Đề thi môn giải tích phi tuyến - Học kì II - Năm học 2012-2013

g một không gian định chuẩn (E, ||.||), f và g là hai trường vectơ compắc từ D vào E. Đặt H(t, x) = x− t2f(x)− (1− t2)g(x) ∀(t, x) ∈ [0, 1]×D. Hỏi H([0, 1]×D) có compắc hay không? 2. Cho (E, δ) là một không gian định metric đầy đủ, f và g là hai ánh xạ từ E vào E. Giả sử f ◦ g là một ánh xạ co trên E và f ◦ g = g ◦ f . Hỏi f có điểm bất động hay không? 3. D = {(x1, x2) ∈ IR2 : x21 + x22 < 3} . Đặt f(x1, x2) = (sin x 2 2, cos(x 5 1 + x2)) ∀ (x1, x2) ∈ D. Hỏi f có điểm bất động trong D hay không? 4. D = {(x1, x2) ∈ IR2 : x21 + x22 < 3} . Đặt f(x1, x2) = (x1 + cos(x2 + 1), x2 − cos(x1 + x2)) ∀ (x1, x2) ∈ D. Hỏi có x trong D sao cho f(x) = 0 hay không? 5. Cho D là một tập mở bị chặn trong một không gian định chuẩn (X, ||.||), cho f là một trường vectơ compắc từ D vào X. Hỏi f(D) có là một tập bị chặn trong X hay không? Hết 1