Luận văn Các mặt cong phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng trong đồ họa máy tính

: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS. TS. ĐẶNG QUANG Á Thái Nguyên - Năm 2015 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN ii MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ........................................................................................ v LỜI CAM ĐOAN ................................................................................. vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .......................... vii DANH MỤC CÁC HÌNH .................................................................... vii MỞ ĐẦU ............................................................................................... 8 Chƣơng 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG HÌNH HỌC ................... 13 1.1. ĐƢỜNG CONG ............................................................................ 13 1.1.1. Biểu diễn đƣờng cong ............................................................... 13 1.1.2. Ðặc tính của đƣờng cong .......................................................... 14 1.1.2.1. Độ chảy ................................................................................... 14 1.1.2.2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị ........................................................... 15 1.1.2.3. Vectơ pháp tuyến chính .......................................................... 15 1.1.2.4. Độ cong và bán kính cong ...................................................... 16 1.1.2.5. Độ xoắn của đƣờng cong ........................................................ 16 1.2. MẶT CONG .................................................................................. 17 1.2.1. Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong ............................................. 17 1.2.1.1. Mô hình mặt cong dạng phƣơng trình ẩn.............................. 17 1.2.1.2. Mô hình mặt cong dạng phƣơng trình tham số ..................... 17 1.2.1.3. Mô hình mặt cong dạng phƣơng trình phi tham số............. 187 1.2.2. Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong ................................... 18 1.2.3. Độ cong ..................................................................................... 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN iii 1.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ .................................................. 21 1.3.1. Phép biến đổi tọa độ 2D .............................................................. 21 1.3.2. Phép biến đổi tọa độ 3D .............................................................. 23 1.3.3. Phép ánh xạ ................................................................................. 25 1.3.4. Khung tọa độ ............................................................................... 26 1.4. TỔNG KẾT CHƢƠNG ..................................................................... 28 Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC ................................................................... 30 2.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 30 2.1.1. Giới thiệu chung về phƣơng trình đạo hàm riêng ................................. 30 2.1.2. Phƣơng trình eliptic và phƣơng pháp giải .................................. 31 2.1.2.1.Phƣơng pháp tách biến Fourier ................................................. 32 2.1.2.2.Phƣơng pháp sai phân ............................................................... 33 2.1.2.3.Phƣơng pháp phần tử hữu hạn .................................................. 34 2.2. PHƢƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH ELIPTIC CẤP BỐN ........................................................................................ 35 2.3. PHƢƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA ............................................................................................ 42 2.4. PHƢƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH CẤP SÁU KHÁC ............................................................................................ 50 2.5. TỔNG KẾT CHƢƠNG ................................................................. 56 ................................................................................... 57 3.1. XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA ............................................................ 57 3.2. XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH PDE CẤP SÁU KHÁC .................................................... 61 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN iv 3.3 .................................................................. 64 KẾT LUẬN .......................................................................................... 66 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................. 67 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN v LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học công nghệ thông tin và truyền thông Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. Đặc biệt, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến GS. TS Đặng Quang Á – người đã dành nhiều thời gian, công sức và tận tình hướng dẫn khoa học cho em trong suốt quá trình hình thành và hoàn chỉnh luận văn. Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô đã giảng dạy, truyền đạt cho em những tri thức quý báu, thiết thực trong suốt khóa học. Cuối cùng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên, đóng góp ý kiến quý báu cho em trong việc hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 Tác giả Lƣơng Ngọc Tú Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN vi LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TS Đặng Quang Á. Mọi trích dẫn sử dụng trong báo cáo này đều được ghi rõ nguồn tài liệu tham khảo theo đúng qui định. Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm. Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 Tác giả Lƣơng Ngọc Tú Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN vii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Tiếng Anh Từ viết tắt Tên đầy đủ Diễn giải Hệ thống thiết kế có sự trợ giúp CAD Computer Aided Design của máy tính PDE Partial differential equations Phƣơng trình đạo hàm riêng CSG Constructive solid geometry Phƣơng pháp hình học lập thể B-rep Boundary representation Phƣơng pháp biểu diễn biên FFD free-form deformation Tự do biến dạng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN viii DANH MỤC HÌNH Hình 1.1. Tham số hóa đƣờng tròn đơn vị ................................................................ 13 Hình 1.2. Vectơ pháp truyến chính và đƣờng tròn mật tiếp...................................... 16 Hình 1.3. Hình học mặt cong .................................................................................... 18 Hình 1.4. Đƣờng cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến ................................ 19 Hình 1.5. Phép biến đổi tọa độ 2D Hình 1.6. Phép biến đổi tọa độ dƣới hình thức hệ tọa độ chuyển động Hình 2.1. Bề mặt bình tạo ra bởi nghiệm đóng của PDEs ........................................ 31 Hình 2.2. Các dạng bề mặt bằng cách thay đổi các điều kiện biên tiếp tuyến. ....... 33 Hình 2.3. Các mặt cong PDE tƣơng ứng với các điều kiện biên cụ thể. ................... 41 Hình 2.4. Các mặt cong PDE tƣơng ứng với các điều kiện biên cụ thể. ................... 41 Hình 3.1. Thiết kế đối tƣợng bằng phƣơng trình tam điều hòa ................................. 52 Hình 3.2. Thiết kế đối tƣợng bằng phƣơng trình tam điều hòa ................................. 52 Hình 3.3. Thiết kế đối tƣợng bằng phƣơng trình cấp sáu khác ................................. 54 Hình 3.4. Thiết kế đối tƣợng bằng phƣơng trình cấp sáu khác ................................. 55 Hình 3.5. Giao diện mô phỏng đối tƣợng bằng phƣơng trình tam điều hòa ............. 56 Hình 3.6. Giao diện mô phỏng đối tƣợng bằng phƣơng trình cấp sáu khác ............. 56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Sinh mặt (surface) là một chủ thể quan trọng trong đồ họa máy tính (computer graphics) và thiết kế có sự trợ giúp của máy tính (Computer Aided Design – CAD [1]) các mô hình hóa hình học một cách chi tiết. Nhờ sự phát triển của công nghệ thông tin, các ngành công nghiệp có liên quan đến ngành hàng không vũ trụ, điện tử và tự động hóa... sử dụng CAD ngày một nhiều hơn. Thông thƣờng thì một quy trình khởi đầu với việc định nghĩa một hình dạng mẫu đƣợc yêu cầu bởi các khái niệm đặc tả hình dạng của sản phẩm và các chức năng của nó. Quy trình này sau đó xử lý qua một chuỗi các hoạt động lặp lại cho tới khi đạt đƣợc một thiết kế tối ƣu. Ngày nay, quy trình của việc thiết kế tự động theo chức năng dựa trên việc gia tăng sử dụng các máy tính. Mặc dù việc thiết kế hình dạng dựa trên việc mở rộng sử dụng các máy tính không cung cấp giải pháp tự động cho một bài toán thiết kế cho trƣớc, nhƣng nó cũng làm tăng tính hiệu quả trong quy trình thiết kế. Bởi vậy, các quá trình chính của thiết kế các mặt cong bao gồm việc mô tả hiệu quả hình dáng và thao tác trên các tham số của mô hình biểu diễn. Mặt có thể biểu diễn tƣờng minh hoặc dạng ẩn và dạng tham số, trong các dạng này thì dạng tham số là phổ biến nhất trong đồ họa máy tính, thực tại ảo và CAD. Hầu hết các mặt tham số sử dụng các phƣơng pháp mô hình hóa dựa trên các điểm điều khiển (control-point based modelling) nhƣ Bezier, B- spline và NURBS. Gần đây phƣơng pháp mô hình hóa nhờ phƣơng trình đạo hàm riêng (Partial differential equations - PDE [2]) đƣợc phát triển mạnh mẽ. Việc sinh mặt sử dụng lời giải của PDE gắn với các điều kiện biên xác định có thể đƣợc xem nhƣ phƣơng pháp mô hình hóa dựa trên vật lý (physics-base modelling). Trong phƣơng pháp này việc lựa chọn phƣơng trình và các điều 10 kiện biên là các yếu tố rất quan trọng. Một số phƣơng pháp cả giải tích và phƣơng pháp số đƣợc phát triển để tìm lời giải cho các phƣơng trình này [6], [7]. So với các kỹ thuật thông thƣờng đƣợc sử dụng trong đồ họa máy tính, phƣơng pháp thiết kế đồ họa, tạo các bề mặt cong dựa trên phƣơng trình đạo hàm riêng có rất nhiều lợi thế: - Sự tác động của một đối tƣợng PDE đƣợc xác định bởi giá trị biên của các phƣơng trình vi phân do đó các bề mặt có thể dễ dàng đƣợc xác định thông qua các phƣơng trình vi phân bậc cao [5]. - Về nguyên tắc các đối tƣợng PDE có thể đƣợc tái tạo lại từ một tập nhỏ các điều kiện biên. Thông tin nội bộ của chúng sẽ đƣợc tự động thu hồi thông qua việc giải các phƣơng trình vi phân. Do đó các mô hình PDE yêu cầu ít tham số hơn các mô hình lập thể dạng tự do tham số. - Đặc biệt mô hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mô hình hóa hình khối thông thƣờng, chẳng hạn nhƣ các hoạt động dựa trên các đƣờng, biểu diễn các bề mặt biên. Vì vậy phƣơng pháp PDE có tiềm năng để tích hợp các phƣơng pháp hình học lập thể (Constructive solid geometry-CSG [3]), phƣơng pháp biểu diễn biên (Boundary representation- B-rep) v.v.. vào một khung duy nhất. - Tham số của mô hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và không gian vật lý. Do đó các mô hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của chúng có thể cung cấp nguyên dạng tự do biến dạng (free-form deformation, FFD) cho các đối tƣợng nhúng bên trong các mô hình PDE. - Các đối tƣợng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và vật lý trong các mô hình thế giới thực, bởi vậy các yêu cầu không đồng nhất và khác nhau có thể đƣợc thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời. 11 Ngoài ra phƣơng pháp PDE cũng đƣợc sử dụng cho các mô hình dạng ẩn bởi vì các mô hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tƣợng có hình dạng tùy ý. Tuy nhiên, cả hai mô hình sử dụng tham số và mô hình ẩn đều có những mặt mạnh và những hạn chế của riêng chúng. Ví dụ các mô hình tham số cung cấp các mô tả hình dạng tƣờng minh trong khi đó mô hình ẩn lại không có đƣợc điều này. Do đó, việc sử dụng một cách thống nhất cả hai phƣơng pháp sẽ có nhiều lợi thế trong việc mô hình hóa hình học [4]. Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và đƣợc sự gợi ý của giảng viên hƣớng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Các mặt cong phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng trong đồ họa máy tính” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Đối tƣợng nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu của đề tài là phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng tạo dựng các mặt cong và nắn chỉnh hình dạng của chúng nhờ can thiệp vào tham số trong chƣơng trình và thay đổi điều kiện biên. 3. Phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu các kiến thức có liên quan, các cơ sở lý thuyết nhƣ Cơ sở toán học trong thiết kế hình học, các phƣơng pháp, kỹ thuật đƣợc sử dụng trong việc thiết kế hình học, các kỹ thuật sử dụng phƣơng trình đạo hàm riêng đặc biệt là các dạng phƣơng trình elliptic cấp bốn và cấp sáu kết hợp với các điều kiện biên ứng dụng trong thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu những kiến thức tổng quan về thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể. - Tìm hiểu phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng ứng dụng trong thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể. 12 - Cài đặt thuật toán ứng dụng các phƣơng trình đạo hàm riêng để thiết kế hình dạng trong môi trƣờng Matlab. 5. Những nội dung nghiên cứu chính Bố cục của luận văn gồm phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, đối tƣợng và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài. Chƣơng một, tập trung trình bày những kiến thức cơ bản về thiết kế hình học. Chƣơng hai, trình bày phƣơng pháp phƣơng trình trình đạo hàm riêng trong thiết kế hình học, các kỹ thuật tạo bề mặt trong thiết kế bề mặt, phƣơng pháp sinh mặt cong nhờ phƣơng trình elliptic cấp bốn và cấp sáu. Chƣơng 3, trong chƣơng này chúng tôi đã sử dụng các kết quả nghiên cứu liên quan đến phƣơng trình đạo hàm riêng để thiết kế một số hình dạng bằng phƣơng trình elliptic cấp sáu. Với những kết quả đạt đƣợc, phần cuối của luận văn nêu ra những phép đo tính hiệu quả của nghiên cứu, đánh giá thuật toán và nêu vài đề xuất nhằm tối ƣu thuật toán, đánh giá các kết quả đạt đƣợc, những hạn chế và đề xuất hƣớng nghiên cứu tiếp theo của đề tài. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp đọc tài liệu - Phƣơng pháp quan sát - Phƣơng pháp phân tích – tổng hợp lý thuyết. - Phƣơng pháp thực nghiệm. 13 Chƣơng 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG HÌNH HỌC 1.1. ĐƢỜNG CONG Về mặt trực quan, đƣờng cong đƣợc định nghĩa nhƣ là quĩ đạo điểm thỏa mãn một số điều kiện. 1.1.1. Biểu diễn đƣờng cong Về toán học, đƣờng cong có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng - Phƣơng trình ẩn. - Phƣơng trình tƣờng minh. - Phƣơng trình tham số. Xét đƣờng tròn đơn vị trên mặt phẳng (x – y), có tâm trùng với gốc hệ tọa độ trên hình (1.1). Mối quan hệ giữa các tọa độ x và y đƣợc mô tả bởi phƣơng trình 22 f( x , y ) x y 1 0 Phương trình ẩn (1.1) Nếu chỉ xét phần nửa trên của đƣờng tròn, phƣơng trình biểu diễn là y g( x ) (1 x )1/2 Phương trình tường minh (1.2) Nếu đặt góc giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đƣờng tròn, ta có xx( ) cos ; yy( ) sin Phương trình tham số (1.3) Hình 1.1. Tham số hóa đƣờng tròn đơn vị 14 Trƣờng hợp đặt góc tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì t tg y/ ( x 1)Kết hợp với phƣơng trình (1.1) ta có 2 2 2 x x() t (1 t )/(1 t ); y y () t 2/(1 t t ) (1.4) Đây cũng là phƣơng trình tham số của đƣờng tròn và đƣợc gọi là phương trình tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phƣơng trình tham số hữu tỷ của đƣờng cong và mặt cong từ phƣơng trình đa thức ẩn đƣợc gọi là tham số hóa. Nên biểu diễn đƣờng cong 3D thích hợp dƣới dạng phƣơng trình tham số x x( t ); y y ( t ); z z ( t ) hay dƣới dạng vectơ r( t ) [ x ( t ), y ( t ), z ( t )]. Theo dạng phƣơng trình tham số, đƣờng cong đƣợc định nghĩa một cách dễ dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đƣờng cong 3D bởi phƣơng trình ẩn hay tƣờng minh, bởi vì phƣơng trình ẩn g( x , y , z ) 0 biểu diễn bởi mặt cong, do đó cần hai phƣơng trình để xác định đƣờng cong 3D. Trong trƣờng hợp này, đƣờng cong đƣợc định nghĩa nhƣ giao tuyến giữa hai mặt cong. 1.1.2. Ðặc tính của đƣờng cong Trong phần này để biểu diễn đƣờng cong, ta sử dụng phƣơng trình tham số chuẩn tắc r r( t ) [ x ( t ), y ( t ), z ( t )]. Đặc tính cơ bản của đƣờng cong, bao gồm a. Độ chảy của đƣờng cong. b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị. c. Vectơ pháp tuyến chính. d. Độ cong và bán kính cong. 1.1.2.1. Độ chảy Độ lớn của vectơ đạo hàm rt'( ) đƣợc gọi là độ chảy của đƣờng cong S'( t ) r '( t ) . (1.5) 15 Hãy tƣởng tƣợng đƣờng cong là con đƣờng và tham số t tƣợng trƣơng cho thời gian. Nhƣ vậy, độ chảy của đƣờng cong tƣơng ứng với tốc độ chạy xe. Đại lƣợng này đƣợc sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phƣơng pháp quét hình. Nếu đặt quãng đƣờng đi đƣợc là tham số s, phƣơng trình đƣờng cong dạng r(s) trở thành phƣơng trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của đƣờng cong không phải là đặc tính riêng của đƣờng cong, đó là kết quả của phép tham số hóa. 1.1.2.2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị Cho s là tham số tự nhiên của đƣờng cong r(t), sao cho s r'( t ) dt . 0 Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đƣờng cong r(t) đƣợc định nghĩa nhƣ sau T dr/. ds (1.6) hay dƣới dạng vi phân T r'( t )/ | r '( t ) |. (1.7) 1.1.2.3. Vectơ pháp tuyến chính Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hóa giá trị, chúng ta có vectơ đơn vị N, đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến chính của đƣờng cong N( dT /)/| dt dt / dt |( dT /)/| ds dT / ds | (1.8) Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 1.2). Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ B= TxN. 16 Hình 1.2. Vectơ pháp truyến chính và đƣờng tròn mật tiếp 1.1.2.4. Độ cong và bán kính cong Cho s là tham số tự nhiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đƣờng cong r(t). Độ cong đƣợc định nghĩa nhƣ sau k| dT / ds |, (1.9) hay dƣới dạng vi phân |r ' xr '' | k , (1.10) |r ' |3 trong đó r' dr ( t ) / dt ; r '' dr '/ dt . Đối với đƣờng cong 2D dạng phƣơng trình tƣờng minh y y() x , phƣơng trình trên có dạng k y''/ (1 y '2 ) 3/2 ,trong đó y' dy / dx ; y '' dy '/ dx . Cho đƣờng tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 1.2) đi qua điểm hiện thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đƣờng cong tại điểm này.Đƣờng tròn này đƣợc gọi là đƣờng tròn mật tiếp, bán kính của đƣờng tròng mật tiếp đƣợc gọi là bán kính cong và đƣợc xác định bởi 1/k (1.11) 1.1.2.5. Độ xoắn của đường cong Độ xoắn của đƣờng cong 3D đƣợc định nghĩa nhƣ sau (dB / ds ). N , trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phƣơng trình cơ bản mô tả đặc tính của đƣờng cong 3D đƣợc gọi là phƣơng trình Serect-Frenet 17 dr/ ds T ; dT / ds kN (1.12) dN/ ds B kT ; dB / ds N 1 1.2. MẶT CONG 1.2.1. Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong 1.2.1.1. Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn. Cho mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc tọa độ Đề các. Các điểm phía trong mặt cầu thỏa bất đẳng thức x2 y 2 z 2 10 và phƣơng trình x2 y 2 z 2 10 (1.13) biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu. Xét một cách tổng quát, phƣơng trình ẩn g( x , y , z ) 0 biểu diễn mặt cong giới hạn bởi hai nửa không gian g( x , y , z ) 0và g( x , y , z ) 0 . 1.2.1.2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số Theo hình học vi phân, mặt cong đƣợc định nghĩa nhƣ là ảnh của phép ánh xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình ruv(,) [(,), xuv yuvzuv (,),(,)] , (1.14) trong đó u và v là tham số của mặt cong. Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hóa phƣơng trình (1.13) bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu r( u , v ) (cos v cos u ,cos v sin u ,sin v ) , (1.15) 18 với 02u và / 2v / 2. Tƣơng tự nhƣ đƣờng tròn đơn vị có thể tham số hóa phƣơng trình mặt cầu dƣới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ. 1.2.1.3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng (x-y) của hệ tọa độ Descarte (,)u x v y , mô hình tham số (1.14) trở thành phi tham số r( u , v ) ( u , v , z ( u , v )) hay z z(,) x y . (1.16) Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phƣơng trình (1.13) đƣợc biểu diễn dƣới dạng tƣờng minh z(1 x2 y 2 ) 1/2 với ( xy22)1. (1.17) Hình học mặt cong đƣợc minh họa trên hình (1.3). Ta thƣờng gọi phần mặt cong trong miền tham số giới hạn là mặt lƣới. Các mặt lƣới liên kết theo điều kiện kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp. Hình 1.3. Hình học mặt cong 1.2.2. Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong Xét đƣờng cong tham số 2D q(t) trên miền (u,v)của mặt cong tham số r(u,v) hình (1.4) T q( t ) [ u ( t ), v ( t )] . (1.18) 19 Hãy cho đƣờng cong r(t) là hình chiếu của đƣờng cong q(t) trên mặt cong r(u,v), sao cho rt() rutvt ((), ()) (((), xutvtyutvt (), ((), ()), zutvt ((), ())) . (1.19) Trƣờng hợp đặc biệt của (1.19) là đƣờng cong đẳng tham số v v*, v() t t ; u u *, u() t t . Hình 1.4. Đƣờng cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến 1.2.2.1. Vectơ tiếp tuyến Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) đƣợc định nghĩa nhƣ sau r r/ u ; r r / v ; r2 r / u v (1.20) u v uv Lấy đạo hàm phƣơng trình (1.19) theo t, ta có dr r dr r dv r' ruv u ' r v ', (1.21) dt u dt v dt trong đó r’ là vectơ tiếp tuyến của đƣờng cong r(t); ruvà rv là vectơ tiếp tuyến của đƣờng cong đẳng tham số u = u*, v = v*. Ba vectơ tiếp tuyến r’, ruvà rvxác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 1.4). 1.2.2.2. Vectơ pháp tuyến Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trƣớc và đƣợc xác định bởi 20 n( r r )/ | r r | u v u v . (1.22) Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong. 1.2.2.3. Ma trận cơ sở thứ nhất Vectơ tiếp tuyến (1.21) có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng ma trận r'''' r u r v q , uv (1.23) T trong đó |ruv , r |; q ' dq ( t ) / dt ( du / dt , dv / dt ) [ u ' v '] . Giá trị vectơ tiếp tuyến đƣợc tính nhƣ sau 2 TTTT |'|(')(')r r r q ' q ' q ' Gq ', (1.24) ru r u r v trong đó G T là ma trận cơ sở thứ nhất. (1.25) r r r u v v Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T đƣợc biểu diễn theo G nhƣ sau T 1/2 T r'/| r '| ( q ')/(' q Gq ') (1.26) Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích mặt cắt theo công thức đơn giản sau 1/2 Sr r du d v | G | dud v . (1.27) uv 1.2.3. Độ cong 1.2.3.1. Ma trận cơ sở thứ hai Xét đƣờng cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 1.4) từ (1.21), đạo hàm bậc hai của r(t) theo t có giá trị nhƣ sau r''uur '(' vr ') ur '' vvr '(' ur ') vr ''. uu uv u vv uv v (1.28) 21 Thực hiện phép nhân vô hƣớng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với chú ý rằng ruv .n r . n 0 , ta có 22T r''.n (') u rnuu 2'' uvrn uv (') vrnqDq vv ' ' , (1.29a) u ' r.. n r n trong đó q ' và D uu uv là ma trận cơ sở thứ hai. v ' ruv.. n r vv n 1.2.3.2. Độ cong pháp tuyến Từ phƣơng trình (1.12) đạo hàm bậc hai của r(t) đƣợc tính nhƣ sau dr' d ( s ' T ) r''s '' T s ' T ' s '' T ( s ' kN ). dt dt Thực hiện phép nhân vô hƣớng một lần nữa với vectơ n và chú ý rằng T.n=0 2 r''. n ( s ') kN . n , (1.29b) giá trị kN.n ở biểu thức trên đƣợc gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công thức (1.29) và (1.25), chú ý rằng s’ = |r’|, độ cong pháp tuyến đƣợc xác định bởi công thức sau r''. n q 'TT Dq ' q ' Dq ' k kN. n . (1.30) n (s ')22 ( s ') ( q ')T Gq ' Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến nhƣ sau: Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng đi qua vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của đƣờng cong với mặt phẳng là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo phƣơng vectơ q’. 1.2.3.3. Độ cong chính Độ cong pháp tuyến (1.30) là hàm của q’ 22 q''T Dq kq( ') , n (q ')T Gq ' do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức Kn 2Dq ' 2 kn Gq ' 0 . (1.31) q' Giá trị cực đại của bộ cong pháp tuyến đƣợc gọi là độ cong chính và đƣợc xác định từ (1.30) nhƣ sau b b2 ac 2 b b 2 ac 2 kknn12; , (1.32) aa g h d e ggdd trong đó a| G |11 ; c | D | ; b1 2 2 1 eh , hegd222 với g1, g 2 , h, d 1 , d 2 , e là các số hạng tƣơng ứng của ma trận cơ sở G và D. Tích giá trị hai độ cong chính đƣợc gọi là độ cong Gauss đƣợc sử dụng để biểu diễn độ trơn láng của mặt cong. 1.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay. 1.3.1. Phép biến đổi tọa độ 2D Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ độ (x’,y’) của điểm P’ tƣơng ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 1.5a); hệ số tỷ lệ s(sx,sy) (Hình 1.5b); góc xoay ngƣợc chiều quay kim đồng hồ (Hình 1.5c) đƣợc xác định nhƣ sau x’ = x + tx; y’ = y + ty ; (1.33) x’ = Sx.x; y’ = Sy.y ; (1.34) 23 x’ =xcos - ysin ; y’ = xsin + ycos (1.35) Hình 1.5. Phép biến đổi tọa độ 2D Biểu diễn điểm dƣới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thốngnhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học nhƣ phép nhân ma trận. Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều đƣợc ánh xạ vào không gian (n+1) chiều. Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều đƣợc biểu diễn dƣới dạng toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ x = x’/h; y = y’/h; z = z’/h, (1.36) trong đó h 0 hệ số vô hƣớng. Mối quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đề các của điểm P đƣợc nhân với hệ số h, điểm P sẽ đƣợc di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với hệ số h. Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.33), (1.34), (1.35) dƣới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma trận biến đổi đồng nhất M P’h= Ph M, (1.37) trong đó Ph = (x y 1); P’h= (x’ y’ 1). Ma trận biến đổi toạ độ M tƣơng ứng với phép dịch chuyển (T), phép 24 lấy tỷ lệ (S) và phép quay (R) có giá trị nhƣ sau 1aS12 0x 0 0 cos sin 0 TSSR0 1 0 ; 0y 0 ; sin cos 0 . ttxy1 0 0 1 0 0 1 1.3.2. Phép biến đổi tọa độ 3D Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ (x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tƣơng ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty, tz); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) đƣợc xác định nhƣ sau x’ = x + tx; y’ = y + ty; z’ = z + tz (1.38) x’ = sx.x; y’ = sy.y; z’ = sz.z (1.39) Tƣơng tự nhƣ đối với trƣờng hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch chuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dƣới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S) P’h = Ph T (1.40a) P’h = Ph S, (1.40b) trong đó Ph = (x y z 1); P’h = (x’ y’ z’ 1) ; 1 0 0 0 sx 0 0 0 0 1 0 0 0s 0 0 TS; y . 0 0 1 0 0 0sz 0 tx t y t z 1 0 0 0 1 Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép quay quanh trục bất kỳ thƣờng đƣợc qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quay 2D (bảng 1.1). 25 Phép quay cơ bản X' Y’ Z’ quanh trục x x' = x y’ = ycos - zsin z’ = ysin + zcos quanh trục y x’ = zsin + xcos y’ = y z’ = zcos + xsin quanh trục z x’ = xcos + ysin y’ = xsin + ycos z’ = z Bảng 1.1. Phép quay cơ bản quanh các trục hệ tọa độ Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 1.1) có giá trị nhƣ sau (C = cos ; S = sin ) 1 0 0 0CS 0 0 0CS 0 0 1 0 0 R( x , ) ; R ( y , ) ; 0SCSC 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 CS00 S 0 0 0 Rz( , ) . (1.41) 0 0C 0 0 0 0 1 Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phépdịchchuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H nhƣ sau x' y ' z ' 1 ( x y z 1) H , (1.42) r11 r 12 r 13 0 0 r21 r 22 r 23 0 R 0 trong đó H , r31 r 32 r 33 0 0 tx t y t z 1 t 1 hay biểu diễn dƣới dạng khác (x’ y’ z’)=(x y z)R + t. (1.43) 26 Ta thấy rằng ma trận xoay R (1.41) là ma trận trực giao, tức là nếu địnhnghĩa các vectơ hàng của R nrrr( ); orrr( ); arrr( ), 11 12 13 21 22 23 31 32 33 (1.44) thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của các vectơ đơn vị i,j,k và thỏa điều kiện n o a; o a n ; a n o n o a 1. và (1.45) 1.3.3. Phép ánh xạ Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng nhƣ phƣơng chiều. Trong phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tƣợng hình học giữa 2 hệ toạ độ khác nhau. Phép ánh xạ đối tƣợng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai đƣợc định nghĩa nhƣ sự thay đổi mô tả đối tƣợng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phƣơng chiều của đối tƣợng hình học so với cả 2 hệ toạ độ. Phép ánh xạ này tƣơng đƣơng với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai và đƣợc sử dụng rất phổ biến trong thiết kế. Thông thƣờng, ngƣời ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn đƣợc gọi là hệ toạ độ địa phƣơng hay hệ toạ độ đối tƣợng) gắn liền với đối tƣợng thiết kế để đơn giản hoá việc thiết lập và nhập dữ liệu hình học. Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ đƣợc đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trƣớc khi lƣu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trúc lắp ghép, khi mỗi đối tƣợng (chi tiết hay bộ phận) đƣợc định nghĩa theohệ toạ độ hệ thống