Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 8: Hệ phương trình vi phân thường bậc I và Phương trình vi phân bậc cao - Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

; y y y y x y  dx n1 2 n n 0 0 n Dạng véctơ: fx,yT yx1   1   d    T T y y f x, y  y22 x T  f x,y   dx ;;,y xx    f y    (2)      yy x00    T  yxn   fx,y  n   So sánh phát biểu của PTVP và Hệ PTVP thường bậc I 4 dy  d T y f x,; y y y f x,; y  dx dx   yya  ; y a  y0 ;    0   x a  x  b  x  x0  a  x  b  xn  0 N   Hầu hết các phương pháp dùng để giải phương trình vi phân thường bậc I đều có thể áp dụng để giải hệ PTVP bậc I, chỉ với định dạng Véctơ. Phương pháp Euler tường minh 5 i từ 0 đến N-1 φ fx , y T i f x i, y i  i i i    yi11 y i  h  i yy i  i  h φ i ; (3) x x  h x  x  h  i11 i i i fx,y T yx1  i  1  ii   T y22 xi T  f x i,y i   yi ;, f x i y i          T  yxni  fx,y  n i i  Phương pháp Euler tường minh 6 dy 1 1 y   y  y  x2 (4) yy03   dx 12 1 2  1 1,0  Với điều kiện ban đầu:  1 dy2 yy0   y  y  y  2 x (5)  2  2,0  dx 2 1 2  5 ba30 Cho biết: hN0.25     12 h 0.25 Dạng Véctơ: d T  fx,y 1 2 y y f x, y yx1    1    y  y  x  dx ;;,y xx    f yT      2 12  yx T 2   fx2  ,y     yy x00  y12 y2 x 7 1 - Từ (4): 46 y  y  y  x2   2 12 1 dy 1 - Đạo hàm hai vế của (6): 6 2 y  y   y   2 x  7 dx 2 12 1 112 - Thế (6) và (7) vào (5): 5 y1  y 1   2 x  y 1  y 1   y 1  x  2 x 22 31 y  y   y  x2 (8) 122 1 1 31 - Tìm nghiệm chung của phương trình (8): y y   y  0 (9) 122 1 1 31  Phương trình đặc trưng: 2    0 (10) 22 8 17 3    17  3  3 17 3 17 xx    10     ;    Y x  C e44   C e   (11) 14 4 2 4 4 1 1 2 - Tìm nghiệm riêng của phương trình (9), sẽ có dạng:  y x2 Ax B 2  1   y1  x  Ax  Bx  C     y1  x  2 A - Vậy: 31 9  2A  2 Ax  B  Ax22  Bx  C  x 22  A 1 A 2 ABBC22  3  2 x3 A  x  2 A  x  B 12 2 2   2 2  BBC  3  3AA    2     0 C 44 2   2 2  9 - Vậy lời giải đầy đủ của hàm y1(x) là: 17 3    17  3  xx    44    2 (12) yxYxyx1   1   1   yxCe 1   1  Ce 2 2 x  12 x  44 - Đi tìm y2(x): Ta đạo hàm 2 vế của (12) 17 3    17  3  dy 17 3xx  17 3   12 1 y x   C  e44    C  e    4 x  12 (13) dx 144 1 2 - Thế (13) vào (6): 17 3    17  3  17 3xx  17 3   6 y x   C  e44    C  e    4 x  12 244 1 2  17 3    17  3  CCxx    12e44   e    x22 6 x  22  x 22  17 3    17  3  10 17 1xx  17 1   y x   C  e44    C  e   2 x2  10 x  34 (14) 244 1 2 Vậy:  17 3    17  3  xx    y x C e44   C e   2 x2  12 x  44  1  1 2  17 3    17  3  (15) xx     17 144  17 1   y x   C  e    C  e   2 x2  10 x  34  244 1 2 - Để tìm C1 và C2 ta dựa vào các điều kiện ban đầu:  CC 44  3 47 919 17 y1 03   12 C1     2 170 1  17 1 17 1 1  (16) y2 0  CC12   34   47 919 17  5  4 4 5 C   2 2 170 11 Như vậy lời giải chính xác của hệ phương trình là:  17 3    17  3  47 919 17 xx   47 919 17    y x  e44    e   2 x2  12 x  44 1        2 170   2 170   17 3    17  3   17 1 47 919 17 xx  17 1  47 919 17    y x  e44   e   2 x2 10 x 34  2        4 2 170  4  2 170  (17) y x 45.78902394 e0.2807764065xx  1.21097606 e  1.780776406    2 x2  12 x  44  1 (18)  0.2807764065xx   1.780776406   2 y2  x 35.7509895  e  1.550989567  e  2 x  10 x  34 Phương pháp Euler tường minh 12 1. i=0: 112 T 1 fx,y 2  30   T 1 0 0   y1,0  y 2,0  x 0  25  1.3 φ0 f x 0, y 0     2        T 1 2.8 fx2 0,y 0        y1,0 y 2,02 x 0 3  2  0 5 fx,yT 3 y1,0  1 0 0     1.3   2.675  yy hh φ      0.25 1 0 0   T  1      y2,0 fx,y 2.8   0.9   2 0 0   5  x10 x  h 0  0.25  0.25 Phương pháp Euler tường minh 13 2. i=1: fx,yT 1 2 1 2 T 1 1 1   y1,1  y 2,1  x 1   2.675  0.9  0.25  0.375 φ1 f x 1, y 1     2   2     T 1.275 fx2 1,y 1        y1,1 y 2,12 x 1 2.675 0.9  2  0.25 fx,yT y1,1  1 1 1   2.675   0.375   2.58125  yy hh φ     0.25   2 1 1   T        y2,1 fx,y 0.9 1.275 1.21875  2 1 1        x21 x  h 0.25  0.25  0.5 Phương pháp Euler tường minh 14 3. i=2: fx,yT 1 2 1 2 T 1 2 2   y1,2  y 2,2  x 2   2.58125  1.21875  0.5  0.178125 φ2 f x 2, y 2     2   2     T 0.3625 fx2 2,y 2        y1,2 y 2,22 x 2 2.58125 1.21875  2  0.5 fx,yT y1,2 1 2 2  2.58125   0.178125   2.62578125  yy hh φ     0.25   3 2 2  T        y2,2 fx,y 1.21875 0.3625 1.309375  22 2        x32 x  h 0.5  0.25  0.75 Tiếp tục cho đến bước số 12: i=11 15 16 Phương pháp RK2-Euler cải tiến 17 i từ 0 đến N-1  T k f x, y K1,i f x i, y i  1,i i i    T  11  11 k2,i f x i  h, y i  k 1, i h K fx  h, y  h K 22 2,i i i 1 (19) 22  yi1 y i  h  k 2, i yi1 y i h  K 2, i  xii1  x h xii1  x h fx,y T yx1  i  1  ii   T Phương pháp RK2-Euler cải yx2  i  T fx2  ii,y  yi;, f x i y i   tiến còn gọi là RK2 điểm giữa    T yxni  fx,y  n i i  Phương pháp RK2-Euler cải tiến 18  11 1. i=0: 1 2  2  30   T y1,0  y 2,0  x 0  25  1.3 K1,0 f x 0, y 0  2           1   2.8 y1,0 y 2,02 x 0 3  2  0  5  T  1 1T  13  1   1.3    K2,0 fx 0  h, y 0  h K 1,0  f 0   0.25,    0.25    2 2 20.2 2 2.8         f 0.125,2.8375,0.55   1 2  2.8375  0.55  0.125 0.853125  2     2.0375  2.8375 0.55  2  0.125  3   0.853125   2.78671875  y1 y 0 h  K 2,0   0.25        0.2   2.0375   0.709375   x10 x  h 0  0.25  0.25 Phương pháp RK2-Euler cải tiến 19 2. i=1:  1 2 1 2 y1,1  y 2,1  x 1   2.78671875  0.709375  0.25  0.621484375 K fx , y T 2    1,1 1 1    2        1.57734375  y1,1 y 2,12 x 1 2.78671875 0.709375  2  0.25  T T  1 1 1 2.78671875 1   0.621484375   K2,1 fx 1  h, y 1  h K 1,1  f  0.25   0.25,   0.25    2 2 2 0.7093752 1.57734375         f 0.375,2.709033203,0.906542968     1   2.709033203  0.906542968  0.3752 0.307348633  2  1.052490235  2.709033203 0.906542968  2  0.375   2.78671875   0.307348633   2.709881592  y2 y 1 h  K 2,1   0.25        0.709375 1.052490235 0.972497558        x21 x  h 0.25  0.25  0.5 Phương pháp RK2-Euler cải tiến 20 3. i=2:  1 2 1 2 y1,2  y 2,2  x 2   2.709881592  0.972497558  0.5  0.132443238 K fx , y T 2    1,2 2 2    2        0.737384034  y1,2 y 2,22 x 2 2.709881592 0.972497558  2  0.5  T T  1 1 1 2.709881592 1   0.132443238   K2,2 fx 2  h, y 2  h K 1,2  f  0.5  0.25,    0.25    2 2 2 0.9724975582 0.737384034         f 0.625,2.693326187,1.064670562     1   2.693326187  1.064670562  0.6252 0.108632468  2  0.378655625  2.693326187 1.064670562  2  0.625   2.709881592   0.108632468   2.737039709  y3 y 2 h  K 2,2   0.25        0.972497558 0.378655625 1.067161464        x32 x  h 0.5  0.25  0.75 21 22 Phương pháp RK2-Heun 23 i từ 0 đến N-1  T k f x, y K1,i f x i, y i  1,i i i    T k f x  h, y  k h K fx  h,  y  h K 2,i i i 1, i  2,i i i 1, i  (20)  1 1 yi1 y i  h  k 1, i  k 2, i  yi1 y i h  K 1, i  K 2, i  2 2  xii1  x h xii1  x h fx,y T yx1  i  1  ii   T y22 xi T  f x i,y i  yi;, f x i y i      T yxni  fx,y  n i i  Phương pháp RK2-Heun 24  11 1. i=0: 1 2  2  30   T y1,0  y 2,0  x 0  25  1.3 K1,0 f x 0, y 0  2           1   2.8 y1,0 y 2,02 x 0 3  2  0  5  T  T 3    1.3    K2,0 fx 0  h, y 0  h K 1,0  f 0  0.25,   0.25      0.2 2.8         f 0.25,2.675,0.9  1  2.675 0.9 0.252 0.375   2     1.275  2.675 0.9  2  0.25  h 3 0.25    1.3    0.375    2.790625  y1 y 0   K 1,0  K 2,0               220.2   2.8   1.275   0.709375   x10 x  h 0  0.25  0.25 Phương pháp RK2-Heun 25 2. i=1:  1 2 1 2 y1,1  y 2,1  x 1   2.790625  0.709375  0.25  0.6234375 K fx , y T 2    1,1 1 1    2        1.58125  y1,1 y 2,12 x 1 2.790625 0.709375  2  0.25  T  T 2.790625  0.6234375  K2,1 fx 1  h, y 1  h K 1,1  f  0.25  0.25,  0.25   0.709375 1.58125      f 0.5,2.634765625,1.1046875     1 2   2.634765625  1.1046875  0.5 0.037304687  2    0.530078125  2.634765625 1.1046875  2  0.5   h 2.7906250.25   0.6234375   0.037304687    2.717358398  y2 y 1   K 1,1  K 2,1               2 0.709375 2 1.58125 0.530078125 0.973291015          x21 x  h 0.25  0.25  0.5 Phương pháp RK2-Heun 26 3. i=2:  1 2 1 2 y1,2  y 2,2  x 2   2.717358398  0.973291015  0.5  0.135388183 K fx , y T 2    1,2 2 2    2        0.744067382  y1,2 y 2,22 x 2 2.717358398 0.973291015  2  0.5  T  T 2.717358398   0.135388183   K2,2 fx 2  h, y 2  h K 1,2  f  0.5  0.25,  0.25     0.973291015 0.744067382         f 0.75,2.683511352,1.159307861     1 2   2.683511352  1.159307861  0.75 0.380052184  2    0.024203491  2.683511352 1.159307861  2  0.75   h 2.717358398 0.25    0.135388183   0.380052184    2.747941398  y2 y 1   K 1,1  K 2,1               220.973291015 0.744067382 0.024203491 1.069324874          x21 x  h 0.5  0.25  0.75 27 28 Phương pháp RK2-Ralston 29 i từ 0 đến N-1  T k f x, y K1,i f x i, y i  1,i i i    T  33  33 k2,i f x i  h, y i  k 1, i h K fx  h, y  h K  44  2,i i44 i 1, i (21)   1 1 yi1 y i  h  k 1, i  2 k 2, i  3 yi1 y i h  K 1, i  2 K 2, i  3 xii1  x h xii1  x h fx,y T yx1  i  1  ii   T yx2  i  T fx2  ii,y  yi  ;,fy xii         T  yxni  fx,y   n i i  Phương pháp RK2-Ralston 30 1. i=0:  11 1 2  2  30   T y1,0  y 2,0  x 0  25  1.3 K1,0 f x 0, y 0  2           1   2.8 y1,0 y 2,02 x 0 3  2  0  5  T  3 3T  33  3   1.3    K2,0 fx 0  h, y 0  h K 1,0  f 0   0.25,    0.25    4 4 40.2 4 2.8         f 0.1875,2.75625,0.725  1   2.75625  0.725  0.18752 0.61796875  2     1.65625  2.75625 0.725  2  0.1875  h 3 0.25    1.3    0.61796875    2.788671875 y1 y 0   K 1,0 22 K 2,0              330.2   2.8   1.65625   0.709375  x10 x  h 0  0.25  0.25 Phương pháp RK2-Ralston 31 2. i=1:  1 2 1 2 y1,1  y 2,1  x 1   2.788671875  0.709375  0.25  0.6224609737 K fx , y T 2    1,1 1 1    2        1.579296875  y1,1 y 2,12 x 1 2.788671875 0.709375  2  0.25  T T  3 3 3 2.788671875 3   0.6224609737   K2,1 fx 1  h, y 1  h K 1,1  f  0.25   0.25,   0.25    4 4 4 0.7093754 1.579296875         f 0.4375,2.671960442,1.005493164     1 2   2.671960442  1.005493164  0.4375 0.139080807  2  0.791467278  2.671960442 1.005493164  2  0.4375   h 2.788671875 0.25    0.6224609737    0.139080807    2.713619993  y2 y 1   K 1,1 22 K 2,1               330.709375 1.579296875 0.791467278 0.972894285          x21 x  h 0.25  0.25  0.5 Phương pháp RK2-Ralston 32 3. i=2:  1 2 1 2 y1,2  y 2,2  x 2   2.713619993  0.972894285  0.5  0.133915679 K fx , y T 2    1,2 2 2    2        0.740725708  y1,2 y 2,22 x 2 2.713619993 0.972894285  2  0.5  T  3 3T  3 2.713619993 3   0.133915679    K2,2 fx 2  h, y 2  h K 1,2  f 0.5  0.25,    0.25    4 4 4 0.9728942854 0.740725708         f 0.6875,2.688510803,1.111780355     1 2   2.688510803  1.111780355  0.6875 0.240181203  2  0.201730448  2.688510803 1.111780355  2  0.6875   h 2.713619993 0.25    0.133915679   0.240181203    2.742490554  y3 y 2   K 1,2 22 K 2,2               330.972894285 0.740725708 0.201730448 1.068243169          x32 x  h 0.5  0.25  0.75 33 34 Phương pháp RK3 – Cổ điển 35 i từ 0 đến N-1  T K1,i f x i, y i  k1,i f x i, y i     11T 11   K2,i fx i  h,  y i  h K 1, i k2,i f x i  h, y i  hk 1, i 22  22    (22)   T k f x  h, y  hk  2 hk K  f x  h , y  h K  2 h K ;  3,i i i 1,2, i i  3, i i i 1, i 2, i    h y y   k 4 k  k  h i1 i 1, i 2, i 3, i  yi1 yi   K1, i 4 K 2, i  K 3, i   6  6   xii1  x h x x h   ii1  fx,y T yx1  i  1  ii   T y22 xi T  f x i,y i   yi ;, f x i y i          T  yxni  fx,y  n i i  Phương pháp RK3 – Cổ điển 36 11 1 2 1. i=0: 2  30   T y1,0  y 2,0  x 0  25  1.3 K1,0 f x 0, y 0  2          1   2.8 y1,0 y 2,02 x 0 3  2  0 5 T 1 1T  13  1   1.3    K2,0 fx 0  h, y 0  h K 1,0  f 0   0.25,    0.25    2 2 20.2 2 2.8      f 0.125,2.8375,0.55 1  2.8375  0.55  0.1252 0.853125 2    2.0375 2.8375 0.55  2  0.125 T T 3    1.3    0.853125     K3,0 fx 0 h, y 0 h K 1,0 2 h K 2,0  f 0 0.25,   0.25   2 0.25      0.2 2.8 2.0375           f 0.25,2.8984375,0.51875 1  2.8984375  0.51875  0.252 0.86796875 2    1.8796875 2.8984375 0.51875  2  0.25 h 3 0.25   1.3    0.853125    0.86796875   2.767480469  y1 y 0   K 1,0 44 K 2,0  K 3,0                660.2   2.8   2.0375  1.8796875   0.7345703125  x10 x  h 0  0.25  0.25 Phương pháp RK3 – Cổ điển 37 2. i=1: 1 2 1 2 T y1,1  y 2,1  x 1   2.767480469  0.7345703125  0.25  0.586669922 K1,1 f x 1, y 1  2   2         1.532910156 y1,1 y 2,12 x 1 2.767480469 0.7345703125  2  0.25 T 11T 112.767480469    0.586669922    K2,1 fx 1  h, y 1  h K 1,1  f 0.25  0.25,    0.25     f  0.375,2.6941467288,0.926184082 22220.7345703125 1.532910156     1  2.6941467288  0.926184082  0.3752  0.280264283  2   1.017962647 2.6941467288 0.926184082  2  0.375  T T 2.767480469    0.586669922    0.280264283    K3,1 fx 1 h, y 1 h K 1,1 2 h K 2,1  f 0.25 0.25,   0.25    2 0.25     0.7345703125 1.532910156 1.017962647        f 0.5,2.774015808,0.860324097 1  2.774015808  0.860324097  0.52 0.276683807 2    0.913691711 2.774015808 0.860324097  2  0.5 h 2.7674804690.25  0.586669922   0.280264283    0.276683807    2.684796683  y2 y 1   K 1,1 4 K 2,1  K 3,1      4         660.7345703125 1.532910156   1.017962647   0.913691711   1.006172498  x21 x  h 0.25  0.25  0.5 38 39 Phương pháp RK3 – Heun 40  T K1,i f x i, y i   i từ 0 đến N-1 k1,i f x i, y i    11T 11    K2,i  fx i  h,  y i  h K 1, i k2,i f x i  h, y i  hk 1, i 33  33     T  2 2   2  2  k f x  h,, y  hk K  f x  h y  h K ; (23)  3,i i i 2, i 3, i i i 2, i   3 3   3  3   h  h yi1 y i   k 1, i  3 k 3, i    yi1 y i   K 1, i  3 K 3, i   4  4 xii1  x h x x h   ii1  fx,y T yx1  i  1  ii   T y22 xi T  f x i,y i   yi ;, f x i y i          T  yxni  fx,y  n i i  Phương pháp RK3 – Heun 41 11 1 2 1. i=0: 2  30   T y1,0  y 2,0  x 0  25  1.3 K1,0 f x 0, y 0  2          1   2.8 y1,0 y 2,02 x 0 3  2  0 5 T 1 1T  13  1   1.3   0.25  K2,0 fx 0  h, y 0  h K 1,0  f 0   0.25,    0.25     f ,2.8916666667,0.4333333333 3 3 30.2 3 2.8 3      2 1 0.25  2.8916666667  0.4333333333   231.005555556     0.25 2.291666667 2.8916666667 0.4333333333  2  3 T 2 2h T  2 3 2 0.25   1.005555556   0.5  K3,0 fxh 0 ,0 y 0  K 2,0  f  0.25,       f  ,2.8324074073,0.5819444446 3 3 3 0.233 2.291666667      2 1 0.5  2.8324074073  0.5819444446   23 0.8064814802  0.5 1.917129629 2.8324074073 0.5819444446  2  3 h 3 0.25    1.3    0.8064814802    2.7675347225  y1 y 0   K 1,0 33 K 3,0              440.2   2.8   1.917129629   0.7344618054  x10 x  h 0  0.25  0.25 Phương pháp RK3 – Heun 42 2. i=1: 1 2 1 2 T y1,1  y 2,1  x 1   2.7675347225  0.7344618054  0.25  0.586805556 K1,1 f x 1, y 1  2   2         1.533072917 y1,1 y 2,12 x 1 2.7675347225 0.7344618054  2  0.25 T 11T 12.7675347225  1   0.586805556   1  K2,1 fx 1  h, y 1  h K 1,1  f 0.25  0.25,    0.25     f  ,2.7186342595,0.8622178818 3330.7344618054 3 1.533072917 3      2 11  2.7186342595  0.8622178818   23 0.3859881369      1 1.189749711 2.7186342595 0.8622178818  2  3 T 2 2h T  22.7675347225  2 0.25   0.3859881369   5  K3,1 fxh 1 , y 1  K 2,1  f 0.25   0.25,       f  ,2.7032033663,0.9327534239 3 3 30.7344618054 3 1.189749711 12      2 15  2.7032033663  0.9327534239   2 12 0.2452371479     5 0.9371166087 2.7032033663 0.9327534239  2  12 h 2.76753472250.25  0.586805556    0.2452371479    2.68487741  y2 y 1   K 1,1 3 K 3,1     3     440.7344618054 1.533072917   0.9371166087   1.0059882268  x21 x  h 0.25  0.25  0.5 43 44 Phương pháp RK4 Cổ điển 45  T K1,i f x i, y i  k1,i f x i, y i   T i từ 0 đến N-1   11 11  K2,i fx i  h,  y i  h K 1, i k2,i f x i  h, y i  hk 1, i 22  22     T  11  11 k f x  h, y  hk Kf x hh, yK 3,i i i 2, i  3,i i i2, i ;  22  22(24)   k f x  h, y  hk T  4,i i i 3   K4,i fx i  h,  y i  h K 3, i  h    yi1 y i   k 1, i 22 k 2, i  k 3, i  k 4, i   6 h  yi1 y i   K 1, i 22 K 2, i  K 3, i  K 4, i  6 xii1  x h   xii1  x h fx,y T yx1  i  1  ii   T y22 xi T  f x i,y i   yi ;, f x i y i          T  yxni  fx,y  n i i  Phương pháp RK4 Cổ điển 46 1. i=0: 11 1 2 2  30   T y1,0  y 2,0  x 0  25  1.3 K1,0 f x 0, y 0  2          1   2.8 y1,0 y 2,02 x 0 3  2  0 5 T T 1 1 1 13  1   1.3    2.8375  0.55  0.1252 0.853125 K fx  h, y  h K  f 0   0.25,   0.25   f 0.125,2.8375,0.55  2,0 0 0 1,0       2    2 2 20.2  2  2.8  2.0375 2.8375 0.55  2  0.125 T T 1 1 1 13  1   0.853125    2.893359375  0.4546875  0.1252 K fx  h, y  h K  f 0   0.25,   0.25   f 0.125,2.893359375,0.4546875  3,0 0 0 2,0       2 2 2 20.2  2  2.0375  2.893359375 0.4546875  2  0.125 0.976367187   2.188671875 T 1 2 T 3   0.976367187  2.7559082033  0.7471679687  0.25 K fx  h, y  h K  f  0  0.25,  0.25  f 0.25,2.7559082033,0.7471679687 4,0 0 0 3,0       2  0.2 2.188671875  2.7559082033  0.7471679687  2  0.25 0.568286132   1.508740234 h 3 0.25  1.3    0.853125    0.976367187    0.568286132    2.7696970622  y1 y 0   K 1,0 22 K 2,0  K 3,0  K 4,0      22            6 0.2 6 2.8   2.0375   2.188671875   1.508740234   0.7317118327  x10 x  h 0  0.25  0.25 Phương pháp RK4 Cổ điển 47 1 2 1 2 T y1,1  y 2,1  x 1   2.7696970622  0.7317118327  0.25  0.590636698 K1,1 f x 1, y 1  2   2         1.537985229 y1,1 y 2,12 x 1 2.769697062 0.7317118327  2  0.25 T T 11112.7696970622    0.590636698   K2,1 fx 1  h,0 y 1  h K 1,1  f .25  0.25,    0.25     f  0.375,2.695867475,0.9239599863 22220.7317118327 1.537985229      1   2.695867475  0.9239599863  0.3752  0.283348751   2    1.021907489 2.695867475 0.9239599863  2  0.375  T 1 1T  12.7696970622  1   0.283348751    K3,1 fx 1  h, y 1  h K 2,1  f 0.25   0.25,    0.25     f  0.375,2.7342784683,0.8594502688 2 2 20.7317118327 2 1.021907489     1  2.7342784683  0.8594502688  0.3752 0.367063965 2    1.124828199 2.7342784683 0.8594502688  2  0.375 T T 2.7696970622 0.367063965  K4,1 fx 1  h, y 1  h K 3,1  f 0.25  0.25,  0.25   f 0.5,2.677931071,1.0129188825   0.7317118327 1.124828199  1  2.677931071  1.0129188825  0.52 0.076046653 2    0.665012189 2.677931071 1.0129188825  2  0.5 h 2.7696970622 0.25   0.590636698   0.283348751   0.367063965  0.076046653   2.6877175296  y2 y 1   K 1,1 22 K 2,1  K 3,1  K 4,1       22        6 0.7317118327 6  1.537985229  1.021907489  1.124828199  0.665012189  1.0023980325  x21 x  h  0.5 0.25 0.75 48 49 So sánh sai số giữa các phương pháp 50 Euler RK2-Euler RK2-Heun RK2-Ralston RK3-Cổ điển RK3-Heun RK4-Cổ điển tường mình cải tiến So sánh sai số giữa các phương pháp 51 Euler RK2-Euler RK2-Heun RK2-Ralston RK3-Cổ điển RK3-Heun RK4-Cổ điển tường mình cải tiến Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 52 Phát biểu: d2 y dy  f x,, y  2  y x00  y dx dx với điều kiện ban đầu:  (25)   y x00  y  y f x,, y y  x0  a  x  b  xN ba N  h x1 x 0  h; x 2  x 0  2 h ; ; xN  x 0  N  h Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 53 Đưa bài toán về hệ hai phương trình vi phân  dy  1 y1  y 2  f 1 x,, y 1 y 2  yy 1  dx Đặt:  y  y dy  22y   f x,,,, y y  f x y y   2dx 1 2 2 1 2 dy1   y2 dx y1 x 0  y 0 ; (26) dy2 y x  y   f x,, y y   2 0 0  dx 12 Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 54 Ví dụ: dy1   y2 d2 y dy dx  0.2  2yx  3sin   2 yy 1 dy2  dx dx    0.2y21  2 y  3sin x dx  yy  2  yy0  3; 0 1.5 yy120  3; 0 1.5    d y y fx, y    fx,yT dx yx1    1    y2 ;;,y xx    f yT        3 yx T 0.2y  2 y  3sin x 2   fx2  ,y   21 yy x00    1.5 Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 55 Phát biểu: y x00  y  n 2 n1 d y dy d y d y y x00  y   f x,,,,, y  n 2 n1   dx dx dx dx Với n điều kiện ban đầu: y x00  y   nn  1  y f x,,,,, y y y  y     nn11   y x00  y x a  x  b  x 0 N (27) ba N  h x1 x 0  h; x 2  x 0  2 h ; ; xN  x 0  N  h Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 56 Đưa bài toán về hệ n phương trình vi phân Đặt: dy1   y2  dy dx  1  y x y yy y1  y 2  f 1 x,,,, y 1 y 2 yn  1 0 0 1 dx dy2     y3 yy   y2 x 0  y 0  2  dy2 dx y2   y 3  f 2 x,,,, y 1 y 2 yn   yy 3 dx ; y3 x 0  y 0  dy  n1  y n1 n yy dyn dx n1  n yn   fxyy ,,,,,,,,1 2 y n  fxyy n 1 2 y n  yn  x00  y  dx dy   n  f x,,,, y y y   dx 12 n (28) Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 57 Ví dụ: dy 1  y  dx 2 32 d y dy d y yy 1 2x  3 y  4   x  dy2  32   y dx dx dx   3  yy 2  dx  y0  3; y 0  2; y  0  7  dy  yy  3 3  2x  3 y1  4 y 2  x  y 3  dx  y10  3; y 2 0  2; y 3  0  7  d y y f x, y T  fx1 ,y dx yx1     y   2 3 TT     ;;,,y x  yx2    f x y   f23 x y     y         yy x00 2 T 2x 3 y  4 y  x  y yx3   fx,y 1 2 3  3     7 Hệ Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu d2 y dy dz  2  g1  x,,,, y z  dx dx dx    y x00  y    d2 z dy dz y x y   g x,,,, y z   00  2 2    dx dx dx với điều kiện ban đầu:  z x00  z  y g x,,,, y y  z z     1   z x00  z   z g x,,,, y y  z z   2   x0  a  x  b  xN (29) ba N  h x1 x 0  h; x 2  x 0  2 h ; ; xN  x 0  N  h 58 Hệ Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu Đưa bài toán về hệ 4 phương trình vi phân Đặt:  dy1  dy1 y1  y 2  f 1 x,,,, y 1 y 2 y 3 y 4   y dx  dx 2   yy 1 y1 x 0  y 0  dy2 dy  y   gxyyyy ,,,,,,,,  fxyyyy   2  yy  2 1 1234 2 1234  g1 x,,,, y 1 y 2 y 3 y 4   2  dx  dx y2 x 0  y 0  ; z y dy dy 33 3 y3 x 0  z 0 y3   y 3  f 3 x,,,, y 1 y 2 y 3 y 4   y zy  dx dx 3  4 y4 x 0  z 0  dy dy 4  4 y   gxyyyy ,,,,,,,,  fxyyyy   g2 x,,,, y 1 y 2 y 3 y 4   4dx 2 1234 4 1234  dx (30) Tương tự { tưởng cho những hệ phương trình vi phân bậc cao hơn, nhiều hàm (y, z, v.v) hơn 59 Bài toán kỹ thuật 60 y Cho hệ Lò xo (Spring) với độ cứng K, vật nặng với khối lượng m (Mass) – Giảm chấn (Damper) với hệ số giảm chấn C (gọi tắt là hệ SMD) một bậc tự do được tác dụng bởi một lực cưỡng bức F(t). m Hãy xây dựng phương trình dao động của vật m và hãy giải nó bằng các phương pháp số để tìm quy luật của chuyển vị và vận tốc của vật khối lượng m. Điều kiện ban đầu: y(0)=0, y’(0)=0 Khảo sát với t Є [0; 1], với bước h=0.1 Bài toán kỹ thuật 61 - Phương trình chuyển động của vật nặng m theo thời gian t: d2 y dy m  C   K  y  F t (31) dt2 dt d2 y dy - Tìm nghiệm chung của phương trình (31): m  C   K  y  0 (32) dt2 dt  Phương trình đặc trưng: m2  C   K  0 (33) C  C22 44 mK C C  mK 33      (34) 1,2 2m 2 m 2 m a) Trường hợp 1: Nếu C2 – 4mK = 0 62 KK    K tt    C2 4 mK     Y t  C emm   C te   (35) 1 2m 1 2 2 b) Trường hợp 2: Nếu C – 4mK > 0  λ1 và λ2 là các số thực C C2  4 mK 34         Y t  C e tt  C e    (36) 1,222mm 1 2 2 c) Trường hợp 3: Nếu C – 4mK < 0  λ1 và λ2 là các số phức C C2  4 mK 34         i  Y t  C ett cos  t  C e sin   t 1,222mm 1 2 (37) 63 - Tìm nghiệm riêng của phương trình (31): ω·t a) Trường hợp 1: F(t)=F0·e Nghiệm riêng sẽ có dạng:  y t A et t   2  t  t  t  t y t  Ae  31  m  A e  C  A e  K  Ae  F0 e   2 t y t  A e 2 A m  C  K  F0 F A