Đề thi môn Giải tích - Học kì III - Năm học 2014-2015

iá mỗi sản phẩm 0,01 đơn vị tiền so với giá ban đầu là 4 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu? Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm) Cho hàm số .arctan 4 1 3 1)( 3 xxxxg  a) Tính đạo hàm )(' xg của hàm số )(xg . Từ đó tính .)]('[1 2xg b) Tính độ dài đường cong OAcho bởi phương trình )(xgy với )0;0(O và )163 4;1( SA . Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm) Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là x và y . Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng yx, là hàm hai biến h(x, y) xác định như sau: h(x, y)=125x+70y 2x2 xy y2 +15. Hãy tìm mức sản lượng yx, để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa. Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm) Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau: a) .0)2()2(  dyyxdxyx b) y" y ' 6y = xe x. Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm) Xét sự hội tụ của chuỗi số ¦ f  1 ! 3)12( n n n n (Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be). . Hết . Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Cán bộ ra đề Nguyễn Văn Hạnh Nguyễn Hữu Hải Duyệt đề Phạm Việt Nga Học viện Nông nghiệp Việt Nam Khoa CNTT - Bộ môn Toán Đề số 10 Ngày thi: 30/8/2015 ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015 Học phần: Giải tích Thời gian làm bài: 90 phút Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu Câu 1 (Phép tính vi phân hàm một biến: 2,0 điểm) Biết rằng nếu giá bán một sản phẩm là x đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu được xác định bởi: ).95ln(75)( 2xxxf  a) Tính đạo hàm )(' xf của hàm cầu )(xf . b) Tính vi phân của hàm f tại điểm 5 x . Nếu ta tăng giá mỗi sản phẩm 0,02 đơn vị tiền so với giá ban đầu là 5 đơn vị tiền/sản phẩm thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ là bao nhiêu? Câu 2 (Độ dài đường cong: 2,0 điểm) Cho hàm số .arctan 4 1 12 1)( 3 xxxxg  a) Tính đạo hàm )(' xg của hàm số )(xg . Từ đó tính .)]('[1 2xg b) Tính độ dài đường cong OAcho bởi phương trình )(xgy với )0;0(O và )43 1;1( SA . Câu 3 (Cực trị hàm nhiều biến: 2,0 điểm) Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng của một chu kỳ sản xuất là x và y . Lợi nhuận thu được khi sản xuất hai loại sản phẩm nói trên ứng với mức sản lượng x, ylà hàm hai biến h(x, y) xác định như sau: h(x, y)=85x+80y x2 xy y2 +20. Hãy tìm mức sản lượng yx, để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa. Câu 4 (Phương trình vi phân: 3,0 điểm) Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau: a) .0)2()2(  dyyxdxyx b) y"+ y ' 6y = (2x+1)e x. Câu 5 ( Sự hội tụ của chuỗi số: 1,0 điểm) Xét sự hội tụ của chuỗi số ¦ f  1 ! 2)13( n n n n (Gợi ý: áp dụng dấu hiệu Đa-lăm-be). . Hết . Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Cán bộ ra đề Nguyễn Văn Hạnh Nguyễn Hữu Hải Duyệt đề Phạm Việt Nga Học viện Nông nghiệp Việt Nam Khoa CNTT - Bộ môn Toán Đề số: 09 - Ngày thi 30/08/2015 (Người ra đề: Nguyễn Văn Hạnh) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015 Học phần: Giải tích Thời gian làm bài: 90 phút Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu Câu Đáp án vắn tắt Điểm 1 (2đ) a Tính đạo hàm 22 80 260)(' x x xxf   4*0,25 Vi phân tại x = 4 là dxdf 125,4)4(  0.25+0.25 b Nếu dx = 0,01 thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ 0,04125 0.25+0.25 2 (2đ) a Tính đạo hàm )1(4 11)(' 2 2  xxxg 0.25+0.25 2 2 2 2 2 22 ] )1(4 11[ ] )1(4 11[1)]('[1    xx xxxg 0.25 0.25 b Đô dài ³ ³   1 0 1 0 2 22 ] )1(4 11[)]('[1 dxxxdxxgl 0.25+0.25 163 4]arctan 4 1 3 1[ 1 0 3 S  xxxl 0.25+0.25 3 (2đ) Tính yxyxhyxyxh yx 270),(;4125),( ''   0.25+0.25 Điểm dừng 7/155;7/1800),(),( '' Ÿ yxyxhyxh yx 0.25+0.25 Tính 2),(;1),(;4),( """    yxhyxhyxh yyxyxx 0.25 2)7/155;7/180(;1)7/155;7/180(;4)7/155;7/180( """    yyxyxx hChBhA 0.25 04;072  !  ABAC nên h đạt cực đại tại (180/7 ;155/7). Vậy lợi nhuận đạt được tối đa nếu mức sản lượng x = 180/7 và y = 155/7. 0.25+0,25 4 (3đ) a xy xyy 2 2'   0.25 Đặt y = ux 2 12'   Ÿ u uuxu 0.25 x dx u duu    1 )2( 2 0.25+0,25 ³³³    x dx u du u ud 1 2 1 )1( 2 1 22 2 0.25 Cx yyxCxx y x y œ  arctan2ln 2 1lnarctan21ln 2 1 22 2 2 0.25 b Ptđt: 3;2062  œ  kkkk 0.25 Nghiệm tq của pt thuần nhất: xx eCeCy 3221   0.25 Nghiệm riêng của pt không thuần nhất: xeBAxY  )( 0,25 xx eBAAxYeBAAxY    )2(";)(' 0,25 Thay vào phương trình ta được 16 3, 4 1  BA 0,25 Nghiệm tq của pt đã cho xxx exeCeCYyy    ) 4 3( 4 13 2 2 1 0,25 5 (1đ) Ta có )12)(1( )32(3 3)12( ! )!1( 3)32( 11       nn n n n n n u u n n n n 0.25+0.25 10 )12)(1( )32(3limlim 1    fo  fo nn n u u nn n n 0.25 Theo t/c Đa-lăm-bem chuỗi đã cho hội tụ 0.25 Học viện Nông nghiệp Việt Nam Khoa CNTT - Bộ môn Toán Đề số: 10 - Ngày thi 30/08/2015 (Người ra đề: Nguyễn Văn Hạnh) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HẾT HỌC KỲ III, NĂM HỌC 2014 - 2015 Học phần: Giải tích Thời gian làm bài: 90 phút Loại đề thi: Không được sử dụng tài liệu Câu Đáp án vắn tắt Điểm 1 (2đ) a Tính đạo hàm 22 95 275)(' x x xxf   4*0,25 Vi phân tại x = 5 là dxdxdf 143,3 7 22)5( | 0.25+0.25 b Nếu dx = 0,02 thì hàm cầu giảm một lượng xấp xỉ 0,06286 0.25+0.25 2 (2đ) a Tính đạo hàm 1 1)1( 4 1)(' 2 2  xxxg 0.25+0.25 2 2 22 ] 1 1)1( 4 1[)]('[1   xxxg 0.25+0.25 b Đô dài ³ ³   1 0 1 0 2 22 ] 1 1)1( 4 1[)]('[1 dxxxdxxgl 0.25+0.25 43 1]arctan 4 1 12 1[ 1 0 3 S  xxxl 0.25+0.25 3 (2đ) Tính yxyxhyxyxh yx 280),(;285),( ''   0.25+0.25 Điểm dừng 25;300),(),( '' Ÿ yxyxhyxh yx 0.25+0.25 Tính 2),(;1),(;2),( """    yxhyxhyxh yyxyxx 0.25 2)25;30(;1)25;30(;2)25;30( """    yyxyxx hChBhA 0.25 02;032  !  ABAC nên h đạt cực đại tại (30; 25). Vậy lợi nhuận đạt được tối đa nếu mức sản lượng x = 30 và y = 25. 0.25+0,25 4 (3đ) a xy xyy 2 2'   0.25 Đặt y = ux 2 12'   Ÿ u uuxu 0.25 x dx u duu    1 )2( 2 0.25+0,25 ³³³    x dx u du u ud 22 2 1 2 1 )1( 2 1 0.25 Cyx yxyxCxu uu  œ   lnln 2 1ln 1 1ln1ln 2 1 222 0.25 b Ptđt: 3;2062  œ  kkkk 0.25 Nghiệm tq của pt thuần nhất: xx eCeCy 3221  0.25 Nghiệm riêng của pt không thuần nhất: xeBAxY  )( 0,25 xx eBAAxYeBAAxY    )2(";)(' 0,25 Thay vào phương trình ta được 9 2, 3 1   BA 0,25 Nghiệm tq của pt đã cho xxx exeCeCYyy    ) 3 2( 3 13 2 2 1 0,25 5 (1đ) Ta có )13)(1( )43(2 2)13( ! )!1( 2)43( 11       nn n n n n n u u n n n n 0.25+0.25 10 )13)(1( )43(2limlim 1    fo  fo nn n u u nn n n 0.25 Theo t/c Đa-lăm-bem chuỗi đã cho hội tụ 0.25