Thiết kế bộ quan sát và điều khiển nhiệt độ trong phôi tấm

c: PGS.TS. Nguyễn Hữu Cơng THÁI NGUYÊN 2009 LỜI CAM ĐOAN Tên tơi là: Ngơ Minh Đức Sinh ngày 19 tháng 08 năm 1982 Học viên lớp cao học khố 9 – Ngành Tự động hố - Trường đại học kỹ thuật Cơng nghiệp Thái Nguyên. Hiện đang cơng tác tại khoa Điện - Trường đại học Kỹ thuật Cơng nghiệp Thái Nguyên. Xin cam đoan: Đề tài “Thiết kế bộ quan sát và điều khiển nhiệt độ trong phơi tấm” do thầy giáo, PGS.TS. Nguyễn Hữu Cơng hướng dẫn là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Tất cả các tài liệu tham khảo đều cĩ nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng. Tác giả xin cam đoan tất cả những nội dung trong luận văn đúng như nội dung trong đề cương và yêu cầu của thầy giáo hướng dẫn. Nếu cĩ vấn đề gì trong nội dung của luận văn thì tác giả xin hồn tồn chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình. Thái Nguyên, ngày 04 tháng 4 năm 2009 Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành, lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo - PGS,TS Nguyễn Hữu Cơng, người đã trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn em trong suốt thời gian qua. Em xin bày tỏ lịng cảm ơn đối với các thầy cơ giáo trong Khoa , bộ mơn cùng đơng đảo bạn bè, đồng nghiệp đã cổ vũ rất nhiều cho việc thực hiện luận văn này. Mặc dù được sự chỉ bảo sát sao của thầy hướng dẫn, sự nỗ lực cố gắng của bản thân. Song vì kiến thức cịn hạn chế, nên chắc chắn luận văn này khơng tránh khỏi những thiếu sĩt nhất định. Em rất mong được sự chỉ bảo của các thầy cơ giáo và sự gĩp ý chân thành của các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 LỜI NĨI ĐẦU Hiện nay đất nước ta đang trong thời kì đổi mới, thời kì cơng nghiệp hố, hiện đại hĩa cùng với sự phát triển của cơng nghệ thơng tin, ngành kĩ thuật điện tử là sự phát triển của kỹ thuật điều khiển và tự động hĩa. Trong lĩnh vực gia cơng nhiệt ta thường giải quyết bài tốn là điều khiển nhiệt độ trong các lị nung theo một chỉ tiêu nào đĩ, tuy nhiên chất l ượng của các sản phẩm trong quá trình gia cơng nhiệt lại phụ thuộc vào trường nhiệt độ trong phơi. Như vậy đặt ra bài tốn phải điều khiển được nhiệt độ trong phơi nung theo chỉ tiêu chất lượng đặt ra, tức là phải điều khiển một thơng số mà khơng thể dùng sensor đo được. Từ đĩ đặt ra bài tốn “Biết vỏ tìm lõi” Trong khuơn khổ luận văn em đã đi vào nghiên cứu tìm hiểu một số phương pháp tính tốn trường nhiệt độ trong phơi tấm. Nghiên cứu xây dựng mơ hình quan sát nhiệt độ dưới dạng mơ hình hàm truyền. Sau khi cĩ mơ hình hàm truyền về trường nhiệt độ trong tấm, đã thiết kế bộ điều khiển bằng phương pháp kinh điển và điều khiển mờ. Như vậy cĩ thể điều khiển trường nhiệt độ trong phơi thoả mãn yêu cầu cơng nghệ đặt ra (Trước kia ta chỉ điều khiển được nhiệt độ trong khơng gian lị). Sau thời gian tìm hiểu và nghiên cứu và đặc biệt dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS.TS Nguyễn Hữu Cơng luận văn đã được hồn thành. Trong quá trình thực hiện luận văn, chắc chắn khơng tránh khỏi những thiếu sĩt. Em rất mong được sự chỉ bảo của các thầy cơ giáo và sự gĩp ý chân thành của các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Thái nguyên, ngày 4/4/2009 Học viên Ngơ Minh Đức Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 MỤC LỤC Nội dung Trang Lời cảm ơn ............................................................................................................ ... 1 Lời nĩi đầu..................................................................................................................2 Mục lục...................................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỐN TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ TRONG PHƠI TẤM .....................................5 1.1. Thành lập phương trình truyền nhiệt................................................................5 1.2. Điều kiện ban đầu và điều kiện biên................................................................7 1.3. Tính tốn trường nhiệt độ trong phơi tấm bằng phương pháp giải tích ..........8 1.4 Tính tốn trường nhiệt độ trong phơi tấm bằng phương pháp số ...................10 1.4.1. Phương pháp sai phân giải bài tốn cĩ trị ban đầu ................................. 11 1.4.1.1. Mơ hình bài tốn ...............................................................................11 1.4.1.2. Lưới sai phân ................................................................................... 11 1.4.1.3. Hàm lưới ...........................................................................................11 1.4.1.4. Đạo hàm lưới ....................................................................................11 1.4.1.5. Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới .............................................12 1.4.1.6. Phương pháp Euler hiện.....................................................................13 1.4.1.7. Phương pháp Euler ẩn........................................................................13 1.4.1.8. Phương pháp Crank – Nicolson ........................................................14 1.4.2. Phương pháp sai phân giải bài tốn truyền nhiệt một chiều ...................14 1.4.2.1. Mơ hình bài tốn ...............................................................................14 1.4.2.2. Lưới sai phân và hàm lưới ................................................................15 1.4.2.3. Xấp xỉ các đạo hàm ...........................................................................17 1.4.2.4. Phương pháp sai phân hiện (cổ điển) ................................................18 1.4.2.5. Phương pháp ẩn (cổ điển) .................................................................19 1.4.2.6. Phương pháp Crank - Nicolson (6 điểm đối xứng) ...........................20 1.5. Kết luận chương 1..........................................................................................22 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG MƠ HÌNH HÀM TRUYỀN ĐỂ XÁC ĐỊNH NHIỆT ĐỘ TRONG PHƠI TẤM.......................................................23 2.1. Đặt vấn đề .....................................................................................................23 2.2. Nghiên cứu đối tượng điều khiển...................................................................23 2.3. Xây dựng mơ hình hàm truyền đối với vật mỏng .........................................24 2.4. Xây dựng mơ hình hàm truyền khi phơi được chia làm 2 lớp (n=2) ............25 2.5. Xây dựng mơ hình hàm truyền khi phơi được chia làm 2 lớp (n=3) ............26 2.6. Xây dựng mơ hình hàm truyền khi phơi được chia làm 2 lớp (n=4) ............28 Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 2.7. Xây dựng mơ hình hàm truyền khi phơi đựơc chia thành n lớp ...................31 2.8. Ví dụ tính tốn hàm truyền từng lớp khi chia phơi thành 1 lớp và 3 lớp .....33 2.9. Kết quả mơ phỏng cho bộ quan sát nhiệt độ..................................................35 2.10. Kết luận........................................................................................................38 CHƯƠNG 3: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN NHIỆT ĐỘ TRONG PHƠI TẤM ....39 3.1. Giới thiệu một số phương pháp thiết kế ........................................................39 3.1.1. Phương pháp đa thức đặc trưng cĩ hệ số suy giảm thay đổi được...........39 3.1.2. Phương pháp bù hằng số thời gian trội ...................................................42 3.1.3. Thiết kế bộ điều chỉnh cho hệ cĩ hành vi tích phân ..............................46 3.1.4. Phương pháp thiết kế bộ bù ....................................................................50 3.1.5. Bộ điều khiển mờ ....................................................................................51 3.1.6. Thiết kế bộ điều khiển mờ ......................................................................67 3.2. Thiết kế..........................................................................................................75 3.2.1. Thiết kế bộ điều khiển PID điều khiển nhiệt độ cho lớp 2 khi chia phơi làm 3 lớp .........................................................................................75 3.2.2. Thiết kế bộ điều khiển mờ điều khiển nhiệt độ cho lớp 2 khi chia phơi làm 3 lớp .........................................................................................77 CHƯƠNG 4: CÁC KẾT QUẢ MƠ PHỎNG...........................................................83 4.1. Kết quả mơ phỏng khi thiết kế bộ điều khiển PID để điều khiển nhiệt độ cho lớp 1 và lớp 2 khi phơi được chia thành 3 lớp ...........................................83 4.2. Kết quả mơ phỏng khi thiết kế bộ điều khiển mờ để điều khiển nhiệt độ cho lớp 1 và lớp 2 khi phơi được chia thành 3 lớp ...........................................84 4.3. Kết luận và kiến nghị nghiên cứu tiếp theo......................................................85 4.3.1 Kết luận.......................................................................................................85 4.3.2 Những kiến nghị nghiên cứu tiếp theo........................................................85 TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................86 PHỤ LỤC..................................................................................................................87 Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỐN TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ TRONG PHƠI TẤM 1.1. Thành lập phương trình truyền nhiệt Xét một vật rắn truyền nhiệt đẳng hướng, ),,,( tzyxu là nhiệt độ của nĩ tại điểm ),,( zyx ở thời điểm t . Nếu tại các điểm khác nhau của vật nhiệt độ khác nhau thì nhiệt sẽ truyền từ điểm nĩng hơn tới điểm nguội hơn. Sự truyền nhiệt đĩ tuân theo định luật sau: Nhiệt lượng Q∆ đi qua một mảnh mặt khá bé S∆ chứa điểm ),,( zyx trong một khoảng thời gian t∆ tỷ lệ với S∆ , t∆ và đạo hàm pháp tuyến n u ∂ ∂ . Tức là n uStzyxkQ ∂ ∂ ∆∆−=∆ ),,( (1.1) Trong đĩ 0),,( >zyxk là hệ số truyền nhiệt ( ),,( zyxk khơng phụ thuộc vào hướng của pháp tuyến với S∆ vì sự truyền nhiệt là đẳng hướng), n là vectơ pháp của S∆ hướng theo chiều giảm nhiệt độ. Gọi q là dịng nhiệt, tức là nhiệt lượng đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian. Từ )1.1( ta suy ra n ukq ∂ ∂ −= . Bây giờ ta lấy trong vật một thể tích tuỳ ý V giới hạn bởi một mặt kín trơn S và xét sự biến thiên của nhiệt lượng trong thể tích đĩ trong khoảng thời gian từ 1t đến 2t .Từ )1.1( ta suy ra nhiệt lượng qua mặt S vào trong từ thời điểm 1t đến thời điểm 2t là ∫ ∫∫ ∂ ∂ −= 2 1 ),,(1 t t S ds n uzyxkdtQ . Trong đĩ n là vecvtơ pháp hướng vào trong của mặt S . Áp dụng cơng thức Ostrogradsky để đổi từ tích phân trên mặt S sang tích phân ba lớp ta được ( )∫ ∫∫∫= 2 1 1 t t V dxdydzkgradudivdtQ Giả sử rằng trong vật cĩ các nguồn nhiệt, gọi ),,,( tzyxF là mật độ của chúng tức là nhiệt lượng sinh ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích của vật và trong một đơn vị thời gian. Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Nhiệt lượng sinh ra hay mất đi trong thể tích V từ thời điểm 1t đến thời điểm 2t là ∫ ∫∫∫= 2 1 ),,(2 t t V dxdydzzyxFdtQ Mặt khác ta lại biết rằng nhiệt lượng cần cho thể tích V của vật thay đổi nhiệt độ từ ),,,( 1tzyxu đến ),,,( 2tzyxu là [ ]∫∫∫ −= V dxdydzzyxzyxCtzyxutzyxuQ ),,(),,(),,,(),,,( 123 ρ . Trong đĩ ),,( zyxC là nhiệt dung, ),,( zyxρ là mật độ của vật. Vì ∫ ∂ ∂ =− 2 1 ),,,(),,,( 12 t t dt t utzyxutzyxu nên cĩ thể viết ∫ ∫∫∫ ∂ ∂ = 2 1 3 t t V dxdydz t uCdtQ ρ . Mặt khác 213 QQQ += nên ta cĩ ( )∫ ∫∫∫ =    −− ∂ ∂2 1 0),,,( t t V dxdydztzyxFkgradudiv t uCdt ρ Vì khoảng thời gian ),( 21 tt và thể tích V được chọn tuỳ ý, nên tại mọi điểm ),,( zyx của vật và ở mọi thời điểm t biểu thức dưới dấu tích phân đều bằng khơng ( ) ),,,( tzyxFkgradudiv t uC += ∂ ∂ρ . Hay ),,,( tzyxF z uk zy uk yx uk xt uC +      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ρ (1.2) Phương trình đĩ gọi là phương trình truyền nhiệt trong vật đẳng hướng khơng đồng chất. Nếu vật đồng chất thì kC ,, ρ là những hằng số và phương trình cĩ dạng ),,,(2 2 2 2 2 2 2 tzyxf z u y u x ua t u +      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ (1.3) Trong đĩ ρC ka =2 , ρC tzyxFtzyxf ),,,(),,,( = . Đĩ là phương trình truyền nhiệt khơng thuần nhất. Nếu trong vật khơng cĩ nguồn nhiệt thì 0),,,( ≡tzyxF ta sẽ được phương trình truyền nhiệt thuần nhất:       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x ua t u )4.1( Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 Nếu ta xét sự truyền nhiệt trên một một vật đồng chất rất mỏng (chỉ khảo sát sự truyền nhiệt theo hai phương) đặt trên mặt phẳng Oxy thì nhiệt độ ),,( tyxu tại điểm ),( yx ở thời điểm t thoả mãn phương trình truyền nhiệt: ),,(2 2 2 2 2 tyxf y u x ua t u +      ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ )5.1( Cịn phương trình truyền nhiệt trên một vật đồng chất rất mỏng đặt dọc theo trục x là: ),(2 2 2 txf x ua t u + ∂ ∂ = ∂ ∂ )6.1( 1.2. Điều kiện ban đầu và điều kiện biên Trong vật lý ta biết rằng muốn xác định được nhiệt độ tại mọi điểm trong vật ở mọi thời điểm, ngồi phương trình )3.1( ta cịn cần phải biết phân bố nhiệt độ trong vật ở thời điểm đầu và chế độ nhiệt độ ở biên S của vật. Điều kiện biên cĩ thể cho bằng nhiều cách * Cho biết nhiệt độ tại mỗi điểm P của biên S ),(| 1 tPu S ψ= )7.1( * Tại mọi điểm của biên S cho biết dịng nhiệt n ukq ∂ ∂ −= vậy ta cĩ điều kiện biên ),(2 tPn u S ψ= ∂ ∂ )8.1( Trong đĩ k tPqtP ),(),(2 − =ψ là một hàm cho trước. * Trên biên S của vật cĩ sự trao đổi nhiệt với mơi trường xung quanh, mà nhiệt độ của nĩ là 0u thì ta cĩ điều kiện biên sau: 0)( 0 =    −+ ∂ ∂ S uuh n u )9.1( Nếu biên S cách nhiệt thì 0=h suy ra )9.1( trở thành 0= ∂ ∂ Sn u Như vậy bài tốn truyền nhiệt trong một vật rắn, đồng chất truyền nhiệt đẳng hướng đặt ra như sau: Tìm nghiệm của phương trình )3.1( thoả mãn điều kiện đầu ),,( 0 zyxu t ϕ= = và một trong các điều kiện biên )9.1)(8.1)(7.1( . Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 1.3. Tính tốn trường nhiệt độ trong phơi tấm bằng phương pháp giải tích Giới hạn bài tốn là một tấm phẳng cĩ chiều dày 2s, hệ số dẫn nhiệt λ, cĩ hệ số toả nhiệt từ bề mặt tới mơi trường là α. Giả thiết đặt gốc toạ độ ở tâm của tấm phẳng, ta cĩ phương trình truyền nhiệt như sau: 2 2 u ua x ∂ ∂ ∂τ ∂ = (1-10) Trong đĩ:u(x,τ=0) = uo=const 0 0; ( )w f x x S u u t t x x ∂ ∂λ α ∂ ∂= = = − = − Trong cơng thức trên: a- là hệ số dẫn nhiệt độ u- hàm nhiệt độ của vật Với tf là nhiệt độ trong khơng gian lị nung. Để giải phương trình (1 -10) ta dùng phương pháp phân ly biến số: Đặt: u(x,τ) = ϕ(τ).ψ(x) ta cĩ : , 2 ,, 2 ( ). ( ) ( ). ( ) u x u x x ∂ ψ ϕ τ ∂τ ∂ ψ ϕ τ ∂ = = , ,,( ). ( ) . ( ). ( )x a xψ ϕ τ ψ ϕ τ⇒ = Phương trình (1-10) sẽ tương đương với: , ,,( ) ( ) ( ) ( ) x a x ϕ τ ϕ ϕ τ ϕ = (1-11) Phương trình (1-11) vế trái là một hàm theo thời gian τ, vế phải là một hàm theo toạ độ khơng gian x, do đĩ chỉ thoả mãn khi cả hai vế đều là hằng số. Ta kí hiệu hằng số này là k2, vậy từ (1-11) ta cĩ : ϕ,(τ) =ak2ϕ(τ) (1-12) ϕ‘’(τ) = k2ψ(x) (1-13) Nghiệm tổng quát của (1-12) là : ϕ(τ) = B1exp(ak2τ) Nghiệm tổng quát của (1-13) là: ψ(x) = B2exp(kx) + B3exp(-kx) Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 Vậy nghiệm của (1-10) là: u(x, τ) = ϕ(τ) . ψ(x) = B1exp(ak2τ).[B2exp(kx) + B3exp(-kx)] (1-14) Ta thấy nhiệt độ khơng thể tăng vơ hạn theo thời gian nên k2< 0. Đặt k2 =-q2 hay k= ±iq. ⇒ (1-14) trở thành . u(x,τ) = B1exp(-aq2τ)[B4cosqx +B5isinqx) (1-15) Cả phần thực và phần ảo của (1-15) đều là nghiệm của phương trình vi phân và tổng các nghiệm cũng là 1 nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình cĩ dạng: u(x,τ) = C1exp(-aq2τ)[C2cosqx +C3sinqx] (1-16) Vì: 0 0 x u x ∂ ∂ = = nên C3 = 0 . Vậy nghiệm trở thành: u(x,τ) = Aexp(-aq2τ)cosqx (1-17) Hơn nữa từ điều kiện biên ( )w f x s u t t x ∂ α ∂ λ= = − − ta nhận được phương trình đặc trưng: cot i qsgqs B = hay cot i g B µµ = (1-18) Trong đĩ qs =µ và tiêu chuẩn Biơ i sB α λ = Phương trình (1-18) cĩ hàng loạt nghiệm µ1, µ2, ... µn... các nghiệm này thoả mãn: µ1<µ2 < µ3<.... < µn Đặc biệt khi Bi→0 thì µ= 0, π, 2π,... Bi→∞ thì µ = π/2,3π/2,5π/2,... Ta chập tất cả các nghiệm riêng vì dạng (1-17) với các giá trị khác nhau của µ ta được nghiệm tổng quát: 2 2 1 cos( )exp( )n n n n x au A s s τµ µ ∞ = = −∑ (1-19) Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Khi sử dụng các điều kiện đầuđã cho,ta xác định được ẩn số cịn lại trong phương trình (1-17) bằng cách nhân hai vế của phương trình với cos n x s µ = , sau đĩ lấy tích phân theo cận từ x= - s đến x= + s ta cĩ : 0 2sin sin cos n n n n n A u µ µ µ µ = + (1-20) Tĩm lại nghiệm của (1-10) là : 2 2 1 2 sin cos( )exp( ) sin cos o n n n n n n n u x au s s µ τµ µ µ µ µ ∞ = = − +∑ (1-21) Khi ta sử dụng các tổ hợp khơng thứ nguyên ( hệ tương đối ) , o u= : uu là nhiệt độ khơng thứ nguyên xX s = và hệ số khơng thứ nguyên n = o nD u ∆ Thời gian khơng thứ nguyên (theo tiêu chuẩn Fourier) 0 2 aF s τ = , Phương trình (1-21) được viết , 2 n n n o n=1 = D cos(μ x)exp(-μ F )u ∞ ∑ (1-22) Thực tế cho thấy khi Fo đủ lớn, số hạng của chuỗi (1-22) giảm rất nhanh. Khi Fo≥ 0,3 ta chỉ cần lấy số hạng đầu tiên của chuỗi mà sai số khơng vượt quá 1%. Ngồi phương pháp giải tích người ta cịn dùng phương pháp số để giải bài tốn dẫn nhiệt tức là dùng phương pháp sai phân 1.4. Tính tốn trường nhiệt độ trong phơi tấm bằng phương pháp số Như đã biết việc sử dụng các cơng cụ giải tích để tính tốn các bài tốn kĩ thuật cĩ nhiều hạn chế, do đĩ người ta tìm cách tính gần đúng bằng các phương pháp số. Ở đây xin giới thiệu phương pháp sai phân, trước hết ta xét một số bài tốn đơn giản đối với phương trình vi phân thường. Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 1.4.1. Phương pháp sai phân giải bài tốn cĩ trị ban đầu 1.4.1.1. Mơ hình bài tốn Cho khoảng [x0, X]. Tìm hàm u = u(x) xác định tại [x0, X] và thỏa mãn: , 0( , )u f x u x x X= < < (1.23) 0( )u x η= (1.24) Trong đĩ f(x,u) là một hàm số cho trước và η là một số cho trước. Giả sử bài tốn (1.23), (1.24) cĩ nghiệm u = u(x) đủ trơn, nghĩa là nĩ cĩ đạo hàm liên tục đến cấp mà ta cần. 1.4.1.2. Lưới sai phân Ta chia đoạn [x 0, X] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài ( ) /h b a N= − bởi các điểm 0 , 0,1,..,ix x ih i N= + = (hình 1.1). Tập các điểm x i gọi là một lưới sai phân trên [x0, X] ký hiệu là ,hΩ mỗi điểm xi gọi là một nút của lưới, h gọi là bước đi của lưới. Ta sẽ tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm u(x) tại các nút xi của lưới ,hΩ . Đĩ là ý tưởng đầu tiên của phương pháp sai phân, cịn gọi là phương pháp lưới. 1.4.1.3. Hàm lưới Đĩ là những hàm số xác định tại các nút của lưới ,hΩ . Giá trị của hàm lưới v tại nút xi viết là vi. Một hàm số u(x) xác định tại mọi x ∈ [a,b] sẽ tạo ra hàm lưới u cĩ giá trị tại nút xi là ui = u(xi). 1.4.1.4. Đạo hàm lưới Xét hàm số v. Đạo hàm lưới tiến cấp một của v, ký hiệu là vx, cĩ giá trị tại nút xi là: 1i ixi v vv h + −= Đạo hàm lưới lùi cấp một của v, ký hiệu xv , cĩ giá trị tại nút xi là: x x0 x1 x2 xi xN=X xi+1 Hình 1.1 Lưới sai phân Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 1i ixi v vv h −−= Khi h bé thì đạo hàm lưới “xấp xỉ” được đạo hàm thường. 1.4.1.5. Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới Giả sử hàm u(x) đủ trơn theo cơng thức Taylor ta cĩ: ' 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i iu x u x h u x h u x O h+ = + = + + Ta suy ra: '1( ) ( ) ( ) ( )i ixi i u x u xu u x O h h + −= = + (1.25) Cũng cĩ: ' 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i iu x u x h u x h u x O h− = − = − + Do đĩ: '1( ) ( ) ( ) ( )i i ixi u x u xu u x O h h −−= = + (1.26) Ngồi ra với quy ước: 1/ 2 1/ 2 1/ 2, ( )2i i i i hx x u u x+ + += + = Ta cịn cĩ: ' 2 '' 31 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2! 2i i i i i h h hu x u x u x u x u x O h+ + + + += + = + + + ' 2 '' 31/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2! 2i i i i i h h hu x u x u x u x u x O h+ + + += − = − + + Ta suy ra: ' 31 1/ 2( ) ( ) ( ) ( )i i iu x u x h u x O h+ +− = + Do đĩ: ' 21 1/ 2 ( ) ( ) ( ) ( )i ixi i u x u xu u x O h h + + − = = = + (1.27) Đồng thời: 21 1/ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 i i i u x u x u x O h+ + + = + (1.28) Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 1.4.1.6. Phương pháp Euler hiện Trong (1.23) thay ' ( )iu x bởi xiu thì (1.25) cho: '1( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( )i ixi i i i u x u xu u x O h f x u x O h h + −= = + = + Ta suy ra: 21( ) ( ) ( , ( )) ( )i i i iu x u x h f x u x O h+ = + + (1.29) Bỏ qua vơ cùng bé 2( )O h và thay ( )iu x bởi vi xem là gần đúng của ( )iu x , ta được: 1 ( , )i i i iv v hf x v+ = + (1.30) Cơng th ức (1.30) cho phép tính 1iv + khi đã biết vi. Dựa vào (1.24) ta đặt thêm điều kiện: 0v η= (1.31) Thì hai cơng thức (1.30), (1.31) cho phép tính ra tất cả các v i. Phương pháp tính vi bằng (1.30), (1.31) g ọi là phương pháp Euler. Sau khi đã cĩ vi ta xem vi là gần đúng của u(xi). Phương pháp Euler là phương pháp sai phân đơn giản nhất để giải gần đúng bài tốn (1.23), (1.24). Ở đây khi đã biết vi muốn tính vi+1 ta chỉ phải tính giá trị của biểu thức ở vế phải của (1.30), chứ khơng phải giải một phương trình đại số nào. Vì lẽ đĩ phương pháp sai phân (1.30), (1.31) thuộc loại phương pháp sa i phân hiện. Nĩ cũng cĩ tên là phương pháp Euler hiện. 1.4.1.7. Phương pháp Euler ẩn Nếu trong (1.23) thay ' ( )iu x bởi xiu thì (1.26) cho: '1( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( )i i i i ixi u x u xu u x O h f x u x O h h −−= = + = + Ta suy ra: 21( ) ( ) ( , ( )) ( )i i i iu x u x h f x u x O h−= + + (1.32) Bỏ qua vơ cùng bé 2( )O h và thay u(xi) bởi vi xem là gần đúng của u(xi), ta được: 1 ( , )i i i iv v hf x v−= + (1.33) Cơng thức (1.33) cho phép tính vi khi đã biết v i-1. Thêm điều kiện (1.31) thì các cơng thức (1.31), (1.33) cho phép tính ra tất cả các vi. Phương pháp tính vi bằng (1.33), (1.31) lại là một phương pháp sai phân khác. Ở đây khi đã biết v i -1 muốn Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 tính ra vi ta phải giải phương trình đại số (1.33) đối với ẩn số v i. Vì lẽ đĩ phương pháp sai phân này thuộc loại phương pháp sai phân ẩn. Nĩ cũng cĩ tên là phương pháp Euler ẩn. 1.4.1.8. Phương pháp Crank - Nicolson Nếu áp dụng (1.27) ta cĩ: ' 2 21 1/ 2 1/ 2 1/ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( )i i i i i u x u x u x O h f x u x O h h + + + + − = + = + Theo (1.28) ta lại cĩ: 21 11/ 2 1/ 2 ( , ( )) ( , ( ))( , ( )) ( ) 2 i i i i i i f x u x f x u xf x u x O h+ ++ + + = + Ta suy ra: 21 1 1( ) ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) 2 i i i i i iu x u x f x u x f x u x O h h + + +− += + Do đĩ: 31 1 1( ) ( ) [ ( , ( )) ( , ( ))]+O(h )2i i i i i i hu x u x f x u x f x u x+ + += + + (1.34) Bỏ qua vơ cùng bé 3( )O h và thay u(xi) bởi vi xem là gần đúng của u(xi), ta được: 1 1 1[ ( , ) ( , )]2i i i i i i hv v f x v f x v+ + += + + (1.35) Cơng thức (1.35) cho phép tính v i+1 khi đã biết v i. Thêm điều kiện (1.31) thì cơng thức (1.35), (1.31) cho phép tính ra tất cả các vi. Ở đây khi đã biết v i muốn tính ra vi+1 ta phải giải phương trình đại số (1.35) đối với ẩn số vi+1. Vì lẽ đĩ phương pháp tính vi bằng (1.35), (1.31) thuộc loại phương pháp sai phân ẩn. Nĩ cĩ tên là phương pháp Crank - Nicolson. 1.4.2. Phương pháp sai phân giải bài tốn truyền nhiệt một chiều 1.4.2.1. Mơ hình bài tốn Cho các số a, b; a 0. Xét: ( , ) (0, ]; [a,b] [0,T]T TQ a b T Q= × = × Xét bài tốn biên thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt: Tìm hàm số u(x, t) thỏa mãn: 2 2 ( , ), ( , ) T u uLu f x t x t Q t x ∂ ∂ ≡ − = ∈ ∂ ∂ (1.36) Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 ( ,0) ( ),u x g x a x b= < < (1.37) ( , ) ( ), ( , ) ( ), 0a bu a t g t u b t g t t T= = < ≤ (1.38) Trong đĩ f(x, t), g(x), ga(t), gb(t) là những hàm số cho trước. Phương trình (1.36) là phương trình Parabol ic và gọi phương trình (1.36) là phương trình truyền nhiệt một chiều. Biến x gọi là biến khơng gian, cịn biến t là biến thời gian. Bài tốn (1.36) - (1.38) là một bài tốn vừa cĩ điều kiện ban đầu (đĩ là điều kiện (1.37)), vừa cĩ điều kiện biên (đĩ là điều kiện (1.38)); Đĩ là bài tốn biên loại một đối với phương trình (1.36). Giả sử bài tốn (1.36) - (1.38) cĩ nghiệm duy nhất đủ trơn trong TQ . 1.4.2.2. Lưới sai phân và hàm lưới a. Lưới sai phân Chọn hai số nguyên N > 1 và M ≥ 1 và đặt: , , 0,1, 2,...,i b ah x a ih i N N − = = + = , , 0,1, 2,...,j T t j j M M τ τ= = = Ta chia miền QT thành ơ bởi những đường thẳng x = x i, t = tj (Hình 1.2). Mỗi điểm (xi, tj) gọi là một nút, nút điểm (x i, tj) cịn được viết gọn là (i, j); h gọi là bước đi theo khơng gian, τ gọi là bước đi theo thời gian. Tập tất cả các nút tạo thành một lưới sai phân trên TQ . Lưới trên [a,b] (lưới vi khơng gian): Tập: { }1,2,..., 1h ix i NΩ = = − gọi là tập các nút trên [a, b]. Tập: { }0,h ix i NΓ = = gọi là tập các nút biên trên [a, b]; nút 0 và nút N là hai nút biên. Tập: h h hΩ = Ω ∪Γ gọi là một lưới sai phân trên [a,b]. Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Lưới trên [0, T] (lưới thời gian): Tập: { }1,2,...,jt j MτΩ = = gọi là một lưới sai phân trên (0, T]. Tập: { } { }00,1,..., 0jt j M tτ τΩ = = = Ω ∪ = gọi là một lưới sai phân trên [0, T]; nút t0 = 0 là nút ban đầu. Tập: h hτ τΩ = Ω ×Ω là tập các nút trong trên TQ . Tập: { }0h x a ττΓ = = ×Ω gọi là tập các nút biên trái. Tập: { }h Nx bτ τ + Γ = = ×Ω gọi là tập các nút biên phải. Tập: { } 0 0 0hh tτΓ = Ω × = gọi là tập các nút ban đầu. Như vậy tập: 0 h h h h h hτ τ τ τ τ τ + Ω = Ω ×Ω = Ω ∪Γ ∪Γ ∪Γ chính là lưới sai phân trên TQ . Ta phân lưới sai phân TQ thành nhiều lớp: Lớp thứ j tạo bởi các nút ứng cùng một giá trị thời gian tj là: { }( , ), 0,1,..., ;jh i jx t i NΩ = = nút (x0, tj) = (a, tj) và (xN, tj) = (b, tj) là hai nút biên. tM =T tj x x0 = a xN = b xi t 0 Hình 1.2 Lưới sai phân và hàm lưới Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 b. Hàm lưới Hàm số xác định tại các nút của một lưới nào đĩ gọi là một hàm lưới. Giá trị của hàm lưới v tại nút (i, j) viết là jiv . Các giá trị của hàm lưới v tại các nút của lớp jhΩ tạo thành hàm lưới jv xác định trên hΩ . Ta cĩ: 10 1( , ,..., )j j j j NNv v v v R += ∈ Trong tập các hàm lưới này ta xét hai loại chuẩn: { }ji0 i Nax vjv m∞ ≤ ≤= ; 2 2 20 12 ( ) ( ) ... ( )j j j jNv v v v= + + + Mỗi hàm số u(x, t) xác định trên TQ cĩ giá trị tại (i, j) là u(xi, tj) và tạo ra hàm lưới u xác định bởi ( , )ji i ju u x t= . 1.4.2.3. Xấp xỉ các đạo hàm Áp dụng cơng thức Taylor 2 ' '' ( ) 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( ) (( ) ) 1! 2! ! m m mx x xF x x F x F x F x F x O x m +∆ ∆ ∆+ ∆ = + + + + + ∆ Ta cĩ: 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( )i j i j i j u x t u x t u x t O t τ τ + − ∂= + ∂ (1.39) 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( )i j i j i j u x t u x t u x t O t τ τ + + − ∂ = + ∂ (1.40) 1 2 ( , ) ( , ) ( , / 2) ( )i j i j i j u x t u x t u x t l O t τ τ + − ∂= + + ∂ (1.41) 2 1 1 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( )i j i j i j i j u x t u x t u x t u x t O h h x + −− + ∂= + ∂ (1.42) 2 1 1 1 1 1 2 12 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( )i j i j i j i j u x t u x t u x t u x t O h h x + + + − + + − + ∂ = + ∂ (1.42a) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )1 2 ( , / 2) ( ) i j i j i j i j i j i j i j u x t u x t u x t u x t u x t u x t h h u x t O h x τ τ + + + − + + −− + − + +    ∂ = + + + ∂ (1.43) Như vậy, ta cĩ nhiều cách xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng (1.36). Từ đĩ ta suy ra nhiều phương án khác nhau thay thế bài tốn vi phân bởi bài tốn sai phân. Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 1.4.2.4. Phương pháp sai phân hiện (cổ điển) Mục đích của phương pháp là tìm cách tính ( , )ji i jv u x t≈ tại mọi nút ( , ).i jx t Sử dụng (1.39), (1.42) ta suy ra: 1 11 2 2 2 2 ( , ) 2 ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ji i j i ji j i j i j i j u x t u x t u x tu x t u x t h u ux t x t O h t x τ τ + −+ − +− − ∂ ∂ = − + + ∂ ∂ (1.44) Do đĩ để cĩ ( , )ji i jv u x t≈ , dựa vào (1.44), (1.37), (1.38) ta viết bài tốn sai phân sau đây thay thế cho bài tốn vi phân (1.36), (1.37), (1.38): 1 1 1 2 2 ( , ) j j j j j i i i i i h i j v v v v vL v f x t hτ τ + + −− − +≡ − = (1.45) 0 ( ), 0,1,...,i iv g x i N= = (1.46) 0 ( ), ( ), 0,1,..., j j a j N b jv g t v g t j M= = = (1.47) Mỗi phương trình (1.45) chứa một ẩn 1jiv + ở lớp trên j + 1 và ba ẩn 1 1, ,j j ji i iv v v− + ở lớp dưới j theo sơ đồ Hình 1.3. Đặt 2/ hγ τ= ta giải (1.45) ra ẩn 1jiv + : 1 1 1(1 2 ) ( ) ( ,._. ) j j j j i i i i i jv v v v f x tγ γ τ + + −= − + + + (1.48) Điều kiện (1.46) cho 0iv ở lớp 0. Điều kiện (1.47) cho 0 jv và jNv ở hai nút biên (0,j) và (N, j) của jhΩ . Như vậy phương trình (1.45) tức (1.48) và điều kiện biên (1.47) cho phép tính 1jiv + ở lớp trên j + 1 khi biết jiv ở lớp dưới j mà khơng phải giải một hệ phương trình đại số nào. Cho nên phương pháp (1.45), (1.46), (1.47) gọi là phương pháp sai phân hiện; nĩ cịn cĩ tên là phương pháp sai phân hiện cổ điển giải bài tốn (1.36) - (1.38). Nĩ cĩ sơ đồ ở hình 1.3. Sơ đồ này gọi là sơ đồ hiện bốn điểm. Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 1.4.2.5. Phương pháp ẩn (cổ điển) Áp dụng (1.40), (1.42) ta cĩ: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 12 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ( , ) ) ( , ) ( , ) ( ) i j i j i j i j i j i j i j u x t u x t u x t u x t u x t h u ux t x t O h t x τ τ + + + + − + + + − − + − ∂ ∂ = − + + ∂ ∂ (1.49) Để cĩ ( , )ji i jv u x t≈ , ta viết bài tốn sai phân sau đây thay cho bài tốn vi phân: 1 1 1 1 1 1 12 2 ( , ) j j j j j i i i i i h i j v v v v vL v f x t hτ τ + + + + + − + − − + ≡ − = (1.50) 0 ( )i iv g x= (1.51) 0 ( ), ( )j ja j N b jv g t v g t= = (1.52) t j-1 j j+1 xi-1 xi xi+1 x Hình 1.3 Sơ đồ hiện bốn điểm t j-1 j j+1 xi-1 xi xi+1 x Hình 1.4 Sơ đồ ẩn bốn điểm Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Mỗi phương trình (1.50) chứa ba ẩn 1 1 11 1, ,j j ji i iv v v+ + +− + ở lớp trên j +1 và một ẩn jiv ở lớp dưới j theo sơ đồ ở hình 1.4. Cũng như trên đặt 2/ hγ τ= , khi đĩ (1.50) viết: 1 1 11 1 1(1 2 ) ( , )j j j ji i i i i jv v v v f x tγ γ γ τ+ + +− + +− + + = − − (1.53) Tác dụng của các điều kiện (1.51), (1.52) cũng như ở phương án hiện: Chúng cho 0 0, , j j i Nv v v . Nhưng ở đây khi biết jiv ở lớp j muốn tính 1jiv + ở lớp j + 1 ta phải giải hệ đại số tuyến tính (1.53) đối với 1 1 11 2 1, ,...,j j jNv v v+ + +− . Theo nghĩa đĩ ta nĩi phương pháp sai phân (1.50), (1.51), (1.52) là một phương pháp ẩn. Nĩ cịn cĩ tên là phương pháp ẩn cổ điển. Nĩ cĩ sơ đồ ở hình 1.4. Sơ đồ này gọi là sơ đồ ẩn bốn điểm. Hệ (1.53) là một hệ ba đường chéo cĩ thể giải bằng phương pháp truy đuổi. 1.4.2.6. Phương pháp Crank - Nicolson (6 điểm đối xứng) Áp dụng (1.41), (1.44) ta cĩ: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ( , )1 [ 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ] ( , / 2) ( , / 2) ( ) i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j u x t u x t u x t u x t u x t h u x t u x t u x t h u ux t x t O h t x τ τ τ τ + + + + − + + − − − + − + − + = ∂ ∂ = + − + + + ∂ ∂ (1.54) Để cĩ ( , )ji i jv u x t≈ , ta viết bài tốn sai phân thay thế cho bài tốn vi phân: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 21 [ ] ( , / 2) 2 j j j j j j j j i i i i i i i i h i j v v v v v v v vL v f x t h hτ τ τ + + + + + − + −− − + − +≡ − + = + (1.55) 0 ( )i iv g x= (1.56) 0 ( ), ( ) j j a j N b jv g t v g t= = (1.57) Mỗi phương tình (1.55) chứa ba ẩn 1 1 11 1, ,j j ji i iv v v+ + +− + ở lớp trên j + 1 và ba ẩn 1 1, ,j j ji i iv v v− + ở lớp dưới j theo sơ đồ ở hình 1.5 Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 Sơ đồ này gọi là sơ đồ 6 điểm đối xứng hay sơ đồ Crank - Nicolson. Đặt 2/ hγ τ= , phương trình (1.55) viết: 1 1 1 1 1 1 1(1 ) 2 2 j j j j i i i iv v v Fγ γ γ + + + − +− + + = − (1.58) trong đĩ: 1 1 1 ( ) (1 ) ( , / 2) 2 j j j j i i i i i jF v v v f x tγ τ τ− += + + − + + (1.59) Các điều kiện (1.56), (1.57) cho 0 0, , j j i Nv v v . Khi biết jiv ở lớp j, phương trình (1.55) tức (1.58 ) cho phép tính 1jiv + nhưng phải giải một hệ đại số tuyến tính đối với 1 1 11 2 1, ,..., j j j Nv v v + + + − . Đây là một phương pháp ẩn. • Áp dụng phương pháp sai phân để tính tốn trường nhiệt độ trong phơi tấm với thơng số cụ thể: Một tấm phẳng ( bằng thép) cĩ chiều dày s=0,2 m được nung trong một lị nung cĩ nhiệt độ là 10000C, hệ số dẫn nhiệt λ= 55,8 W/m.K, nhiệt dung riêng c=460 J/Kg.K ; khối lượng riêng ρ=7800 Kg/m3 ; hệ số toả nhiệt từ bề mặt tới mơi trường là α=335W/m2. Ta sẽ tính tốn được trường nhiệt độ trong phơi phân bố như hình vẽ sau: (Chương trình tính kèm theo phần phụ lục) xi-1 xi xi+1 x t j-1 j j+1 Hình 1.5 Sơ đồ Crank - Nicolson Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 1.5. Kết luận chương 1 Trong chương này ta đã đi thành lập phương trình truyền nhiệt trong phơi tấm. Phương trình truyền nhiệt trong phơi tấ m chính là một phương trình vi phân đạo hàm riêng (partial differential equations). Việc tính tốn trường nhiệt trong phơi chính là ta phải đi giải phương trình trên với các điều kiện cụ thể . Ở chương này đã giới thiệu cơng cụ tốn học với hai phương pháp là giải tích và phương pháp số để giải bài tốn. Hạn chế của các phương pháp giới thiệu là khĩ khăn cho việc thực hiện các bài tốn điều khiển vì với các phương pháp thiết kế hiện nay, khi thiết kế bộ điều khiển, ta phải biết hàm truyền của đối tượng,..... Hình 1.6 Trường nhiệt độ trong phơi Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG MƠ HÌNH HÀM TRUYỀN ĐỂ XÁC ĐỊNH NHIỆT ĐỘ TRONG PHƠI TẤM 2.1. Đặt vấn đề Như đã biết với các hệ thống điều khiển muốn điều khiển một thơng số nào đĩ ta phải đo lường được thơng số đĩ và lấy được tín hiệu phản hồi . Tuy nhiên trên thực tế cĩ nhiều thơng số cơng nghệ của đối tượng cần điều khiển mà ta khơng thể đo trực tiếp được, vì vậy đặt ra vấn đề xây dựng mơ hình “Biết vỏ tìm Lõi” 2.2. Nghiên cứu đối tượng điều khiển Xét một lị gia nhiệt đốt một phía như hình vẽ (hình-2.1). Giả thiết thể tích buồng lị nhỏ, coi nhiệt độ trong lị là như nhau. Nếu bỏ qua sự truyền nhiệt qua đầu và cạnh của tấm kim loại phẳng, rộng đủ lớn với các thơng số sau: Hệ số dẫn nhiệt của tấm λ : W/m.K Hệ số truyền nhiệt của tấm α: W/ 2m Chiều dài a (mét) Chiều rộng b (mét) Chiều dày d (mét) Khối lượng riêng ρ: Kg/ 3m Nhiệt dung riêng c: J/kg.K Diện tích bề mặt tiếp xúc A=a*b ( 2m ) Ta coi phơi là một đối tượng động học và được chia thành n lớp.Đối tượng động học này cĩ lượng vào là nhiệt độ trong khơng gian lị; lượng ra là nhiệt độ của lớp d λ, T(t) Tf(t) Heat source Hình-2.1 Mơ hình phơi 1 lớp Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 dưới cùng. Việc chọn n bằng bao nhiêu tuỳ thuộc độ “Dày” của tấm và độ chính xác yêu cầu. 2.3. Xây dựng mơ hình hàm truyền đối với vật mỏng Vật mỏng là vật cĩ hệ số BIO<0,25; [1], trong trường hợp này ta coi phơi tấm như cĩ 1 lớp (n=1). Mơ hình đối tượng được xây dựng như sau: Dịng nhiệt chảy vào là : - ( - ) T Tf Q A T Tf R α= = Với 1 . R Aα = (2.1) Do khơng cĩ nhiệt chảy ra nên lượng nhiệt tích vào vật là: dT dT Q cm C dt dt = = Trong đĩ C=c.m (2.2) Vậy ta cĩ phương trình cân bằng nhiệt: T TdT f C dt R − = (2.3) Sử dụng phép biến đổi Laplace ta cĩ ( 1)CRTs T T CRs T Tf f= − ⇒ + = Đặt 1 ( ) . ( ) 1 RC T s T sfs τ τ = ⇒ = + Khi đĩ vật mỏng sẽ được mơ tả bởi hàm truyền: ( ) 1 W( ) ( ) 1 T s s T s sf τ = = + (2.4) Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 2.4. Xây dựng mơ hình hàm truyền khi phơi được chia thành 2 lớp (n=2) Dịng nhiệt chảy vào lớp 1 là: 1 ( )1 1 T TfQ A T Tf R α − = − = (2.5) Với 1 1 . R Aα = Dịng nhiệt chảy ra lớp 1 hay cũng là dịng nhiệt chảy vào lớp 2 1 2 1 1 2( )1 2/ 2 ( )2 / 2 A T T Q T T d R R A d λ λ − = − = = (2.6) Vậy phương trình cân bằng nhiệt là: 11 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 T TdT T Tf C dt R R dT T T C dt R − − = − − =       (2.7) Xuất phát từ phương trình 2 1 2 2 2 dT T T C dt R − = ta cĩ: 12 2 2 1 2 2 2 2( 1)C R T s T T C R s T T= − ⇒ + = Suy ra hàm truyền của lớp thứ 2: Tf(t) Heat source d/2 d/2 λ1, T1(t) λ2, T2(t) Hình-2.2 Mơ hình phơi 2 lớp Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 ( ) 12( )2 ( ) 11 2 2 T s W s T s R C s = = + (2.8) Xuất phát từ phương trình 11 1 2 1 1 2 T TdT T Tf C dt R R − − = − ta cĩ : 1 ( ) 1 12 2 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) f sW s s s R C R C R C R C T T− + +   =    Suy ra hàm truyền lớp 1 ( ) 11( )1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 12 2 1 1 1 2 1 T s W s T s R Cf W ss R C R C R C = =        − + +    (2.9) ( ) 1 ( )1 11 1 1 2 1 W (s)2 W s R R C s R = + + − (2.10) 2.5. Xây dựng mơ hình hàm truyền khi phơi được chia thành 3 lớp (n=3) Dịng nhiệt chảy vào lớp 1 là: 11 ( ) ( )1 1 1 ; T Tf Q A T T Rf R A α α − = − = = (2.11) Tf(t) Heat source d/3 d/3 d/3 λ1, T1(t) λ2, T2(t) λ3, T3(t) Hình-2.3 Mơ hình phơi 3 lớp Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Dịng nhiệt chảy ra lớp 1 (cũng chính là dịng nhiệt chảy vào lớp 2) 1 2( )1 1 2/ 3 2 / 3 2 1 1 A T T T T d R d R A Q λ λ − = − = = (2.12) Dịng nhiệt chảy ra lớp 2 (cũng chính là dịng nhiệt chảy vào lớp 3) 2 3( )2 2 3/ 3 3 / 3 ( )3 2 2 A T T Q T T d R d R A λ λ − = − = = (2.13) Do khơng cĩ nhiệt chảy ra lớp 3 nên từ (2.11), (2.12), (2.13). Ta cĩ phương trình cân bằng nhiệt: 11 1 2 1 1 2 2 32 1 2 2 2 3 3 2 3 3 3 T TdT T Tf C dt R R T TdT T T C dt R R dT T T C dt R − − = − −− = − − =         ⇔ 11 1 2 1 1 2 1 2 32 1 2 2 2 3 2 3 2 3 3 3 (a) (b) (c) T TdT T Tf dt R C R C T TdT T T dt R C R C dT T T dt R C − − = − −− = − − =          (2.14) Xuất phát từ phương trình (2.14c) ta xây dựng được hàm truyền của lớp thứ 3 ( ) 13( )3 ( ) 12 3 3 T s W s T s R C s = = + (2.15) Xuất phát từ phương trình (2.14b) ta xây dựng được hàm truyền của lớp thứ 2 Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 ( ) ( ) 12( ) 2 ( ) 1 2 2 1 ( )2 21 2 2 3 1 ( ) 1 13 3 2 2 2 3 2 1 W ( )3 T s W s T s R C W s R R C s R W ss R C R C R C s = = = + +        − + +    − (2.16) Xuất phát từ phương trình (2.14a) ta xây dựng được hàm truyền của lớp thứ 1 ( ) ( ) 11( )1 ( ) 1 1 1 ( )1 11 1 1 2 1 ( ) 1 12 2 1 1 1 2 1 1 W ( )2 T s W s T s R Cf W s R R C s R W ss R C R C R C s = = = + +        − + +    − (2.17) 2.6. Xây dựng mơ hình hàm truyền khi phơi được chia thành 4 lớp (n=4) Dịng nhiệt chảy vào lớp 1 là 11 ( ) ; ( )1 1 1 T TfA T T Rf R A Q α α − = − = = (2.18) Dịng nhiệt chảy ra lớp 1 (cũng chính là dịng nhiệt chảy vào lớp 2) Tf(t) Heat source d/4 d/4 d/4 d/4 λ1, T1(t) λ2, T2(t) λ3, T3(t) λ4, T4(t) Hình-2.4 Mơ hình phơi 4 lớp Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 / 41 2( ) ; ( )1 1 2 2/ 4 2 1 1 A T T d T T R d R A Q λ λ − = − = = (2.19) Dịng nhiệt chảy ra lớp 2 (cũng chính là dịng nhiệt chảy vảo lớp 3) / 42 3( ) ; ( )2 2 3 3/ 4 3 2 2 2 A T T l d T T R d R A A Q λ λ λ − = − = = = (2.20) Dịng nhiệt chảy ra lớp 3(cũng chính là dịng nhiệt chảy vào lớp 4) 3 3 / 43 4( ) ; ( )3 3 4 4/ 4 4 Q A T T d T T Rd R A λ λ − = − = = (2.21) Do khơng cĩ nhiệt chảy ra ở lớp 4 nên từ (2.18), (2.19), (2.20), (2.21) ta cĩ hệ phương trình cân bằng nhiệt: 11 1 2 1 1 2 2 32 1 2 2 2 3 3 2 3 3 4 3 3 4 3 44 4 4 T TdT T Tf C dt R R T TdT T T C dt R R d TT T T T C dt R R T TdT C dt R − − = − −− = − − − = − − =             (a) (b) (c) 11 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 3 4 3 3 4 3 4 3 4 4 4 T TdT T Tf dt R C R C dT T T T T dt R C R C dT T T T T dt R C R C dT T T dt R C − − = − − − = − ⇔ − − = − − = (d)            (2.22) Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Xuất phát từ phương trình (2.22d) ta xây dựng được hàm truyền của lớp thứ 4 ( ) 14( )4 ( ) 13 4 4 T s W s T s R C s = = + (2.23) Xuất phát từ phương trình (2.21c) ta xây dựng được hàm truyền của lớp thứ 3 ( ) 1 ( ) 1 14 4 3 3 3 4 3 1 W ( )4 1 ( )3 3 3 1 ( )3 31 3 3 4 W ss R C R C R C s W s R C W s R R C s R        − + +    − = = + + (2.24) Xuất phát từ phương trình (2.22b) ta xây dựng được hàm truyền của lớp thứ 2 ( ) 1 ( ) 1 13 3 2 2 2 3 2 1 W ( )3 1 ( )2 2 2 1 ( )2 21 2 2 3 W ss R C R C R C s W s R C W s R R C s R         − + +    − = = + + (2.25) Xuất phát từ phương trình (2.22a) ta xây dựng được hàm truyền của lớp thứ nhất: ( ) 1 ( ) 1 12 2 1 1 1 2 1 1 ( )2 ( ) 11( )1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 11 1 1 2 W ss R C R C R C W s T s W s T s R Cf W s R R C s R        − + +    − = = = + + (2.26) Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 2.7. Xây dựng mơ hình hàm truyền khi phơi đựơc chia thành n lớp 1 1W ( )n 1s R C sn n R Cn n             = + n-1 1 1 n 1 1 1 1 1 W ( ) 1 1 1W ( ) n n n n n n n n ss R C R C R C s R C− − − − − −        − + +    = . . . 3 3 3 4 4 3 3 3 4 3 1 W ( ) 1 1 1W ( ) ss R C R C R C s RC        − + +    = 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 1 W ( ) 1 1 1W ( ) ss R C R C R C s RC        − + +    = Tf(t) Heat source d/n d/n d/n λ1, T1(t) λ2, T2(t) λn, Tn(t) ... ... Hình-2.5 Mơ hình phơi n lớp Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 2 2 1 1 1 2 1 1W ( )1 1 1 1 W ( ) 1 1s R C ss R C R C R C =        − + +    Hay: ( ) ( )4 ( ) 1( ) 1( )1 1( )1 11 1 1 1( )3 31 3 3 4 1( )2 1 2 2 1 ( ) 1 ( ) n T snW sn R C sT s n nn W sn RnR C sn n Rn W s R R C s R W s R C s W s W s = = +− =− −+ +− − ⋅ ⋅ ⋅ = + + = + − − ( ) ( ) 3 2 ; 1 2 1 2 3 1( ) 1 11 1 1 2 1 d/n d/n d/n(R = ; R = R = ... R = )n1 2 3A A A A 1 ( ) 1 ( ) ; ; n R R W s R R C s R W s W s α λ λ λ − + = + + − − Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 2.8. Ví dụ tính tốn hàm truyền từng lớp khi chia phơi thành 1 lớp và 3 lớp Lấy vật liệu là thép tấm với các thơng số như sau : Hệ số dẫn nhiệt của tấm λ =55.8 w/m.K (Ở đây coi hệ số dẫn nhiệt của tấm là hằng số) Khối lượng riêng: ρ=7800kg/ 3m Nhiệt dung riêng c=460 j/kg.K Hệ số truyền nhiêt α=335 w/ 2m Chiều dài tấm a=40 cm=0.4 m Chiều rộng tấm b =25 cm =0.25 m Chiều dày tấm d =5 cm =0.05 m Diện tích bề mặt tấm :A=a*b =0.4*0.25 =0.1 2m - Giả sử coi tấm thép là 1 lớp : Khi đĩ sự truyền nhiệt qua tấm là truyền nhiệt đối lưu : V=0.4*0.25*0.05 = 0.005 3m m=V*ρ =0.005*7800 =39 kg C =m*c =39*460 =17940 R=0.0299 Hàm truyền đối tượng là 1( ) 1 W s RCs = + 1( ) 536.406 1 W s s = + - Giả sử coi tấm thép là 2 lớp: Khi đĩ chiều dày mỗi lớp là d/2=0.05/2 m V1=V2=.4*0.25*0.025=0.0025 3m m1 =m2 =V1*ρ =0.0025*7800 =19.5 kg C1 =C2 =m1*c =19.5 *460 = 8970 1 1 1 0.0299 0.1*335 R Aα = = = Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 2 / 2 0.025 0.00448 55.8*0.1 dR Aλ = = = Hàm truyền từng lớp của đối tượng là : 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 ( ) 1 1 1( ) ( ) 1 0.00448*8970 1 40.1856 1 1 40.1856 1( ) 10762 575.7127 11 (1 W (s)) T sW s T s R C s s s SW s R s sR C s R = = = = + + + + = = + ++ + − - Giả sử coi tấm thép là 3 lớp Khi đĩ chiều dày mỗi lớp là d/3=0.05/3 m V1=V2=V3 =0.4*0.25*(0.05/3) 3m m1=m2=m3 =V1*ρ=0.4*0.25*(0.05/3)*7800=13kg C1=C2=C3 =m1*c =13*460 =5980 1 1 1 0.0299 0.1*335 R Aα = = = 2 3 / 3 0.05 / 3 0.00299 55.8*0.1 l dR R A Aλ λ = = = = = Hàm truyền từng lớp của đối tượng là : 3 3 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 1 3 2 1 1 1 2 2 ( ) 1 1( ) ( ) 1 17.88 1 1 17.88 1( ) 318.85 53.55 11 (1 W (s)) 1 318.85 53.55 1( ) 57449 13127 589.05 11 (1 W (s)) T sW s T s R C s s sW s R s sR C s R s sW s R s s sR C s R = = = + + + = = + ++ + − + + = = + + ++ + − Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 2.9. Kết quả mơ phỏng cho bộ quan sát nhiệt độ - Khi coi tấm phơi là 1 lớp: Hình -2.6 Bộ quan sát phơi 1 lớp và kết quả mơ phỏng Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 - Khi coi tấm phơi là 2 lớp: Hình -2.7 Bộ quan sát phơi 2 lớp và kết quả mơ phỏng Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 - Khi coi tấm phơi là 3 lớp ta cĩ : Hình -2.8 Bộ quan sát phơi 3 lớp và kết quả mơ phỏng Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 2.10. Kết luận Dựa trên các định luật về truyền nhiệt, các phương trình cân bằng nhiệt ta đã xây dựng được mơ hình hàm truyền cho phơi 1 lớp, 2 lớp, 3 lớp, 4 lớp, từ đĩ tổng quát hĩa ta đã xây dựng được mơ hình hàm truyền của phơi khi được chia thành n lớp. Đây chính là những mơ hình quan sát nhiệt độ được mơ tả tốn học dưới dạng hàm truyền. Những mơ hình quan sát này sẽ cho ta xác định được nhiệt độ tại một điểm bất kì ở một thời điểm bất kì. Đây cũng chính là cơ sở cho vi ệc điều khiển trường nhiệt độ trong phơi thỏa mãn một cơng nghệ đặt ra. Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 CHƯƠNG 3 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN NHIỆT ĐỘ TRONG PHƠI TẤM 3.1. Giới thiệu một số phương pháp thiết kế 3.1.1. Phương pháp đa thức đặc trưng cĩ hệ số suy giảm thay đổi được Phương pháp hệ số suy giảm ( Phương pháp đa thức đặc trưng cĩ hệ số suy giảm thay đổi được) dựa vào đa thức chuẩn bậc 2 được nghiên cứu đầy đủ để tổng quát cho bậc cao hơn. - Xét hệ bậc 2 : Giả sử hệ bậc 2 cĩ hàm truyền ( ) 2 0 0 2 2 2 0 1 2 0 0. 2 . . aW s a a s a s s s ω ω ξ ω = = + + + + (3.1) ξ : hệ số suy giảm 0ω : tần số riêng Khi hệ số suy giảm thay đổi sẽ làm chất lượng của hệ thay đổi, khảo sát chất lượng của hệ khi ξ thay đổi, cụ thể ξ càng nhỏ độ qúa điều chỉnh càng tăng lên. Ta cĩ : 2 2 1 0 2 4 a a a ξ = - Phương pháp đa thức đặc trưng cĩ hệ s ố suy giảm thay đổi được cho hệ bậc cao Giả sử hàm truyền của hệ cĩ dạng: ( ) 0 1 1 0 ... asasa a sW n n n n +++ = − − (3.2) Ta dùng hệ số đặc trưng như sau: 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 0 2 1 3 2 1 1 0 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 0 0 2 0 2 1 1 , ;........; ; ; ;..............; ; ; ;.......; n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a α α α α ω ω ω ω ω ω ωα α α ω ω ω − − − − + − − + − = = = = = = = = ⇒ = = = = = Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Một đa thức đã cho được xác định bằng cách cho một tần số đặc trưng thứ nhất ω0 và hệ số suy giảm α lấy cố định. Vậy ta tính được các thơng số khác được xác định bằng cách nhân kế tiếp nhau với α. 2 2 20 1 0 1 01 0 1 1 0 3 0 1 2 0 2 0 1 2 ; ; ;a a a aa a a a a a a a ω ω ω ω αω ω α ω= = = = = = Tương tự như vậy ta xác định: 2 30 0 0 0, , , , ...ω αω α ω α ω Thơng thường ta chọn a0 = 1 và a1=1 3 0 3 3 2 0 1 2 1 0 0 0 11 1 −− −− − = = ==⇒= ωα ωα ω ω a a aaa Vậy ta cĩ: ( ) kkk k k k a −−−= = 0 2/1 0 ωα ωαω Chú ý 1 % 0 0 2,2 2,2 at aσ ω ≈ = : Khi cho cùng 1 số hệ số α cho các giá trị n khác thì chất lượng của hệ thống thay đổi, n càng lớn thì thời gian hàm quá độ lần đầu tiên đạt xác lập càng nhỏ. Hệ số α cĩ tính chất của hệ số suy giảm, khi α càng bé hệ dao động càng mạnh, α < 1,5 hệ trở lên mất ổn định, α nhỏ độ quá điều chỉnh σ% lớn Lượng quá điều chỉnh quan hệ với α theo cơng thức kinh nghiệm Lg(σ%)=4,8 – 2α (3.3) Thời gian quá độ đạt cực đại (3.4) Người ta thường chọn α > 1,6 Bảng - 3.1 Bảng tính sẵn một số giá trị σ% theo α α 1,6 1,75 2 2,4 σ% 40 20 6 1 Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 - Xét ảnh hưởng của tử số hàm truyền Giả sử hàm truyền kín của hệ cĩ dạng: ( ) 0 1 1 0 1 1 ... '...'' asasa asasa sW n n n n m m m m +++ +++ = − − − − (3.5) Khi m tăng thì σ% tăng và σt giảm, để cĩ chất lượng σ % cho trước người ta dùng hệ số hiệu chỉnh như sau: • Xét khi tử số hàm truyền cĩ dạng bậc 1 ( ) 0 1 1 01 ... '' asasa asa sW n n n n +++ + = − − (3.6) ( ) 1 0 0 0 0 ' ' ' 5,1 ' 45,1' a a = −+= ω α ω ω α (3.7) Khi thiết kế α’ được xác định theo mẫu số của (3.6) sau đĩ dùng cơng thức (3.7) để xác định lại α rồi xác định lượng quá điều chỉnh theo cơng thức (3.3) Thời gian quá độ được tính:       −= 00 '4 112,2 ωωσ t (3.8) • Khi tử số hàm truyền cĩ dạng bậc 2 ( ) 0 1 1 01 2 2 ... ''' asasa asasa sW n n n n +++ ++ = − − (3.9) Ta cĩ : Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 ( )       −= == −+= 00 20 12 1 0 0 2 0 2 03 ' 112,2 '' '4, ' ' ' 5,1 ' 6,15,1' ωω ξω α ω ω ξα σt aa a a a 3.1.2. Phương pháp bù hằng số thời gian trội - Khái niệm chung Trong các hệ thống điều khiển đối tượng cơng nghiệp ta thường gặp các đối tượng cĩ 1 hoặc 2 hằng số thời gian lớn, trong khi đĩ cơ cấu điều khiển chúng lại cĩ hằng số thời gian rất bé Khi đối tượng điều khiển cĩ 1 hoặc 2 hằng số thời gian lớn nếu ta thiết kế bộ điều khiển cĩ khả năng bù được những hằng số thời gian lớn đưa hệ kín của hệ thống về dạng bậc 2 chuẩn cĩ dạng: ( ) 2 00 2 2 0 2 ωξω ω ++ = ss sWk (3.10) Các đối tượng cơng nghiệp nĩi chung thường làm việc trong cùng 1 tần số thấp, mong muốn ( ) 1→ωjWk khi ω → 0 (3.11) Khi ω → 0 hàm tuyến tính số hở Wh(j ω ) → ∞, nên trong hệ phải cĩ khâu tích phân Với tần số cao, điều kiện (3.11) khơng thoả mãn được Vậy khi ω → 0 thì ( ) 0→ωjWk do đĩ tần số cắt càng lớn càng tốt - Xác định thơng số của bộ điều chỉnh theo tiêu chuẩn phẳng Theo tiêu chuẩn phẳng hệ cĩ hành vi tích phân ( )kW jω ω Hình-3.1 Đặc tính biên-tần của hàm mơdun tối ưu 1 ωc Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 xét trường hợp tổng quát: ( ) 1 1 1 1 1 1 bs nn dt k jsk bj W s K T s T s= = = ∏ + +∏ (3.12) Tsk: Là các hằng số thời gian lớn của đối tượng Tbj : Là các hằng số thời gian bé của đối tượng Chú ý ( ) ( ) 1 1 1 dn dc k ki d s k sk W s T s T s n n T T = = + =  = ∏ : Đối tượng phải đưa về phản hồi -1 Nguyên tắc chung là bù đủ các hằng số thời gian trội trong mạch hở. Do vậy trong mạch chỉ cịn lại hằng số thời gian bé. Khi hệ cĩ 1 hằng số thời gian lớn chọn bộ điều chỉnh là PI, khi hệ cĩ 2 hằng số thời g ian trội chon bộ điều chỉnh là PID, nếu đối tượng cĩ nhiều hơn 2 hằng số thời gian trội thì dùng phương pháp nối tiếp các bộ điều chỉnh, hoặc dùng phương pháp khác. Chọn bộ điều khiển: (3.13) Tuy trường hợp cĩ nhiều hằng số thời gian bé, thì hằng số thời gian bé tương đương được tính: 1 bn b bj j T T = =∑ (3.14) Sau khi đã bù đủ, hệ hở cĩ dạng: ( ) 1 1 1 bn h ji bj KW s T s T s= = +∏ (3.15) Ti là hằng số tích phân của bộ điều chỉnh cần được xác định (-) x Wh(s) y Hình 3.2 Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 Khi đã bù đủ hệ kín cĩ hàm truyền : ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1 bk n i bj h j W s T s T sW s k = = = + + +∏ (3.16) Bình phương modul đặc tính tần hệ kín ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = ω − ω = + + − + = ω  + − ω + − ω + +      ∏ ∏ ∑ ∑ ∏ 2 1 1 2 6 2 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 2 2 1 bb b n nk k k b b i i bj bj j j nn n i i i bj bj i bj j j j W s W j W j Ts Ts T s T s K K T T T T T T T k K K K (3.17) Để thoả mãn điều kiện (3.11) người ta thường thiết kế sao cho: ( ) ( ) 1 1 2 1 0 2 1 2 b bn n i bj i bj b j j T T T K T KT K = = − + = ⇒ = + =∑ ∑ Hàm truyền của hệ kín sau khi đã chọn bộ điều chỉnh cĩ dạng: ( ) 22221 1 sTsT sW bb k ++ =∗ Tiêu chuẩn phẳng được tổng kết theo bảng 3.2. x x Im b 1J. 2T b 1-J. 2T b 1- 2T . Re Hình-3.3 Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 tt Bộ điều chỉnh Tn Tv Tv2 Ti 1 PI : sT sT i n 1+ T1 - - 2KTb 2 ( )( )+ +1 1 : T s T sn v PID T si T1 T2 - 2KTb 3 ( )( )( )21 1 12 : n v v i T s T s T s PID T s + + + T1 T2 T3 2KTb Bộ điều chỉnh PID2 ít dùng, vì khĩ thực hiện được phần cứng. • Hàm quá độ đối với tín hiệu đặt: Hàm truyền kín của hệ sau khi chọn bộ điều chỉnh : ( ) 22221 1 sTsT sW bb k ++ =∗ (3.18) bT2 1707,0 2 1 0 === ωξ Hàm quá độ : ( ) ( ) ( )[ ]bbTt TtTteth b 2/sin2/cos1 2/ −−= − (3.19) • Tác động quá độ với tác động của nhiễu: Hàm nhiễu f viết dạng: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sTsTsWsW sWsW sW sE sYsW bb dcdt dcdt dt f + =⇒ + == 12 1 1 (3.20) dcW ( )s dtW ( )s x e f y (-) Hình-3.4 Bảng - 3.2 Lựa chọn bộ điều khiển theo tiêu chuẩn phẳng Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 Xét đối tượng cĩ 2 hằng số thời gian lớn : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 21 2 1 2 2 11 1 11 1 1 1 1 2 21 2 1 b b f b b b b KT s T s W s T s T s T s T s T s T s sT T s + = = + + + + + ++ + (3.21) Hàm truyền cĩ điểm khơng: 0 và -1/Tb Xét trạng thái của hệ khi cĩ nhiễu ở trạng thái xác lập Giả sử f(t) = 1(t) → 1( )F s s = Y(s) = Wf(s)F(s) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 20 0 1 2 2 1 lim lim 0 1 1 1 2 2 b b s s b b KT s T s y sY s s T s T s T s T s→ → + ∞ = = = + + + + ở chế độ xác lập ảnh hưởng của nhiễu khơng cịn nữa giả sử đối tượng cĩ 1 hằng số thời gian trội ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 dt b b f b b KW s T s KT T s W s T s T s T s = + + = + + + Ta cũng chứng minh tương tự : ( ) ( ) 0=∞=∞ fhy 3.1.3. Thiết kế bộ điều chỉnh cho hệ cĩ hành vi tích phân - Đặt vấn đề Ta xét đối tượng bậc 1 ( ) ( )( )1 1 1b KW s T s T s = + + (3.22) Theo tiêu chuẩn phẳng, chọn bộ điều chỉnh là PI: ( ) 1 1 2dc b T sW s KT s + = (3.23) Giả sử hằng số thời gian T1 rất lớn thì bộ điều chỉnh PI cĩ tác dụng như bộ điều chỉnh P do thành phần tích phân khơng cịn nữa, tương tự bộ điều chỉnh là PID kết quả cĩ hiệu quả như PD, nhưng vẫn cịn sai lệch tĩnh Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 Khi T1 rất lớn ta cĩ: ( ) ( )( )( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 b b b b f b b b b KT s T s KT T s W s T s T s T s T T s T s + + = = + + + + + (3.24) Ta thấy ở chế độ xác lập s→ 0 nhưng Wf(s) khơng thể bằng khơng. Như vậy khi hệ cĩ hành vi tích phân hay cĩ hằng số thời gian quá lớn mà dùng tiêu chuẩn đối xứng , thì sẽ dẫn đến sai lệch tĩnh đối với tín hiệu đặt và với nhiễu. - Thiết kế bộ điều chỉnh cĩ hành vi tích phân theo tiêu chuẩn đối xứng Để cĩ tác động nhanh đối với nhiễu, cần cĩ hệ số khuếch đại lớn khi tần số bé, cĩ thể chọn hằng số thời gian của bộ điều chỉnh như sau: 1 2 ...d d dn dT T T T= = = = Bộ điều chỉnh cĩ dạng: ( ) ( ) 1 dnd dc i T s W s T s + = (3.25) Hàm truyền hệ hở: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 s n h n i b k k K T s W s T s T s T s = + = + +∏ (3.26) Khi hằng số thời gian của đối tượng là rất lớn ( ) ( ) ( ) 1 1 1 d s s n n h n n i b k k K T s W s T s T s s T = + ≈ + ∏ (3.27) Cũng như tiêu chuẩn phẳng, điều kiện trước tiên là: ns = nd. Để đơn giản ta dùng kí hiệu: 0 1 d d n d n k k KTK T = = ∏ Suy ra (3.27) cĩ dạng: ( ) ( ) 0 1 1 sn d h i b d K T sW s T s T s sT  + ≈  +   (3.28) Dùng phép biến đổi gần đúng: Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 1 1 11 1 s sn n d s de d d de de d de s T s n T s T s T s T s T s TT n    + + = + ≈ + =        = (3.29) Vậy ta cĩ : ( ) ( ) ( ) 0 2 0 1 1 1( ) 1 1 de h i b de de k de i de b K T sW s sT T s T s T sW s T TT s s T s K + = + + = + + + (3.30) Bình phương modul đặc tính tần hệ kín cĩ dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 24 2 2 2 6 0 0 0 0 1 1 2 2 de k k k i de i i de b i de de b TW W j W j D T T T T T T TD T T T K K K K ω ω ω ω ω ω ω ω ω + = − ≈       = + − + − +            để cho ( ) ( ) 11lim 22 0 →⇒→ → ωω ω DjW Ta rút ra : 0 2 4 i b de b T K T T T =  = (3.31) Thơng số của bộ điều chỉnh được chọn theo: 0 1 1 4 2, s s s s d de d s b s n n d d s d i bn n k k k k TT T n T n KT KTn n K T T T T = = = ⇒ = = = ⇒ = ∏ ∏ (3.32) Vậy ta cĩ hàm truyền của hệ hở: ( ) ( ) 1 4 1 4 2 1 b h b b b T sW s T s T s T s ∗ +≈ + (3.33) Luận văn thạc sỹ kĩ thuật Số hĩa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 đặc tính tần số logarit của hệ hở ( )sWh∗ đối xứng nhau qua tần số cắt b c T2 1 =ω nên gọi là tiêu chuẩn đối xứng tt Bộ điều chỉnh Tn Tv Tv2 Ti 1 sT sT PI i n+1: bT4 - - 2 1 8 b K T T 2 ( )( ) sT sTsT PID i vn ++ 11: bT8 bT8 - 3 1 2 128 b K T TT 3 ( )( )( )21 1 12 : n v v i T s T s T s PID T s + + + bT12 bT12 bT12 4 1 2 3 3456 b K T TT T Biểu thức (3.33) là biểu thức x ấp xỉ khi hệ là bậc 1 và._.