Số phức và ý nghĩa hình học trong chương trình Phổ thông

Tơi xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cơ: PGS. TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Cơng Khanh về những bài giảng didactic thú vị. Tơi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot và TS. Alain Birebent về những lời gĩp ý cho luận văn. Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, quí thầy cơ và các em học sinh trường THPT Gia Định; Khoa Tốn trường Đại học Nơng Lâm và các sinh viên ngành quản lý mơi trường khĩa 2010 đã luơn hỗ trợ và giúp đỡ tơi để tơi hồn thành tốt khĩa học và hồn thành luận văn. Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Khoa Học Cơng Nghệ và Sau Đại Học, khoa Tốn – Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tơi. Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn và các anh chị cùng lớp didactic tốn khĩa 18 đặc biệt là anh Đinh Quốc Khánh về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì những sự quan tâm và động viên giúp tơi hồn thành khĩa học. Lê Thị Huyền. DANH MỤC VIẾT TẮT SGK : Sách giáo khoa. SGV : Sách giáo viên. KNV : Kiểu nhiệm vụ. T1 : Giáo trình “A first Course in Complex Analysis” của Matthias Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton. T2 : Giáo trình “Introduction to complex analysis” của W W L Chen. T3 : giáo trình “Số phức” của TS Nguyễn Văn Đơng, giáo trình dành cho sinh viên sư phạm. [P] : Mathématiques 12ème, Ministère de l’Éducation et de la formation, Hanoi 2002. 1M : TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo dục. 2M : ĐỒN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục. CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN Tơi tên: Lê Thị Huyền Ngày sinh: 12/04/1985 Nơi sinh: Quảng Ngãi Là học viên cao học chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học Tốn khĩa: 18 Tơi đã bảo vệ luận văn thạc sĩ với đề tài: “Số phức và ý nghĩa hình học trong chương trình phổ thơng” tại hội đồng chấm luận văn ngày 20 tháng 01 năm 2010 Tơi đã sửa chữa và hồn chỉnh luận văn đúng với các gĩp ý, yêu cầu của Hội đồng và ủy viên nhận xét, gồm các ý chính như sau: + Phát biểu lại giả thuyết H3 thành: “Việc thiếu vắng định nghĩa hai số phức bằng nhau dưới dạng lượng giác gây khĩ khăn cho học sinh trong việc giải phương trình trong tập số phức bằng dạng lượng giác.” + Phát biểu lại Q4: “ Những khĩ khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường mắc phải khi học số phức? Những hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy học số phức” + Thêm một chiến lược trong phần phân tích thực nghiệm bài thực nghiệm số 3. + Sửa một số lỗi chính tả, một số phần diễn đạt ý…. Nay tơi xin báo cáo đã hồn thành sữa chữa luận văn như trên và đề nghị Hội đồng chấm luận văn, cán bộ hướng dẫn xác nhận. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 07 tháng 3 năm 2011 Học viên Lê Thị Huyền Xác nhận của cán bộ hướng dẫn Xác nhận của chủ tịch Hội đồng Nguyễn Chí Thành 1 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát: Khái niệm số phức được đưa vào cuối chương trình Tốn giải tích lớp 12, sau khi hồn thành chương Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng. Như ta đã biết, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực 2 0Ax Bx C+ + = mà biệt thức 0∆ < đều khơng cĩ nghiệm thực, sự phát triển của khoa học nĩi chung và tốn học nĩi riêng địi hỏi phải mở rộng tập hợp các số thực thành một tập hợp số mới gọi là tập hợp các số phức, trong đĩ các phép tính cộng và nhân các số phức với các tính chất tương tự phép tốn cộng và nhân các số thực sao cho các phương tình nĩi trên đều cĩ nghiệm. Ở chương trình phổ thơng, số phức đã xuất hiện từ rất lâu trong chương trình tốn ở nhiều nước trên thế giới. Tuy nhiên ở Việt Nam, đối tượng số phức được đưa vào giảng dạy trong chương trình SGK trước cải cách giáo dục và phân ban thí điểm năm 1998. Sau đĩ đến năm học 2008-2009 mới đưa vào. Như vậy cĩ một sự ngắt quãng. Tại sao cĩ sự khác biệt và ngắt quãng này? Vị trí và vai trị của khái niệm số phức trong chương trình phổ thơng Việt Nam giống và khác nhau như thế nào so với các nước khác? Ý nghĩa hình học của nĩ được đưa ra như thế nào? Những ghi nhận ban đầu nĩi trên đưa chúng tơi đến việc đặt ra các câu hỏi sau: Q1’: Trong lịch sử tốn học, khái niệm số phức đã được hình thành và phát triển như thế nào? Q2’: Trường số phức được xây dựng như thế nào ở bậc đại học? Q3’: Số phức được đưa vào chương trình tốn THPT với mục tiêu gì? Nĩ được tiếp cận ra sao? Ý nghĩa hình học của nĩ được đề cập như thế nào và các ứng dụng của nĩ ra sao? Cĩ sự tương đồng hay khác biệt nào giữa lịch sử và hệ thống dạy học? 2 Q4:’ Những ràng buộc của hệ thống dạy học ảnh hưởng như thế nào trên giáo viên và học sinh về khái niệm số phức? Q5’: Học sinh hiểu như thế nào về khái niệm số phức; những khĩ khăn học sinh thường gặp phải khi học tập những kiến thức về số phức; cĩ những hợp đồng nào hình thành trong giáo viên và học sinh khơng; cĩ những quan niệm sai lầm nào của học sinh trong khi học số phức? 2. Khung lý thuyết tham chiếu: Chúng tơi đặt mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Tốn. Cụ thể chúng tơi sử dụng thuyết nhân chủng học, hợp đồng dạy học với các khái niệm sau: 2.1. Chuyển đổi Didactic: Trong nhà trường phổ thơng, đối với một mơn học, người ta khơng thể dạy cho học sinh tồn bộ tri thức cĩ liên quan mà nhân loại đã tích lũy được trong lịch sử. Hơn nữa, để tri thức bộ mơn trở nên cĩ thể dạy được, cần phải lựa chọn, sắp xếp và tái cấu trúc lại nĩ theo một kết cấu logic, phục vụ cho mục tiêu dạy học xác định. Chuyển đổi didactic, nĩi khác hơn là quá trình biến đổi một tri thức bác học thành một đối tượng tri thức dạy học. Việc qui định các đối tượng cần dạy được thể hiện thơng qua chương trình, SGK, đề thi, tài liệu ơn thi của Bộ giáo dục, các tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK. Khái niệm này được vận dụng nhằm xác định khoảng cách giữa tri thức khoa học và tri thức cần dạy đối với khái niệm số phức. Nĩ cũng giúp nghiên cứu tính hợp pháp của tri thức cần dạy và giải thích được một số ràng buộc của thể chế dạy học ở trường phổ thơng đối với các kiến thức nêu trên. 2.2. Quan hệ thể chế Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I cĩ với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, cĩ vai trị gì và tồn tại ra sao … trong I. 3 2.3. Quan hệ cá nhân Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X cĩ với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, cĩ thể thao tác O ra sao? Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần đặt nĩ trong R(I, O). 2.4. Tổ chức tốn học: Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [ ], , ,T τ θ Θ , trong đĩ T là kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải T, θ là cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , cịn Θ là lý thuyết giải thích cho cơng nghệ θ . Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất tốn học được gọi là một tổ chức tốn học (TCTH). Việc phân tích các TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O, từ đĩ hiểu được quan hệ mà các nhân X duy trì với tri thức O. 2.5. Hợp đồng Didactic: Hợp đồng didactic là sự mơ hình hĩa các quyền lợi và nghĩa vụ tiềm ẩn của học sinh và giáo viên về các đối tượng tri thức tốn học. Thơng thường, nĩ là tập hợp các quy tắc phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên – học sinh và giáo viên – về một tri thức tốn học được giảng dạy. Hợp đồng didactic là qui tắc giải mã các hoạt động của quá trình học tập. Chỉ cĩ thể hiểu thấu ý nghĩa của những gì định hướng cách ứng xử của giáo viên và học sinh khi giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện đã quan sát bằng những khuơn khổ của hợp đồng. 3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Trong khuơn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, câu hỏi xuất phát đã được chúng tơi cụ thể hĩa như sau: 4 Q1: Trong lịch sử tốn học, khái niệm số phức được hình thành và phát triển như thế nào? Các mơ hình hình học của nĩ được xây dựng ra sao? Q2: Trường số phức được xây dựng như thế nào trên bậc đại học? Q3: Số phức được đưa vào chương trình trung học phổ thơng với mục tiêu gì? Nĩ được tiếp cận ra sao? Sự ràng buộc của thể chế cĩ ảnh hưởng như thế nào đến việc dạy và học của giáo viên và học sinh về khái niệm số phức? Q4: “ Những khĩ khăn, những quan niệm sai lầm nào học sinh thường mắc phải khi học số phức? Những hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy học số phức” 4. Mục đích và phương pháp nghiên cứu. Mục đích nghiên cứu của chúng tơi là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi đã đặt ra ở mục 2. Để đạt được mục đích đề ra, chúng tơi xác định phương pháp nghiên cứu như sau: - Tìm hiểu quá trình hình thành và phát triển của số phức trong lịch sử tốn học, trong đĩ làm rõ mối liên hệ giữa hình học và số phức. Số phức được xây dựng như thế nào, các mơ hình hình học của số phức được các nhà tốn học xây dựng như thế nào? - Tìm hiểu việc xây dựng số phức trong các giáo trình đại học. Cụ thể là giáo trình của Mỹ, Anh và Việt Nam. Từ đĩ làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế trong chương sau. - Phân tích chương trình và sách giáo khoa Song ngữ Pháp Việt về vấn đề số phức để thấy được mong muốn của thể chế đưa ra ở đây là gì? Từ đĩ so sánh với thể chế dạy học tốn ở Việt Nam về khái niệm số phức. - Xây dựng và tiến hành thực nghiệm đối với học sinh để cho phép tìm câu trả lời cho các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra. 5 5. Tổ chức của luận văn. Luận văn gồm 6 phần: Phần mở đầu, 4 chương và phần kết luận chung. Trong phần mở đầu, chúng tơi trình bày những ghi nhận ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu; mục đích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn. Chương 1, dành cho việc nghiên cứu khoa học luận; Vài nét về lịch sử xuất hiện số phức; các mơ hình học của số phức trong lịch sử. Chương 2, chúng tơi giới thiệu một số quan điểm về xây dựng số phức trong lịch sử và trong một số giáo trình của Mỹ, Anh và Việt Nam. Chương 3, chúng tơi phân tích chương trình và sách giáo khoa của hai thể chế Pháp (chương trình song ngữ) và Việt Nam về khái niệm số phức. Từ đĩ so sánh và đưa ra một số hợp đồng didactic, sai lầm của học sinh và các giả thuyết nghiên cứu. Chương 4, nghiên cứu thực nghiệm đối với học sinh nhằm kiểm chứng các hợp đồng didactic và giả thuyết của luận văn. Trong phần kết luận chung, chúng tối tĩm tắt các kết quả đã đạt được ở chương 1,2, 3 và 4 và nêu ra một số hướng mở ra từ luận văn. 6 Chương 1 NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA NĨ TRONG LỊCH SỬ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN. Mở đầu Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục đích trả lời câu hỏi Q1: “Trong lịch sử tốn học, khái niệm số phức được hình thành và phát triển như thế nào? Các mơ hình hình học của nĩ được xây dựng ra sao?”. Chúng tơi tiến hành nghiên cứu, phân tích và tổng hợp một số tài liệu về sự hình thành và phát triển của tốn học nĩi chung cũng như số phức nĩi riêng. Các tài liệu chúng tơi chọn làm tư liệu trong chương này gồm cĩ: 1. LÊ THỊ HỒI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trị của phân tích khoa học luận lịch sử tốn học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học mơn Tốn, Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, tp Hồ Chí Minh. 2. HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch sử tốn học, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, cơng ty sách thiết bị trường học thành phố HCM. 3. NGUYỄN CẢNH TỒN (1997), Tập cho học sinh giỏi tốn làm quen dần với nghiên cứu tốn học, Nhà xuất bản giáo dục. 4. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà tốn học Triết học, Nhà xuất bản đại học quốc gia thành phố HCM. 5. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử tốn học, Nhà xuất bản trẻ. 6. WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math through the Ages, a gentle history for teachers and others. 7. Remark on the history of Complex Numbers 8. FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company, London 1909. 7 1. Vài nét về lịch sử xuất hiện số phức Trong cuốn “The Great Art” xuất bản năm 1545, Cardano đưa ra vấn đề về việc tìm hai số sao cho tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng là 40. Theo những kiến thức lúc bấy giờ thì khơng tồn tại hai số đĩ nhưng Cardano chỉ ra rằng nếu bỏ qua sự vơ lý của các kí hiệu thì hai số cĩ dạng 5 15+ − và 5 15− − quả thực cĩ tổng là 10 và tích là 40. Nhưng ơng chỉ đưa ra một cách qua loa những dạng này như là một “trị chơi vơ nghĩa” của những “kẻ rỗi việc”. Trong một cuốn sách khác, ơng nĩi rằng 9 cũng là 3 hay -3 và 9− cũng là +3 hay -3 nhưng chúng là “số 3 khơng cĩ gì cả”. Trong một ví dụ đầu thế kỉ 17, Descartes lưu ý rằng khi tìm giao điểm của một đường trịn và một đường thẳng ta phải giải một phương trình bậc hai. Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai dẫn đến căn bậc hai của số âm khi đường thẳng trong thực tế khơng cắt đường trịn. Vì vậy trong hầu hết các phần, sự cảm nhận cĩ sự xuất hiện của nghiệm “khơng thể” hay “nghiệm ảo” thì đơn giản là câu trả lời cho phương trình khơng cĩ bất kì nghiệm nào. Thành tựu lớn nhất của Cardano là tìm cơng thức giải cho phương trình bậc ba. Cho một phương trình dạng 3 0x px q+ + = , cơng thức nghiệm của Cardano được viết lại bằng ngơn ngữ hiện đại là: 2 3 2 3 3 3 2 4 27 2 4 27 q q p q q p x = − + + + − − + . Cơng thức này dùng cho mọi phương trình bậc 3 (phương trình dạng 3 2 0x ax bx c+ + + = cĩ thể đưa về dạng trên bằng cách đặt 2 1 3 x z a= − . Khi đĩ phương trình trên trở thành 3 0z Bz C+ + = với 2 2 1 1 1 , 2 3 3 27 B c a C c ab a= − = − + ). Tuy nhiên, một vài trường hợp gặp phải rắc rối. Giả sử cho phương trình 3 15 4x x= + ta viết lại thành 3 15 4 0x x− − = , và áp dụng cơng thức trên, ta được 3 32 121 2 121x = + − + − − . 8 Dựa vào những điều đã biết khi giải phương trình bậc hai, dường như kết luận đúng nhất trong trường hợp này là phương trình vơ nghiệm. Nhưng rõ ràng 4x = là nghiệm của phương trình trên. Vậy kết luận trên là sai lầm. Cardano đã đưa ra vấn đề này nhưng hầu như khơng ai biết đến nĩ. Ơng đã đề cập hai lần trong những cuốn sách của mình Vào năm 1560, Bombelli đã đưa cách thốt khỏi những bối rối đĩ. Ơng tranh luận rằng, ta cĩ thể khai triển với loại “căn số mới” này. Để nĩi về căn bậc hai của số âm, ơng phát minh ra một ngơn ngữ mới lạ. Thay cho việc nĩi 2 121+ − là 2 cộng căn trừ 121, thì ơng nĩi rằng 2 cộng của trừ căn của 121. Do đĩ, “cộng của trừ” trở thành mật mã cho việc cộng căn bậc hai của số âm. Tất nhiên, trừ căn bậc hai như thế trở thành “trừ của trừ”. Vì 2 121 2 11 1+ − = + − nên ơng đề cập đến nĩ như “hai cộng của trừ 11” và giải thích qui luật của phép tốn như sau: “Cộng của trừ nhân cộng của trừ thành trừ Trừ của trừ nhân trừ của trừ là trừ. Cộng của trừ nhân trừ của trừ là cộng” Theo ngơn ngữ hiện đại, cĩ nghĩa: 1; 1 ; 1i i i i i i× = − − ×− = − ×− = Nhưng Bombelli khơng thực sự nghĩ về “căn số mới” này như là một số. Đúng hơn, ơng dường như đưa ra những qui tắc mà cho phép ơng chuyển những cơng thức phức tạp như 3 32 121 2 121+ − − + − về những biểu thức đơn giản hơn. Ơng đưa ra ( )32 1 2 121± − = ± − . Vì vậy, ( ) ( )3 32 121 2 121 2 1 2 1 4+ − + − − = + − + − − = . Đây là nghiệm của phương trình bậc ba, và bắt đầu theo hướng này, ơng tìm được nghiệm của phương trình bậc 3. Những cơng trình của Bombelli cũng chỉ ra rằng thỉnh thoảng việc tìm căn bậc hai của số âm cũng cần thiết cho việc tìm nghiệm thực của phương trình. Nĩi cách khác, ơng chỉ ra rằng sự xuất hiện của những biểu thức như thế khơng luơn là những tín hiệu cho những phương trình khơng thể giải được. Đây là dấu 9 hiệu đầu tiên nĩi rằng số phức là cơng cụ tốn học thực sự hữu ích. Nhưng những điều đĩ đều vấp phải sự phản đối của những định kiến cũ. Nữa thế kỷ sau đĩ, cả hai ơng Girard và Descartes biết rằng phương trình bậc n sẽ cĩ n nghiệm. Nĩ cho phép căn bậc hai đúng (căn bậc hai của số dương) và căn bậc hai sai (căn bậc hai của số âm) và nghiệm phức. Nĩ giúp tạo ra những cơng thức nghiệm tổng quát và đơn giản hơn. Nhưng những nghiệm phức vẫn thường được mơ tả như là “”ngụy biện”, “khơng thể”, “ảo” hay là “vơ nghĩa, vơ lý”. Vào đầu thế kỉ 18, Moivre đưa ra cơng thức nối tiếng sau ( ) nxinxxix n sincossincos +=+ (Cơng thức này ngầm ẩn trong các cơng trình của Moivre, mặc dù nĩ khơng được phát biểu dưới dạng này). Một năm sau đĩ, Leonhard Euler đã đưa ra ký hiệu i thay cho 1− và đi đến sự liên kết tất cả với nhau khi ơng phát minh ra cơng thức xixe ix sincos += . Khi π=x , ta được 1−=πie hay 01 =+πie , cơng thức này là một cơng thức quan trọng vì nĩ liên kết một số khái niệm quan trọng nhất trong tốn học. Giữa thế kỷ 18, người ta biết đến số phức như là một bước cần thiết để giải quyết các vấn đề về số thực. Nĩ đĩng vai trị quan trọng trong những thuyết về phương trình, và cĩ mối liên hệ sâu sắc giữa số phức, hàm lượng giác và dạng mũ. Nhưng cũng cịn rất nhiều vấn đề. Ví dụ, Euler làm rối tung những căn thức giống 2− . Căn của một số thực được định nghĩa: 2 cĩ nghĩa là căn bậc hai dương của 2. Vì số phức khơng dương, khơng âm nên khơng cĩ sự lựa chọn căn bậc hai nào tốt nhất. Do đĩ, Euler nĩi rằng: 62.323;22.2 =−−=−−−=−− nhưng ơng khơng chú ý rằng nếu ơng áp dụng cơng thức thứ 2 vào cơng thức thứ nhất thì kết quả khơng đúng. Mặc dù Euler sử dụng số phức rất nhiều, nhưng ơng khơng giải quyết lại những điều mà chúng ta đã nĩi ở trên. Trong cuốn Đại số sơ cấp, ơng viết: 10 “ Vì mọi số đều cĩ thể so sánh với 0, nhỏ hơn hay lớn hơn hay bằng 0. Do đĩ, ta khơng thể đưa căn bậc hai của một số âm vào đội ngũ “những số cĩ thể”. Trong cách này, những số đĩ được gọi là những đại lượng ảo vì nĩ tồn tại trong sự tưởng tượng. Mọi ký hiệu ...3,2;1 −−− là những số khơng thể, số ảo. Và chúng ta thừa nhận những số này khơng là gì cả, khơng lớn hơn hay nhỏ hơn bất cứ thứ gì. Điều đĩ cĩ nghĩa chúng là ảo hay khơng tồn tại. Nhưng dù sao đi nữa, những số này vẫn ở trong đầu chúng ta, chúng tồn tại trong sự tưởng tượng của chúng ta và chúng ta vẫn cĩ những ý tưởng về chúng”. Quan điểm của hầu hết các nhà tốn học thế kỷ 18 là “Số phức là những số tưởng tượng cĩ ích”. Gauss là người thực sự cĩ ý tưởng đầu tiên về số phức vào năm 1831 và dùng kí hiệu a+bi để chỉ số phức, trong đĩ a, b là các số thực, i là đơn vị ảo. Khi a = 0 thì a+bi = bi là số ảo; khi b = 0 thì a+bi = a là một số thực. Thế kỷ 19, bắt đầu xuất hiện những nhu cầu về số phức. Argand, một người bán sách ở Paris là người đầu tiên đưa ra đề nghị trong một xuất bản 1806. Nĩ làm rõ một số giả thuyết về những số tưởng tượng hay những số ảo kỳ quái bằng cách biểu diễn chúng bằng hình học. Các điểm với toạ độ của chúng cĩ sự tương đồng, ( ) iyxyx +֏, . Giả thuyết của Argand bị bác bỏ cho đến khi Gauss đề xuất nhiều ý tưởng tương tự vào 1931và chỉ ra rằng nĩ cĩ thể là một thành phần tốn học cĩ ích.Và Gauss cũng đề xuất các điều kiện cho số phức. Hai năm sau đĩ, Hamilton chỉ ra rằng, ta cĩ thể bắt đầu từ mặt phẳng để định nghĩa những cặp sắp thứ tự trong một cách thuận lợi và kết thúc là sự đồng nhất với số phức. Hamilton nĩ rằng số “hư cấu” i chỉ là một điểm (0, 1). Các nhà tốn học luơn tìm kiếm đề tài cho số phức bởi vì sau đĩ, chúng quá hữu ích đến nỗi mà chúng ta khĩ tránh tiếp xúc với nĩ. Euler và Gauss dã chỉ ra rằng ta cĩ thể sử dụng chúng để giải quyết những vấn đề về đại số và lý thuyết số. 11 Hamilton đã đúc kết những ứng dụng của số phức trong vật lý. Cauchy và Gauss cũng chỉ ra rằng cĩ thể phát minh ra 1 phương pháp tính ứng dụng cho số phức. “Phép tính phức” này đĩng vai trị to lớn, một phần bởi vì nĩ chứng minh dễ dàng hơn phép tính chỉ đơn thuần dựa vào số thực. Trong sổ tay của Riemann,Weierstrass và những người khác, số phức trở thành một cơng cụ hết sức mạnh mẽ, đĩng vai trị trung tâm trong tốn học thuần túy và tốn học ứng dụng. Thậm chí, Hadamard nĩi rằng “nếu chúng ta chỉ quan tâm về số thực và những câu trả lời về số thực, cách dễ nhất thường chứa đựng số phức”. Vì vậy, lý do mà chúng ta phải tin vào số phức là: “tại vì số phức rất hữu dụng” Nhận xét: Khái niệm số phức nảy sinh từ chính nhu cầu giải quyết các bài tốn của khoa học tốn học. Tuy nhiên, đĩ khơng phải là bài tốn bậc hai như chúng ta thường thấy trong chương trình tốn ở trường phổ thơng hay thậm chí trên bậc đại học mà là những bài tốn gắn liền với việc tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba. Tĩm lại, chính trong quá trình đi tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba mới là động cơ nảy sinh ra số phức. 2. Vấn đề biểu diễn hình học của số phức trong lịch sử. Từ thế kỷ 16, mầm mống của số phức đã xuất hiện. Việc mở rộng hệ thống tính tốn đại số đã địi hỏi phải đưa vào căn bậc hai của số âm với tư cách là trung gian của tính tốn. Tuy nhiên, đến tận thế kỷ 19, vấn đề hợp thức căn bậc hai của số âm vẫn luơn là một trong những nổi bận lịng của các nhà tốn học về phương diện triết học. Người ta gọi đây là những đại lượng ảo, xem nĩ là sản phẩm của trí tuệ thuần túy, là một ký hiệu hình thức, là đối tượng được lấy làm trung tâm cho các tính tốn đại số. Người ta luơn quan tâm đến câu hỏi: nĩ biểu diễn cho đối tượng nào của thực tế tốn học? 12 Việc tìm thấy nghĩa của đại lượng ảo được thực hiện trong phạm vi hình học thơng qua các cơng trình của nhiều nhà tốn học. 2.1. Mơ hình của Wallis: Năm 1673, Wallis đề nghị một hình ảnh phát họa cho các đại lượng ảo. Trong cuốn “Algebra” xuất bản năm 1685, ơng chính thức đưa ra một giải thích các đại lượng ảo: “Nếu ta giả sử rằng mặt rộng này là -1600 perches, nghĩa là 1600 perches mất, và nĩ cĩ dạng hình vuơng, thì liệu cĩ hay khơng cạnh của hình vuơng này? Nếu cĩ thì bằng bao nhiêu? Chắc chắn, cạnh này khơng thể là +40 hay -40, vì hình vuơng tương ứng cho 1600perches chứ khơng phải là -1600 perches. Đĩ phải là 1600− (căn giả định của một số âm), hay 10 16 , 20 4 , 40 1− − − ” Như vậy, Wallis tưởng tượng 40 1− như là cạnh của một hình vuơng diện tích là -1600 perches, nhưng trong hình ảnh hình học sơ khai này các đại lượng ảo vẫn tồn tại trong sự tưởng tượng. Tuy nhiên mơ hình của ơng thất bại vì ơng khơng đem lại một sự giải thích thỏa đáng cho phép nhân. Phương pháp của ơng là khái quát hĩa vào mặt phẳng mơ hình cộng của những cái được và mất đã được sử dụng để giải thích cho các đai lượng âm. Theo ngơn ngữ hiện đại thì ta cĩ thể nĩi rằng, việc mở rộng từ R vào C của Wallis cĩ cùng bản chất với việc mở rộng từ N vào Z. Thực ra, phép tương tự ở đây chỉ là sự tương tự bề ngồi, nĩ khơng tính đến cấu trúc nhân. Trong thực tế, mơ hình của những cái được và mất đã được dùng cho các đại lượng âm khơng chỉ vì nĩ mang lại nghĩa cho số âm mà trước hết nĩ tính đến cấu trúc cộng của Z. Thế nhưng ở đây cái liên quan đến tập hợp các số ảo khơng phải là cấu trúc cộng mà là cấu trúc nhân của nĩ. Mơ hình được và mất khơng cịn thích hợp ở đây nữa. 13 2.2. Mơ hình của Wessel: Khám phá đầu tiên về việc biểu diễn hình học các số phức dường như là cơng trình nghiên cứu của Wessel được cơng bố năm 1797. Wessel khơng trực tiếp tìm cách giải thích sự tồn tại của các số phức, mà theo cách nĩi của ơng là tìm cách biểu diễn các phương bằng giải tích. Ơng nhận thấy rằng, với kỹ thuật của đại số cổ điển thì một hướng chỉ cĩ thể được biến đổi thành hướng đối của nĩ, đến nổi mà khi đã cố định một phương thì người ta chỉ cĩ thể xét cùng lúc các đường cĩ hai hướng đối nhau. Để khắc phục các thiếu sĩt này, Wessel tìm cách mở rộng các tính tốn đại số trên mọi đường của khơng gian sao cho khơng làm thay đổi các qui tắc tính tốn quen thuộc. Để xây dựng một hệ thống tính tốn như vậy, đầu tiên ơng định nghĩa phép cộng hai đường. Trong định nghĩa của ơng về tổng hai đường, ta tìm thấy quan niệm (ngầm ẩn) về đại diện của vectơ. Ơng cũng lưu ý rằng thứ tự các đường trong phép cộng khơng quan trọng. Sau đĩ, ơng đưa vào phép nhân hai đường đồng phẳng. Tích hai đường đồng phẳng là một đường đồng phẳng cĩ chiều dài bằng tích các chiều dài và độ nghiêng bằng tổng các độ nghiêng của hai đường ban đầu. Theo qui ước của Wessel, một đường đơn vị được được cố định và kí hiệu là +1. Một đường đơn vị khác vuơng gĩc với nĩ và cĩ cùng điểm gốc được kí hiệu là δ+ . Ơng ký hiệu -1 là đơn vị đối của +1 và chỉ ra rằng với phép tốn đã được định nghĩa như trên thì 1 δ− = và ( ) ( ) 1δ δ+ + = − Như vậy, Wessel đã đưa ra được một cách giải thích hình học cho 1− . Ơng cũng chứng minh được rằng các bán kính của đường trịn đơn vị được viết ở dạng cos sinv vδ+ hay a bδ+ và người ta cĩ thể nhân, chia, nâng lên lũy thừa hửu tỷ những biểu thức như vậy. 14 2.3. Mơ hình của Argand Năm 1806 Jean Robert Argand (1768-1822) cơng bố Tiểu luận về một cách biểu diễn đại lượng ảo trong phép dựng hình học, trong đĩ ơng đưa ra cách biểu diễn hình học của phép cộng và phép nhân các số phức. Điểm xuất phát đầu tiên của Argand là đại số. Argand tìm cách biểu diễn trung bình nhân của hai đơn vị cĩ hướng đối nhau, đĩ là đại lượng x thỏa mãn tỉ lệ thức: 1 1 x x + = − . Hiển nhiên ta cĩ . 1x x− = − . Vì đại lượng x khơng thể âm, cũng khơng thể dương nên cần một hướng thứ 3 chứa x. Với tư tưởng này, ơng biểu diễn các số thực trên cùng một trục, sau đĩ xét trục vuơng gĩc với trục thứ nhất tại điểm gốc của nĩ. Trên trục thứ hai, hai đại lượng đơn vị theo thứ tự được biểu diễn bởi 1+ − và 1− − . Như vậy, nguyên lý biểu diễn hình học đã được đặt ra. Ơng cũng đưa vào khái niệm đường định hướng: “Đường định hướng được phân biệt với đường tuyệt đối- đường mà người ta chỉ cĩ thể xem xét chiều dài, khơng quan tâm gì về hướng” Để liên kết các đường định hướng với nhau, ơng chỉ ra rằng những đường song song với trục thực được viết là a± , những đường vuơng gĩc với nĩ được viết là 1b± − và cuối cùng thì mọi đường của mặt phẳng được biểu diễn bởi 1a b± ± − . Sau đĩ ơng thiết lập sự tương ứng giữa các số ảo với các phép dựng hình học được thực hiện trên các đường định hướng. Nhận xét Trong quá trình tìm nghiệm của phương trình bậc ba thì mầm mống của số phức đã bắt đầu xuất hiện. Tuy nhiên, nĩ chỉ là cách viết trung gian để tìm nghiệm của phương trình bậc 3. Chính bài tốn tìm nghiệm thực của phương trình bậc ba 15 mới dặt ra vấn đề là: mọi phương trình bậc ba cĩ nghiệm thực khơng? Nếu cĩ thì làm sao xác định được chúng. Người Hy Lạp cổ đặc biệt Euclide (330-275 trước cơng nguyên) đã tìm ra cách giải nhưng khơng thành cơng các bài tốn dẫn đến phương trình bậc ba. Như bài tốn “chia ba gĩc 060 ” dẫn tới phương trình 3 3 1x x= + . Việc giải phương trình này được thực hiện nhờ vào phép dựng hình học. Phép dựng hình học nghiệm thực của phương trình bậc ba đã thành cơng ở nhiều nhà tốn học, chẳng hạn Al – Haytham (965-1093) khi giải bài tốn của Archimede. Bài tốn này dẫn tới phương trình bậc ba dạng 3 2 2ax a b cx+ = và nghiệm được xác định từ giao của parabol 2x ay= và hyperbol ( )y c x ab− = . Nhưng biểu thức đại số của các nghiệm này vẫn chưa xuất hiện trong lời giải. Cũng chính trong quá trình tìm cách biểu diễn hình học của số phức mà hệ thống tính tốn vectơ đã được tạo ra. Kết luận Trong phân tích trên chúng ta thấy rõ nếu chỉ cĩ các số thực thì ta sẽ gặp bế tắc trong việc giải các phương trình bậc ba và việc giải quyết bế tắc này đã đưa đến việc phát minh ra số phức. Và cũng từ số phức người ta chứng minh được mọi phương trình bậc n đều cĩ n nghiệm. Đây là định lý mà ngày nay người ta gọi là “ Định lý cơ bản của Đại Số Học”. Hơn nữa việc phát minh ra số phức cịn thúc đẩy các lĩnh vực khác tiến thêm một bước nữa và cĩ những ngành Tốn học mới ra đời như: lý thuyết hàm số biến số phức… . Cĩ thể nĩi số phức là cầu nối giữa Đại Số và Giải Tích. 16 Chương 2 SỐ PHỨC DƯỚI GĨC ĐỘ MỘT TRI THỨC KHOA HỌC Mở đầu Nghiên cứu thực hiện ở chương này với mục đích trả lời cho câu hỏi Q2: “Trường số phức được xây dựng như thế nào trên bậc đại học?” . Trong chương này, chúng tơi giới thiệu một số quan điểm về xây dựng số phức trong lịch sử và các cách xây dựng trường số phức trên bậc đại học. Cụ thể, chúng tơi nghiên cứu ba giáo trình đại học khác nhau của ba nước Mỹ, Anh và Việt Nam. Để thực hiện chương này, chúng tơi đã sử dụng một số tài liệu tham khảo sau: 1. NGUYỄN CẢNH TỒN (1997), Tập cho học sinh giỏi tốn làm quen dần với nghiên cứu tốn học, Nhà xuất bản giáo dục. 2. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà tốn học Triết học, Nhà xuất bản đại học quốc gia thành phố HCM. 3. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử tốn học, Nhà xuất bản trẻ. 4. ĐỒN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Sách giáo viên, Nhà xuất bản giáo dục. 5. MATTHIAS BECK, GERALD MARCHESI, and DENNIS PIXTON, A First Course in Complex Analysis, Department of Mathematics San Francisco State University, San Francisco CA 94132. 6. W W L CHEN, Introduction to complex analysis, University of London. 7. NGUYỄN VĂN ĐƠNG, Số phức, Giáo trình dành cho sinh viên sư phạm, Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh. 1. Các quan điểm về xây dựng khái niệm số phức trong lịch sử. Năm 1799, Gauss đưa ra một cách chứng minh định lý cơ bản của Đại số học. Nhưng Gauss cĩ thĩi quen khơng hay vội vã cơng bố cơng trình của mình. Mãi 17 đến năm 1831 những ý tưởng của ơng về số phức mới ra cơng khai dưới dạng a bi+ ; a và b được đời sau gọi là số nguyên Gauss. Tuy cơng bố chậm nhưng trên thực tế, bạn bè cùng học trị của Gauss đều biết rằng những phát minh đĩ hình thành đã lâu trong đầu ĩc ơng và đã nằm khá lâu trên bàn viết của ơng rồi. Gauss đã ý tưởng về số phức dưới gĩc độ số học và sau đĩ biểu diễn số phức dưới dạng hình học Hamilton (1805 – 1865) là người Anh, ơng đã n._.ghiên cứu số phức. Ơng xem số phức như được cấu thành từ một cặp số thực (a,b) và trên cở sở đĩ Hamilton xây dựng phép cộng phép nhân : Phép cộng: ( ) ( ) ( )a,b a',b ' a a ', b b '+ = + + Phép nhân: ( ) ( ) ( )= − +a,b a',b ' aa' bb ',ab ' ba' Các số thực được đồng nhất với cặp số (a,0) và người ta cĩ : (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0).(1,0) + (b,0).(0,1) Cặp (1,0) gọi là đơn vị sơ cấp; cặp (0,1) gọi là đơn vị thứ cấp và từ đĩ người ta cĩ thể đồng nhất số phức (a,b) với a b 1+ − Đối với phương trình hai biến ( ) ( )2x,y 1,0= − cĩ nghiệm là cặp (0,1), Hamilton viết “trong lý thuyết về các số đơn giản (simple number) thì ký hiệu 1− là vơ lý, nhưng trong lý thuyết các cặp số thì ký hiệu 1− cĩ một ý nghĩa, nĩ chỉ ra một khai căn cĩ ý nghĩa hay một cặp thực. Trong lý thuyết này ta cĩ thể dùng ký hiệu mà trước đây ta cho là vơ lý”. Tuy đã đạt đến đỉnh khá cao của lý thuyết số phức nhưng Cauchy vẫn luơn ám ảnh bởi tính chất kỳ diệu của nĩ. Ơng khơng hài lịng về những cái gì ơng đã đạt được về số phức và lúc nào cũng tìm cách nghĩ ra một cái gì đĩ mới cho nĩ. Một trong lý thuyết mới đĩ là sự tương đương đại số. Cauchy viết: “Lý thuyết số phức ngày nay đã quá rõ ràng, trong sáng, dễ hiểu và sẽ thích hợp với mọi tầm cỡ hiểu 18 biết nếu chúng ta bớt được biểu thức ảo, khơng cịn chữ i nữa, và thay vào đĩ là một lượng thực” Cauchy phát biểu: hai đa thức là tương đương nghĩa là cùng biểu diễn một số phức nếu hiệu của chúng chia hết cho 2 1x + . Lý thuyết trường ra đời vào giữa thế kỷ thứ 19, sau khi việc cơng bố các cơng trình của các nhà bác học Pháp E.Galois và J. Larange về lý thuyết nhĩm và của nhà bác học Đức K. Gauss về lý thuyết số đã cho thấy rõ sự cần thiết khảo sát bản chất của chính hệ thống số. Nhà bác học Đức R. Dedekind đã đưa ra khái niệm tổng quát đầu tiên về trường, mà ơng gọi là “miền hữu tỷ”. Thuật ngữ tương ứng với “trường” xuất hiện lần đầu năm 1871 trong cơng trình “lý thuyết số” của nhà Bác học Đức P. Dirichlet 2. Các cách xây dựng số phức theo quan niệm lý thuyết trường. Trường là một khái niệm được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành của tốn học. Trường số phức cĩ thể được xây dựng bởi các cách sau:
Coi tập 2là tậpℂ ℝ các cặp số thực (tức mỗi số phức là cặp số thực (a;b) và hiển nhiên coi hai số phức (a,b), (a’,b’) bằng nhau nếu a = a’, b = b’) Định nghĩa phép tốn cộng và nhân số phức bởi : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ', ' ', ' , . ', ' ' ', ' ' a b a b a a b b a b a b aa bb ab ba + = + + = − + Chứng minh được rằng ℂ với hai phép tốn đĩ làm thành một trường. Đơn cấu trường: ( ),0a a →ℝ ℂ ֏ cho phép đồng nhất ℝ với ảnh của nĩ trong ℂ Đặt ( )0,1i = thì viết được ( ) ( ) ( ) ( ), ,0 ,0 . 0,1a b a b a bi= + = + Ở vế phải là phép cộng, nhân trên các số phức. 19
Coi ℂ là tập hợp các ma trận cấp hai dạng a b b a  −     (a, b là số thực) với phép tốn cộng nhân các ma trận cấp hai. Dễ thấy đĩ là một vành giao hốn, cĩ đơn vị và mọi ma trận khác 0 thuộc tập hợp ℂđều cĩ ma trận nghịch đảo trong ℂ , tức ℂ là một trường. Đồng nhất số thực a∈ℝ với ma trận 0 0 a a       trong ℂ và coi i là ma trận 0 1 1 0  −     thì viết được 0 0 0 1 0 0 1 0 a b a b a bi b a a b       − − = + = +              Chú ý: Khi a b b a  −     khác khơng, coi nĩ là ma trận của một biến đổi tuyến tính của 2ℝ thì đĩ là ma trận của một phép đồng dạng bảo tồn hướng, giữ bất động gốc O của 2ℝ (hợp thành của một phép quay gốc O (gĩc quay là một acgumen của số phức đang xét) với phép vị tự tâm O, hệ số vị tự 2 2a b+ (mơđun của số phức đĩ))
Nhìn theo quan điểm trường, cĩ thể coi C là vành thương [ ] 2 1R x X + của vành đa thức một ẩn X(trên trường số thực) chia cho iđêan sinh bởi đa thức 2 1X + . Do đa thức 2 1X + bất khả qui nên nĩ là một trường. 3. Số phức trong một giáo trình của Mỹ. Tài liệu mà chúng tơi chon nghiên cứu ở đây là “A first Course in Complex Analysis” của Matthias Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton. 3.1. Về xây dựng số phức Số phức cĩ thể được định nghĩa như một cặp số thực, ( ){ }, : ,C x y x y R= ∈ với phép cộng ( ) ( ) ( ), , ,x y a b x a y b+ = + + và phép nhân ( )( ) ( ), , ,x y a b xa yb xb ya= − + . 20 Định nghĩa hai phép tốn trên là “tốt” và C là mở rộng của R. Trong cách định nghĩa này, số phức cĩ dạng ( ),0x cĩ tính chất giống số thực, cĩ nghĩa ( ) ( ) ( ),0 ,0 ,0x y x y+ = + và ( ) ( ) ( ),0 ,0 . ,0x y x y= . Vì vậy chúng ta cĩ thể nghĩ rằng số thực là tập con của số phức, khi những phần tử phức cĩ thành phần thứ 2 bằng 0. T1 cũng đưa ra định lý “ ( ), ,.C + là một trường với 11 tính chất ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1. , , , : , , 2. , , , , , : , , , , , , x y a b C x y a b C x y a b c d C x y a b c d x y a b c d ∀ ∈ + ∈ ∀ ∈ + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. , , , : , , , , 4. , : , 0,0 , x y a b C x y a b a b x y x y C x y x y ∀ ∈ + = + ∀ ∈ + = ( ) ( ) ( ) ( )5. , : , , 0,0x y C x y x y∀ ∈ + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )6. , , , , , : , , , , . , , ,x y a b c d C x y c d a b x y a b x y c d∀ ∈ + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 7. , , , : , . , 8. , , , , , : , . , . , , . , . , x y a b C x y a b C x y a b c d C x y a b c d x y a b c d ∀ ∈ ∈ ∀ ∈ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) 2 2 2 2 9. , , , : , . , , . , 10. , : , 1,0 , 11. , \ 0,0 : , , 0 x y a b C x y a b a b x y x y C x y x y x y x y C x y x y x y ∀ ∈ = ∀ ∈ =  − ∀ ∈ = + +  Với cách xây dựng nêu trên, (C, +) là một nhĩm Aben với phần tử đơn vị là (0, 0) và { }( )\ 0,0 ,.C là một nhĩm Aben với phần tử đơn vị là (1, 0). Với cách xây dựng trên thì ( ) ( ) ( )0,1 0,1 1,0= − và ( )( ) ( ),0 , ,a x y ax ay= . Từ đĩ suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,0 0, ,0 . 1,0 ,0 . 0,1x y x y x y= + = + . Nếu coi ( ) ( ),0 , ,0x y là những số thực thì mọi số phức ( ),x y đều được viết dưới dạng tuyến tính của (1, 0) và (0, 1) với những hệ số thực x và y. (1, 0) được xem là số 1. Và nếu đặt cho (0, 1) là i thì số phức (x, y) cĩ thể được viết là .1 .x y i+ , gọn hơn là x iy+ . 21 x được gọi là phần thực của số phức x+iy, ký hiệu là Re(x+iy). y được gọi là phần ảo của số phức x+yi, ký hiệu là Im(x+yi). Và theo cách xây dựng trên thì 2 1i = − Nhận xét: - T1 xây dựng trường số phức theo quan điểm C là một cặp số thực. - Cách xây dựng số phức trong T1 khơng theo trật tự của lịch sử. - Số phức được đưa ra khơng phải là bước trung gian để giải phương trình bậc 3, mà được xây dựng là một trường mở rộng của trường số thực. - Đơn vị ảo i được đưa ra như là một ký hiệu ngắn gọn cho số (0, 1). 3.2. Về biểu diễn hình học Nếu xem ký hiệu (x, y) như một cặp số thực 2 chiều. Khi biểu diễn những vectơ này trong mặt phẳng 2R , ta gọi trục x là trục thực, trục y là trục ảo. Phép cộng mà ta định nghĩa cho số phức hồn tồn tương tự như phép cộng tọa độ trong vectơ. Nhưng phép nhân thì khơng cĩ tương tự, nhân hai số phức là một số phức, nhưng nhân vơ hướng hai vectơ thì là một số thực. Mơ đun của số phức x+yi được định nghĩa 2 2r x yi x y= + = + và argument của nĩ là số ϕ sao cho cosx r ϕ= và siny r ϕ= . Như vậy, mọi số phức đều cĩ vơ số argument và chúng hơn kém nhau bội của 2π . T1 cũng đưa ra ý nghĩa hình học của phép trừ và phép nhân hai số phức. Mơđun của hiệu hai số phức chính là khoảng cách của hai điểm ảnh của hai số phức đĩ trên mặt phẳng tọa độ. Ý nghĩa hình học của phép nhân được đưa ra dựa vào mơ đun và argument của số phức. 22 Nếu 1 1 1z x y i= + cĩ mơ đun và argument là 1 1,r ϕ ; 2 2 2z x y i= + cĩ mơ đun và argument là 2 2,r ϕ , thì khi đĩ ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 . cos sin cos sin os sin r r x y i x y i r i r r i r r r c i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + + = + + = + + + Như vậy tích của hai số phức cĩ mơ đun là 1 2.r r và cĩ một argument là 1 2ϕ ϕ+ . Về mặt ý nghĩa hình học, chúng ta nhân mơ đun của hai vec tơ biểu diễn hai số phức và cộng các argument của chúng. Người ta cịn ký hiệu dạng cos siniϕ ϕ+ là ie ϕ và ix yi re ϕ+ = Người ta cũng đưa vào định nghĩa dạng x+yi là dạng đại số và dạng . ir e ϕ là dạng mũ của số phức. φ1 M 1 M 2 M x y O φ2 φ1+φ2 1 2z z 23 Số phức liên hợp của z x iy= + là z x yi= − , hai điểm liên hợp cĩ điểm ảnh đối xứng nhau qua Ox. Nhận xét - T1 đưa ra rất tường minh và rõ ràng ý nghĩa hình học của các phép cộng trừ nhân số phức. - Khơng đưa ra định nghĩa tường minh mặt phẳng phức. - Biểu diễn hình học ở đây rất được chú ý và xem trọng. - Khơng đưa ra cơng thức căn bậc 2 và bậc n của số phức dựa vào cơng thức Moivre. - Dạng lượng giác của số phức được đưa ra chủ yếu để nêu lên ý nghĩa hình học của phép nhân chứ khơng cĩ kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến nĩ. 3.3. Các tổ chức tốn học trong T1 3.3.1. Kiểu nhiệm vụ T1: Tìm số phức (Xác định phần thực, phần ảo của số phức, tìm số phức liên hợp, mơ đun của số phức), gồm các kiểu nhiệm vụ con T1.1. Tìm tổng và hiệu các số phức. T1.2. Tìm tích hai số phức. T1.3. Tìm thương hai số phức. 3.3.2. Kiểu nhiệm vụ T2: Viết các số phức từ dạng lượng giác sang dạng đại số. 3.3.3. Kiểu nhiệm vụ T3: Viết số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác. 3.3.4. Kiểu nhiệm vụ T4: Giải phương trình lượng giác trong tập hợp số phức, gồm các kiểu nhiệm vụ con: T4.1: Giải phương trình bậc nhất. T4.2. Giải phương trình bậc hai. 24 T4.3. Giải phương trình bậc cao. 3.3.5. Kiểu nhiệm vụ T5: Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức. 4. Số phức trong một giáo trình của Anh Tài liệu mà chúng tơi chon nghiên cứu ở đây là “Introduction to complex analysis” của W W L Chen. 4.1. Về xây dựng số phức Trước khi xây dựng số phức, T2 đưa vào số i, đĩ là số thỏa 2 1 0i + = và cĩ thể kết hợp với mọi số thực bằng các phép tốn cộng và nhân trong trường số thực. Số cĩ dạng ( ),a bi a b R+ ∈ được gọi là số phức. và số cĩ dạng 0a i+ , a R∈ là số thực. Qui tắc cộng, trừ, nhân giống như việc cộng trừ nhân chia các đa phức (biến i) và lưu ý 2 1i = − . Phép chia hai số thức được đưa ra 2 2 2 2 a ib ac bd bc ad i c di c d c d + + − = + + + + Tập hợp { }: ,C z x yi x y R= = + ∈ được gọi là tập hợp số phức. số z x yi= − được gọi là số phức liên hợp của z. Nhận xét - Số phức được xây dựng ở T2 như sự mở rộng hệ thống số thực bằng cách thêm số i. với mục đích để mọi phương trình khơng cĩ nghiệm trong R đều giải được. - Đơn vị ảo đưa ra trước và số phức được xây dựng theo nĩ. - Cách xây dựng này đi theo tương tự tiến trình của lịch sử, tuy nhiên phương trình bậc hai khơng phải là động cơ trong lịch sử. 25 4.2. Về tọa độ cực và dạng mũ. Mơ đun và argument của số phức được đưa ra. Tuy nhiên T2 khơng đưa ra biễu diễn hình học của số phức. T2 cũng đưa ra cơng thức nhân chia hai số phức bằng dạng lượng giác và cơng thức Moivre trong trường hợp r=1. T2 đưa ra cơng thức căn bậc n của số phức ( ) ( )cos sin , , , 0z R i R Rα α α= + ∈ >ℝ là 2 2w cos sinn k kR i n n α π α π+ + = +    . 4.3. Các tổ chức tốn học của T2. 4.3.1. Kiểu nhiệm vụ T1: Chứng minh hệ thức liên quan đến số phức. 4.3.2. Kiểu nhiệm vụ T2: Đưa các biểu thức về dạng chứa x, y (đây là dạng tốn tương đồng với dạng tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức). 4.3.3. Kiểu nhiệm vụ T3: Giải phương trình. Nhận xét - T2 khơng đưa vào biển diễn hình học của số phức. - Ý nghĩa hình học của số phức khơng được thể hiện ở đây. Do đĩ, sẽ khơng tồn tại các kiểu nhiệm vụ liên quan đến biểu diễn hình học của số phức. 5. Số phức trong một giáo trình Việt Nam Tài liệu mà chúng tơi chọn nghiên cứu ở đây là giáo trình “Số phức” của TS Nguyễn Văn Đơng, giáo trình dành cho sinh viên sư phạm. 5.1. Xây dựng trường số phức Trường số phức C được T3 định nghĩa là ( )2 , ,.+ℝ . ( ){ }, : ,C x y x R y R= ∈ ∈ Với phép cộng và phép nhân được định nghĩa + ( ) ( )1 1 2 2, ,x y x y= nếu 1 2 1 2,x x y y= = + ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y+ = + + 26 + ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1, , ,x y x y x x y y x y x y= − + . Số phức được định nghĩa là một phần tử của C. T3 cũng đưa ra định nghĩa mặt phẳng phức: “Cĩ một tương ứng 1-1 giữa các điểm trong một mặt phẳng với số phức: ( ) ( ), ,M x y x y֏ . Số phức (x, y) cĩ thể đồng nhất với một điểm trong mặt phẳng tọa độ Descartes vuơng gĩc Oxy. Mặt phẳng với tương ứng như vậy gọi là mặt phẳng phức” Trường số thực là một trường con của trường số phức và số thực x đồng nhất với số phức ( ),0x . Đơn vị ảo là số phức cĩ dạng ( )0,1 và ký hiệu là i, theo định nghĩa phép nhân nĩi trên thì 2 1i = − . Dạng đại số của số phức từ nhận xét mỗi số phức ( ),x y là một tổ hợp tuyến tính của ( ) ( )1,0 , 0,1 . ( ) ( ) ( ), 1,0 0,1x y x y x iy= + = + . Cộng và nhân hai số phức giống như cộng, nhân hai đa thức ẩn i và lưu ý 2 1i = − . T3 cũng đưa ra một cách tương minh ý nghĩa hình học của các phép tốn: “Mơ đun của số phức z x iy= + được đưa ra là khoảng cách từ điểm ( ),M x y đến gốc tọa đơ O(0, 0) trong mặt phẳng phức. ( )1 2 1 2,z z z zρ = − là khoảng cách giữa hai số 1 2,z z ” Nhận xét - Đơn vị ảo i được đưa ra sau khi giới thiệu số phức, là một số phức với thành phần đầu bằng 0. - Tập hợp số phức được xem là một trường ( )2 , ,R + × , được xây dựng khơng tuân theo tiến trình của lịch sử. 27 5.2. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức Dạng lượng giác của số phức được đưa ra nhờ biểu diễn điểm M qua tọa độ cực của điểm M trong mặt phẳng phức. Cĩ nghĩa là: “Trong mặt phẳng phức vị trí của điểm M ứng với số phức khác khơng z = x + yi, cịn cĩ thể biểu diễn qua tọa độ cực r vàϕ , ở đây r z OM= = , ϕ là gĩc lượng giác từ tia Ox đến tia OM hay ( )Ox, OMϕ = . Ta gọi ϕ là argument của z và ký hiệu là argz. Cĩ rất nhiều giá trị ϕ ứng với một số phức. Các giá trị này cĩ thể được viết 0 2kϕ ϕ π= + , k nguyên, với 0ϕ là một giá trị đặc biệt nào đĩ của argz. Nếu chọn 0 2ϕ π≤ < sao cho ( )( )cos sin 1z r iϕ ϕ= + thì ϕ được gọi là argument chính của z và dạng (1) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.” Như vậy, mỗi số phức z chỉ cĩ duy nhất một dạng lượng giác, tùy vào argument chính của nĩ. Cách xây dựng dựng lượng giác này khác với 2 giáo trình trên. Dạng mũ ie ϕ được đưa vào như là một cách viết ngắn gọn của dạng lượng giác cos siniϕ ϕ+ . Giáo trình cũng đưa ra cơng thức tổng quát cho căn bậc n của số phức z. Đĩ là n giá trị khác nhau ( )2 ; 0,1,..., 1 i k nn e k n θ π ρ +   = −     , với zρ = . 5.3. Các tổ chức tốn học trong T3. 5.3.1. Kiểu nhiệm vụ T1: Xác định các “yếu tố” của số phức. 5.3.2. Kiểu nhiệm vụ T2: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác. 5.3.3. Kiểu nhiệm vụ T3: Biểu diễn số phức dưới dạng mũ. 5.3.4. Kiểu nhiệm vụ T4: Tìm các số thực x, y thỏa mãn phương trình chứa đơn vị ảo i. 28 5.3.5. Kiểu nhiệm vụ T5: Giải phương trình trong C (tìm số phức thỏa phương trình cho trước). 5.3.6. Kiểu nhiệm vụ T6: Giải thích ý nghĩa hình học của các hệ thức chứa số phức. 5.3.7. Kiểu nhiệm vụ T7: Chứng minh các hệ thức liên quan đến số phức. 29 Chương 3 NGHIÊN CỨU SỐ PHỨC TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC Phần A: Số phức trong thể chế Pháp (chương trình song ngữ) 1. Về định nghĩa và biểu diễn số phức. 1.1. Định nghĩa. Tập hợp số phức C là tập mở rộng của tập số thực với phép nhân và phép cộng cĩ tính chất tương tự, và thêm phần tử i sao cho 12 −=i . Mỗi phần tử thuộc C cĩ dạng ( )Rbabiaz ∈+= , . Ký hiệu phần thực, phần ảo Re(z), Im(z) được trình bày một cách tường minh trong SGK. 1.2. Biểu diễn số phức. Mặt phẳng phức là mặt phẳng cĩ định hướng ( )21 ,, eeO . Số phức z = x+iy cĩ ảnh là điểm M(x, y) hay M(z) hay vectơ ( )yxu , . Hai số phức bằng nhau nếu chúng cĩ cùng điểm hay vectơ biểu diễn trên mặt phẳng phức. 2. Về các phép tốn trên số phức. 2.1. Các phép tốn. Phép cộng, trừ nhân hai số phức được định nghĩa như phép cộng trừ nhân chia hai đa thức biến i với 12 −=i . [P] đưa ra định nghĩa phần tử đối của z =a+ib là –z=-a-ib và phần tử nghịch đảo của một số phức khác 0. Phép chia một số phức với một số phức khác 0 chính là phép nhân số phức này với nghịch đảo của số phức kia. 30 2.2. Ý nghĩa hình học của các phép tốn. Tổng của hai vectơ cĩ biểu diễn hình học là vectơ tổng của hai vectơ biểu diễn hai số phức đĩ. Phép biến đổi trên mặt phẳng phức từ ( ) ( )α+zMzM '֏ là một phép tịnh tiến theo vectơ u , là vectơ biểu diễn của số phức α • [P] đưa ra nhận xét - Tập C với hai phép tốn cộng và nhân ở trên thỏa mãn tính giao hốn, kết hợp đối với phép cộng, tính chất phân phối đối của phép nhân đối với phép cộng; mọi phần tử thuộc C đều cĩ phần tử đối và mọi phần tử thuộc *C đều cĩ phần tử nghịch đảo. Với những tính chất như trên, ( )×+,,C là một trường giao hốn. 3. Số phức liên hợp, mơ đun và ý nghĩa hình học. - SGK đưa ra các phép biến hình trong mặt phẳng phức liên quan đến ảnh của z, zzz −− ,, . Đĩ là ( )zMzM OxS 1)( → ; ( ) ( )zMzM OS −→ ' . - Mơ đun của số phức z là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn của nĩ trong mặt phẳng phức hay độ dài của vectơ biểu diễn nĩ. - [P] cịn đưa ra các phép tốn trên các số phức liên hợp ' ' ; ; . ' . ' ; nnz z z z z z z z z z z z+ = + − = − = = và ( )1 1 ; ' 0 ' '' ' z z z z zz z    = = ≠        . - Các phép tốn và tính chất của mơđun được [P] đưa ra như sau: + 0 0z z= ⇔ = + ' 'z z z z+ ≤ + + . ' 'z z z z= 31 + 1 1 ' 'z z = và ' ' zz z z = với ( )' 0z ≠ - Mơđun của hiệu AB zz − là khoảng cách giữa hai điểm ảnh của chúng trên mặt phẳng phức, cĩ nghĩa ABzz AB =− . Tính chất này được đưa vào một cách tường minh trong thể chế Pháp. 4. Argument và dạng lượng giác của số phức. 4.1. Về argument - Argument của z, ký hiệu arg(z) là gĩc lượng giác ( )OMe ,1 . - Nếu θ là một argument của số phức z thì mọi argument cĩ dạng πθ 2k+ , và kí hiệu ( ) ( )πθ 2arg =z . Ở đây, ký hiệu argument cĩ thêm modulo π2 , khác với thể chế VN. Điều này giúp học sinh hiểu rõ hơn về agument của số phức. ( thơng thường học sinh nghĩ argument của z chỉ là θ mà thơi). - Các phép tốn trên argument cũng được [P] đưa ra một cách tường minh như sau: + arg(z.z’) = arg(z) + arg(z’). + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1arg arg 2 ;arg arg arg ' 2 ' z z z z z z π π   = − = −        + ( ) ( ) ( )arg arg 2nz n z π= - Trong [P] cĩ nêu sự tương quan giữa argument của các số phức z, zzz −− ;; . Điều này khơng cĩ trong thể chế Việt Nam. - Argument của một số phức cĩ thể lấy số gần đúng. Điều này trong thể chế Việt Nam hồn tồn vắng bĩng. 32 - Phép biến đổi trên mặt phẳng phức biến M(z) thành M’(az) với αieka .= được mơ tả bởi sơ đồ sau: ( ) ( ) ( ) ( ), ,1( ) 'r O h O kiM z M e z M azα α→ → . Phép biến đổi M thành M’ là tích của phép quay tâm O, gĩc quay α với phép vị tự tâm O tỉ số k. 4.2. Về dạng lượng giác - Trong thể chế Pháp, cĩ định nghĩa hai số phức bằng nhau dưới dạng lượng giác. Đĩ là nếu mơ đun và argument của chúng bằng nhau. - Sự chuyển đổi từ dạng lượng giác sang dạng đại số được cho bởi sơ đồ sau: Trong ví dụ của SGK Pháp, kiểu nhiệm vụ chuyển từ dạng đại số sang dạng lượng giác chủ yếu dựa vào hình vẽ. Từ hình vẽ, ta cĩ thể suy ra argument và độ lớn của số phức, từ đĩ suy ra dạng lượng giác của số phức. Trong [P] cịn cĩ KNV chuyển từ dạng chứa các hàm số lượng giác sang dạng lượng giác ví dụ như ( )αα sincos2 i+− khơng phải là dạng lượng giác, được chuyển thành dạng lượng giác ( ) ( )( )παπα +++ sincos2 i . - Phép nhân và phép chia số phức dưới dạng lượng giác được đưa vào. Nhân hai số phức cĩ nghĩa là tìm tích mơ đun và tổng argument; chia hai số phức tức là tìm thương các mơ đun và hiệu các argument của chúng. - Giải phương trình trong tập hợp số phức bằng phương pháp sử dụng lượng giác được trình bày một cách tường minh thơng qua một ví dụ được trình bày trong [P]. Kỷ thuật giải này vắng bĩng hồn tồn trong thể chế Việt Nam. 5. Dạng mũ của số phức, cơng thức Moivre và cơng thức Euler. - Số phức dạng αα sincos i+ được ký hiệu gọn hơn là αie . Dạng z = x+yi  → ==+== r y r x yxzr αα sin;cos;22 dạng ( )αα sincos irz += 33 - [P] đưa vào hai cơng thức Moivre là ( ) ( ) ( )αααα nini n sincossincos +=+ và ( ) ( ) ( )αααα nini n sincossincos −=− . Cơng thức thứ 2 khơng được đưa vào tường minh trong thể chế VN. - Cơng thức Euler cũng được đưa ra: 2 sin; 2 cos αααα αα iiii eeee −− − = + = Ứng dụng của cơng thức Euler và dạng mũ được [P] trình bày khá nhiều. Thể chế VN hồn tồn vắng bĩng chúng. Do đĩ các KNV liên quan đến chúng đều khơng được đưa vào. 6. Căn bậc hai và phương trình trong tập hợp số phức. Trong thể chế Pháp, SGK chỉ đưa vào căn bậc hai của số thực âm và số thực dương. Căn bậc hai của số phức dạng z = a+bi khơng được đưa vào. Điều này kéo theo phương trình bậc hai được đưa vào [P] chỉ được giới hạn cĩ hệ số thực mà thơi. Thế nhưng đối với phương trình bậc ba thì các hệ số cĩ thể là số phức. Tuy nhiên, khi đưa về phương trình bậc hai thì cũng chỉ cĩ hệ số là số thực mà thơi. 7. Các tổ chức tốn học liên quan đến số phức. 7.1. Nhĩm 1: Viết dưới dạng đại số của một số phức. Trong nhĩm 1, cĩ các kiểu nhiệm vụ: T1: “Tìm tổng của hai số phức”. T2: “Tìm hiệu của hai số phức”. T3: “Tìm tích của hai số phức” T4: “Tìm thương của hai số phức” T5: “Tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức phức” 7.2. Nhĩm 2: Xác định liên hợp của một số phức. Trong nhĩm 2, cĩ các kiểu nhiệm vụ. 34 T1: “Tìm tổng của hai số phức”. T2: “Tìm hiệu của hai số phức”. T3: “Tìm tích của hai số phức” T4: “Tìm thương của hai số phức” T5: “Tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức phức” Yêu cầu của các bài tốn thuộc nhĩm này bao gồm việc đưa về dạng đại số của 1 số phức. Sau đĩ mới tìm số phức liên hợp. 7.3. Nhĩm 3: Giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất. Các kiểu nhiệm vụ gồm: T5: “Giải phương trình bậc nhất” T6: “Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn”. 7.4. Nhĩm 4: Biểu diễn hình học của điểm, của vectơ trong mặt phẳng phức. Gồm cĩ KNV T7: “Biểu diễn hình học của điểm, của vectơ trong mặt phẳng phức” 7.5. Nhĩm 5: Tính mơđun của một số phức. Trong nhĩm 5, cĩ các KNV T1: “Tìm tổng của hai số phức”. T2: “Tìm hiệu của hai số phức”. T3: “Tìm tích của hai số phức” T4: “Tìm thương của hai số phức” T5: “Tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức phức” Yêu cầu của các bài tốn thuộc nhĩm này bao gồm việc đưa về dạng đại số của 1 số phức. Sau đĩ mới tìm mơđun của nĩ. 35 7.6. Nhĩm 6: Tìm argurment của một số phức (kể cả tính gần đúng). T8: “Dựa vào đồ thị, hãy xác định argurment của số phức cĩ điểm biểu diễn cho trước trên mặt phẳng phức”. T9: “Xác định argurment của số phức cho dưới dạng đại số”. 7.7. Nhĩm 7: Viết số phức dưới dạng lượng giác. T10: “Viết số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác”. 7.8. Nhĩm 8: Sử dụng dạng lượng giác để tính các biểu thức đại số. Gồm các KNV: T11: “Sử dụng dạng lượng giác để tính lũy thừa bậc cao của một biểu thức phức”. T12: “Sử dụng dạng lượng giác để giải phương trình bậc cao” 7.9. Nhĩm 9: Viết số phức dưới dạng mũ. T13: “Viết số phức từ dạng đại số sang dạng mũ”. 7.10. Nhĩm 10: Giải phương trình bậc hai trong C với hệ số thực. T14: “Giải phương trình bậc hai trong C” 7.11. Nhĩm 11: Xác định và biểu diễn tập hợp điểm M thỏa điều kiện cho trước. T15: “Xác định và biểu diễn tập hợp điểm M thỏa điều kiện cho trước”. Các dạng tốn trong KNV này thường liên quan đến: mơ đun, argurment, liên hợp… 7.12. Nhĩm 12: Xác định phép biến hình biến M(z) thành M’(z’). T16: “Xác định phép biến hình biến M(z) thành M’(z’)” 36 Nhận xét - Thể chế Pháp rất chú trọng đến ý nghĩa hình học của số phức, các phép tốn trên số phức thơng qua khá nhiều kiểu nhiệm vụ cĩ kỹ thuật giải là dùng hình học. - Cách xây dựng trường số phức của thể chế Pháp xây dựng là vết của quan điểm mở rộng trường R của đại học. - Dạng mũ của số phức cũng được đưa vào chương trình. 37 Phần B: Số phức trong thể chế Việt Nam 1. Phân tích chương trình Chương số phức được đưa vào cuối chương trình tốn 12. Đây là một chương mới được đưa vào giảng dạy ở bậc trung học phổ thơng. Mục tiêu của chương - Kiến thức Giúp học sinh hiểu được: + Dạng đại số, biểu diễn hình học của số phức, phép tốn cộng trừ nhân chia số phức dưới dạng đại số, mơ đun của số phức, số phức liên hợp và căn bậc hai của số phức. + Dạng lượng giác, acgumen của số phức, phép nhân, chia hai số phức dưới dạng lượng giác, cơng thức Moivre. - Kỹ năng Giúp học sinh thành thạo các kĩ năng: + Biểu diễn hình học số phức. + Thực hiện phép cộng trừ, nhân chia số phức dưới dạng đại số, phép nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. + Biết chuyển đổi được dạng đại số của số phức sang dạng lượng giác. + Biết cách tìm căn bậc hai của số phức dưới dạng đại số và dạng lượng giác và áp dụng để giải phương trình bậc hai. + Ứng dụng được cơng thức Moivre vào một số tính tốn lượng giác. Cấu trúc chương trình Nội dung gồm 3 bài, giảng dạy trong 13 tiết, phân phối như sau 38 Bài 1: Số phức 4 tiết. Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai.3 tiết. Bài 3: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng , 3 tiết. Nhận xét - Số phức được đưa vào cuối chương trình tốn phổ thơng nhằm kết thúc việc giới thiệu hệ thống các tập hợp số cho học sinh : số tự nhiên, số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ, số thực và số phức. - Mục tiêu chính của chương là làm cho học sinh thấy nhu cầu mở rộng tập hợp số thực thành tập hợp số phức và tính tốn thành thạo số phức. - Biểu diễn hình học của số phức và ý nghĩa hình học của các khái niệm liên quan đến các phép tốn về số phức cũng được SGK chú trọng nhằm giúp học sinh hiểu rõ hơn về tập hợp số phức và các khái niệm liên quan. 2. Phân tích sách giáo khoa. 2.1. Về định nghĩa và các phép tốn trên tập hợp số phức. Tập hợp Số phức được 2M trình bày là sự mở rộng tập hợp các số thực, trong đĩ các phép cộng và nhân với tính chất tương tự phép tốn cộng và nhân các số thực sao cho các phương trình bậc hai hệ số thực cĩ biệt số 0∆ < đều cĩ nghiệm. Muốn thế, để mọi phương trình bậc hai đều cĩ nghiệm, người ta đưa ra số i sao cho bình phương của nĩ bằng -1. Khi đĩ, i là nghiệm của phương trình 2 1 0x + = và 2i là nghiệm của phương trình 2 4 0x + = … Định nghĩa số phức được 2M đưa ra như sau: “ Một số phức là một biểu thức dưới dạng a+bi, trong đĩ a và b là những số thực và số i thỏa mãn 2 1i = − . Kí hiệu số phức đĩ là z và viết z a bi= + . i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z a bi= + . 39 Tập hợp số phức được kí hiệu là C”. Khái niệm số phức được 2M mơ tả cũng gồm hai thành phần, phần thực và phần ảo được liên kết bằng dấu “+”, trong phần ảo gồm một số thực liên kết với số i bằng dấu “.”. 2M đưa ra chú ý: “ Số phức 0z a i= + cĩ phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là 0a i a R C+ = ∈ ⊂ Số phức cĩ phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (cịn gọi là số thuần ảo): ( )0 ; 0 1 1z bi bi b R i i i= + = ∈ = + = Số 0 0 0i= + vừa là số thực, vừa là số ảo.” 2M khơng đưa ra tường minh kí hiệu Rez, Imz để chỉ phần thực, phần ảo của số phức z theo giải thích là cho đỡ nặng nề. SGK cũng đưa ra định nghĩa hai số phức bằng nhau nếu chúng cĩ phần thực và phần ảo bằng nhau. Hoạt động H1 : « Khi nào số phức ( ),a bi a b R+ ∈ bằng 0 » sẽ làm cho học sinh hiểu rõ hơn rằng, số 0 vừa được xem là số thực (phần ảo bằng 0), vừa được xem là số ảo (phần thực bằng 0). Ngồi ra, từ hoạt động này học sinh sẽ suy ra một tính chất mà sẽ sử dụng rất nhiều về sau là ( ) 0 0 , 0 a z a bi a b R b = = + = ∈ ⇔  = Từ sự bằng nhau của hai số phức này, ta nhận thấy: mỗi cặp số thực (a ; b) xác định một số phức duy nhất và ngược lại mỗi số phức z a bi= + cho ta một cặp số (a ; b) duy nhất. Chính điều này là cơ sở của việc biểu diễn hình học của số phức. 2M đưa ra như sau: “ Đối với các số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức ( ),z a bi a b R= + ∈ được biểu diễn bởi M cĩ tọa độ (a ; b). Ngược lại, 40 rõ ràng mỗi điểm M(a ; b) biểu diễn một số phức z a bi= + . Ta cịn viết M(a+bi) hay M(z)”. Ở đây, 2M khơng nêu lên một cách tường minh ánh xạ song ánh giữa tập hợp các số phức và mặt phẳng phức, song ánh này được ngầm ẩn thơng qua mối tương quan 1-1 giữa ba đối tượng z = a + bi ↔ (a; b) ↔ M(a; b), mà 2M đưa ra. Nếu như ở 1M điểm biểu diễn số phức z=ai+b là M(a, b) trong một hệ tọa độ vuơng gĩc của mặt phẳng, thì ở 2M cịn đưa ra kí hiệu ( )M a bi+ hay ( )M z cho ta thấy rõ hơn mối liên hệ giữa M và số phức mà nĩ biểu diễn. Ký hiệu M(a, b) chỉ đơn thuần là tọa độ của điểm trong mặt phẳng tọa độ, cịn ký hiệu M(a+bi) cho ta thấy rõ hơn M là điểm biểu diễn của số phức trong mặt phẳng tọa độ. 2M cũng đưa ra tường minh định nghĩa mặt phẳng phức, trục thực, trục ảo. “Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn các số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0. Các điểm trên trục hồnh Ox biểu diễn các số thực, do đĩ trục Ox cịn được gọi là trục thực. Các điểm trên trục tung biểu diễn các số ảo, do đĩ trục Oy cịn được gọi là trục ảo. ” 41 Tổng của hai số phức được 2M định nghĩa như sau “ Tổng của hai số phức ( ), ' ' ' , ', , 'z a bi z a b i a a b b R= + = + ∈ là số phức ( )' ' 'z z a a b b i+ = + + + ”. Trong định nghĩa trên, cộng hai số phức cĩ nghĩa là cộng phần thực với nhau và cộng phần ảo với nhau, và tổng của hai số phức là một số phức. Điều này cho thấy phép cộng trong tập hợp các số phức C cĩ tính chất nội tại. M2 nêu rõ một cách gián tiếp rằng tập hợp (R,+,×) là một trường giao hốn con của (C,+,×) bằng cách, trước khi đưa vào khái niệm số phức._.   = − − − + = − − ” + Học sinh khai triển hằng đẳng thức sai ( )2 2 2a b a b− = − HS 53: “cĩ 2 2 1 1 3 1 3 1 3 1 2 2 4 2 4 4 2 z i     = − = − = − = −           ………………” + Khi chia hai số phức, nhân và chia tử mẫu cho số phức liên hợp, kết quả dưới mẫu thường là 2 2a b− HS 102 “ Cĩ 1 2 1 3 3 11 3 2 2 2 2 3 3 1 32 2 2 3 2 3 1 4 4 4 43 1 4 42 2 i iiz i i z i    − − −  − −       = = = − − + − = − −          −+ ” 108 Bài 2:  Bảng thống kê về chiến lược giải câu 2a Câu 2a Chiến lược S1 Chiến lược S2 Chiến lược S3 Chiến lược khác Khơng trả lời Đúng 95 Đúng 33Đúng 0 0 0 Sai 37 sai 12 sai 0 0 0 Tổng cộng 132 45 0 0 3  Bảng thống kê về chiến lược giải câu 2b Câu 1a Chiến lược S1 Chiến lược S2 Chiến lược S3 Chiến lược khác Khơng trả lời Đúng 89 Đúng 30 Đúng 0 0 0 Sai 43 sai 15 0 0 0 Tổng cộng 132 45 0 0 3 Qua thống kê, chúng tơi thấy cĩ một số lượng lớn học sinh 132 HS chọn chiến lược S1: “Chiến lược lượng giác”, trong khi cĩ 45 học sinh chọn chiến lược S2 “Chiến lược đại số” để giải bài tốn trên. Điều này cho thấy chiến lược lượng giác chiếm tối ưu tuy nhiên nĩ khơng vượt trội như trong bài tập 1. Điều này đồng nghĩa với việc học sinh quen với việc tính tốn số phức bằng dạng đại số hơn. Sai lầm học sinh thường mắc phải khi chúng tơi tiến hành thực nghiệm bài 2 là: + Học sinh khơng đưa về dạng lượng giác, để các giá trị lượng giác và dùng cơng thức nhân và chia dưới dạng lượng giác… 109 Bài 3  Bảng thống kê về chiến lược giải bài 3 Bài 3 Chiến lược S1 Chiến lược S2 Chiến lược khác Khơng trả lời Đúng 86 Đúng 37 Đúng 0 Sai 37 sai 11 sai 2 Tổng cộng 123 48 2 7 Qua thống kê kết quả bài 3 cho thấy cĩ 123/170 học sinh sử dụng chiến lược Moivre, trong khi đĩ cĩ 48/170 học sinh sử dụng chiến lược đại số. Trong chiến lược S1, cĩ 7 học sinh giữ nguyên kết quả là ( )10062 cos503 sin 503iπ π+ . Cĩ 2 học sinh sử dụng nhị thức Newton nhưng đều khơng cho ra kết quả. Bài 5  Bảng thống kê về chiến lược giải bài 5 Bài 5 Chiến lược S1 Chiến lược S2 Chiến lược S3 và khơng trả lời Kết luận là Elip Kết luận là đường Đúng 17 49 1 Kết luận sai Biến đổi sai Sai 23 68 0 Tổng cộng 157 1 22 110 Qua bảng thống kê cho thấy chiến lược đại số chiếm áp đảo 157/180 chiếm 87,22%, chỉ cĩ 1/180 học sinh sẻ dụng chiến lược hình học chiếm 0,55%. Trong chiến lược đại số S1, chỉ cĩ 17/157 tỉ lệ là 10,82% học sinh kết luận là Elip; 49/157 chiếm 31,21% học sinh kết luận là đường cĩ phương trình: 2 236 20 45x y+ = . Cĩ tới 23/157 học sinh (tỉ lệ 14,65%) kết luận và đường trịn mặc dù kết quả các em ra phương trình cĩ dạng 2 236 20 45x y+ = . Cĩ 68/157 học sinh biến đổi sai. Cĩ thể giải thích con số 10,82% kết luận là Elip và 14,65% kết luận là đường trịn như sau: + Học sinh làm quen nhiều với đường trịn (cấp 2 và cấp 3) và phương trình đường trịn. + Phương trình đường Elip chỉ được đề cập 2 tiết trong chương trình hình học 10 vào cuối năm. HS77: Xét z x yi= + cĩ điểm biểu diễn là M trên mặt phẳng phức. Khi đĩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 2 6 1 9 4 1 1 1 3 3 1 20 36 45 9 4 x y x x y x y x y x y x  + + = + ⇔ − + + + + = ⇔   ≥ + +  + =  ⇔  ≤ Vậy tập hợp điểm M là Elip: ( ) 2 2 : 1 9 5 4 4 x y E + = HS 56: Đặt z a bi= + 111 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 22 2 2 22 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 3 2 2 2 2 1 1 9 4 2 2 2 1 9 2 2 7 44 44 77 4 a bi a bi a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⇔ − + + + + = ⇔ + + + − + = ⇔ + + + + + − + = ⇔ + + + − + = − − ⇔ + = ⇔ + = Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức z là đường trịn tâm O(0; 0) bán kính 7 2 r = Những sai lầm học sinh thường gặp trong bài tốn này là: + Coi 1z + và 1z − là những số phức với phần thực là z, phần ảo là 1 (-1) nên biến đổi như sau: HS 73: 2 2 2 2 2 3 1 1 3 1 1 3 1 2 9 5 5 1 4 4 4 z z z z z z z z + + − = ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ± + Coi dấu mơ đun như dấu trị tuyệt đối. Biến đổi như sau: HS21: Bình phương 2 vế của (1), ta được: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 9 2 2 2 1 9 3 2 2 2 1 9 4 9 2 z z i z z z z z z z z − + + + − + = ⇔ + + − = ⇔ + + − = ⇔ = ⇔ = ± + Sai cơng thức mơ đun 2 2a bi a b+ = + HS 37: ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 1 1 1 3 2 2 1 2 x yi x yi x yi x yi x y x y x y x y + − + + + = ⇔ − + + + + = ⇔ − + + − + = ⇔ + = ⇔ + = + Sai cơng thức biến đổi 2a b c a b c+ = ⇔ + = 112 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 9 7 2 2 7 2 x yi x yi x yi x yi x y x y x y x y x y x y + − + + + = ⇔ − + + + + = ⇔ − + + + + = ⇔ − + + + + = ⇔ + = ⇔ + = Bài 6  Bảng thống kê về chiến lược giải bài 6 Bài 6 Chiến lược S1 Chiến lược S2 Chiến lược khác Khơng trả lời Đúng 139 Đúng 0 0 Sai 24 0 3 Tổng cộng 163 0 3 14 Qua bảng thống kê cho thấy, chiến lược S1 áp đảo với 163/180 chiếm tỉ lệ 90,56%. Khơng cĩ học sinh nào sử dụng chiến lược S2. Mặc dù đề bài yêu cầu giải bằng nhiều cách, nhưng chỉ cĩ 13 học sinh giải bằng 2 cách và tồn sử dụng đại số như sau: H37: Cách 1: Gọi z = x + yi. Suy ra 2 2z x y= + Mà 2 2z x yi z x y= − ⇒ = + Do đĩ z z= Cách 2: 2 2 2 2 0 0z z x yi x yi x y x y= ⇔ + = − ⇔ + = + ⇔ = (Đúng) 113 Từ kết quả thực nghiệm của bài 4 và bài 5, giả thuyết H2 mà chúng tơi đưa ra đã được kiểm chứng. Bài 7  Bảng thống kê về chiến lược giải bài 7 Bài 3 Chiến lược S1 Chiến lược S2 Chiến lược khác Khơng trả lời Đúng 2 7 98 Sai 1 22 17 Tổng cộng 3 29 115 33 Qua bảng thống kê cho thấy, mặc dù đề bài yêu cầu dùng dạng lượng giác của số phức để giải phương trình nhưng cĩ đến 115/180 học sinh chiếm tỉ lệ 63,89% sử dụng chiến lược đại số (chiến lược khác ở phần phân tích tiên nghiệm), trong đĩ cĩ khoảng 19 học sinh chuyển nghiệm từ dạng đại số sang dạng lượng giác. Cĩ 31/180 học sinh chiếm tỉ lệ 17,22% học sinh sử dụng chiến lược lượng giác, trong đĩ cĩ 3 học sinh dùng định nghĩa bằng nhau của 2 số phức ở dạng lượng giác. Cĩ 29/180 học sinh sử dụng chiến lược S2 dùng định nghĩa sự bằng nhau của hai số phức (bằng đại số), tuy nhiên gặp sinh gặp lúng túng trong việc giải hệ phương trình (do định nghĩa argument khơng cĩ mod 2π ). H12: Đặt cos sinz iϕ ϕ= + . Phương trình trở thành: ( )3 cos3 0 cos sin cos3 sin 3 sin 3 1 2 6 3 i i i i k ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π π ϕ = + = ⇔ + = ⇔  = ⇔ = + Vậy 2 2 cos sin 6 3 6 3 k k z i π π π π   = + + +        114 Một học sinh biến tới phương trình ( )3 3cos3 sin 3 1 0r r iϕ ϕ+ − = rồi dừng. Cĩ 3 học sinh dùng dạng đại số để giải phương trình rồi sau đĩ chuyển nghiệm về dạng lượng giác như sau: HS139: Đặt ( ),z a bi a b R= + ∈ Phương trình trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 33 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 2 2 1 1 13 1 2 2 a bi i a a bi a bi bi i a ab a b b i i a aa ab a ba b b b b + = ⇔ + + + = ⇔ − + − =   = = −  − = =   ⇔ ⇔ ∨ ∨    = −− =   = − =    Vậy nghiệm của phương trình là 3 1 cos sin 2 2 6 6 3 1 5 5 cos sin 2 2 6 6 3 3 cos sin 2 2 z i i z i i z i i π π π π π π  = + = +   = − + = +   = − = +  Những sai lầm học sinh gặp phải trong bài tốn này là: + Nghĩ rằng giải bằng dạng lượng giác cĩ nghĩa là kết quả ra dạng lượng giác của số phức. HS139: Đặt ( ),z a bi a b R= + ∈ Phương trình trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 33 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 2 2 1 1 13 1 2 2 a bi i a a bi a bi bi i a ab a b b i i a aa ab a ba b b b b + = ⇔ + + + = ⇔ − + − =   = = −  − = =   ⇔ ⇔ ∨ ∨    = −− =   = − =    115 Vậy nghiệm của phương trình là 3 1 cos sin 2 2 6 6 3 1 5 5 cos sin 2 2 6 6 3 3 cos sin 2 2 z i i z i i z i i π π π π π π  = + = +   = − + = +   = − = +  + Sử dụng kí hiệu căn bậc ba của số phức như sau: HS99: ( )33 3 30 0z i z i− = ⇔ − = + Dạng lượng giác của số phức là cos sinz iϕ ϕ= + . H12: Đặt cos sinz iϕ ϕ= + . + Khơng nắm được định nghĩa argument của số phức. H12: Đặt cos sinz iϕ ϕ= + . Phương trình trở thành: ( )3 cos3 0 cos sin cos3 sin 3 sin 3 1 2 6 3 i i i i k ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π π ϕ = + = ⇔ + = ⇔  = ⇔ = + Vậy 2 2 cos sin 6 3 6 3 k k z i π π π π   = + + +        Như vậy với kết quả thực nghiệm cho thấy H3 đã hồn tồn được kiểm chứng. Kết luận về thực nghiệm Qua thực nghiệm chúng tơi đã kiểm chứng được các giả thuyết nghiên cứu H1, H2, H3 trong đĩ cĩ các hợp đồng didactic R1, R2, R3. Đồng thời qua thực nghiệm chúng tơi cũng phát hiện một số sai lầm mà học sinh thường gặp phải khi giải các dạng tốn liên quan đến số phức. + Học sinh khai triển hằng đẳng thức sai ( )2 2 2a b a b− = − 116 + Khi chia hai số phức, nhân và chia tử mẫu cho số phức liên hợp, kết quả dưới mẫu thường là 2 2a b− + Coi z i+ và z i− là những số phức với phần thực là z, phần ảo là 1 (-1) + Coi dấu mơ đun như dấu trị tuyệt đối. + Sai cơng thức mơ đun 2 2a bi a b+ = + . + Quen với kí hiệu như ở số thực và đưa dấu vào trong số phức. + Khi số phức cho dưới dạng các giá trị lượng giác, học sinh thường khơng đưa về dạng lượng giác của số phức mà vẫn để nguyên và sử dụng cơng thức nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. 117 KẾT LUẬN CHUNG Một số điểm chính trong những kết quả nghiên cứu đã đạt được của luận văn.  Trong chương 1, qua sự nghiên cứu số phức và ý nghĩa hình học của nĩ trong lịch sử hình thành và phát triển, chúng tơi nhận thấy: - Mầm mống của số phức đã xuất hiện từ khoảng thế kỉ 16, việc mở rộng hệ thống tính tốn đại số địi hỏi phải đưa vào căn bậc hai của số âm với tư cách là trung gian của tính tốn. - Tuy nhiên đến tận thế kỷ 19, vấn đề hợp thức căn bậc hai của số âm vẫn luơn là một trong những nổi bận lịng của các nhà tốn học về phương diện triết học. Người ta gọi đây là những đại lượng ảo, xem nĩ là sản phẩm của trí tuệ thuần túy, là một kí hiệu hình thức, là một đối tượng lấy làm trung gian cho các tính tốn đại số. Người ta luơn quan tâm đến câu hỏi: Số phức biểu diễn cho đối tượng nào của thực tế tốn học? Và việc tìm thấy nghĩa của đại lượng ảo được thực hiện trong phạm vi hình học thơng qua các cơng trình của các nhà tốn học như Wallis, Wessel hay Argand…Tuy nhiên các mơ hình đĩ vẫn chưa thành cơng và hồn thiện.  Trong chương 2, Số phức dưới gĩc độ một tri thức khoa học chúng tơi đã đưa ra 3 quan điểm xây dựng số phức ở bậc đại học và phân tích 3 giáo trình số phức được sử dụng ở bậc đại học ở Mỹ, Anh và Việt Nam. Cĩ ba cách xây dựng trường số phức mà chúng tơi tìm thấy ở bậc đại học: - Coi tập C là tập hợp 2R các cặp số thực (tức mỗi số phức là một cặp số thực (a,b)). - Coi C là tập hợp các ma trận cấp 2 dạng a b b a −      (a, b là các số thực) với các phép tốn cộng, nhân các ma trận cấp hai. 118 - Coi C là vành thương [ ] 2 1 R x X + của vành đa thức một ẩn X (trên trường số thực) chia cho iđêan sinh bởi đa thức 2 1X + .  Nghiên cứu số phức trong thể chế Việt Nam và Pháp, chúng tơi rút ra các kết luận sau: - Thể chế Việt Nam chỉ chú trọng đến việc khai thác dạng đại số của số phức, và cơ chế “cơng cụ” của số phức trong việc giải phương trình bậc hai. Thể chế khơng chú trọng đến ý nghĩa hình học của số phức. - Trong khi đĩ, thể chế Pháp rất chú trọng đến ý nghĩa hình học của số phức và sử dụng làm cơng cụ cho việc giải tốn. Số phức được đưa ra nghiên cứu rất chi tiết thơng qua nhiều dạng bài tập và các ứng dụng của nĩ.  Nghiên cứu ảnh hưởng của thể chế lên việc học số phức của học sinh qua các bài thực nghiệm cho cúng tơi các khẳng định sau: - Học sinh ít khi sử dụng biểu diễn hình học của số phức trong việc chứng minh hay giải các bài tốn liên quan đến số phức. - Học sinh gặp rất nhiều khĩ khăn trong việc sử dụng dạng lượng giác để giải phương trình. - Học sinh cĩ thĩi quen đưa kết quả về dạng đại số chuẩn z = a + bi.  Về việc học sinh ít khi sử dụng biểu diễn hình học của một số phức trong việc chứng minh hay giải quyết các dạng tốn liên quan đến số phức, theo chúng tơi cĩ 2 lí do sau: Thứ nhất, ý nghĩa hình học của số phức khơng được thể chế chú trọng thơng qua việc đưa rất ít bài tập liên quan đến ý nghĩa hình học. Thứ hai, việc sử dụng hình học làm cơng cụ để giải tốn liên quan đến “đại số” ít được sử dụng trong thể chế Việt Nam từ khi hình học được đưa vào chương trình.  Về việc học sinh gặp rất nhiều khĩ khăn trong việc sử dụng dạng lượng giác của số phức để giải phương trình, theo chúng tơi cĩ những lí do sau. Thứ nhất, do việc thiếu vắng định nghĩa sự bằng nhau của số phức dưới dạng lượng 119 giác làm cho việc giải đồng nhất các các số phức bằng nhau dướu dạng đại số dẫn đến các phương trình lượng giác phức tạp. Thứ hai, do định nghĩa argument của số phức làm cho học sinh khĩ khăn trong việc tìm nghiệm lượng giác nào là argument. Thứ 3, do các phương trình trong thể chế đưa ra là các phương trình bậc 2, bậc 3 khá đơn giản, phương pháp đại số luơn là phương pháp tối ưu nên việc dùng dạng lượng giác của số phức để giải rất hiếm khi (thật tế là khơng) được đề cập đến.  Hướng mở ra từ luận văn: thiết lập một tiểu đồ án cho thấy sự cần thiết đưa ý nghĩa hình học của số phức và các ứng dụng của nĩ vào trong chương trình. Tiếng Việt 1. LÊ THỊ HỒI CHÂU – LÊ VĂN TIẾN (2003), Vai trị của phân tích khoa học luận lịch sử tốn học trong nghiên cứu và thực hành dạy – học mơn Tốn, Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, tp Hồ Chí Minh. 2. HOWARD EVES (NGUYỄN TẤT THẮNG dịch) (1993), Giới thiệu lịch sử tốn học, Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật, cơng ty sách thiết bị trường học thành phố HCM. 3. NGUYỄN CẢNH TỒN (1997), Tập cho học sinh giỏi tốn làm quen dần với nghiên cứu tốn học, Nhà xuất bản giáo dục. 4. NGUYỄN CANG (2004), Những nhà tốn học Triết học, Nhà xuất bản đại học quốc gia thành phố HCM. 5. NGUYỄN CANG (1999), Lịch sử tốn học, Nhà xuất bản trẻ. 6. NGUYỄN VĂN ĐƠNG, Số phức, Giáo trình dành cho sinh viên sư phạm, Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh. 7. ĐỒN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Sách giáo viên, Nhà xuất bản giáo dục. 8. ĐỒN QUỲNH (chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục. 9. ĐỒN QUỲNH (chủ biên), Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục. 10. TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo dục. 11. TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Giải tích 12, Sách giáo viên, Nhà xuất bản giáo dục. 12. TRẦN VĂN HẠO (tổng chủ biên), Bài tập Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo dục. 13. NGUYỄN THẾ THẠCH (chủ biên), hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12 mơn Tốn, Nhà xuất bản giáo dục (2008). 14. TRƯƠNG VĂN THƯƠNG, Hàm số biến số phức, Nhà xuất bản giáo dục, tháng 3 năm 2002. 15. TUYỂN TẬP 30 NĂM TẠP CHÍ TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ, Nhà xuất bản giáo dục, tháng 6 năm 2000. Tiếng Anh. 1. WILLIAM P.BERLINGHOFF and FERNANDO Q.GOUVÊA, Math through the Ages, a gentle history for teachers and others. 2. Remark on the history of Complex Numbers. 3. FLORIAN CAJORI, A history of Mathematics, The Macmillan Company, London 1909. 4. MATTHIAS BECK, GERALD MARCHESI, and DENNIS PIXTON, A First Course in Complex Analysis, Department of Mathematics San Francisco State University, San Francisco CA 94132. 5. W W L CHEN, Introduction to complex analysis, University of London. 6. Orlando Merino (2006), A short history of Complex Numbers. 7. FLORIAN CAJORI, Ph.D, A history of Mathematics, the Macmilan Company 1909. 8. GEORGE CAIN, Complex Analysis, 2001 Tiếng Pháp 1. Mathématiques 12ème, Ministere DeL’education et de la formation, Hanoi 2002. Họ và tên: PHIẾU THỰC NGHIỆM Trường: Bài 1: Cho iziz 2 1 2 3 ; 2 3 2 1 2 2 1 +=        −= . Tính 2 1 21 ;. z z zz ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Bài 2: Cho 1 4 sin cos6 6 z i π π = +    và 2 2 sin os3 3 z i c π π = −    . Tính 1 2.z z và 1 2 z z ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Bài 3: Tính ( )20121 i+ ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Bài 4: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn ( )3 4z i z i− + + = ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Bài 5: Chứng minh đẳng thức z z= bằng nhiều cách ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... Bài 6: Giải phương trình sau trong tập số phức bằng cách sử dụng dạng lượng giác của số phức 3 0z i− = . ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ._.