Một số vấn đề về vành chính Qui Von Neumann

..................... 1 Mục lục ..................................................................................................... 2 Các qui ước và kí hiệu .............................................................................. 3 MỞ ĐẦU ................................................................................................. 5 Chương 1 - CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................. 8 1.1. Phần tử chính qui trong vành .................................................... 8 1.1.1. Khái niệm về phần tử chính qui ...................................... 8 1.1.2. Vành Abel ...................................................................... 10 1.1.3. Phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một R - môđun ...................................................................... 12 1.2. Vành chính qui Von Neumann ................................................. 13 1.2.1. Định nghĩa và một số ví dụ ............................................ 13 1.2.2. Các điều kiện tương đương của vành chính qui ............ 15 Chương 2 - MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUI ................... 16 2.1. Các tính chất cơ bản của vành chính qui .................................. 16 2.2. Môđun xạ ảnh trên vành chính qui ........................................... 29 2.3. Vành chính qui Abel ................................................................. 48 Chương 3 - MỘT SỐ VÀNH CHÍNH QUI ĐẶC BIỆT ..................... 62 3.1. Vành các ma trận vuông cấp n trên một vành chính qui .......... 62 3.2. Vành các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert ................. 69 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .............................................................. 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 79 3 CÁC QUI ƯỚC VÀ KÍ HIỆU ƒ Hầu hết các vành trong luận văn được giả sử rằng kết hợp và có đơn vị, các vành con và đồng cấu vành cũng được cho là có đơn vị. Ta hay kí hiệu R là vành với đơn vị 1. ƒ Phép chiếu tự nhiên từ vành R đến vành thương R/I được cho bởi qui luật x x x I= +6 . ƒ Đôi khi miền nguyên được hiểu là không cần giao hoán. ƒ Cho vành R và số nguyên dương n, ( )nM R là vành các ma trận vuông cấp n trên R. ƒ Với vành R bất kì, ta dùng kí hiệu 2 ( )L R để chỉ dàn các iđêan hai phía của R (được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ bao hàm) và ta sử dụng kí hiệu Mod - R để chỉ phạm trù tất cả R - môđun phải. ƒ Tất cả các môđun trong luận văn đều là môđun trên một vành có đơn vị. Hầu hết chúng là các môđun phải, và do đó các đồng cấu thường được viết về phía bên trái chúng. Cụ thể, môđun phải A trên vành R được xem như là một môđun trái trên End ( )R A - vành các tự đồng cấu của nó. ƒ Nếu A là R - môđun, kí hiệu B ≤ A nghĩa là B là môđun con của A, và kí hiệu B < A nghĩa là B là môđun con thực sự của A. Trong trường hợp đặc biệt, nếu R là vành thì: RI R≤ : I là iđêan phải của R RI R≤ : I là iđêan trái của R ƒ Với A, B là các môđun: eA B≤ : A là môđun con cốt yếu của B, nghĩa là 0A C∩ ≠ với mọi môđun con C khác 0 của B. 4 A B≺ : A đẳng cấu với một môđun con của B. ƒ Cho A là môđun và một số nguyên không âm n, nA là tổng trực tiếp n bản sao của A. Tương tự, nếu α là một bản số vô hạn, Aα là tổng trực tiếp của α bản sao của A. ƒ Với môđun A tùy ý, E(A) là bao nội xạ của A, nghĩa là môđun nội xạ bé nhất sao cho A cốt yếu trong E(A). ƒ Một R - môđun phải không suy biến M được hiểu theo nghĩa M là môđun sao cho phần tử duy nhất của M bị linh hóa bởi một iđêan phải của R là phần tử không. 5 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Khái niệm vành chính qui Von Neumann xuất hiện năm 1936 khi John Von Neumann định nghĩa một vành chính qui là một vành R với tính chất: với mỗi phần tử a R∈ luôn tồn tại b R∈ sao cho a aba= . Để phân biệt với những vành chính qui khác như chính qui Noether trong đại số giao hoán, lí thuyết các vành không giao hoán đã sửa đổi tên gọi và đưa thêm “Von Neumann” vào tên gọi của loại vành đặc biệt này. Tuy nhiên thực sự có rất ít cơ hội nhầm lẫn hai khái niệm này bởi vì chúng rất hiếm khi được nghiên cứu chung. Ví dụ điển hình về vành chính qui (Von Neumann) là vành đầy đủ các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ trên một vành chia. Chuyển động theo hệ tọa độ trong hình học xạ ảnh được nghiên cứu lại trong thời gian này (1936) theo ngôn ngữ dàn, và Von Neumann giới thiệu vành chính qui như một công cụ đại số để nghiên cứu những dàn thuộc dạng này. Dàn được Von Neumann đặc biệt quan tâm được nảy sinh trong khi hợp tác làm việc với F.J.Murray để giải quyết các vấn đề về đại số các toán tử trên một không gian Hilbert, mà sau này được biết đến với tên gọi đại số Von Neumann hay W* - đại số. Mặc dầu W* - đại số A trở thành vành chính qui chỉ khi A hữu hạn chiều, một vành chính qui có thể gán với A bằng cách làm việc với tập P(A) các phép chiếu, mỗi một phép chiếu trên A trở thành một lũy đẳng tự liên hợp. Đối với W* - đại số hữu hạn A, Murray và Von Neumann sử dụng một vành chính qui R để “tọa độ hóa” P(A) theo nghĩa P(A) trở nên đẳng cấu tự 6 nhiên với dàn các iđêan phải chính của R. Chú ý rằng hữu hạn ở đây là hữu hạn trực tiếp, nghĩa là nếu * 1t t = thì * 1t t = với mọi t A∈ . Mở rộng ý tưởng này, Von Neumann đã phát minh ra các vành chính qui sao cho có thể tọa độ hóa những dàn modular có phần bù, và một dàn L được tọa độ hóa bởi một vành chính qui R nếu nó đẳng cấu với dàn các iđêan phải chính của R. Như Von Neumann đã chỉ ra, hầu hết các dàn modular có phần bù có thể tọa độ hóa bởi một vành chính qui nào đó. Theo quan điểm lí thuyết các vành thuần túy, các vành chính qui được xem như một chủ đề nghiên cứu bị lãng quên trong một quãng thời gian dài. Trong quyển sách kinh điển của Nathan Jacobson về lí thuyết vành: “Structure of rings”, vành chính qui được đề cập đến chỉ trong một phần nhỏ. Tuy nhiên có thể nói rằng các vành chính qui có nhiều lợi ích xứng đáng để nghiên cứu, bởi vì chúng xuất hiện trong rất nhiều ngữ cảnh. Dùng những kiến thức đã học ở bậc Đại học và Sau đại học để tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác, với cách nhìn tổng quát hơn là một trong những mục tiêu quan trọng của học viên. Ngay từ thuở sinh viên, khi làm luận văn tốt nghiệp bậc đại học, tác giả đã có dịp tiếp xúc với vành chính qui Von Neumann với đề tài “Vành Chính Qui Von Neumann”. Thế nhưng, với những hạn chế của một sinh viên lúc bấy giờ về Đại số đồng điều và các kiến thức về Đại số giao hoán, Đại số không giao hoán, … tác giả đã gặp nhiều khó khăn và chưa thể có một cái nhìn thật sự tổng quan về vành chính qui Von Neumann. Do vậy, sau khi đã được trang bị một số kiến thức mới từ khóa học Sau đại học, tác giả quyết định tiếp tục nghiên cứu vành chính qui Von Neumann với mong muốn dùng những kiến thức vừa được học để tiếp tục nghiên cứu vấn đề. 7 2. Mục đích nghiên cứu. Mục đích của đề tài là tiếp tục xem xét các tính chất của vành chính qui Von Neumann trên cơ sở luận văn ở bậc đại học: “Vành chính qui Von Neumann”. Đồng thời chú trọng việc cụ thể hóa những khái niệm liên quan vào các vành cụ thể và tìm hiểu các tính chất đặc trưng của khái niệm đó. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. ƒ Đối tượng nghiên cứu: Vành chính qui Von Neumann. ƒ Phạm vi nghiên cứu: Lí thuyết vành và môđun. 4. Ý nghĩa của việc nghiên cứu đề tài. Luận văn có thể xem như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên hoặc những người mới bắt đầu quan tâm đến vành chính qui Von Neumann - một đối tượng rất hay gặp trong nhiều ngữ cảnh khác nhau của đại số. 8 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Mục đích của chương này là điểm lại một số khái niệm cơ bản và các kết quả đơn giản về vành chính qui Von Neumann. Hầu hết các kiến thức được trình bày trong chương này được trích chủ yếu từ [3] theo quan điểm tóm tắt lại những kết quả chính đã đạt được khi nghiên cứu về vành chính qui Von Neumann từ thuở luận văn sinh viên. Do đó, ở đa số mệnh đề, các chứng minh không được trình bày lại. 1.1. Phần tử chính qui trong vành. 1.1.1. Khái niệm về phần tử chính qui. Định nghĩa 1.1. Phần tử x R∈ được gọi là phần tử chính qui Von Neumann nếu tồn tại sao cho a R∈ xax x= . Nếu x là phần tử chính qui Von Neumann, ta còn nói vắn tắt x là phần tử chính qui hay x chính qui. Ví dụ 1.2. a) Nếu R là vành chia thì mọi phần tử của R đều chính qui. b) Phần tử lũy đẳng là phần tử chính qui. Tiếp theo sau đây là các tính chất cơ bản nhất của phần tử chính qui trong một vành tùy ý. Mệnh đề 1.3. Phần tử x R∈ là chính qui nếu và chỉ nếu iđêan phải (trái) chính của R sinh bởi x được sinh bởi một lũy đẳng e nào đó, tức là xR eR= . Ta kí hiệu tập tất cả các phần tử chính qui của vành R là Von(R). Với mỗi vành R, tập Von(R) có tính chất ổn định đối với việc chọn phần tử a cho mỗi phần tử chính qui x mà xax x= . Cụ thể hơn ta có: Mệnh đề 1.4. Cho vành R và Von( )x R∈ . Khi đó tồn tại sao cho: Von( )y R∈ ,xyx y yxy y= = . Phần tử y được gọi là phần tử ngược của x. 9 Mệnh đề 1.4 cho ta thấy mỗi phần tử chính qui đều có phần tử ngược với nó, và phần tử ngược này cũng chính qui. Hiển nhiên một câu hỏi sẽ được đặt ra ngay tại đây là: Phần tử ngược của một phần tử chính qui có duy nhất không? Xét trong một vành chia R chẳng hạn, ta thấy mỗi phần tử chính qui có ngược là duy nhất. Trong lúc đó, đối với phần tử lũy đẳng , với R là một vành tùy ý, ngoài phần tử ngược với nó là chính nó chúng ta không thể kết luận nó còn có bao nhiêu phần tử ngược với nó. Như sẽ thấy trong những phần tiếp sau của luận văn, khi xem xét vấn đề này trong một số vành cụ thể, vấn đề duy nhất của phần tử ngược của một phần tử chính qui trong vành phụ thuộc khá nhiều vào các tính chất của vành đó. Trong trường hợp chung nhất, ta có một kết quả cho phép mô tả mối liên hệ cấu trúc các phần tử ngược của một phần tử chính qui như sau: e R∈ Mệnh đề 1.5. Cho vành R và Von( )x R∈ . Chọn y là phần tử ngược của x. Nếu với ' (1 ) (1y y s xy yx= + − + − )t ,s t R∈ thì 'xy x x= . Ngược lại, nếu thỏa 'y 'xy x x= thì có dạng: 'y ' (1 ) (1y y s xy yx)t= + − + − . Ngoài ra, nếu có dạng 'y ' (1 ) (1y y s xy yx)t= + − + − thì điều kiện cần và đủ để là ( , với mọi ' 'y xy y= ' 1 )( )(1 ) 0yx s t txs xy− + − − = ,s yRy t Ry∈ ∈ . Mệnh đề 1.5 mô tả cho ta một lớp đủ nhiều các phần tử ngược của một phần tử chính qui. Mối liên hệ giữa phần tử ngược y của phần tử chính qui x với phần tử chính qui x còn được thể hiện trong mệnh đề sau: Mệnh đề 1.6. Cho vành R và Von( )x R∈ . Chọn y là phần tử ngược với x. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương: (a) (1 ) (1 ) Von( )x xy R yx R+ − − ⊂ . (b) (1 ) (1 ) Von( )xy R yx R− − ⊂ . (c) (1 ) Von( )x R yx R+ − ⊂ . (d) (1 ) Von( )x xy R R+ − ⊂ . 10 Mệnh đề sau đây cho ta một điều kiện khá hữu ích để nhận biết một phần tử chính qui. Nó sẽ được sử dụng như một bổ đề hữu dụng trong các phép chứng minh ở phần sau, cho nên ta tạm gọi nó là bổ đề 1.7. Bổ đề 1.7. Cho vành R và ,x y R∈ . Nếu Von( )x xyx R− ∈ thì Von( )x R∈ . Về cấu trúc của Von(R), nói chung nếu không có thêm các điều kiện bổ sung cho vành R thì không có gì đáng nói. Tuy nhiên, ta cũng có thông tin khá lí thú sau: Bằng cách áp dụng bổ đề 1.7 và bổ đề Zorn (về tập sắp thứ tự), ta có thể chứng minh được rằng trong Von(R) có chứa một iđêan và iđêan này “lớn nhất” theo nghĩa: vành thương reg ( )I R reg/ ( )R I R không chứa iđêan khác 0 nằm trong regVon( / ( ))R I R . Mệnh đề 1.8. Mỗi vành R đều có một iđêan “lớn nhất” sao cho: , reg ( )I R reg ( ) Von( )I R R⊂ reg ( ) Von( ) Von( )I R R R+ ⊂ và vành thương reg/ ( )R I R không chứa iđêan khác 0 nằm trong regVon( / ( ))R I R . 1.1.2. Vành Abel. Như đã nhận xét trong mục trước, nếu không có các điều kiện bổ sung cho vành R thì nói chung trên Von(R) không có một cấu trúc nào cả. Mục này dành cho việc xét tới cấu trúc của Von(R), khi R được bổ sung thêm các điều kiện mới để trở thành một vành Abel. Khái niệm về vành Abel được xác định như sau: Định nghĩa 1.9. Vành R được gọi là Abel nếu mọi phần tử lũy đẳng của R đều thuộc tâm của R. Ví dụ 1.10. a) Vành chia là vành Abel. b) Vành giao hoán là vành Abel. c) Tâm của vành R là vành Abel. 11 d) Nếu R là vành không có phần tử lũy linh khác 0 thì mỗi lũy đẳng của R giao hoán với mọi phần tử của R, nói cách khác, R là vành Abel. Ngoài ra còn có một số ví dụ khác về vành Abel khi ta thêm vào điều kiện chính qui để chúng trở thành vành chính qui Abel - một đối tượng đáng quan tâm ở chương 2. Ta tạm dừng việc lấy các ví dụ về vành Abel để đưa ra một điều kiện tương đương của nó: Mệnh đề 1.11. Vành R là Abel nếu và chỉ nếu hai phần tử lũy đẳng bất kì của R giao hoán được với nhau. Theo mệnh đề 1.11, khi làm việc với vành Abel, ta tập trung chủ yếu vào các phần tử lũy đẳng. Kết nối nhận xét này với mệnh đề 1.3 và các lưu ý ở mệnh đề 1.4 ta trả lời được câu hỏi đặt ra trong phần nhận xét ngay sau mệnh đề 1.4. Nếu R là vành bất kì, Von(R) chưa chắc là một nửa nhóm. Chẳng hạn như trong vành các số nguyên môđulô n, ta khó mà mô tả nhiều về . Nhưng trong trường hợp R là vành Abel thì ta có kết quả sau: Von( )n] Mệnh đề 1.12. Nếu R là vành Abel thì Von(R) là một vị nhóm. Hơn nữa mỗi phần tử chính qui có một và chỉ một phần tử ngược với nó. Khi đó Von(R) được gọi là vị nhóm ngược. Ngược lại, nếu Von(R) là vị nhóm ngược thì R là vành Abel. Nhận xét 1.13. Nếu trong vành R mỗi phần tử chính qui đều có một phần tử ngược duy nhất tương ứng thì ta cũng không thể kết luận được phần tử ngược đó là phần tử nghịch đảo của phần tử chính qui. Để lấy ví dụ chứng tỏ nhận xét trên, ta chỉ cần R là vành giao hoán (hay chỉ cần R Abel là đủ, vì theo mệnh đề 1.12, phần tử ngược của phần tử chính qui trong vành Abel là duy nhất) nhưng không là miền nguyên (nghĩa là không thỏa luật giản ước). Chẳng hạn, trong 10 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}=] ta có: 12 0.0.0 0, 1.1.1 1, 4.4.4 4, 5.5.5 5, 6.6.6 6, 9.9.9 9= = = = = = , 2.8.2 2, 8.2.8 8, 3.7.3 3, 7.3.7 7.= = = = Trong , mỗi phần tử đều chính qui và có duy nhất một phần tử ngược với nó. Tuy nhiên: 10] 2.8 8.2 6 1= = ≠ nên 2 và 8 không phải là nghịch đảo của nhau, mặc dù 2 và 8 ngược nhau, duy nhất. Do đó ta thấy khái niệm phần tử ngược tuy là mở rộng của khái niệm phần tử nghịch đảo nhưng không dễ thu hẹp khái niệm ngược về nghịch đảo. Trong [3], phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một nhóm Abel được xem xét khá cẩn thận. Ta đã biết mỗi nhóm Abel có thể xem như một - môđun, vậy liệu các kết quả về phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một nhóm Abel có thể nào được chuyển sang vô điều kiện cho vành các tự đồng cấu của một R - môđun, trong đó R là vành có đơn vị tùy ý? ] Khi ra soát lại các phép chứng minh ở [3], tuyệt nhiên không cần sử dụng đến bất kì một tính chất đặc biệt nào của các ] - môđun mà R - môđun tổng quát không có. Điều này cho phép ta đưa ra câu trả lời khẳng định, nghĩa là: 1.1.3. Phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một R - môđun. Cho M là R - môđun phải. Xét vành các tự đồng cấu của M : End ( ) { : |R M f M M f= → là R - đồng cấu} Mục này dành cho việc xét các phần tử chính qui trong End ( )R M . Trước hết, về đặc trưng của các phần tử lũy đẳng, là các phần tử chính qui đặc biệt trong End ( )R M , ta có: Mệnh đề 1.14. Phần tử End ( )Rf M∈ là phần tử lũy đẳng nếu và chỉ nếu . ImIm Ker , | IdfM f f f= ⊕ ≡ 13 Từ đặc trưng cơ bản của phần tử lũy đẳng được xét tới trong mệnh đề 1.14, ta có thể chứng minh được đặc trưng của một phần tử chính qui trong End ( )R M , thể hiện trong mệnh đề sau: Mệnh đề 1.15. Phần tử End ( )Rf M∈ là chính qui nếu và chỉ nếu tồn tại sự phân tích M thành các tổng trực tiếp: '1 2 1 ' 2M M M M M= ⊕ = ⊕ sao cho 1 ' 1| :M 1f M M→ là một đẳng cấu và 2 '2| :M 2f M M→ là đồng cấu không. Mệnh đề 1.15 về đặc trưng của các phần tử chính qui trong End ( )R M cho ta các hệ quả đáng chú ý sau: Hệ quả 1.16. Nếu End ( )Rf M∈ là phần tử chính qui thì Im KerM f f≅ ⊕ . Hệ quả 1.17. Phần tử End ( )Rf M∈ là chính qui nếu và chỉ nếu Im f và Kerf là các hạng tử trực tiếp của M. Đáng lẽ, để kết thúc mục này, ta đưa thêm một ví dụ nữa về các phần tử chính qui, chẳng hạn khảo sát tính chính qui đối với các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert nhưng vì những lí do nhất định, ta sẽ bàn luận về chúng trong chương 3. Ở mục tiếp theo, ta nhắc lại một vài khái niệm cơ bản cùng các đặc trưng đơn giản nhất về vành chính qui Von Neumann. 1.2. Vành chính qui Von Neumann. 1.2.1. Định nghĩa và một số ví dụ. Định nghĩa 1.18. Vành R được gọi là vành chính qui (Von Neumann) nếu mọi phần tử của nó là phần tử chính qui. Nghĩa là: R chính qui nếu và chỉ nếu Von( )R R= . Từ định nghĩa vành chính qui, ta dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau: Mệnh đề 1.19. Trong một vành chính qui, mỗi phần tử khác 0 hoặc khả nghịch hoặc là ước của 0. 14 Hệ quả 1.20. Nếu vành chính qui đồng thời là miền nguyên thì nó là trường. Mệnh đề 1.21. Vành chính qui R là vành chia nếu và chỉ nếu R chỉ có hai phần tử lũy đẳng tầm thường. Mệnh đề 1.22. Tích trực tiếp của một họ khác rỗng các vành chính qui là vành chính qui. Mệnh đề 1.23. Ảnh đồng cấu của vành chính qui là vành chính qui. Suy ra tính chính qui được bảo toàn qua phép đẳng cấu và vành thương của vành chính qui cũng là vành chính qui. Ta đưa ra ba ví dụ về vành chính qui, trong đó hai ví dụ đầu tiên được trích dẫn trong [3], ví dụ cuối thuộc về kinh điển. Ví dụ 1.25. Vành các ma trận vuông thực cấp n là vành chính qui. Ví dụ 1.26. Cho K là trường và là các tập con hữu hạn khác rỗng của K. Cho 1, ... , nS S 1, ... , nX X là n biến và đặt ( ) ( i i i i k S P X X k ∈ )= −∏ với mỗi . Khi đó vành thương 1, ... ,i = n 1 1 1[ , ... , ] / ( ), ... , ( )nK X X P X P Xn n là vành chính qui giao hoán. Ví dụ 1.27. Vành các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ trên một vành chia là vành chính qui. Thật vậy, gọi là vành các phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ V trên vành chia D. Lấy End ( )D V ( )Df End V∈ . Khi đó Im f là một không gian con của V nên ta có thể chọn một cơ sở ( )i i Je ∈ của nó và bổ sung vào đó để được cơ sở của V. '( )i i Je ∈ Với i chọn sao cho J∈ ib ( )i if b e= và đặt '( )i if e b= . Với đặt . Do mỗi phép biến đổi tuyến tính hoàn toàn xác định nếu biết ảnh của một cơ sở nên 'i J∈ '( ) 0if e = ' End ( )Df V∈ . Bây giờ, với mọi x V∈ : ( ) Imf x f∈ nên ( ) .i i i J f x e ∈ = y∑ . Khi đó: 15 ( ' )( ) ' . '( ). ( ). . (i i i i i i i i i J i J i J i J )ff f x f f e y ff e y f b y e y f x ∈ ∈ ∈ ∈ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ = Do đó 'ff f f= . □ 1.2.2. Các điều kiện tương đương của vành chính qui. Mệnh đề 1.28. Cho vành R. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương: (a) R là vành chính qui. (b) Mỗi iđêan phải (trái) chính của R đều sinh bởi một lũy đẳng. (c) Mỗi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh của R đều sinh bởi một lũy đẳng. Mệnh đề 1.28 cho ta một chú ý sáng giá khi nghiên cứu các vành chính qui: tập trung vào các phần tử lũy đẳng của chúng. Để phát biểu điều kiện tương đương tiếp theo, ta cần các phần tử lũy đẳng với tính chất đặc biệt hơn - tính trực giao. Mệnh đề 1.29. Cho 1,{ }i i ne ∈ là họ các lũy đẳng trực giao trong vành R (nghĩa là ) thỏa . 0,i je e i j= ∀ ≠ 1 1 n i i e = =∑ . Khi đó R là vành chính qui nếu và chỉ nếu với mỗi i jx e Re∈ tồn tại j iy e Re∈ sao cho xyx x= . Sử dụng mệnh đề trên, ta có thể chứng minh được vành các ma trận vuông cấp n trên một vành chính qui là vành chính qui. Sau đó, bằng suy luận khá đơn giản, từ các điều kiện tương đương của vành chính qui, ta thu được các tính chất của vành con, iđêan, vành các thương của vành chính qui như đã trình bày trong [3]. Thế nhưng, các tính chất này chưa thực sự đầy đủ. Cho nên, ta kết thúc mục này ở đây để chuyển sang khảo sát một cách tổng quát và tỉ mỉ hơn các tính chất của vành chính qui trong chương 2. 16 Chương 2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUI Chương này dành cho việc mô tả các tính chất của vành chính qui và một lớp các vành chính qui đặc biệt là vành chính qui Abel. Thêm vào đó, các môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui và chính qui Abel cũng được xem xét khá kĩ để làm nổi bậc lên vai trò của các phần tử lũy đẳng trong vành chính qui. 2.1. Các tính chất cơ bản của vành chính qui. Mục đích của mục này là giới thiệu vài tính chất cơ bản của vành chính qui. Điểm nhấn quan trọng là đưa ra những điều kiện cần thiết để vành là vành chính qui. Trong mệnh đề 1.28 ta đã chỉ ra tính chất cơ bản nhất và có nhiều ứng dụng rộng rãi của vành chính qui, bằng cách chỉ ra các lũy đẳng trong vành chính qui. Ở mục này, ta thường xuyên và hầu như liên tục phải sử dụng các phần tử lũy đẳng trong vành chính qui, chẳng hạn: Mệnh đề 2.1. Cho R là vành chính qui. Khi đó: (a) Tất cả iđêan một phía đều lũy đẳng. (b) Tất cả iđêan hai phía đều nửa nguyên tố. (c) ( ) 0J R = với ( )J R là căn Jacobson của R. (d) R là (phải và trái) nửa di truyền. (e) R là (phải và trái) không suy biến. Chứng minh. (a) Lấy J là iđêan phải của R. Với , :x J y R xyx x∈ ∃ ∈ = và do đó 2( )x xy x J= ∈ . Suy ra 2J J= . (b) Dễ dàng suy ra từ (a) theo tính chất của iđêan nửa nguyên tố. (c) Căn Jacobson không chứa các lũy đẳng khác 0. 17 (d) Theo mệnh đề 1.28 mọi iđêan một phía hữu hạn sinh của R đều là hạng tử trực tiếp của R nên xạ ảnh. (e) Giả sử 0xJ = với x R∈ và e RJ R≤ . Tồn tại lũy đẳng sao cho e R∈ Re Rx= và do đó: 0ReJ RxJ= = . Suy ra (1 )J e R≤ − . Khi đó: 0J eR∩ = . Do vậy 0eR = và 0x xe= = . Vậy RR không suy biến. □ Trước khi nghiên cứu tính chất của iđêan trong vành chính qui ta cần định nghĩa iđêan chính qui. Định nghĩa 2.2. Một iđêan hai phía J của vành R được gọi là chính qui nếu với mỗi x J∈ , tồn tại sao cho y J∈ xyx x= . Mệnh đề 2.3. Cho J K≤ là các iđêan hai phía của vành R. Khi đó: K chính qui nếu và chỉ nếu J và /K J đều chính qui. Chứng minh. ■ Nếu K chính qui thì /K J chính qui. Lấy , :x J y K xyx x∈ ∃ ∈ = . Khi đó: z yxy J= ∈ và xzx x= . Vì vậy, J chính qui. ■ Ngược lại, giả sử J và /K J chính qui. Lấy x K∈ , x J+ là phần tử chính qui của /K J nên tồn tại : /y J K J+ ∈ ( )( )( )x J x J y J x J+ = + + + . Suy ra x xyx J− ∈ là phần tử chính qui. Do đó . : ( ) (z J x xyx x xyx z x xyx∃ ∈ − = − − ) Vì vậy [(1 ) (1 ) ]x x yx z xy y x xwx= − − + = , với (1 ) (1 )w yx z xy y K= − − + ∈ . Vậy K chính qui. □ Trong trường hợp đặc biệt, mệnh đề 2.3 chứng tỏ rằng mọi iđêan hai phía trong một vành chính qui là chính qui. Nhìn nhận theo lối khác, nếu J là một iđêan hai phía trong vành R sao cho J và /R J chính qui thì R chính qui. 18 Phương pháp này tỏ ra hữu ích khi xây dựng các ví dụ về vành chính qui, chẳng hạn: Mệnh đề 2.4. Tích trực tiếp con hữu hạn của các vành chính qui là chính qui. Chứng minh. Ta chỉ cần xem xét trường hợp vành R là tích trực tiếp con của hai vành chính qui. Khi đó R có các iđêan hai phía J và K sao cho 0J K∩ = và / , /R J R K đều chính qui. Do ( ) /J J K K≅ + trong vành chính qui /R K , mệnh đề 2.3 chứng tỏ rằng J chính qui. Lại theo 2.3, /R J chính qui nên R chính qui. □ Chú ý. Tích trực tiếp con của vô hạn vành chính qui, chẳng hạn , không chính qui. ] Trong mệnh đề 1.8, ta đã áp dụng bổ đề Zorn để chỉ ra trong vành R có iđêan “lớn nhất” theo nghĩa: chính qui và vành thương reg ( )I R reg ( )I R reg/ ( )R I R không chứa iđêan chính qui khác 0. Bây giờ, bằng một ít nhận xét về kết hợp với tiêu chuẩn chính qui của iđêan được phát biểu trong mệnh đề 2.3 ta có thể chỉ ra được hình ảnh cụ thể của mà trong mệnh đề tiếp theo gọi là M. reg ( )I R reg ( )I R Mệnh đề 2.5. Cho vành R và { |M x R RxR= ∈ là iđêan chính qui}. Ta có: (a) M là iđêan hai phía chính qui của R. (b) M chứa tất cả iđêan hai phía chính qui của R. (c) Vành thương /R M không chứa iđêan hai phía chính qui khác 0. Chứng minh. (a) Lấy ,x y M∈ . Ta có RyR và ( ) / / ( )RxR RyR RyR RxR RxR RyR+ ≅ ∩ đều chính qui. Do đó, theo mệnh đề 2.3, RxR RyR+ chính qui. 19 Vì vậy RxR RyR M+ ⊂ với mọi ,x y M∈ . Do vậy M là iđêan hai phía. Dĩ nhiên M chính qui. (b) Lấy A là iđêan hai phía chính qui của R và xét x A∈ . Khi đó RxR là iđêan hai phía của A nên chính qui. Suy ra x M∈ và A M⊂ . (c) Nếu /A M là iđêan hai phía chính qui trong /R M thì theo mệnh đề 2.3, A chính qui do M chính qui. Suy ra A M⊂ và / 0A M = . □ Theo mệnh đề 2.3, iđêan của vành chính qui là chính qui. Một câu hỏi được đặt ra là vành con của vành chính qui có là vành chính qui không? Ta xét trường các số hữu tỉ . Vì trường là vành chính qui nên là vành chính qui nhưng một vành con của _ là vành các số nguyên ] không là vành chính qui (phần tử _ _ 2∈] không phải là phần tử chính qui vì iđêan không được sinh bởi lũy đẳng nào: chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1). 2] ] Ví dụ trên cho ta thấy một vành con của vành chính qui chưa chắc là vành chính qui. Tuy nhiên, đối với các vành con đặc biệt, ta có: Mệnh đề 2.6. Góc của vành chính qui là vành chính qui. Chứng minh. Với mỗi phần tử lũy đẳng e R∈ , góc của vành R được định nghĩa là vành con . Ta cần chứng minh nếu R là vành chính qui thì eRe cũng là vành chính qui với mọi lũy đẳng e. eRe Thật vậy, lấy x eRe∈ , chọn :y R x xyx∈ = . Vì e là lũy đẳng nên ta có: xe ex x= = . Suy ra: ( ) ( ) ( )x xe y ex x eye x= = . Đặt a eye eRe= ∈ ta có xax x= . Vậy eRe là vành chính qui. □ Mệnh đề 2.7. Tâm của vành chính qui là chính qui. Chứng minh. Lấy R là một vành chính qui với tâm S và chọn x S∈ . 20 Tồn tại sao cho y R∈ xyx x= . Đặt z yxy= . Chú ý rằng xzx x= . Cho r , ta có: R∈ zr yxyr yyrx yyrxyx yxyxry yxry= = = = = . Do đối xứng, , do đó rz yrxy yxry zr= = = z S∈ . Vì vậy S là chính qui. □ Hệ quả 2.8. Một vành chính qui 0R ≠ là không phân tích được (như một vành) nếu và chỉ nếu tâm của nó là trường. Chứng minh. Giả sử R không phân tích được. Gọi S là tâm của R và x là phần tử khác 0 bất kì của S. Theo mệnh đề 2.7, :y S xyx x∃ ∈ = , do đó xy là một lũy đẳng tâm khác 0 trong R. Do R không phân tích được nên 1xy = . Vì vậy S là trường. □ Trong trường hợp đặc biệt, hệ quả 2.8 chứng tỏ rằng tâm của vành chính qui nguyên tố là một trường. Các vành chính qui được đặc trưng hóa đồng điều bởi các vành mà mọi môđun (trái hoặc phải) trên nó đều dẹt. Vì lí do này, trường phái Bourbaki thích gọi các vành chính qui là các vành dẹt tuyệt đối. Định lí 2.9. Một vành R là vành chính qui nếu và chỉ nếu mọi R - môđun phải (trái) là dẹt. Chứng minh. ■ Trước tiên giả sử rằng R là chính qui. Xét R - môđun phải M. Ta chứng minh với mọi iđêan hữu hạn sinh I của R, phép nhúng chính tắc cảm sinh đơn cấu 1 ::i I R→ M Ri M I M RR⊗ ⊗ → ⊗ . Thật vậy, theo mệnh đề 1.28, tồn tại phần tử lũy đẳng sao cho y R∈ I Ry= . Khi đó: (1 )R Ry R y= ⊕ − . Gọi là phép chiếu chính tắc, ta có: :p R Ry→ 1Ipi = . Vì thế (1 )(1 ) 1 ( ) 1 1 1M M M M Ip i pi M I⊗⊗ ⊗ = ⊗ = ⊗ = . Suy ra 1 là đơn cấu. M i⊗ ■ Ngược lại, giả sử mọi R - môđun phải là dẹt. 21 Chọn x R∈ , môđun /R xR là dẹt nên ánh xạ tự nhiên là đơn ánh. Do đó, ánh xạ ( / ) /RR xR Rx R xR⊗ → / /Rx RxR R xR→ cũng là đơn ánh. Vì vậy, Rx xR xRx∩ = và do đó x xRx∈ . Suy ra R chính qui. □ Một đặc trưng khác của vành chính qui là: Định lí 2.10. Vành R là chính qui nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đồng thời xảy ra: (a) R là nửa nguyên tố. (b) Hợp của một dây chuyền bất kì các iđêan nửa nguyên tố của R là iđêan nửa nguyên tố. (c) /R P là chính qui với mọi iđêan nguyên tố P của R. Chứng minh. ■ Nếu R chính qui, dễ có (c). Theo mệnh đề 2.1, tất cả các iđêan hai phía của R là nửa nguyên tố, do đó (a) và (b) đúng. ■ Ngược lại, giả sử (a), (b) và (c) đúng. Nếu R không chính qui, tồn tại x R∈ sao cho x xRx∉ . Chú ý rằng 0 là iđêan nửa nguyên tố của R (do (a)) sao cho 0x xRx∉ + . Theo (b), áp dụng bổ đề Zorn cho họ tất cả iđêan nửa nguyên tố I của R thỏa mãn x xRx I∉ + , tồn tại iđêan nửa nguyên tố J của R là tối đại (trong các iđêan nửa nguyên tố vừa đề cập) sao cho x xRx J∉ + . Do đó, /R J không chính qui và theo (c) thì J không nguyên tố. Vì vậy, tồn tại các iđêan hai phía A và B chứa thực sự J sao cho AB J≤ . Đặt { | }K r R rB J= ∈ ≤ và { | }L r R Kr J= ∈ ≤ . Bởi vì J nửa nguyên tố, ta suy ra rằng K và L cũng nửa nguyên tố. Do ta có 2( )K L KL J∩ ≤ ≤ K L J∩ ≤ . 22 Rõ ràng A K≤ và , do đó K và L chứa thực sự J. Bởi tính tối đại của J, tồn tại các phần tử sao cho B L≤ ,y z R∈ x xyx K− ∈ và x xzx L− ∈ . Chú ý rằng: ( ) ( )x x y z yxz x x xyx x xyx zx K− + − = − − − ∈ và ( ) ( )x x y z yxz x x xzx xy x xzx L− + − = − − − ∈ , nên x xRx K L xRx J∈ + ∩ ⊂ + : mâu thuẫn. Vì vậy R phải chính qui. □ Hệ quả 2.11. Vành R là chính qui nếu và chỉ nếu mọi iđêan hai phía của R là lũy đẳng và /R P là chính qui với mọi iđêan nguyên tố P của R. Rõ ràng định lí 2.10 sẽ trở nên gọn hơn nếu bỏ đi giả thiết (b), nhưng một định lí như vậy không đúng trong trường hợp tổng quát, như ví dụ ở phần tiếp theo sau sẽ chỉ ra. Ví dụ 2.12. Tồn tại một vành nửa nguyên tố R sao cho /R P chính qui với mọi iđêan nguyên tố P của R, nhưng R không chính qui. Chứng minh. Chọn trường F, đặt với nF F= 1, 2, ...n = và gọi S là F - đại số con của nF∏ sinh bởi 1 và nK F= ⊕ . Đặt là vành con của S K R S S ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟ 2 ( )M S . Do SKS S≠ , theo mệnh đề 1.29, R không chính qui. Với gọi là phần tử đơn vị của và đặt . 1, 2, ...n = ne nF 0 0 n n n e f e ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ Khi đó nf là một lũy đẳng thuộc tâm của R và 2 ( )nf R M F≅ là một vành nguyên tố. Hệ quả là, R đẳng cấu với một tích trực tiếp con của các vành nguyên tố nf R , do đó R là nửa nguyên tố. Xét iđêan nguyên tố P bất kì của ._.R. 23 9 Nếu nf P∉ với n nào đó thì 1 nf P− ∈ . Trong trường hợp này, ta có và (1 )nP f= − R ( )2/ nR P f R M F≅ ≅ là chính qui. 9 Nếu mọi nf P∈ thì 2 ( ) nM K f R P= ⊕ ≤ . Do , ta có trong trường hợp này 2 0 / ( ) F R M K F F ⎛ ⎞≅ ⎜⎝ ⎠⎟ /R P F≅ là chính qui. □ Tuy nhiên, có một lớp quan trọng các vành mà dạng gọn hơn của định lí 2.10 vẫn đúng, gọi là vành không có phần tử lũy linh khác 0. Ta chứng minh điều này trong đinh lí 2.15. Trước tiên, ta cần một định nghĩa. Định nghĩa 2.13. Một iđêan nguyên tố đầy đủ trong một vành R là một iđêan hai phía thực sự P sao cho /R P là một miền nguyên (không cần giao hoán). Bổ đề 2.14. Nếu R là vành không có phần tử lũy linh khác 0 thì mọi iđêan nguyên tố tối tiểu của R là nguyên tố đầy đủ. Chứng minh. ■ Trước tiên ta chứng minh rằng nếu 1, ... , na a R∈ và thì tích của các với thứ tự bất kì luôn bằng 0. 1 2. ... 0na a a = ia Để chứng minh điều này, thật ra ta chỉ cần chứng tỏ rằng nếu 0xaby = trong R thì 0xbay = . 9 Nếu 1x y= = thì từ 0ab = ta có 2( ) ( ) 0ba b ab a= = và do đó . 0ba = 9 Nếu 1: ( ) 0 0 ( ) 0x ab y yab y aba= = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ( ) 0aba y =2( )( ) 0 0 ( ) 0 0ba bay bayba bay bay⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ . 9 Trong trường hợp tổng quát: ( ) 0 ( )( ) 0 ( ) 0 ( ) 0x aby ab yx bay x x bay= ⇒ = ⇒ = ⇒ = . ■ Bây giờ, gọi P là iđêan nguyên tố tối tiểu bất kì của R. Một m - hệ thống trong R là một tập con X ≠∅ sao cho 0 và nếu X∉ ,x y X∈ thì tồn tại sao cho r R∈ xry X∈ . 24 Khi đó \R P là một m - hệ thống, và ta có thể chọn một m - hệ thống tối đại X chứa \R P . Nếu Q là một iđêan hai phía của R và Q tối đại giữa tất cả các iđêan hai phía rời nhau với X thì Q là nguyên tố. Do Q rời \R P ta có Q và vì vậy bởi tính tối tiểu của P. P≤ Q P= Kết quả là, P rời nhau với X, do đó \X R P= . Vì vậy \R P là một m - hệ thống tối đại. ■ Đặt . 1 2 1 2{ . ... | , , ... , \ }n nY x x x x x x R P= ∈ Nếu thì với 0 Y∈ 1 2. ... 0nx x x = \ix R P∈ . Tồn tại sao cho: 1 1, ... , nr r − ∈R 1 1 2 2 1 1. . . ... . .n n nx r x r x r x P− − ∉ . Do 1 2 1 2 1( . ... )( . ... ) 0n nx x x r r r − = , như đã chứng minh ở trên, ta suy ra 1 1 2 2 1 1. . . ... . . 0n n nx r x r x r x− − = : không xảy ra. Vì vậy , do đó Y là một m - hệ thống. 0 Y∉ Rõ ràng \R P Y⊂ , do đó, theo tính tối đại của \R P ta được \R P Y= . Do vậy \R P là đóng đối với phép nhân, cho nên /R P là miền nguyên. □ Định lí 2.15. Gọi R là vành không có phần tử lũy linh khác 0. Khi đó R là chính qui nếu và chỉ nếu /R P là chính qui với mọi iđêan nguyên tố đầy đủ P của R. Chứng minh. ■ Nếu R chính qui thì hiển nhiên /R P là chính qui với mọi iđêan nguyên tố đầy đủ P của R. ■ Giả sử rằng /R P là chính qui với mọi iđêan nguyên tố đầy đủ P của R. Nếu P là iđêan nguyên tố tối tiểu bất kì của R thì P nguyên tố đầy đủ (theo bổ đề 2.14), do đó /R P là chính qui. Do /R P còn là miền nguyên nên /R P là một vành chia. Hệ quả là, ta có /R Q là vành chia với mọi iđêan nguyên tố Q của R. 25 Do mỗi iđêan nửa nguyên tố của R là giao của các iđêan nguyên tố, ta suy ra tập các iđêan nguyên tố của R trùng với tập các iđêan hai phía J sao cho /R J không có phần tử lũy linh khác 0. Kết quả là, hợp của một dây chuyền các iđêan nửa nguyên tố của R phải là nửa nguyên tố. Theo định lí 2.10, R là chính qui. □ Trên đây là một vài đặc trưng của vành chính qui tổng quát. Đối với các vành chính qui giao hoán, chúng có thể được đặc trưng hóa bởi nhiều cách. Định lí 2.16. Đối với vành giao hoán R, các điều kiện sau đây tương đương: (a) R là chính qui. (b) Mọi R - môđun đơn là nội xạ. (c) R không có phần tử lũy linh khác 0 và mọi iđêan nguyên tố của R là tối đại. (d) MR là trường với mọi iđêan tối đại của R. Chứng minh. (a) ⇒ (b): Lấy M là một iđêan tối đại của R, J là một iđêan của R và : /f J R M→ là một R - đồng cấu khác 0. Khi đó 2( ) KerM J M J JM f J∩ = ∩ ≤ ≤ < . Do đó . Suy ra |J M≤ 1x y+ = với ,x M y J∈ ∈ và ta có . ( ) /w f y R M= ∈ Chọn a , ta có . J∈ Kera ya xa MJ f− = ∈ ≤ Do đó ( ) ( ) ( )f a f ya fy a w= = = a . Do vậy f có thể mở rộng đến đồng cấu /R R M→ . (b) ⇒ (c): ■ Trước tiên ta chứng minh rằng nếu M là iđêan tối đại của R thì ,x xM x M∈ ∀ ∈ . 26 Giả sử ngược lại, :x M x xM∃ ∈ ∉ . Khi đó / 0xR xM ≠ và ta có / /R M xR xM≅ , do đó có một toàn cấu : /f xR R M→ . Do /R M nội xạ nên f có thể mở rộng đến đồng cấu và do đó : /g R R M→ ( ) ( ) 0f xR g M≤ = : vô lí. Vì vậy, kết luận ở trên là đúng. ■ Không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét trường hợp lũy linh bậc 2. Giả sử 2 0x = với 0 x R≠ ∈ . Linh hóa tử { | 0}J r R xr= ∈ = là một iđêan phải thực sự và do đó được chứa trong một iđêan phải tối đại M. Do x J M∈ ≤ , ta có x xM∈ bởi kết luận ở trên. Khi đó và do đó 1 . Điều này không thể xảy ra! :y M x xy∃ ∈ = y J M− ∈ ≤ Vì vậy, R không thể có bất kì phân tử lũy linh khác 0 nào. ■ Bây giờ, lấy P là iđêan nguyên tố của R và gọi M là iđêan tối đại chứa P. Lấy x M∈ , ta có x xM∈ và do đó : (1 ) 0y M x y∃ ∈ − = vì 1 nên , do đó y M− ∉ 1 y P− ∉ x P∈ . Vì vậy M P= và P là iđêan tối đại. (c) ⇒ (d): Bởi vì không có iđêan nguyên tố nào của R thực sự được chứa trong M, ta có MMR là iđêan nguyên tố duy nhất của MR , do đó MMR là lũy linh. Lấy / Mx s MR∈ , ta có ( / ) 0nx s = với n nào đó, do đó với . 0ntx = \t R M∈ Khi đó ( ) và suy ra 0ntx = 0tx = . Do vậy / 0x s = . Vậy hay 0MMR = MR là trường. (d) ⇒ (a): Lấy A là R - môđun. Với bất kì iđêan tối đại M của R, từ (d) ta có MA là MR - môđun dẹt, hệ quả là A là R - môđun dẹt. Theo định lí 2.9, R là chính qui. □ Ta kết thúc mục này với một định lí đảm bảo sự tồn tại của một lớp đủ rộng các vành chính qui. 27 Định lí 2.17. Cho A là R - môđun phải tựa nội xạ và End ( )RQ A= . Gọi ( )J Q là căn Jacobson của Q. Khi đó: (a) e( ) { | }J Q f Q Kerf A= ∈ ≤ . (b) là vành chính qui. / ( )Q J Q (c) Nếu ( ) 0J Q = thì Q là tự nội xạ phải. Chứng minh. (a) & (b): ■ Đặt e{ | Ker }K f Q f A= ∈ ≤ và xét ,f g bất kì thuộc K. Bởi vì Ker Ker Ker( )f g f∩ ≤ − g , ta có e( )Ker f g A− ≤ do đó f g K− ∈ . Lấy , ta có: h Q∈ 1 eKer( ) (Ker )fh h f− A= ≤ , do đó fh K∈ . Tương tự, Ker Ker( )f hf≤ nên hf K∈ . Vậy K là một iđêan hai phía của Q. ■ Lấy f K∈ , ta có eKerf A≤ và [Ker(1 )] [Ker ] 0f f− ∩ = , do đó Ker(1 ) 0f− = . Khi đó 1 f− cảm sinh một đẳng cấu từ A lên (1 )f A− , và đẳng cấu ngược (1 )f A− → A có thể mở rộng đến đồng cấu sao cho . g Q∈ (1 ) 1g f− = Vì vậy, f là phần tử tựa chính qui trái của Q. Bởi vì điều này đúng với mọi f K∈ nên ta có ( )K J Q≤ . ■ Lấy f Q∈ , ta có thể chọn B A≤ sao cho eKerB f A⊕ ≤ . Khi đó f có thể hạn chế thành đẳng cấu của B lên f(B), và đẳng cấu ngược ( )f B → B mở rộng thành một đồng cấu g Q∈ sao cho 1gf = trên B. Hệ quả là, ( ) 0fgf f B− = , do đó Ker Ker( )B f fgf f⊕ ≤ − . Vì vậy fgf f K− ∈ , do đó fgf f= trong . Suy ra là chính qui. /Q K /Q K Theo mệnh đề 2.1, ( / ) 0J Q K = , do đó ( )J Q K= và là vành chính qui. / ( ) /Q J Q Q K= 28 (c) Theo (b), Q là chính qui (do ( ) 0J Q = ) và theo định lí 2.9, A là một Q - môđun trái dẹt. Gọi J là iđêan phải bất kì của Q và lấy Hom ( , )Q Qf J Q∈ . Do Q A là môđun dẹt nên ta có biểu đồ sau giao hoán: QJ A⊗ QQ A⊗ JA 1f ⊗ A ≅≅ g Đồng cấu g mở rộng đến đồng cấu h Q∈ sao cho với mọi ( ) ( )( )h xy f x y= x J∈ và . Kết quả là, ta có y A∈ ( ) ( )f x h x= với mọi x J∈ . Do vậy Q tự nội xạ phải. □ Hệ quả 2.18. Lấy A là một R - môđun phải và đặt End ( )RQ A= . Nếu A hoặc nửa đơn hoặc không suy biến tựa nội xạ thì Q là một vành chính qui tự nội xạ phải. Chứng minh. Do A tựa nội xạ nên theo định lí 2.17 ta chỉ cần chứng minh ( ) 0J Q = . Lấy ( )f J Q∈ , ta có eKerf A≤ (theo 2.17). 9 Nếu A nửa đơn thì Kerf A= và 0f = . 9 Nếu A không suy biến, bởi vì ( ) / Kerf A A f≅ là suy biến ta lại thu được 0f = . Vậy ( ) 0J Q = trong cả hai trường hợp. □ Trong trường hợp đặc biệt, hệ quả 2.18 chứng tỏ rằng vành các tự đồng cấu của một không gian vectơ phải là chính qui và tự nội xạ phải. Hệ quả 2.19. Nếu R là vành không suy biến phải thì vành các thương tối đại (phải) Q là chính qui và tự nội xạ phải. 29 Chứng minh. Do RR không suy biến nên ( )RE R cũng vậy. Thêm vào nữa, do , hệ quả 2.18 chứng tỏ Q chính qui và tự nội xạ phải. □ End ( ( ))R RQ E R≅ 2.2. Môđun xạ ảnh trên vành chính qui. Mục này chủ yếu liên quan đến tính chất phân tích được của các môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui, một phần bao gồm những tính chất thuần túy môđun, và một phần bao gồm các lũy đẳng trong vành các tự đồng cấu hay trong vành các hệ tử. Các kết quả được chia làm bốn nhóm, liên quan đến: (a) Dàn các môđun con hữu hạn sinh của một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. (b) Đẳng cấu giữa các sự phân tích thành tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. (c) Phương pháp tạo thành dãy đếm được các lũy đẳng. (d) Các lũy đẳng nâng và môđun xạ ảnh hữu hạn sinh môđulô iđêan hai phía. Trước hết, ta cần một vài sự chuẩn bị. Định lí 2.20. Nếu A là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui R thì End ( )R A là vành chính qui. Chứng minh. Theo mệnh đề 1.29, chính qui với mọi n và mọi lũy đẳng và ( )neM R e ( )ne M R∈ End ( ) ( )R nA eM R e≅ nên chính qui. □ Ngược lại với định lí 2.20, vành các tự đồng cấu của các môđun tổng quát trên các vành chính qui có thể không chính qui, như ví dụ sau: 30 Ví dụ 2.21. Tồn tại vành chính qui R và iđêan hai phía J sao cho End ( )R RJ không chính qui. Chứng minh. Lấy trường F, đặt với nF F= 1, 2, ...n = . Gọi S là F - đại số con của nF∏ sinh bởi 1 và nK F= ⊕ . Vì K là iđêan của vành chính qui nF∏ nên K chính qui. Mặt khác, chính qui do đó S chính qui. /S K F≅ Đặt S K R K S ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟ là vành con của 2 ( )M S . Do K và S đều chính qui nên theo mệnh đề 1.29, R chính qui. Đặt K K J K S ⎛= ⎜⎝ ⎠ ⎞⎟ ⎟ là iđêan hai phía của R. Chú ý rằng phép nhân trái bởi phần tử cảm sinh một tự đồng cấu 0 0 1 0 ⎛ ⎞⎜⎝ ⎠ End ( )R Rf J∈ . Ta có: 0 0 fJ K K ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟ là một môđun con cốt yếu thực sự của iđêan phải 0 0 H K S ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟ . Suy ra fJ không thể là hạng tử trực tiếp của H, do đó fJ không thể là hạng tử trực tiếp của RJ . Kết quả là, không tồn tại lũy đẳng End ( )R Rh∈ J sao cho hJ fJ= , và do đó, không tồn tại End ( )R Rg J∈ sao cho fgf f= . Vì vậy End ( )R RJ không chính qui. □ Ví dụ 2.22. Tồn tại một vành chính qui giao hoán R với một môđun hữu hạn sinh A sao cho End ( )R A không chính qui. Chứng minh. 31 Chọn trường F, đặt với nF F= 1, 2, ...n = và gọi R là F - đại số con của nF∏ sinh bởi 1 và . Theo ví dụ 2.21, R là vành chính qui. nF⊕ Chọn một phần tử \nx F R∈∏ và đặt B R xR= + , A R B= ⊕ . Định nghĩa End ( )Rf A∈ theo qui luật: ( , ) (0, )f r b r= . Chú ý rằng ( ) 0f A = ⊕ R là một môđun con cốt yếu thực sự của 0 B⊕ , ta suy luận theo 2.21 rằng không thể tồn tại End ( )Rg A∈ sao cho fgf f= . Vì vậy End ( )R A không chính qui. □ Ta xem 2.21 và 2.22 như một cảnh báo: không phải mọi vành được kết hợp với vành chính qui theo một phương thức “hợp lí” nào đó thì nhất thiết phải chính qui. Từ định lí 2.20 ta thu được một kết quả hay được sử dụng như sau: Định lí 2.23. Nếu A là một môđun phải xạ ảnh trên vành chính qui R thì mọi môđun con hữu hạn sinh của A là hạng tử trực tiếp của A. Chứng minh. Ta có thể đồng nhất A với một môđun con của một R - môđun phải tự do F. Lấy B là môđun con hữu hạn sinh của A, ta suy ra rằng F có một hạng tử trực tiếp tự do G hữu hạn sinh chứa B. Ta chỉ cần chứng minh B là hạng tử trực tiếp của G, khi đó B là hạng tử trực tiếp của F và do đó cũng là của A. Chọn n là số nguyên dương sao cho B có thể được sinh bởi n phần tử, nhúng G vào một R - môđun phải tự do hữu hạn sinh H với H là môđun có cơ sở gồm ít nhất n phần tử. 32 Khi đó tồn tại End ( )Rf H∈ sao cho fH B= . Theo định lí 2.20, End ( )R H chính qui, do đó có sao cho End ( )Rg∈ H fgf f= . Hệ quả là, fg là một lũy đẳng và fgH fH B= = hay B là hạng tử trực tiếp của G. □ Hệ quả 2.24. Gọi A là một môđun phải trên vành chính qui R và lấy n là một số nguyên dương. Nếu A có thể được sinh bởi n phần tử thì mọi môđun con hữu hạn sinh của A cũng vậy. Chứng minh. Chọn toàn cấu chiếu : Rf nR A→ . Nếu B là môđun con hữu hạn sinh của A thì tồn tại một môđun con hữu hạn sinh RC nR≤ sao cho ( )f C B= . Theo định lí 2.23, C là hạng tử trực tiếp của RnR . Vì vậy, C có thể được sinh bởi n phần tử và ( )B f C= cũng vậy. □ Ta xem xét kết quả đầu tiên của mục này: Dàn các môđun con hữu hạn sinh của một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. Định nghĩa 2.25. Cho A là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui R. Ta sử dụng kí hiệu ( )L A để chỉ tập tất cả môđun con hữu hạn sinh của A, sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ bao hàm. Chú ý rằng theo mệnh đề 1.28, ( )RL R chỉ bao gồm tất cả iđêan phải chính của R. Sử dụng những bổ đề sau, ta chứng tỏ rằng tập sắp thứ tự bộ phận ( )L A thật sự là dàn. Bổ đề 2.26. Cho A là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui R và B là R - môđun xạ ảnh. Lấy Hom ( , )Rf A B∈ . Nếu C là môđun con hữu hạn sinh của B thì 1( )f C− là hữu hạn sinh và là một hạng tử trực tiếp của A. Chứng minh. Theo định lí 2.23, C là một hạng tử trực tiếp của B, do đó /B C xạ ảnh. 33 Nếu là đồng cấu chiếu tự nhiên g /B B C→ thì theo một ứng dụng khác của 2.23, là một hạng tử trực tiếp của ( )gf A /B C , do đó xạ ảnh. ( )gf A Suy ra, 1( ) Kerf C− = gf B B là hạng tử trực tiếp của A và do đó hữu hạn sinh. □ Bổ đề 2.27. Cho A là môđun xạ ảnh trên vành chính qui. Nếu là các môđun con hữu hạn sinh của A thì 1, ... , nB 1 ... nB ∩ ∩ hữu hạn sinh. Chứng minh. Ta chỉ cần xét trường hợp 2n = . Nếu 1:f B → A là đồng cấu nhúng thì 11 2 2( )B B f B−∩ = hữu hạn sinh theo bổ đề 2.26. □ Định lí 2.28. Nếu A là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên một vành chính qui thì ( )L A là dàn modular có phần bù. Với , ( )B C L A∈ , ta có B C B C∨ = + và B C B C∧ = ∩ . Chứng minh. ■ Lấy , ( )B C L A∈ , dễ có ( )B C L A+ ∈ và B C B C+ = ∨ . Do ( )B C L A∩ ∈ (theo 2.27), ta cũng có ( )B C L A∩ ∈ và B C B C∩ = ∧ . Do đó ( )L A là một dàn. ■ Mặt khác, các phép toán trên dàn ( )L A là + và ∩ , ta suy ra ( )L A modular. ■ Lấy ( )B L A∈ , định lí 2.23 cho ta A B C= ⊕ với C A≤ , do đó C là phần bù của B trong ( )L A . Do vậy ( )L A là dàn có phần bù. □ Theo định lí 2.28, ( )L A là dàn modular có phần bù và ta có thể dùng ( )L A để nghiên cứu ( )TL T trong đó End ( )RT A= theo nghĩa có một đẳng cấu dàn ϕ giữa ( )TL T và ( )L A như sau: Mệnh đề 2.29. Cho A là môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui R và đặt . Khi đó: End ( )RT = A (a) Có một đẳng cấu dàn : ( ) ( )TL T L Aϕ → cho bởi qui luật ( )J JAϕ = . 34 Với ( )B L A∈ , ta có 1( ) { | ( ) }B f T f A Bϕ− = ∈ ≤ . (b) Với , ta có , ( TJ K L T∈ ) J K≅ nếu và chỉ nếu ( ) ( )J Kϕ ϕ≅ . (c) Với , ta có , ( TJ K L T∈ ) J K≺ nếu và chỉ nếu ( ) ( )J Kϕ ϕ≺ . Chứng minh. (a) Lấy , ta có ( )TJ L T∈ J eT= với lũy đẳng e T∈ , do đó ( )JA eA L A= ∈ . Vì vậy, qui luật ( )J JAϕ = cho ta một ánh xạ đơn điệu : ( ) ( )TL T L Aϕ → . Lấy ( )B L A∈ , đặt ( ) { | ( ) }B f T f A Bψ = ∈ ≤ . Do B eA= với lũy đẳng e T∈ ta có ( ) ( )TB eT L Tψ = ∈ . Vì vậy, ta có một ánh xạ đơn điệu : ( ) ( )TL A L Tψ → . Nếu e là một lũy đẳng bất kì trong T thì ( )eT eAϕ = và ( )eT eTψϕ = . Vì vậy ψϕ là ánh xạ đồng nhất trên ( )TL T . Ngược lại, ( )eA eTψ = và ( )eA eAϕψ = . Do vậy ϕ và ψ là các ánh xạ ngược của nhau, do đó đều là đẳng cấu dàn. (b) Tồn tại lũy đẳng , lũy đẳng e T∈ f T∈ sao cho J eT= và K fT= . Khi đó J K≅ nếu và chỉ nếu tồn tại phần tử x eTf∈ và sao cho y fT∈ e xy e= và yx f= . Điều này chỉ xảy ra nếu và chỉ nếu , nghĩa là, eA fA≅ ( ) ( )J Kϕ ϕ≅ . (c) Chứng minh tương tự (b). □ Riêng đối với dàn các iđêan phải và trái chính của R, ta có kết quả: Định lí 2.30. Nếu R là vành chính qui thì qui luật ( ) { | 0}J x R xJϕ = ∈ = định nghĩa một phản đẳng cấu dàn : ( ) ( )R RL R L Rϕ → . Phản đẳng cấu ngược cho bởi qui luật: . 1( ) { | 0}K x R Kxϕ− = ∈ = Chứng minh. Lấy ( )RJ L R∈ , đặt ( ) { | 0}J x R xJϕ = ∈ = . 35 Do J eR= với lũy đẳng e R∈ , ta có ( ) (1 ) ( )RJ R e L Rϕ = − ∈ . Vì vậy, ta có ánh xạ : ( ) ( )R RL R L Rϕ → . Bằng đối xứng, qui luật ( ) { | 0}K x R Kxψ = ∈ = định nghĩa ánh xạ : ( ) ( )R RL R L Rψ → . Dễ có ϕ và ψ đảo ngược thứ tự, nghĩa là nếu 'J J≤ trong ( )RL R thì ( ) ( ')J Jϕ ϕ≥ và tương tự cho ψ . Với lũy đẳng bất kì , ta có e R∈ ( ) (1eR R e)ϕ = − và ( )eR eRψϕ = . Vì vậy ψϕ là đồng nhất trên ( )RL R và bằng đối xứng, ϕψ là đồng nhất trên ( )RL R . Do vậy ϕ và ψ ngược nhau và chúng là các phản đẳng cấu dàn. □ Ta chuyển sang sự phân tích thành tổng trực tiếp của các môđun xạ ảnh trên vành chính qui. Kết quả quan trọng nhất thuộc về định lí 2.35 với nhiều áp dụng rộng rãi ở mục tiếp theo khi nghiên cứu phổ nguyên tố của vành chính qui Abel. Trước tiên ta phân tích mỗi môđun xạ ảnh với tập sinh đếm được thành tổng trực tiếp các môđun con cyclic. Mệnh đề 2.31. Cho A là môđun phải xạ ảnh với tập sinh đếm được trên vành chính qui R. Khi đó A là tổng trực tiếp các môđun con cyclic với mỗi hạng tử trực tiếp đẳng cấu với một iđêan phải chính của R. Chứng minh. Chọn các môđun con 0 1 20 ...A A A= ≤ ≤ ≤ của A sao cho nA A=∪ và 1/n nA A − cyclic với mọi 1, 2, ...n = Theo định lí 2.23, tồn tại phân tích 1n n nA A − B= ⊕ với mọi và ta suy ra rằng 1, 2, ...n = nA B= ⊕ . Dễ có cyclic với mọi nB 1, 2, ...n = 36 Bởi là hạng tử trực tiếp của A nên xạ ảnh và đẳng cấu với một iđêan phải chính của R. □ nB nB Hầu hết vấn đề về sự phân tích các môđun xạ ảnh trên vành chính qui bao gồm việc so sánh hai sự phân tích (khác nhau) của cùng một môđun. Theo định lí 2.33 chỉ ra, bất kì hai sự phân tích thành tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên một vành chính qui phải có thành phần đẳng cấu nhau. Để chứng minh kết quả này ta cần một bổ đề. Bổ đề 2.32. Cho 1, ... , nA A là các môđun xạ ảnh trên một vành chính qui và B là một môđun con hữu hạn sinh của 1 ... nA A⊕ ⊕ . Khi đó tồn tại sự phân tích: 1i i 2iA A A= ⊕ với mỗi sao cho 1, ... ,i = n 11 11... ...n nA A B A A⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ và 12 2... nA A B⊕ ⊕ ≅ . Chứng minh. ■ Trong trường hợp , có sự phân tích 1n = 1 11A B A= ⊕ và ta đặt 12A B= . ■ Với , giả sử bổ đề đúng với 1n > 1n − . Gọi và 1 1: ... np A A A⊕ ⊕ → 1 2: ... ...nq A A A An⊕ ⊕ → ⊕ ⊕ là các phép chiếu thông thường. Ta có là hữu hạn sinh và do đó xạ ảnh (định lí 2.23). Suy ra dãy khớp: ( )q B 10 (B A B q B→ ∩ → → ) ) chẻ ra. Do vậy 1( ) (B B A q B≅ ∩ ⊕ . Khi đó 12 1A B A= ∩ là hữu hạn sinh. Do đó 1 11 12A A A= ⊕ với 11A nào đó. Sử dụng giả thiết qui nạp trong trường hợp 1n − , ta thu được phân tích 1i i 2iA A A= ⊕ với sao cho 2, ... ,i = n 12 21... ( ) ...n nA A q B A A⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ và 22 2... ( )nA A q B⊕ ⊕ ≅ . Chú ý rằng 12 2 1... ( ) ( )nA A B A q B⊕ ⊕ ≅ ∩ ⊕ ≅ B . Quan sát 1( ) (1 )q B p B B A= − ≤ + , ta có: 2 21 1 1 21... ( ) ( ... ) ( ... )n n 1nA A q B A A B A A A⊕ ⊕ = + ⊕ ⊕ ≤ + + ⊕ ⊕ 37 và do vậy, 1 1 21... ( ... )n n1A A B A A A⊕ ⊕ = + + ⊕ ⊕ . Do 1 11 12 11A A A B A= ⊕ ≤ + ta được 1 11... ( ... )n n1A A B A A⊕ ⊕ = + ⊕ ⊕ . Đặt và chú ý rằng: 11 1( ... nF B A A= ∩ ⊕ ⊕ ) 11 1 21 1( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ... ) 0n nq F q B q A A q B A A≤ ∩ ⊕ ⊕ = ∩ ⊕ ⊕ = Khi đó , do đó 1KerF q≤ = A 121F B A A≤ ∩ = . Thêm vào đó: 11 1 11( ) ( ... )nF p F p A A A= ≤ ⊕ ⊕ = , do vậy 11 12 0F A A≤ ∩ = . Vì thế 1 11... ...n 1nA A B A A⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ và phép qui nạp thực hiện được. □ Định lí 2.33. Cho 1 1... ...n kA A B B⊕ ⊕ ≅ ⊕ ⊕ là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui. Khi đó tồn tại phân tích 1 ...i i ikA A A= ⊕ ⊕ với sao cho 1, ... ,i n= 1 ...j nj jA A B⊕ ⊕ ≅ với 1, ... ,j k= . Chứng minh. ■ Với , ta chỉ cần lấy 1k = 1i iA A= với mọi i. ■ Với : Có sự phân tích 2k = 1 1 2... nA A C C⊕ = ⊕ với ⊕ j j≅ 2i C B . Theo bổ đề 2.32, tồn tại phân tích 1i iA A A= ⊕ với mỗi i sao cho: 1 2 11 1... ...n nA C A A⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ 12 2 2 2... n và A A A C B⊕ ≅ ≅ ⊕ Hơn nữa, cả 11 1... nA A⊕ ⊕ và đều là phần bù của trong 1C 2C 1 ... nA A⊕ ⊕ nên ta được 11 1 1 1... nA A C B⊕ ⊕ ≅ ≅ . ■ Với , giả sử định lí đúng với 2k > 1k − . Theo trường hợp , tồn tại phân tích 2k = 1i i iA A C= ⊕ với mọi sao cho 1, ... ,i n= 11 1 1... nA A B⊕ ⊕ ≅ và 1 2... ...n kC C B B⊕ ⊕ ≅ ⊕ ⊕ . Theo giả thiết qui nạp, có phân tích 2 ...i iC A Aik= ⊕ ⊕ với sao cho 1, ... ,i = n 1 ...j nj jA A B⊕ ⊕ ≅ với 2, ... ,j k= . Do 1 1 ...i i i i ikA A C A A= ⊕ = ⊕ ⊕ , điều này hoàn thiện phép qui nạp. □ 38 Hệ quả 2.34. Cho 1 1... ...n kA A B B⊕ ⊕ ⊕ ⊕≺ là các môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên một vành chính qui. Khi đó: (a) Tồn tại phân tích 1 ...i i ikA A A= ⊕ ⊕ với sao cho 1, ... ,i = n 1 ...j nj jA A B⊕ ⊕ ≺ với 1, ... ,j k= . (b) Tồn tại phân tích 1 ...j j jnB B B= ⊕ ⊕ với 1, ... ,j k= sao cho 1 ...i i kiA B B≅ ⊕ ⊕ với 1, ... , 1i n= − và 1 ...n n knA B B⊕ ⊕≺ . Chứng minh. Ta phải có 1 1 1... ...n n kA A A B B+⊕ ⊕ ⊕ ≅ ⊕ ⊕ với 1nA + nào đó. (a) Theo định lí 2.33, tồn tại phân tích 1 ...i i ikA A A= ⊕ ⊕ với sao cho 1, ... , 1i n= + 1 1...j n j jA A +⊕ ⊕ ≅ B với 1, ... ,j k= . Suy ra 1 ...j nj jA A B⊕ ⊕ ≺ . (b) Lại theo định lí 2.33, nhưng vai trò của iA và jB được hoán đổi, ta có phân tích ' '1 1...j j j nB B B += ⊕ ⊕ với 1, ... ,j k= sao cho ' '1 ...i ki iB B⊕ ⊕ ≅ A với . 1, ... , 1i n= + Đặt 'ji jiB B= với mọi j và với mọi 1, ... , 1i n= − và đặt ' ' 1jn jn jnB B B += ⊕ với mọi j. □ Trên vành chính qui R, mệnh đề 2.31 chứng tỏ mỗi môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh đẳng cấu với tổng trực tiếp các iđêan phải chính của R. Hơn thế nữa, sử dụng tính chất đẳng cấu của định lí 2.33, ta có thể phân tích hai R - môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh bất kì thành các tổng trực tiếp sao cho các iđêan phải chính của R tương ứng giống nhau, như sau đây: Định lí 2.35. Cho 1, ... , nA A là các môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh trên một vành chính qui R. Khi đó tồn tại các lũy đẳng trực giao và các số 1, ... , ke e ∈R 39 nguyên không âm (với ijt 1, ... , ; 1, ... ,i n j k= = ) sao cho và mỗi 1 ... 1ke e+ + = 1 1( ) ... (i i ik k )A t e R t e R≅ ⊕ ⊕ . Chứng minh. Theo mệnh đề 2.31, R có các iđêan phải chính sao cho mỗi 1, ... , mJ J iA đẳng cấu với tổng trực tiếp các . iJ Với mỗi , ta cũng có iđêan phải chính iJ iK sao cho R i iR J K= ⊕ . Vì vậy, ta có m sự phân tích của môđun RR . Áp dụng định lí 2.33 1m − lần, ta thu được một phân tích 1 ...R kR L L= ⊕ ⊕ ( 2mk = ) sao cho mỗi (và mỗi iJ iK ) đẳng cấu với tổng trực tiếp của các / 2k jL . Do R chính qui nên tồn tại các lũy đẳng trực giao 1, ... , ke e R∈ sao cho 1 ... 1ke e+ + = và mỗi i ie R L= . Chú ý rằng iA đẳng cấu với tổng trực tiếp các jL (với các bản sao thích hợp), ta kết luận tồn tại các số nguyên không âm như đã yêu cầu. □ ijt Nếu A là môđun phải xạ ảnh trên vành chính qui R thì định lí 2.23 chứng tỏ rằng các môđun con hữu hạn sinh của A luôn có dạng , trong đó e là một lũy đẳng trong End eA ( )R A . Một cách tổng quát hơn, một họ hữu hạn bất kì các môđun con hữu hạn sinh độc lập của A có thể thu được bằng cách này bởi các lũy đẳng trực giao trong End ( )R A . Mệnh đề 2.36. Cho A là môđun phải xạ ảnh trên vành chính qui R và gọi là các môđun con hữu hạn sinh độc lập của A. Khi đó: 1, ... , nB B A(a) Tồn tại lũy đẳng End ( )Re∈ sao cho 1 ... neA B B= ⊕ ⊕ . (b) Với mọi lũy đẳng e như trong (a), tồn tại các lũy đẳng trực giao sao cho 1, ... , End ( )n Re e A∈ 1 ... ne e e+ + = và với mỗi . ie A B= i 1, ... ,i n= Chứng minh. 40 (a) Dễ dàng suy ra từ định lí 2.23: là các hạng tử trực tiếp của A và độc lập nhau nên cũng là hạng tử trực tiếp của A và do đó tồn tại lũy đẳng sao cho 1, ... , nB B B A 1 ... nB ⊕ ⊕ End ( )Re∈ 1 ... neA B B= ⊕ ⊕ . (b) Do 1(1 ) ... (1 )nA eA e A B B e A= ⊕ − = ⊕ ⊕ ⊕ − , tồn tại các lũy đẳng trực giao 1 1, ... , End ( )n Re e A+ ∈ sao cho i ie A B= với 1, ... ,i n= và . 1 (1 )ne A e A+ = − Chú ý rằng . Do 1 0nee + = 1 1(1 ) ...n ne A B B e+ A− = ⊕ ⊕ = ta được: 1 1... 1 (1 )n n ne e e e e+ ++ + = − = − =1 e J R . □ Trong trường hợp cụ thể, mệnh đề 2.36 chứng tỏ rằng nếu là các iđêan phải hữu hạn sinh độc lập trên một vành chính qui R thì tồn tại các lũy đẳng trực giao 1, ... , nJ 1, ... , ne e ∈ sao cho i ie R J= . Mệnh đề tương tự với 2.36 có thể không đúng đối với một dãy vô hạn các môđun con hữu hạn sinh độc lập như ví dụ sau đây chỉ ra. Đối với những trường hợp chú ý này, ta xây dựng một ví dụ về phía bên trái thì tốt hơn về phía bên phải. Ví dụ 2.37. Tồn tại một vành chính qui R với các iđêan trái chính độc lập sao cho không tồn tại các lũy đẳng trực giao với với mọi 0 1, , ..J J . i V 0 1, , ...e e R∈ iRe J= 0, 1, 2, ...i = Chứng minh. Chọn trường F, gọi V là một không gian vectơ trên F với cơ sở và đặt . Theo ví dụ 1.18, R là vành chính qui. 1 2{ , , ...}v v End ( )FR = Chọn sao cho 1 2, , ...p p R∈ i i ip v v= với mọi i và 0i jp v = với mọi i j . ≠ Do là các lũy đẳng trực giao, các iđêan trái chính là độc lập. ip 1 2, , .Rp Rp .. Định nghĩa p R∈ sao cho 1ipv v= với mọi i. Lấy ( i )f Rp Rp∈ ∩ ⊕ , ta có 1 1 ... n nf gp h p h p= = + + với . 1, , ... , ng h h R∈ Với mỗi ta có: 1, ... ,i = n 41 1 1 1 1 1 1 1( ... ) ( ... ) 0i i i n n i i n n n nh p v h p h p v gpv gv gpv h p h p v+ += + + = = = = + + = . Do đó và vì thế 0i ih p = 0f = . Do vậy, ( )iRp Rp 0∩ ⊕ = . Suy ra các iđêan trái chính độc lập. 1 2, , , .Rp Rp Rp .. Bây giờ, giả sử tồn tại các lũy đẳng trực giao 0 1, , ...e e R∈ sao cho 0Re Rp= và với i iRe Rp= 1, 2, ...i = Bởi vì với mọi 0 0 0i ip e Re e∈ = 1, 2, ...i = ta suy ra : mâu thuẫn với . Vì thế không tồn tại các lũy đẳng trực giao như vậy trong R. □ 0 0e = 0Re Rp= Ở mệnh đề tiếp theo, tương ứng với một dãy tăng dần các môđun con hữu hạn sinh của một môđun phải xạ ảnh trên vành chính qui là dãy đếm được các phần tử lũy đẳng trực giao theo nghĩa: Mệnh đề 2.38. Cho A là môđun phải xạ ảnh trên vành chính qui R và gọi là các môđun con hữu hạn sinh của A. 1 2, , ..A A . n ) (a) Nếu thì tồn tại các lũy đẳng trực giao sao cho với mọi n. 1 2 ...A A≤ ≤ 1 2, , ... End ( )Re e A∈ 1 ... ne A e A A⊕ ⊕ = (b) Nếu hoặc thì tồn tại các lũy đẳng giao hoán 1 2 ...A A≤ ≤ 1 2 ...A A≥ ≥ 1 2, , ... End (Rf f A∈ sao cho n nf A A= với mọi n. Chứng minh. Đặt End ( )RE A= . (a) Trước tiên chọn lũy đẳng 1e E∈ sao cho 1 1e A A= . Bởi , ta có 1e A A≤ 2 22 1 1(1 )A e A e A= ⊕ − . Mặt khác, 2A A B= ⊕ với B nào đó, do đó tồn tại lũy đẳng sao cho và (1 . 2e E∈ 2 1 2(1 )e A e A= − 2 1)e A e A B− = ⊕ Rõ ràng, 1 2 2 1 0e e e e= = và 1 2e A e A A2⊕ = . 42 Do , ta có thể dùng lập luận tương tự để tìm một lũy đẳng sao cho trực giao với 1 2( )e e A A+ = 2 23e E∈ 3e 1e e+ và 1 2 3( )e e A e A A3+ ⊕ = . Cứ lập luận tiếp tục theo lối trên, ta có điều phải chứng minh. (b) Nếu thì tồn tại 1 2 ...A A≤ ≤ ne E∈ như trong (a). Trong trường hợp này, đặt 1 ...n nf e= + + e với mọi n. Nếu ta chọn lũy đẳng 1 2 ...A A≥ ≥ 1f E∈ sao cho 1 1f A A= . Do 1 2A A= ⊕ B với B nào đó, tồn tại một lũy đẳng 2f E∈ sao cho 2 2f A A= và 2 1(1 ) (1 )f A B f A− = ⊕ − . Quan sát rằng , ta có 2 1(1 ) 0f f− = 2 1 2 1 2f f f f f= = . Tiếp tục lập luận trên. □ Hơn thế nữa, ứng với tập sinh đếm được của một môđun con của môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui ta cũng thu được dãy đếm được các phần tử lũy đẳng trực giao trong vành các tự đồng cấu của nó. Thật vậy: Mệnh đề 2.39. Cho A là môđun phải xạ ảnh trên vành chính qui R, gọi B là môđun con với tập sinh đếm được của A. Khi đó tồn tại các lũy đẳng trực giao sao cho 1 2, , ... End ( )Re e A∈ ne A B⊕ = và là môđun cyclic. ne A Chứng minh. Biểu diễn B như một hợp các dãy môđun con 0 1 20 .B B B ..= ≤ ≤ ≤ sao cho cyclic với 1/n nB B − 1, 2, ...n = Theo mệnh đề 2.38, tồn tại các lũy đẳng trực giao sao cho với 1 2, , ... End ( )Re e A∈ 1 ... n ne A e A B⊕ ⊕ = 1, 2, ...n = Rõ ràng và mỗi n ne A B B⊕ = =∪ 1 1/ ( ... ) /n n n ne A B e A e A B B− −1n≅ ⊕ ⊕ = là môđun cyclic. □ Hệ quả 2.40. Nếu A là môđun xạ ảnh trên vành chính qui thì mọi môđun con với tập sinh đếm được của A là xạ ảnh. 43 Trong trường hợp đặc biệt, theo hệ quả 2.40, mọi vành chính qui đếm được là phải và trái di truyền. Hệ quả 2.41. Vành chính qui R là nửa đơn nếu và chỉ nếu R không chứa dãy vô hạn các lũy đẳng trực giao khác 0. Chứng minh. ■ Điều kiện cần là hiển nhiên. ■ Ngược lại, nếu R không nửa đơn, tồn tại iđêan phải của R không là hạng tử trực tiếp của RR . Iđêan phải này không thể hữu hạn sinh, do đó R không Noether phải. Hệ quả là, R không thỏa điều kiện dây chuyền tăng trên các iđêan phải hữu hạn sinh và ta suy ra R có một iđêan phải J với tập sinh đếm được nhưng không hữu hạn sinh. Theo mệnh đề 2.39, tồn tại các lũy đẳng trực giao sao cho . Bởi J không hữu hạn sinh, có vô hạn các 1 2, , ...e e R∈ ne R J⊕ = 0ne ≠ , và ta có một dãy vô hạn các lũy đẳng trực giao khác 0: mâu thuẫn giả thiết. □ Trong trường hợp đặc biệt, hệ quả 2.41 chỉ ra rằng vành chính qui đồng thời Artin hay Noether phải (trái) là vành nửa đơn. Ở phần cuối của mục này, ta chuyển sang vấn đề các môđun xạ ảnh nâng và sự phân tích của chúng theo môđulô các iđêan hai phía trên một vành chính qui. Mệnh đề 2.42. Gọi J là iđêan hai phía trong vành chính qui R và A là ( / )R J - môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh (đếm được). Khi đó tồn tại một R - môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh (đếm được) B sao cho /B BJ A≅ . Chứng minh. Do mệnh đề 2.31, ta chỉ cần xem xét trường hợp A là cyclic. Khi đó ( / )A x R J≅ với /x R J∈ . 44 Đặt B xR= là R - môđun phải xạ ảnh cyclic. Theo định lí 2.9, là dẹt nên ta có ( / )R R J /B BJ A≅ . □ Ta cần sự tương ứng giữa các lũy đẳng trực giao trong vành thương và các lũy đẳng trực giao trong vành hệ tử ở nhiều phép chứng ._.