 2)2 – 4 chia hết cho 5” và “giải phương._. trình”. Tóm lại, người ta đặt trọng tâm trước hết vào những kỹ năng thực hiện các tính toán đại số. Hình thái hoạt động của tính toán đại số dường như chỉ có mặt khi nghiên cứu vấn đề giải phương trình và việc giải các bài toán có nội dung thực tế. Nhưng nghiên cứu loại toán này không được chương trình nêu ra khi giải thích mục đích dạy học. Có lẽ vì thế mà nó cũng hiện diện một cách yếu ớt trong các sách giáo khoa. Hầu như tính toán đại số không được khai thác trong nghiên cứu hàm số ở THCS. Phải chăng vì các hàm số hiện diện trong chương trình này là những hàm số đơn giản, và đây chỉ là giai đoạn khởi đầu của việc nghiên cứu hàm số? Nếu thế thì vai trò của tính toán đại số có thay đổi hay không trong dạy học chủ đề hàm số ở trường THPT, nơi mà hàm số đã trở thành một nội dung xuyên suốt chương trình và nhiều hàm số phức tạp hơn được xem xét? Tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi này là mục đích nghiên cứu được đặt ra cho chương tiếp theo của luận văn. Chương 2: TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1. Mở đầu Trong chương này, mục đích của chúng tôi là làm rõ mối quan hệ thể chế với hàm số, qua đó tìm hiểu những tác động của hình thái hoạt động của tính toán đại số trong việc nghiên cứu hàm số ở THPT. Ở đây, khái niệm hàm số được chúng tôi xem xét trên phương diện đối tượng: nó được định nghĩa như thế nào, các tính chất được khai thác ra sao, vấn đề nào được nghiên cứu, … Chúng tôi chia việc nghiên cứu hàm số ở chương trình THPT thành ba giai đoạn: Giai đoạn 1: Hàm số được nghiên cứu bằng phương pháp sơ cấp (ứng với chương trình năm lớp 10 và đầu lớp 11). Giai đoạn này, khái niệm hàm số, hàm số lượng giác, tập xác định, đồ thị của hàm số, hàm số đồng biến – nghịch biến được trình bày lại một cách chính xác hơn; đồng thời khái niệm hàm số chẵn – hàm số lẻ và phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số cũng được bổ sung. Tuy nhiên, các vấn đề của hàm số đều được nghiên cứu bằng phương pháp sơ cấp. Giai đoạn 2: Các công cụ giới hạn, đạo hàm được xây dựng để chuẩn bị cho việc nghiên cứu hàm số bằng phương pháp cao cấp (ứng với chương trình cuối năm lớp 11). Giai đoạn 3: Hàm số được nghiên cứu bằng phương pháp cao cấp (ứng với chương trình năm lớp 12). Bằng phương pháp cao cấp, nhiều loại hàm số và vấn đề của nó được xét tới. Cần phải nói rõ rằng, trong khuôn khổ của luận văn chúng tôi chỉ có thể quan tâm, làm rõ vai trò của tính toán đại số khi nghiên cứu hàm số (chủ yếu là các hàm số cho bằng biểu thức giải tích), đặc biệt là vai trò đó thay đổi như thế nào khi phương pháp nghiên cứu chuyển từ sơ cấp sang cao cấp. Vì vậy, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích hai bộ sách Đại số 10 nâng cao và Giải tích 12 nâng cao chương trình môn Toán THPT hiện hành. Trong đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu chủ yếu các hàm số trong giai đoạn 1 và giai đoạn 3. 2.2. Hàm số và tính toán đại số trong chương trình THPT 2.2.1. Trong thể chế dạy học Toán ở Việt Nam Hàm số là một trong những đối tượng có vai trò quan trọng được đề cập trong mọi cấp học (ngầm ẩn hoặc tường minh). Tác giả Nguyễn Bá Kim đã viết: “Hàm số là một trường hợp đặc biệt của khái niệm hàm – một trong những khái niệm cơ bản của toán học; nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn toán ở trường phổ thông. Toàn bộ việc dạy học toán ở trường phổ thông đều xuay quanh khái niệm hàm”. ([11], tr107) Thật vậy, ngay từ lớp 7 học sinh đã được biết về hàm số như một khái niệm toán học để mô tả tương quan phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên và xét cụ thể hai hàm số y = ax, y = ax . Đến lớp 9, học sinh được học đầy đủ về các hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) và hàm số bậc hai dạng y = ax2 (a  0). Tiếp nối chương trình THCS, chương trình THPT hệ thống, ôn tập và bổ sung thêm về các vấn đề của hàm số (chúng tôi chia thành ba giai đoạn và đã trình bày ở trên). Khi bàn về vấn đề “Dạy học khảo sát hàm số” ở trường phổ thông, tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày: “Cùng với việc hình thành cho học sinh những hiểu biết đúng đắn về khái niệm hàm số, giáo trình toán học ở trường phổ thông dành một phần quan trọng cho việc khảo sát một loạt những hàm số cụ thể, chủ yếu là những hàm số sơ cấp. Hiểu theo nghĩa ở trường phổ thông thì khảo sát hàm số bao gồm các nội dung sau: - Tìm miền xác định; - Xét đặc tính biến thiên; - Vẽ đồ thị và nhận xét đồ thị. Những nội dung này, nói một cách chính xác hơn, nội dung thứ hai và thứ ba, được nghiên cứu với mức độ nông sâu khác nhau tùy yêu cầu từng bậc học. Nói chung những nội dung này đòi hỏi nhiều kĩ năng, kĩ xảo phức tạp. Để học sinh có thể giải tốt những bài toán khảo sát hàm số, ta cần chăm lo rèn luyện cho họ hệ thống kĩ năng, kĩ xảo cần thiết bao gồm ba nhóm sau đây: tính toán, vẽ đồ thị và đọc đồ thị”. ([11], tr118) Ngay sau đó, tác giả trình bày rõ hệ thống kĩ năng, kĩ xảo cần thiết bao gồm ba nhóm: tính toán, vẽ đồ thị và đọc đồ thị. Trong đó, nhóm tính toán phục vụ khảo sát hàm số tác giả viết: “Nhóm này bao gồm những kĩ năng, kĩ xảo thực hiện các phép toán số học và đại số, những phép biến đổi đồng nhất, giải phương trình, xét dấu nhị thức, tam thức, … Điều đó nói lên mối liên hệ mật thiết giữa chủ đề hàm số với các chủ đề khác: các hệ thống số, biến đổi đồng nhất, phương trình và bất phương trình. Những kĩ năng, kĩ xảo vừa nói trên đều không thể xem nhẹ được… Thầy giáo không được có thái độ khoan nhượng trước những sai lầm tính toán của học sinh, không được gây cho họ tâm lý coi nhẹ tính toán ... Ta cần chăm lo rèn luyện cho học sinh những kĩ năng, kĩ xảo này trong khi dạy học các hệ thống số, biến đổi đồng nhất, phương trình và bất phương trình, tạo điều kiện tốt cho việc khảo sát hàm số”. ([11], tr119) Qua những ý kiến, nhận định trên của tác giả Nguyễn Bá Kim, chúng ta có thể thấy rõ vai trò quan trọng của tính toán (trong đó có tính toán đại số) trong việc dạy học hàm số. Tuy nhiên, điều này hoàn toàn không được thể hiện trong chương trình. Những mục tiêu, yêu cầu của chương trình khi giới thiệu khái niệm hàm số (cũng như tính toán đại số) cũng không cho thấy bất kì mối liên hệ nào giữa tính toán đại số và hàm số. 2.2.2. Trong thể chế dạy học Toán ở Pháp Khi nghiên cứu vị trí, vai trò của tính toán đại số trong chương trình Toán THPT ở Pháp, tác giả Claude RIQUET (2004) trong khóa luận “Mặt hoạt động của tính toán đại số ở lớp 10” (Un aspect fonctionnel du calcul algebrique en classe de 2nde) đã chỉ ra rằng: “Tính toán số và tính toán đại số không hệ thống thành một chương mà nó được tìm thấy qua nhiều chương khác nhau. Đặc biệt, nó được trình bày trong mối quan hệ hẹp với việc nghiên cứu hàm số. Giống như hình học, các hoạt động tính toán phải là cơ hội để phát triển suy luận và chứng minh”. Cụ thể, tác giả đã nêu những mức độ cần đạt của chương trình thể hiện mối quan hệ giữa tính toán đại số và nghiên cứu hàm số “Tính toán và hàm số” (Calcul et fonction) như sau: Nội dung Mức độ cần đạt Ghi chú Hàm số - Xác định biến và TXĐ của một hàm số xác định bởi đường cong, bảng giá trị hay biểu thức. Xác định ảnh của một số. Nghiên cứu định tính hàm số. Hàm số tăng, hàm số giảm, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trên một khoảng. Hàm số và biểu thức đại số - Nhận biết dạng của một biểu thức đại số. - Nhận biết những cách viết khác nhau của cùng một biểu thức đại số và chọn ra dạng phù hợp nhất với công việc yêu cầu (dạng rút gọn, nhân tử hóa, ...) - Biến đổi, khai triển, rút gọn một biểu thức theo mục đích mong muốn. - Những hoạt động tính toán phải là cơ hội để suy luận và chứng minh. Người ta tránh những hoạt động quá máy móc và cố gắng phát triển những chiến lược dựa trên quan sát, dự đoán và hiểu biết về tính toán. - Những hoạt động gắn với hàm số, phương trình và bất phương trình làm nổi bật thông tin được cho bởi một biểu thức và thúc đẩy việc tìm kiếm một cách viết phù hợp. Sau khi phân tích chương trình và tài liệu kèm theo chương trình tác giả đã kết luận: “Qua phân tích, chúng ta thấy chương trình nhấn mạnh mặt hoạt động của tính toán đại số qua nhiều nội dung khác nhau, điều này thể hiện ở việc sử dụng các thuật ngữ “biến đổi một biểu thức đại số”, “thông tin được cho bởi một biểu thức”, “tìm một cách viết phù hợp”,…. Ở đây, những chỉ dẫn (yêu cầu) không còn chuẩn mực nữa, và việc thao tác trên những biểu thức đại số là không đủ, nó là một công cụ để giải quyết các bài toán”. Tóm lại, chương trình của Pháp không những đề cập một cách tường minh mà còn nhấn mạnh vai trò của tính toán đại số, cụ thể là các tính toán đại số ở hình thái hoạt động trong nghiên cứu hàm số. Ngược lại, chương trình của Việt Nam không những không nêu rõ vai trò của tính toán đại số mà còn không thể hiện bất kỳ mối liên hệ nào giữa tính toán đại số và nghiên cứu hàm số. Như vậy, trong thể chế dạy học Toán ở Việt Nam, hàm số được giới thiệu như thế nào ở cấp THPT? Những vấn đề nào của hàm số được nghiên cứu? Tính toán đại số được sử dụng như thế nào khi nghiên cứu các vấn đề của hàm số? Việc nghiên cứu các vấn đề của hàm số có cho thấy nghĩa của tính toán đại số hay không? Để trả lời phần nào các câu hỏi trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích bộ SGK Đại số 10 nâng cao và Giải tích 12 nâng cao chương trình hiện hành môn Toán THPT. Khi phân tích mỗi bộ sách chúng tôi trình bày thành hai phần: Phấn lý thuyết: Chúng tôi sẽ tóm tắt các nội dung được SGK trình bày, xác định mối quan hệ thể chế với hàm số và có gắng tìm câu trả lời cho những sự lựa chọn của thể chế khi giới thiệu hàm số. Các tổ chức toán học: Phân tích hệ thống bài tập của chúng tôi tiến hành theo cách tiếp cận của Lý thuyết nhân chủng học và Hợp đồng didactic. Thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học hiện diện trong SGK, chúng tôi sẽ trả lời cho những câu hỏi, củng cố hay bác bỏ những nhận định mà chúng tôi đã trình bày trong phần nghiên cứu lý thuyết. Qua đó, chúng tôi tìm hiểu cuộc sống của tính toán đại số, vai trò của nó trong dạy học hàm số; đồng thời đưa ra những quy tắc của hợp đồng didactic, những giả thuyết liên quan đến khái niệm hàm số. 2.3. Hàm số và tính toán đại số trong SGK Đại số 10 nâng cao  Phần lý thuyết: SGK Đại số 10 nâng cao (ĐS10) giới thiệu khái niệm hàm số trong Chương II: Hàm số bậc nhất và bậc hai. – Bài 1. Đại cương về hàm số – Bài 2. Hàm số bậc nhất – Bài 3. Hàm số bậc hai – Câu hỏi và bài tập ôn tập chương II Bài 1, khái niệm hàm số được nhắc lại và bổ sung. Trong phần “Những điều cần lưu ý” của Bài 1, SGV-ĐS10 cho chúng ta thấy rõ những bổ sung và khác biệt của đối tượng hàm số so với các lớp dưới: “Học sinh đã được học khái niệm hàm số từ lớp dưới. Trong bài này, khái niệm hàm số được chính xác hoá thêm một bước. Cụ thể là: – Đưa vào khái niệm tập xác định của hàm số – Coi hàm số là một quy tắc, nhờ đó mỗi giá trị của x thuộc tập xác định đều tương ứng với một số thực y duy nhất”. (SGV-ĐS10, tr69) Như vậy, ngoài việc chính xác hóa khái niệm hàm số ĐS10 còn giới thiệu tập xác định của hàm số. Sau đó, ĐS10 đã đề cập đến các cách thường dùng để cho một hàm số. Tuy không trình bày thành một hệ thống nhưng chúng ta có thể rút ra 4 cách cho một hàm số được đề cập đến: cho bằng bảng (ví dụ 1, tr35 – ĐS10), cho bằng biểu đồ (bài tập 2, tr44 – ĐS10), cho bằng đồ thị (ví dụ 2, tr37 – ĐS10) và cho bằng biểu thức (ví dụ 3, tr37 – ĐS10). Trong đó, cách cho thứ 3 và thứ 4 chiếm ưu thế hơn, đặc biệt là cách cho thứ 3 – cho bằng đồ thị – là một trong những cách cho hàm số hoàn toàn mới so với chương trình những năm trước đây. Đồ thị của hàm số trở thành một “công cụ hữu hiệu” khi nghiên cứu những tính chất của hàm số. Điều này được SGV-ĐS10 khẳng định trong phần “Những điều cần lưu ý trong chương”: “Với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, đồ thị được xem là phương tiện chủ yếu để khảo sát hàm số … Cách tiếp cận này phù hợp với định hướng về đổi mới phương pháp dạy học: giáo viên tổ chức các hoạt động trên lớp cho học sinh để qua đó dẫn dắt cho học sinh tự khám phá, rút ra những kết luận khoa học cần thiết”. (SGV-ĐS10, tr67) Như vậy, SGK đặc biệt quan tâm đến vai trò của đồ thị trong việc nghiên cứu các vấn đề của hàm số. Sự chọn lựa này chắc chắn sẽ hạn chế việc sử dụng các tính toán đại số trong nghiên cứu hàm số. Cũng trong bài 1, ĐS10 lần lượt giới thiệu các khái niệm sự biến thiên của hàm số, hàm số chẵn – hàm số lẻ và sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song với trục toạ độ. Từ nhận xét đồ thị của hàm số, ĐS10 giới thiệu tính chất của đồ thị của một hàm số đồng biến, nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ như sau: “Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên; Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống”. (ĐS10, tr38) “Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng” (ĐS10, tr41) Sau những tính chất này, phương pháp đồ thị chính thức được sử dụng để nghiên cứu sự biến thiên, tính chẵn – lẻ của hàm số. Ngoài ra, phương pháp đại số cũng ĐS10 giới thiệu, như: “Để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên K, ta có thể xét dấu của tỉ số 2 2 1 ( ) ( )1f x f x x x   trên K”. (ĐS10, tr39) Vây, SGK ưu tiên sử dụng phương pháp nào (đồ thị hay đại số) để nghiên cứu hàm số? Câu trả lời của câu hỏi này sẽ được chúng tôi làm rõ trong những phần sau. Một nội dung hoàn toàn mới so với những chương trình trước đây mà ĐS10 giới thiệu coi như là “một sự chuẩn bị cho các bài học sau, nhất là bài học về hàm số bậc hai” chính là Tịnh tiến đồ thị. Phần này, ĐS10 chỉ trình bày sơ lược và rất trực quan để học sinh có thể hiểu thế nào là tịnh tiến một đồ thị – bằng trực giác. Sau đó, các kết quả tổng quát về mối quan hệ giữa các hàm số mà đồ thị của hàm số này có được bằng cách tịnh tiến đồ thị của hàm số kia được thừa nhận: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đồ thị (G) của hàm số y = f(x); p và q là hai số dương tuỳ ý. Khi đó: 1. Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x) + q; 2. Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x) – q; 3. Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x + p); 4. Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f(x – p). (ĐS10, tr43) Tuy ĐS10 trình bày một cách trực quan cho học sinh dễ hiểu phép tịnh tiến đồ thị hàm số nhưng khi xác định hàm số có đồ thị là ảnh của một đồ thị hàm số khác qua phép tịnh tiến cho trước vẫn cần đến các tính toán đại số. Hơn nữa, việc xác định phép tịnh tiến biến đồ thị của hàm số này thành đồ thị hàm số khác càng sử dụng nhiều tính toán đại số, thậm chí là những tính toán đại số phức tạp. Trong các bài tiếp theo, ĐS10 giới thiệu hai hàm số cụ thể là hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai và nghiên cứu những vấn đề cụ thể của hai hàm số này. Bài 2, ĐS10 tái hiện, củng cố các tính chất và đồ thị của hàm số y = ax + b. Phần còn lại, ĐS10 giới thiệu hàm số y = ax b . Hàm số y = ax b được giới thiệu sau phần hàm số bậc nhất trên từng khoảng, nó là sự “lắp ghép” của hai hàm số bậc nhất khác nhau. Các tính chất của nó được tìm hiểu thông qua đồ thị của nó. Ở đây, một lần nữa phương pháp đồ thị được nhấn mạnh. Toàn bộ về hàm số bậc hai được ĐS10 giới thiệu trong Bài 3. Hàm số y = ax2 (a 0) là một trường hợp riêng của hàm số bậc hai, nó đã được giới thiệu đầy đủ trong chương trình lớp 9, trong bài này các tính chất của nó được nhắc lại và “mở rộng” thành những tính chất của hàm số bậc hai tổng quát.  Ta đã biết: 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 2 4 4 4( ) 2 4 b b bax bx c a x x c a a a b b aca x a a           Do đó, nếu đặt: 2 4b a   c , 2 bp a   và 4 q a   thì hàm số y = ax2 + bx + c = a(x – p)2 + q. (ĐS10, tr55) Như vậy, bằng trực quan không thể dễ dàng xác định được đồ thị (P) của hàm số y = ax2 + bx + c được suy ra từ đồ thị của hàm số y = ax2. Ở đây, phải sử dụng đến tính toán đại số để biến đổi biểu thức ax2 + bx + c và xác định phép tịnh tiến thích hợp biến đồ thị của hàm số y = ax2 thành đồ thị (P) của hàm số y = ax2 + bx + c. Tuy nhiên, việc vẽ được đồ thị của hàm số bậc hai sau đó đơn giản hơn nhiều khi kĩ thuật vẽ được ĐS10 “thuật toán hoá”. Từ đồ thị, nhiều tính chất của hàm số bậc hai cũng được thừa nhận theo đúng “tinh thần” của phương pháp đồ thị.  Các tổ chức toán học: TTXD: Tìm tập xác định của hàm số Với các hàm số cho bằng biểu thức giải tích f(x) ta có kĩ thuật tương ứng để giải quyết TTXD, cụ thể như sau: Kĩ thuật TXD: + Tìm các giá trị của x để f(x) có nghĩa + Tập xác định của hàm số là tập tất cả các giá trị x tìm được Công nghệ TXD: Quy ước: “Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị của biểu thức f(x) được xác định”, (ĐS10, tr36) Với kĩ thuật TXD, vai trò của tính toán đại số được thể hiện rõ hơn. Khó có thể dùng “trực giác” để tìm được những giá trị x mà biểu thức f(x) có nghĩa. Ở đây, các tính toán đã được sử dụng để tìm kết quả của nhiệm vụ đề ta. Cụ thể, các tính toán đại số được sử dụng để biến đổi biểu thức đại số f(x), g(x), ... hay giải các phương trình, bất phương trình. Xét Bài 1a (ĐS10, tr44): “Tìm tập xác định của hàm số: y = 2 3 5 1 x x x    ” Do ở chương trình cấp THCS đã giới thiệu điều kiện có nghĩa của biểu thức f(x) = ( ) ( ) P x Q x là Q(x) 0 (với P(x) và Q(x) là những đa thức) nên để tìm tập xác định của hàm số này có thể thực hiện như sau:  Cách 1: + Phương trình x2 – x + 1 = 0 vô nghiệm + Tập xác định của hàm số là: Cách 2: + Ta có: x2 – x + 1 = (x – 1 2 ) 2 + 3 4 > 0, x  + Tập xác định của hàm số là: Qua thống kê 10 hàm số trong ĐS10 và 5 hàm số trong BT-ĐS10 yêu cầu tìm tập xác định mà hàm số được cho bằng biểu thức, chúng tôi thấy chỉ có duy nhất một hàm số trong hoạt động H1 là có thể tìm được ngay tập xác định của nó bằng “trực giác”: Tập xác định của hàm số d(x) = là: 1 n ê u x < 0 0 n ê u x = 0 1 n ê u x < 0  A. B. _ C.  D. { - 1; 0; 1} Tất cả các hàm số còn lại để tìm được tập xác định của chúng đều đòi hỏi phải sử dụng ít nhiều tính toán đại số. Như vậy, phần lớn các nhiệm vụ thuộc TTXD đều sử dụng TXD để giải quyết. Bảng 2.1: Thống kê số lượng các nhiệm vụ thuộc TTXD TTXD Kiểu nhiệm vụ TXD Số lượng hàm số trong ĐS10 9 Số lượng hàm số trong BT-ĐS10 5 Kiểu nhiệm vụ thứ hai là một kiểu nhiệm vụ đã được giới thiệu ngay từ cấp THCS. TSBT: Xét sự biến thiên của hàm số trên K (khoảng, đoạn, nửa khoảng, tập xác định) Trong chương trình THCS, chỉ có 2 loại hàm số được giới thiệu là hàm số bậc nhất y = ax + b và bậc hai y = ax2. Tuy định nghĩa sự biến thiên đã được nêu chính thức nhưng để xét sự biến thiên những hàm số “đơn giản” này không cần sử dụng đến tỉ số biến thiên mà chỉ cần sử dụng trực tiếp định nghĩa sự biến thiên và các định lý cho phép suy ra sự biến thiên của hàm số từ dấu của hệ số a. Trong chương trình lớp 10, các loại hàm số được cho đa dạng hơn nên nhiều kĩ thuật được giới thiệu để giải quyết các nhiệm vụ thuộc T2. Kĩ thuật SBT.TS: Sử dụng tỉ số biến thiên Lấy 1 2;x x K và 1 2x x Lập tỉ số: A = 2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x   Xét dấu A, nếu: A > 0: hàm số đồng biến trên K A < 0: hàm số nghịch biến trên K Công nghệ SBT.TS: Định nghĩa sự biến thiên và nhận xét về tỉ số biến thiên. (ĐS10, tr39) Kĩ thuật SBT.ĐT: Sử dụng đồ thị hàm số Xét đồ thị hàm số trên K: Đồ thị hàm số đi lên: hàm số đồng biến trên K Đồ thị hàm số đi xuống: hàm số nghịch biến trên K Công nghệ SBT.ĐT: Tính chất của đồ thị hàm số, Tr38 – ĐS10 Kĩ thuật SBT.HS1: Sử dụng khi hàm số là hàm số bậc nhất y = ax + b Xét hệ số a: a > 0: hàm số đồng biến trên a < 0: hàm số nghịch biến trên Công nghệ SBT,HS1: Kết quả về hàm số bậc nhất (ĐS10, tr48) Kĩ thuật SBT.HS2: Sử dụng khi hàm số là hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c Xét hệ số a: a > 0: hàm số nghịch biến khi x < 2 b a  và đồng biến khi x > 2 b a  a 2 b a  và đồng biến khi x < 2 b a  Công nghệ SBT.HS2: Kết quả ĐS10 suy ra từ đồ thị của hàm số bậc hai – tr57 Như đã phân tích ở trên, “với tư tưởng từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, đồ thị của hàm số được xem là phương tiện chủ yếu để khảo sát hàm số”, kĩ thuật SBT.ĐT đã được giới thiệu. Kĩ thuật này không đòi hỏi phải sử dụng các tính toán đại số. Đây là một kĩ thuật hoàn toàn mới so với chương trình trước đây. Sử dụng thành thạo kĩ thuật này cũng là yêu cầu chủ yếu mà thể chế mong muốn. Điều này được khẳng định trong SGV-ĐS10: “Yêu cầu chủ yếu của bài này là học sinh phải biết dựa vào đồ thị để suy ra sự biến thiên của hàm số, đồng thời biết cách lập bảng biến thiên của hàm số”. (SGV-ĐS10, tr70) Sự lựa chọn này của thể chế có phải sẽ làm cho vai trò của tính toán đại số bị xem nhẹ và mờ nhạt khi giải quyết các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ TSBT? Đi tìm câu trả lời cho câu hỏi này chúng tôi đã thống kê tất cả các hàm số được yêu cầu xét sự biến thiên trong Bài 1. Đại cương về hàm số. Kết quả thống kê làm chúng tôi bất ngờ. Chỉ có 6 hàm số (4 trong ĐS10 và 2 trong BT-ĐS10) cho biết đồ thị và yêu cầu suy ra sự biến thiên của hàm số. Trong khi đó, có 12 hàm số (8 trong ĐS10 và 4 trong BT-ĐS10) yêu cầu xét sự biến thiên nhưng chỉ cho biểu thức f(x) và không cho đồ thị (trong đó có nhiều hàm số học sinh chưa thể vẽ đồ thị của nó). Đặc biệt, cả 4 hàm số trong BT-ĐS10 – một quyển sách được viết với mục đích “vừa củng cố kiến thức đang học, vừa nâng cao kĩ năng giải toán” – đều nêu yêu cầu cụ thể là xét sự biến thiên của hàm số bằng cách sử dụng tỉ số biến thiên. Điều này làm cho chúng tôi nghĩ ở đây kĩ thuật SBT.TS lại được nhấn mạnh. Thật vậy, trong các lời giải của ĐS10 và phần “gợi ý trả lời câu hỏi và bài tập” của SGV-ĐS10 đều sử dụng tỉ số biến thiên để xét sự biến thiên của hàm số. Ví dụ, xét sự biến thiên của hàm số y = x2 + 2x – 2 trên mỗi khoảng và được hướng dẫn giải như sau:  ; 1   1;  4.a) Ta có: 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 2 2) ( 2 2) 2f x f x x x x x x x x x x x           Trên khoảng , hàm số nghịch biến vì:  ; 1   0 1 2 1 2 1 2à ; 1 1 à 1 2x v x x v x x x            Trên khoảng , hàm số đồng biến vì:  1;  0 1 2 1 2 1 2à 1; 1 à 1 2x v x x v x x x            (SGV-ĐS10, tr74) Hàm số y = f(x) = ax2 (a > 0) là một hàm số quen thuộc với học sinh và họ có thể dễ dàng vẽ được đồ thị. Vì thế, xét sự biến thiên của hàm số y = f(x) = ax2 (a > 0) theo chúng tôi là cơ hội để học sinh rèn luyện kĩ năng suy ra sự biến thiên của hàm số từ đồ thị của nó (kĩ thuật SBT.ĐT). Tuy nhiên, xét sự biến thiên của hàm số y = f(x) = ax2 (a > 0) lại được ĐS10 đưa vào ví dụ minh họa cho kĩ thuật SBT.TS Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) = ax2 (a > 0) trên mỗi khoảng và  ;0  0; Giải: Với hai số 1 à 2x v x khác nhau, ta có: 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )( ),1f x f x ax ax a x x x x      suy ra 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )f x f x a x x x x    Do a > 0 nên: - Nếu x1 < 0 và x2 < 0 thì a(x1 + x2) < 0; điều đó chứng tỏ hàm số nghịch biến trên khoảng ;  ;0 - Nếu x1 > 0 và x2 > 0 thì a(x1 + x2) > 0; điều đó chứng tỏ hàm số đồng biến trên khoảng  0; (ĐS10, tr39) Khi sử dụng kĩ thuật SBT.TS, vấn đề đặt ra là làm thể nào có thể suy ra dấu của tỉ số biến thiên một cách nhanh nhất. Ở đây, vai trò của tính toán đại số trở nên rất quan trọng. Chúng được sử dụng để biến đổi và xác định dấu của tỉ số biến thiên. Các tính toán đại số thường được sử dụng là: khai triển, rút gọn, phân tích đa thức thành nhân tử, so sánh, … Như lời giải 4a trình bày ở trên, để lập được tỉ số biến thiên đòi hỏi phải tính được f(x1) và f(x2): 2 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( 2 2) ( ) ( 2 2)       f x x x f x x x 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 2 2) ( 2 2        f x f x x x x xA x x x x ) Chính nhu cầu xét dấu A dẫn đến việc phải sử dụng đến tính toán đại số. Bằng các tính toán đại số thích hợp, biểu thức A sẽ được đưa về dạng đơn giản hơn và có thể xác định được dấu của nó một cách dễ dàng. Ở trường hợp này, các tính toán đại số được thực hiện là phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức. 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2( ) ( )(( 2)x x x x x x x xA x x x x         1 2 2x x   cuối cùng là những biến đổi, so sánh để biết được dấu của A:  1 2 1 2 1 2à ; 1 1 à 1 2x v x x v x x x 0             1 2 1 2 1 2à 1; 1 à 1 2x v x x v x x x 0            Như vậy, các tính toán đại số: phân tích thành nhân tử và rút gọn, … xuất hiện như là một khâu trong quá trình giải quyết bài toán. Nó xuất hiện và được sử dụng ra sao không phải do yêu cầu cho trước mà do nội tại của bài toán quy định. Điều này khẳng định vai trò quan trọng của tính toán đại số khi xét sự biến thiên của một hàm số. Chính những trường hợp như vậy cho chúng ta thấy rõ hình thái hoạt động của tính toán đại số, nghĩa của tính toán đại số. Tóm lại, tuy yêu cầu chủ yếu của bài 1 là sử dụng SBT.ĐT để xét sự biến thiên của các hàm số nhưng thực tế thì trong cả ĐS10 lẫn BT-ĐS10 kĩ thuật SBT.TS vẫn chiếm ưu thế hơn hẳn. Một trong những lý do có thể là do SGK muốn nhấn mạnh đến việc xét sự biến thiên của một hàm số cho bằng biểu thức – cách cho hàm số chiếm ưu thế trong SGK Toán ở bậc THPT. Thực tế này có mâu thuẫn với “yêu cầu chủ yếu” mà SGV-ĐS10 đã nêu trong Bài 1 như đã trình bày ở trên không? Hay chỉ với 6 hàm số (có thể suy ra sự biến thiên dựa vào đồ thị của nó) thể chế có thể đạt được “yêu cầu chủ yếu” mong muốn và sau này học sinh có thể sử dụng thành thạo SBT.ĐT? Để có được câu trả lời cho những câu hỏi này, chúng tôi tiếp tục tìm hiểu các nhiệm vụ thuộc TSBT trong Bài 2 và Bài 3. Kết quả cho thấy, trong Bài 1 khi giới thiệu về các hàm số nói chung thì SBT.TS chiếm ưu thế. Nhưng trong Bài 2 và Bài 3, khi giới thiệu các hàm số cụ thể (hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai) thì SBT.ĐT lại hoàn toàn chiếm ưu thế. Sự thay đổi này có lẽ là do các hàm số trong Bài 2 và Bài 3 được đề cập đều là các hàm số mà có thể dễ dàng vẽ được đồ thị. Việc ưu tiên sử dụng SBT.ĐT được thể hiện tường minh trong SGK (SGK yêu cầu vẽ đồ thị của hàm số trước khi yêu cầu xét sự biến thiên). Khi hàm số đã có đồ thị, việc SBT.ĐT chiếm ưu thế là hoàn toàn thỏa đáng. Ngoài ra, những kết quả suy từ đồ thị hàm số đã hình thành kĩ thuật mới SBT.HS2. Các kĩ thuật SBT.HS1, SBT.HS2 được sử dụng trong những trường hợp cụ thể: hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Chỉ cần xét dấu của hệ số a kết hợp với các tính toán số đơn giản có thể suy ra sự biến thiên của hàm số. Bảng 2.2: Thống kê số lượng các nhiệm vụ thuộc TSBT TSBT Kiểu nhiệm vụ SBT.TS SBT.ĐT SBT.HS1 SBT.HS2 Số lượng hàm số trong ĐS10 7 12 1 3 Số lượng hàm số trong BT-ĐS10 4 10 0 10 TCL: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số Kĩ thuật CL.ĐN: Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn – hàm số lẻ + Tìm TXĐ D của hàm số + x D  mà x D  : hàm số không chẵn không lẻ + x D  mà x D  : tính f(– x) f(– x) = f(x): hàm số là hàm số chẵn f(– x) = – f(x): hàm số là hàm số lẻ Tồn tại a, b mà f(– a)  f(a) và f(– b)  –f(b): hàm số không chẵn không lẻ Kĩ thuật CL.ĐT: Sử dụng đồ thị (C) của hàm số Nhận xét đồ thị (C) của hàm số: + (C) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng: hàm số là hàm số lẻ + (C) nhận trục Oy là trục đối xứng: hàm số là hàm số chẵn + (C) không có hai tính chất trên: hàm số không chẵn không lẻ Công nghệ CL: Tính chất của đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ Ví dụ: Chứng minh hàm số f(x) = 1 1x x   là hàm số lẻ. Giải: Tập xác định của hàm số là đoạn [-1; 1] nên dễ thấy , [ 1;1] [ 1;1x x x       ] và f(– x) = 1 1x x   = – ( 1 1x x   ) = – f(x) Vậy f là hàm số lẻ (ĐS10, tr41) Một trong những điều lưu ý mà SGV-ĐS10 nêu trong bài 1 là: “Trong thực hành, cũng có thể đoán nhận tính chẵn – lẻ của hàm số khi đã biết đồ thị của nó”. Điều này cho phép ta khẳng định kĩ thuật CL.ĐT đã được đề cập. Tuy nhiên, kĩ thuật này chỉ được vận hành trong duy nhất một hàm số được đưa ra trong hoạt động H6. Tất cả các hàm số còn lại đều sử dụng kĩ thuật CL.ĐN. Khi đó, vai trò của các tính toán đại số chủ yếu thể hiện trong việc tìm TXĐ của hàm số (chúng tôi đã phân tích trong TTXD). Bảng 2.3: Thống kê số lượng các nhiệm vụ thuộc TCL TCL Kiểu nhiệm vụ CL.ĐN CL.ĐT Số lượng hàm số trong ĐS10 4 0 Số lượng hàm số trong BT-ĐS10 10 0 TTTĐT: Xác định hàm số g(x) có đồ thị (H’) có được khi tịnh tiến đồ thị (H) của hàm số f(x) song song với trục tọa độ k đơn vị (k > 0) Kĩ thuật TTĐT: + Tịnh tiến (H) lên trên k đơn vị: g(x) = f(x) + k + Tịnh tiến (H) xuống dưới k đơn vị: g(x) = f(x) – k + Tịnh tiến (H) sang trái k đơn vị: g(x) = f(x + k) + Tịnh tiến (H) sang phải k đơn vị: g(x) = f(x – k) Công nghệ TTĐT: Định lý về tịnh tiến đồ thị được ĐS10 thừa nhận ở Tr43 Sử dụng TTĐT mọi nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ TTTĐT đều dễ dàng được thực hiện. Chỉ với những tính toán đại số thông thường là cộng (hoặc trừ) f(x) với k hay thay x bởi x + k (hoặc x – k) ta sẽ có được g(x). Ví dụ: “Nếu tịnh tiến đường thẳng (d): y = 2x – 1 sang phải 3 đơn vị thì ta được đồ thị hàm số nào? Giải. Kí hiệu f(x) = 2x – 1. Theo định lí trên, khi tịnh tiến (d) sang phải 3 đơn vị, ta được (d1), đó là đồ thị hàm số y = f(x – 3) = 2(x – 3) – 1 tức là hàm số y = 2x – 7”. (ĐS10, tr43) Tuy nhiên, để thực hiện được các dạng toán ngược lại, tức là tịnh tiến đồ thị (H) của f(x) như thế nào để có được đồ thị (H’) của g(x), đòi hỏi kĩ năng về ._.. H35C chỉ có thể nhân tử hóa những biểu thức có chứa x (bằng cách đặt x làm thừa số chung). Do đó, các biến đổi của học sinh này không đạt được mục đích gì cả. Không giống như H35C, H9N5 giải phương trình y’ = 0 như sau: y’ = 0  4x3 – 6x2 + 4x – 2 = 0  (x – 1)(4x2 – 2x + 2) = 0  x = 1 v 4x2 – 2x + 2 = 0  x = 1 v 2x2 – x + 1 = 0  x = 1 v x(2x – 1) + 1 = 0  x = 1 v x = 1 2 1x   H9N5 đã thực hiện được việc nhân tử hóa biểu thức ở vế trái và tìm được n ăn của học sinh tr để giải quyết các vấn đề về toán uốn tìm hiểu biểu thức f(x) được quan tâm, sử dụng (biến đổ rong việc tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số được cho bởi biể cho thấy chỉ có 56/124 học sinh thực hiện chiến lược SBĐ. Hơn nữa, trong 56 học sinh này, có đến 35 người đã khô g việc chọn lựa và thực hiện các tính toán đại số để biến đổi và đánh giá f(x). í dụ: H25N2 thực hiện SBĐ như sau: = f(x) – 2x3 Ở đây, ghiệm x = 1. Nhưng các tính toán đại số được sử dụng để biến đổi phương trình 2x2 – x + 1 = 0 không hợp lý nên không kết luận được phương trình đó vô nghiệm (dẫn đến không thể tiếp tục thực hiện thành công chiến lược SĐH). Với yêu cầu giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau chúng tôi mong muốn SBĐ sẽ xuất hiện nhiều hơn. Qua đó, chúng tôi ghi nhận những khó kh ong việc chọn lựa và thực hiện các tính toán đại số học. Ngoài ra, chúng tôi cũng m i, đánh giá) như thế nào t u thức y = f(x). Tuy nhiên, kết quả thực nghiệm ng thành côn trong V y = x4 + 2x2 – 2x + 6 = 4 21 1 3 4( ) 2 2 2 8 x x x    7 = 4 21 1 47( ) ( 3 )x x x    2 2 4 = 4 21 1 9 38( ) ( 3 ) 2 2 4 4 x x x     = 4 21 1 3 38 38( ) ( ) 2 2 2 8 8 x x     Vậy, minf(x) = 38 8 Ta thấy, các tính toán đại số đã được H25N2 thực hiện đúng nhưng không phù hợ c lũy thừa bậc ch hi iá trị nhỏ nhất của hàm số). Vì vậy, H25N2 đã tìm c kết 2 cũng nhận thấy được điều này nên sau đó đ và thay bằng biến đổi sau: = f(x) + 6 p với yêu cầu nội tại của bài toán (biến đổi f(x) thành tổng của cá ẵn có ng ệm chung để kết luận g đượ quả không chính xác. Bản thân H25N ã gạch phần biến đổi trên y = x4 – 2x3 + 2x2 – 2x 2x + 5 4 + 2( 3 – 2x2 + x) + 5 = (x – 1) + 2x(x – 1)2 + 5 u nội tại của bà = (x – 1)4 + 2x3 – 4x2 + = (x – 1) x 4 Lần này, H25N2 đã tạo ra được hai lũy thừa bậc chẵn có nghiệm chung nhưng lại có 2x nhân với (x – 1)2 nên vẫn không thể đánh giá được f(x). Chúng ta có thể thấy kỹ năng tính toán đại số của H25N2 là rất tốt. Tuy nhiên, những khó khăn trong việc chọn lựa các tính toán đại số sao cho phù hợp với yêu cầ i toán đã làm cho H25N2 không thành công khi giải quyết nhiệm vụ đề ra. Xét các biến đổi sau được thực hiện bởi H24N2: TXĐ: D =  \ 0 y = x2(x2 – 2x + 2 – 2 x + 2 6 x ) = x2((x – 1)2 + 1 – 2 x + 2 6 x ) Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất  (x – 1)2 + 1 – 2 x + 2 6 x đạt giá trị nhỏ nhất (x – 1)2 + 1 – 2 x + 62x  1 – 2 x + 2 6 x 2 2 2 ( 1) 5x x   22 6x xx  (x – 1)2 + = (x – 1)2 + 2 2 ( 1)x x 5  đạt giá trị nhỏ nhất Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất  2 2 ( 1) 5x x    5 (do x Vậy  0) hất là 5 và dấu “=” xảy ra khi x = 1 Cũng như H25N2, H24N2 có kỹ năng thực hiện các tính toán đại số rất tốt (phân ử sử dụng hằng đẳng thức, tách các số hạng…) nhưng các tính toá toán là Vậy giá trị nhỏ n tích thành nhân t , n đại số được chọn lựa và thực hiện như thế nào cho hợp lý, phù hợp với bài những khó khăn mà H24N2 không vượt qua được nên đã không thành công khi giải quyết nhiệm vụ đề ra. Không giống như H25N2 và H24N2; H27N2 và H6N5 đã thể hiện sai lầm ngay khi thực hiện các tính toán đại số (sử dụng hằng đẳng thức không chính xác): H27N2 và H6N5: y = f(x) = x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 6 – 2x3 – 2x (thiếu + 5) =(x2 + 1)2 – 2x(x2 +1) =(x2 + 1)(x2 – 2x +1) =(x2 + 1)(x – 1)2 2 2 4 2 + 1)(x – 1)2 Cũng như những học sinh trên, tuy biết phải biến đổi f(x) về dạng tổng của những những khó khăn trong việc sử dụng tính toán đại số: H44C: y = f(x) = x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 6 = x x2 2 = (x2 – x)2 + x2 – 2x + 6 ị nhỏ nhấ hỏ nhất và x2 – 2x + 6 nhỏ nhất mà (x2 – x)2 nhỏ nhất khi x = 0 đã thực n lược SĐH và tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số là 5. Đó có thể coi là một gợi ý để biến đổi x2 – 2x + 2 – 2x + 1 + 5 = (x )2 + 5. Từ đó, có thể biến đổi f(x) thành dạng tổng c uy ra giá trị nhỏ nhất củ hợp và thuận lợi cho việc nghiên cứu các vấn đề của hàm s = (x – 1)4 + 5  5 Dấu “=” xảy ra khi x =1 Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và yCT = 5 Còn với H4N5, tuy đã vượt qua những khó khăn trong việc chọn lựa và thực hiện các tính toán đại số sao cho phù hợp với bài toán nhưng học sinh này đã gặp những sai lầm trong tính toán và khó khăn trong việc đánh giá biểu thức. Vì vậy, H4N5 cũng không tìm được kết quả cuối cùng: H4N5: x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 6 = x4 + 2x2 + 1 Ta có: (x + 1) + (x – 1) > 2(x lũy thừa bậc chẵn để đánh giá f(x) nhưng H44C cũng không vượt qua được x4 – 2 3 + – 2x + 6 + x y đạt giá tr t khi (x2 – x)2 n H44C là một trong nhiều học sinh hiện thành công chiế 6 = x – 1 ủa hai bình phương (có cùng nghiệm là 1) cộng thêm 5 và s a hàm số. Nhưng, như bài làm của H44C trình bày ở trên, dù biết tách 2x2 = x2 + x2 để có được (x2 – x)2 nhưng H44C lại không biết tách 6 = 1 + 5 để có (x – 1)2. Như vậy, ngay cả đối tượng học sinh khá, giỏi vẫn gặp những khó khăn trong việc chọn lựa và thực hiện các tính toán đại số; cũng như việc xem xét, biến đổi biểu thức f(x) sao cho phù ố tương ứng. Điều này càng thêm khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết H. Câu 3 Việc chuyển từ một vấn đề trong thực tế uộc sc ống thành một vấn đề toán học và giải quyết vấ uen thuộc và không dễ dàng đối với học sin nằm ngoài dự đoán của chúng iải quyết nhiệm vụ được giao trong câu 3 – đề t của hàm số để suy ra giá bán của một sản phẩm. Qua bài làm của học sinh cho thấy, có rấ được số sản phẩm được bán, được thanh lý theo x (giá mỗi n x triệu) và biết phải lậ tiền thu được nhưng vẫn thất bại kh tự thực hiện các tính toán đại số: 10 i số sản phẩm được bán là số tiền bá 10 + x)) cộng với số tiền thanh l số tiền thu được. án và số và 100x, H11N2 đã làm như sau: i nhuận, H11N2 lại càng thể hiện rõ những khó khăn, sai lầm của mình trong v ệc sử dụng tính toán đại số. H11N2 đã lấy giá bán sản phẩm nhân với số sản n đề bằng toán học là ít q h. Chính vì vậy, kết quả thu được từ câu 3 không tôi. Học sinh thực sự gặp rất nhiều khó khăn trong việc tự thành lập các biểu thức đại số và thực hiện các tính toán đại số trên các biểu thức đại số đó (cũng như thành lập hàm số và chọn lựa vấn đề của hàm số để nghiên cứu). Chỉ có 22/124 học sinh thành công khi g thành lập hàm số và chọn vấn cần nghiên cứu là tìm giá trị lớn nhấ t nhiều học sinh đã biết sản phẩm tăng lê p một biểu thức, một hàm số biểu thị tổng số i lập biểu thức, hàm số này (mặc dù khi tiến hành thực nghiệm chúng tôi đã nói rất rõ tổng số tiền thu được là tổng số tiền bán và thanh lý sẩm phẩm). Điều này cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc cộng x là giá bán một sản phẩm; 10 + x nhân vớ n sản phẩm; số tiền bán sản phẩm ((1000 – 100x)( ý các sản phẩm không bán được (4.100x) là tổng Như trường hợp của H11N2, sau khi tìm được số sản phẩm được b sản phẩm được thanh lý là 1000 – 100x Gọi giá tiền sản phẩm là 10 + m Tổng lợi nhuận: 100m(10 + m) + (1000 – 100m)40m = 100m + 100m2 + 40000m – 4000m2 = 4100m2 + 41000m Gọi f(m) = 4100m2 + 41000m f’(m) = 4100m + 41000 f’(m) = 0  m = – 1 Bài làm trên cho thấy, H11N2 hiểu bài toán và biết được cần phải làm gì để giải quyết bài toán. Tuy đã biết sử dụng x để tìm 100x, 1000 – 100x nhưng H111N2 lại không tính được giá bán một sản phẩm theo x mà lại tính theo m. Sau đó, khi tính tổng lợ i phẩm anh lý (tính theo m là 100m), số sản phẩm được bán lại nhân với số tiền th và 1000 – 100x. Nhưng tính tổng số tiền của mỗi sản phẩm được bán theo x mà vẫn sử dụn x là một khó khăn đối với H1 học sinh trên, H26N5 đã tính được giá bán một sản phẩm t ng số tiền thu được, H26N5 chỉ tính số tiền bán 10 0 – 1 cộng số tiền thanh lý sản phẩm (điều này chúng tôi đã n lầ ực nghiệm). được th anh lý sản phẩm (theo cách tính của H11N2 là 40m). Chính những khó khăn, sai lầm này đã làm cho H11N2 thất bại trong việc lập hàm số và tìm ra giá bán của một sản phẩm mặc dù H11N2 xác định được vấn đề là tìm giá trị lớn nhất của hàm số (khảo sát sự biến thiên). Xét bài làm của các học sinh H17N2 và H33N2 cho thấy các học sinh này đã tìm được số sản phẩm được thanh lý và được bán lần lượt là 100x cũng như H11N2, H17N2 không tính được giá bán của sản phẩm theo x mà gọi m là số tiền phải bán và thiết lập biểu thức: y = (1000 – 100x)m + 400x Như vậy, tuy gọi giá bán sản phẩm là m nhưng số sản phẩm được bán và số sản phẩm được thanh lý vẫn được tính theo x. Và hai ẩn m, x cùng lúc xuất hiện đã làm cho H17N2 không thể thực hiện ý định tiếp tục giải quyết bài toán (trong giấy nháp H17N2 đã tiến hành nhân phân phối m với 1000 – 100x). Trường hợp của H10N5 lại là một dạng sai lầm khác. H10N5 đã tính được số sản phẩm được thanh lý và được bán theo x là 100x và 1000 – 100x như những học sinh trên nhưng H10N5 tính tổng số tiền thu được như sau: Tổng số tiền của công ty thu về khi tăng giá lên x triệu: (1000 – 100x)10 + 100x.4 = 10000 – 100x – 400x = 10000 – 600x Ở đây, H10N5 biết khi tăng giá mỗi sản phẩm lên x triệu thì số sản phẩm được bán là 1000 – 100x và số sản phẩm phải thanh lý là 100x nhưng khi thu về H10N5 lại không tính giá g giá bán 10 triệu. Việc tự tính giá của sản phẩm theo 0N5? Không giống như các heo x là 10 + x. Nhưng khi tính tổ 0 00x sản phẩm mà không hắc nhiều n trong khi th Ta có: 10 + x là số tiền đã tăng lên x triệu (10 + x)(1000 – 100x) = 10000 – 1000x + 1000x – 100x2 = – 100x2 + 10000 Đặt f(x) = – 100x2 + 10000 y’ = – 200x y’ = 0  x = 0 x  0  y’ + 0 - y 10000   Vậy phải bán 10 triệu thì sẽ thu được nhiều nhất. Ngoài những khó khăn, sai lầm của những học sinh phân tích ở trên, còn rất nhiều học sinh đã tính được số sản phẩm phải thanh lý và số sản phẩm được bán theo x 0x nhưng họ lại không thiết lập được biểu thức, hàm số hể giải quyết được nhiệm để tìm giá trị lớn nhất của hà ử dụng các tính toán đại số Điều này cho th ết quả thu được từ pha 1 của thực nghiệm cho phép chúng tôi khẳng định tí ng khó khăn này tồn tại ở ngay cả nhữ c tính toán đại số rất tốt. Hệ quả của việ sinh ch n đã được học chứ ít khi sử dụng trực tiếp (xem xét, biế ích đánh giá, …) biểu thức f(x) để giải quyết những nhiệm vụ đề ra. lần lượt là 100x và 1000 – 10 tính tổng số tiền thu được theo x. Phải chăng cũng chính những khó khăn, sai lầm như phân tích ở trên (trong việc tự tính giá bán của mỗi sản phẩm theo x và tính số tiền bán sản phẩm và thanh lý các sản phẩm không được bán để tính tổng số tiền thu được theo x) đã làm cho những học sinh này không t vụ được giao? Trong số 22 học sinh giải quyết được nhiệm vụ đề ra – tìm được giá bán của mỗi sản phẩm, có đến 18 học sinh sử dụng công cụ đạo hàm m số biểu thị tổng số tiền thu được. Chỉ có 4 học sinh s trong việc biến đổi, đánh giá f(x) để tìm giá trị lớn nhất của hàm số. ấy ảnh hưởng mạnh mẽ của công cụ đạo hàm, đồng thời thể hiện vai trò mờ nhạt của tính toán đại số trong việc giải quyết nhiệm vụ đề ra.  Kết luận từ kết quả thực nghiệm pha 1: Những k nh đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu H. Cụ thể, kết quả thu được từ pha 1 của thực nghiệm cho thấy: 1. Học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc chọn lựa và thực hiện các tính toán đại số sao cho phù hợp với nhiệm vụ đề ra. Nhữ ng học sinh có những kỹ năng thực hiện cá c này là, khi nghiên cứu các vấn đề về hàm số cho bởi biểu thức f(x), học ỉ thực hiện theo các thuật toá n đổi, phân t 2. Kh ghiên cứu ề hàm số xác ịnh bởi biểu thức f(x), nhiều học sinh không quan tâm tớ iệc xem xét, biến đổi f(x) sao cho phù hợp, thuận lợi cho vấn đề cần giải quyết. 3. Việ ể một vấn đề thực tế thành một vấn đề toán học và giải quyết bằng toán họ hực s khó khăn đối với học sinh. Một trong các nguyên nhân là do những hạn chế trong khả n ng sử h toán đại số ở hình thái hoạt động của học sin i n các vấn đề v đ i v c chuy c t n ự ă dụng tín h. 3.5.1.2. PHA 2 Bảng 3.3: Thống kê kết quả pha 2 của thực nghiệm SỐ NHÓM CÂU CHIẾN LƯỢC Trả lời Không trả lời SK 0 SBĐ.q 0 SBĐ SBĐ.qr 23 CÂU 4 0 SK SBĐ 0 Xét f(x) – g(x) > 0 13 (4 không thành công) Xét minf và maxg 7 (7 không thành công) CÂU 5 Khác 3 (2 không thành công) 0 Trong pha 2, mỗi lớp thực nghiệm chúng tôi chia thành 7 hoặc 8 nhóm (mỗi nhóm 5 – 6 học sinh). Tổng số là 23 nhóm. Qua bảng thống kê kết quả pha 2, chúng ta thấy những khó khăn học sinh gặp phải khi giải quyết câu 1 trong pha 1 đã được i quyết thành công yêu cầu đặt ra ở câu 4 b khắc phục hoàn toàn khi tất cả 23 nhóm đều giả ằng chiến lược SBĐ.qr. Như vậy, học sinh đã thấy được sự vai trò của các tính toán đại số và sự cần thiết của việc biến đổi biểu thức P(x) trước khi tính giá trị của nó. Tuy nhiên, những khó khăn học sinh gặp phải khi giải quyết câu 2 ở pha 1 (thực hiện theo SBĐ) vẫn thể hiện trong pha 2 khi các nhóm giải quyết câu 5. Nếu giá trị lớn nhất của hàm số f lớn hơn giá trị nhỏ nhất của hàm số g (trên ) thì đồ thị của hàm số f luôn nằm trên đồ thị hàm số g. Chính vì vậy, có đến 7 nhóm đã đi tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g (mặc dù chúng tôi chọn hàm số g là một hàm quen thuộc và không có giá trị lớn nhất trên – hàm số bậc ba). Những nhóm này cho thấy khó khăn của họ trong việc chuyển vấn đề nghiên cứu hàm số về 1 vấn đề ển từ việc nghiên cứu một vấn đề của hàm số thành ững khó khăn này thể hiện rất rõ trong giấy nháp của nhóm 1, nhóm 2 của N2: Nhóm Cm: – x + 2 > 0 x4 + 3x2 + 2 > x3 + x (x + 1)(x + 2) > x(x2 + 1) y f(x) – g(x) = x4 – x2 – x + 2 x4 2 + x2 – 2x + 4 – 2 + x 2 + x y x4 – x3 x – 2 + (x – x4 – x3 + 3x2 – x + 2 > 0 x4 – x3 + 3x2 – x + 2 = (x2 – 2x + 1)(x2 + x + 1) tính toán đại số. Trong 13 nhóm đi so sánh f(x) và g(x) cũng có tới 3 nhóm trước đó đã thất bại trong việc chứng minh g(x) < 5. Trong 13 nhóm biết cách chuy một vấn đề tính toán đại số thì có 4 nhóm đã không thành công trong việc chọn lựa và thực hiện các tính toán đại số như thế nào cho phù hợp và có thể tìm được kết quả của bài toán. Nh 1 của N2: x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 6 > – x3 – x2 – x + 4  x4 – x3 + 3x2 Ha x3 + 3 = – x3 + 2x = x4 – x3 + 2x – 2 + x + Ha + 2x2 + 2)2 x2(x2 – 2) – x3 + x – 2 + (x – 2)2 x2((x – 2)2 + 4x) – x3 + 3x + (x – 2)2 x2(x – 2)2 + 4x3 – x3 + 3x + (x – 2)2 Những khó khăn này được chính nhóm thừa nhận trong pha 3. Nhóm 2 của N2: x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 6 > – x3 – x2 – x + 4   (x2 – 1)(x2 – x + 3 x4 – 2x3 – x2 Hay x4 – x3 + 3x2 – x + 2 = (x2 – 2x + 1)(x2 + 2) x4 + x2 – 2x3 – 2x + x2 x4 + 2x2 – 2x3 – 4x + x2 + 2 Hay x4 + x3 – 2x3 – 2x2 + x2 + x – x3 – x2 + x Như vậy, việc đánh giá f(x) – g(x) > 0 bằng tính toán đại số là thực sự khó khăn đối với các nhóm này. Ngoài ra, mặc dù ngoài nháp, một số nhóm đã xét f(x) – g(x) nhưng dường như, những khó khăn trong việc chọn lựa và thực hiện các tính toán đại số này đã hất của hàm số kia. Chẳng hạn, cả hai nhóm 4C và 4N5 ở nháp đều có trình 2 o phép chúng tôi thêm phần khẳng định nh đúng đắn của gi C chính những kết quả trên cho thấy, mục đích của chúng tôi khi tiến hành p c ong câu 4, tất cả các nhóm nhận thấy sự cần thi c khi tính giá trị của nó tại nhữ óm thành công trong việc chọn lựa và iện các tính toán đại số để tìm được kết quả của bài toán. Đặc biệt, các tính toán đại a và thực hiện theo nhiều cách khác nhau. Xét bà Nhóm 4N2: x2 – x + 2 > 0 x2(x2 – x2( 2 – 2x + 2 > 0 x2( 2 – 2x + 1) + 3x2 + 1 > 0 2 + 1 > 0 2 dẫn đến kết quả thảo luận nhóm là so sánh giá trị lớn nhất của hàm số này với giá trị nhỏ n bày: x4 – 2x3 + 2x – 2x + 6 > – x3 – x2 – x + 4  x4 – x3 + 3x2 – x + 2 > 0 Một lần nữa, kết quả thực nghiệm ch tí ả thuyết H đã đưa ra. ũng ha 2 của thự nghiệm đã đạt được. Tr ết của các tính toán đại số và việc biến đổi P(x) trướ ng giá trị x. Trong câu 5, cũng có tới 10 nh thực h số được các nhóm này chọn lự i làm của một số nhóm: f(x) – g(x) > 0  x4 – x3 + 3 2x + 1) + 2x2 + x3 – x + 2 > 0  x – 1)2 + x(x2 – 2x + 1) + 4x x – 1)2 + x(x – 1)2 + (x (x – 1)2(x2 + x + 1) + 3x 1 3 (x – 1) [ (x + 2 ) + 2 4 ] + 3x + 1 > 0 2 – x + 2 > 0 Nhóm 6N2: f(x) – g(x) > 0  x4 – x3 + 3x2 (x2 + 1)(x2 – x + 2) > 0  Xét dấu x2 – x + 2 = g(x) = – 7 0  g(x) > 0 x  Nhóm 2N5: f(x) – g(x) > 0 x   x4 – x3 + 3x2 – x + 2 > 0 x   (x2)2 – 2x2 1 2 x + 2 4 x + 211 4 x – x + 2 > 0 x  2 11 21 2(x – 2 x ) + x2 2      – 11 12 . 2 11 + x 11   + 21 11 > 0 x  2 11 1 2 11 x     +  (x2 – 2 x )2 + 21 11 > 0 x  Nhóm 3N5: f(x) – g(x) > 0  x4 – x3 + 3x2 – x + 2 > 0  x2(x2 – x + 1) + (x2 – x + 1) + x2 + 1 > 0 Vì: x2 – x + 1 > 0 x  x2+ 1 > 0 x  x  Nên: f(x) – g(x) > 0 Nhóm duy nhất thực hiện thành công theo chiến lược khác là 5H5. m của nhóm 5H5: ành đô giao điểm của (C) và (C’): + 6 = – x3 – x2 – x + 4 Bài là Phương trình ho x4 – 2x3 + 2x2 – 2x  x4 – x3 + 3x2 – x + 2 = 0  (x2 – x + 2)(x2 + 1) = 0  2 2 0x x VN 2 1 0x VN       (C) và ( ’) khô g có giao điểm C n (C) nằm trên hoặc nằm dưới (C’) 1 giá trị x bất kì, ví dụ: x = 1  Chọn f(1) = 5 g(1) = 1  f(1) > g(1) (C) luôn nằm trên (C’) Nh óm 5H đã sử dụng kỹ thuật thường gặp khi xét sự tương giao thị là sử dụng phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị. Tuy nhiên, ố vẫn thể hiện rõ vai trò của mình trong bài giải của nhóm 5H thể hiệ được khả năng lựa chọn và thực hiện các tính o ng m trình h ành độ giao điểm của (C) và (C’) vô nghi Trong 13 nhóm không tìm ra được kết quả của câu 5 thì phần lớn là do nhữ g h i lầm trong việc chuyể vấn đề th hàm số ấn đề tính toán đại số.  Kết luận từ kết quả thực nghiệm pha 2: uả thu được từ pha 2 của thực nghiệm cho thấy, chúng tôi phần nào đạt được m ụ thể, việc phân tích kết quả thực nghiệm đã chỉ ra rằng: hiện những khó khăn khi phải thực hiện các tính toá đạ c nhóm đã giúp cho nhiều học sinh khắc phục được i trong pha 1. Cũng chính việc trao đổi, thảo luận nhóm đã iúp c c sự ần thiết phải xem xét, biến đổi biểu thức f(x) ũng giúp cho việ ác tính toán đại số hiệu quả hơn. ệc giải quyết nó giúp cho học sinh phần 3.5 Th quả làm việc của nhóm cho thấy, học sinh càng hiểu thêm nghĩa của tính to n đại số. Cụ thể: Trích phần làm việc tập thể ở N2: Gi v em nhóm đã giải quyết câu 4 như thế nào? đó ta thế các giá trị x vào. Giáo v ao nhóm lại phải làm như vậy? Nhóm biểu thức sẽ gọn và rất dễ tính. ư vậy, nh 5 giữa hai đồ tính toán đại s 5. Qua đó, nhóm 5H5 cũng n t án trong quá trình chứ inh phương o ệm. n khó k ăn, sa n từ đồ ị của sang v Kết q ục đích đề ra. C 1. Nhiều học sinh vẫn thể n i số ở hình thái hoạt động. 2. Tuy nhiên, làm việ những khó khăn gặp phả g ho các nhóm nhận ra đượ c cho phù hợp với vấn đề đang giải quyết. Ngoài ra, làm việc theo nhóm c c chọn lựa và thực hiện c 3. Chúng tôi đã tạo ra được những tình huống mà vi nhận thấy nghĩa của tính toán đại số. .1.3. PHA 3: ông qua phần trình bày kết á áo iên: Đại diện nhóm 7 trình bày x Nhóm 7: Rút gọn biểu thức P(x), sau iên: Tại s 7: Lúc đó Gi v c thực hiện như vậy tối ưu chưa? Cả ớp x0 + 1)2 và ( áo iên: Công việ l : Đồng ý … Giáo viên: Nhóm 8 trình bày kết quả câu 5 Nhóm 8: Xét tại mỗi x, nếu f(x) > g(x) thì (C) sẽ nằm trên (C’) Giáo viên: Đó mới chỉ là ý tưởng, còn nhóm cụ thể hóa ý tưởng như thế nào? Nhóm 8: Nhóm đưa f(x) – g(x) về dạng tích Xét tại x0, ( 0 20x - x + 2) > 0 nên f(x0) > g(x0) ồi nãy nhóm đi phân tích biểu thức thành nhân tử giống như h óm ở câu 4 đều giống nhau. Đại diện nhóm 1 lên … Giáo viên: Nhóm 1 giải thích tại sao lại dừng ở x4 – x3 + 3x2 – x + 2 > 0? Nhóm 1: H các bạn nhưng bị bế tắc. Trích phần làm việc tập thể ở N5: Giáo viên: Các nhóm nhận xét các nhóm khác có làm giống nhóm mìn không? Giáo viên: Cách tính các nh nói cách tính của nhóm. Nhóm 1: Ta phân tích vế sau 2 2 2 3 2 x x x x     thành nhân tử ta có: ( 1)( 2) ( 1)( 2) x x x x     rút gọn x – 2, có mẫu chung là x – 1. Quy đồng, sau cùng ta được x + 1. biến đổi P(x) trước. Mục đích biến đổi P(x) của nhóm để làm gì? giản dễ tính hơn ều khi công việc sẽ đỡ vất vả hơn. > g(x) Thế từng giá trị vào tính. Giáo viên: Như vậy, các bạn thực hiện việc Nhóm 1: Để đơn Giáo viên: Như vậy, nhóm 1 biến đổi P(x) đơn giản hơn rồi thay x vào. Các nhóm khác có làm giống nhóm 1. Cả lớp: Có Giáo viên: Như vậy, khi làm việc với biểu thức P(x), nếu quan tâm đến P(x) thì nhi … Giáo viên: Nhóm 2 trình bày kết quả câu 5 Nhóm 2: Để chứng minh (C) nằm trên (C’) thì f(x) Giáo viên: Như vậy, nhóm 2 đã chuyển từ bài toán về đồ thị của hàm số thành inh f(x)> g(x). Cụ thể nhóm chứng minh như thế nào? m 2: biến đổi đưa f(x) – g(x) thành dạng tổng của những bình phương công v được từ thực nghiệm như sau: ọc sinh gặp nhiều khó khăn trong việc sử dụng các tính toán đại số ở hình th ng kỹ năn ên cứu các vấn đề của hàm số xác định bởi biểu thức f(x), nhiều xem xét, biến đổi f(x) về dạng phù hợp, thuận l ói cách khác, kết quả thực nghiệm đã khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết ợc xây dựng trong thực nghiệm cùng với cách thức tổ chức thực n huống khi mình trong việc sử dụng các tính toán đại số ở hình thái hoạt động. Những khó khăn này cản trở họ đề của một hàm số, chuyển một vấn đề thực tế thành một vấn đề toán học và giải , họ nhận ra được vai trò quan trọng của tính toán đại số a tính toán đại số. bài toán chứng m Nhó ới một số dương. 3.5.2. Kết luận phần thực nghiệm Chúng tôi có thể tóm lược những kết quả thu 1. H ái hoạt động, những khó khăn này tồn tại ở ngay cả những học sinh có nhữ g thực hiện các tính toán đại số rất tốt (ở hình thái hình thức). Hệ quả là, khi nghi học sinh không quan tâm tới việc ợi cho việc giải quyết các nhiệm vụ được giao. N H mà chúng tôi đã nêu trong phần 1 của luận văn này. 2. Các bài toán đư ghiệm đã đặt học sinh vào những tình ến họ bộc lộ khó khăn của giải quyết thành công nhiệm vụ được giao như: nghiên cứu các vấn quyết bằng toán học, … Qua đó trong việc giải quyết các vấn đề toán học nói chung và nghiên cứu hàm số nói riêng. Từ đó, họ nhận thấy nghĩa củ KẾT LUẬN Kết quả nghiên cứu của luận văn này cho phép chúng tôi trả lời các câu hỏi nghiên cứu được đặt ra ở phần đầu, qua đó phần nào làm rõ “Cuộc sống ngầm ẩn của tín ở THPT”. Cụ thể, những kết quả chính của luận văn là: thấy: Ở được đ số dườ ử dụng đều ở hình thái hoạt động. Chính việc nghiên cứu các vấn đề của hàm số sẽ mang lại nghĩa cho tính toán đại số.  Tuy nhiên, kết quả từ phần thực nghiệm chỉ ra rằng: Việc sử dụng các tính toán đại số ở hình thái hoạt động trong việc giải quyết các vấn đề toán học nói chung và nghiên cứu hàm số nói riêng là không dễ dàng đối với nhiều học sinh. Ngay cả học sinh có kỹ năng thực hiện các tính toán đại số rất tốt (ở hình thái hình thức) vẫn gặp nhiều khó khăn trong việc chọn lựa (khai triển hay rút gọn hay phân tích thành nhân tử, ...) và thực hiện (khai triển, rút gọn, phân tích thành nhân tử, … như thế nào) các tính toán đại số sao cho phù hợp với nhiệm vụ cần giải quyết. h toán đại số trong dạy học hàm số  Khi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với tính toán đại số chúng tôi nhận cấp THCS, các tính toán đại số được giới thiệu tương đối đầy đủ. Nó cũng ề cập đến ở cả hai hình thái như sự phân biệt của Chevallard: hình thái hình thức và hình thái hoạt động. Nhưng, yêu cầu chủ yếu của chương trình là học sinh biết thực hiện các tính toán đại số hình thức. Hình thái hoạt động của tính toán đại ng như chỉ có mặt khi nghiên cứu vấn đề giải phương trình và việc giải các bài toán có nội dung thực tế. Hầu như tính toán đại số không được khai thác trong nghiên cứu hàm số ở cấp học này.  Khi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với hàm số ở cấp THPT chúng tôi nhận thấy: + Từ khi sử dụng phương pháp sơ cấp đến phương pháp cao cấp (sử dụng công cụ đạo hàm) để nghiên cứu các vấn đề của hàm số, tính toán đại số luôn thể hiện được vai trò quan trọng của mình (mặc dù thể chế không cho thấy bất cứ mối liên hệ nào giữa tính toán đại số và nghiên cứu hàm số trong mục tiêu, yêu cầu của mình). Bằng cách chọn lựa và thực hiện các tính toán đại số một cách thích hợp (tùy thuộc vào nội tại bài toán), các vấn đề của hàm số sẽ được giải quyết hoặc chí ít là cũng được giải quyết nhanh hơn, thuận tiện hơn. + Nói cách khác, các tính toán đại số được s  Kết quả phân tích thể chế c tích thực nghiệm cũng cho thấy: việc giải quyết các nhiệm vụ ngoài to ông cụ toán học như các bài toán mà nội u sâu hơn, đầy đủ hơn về việc sử dụng toán học, mà cụ thể là các ũng như phân án học bằng c dung mang tính thực tế, … sẽ là cơ hội tốt để học sinh nhận ra nghĩa của các tri thức toán học nói chung và tính toán đại số nói riêng. Tuy nhiên, những bài toán như vậy chưa thực sự được quan tâm đúng mực. Chúng tôi thấy, thực sự cần thiết có một nghiên cứ tính toán đại số để giải quyết các vấn đề ngoài toán học. Đó chính là hướng nghiên cứu lý thú mở ra từ luận văn này. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Bộ giáo dục và đào tạo (2007), “Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 11 môn Toán”, NXB giáo dục 2. Đoàn Quỳnh (2006), “Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 trung học phổ thông môn Toán”, NXB giáo dục 3. Đoàn Quỳnh (2006), “Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 trung học phổ thông môn Toán”, NXB giáo dục 4. Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục 5. Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục 6. Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục 7. Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số và Giải tích 11 Nâng cao”, NXB giáo dục 8. Đoàn Quỳnh (2008), “Giải tích 12 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục 9. Đoàn Quỳnh (2008), “Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục 10. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), “Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy học toán: Đồ án didactic trong môi trường máy tính bỏ túi”, Luận văn Thạc sĩ 11. Nguyễn Bá Kim (1994), “Phương pháp dạy học môn Toán” (những vấn đề cụ thể), NXB giáo dục 12. Nguyễn Bá Kim (1994), “Phương pháp dạy học môn Toán” (phần đại cương), NXB giáo dục 13. Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục 14. Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao”, NXB giáo dục 15. Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục 16. Nguyễn Thành Long (2004), “Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông”, Luận văn Thạc sĩ 17. Nguyễn Thế Thạch (2008), “Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12 môn Toán”, NXB giáo dục 18. Nguyễn Thế Thạch (2008), “Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12 môn Toán”, NXB giáo dục 19. Nguyễn Thị Nga (2003), “Dạy học hàm số ở trường phổ thông – Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm”, Luận văn tốt nghiệp đại học 20. Nguyễn Thị Nga (2007), “Nghiên cứu một đồ án didactic dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn”, Luận văn thạc sĩ 21. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 22. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – Sách giáo viên – tập 2”, NXB giáo dục 23. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – tập 1”, NXB giáo dục 24. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – tập 2”, NXB giáo dục 25. Phan Đức Chính (2008), “Toán 7 – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 26. Phan Đức Chính (2008), “Toán 7 – Sách giáo viên – tập 2”, NXB giáo dục 27. Phan Đức Chính (2008), “Toán 7 – tập 1”, NXB giáo dục 28. Phan Đức Chính (2008), “Toán 7 – tập 2”, NXB giáo dục 29. Phan Đức Chính (2008), “Toán 8 – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 30. Phan Đức Chính (2008), “Toán 8 – Sách giáo viên – tập 2”, NXB giáo dục 31. Phan Đức Chính (2008), “Toán 8 – tập 1”, NXB giáo dục 32. Phan Đức Chính (2008), “Toán 8 – tập 2”, NXB giáo dục 33. Phan Đức Chính (2008), “Toán 9 – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 34. Phan Đức Chính (2008), “Toán 9 – Sách giáo viên – tập 2”, NXB giáo dục 35. Phan Đức Chính (2008), “Toán 9 – tập 1”, NXB giáo dục 36. Phan Đức Chính (2008), “Toán 9 – tập 2”, NXB giáo dục 37. Trần Anh Dũng (2005), “Khái niệm liên tục – Một nghiên cứu khoa học luận và didactic”, Luận văn Thạc sĩ Tiếng Pháp 1. Chevallard Y. (1987), “La dialectique entre études locales et théorisation: Le cas de l’algèbre dans l’enseignement du second degré”, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques, Actes du colloque de Sèvres, pp. 305-323, éd. La pensé sauvage. 2. Riquet C. (2004), Un aspect fonctionnel du calcul algébrique en classe de 2nde, Mémoire professionnel de mathématiques. 3. “Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques”, rapport d’étape sur le calcul, Grenoble. 4. Poursuivre le calcul algébrique, IREM de RENNES (1998). 5. Chevallard Y. (1989), Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans l’enseignement des mathématiques au collège, Petit x, n0 19, pp. 43-72. ._.