Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1
Khoa Công nghệ Cơ khí
Bộ môn Cơ sở - Thiết kế
Bài 8:
Hệ phương trình vi phân thường bậc I và
Phương trình vi phân bậc cao
Thời lượng: 3 tiết
Nội dung bài học 2
7
phương
pháp
Hệ Phương trình vi phân thường bậc I 3
Hệ phương trình vi phân thường bậc I có dạng:
dy
1 f x,,,,; y y y y x y
dx 1 1 2n 1 0 01
dy
2 f x,,,,; y y y y x y
dx 2 1 2n 2 0 02 (1)
dy
n f x,,,,;
81 trang |
Chia sẻ: Tài Huệ | Ngày: 16/02/2024 | Lượt xem: 217 | Lượt tải: 0
Tóm tắt tài liệu Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 8: Hệ phương trình vi phân thường bậc I và Phương trình vi phân bậc cao - Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
; y y y y x y
dx n1 2 n n 0 0 n
Dạng véctơ:
fx,yT
yx1 1
d
T T
y y f x, y y22 x T f x,y
dx ;;,y xx f y (2)
yy x00
T
yxn fx,y
n
So sánh phát biểu của PTVP và Hệ PTVP thường bậc I 4
dy d T
y f x,; y y y f x,; y
dx dx
yya ;
y a y0 ; 0
x a x b x
x0 a x b xn 0 N
Hầu hết các phương pháp dùng để giải phương
trình vi phân thường bậc I đều có thể áp dụng
để giải hệ PTVP bậc I, chỉ với định dạng Véctơ.
Phương pháp Euler tường minh 5
i từ 0 đến N-1
φ fx , y T
i f x i, y i i i i
yi11 y i h i yy i i h φ i ; (3)
x x h x x h
i11 i i i
fx,y T
yx1 i 1 ii
T
y22 xi T f x i,y i
yi ;, f x i y i
T
yxni fx,y
n i i
Phương pháp Euler tường minh 6
dy 1
1 y y y x2 (4) yy03
dx 12 1 2 1 1,0
Với điều kiện ban đầu: 1
dy2 yy0
y y y 2 x (5) 2 2,0
dx 2 1 2 5
ba30
Cho biết: hN0.25 12
h 0.25
Dạng Véctơ:
d T
fx,y 1 2
y y f x, y yx1 1 y y x
dx ;;,y xx f yT 2 12
yx T
2 fx2 ,y
yy x00 y12 y2 x
7
1
- Từ (4): 46 y y y x2
2 12 1
dy 1
- Đạo hàm hai vế của (6): 6 2 y y y 2 x 7
dx 2 12 1
112
- Thế (6) và (7) vào (5): 5 y1 y 1 2 x y 1 y 1 y 1 x 2 x
22
31
y y y x2 (8)
122 1 1
31
- Tìm nghiệm chung của phương trình (8): y y y 0 (9)
122 1 1
31
Phương trình đặc trưng: 2 0 (10)
22
8
17 3 17 3
3 17 3 17 xx
10 ; Y x C e44 C e (11)
14 4 2 4 4 1 1 2
- Tìm nghiệm riêng của phương trình (9), sẽ có dạng:
y x2 Ax B
2 1
y1 x Ax Bx C
y1 x 2 A
- Vậy:
31
9 2A 2 Ax B Ax22 Bx C x
22
A
1 A 2
ABBC22 3 2
x3 A x 2 A x B 12
2 2 2 2 BBC 3
3AA 2 0 C 44
2 2 2
9
- Vậy lời giải đầy đủ của hàm y1(x) là:
17 3 17 3
xx
44 2 (12)
yxYxyx1 1 1 yxCe 1 1 Ce 2 2 x 12 x 44
- Đi tìm y2(x): Ta đạo hàm 2 vế của (12)
17 3 17 3
dy 17 3xx 17 3
12 1 y x C e44 C e 4 x 12 (13)
dx 144 1 2
- Thế (13) vào (6):
17 3 17 3
17 3xx 17 3
6 y x C e44 C e 4 x 12
244 1 2
17 3 17 3
CCxx
12e44 e x22 6 x 22 x
22
17 3 17 3 10
17 1xx 17 1
y x C e44 C e 2 x2 10 x 34 (14)
244 1 2
Vậy:
17 3 17 3
xx
y x C e44 C e 2 x2 12 x 44
1 1 2
17 3 17 3 (15)
xx
17 144 17 1
y x C e C e 2 x2 10 x 34
244 1 2
- Để tìm C1 và C2 ta dựa vào các điều kiện ban đầu:
CC 44 3 47 919 17
y1 03 12 C1
2 170
1 17 1 17 1 1 (16)
y2 0 CC12 34 47 919 17
5 4 4 5 C
2 2 170
11
Như vậy lời giải chính xác của hệ phương trình là:
17 3 17 3
47 919 17 xx 47 919 17
y x e44 e 2 x2 12 x 44
1
2 170 2 170
17 3 17 3
17 1 47 919 17 xx 17 1 47 919 17
y x e44 e 2 x2 10 x 34
2
4 2 170 4 2 170
(17)
y x 45.78902394 e0.2807764065xx 1.21097606 e 1.780776406 2 x2 12 x 44
1 (18)
0.2807764065xx 1.780776406 2
y2 x 35.7509895 e 1.550989567 e 2 x 10 x 34
Phương pháp Euler tường minh 12
1. i=0:
112
T 1
fx,y 2 30
T 1 0 0 y1,0 y 2,0 x 0 25 1.3
φ0 f x 0, y 0 2
T 1 2.8
fx2 0,y 0
y1,0 y 2,02 x 0 3 2 0
5
fx,yT 3
y1,0 1 0 0 1.3 2.675
yy hh φ 0.25
1 0 0 T 1
y2,0 fx,y 2.8 0.9
2 0 0 5
x10 x h 0 0.25 0.25
Phương pháp Euler tường minh 13
2. i=1:
fx,yT 1 2 1 2
T 1 1 1 y1,1 y 2,1 x 1 2.675 0.9 0.25 0.375
φ1 f x 1, y 1 2 2
T 1.275
fx2 1,y 1
y1,1 y 2,12 x 1 2.675 0.9 2 0.25
fx,yT
y1,1 1 1 1 2.675 0.375 2.58125
yy hh φ 0.25
2 1 1 T
y2,1 fx,y 0.9 1.275 1.21875
2 1 1
x21 x h 0.25 0.25 0.5
Phương pháp Euler tường minh 14
3. i=2:
fx,yT 1 2 1 2
T 1 2 2 y1,2 y 2,2 x 2 2.58125 1.21875 0.5 0.178125
φ2 f x 2, y 2 2 2
T 0.3625
fx2 2,y 2
y1,2 y 2,22 x 2 2.58125 1.21875 2 0.5
fx,yT
y1,2 1 2 2 2.58125 0.178125 2.62578125
yy hh φ 0.25
3 2 2 T
y2,2 fx,y 1.21875 0.3625 1.309375
22 2
x32 x h 0.5 0.25 0.75
Tiếp tục cho đến bước số 12: i=11
15
16
Phương pháp RK2-Euler cải tiến 17
i từ 0 đến N-1
T
k f x, y K1,i f x i, y i
1,i i i
T
11 11
k2,i f x i h, y i k 1, i h K fx h, y h K
22 2,i i i 1 (19)
22
yi1 y i h k 2, i
yi1 y i h K 2, i
xii1 x h
xii1 x h
fx,y T
yx1 i 1 ii
T Phương pháp RK2-Euler cải
yx2 i T fx2 ii,y
yi;, f x i y i tiến còn gọi là RK2 điểm giữa
T
yxni fx,y
n i i
Phương pháp RK2-Euler cải tiến 18
11
1. i=0: 1 2
2 30
T y1,0 y 2,0 x 0 25 1.3
K1,0 f x 0, y 0 2
1 2.8
y1,0 y 2,02 x 0 3 2 0
5
T
1 1T 13 1 1.3
K2,0 fx 0 h, y 0 h K 1,0 f 0 0.25, 0.25
2 2 20.2 2 2.8
f 0.125,2.8375,0.55
1 2
2.8375 0.55 0.125 0.853125
2
2.0375
2.8375 0.55 2 0.125
3 0.853125 2.78671875
y1 y 0 h K 2,0 0.25
0.2 2.0375 0.709375
x10 x h 0 0.25 0.25
Phương pháp RK2-Euler cải tiến 19
2. i=1:
1 2 1 2
y1,1 y 2,1 x 1 2.78671875 0.709375 0.25 0.621484375
K fx , y T 2
1,1 1 1 2
1.57734375
y1,1 y 2,12 x 1 2.78671875 0.709375 2 0.25
T T
1 1 1 2.78671875 1 0.621484375
K2,1 fx 1 h, y 1 h K 1,1 f 0.25 0.25, 0.25
2 2 2 0.7093752 1.57734375
f 0.375,2.709033203,0.906542968
1
2.709033203 0.906542968 0.3752 0.307348633
2
1.052490235
2.709033203 0.906542968 2 0.375
2.78671875 0.307348633 2.709881592
y2 y 1 h K 2,1 0.25
0.709375 1.052490235 0.972497558
x21 x h 0.25 0.25 0.5
Phương pháp RK2-Euler cải tiến 20
3. i=2:
1 2 1 2
y1,2 y 2,2 x 2 2.709881592 0.972497558 0.5 0.132443238
K fx , y T 2
1,2 2 2 2
0.737384034
y1,2 y 2,22 x 2 2.709881592 0.972497558 2 0.5
T T
1 1 1 2.709881592 1 0.132443238
K2,2 fx 2 h, y 2 h K 1,2 f 0.5 0.25, 0.25
2 2 2 0.9724975582 0.737384034
f 0.625,2.693326187,1.064670562
1
2.693326187 1.064670562 0.6252 0.108632468
2
0.378655625
2.693326187 1.064670562 2 0.625
2.709881592 0.108632468 2.737039709
y3 y 2 h K 2,2 0.25
0.972497558 0.378655625 1.067161464
x32 x h 0.5 0.25 0.75
21
22
Phương pháp RK2-Heun 23
i từ 0 đến N-1
T
k f x, y K1,i f x i, y i
1,i i i
T
k f x h, y k h K fx h, y h K
2,i i i 1, i 2,i i i 1, i (20)
1 1
yi1 y i h k 1, i k 2, i
yi1 y i h K 1, i K 2, i
2 2
xii1 x h
xii1 x h
fx,y T
yx1 i 1 ii
T
y22 xi T f x i,y i
yi;, f x i y i
T
yxni fx,y
n i i
Phương pháp RK2-Heun 24
11
1. i=0: 1 2
2 30
T y1,0 y 2,0 x 0 25 1.3
K1,0 f x 0, y 0 2
1 2.8
y1,0 y 2,02 x 0 3 2 0
5
T
T 3 1.3
K2,0 fx 0 h, y 0 h K 1,0 f 0 0.25, 0.25
0.2 2.8
f 0.25,2.675,0.9
1
2.675 0.9 0.252 0.375
2
1.275
2.675 0.9 2 0.25
h 3 0.25 1.3 0.375 2.790625
y1 y 0 K 1,0 K 2,0
220.2 2.8 1.275 0.709375
x10 x h 0 0.25 0.25
Phương pháp RK2-Heun 25
2. i=1:
1 2 1 2
y1,1 y 2,1 x 1 2.790625 0.709375 0.25 0.6234375
K fx , y T 2
1,1 1 1 2
1.58125
y1,1 y 2,12 x 1 2.790625 0.709375 2 0.25
T
T 2.790625 0.6234375
K2,1 fx 1 h, y 1 h K 1,1 f 0.25 0.25, 0.25
0.709375 1.58125
f 0.5,2.634765625,1.1046875
1 2
2.634765625 1.1046875 0.5 0.037304687
2
0.530078125
2.634765625 1.1046875 2 0.5
h 2.7906250.25 0.6234375 0.037304687 2.717358398
y2 y 1 K 1,1 K 2,1
2 0.709375 2 1.58125 0.530078125 0.973291015
x21 x h 0.25 0.25 0.5
Phương pháp RK2-Heun 26
3. i=2:
1 2 1 2
y1,2 y 2,2 x 2 2.717358398 0.973291015 0.5 0.135388183
K fx , y T 2
1,2 2 2 2
0.744067382
y1,2 y 2,22 x 2 2.717358398 0.973291015 2 0.5
T
T 2.717358398 0.135388183
K2,2 fx 2 h, y 2 h K 1,2 f 0.5 0.25, 0.25
0.973291015 0.744067382
f 0.75,2.683511352,1.159307861
1 2
2.683511352 1.159307861 0.75 0.380052184
2
0.024203491
2.683511352 1.159307861 2 0.75
h 2.717358398 0.25 0.135388183 0.380052184 2.747941398
y2 y 1 K 1,1 K 2,1
220.973291015 0.744067382 0.024203491 1.069324874
x21 x h 0.5 0.25 0.75
27
28
Phương pháp RK2-Ralston 29
i từ 0 đến N-1
T
k f x, y K1,i f x i, y i
1,i i i
T
33 33
k2,i f x i h, y i k 1, i h K fx h, y h K
44 2,i i44 i 1, i (21)
1 1
yi1 y i h k 1, i 2 k 2, i
3 yi1 y i h K 1, i 2 K 2, i
3
xii1 x h
xii1 x h
fx,y T
yx1 i 1 ii
T
yx2 i T fx2 ii,y
yi ;,fy xii
T
yxni fx,y
n i i
Phương pháp RK2-Ralston 30
1. i=0: 11
1 2
2 30
T y1,0 y 2,0 x 0 25 1.3
K1,0 f x 0, y 0 2
1 2.8
y1,0 y 2,02 x 0 3 2 0
5
T
3 3T 33 3 1.3
K2,0 fx 0 h, y 0 h K 1,0 f 0 0.25, 0.25
4 4 40.2 4 2.8
f 0.1875,2.75625,0.725
1
2.75625 0.725 0.18752 0.61796875
2
1.65625
2.75625 0.725 2 0.1875
h 3 0.25 1.3 0.61796875 2.788671875
y1 y 0 K 1,0 22 K 2,0
330.2 2.8 1.65625 0.709375
x10 x h 0 0.25 0.25
Phương pháp RK2-Ralston 31
2. i=1:
1 2 1 2
y1,1 y 2,1 x 1 2.788671875 0.709375 0.25 0.6224609737
K fx , y T 2
1,1 1 1 2
1.579296875
y1,1 y 2,12 x 1 2.788671875 0.709375 2 0.25
T T
3 3 3 2.788671875 3 0.6224609737
K2,1 fx 1 h, y 1 h K 1,1 f 0.25 0.25, 0.25
4 4 4 0.7093754 1.579296875
f 0.4375,2.671960442,1.005493164
1 2
2.671960442 1.005493164 0.4375 0.139080807
2
0.791467278
2.671960442 1.005493164 2 0.4375
h 2.788671875 0.25 0.6224609737 0.139080807 2.713619993
y2 y 1 K 1,1 22 K 2,1
330.709375 1.579296875 0.791467278 0.972894285
x21 x h 0.25 0.25 0.5
Phương pháp RK2-Ralston 32
3. i=2:
1 2 1 2
y1,2 y 2,2 x 2 2.713619993 0.972894285 0.5 0.133915679
K fx , y T 2
1,2 2 2 2
0.740725708
y1,2 y 2,22 x 2 2.713619993 0.972894285 2 0.5
T
3 3T 3 2.713619993 3 0.133915679
K2,2 fx 2 h, y 2 h K 1,2 f 0.5 0.25, 0.25
4 4 4 0.9728942854 0.740725708
f 0.6875,2.688510803,1.111780355
1 2
2.688510803 1.111780355 0.6875 0.240181203
2
0.201730448
2.688510803 1.111780355 2 0.6875
h 2.713619993 0.25 0.133915679 0.240181203 2.742490554
y3 y 2 K 1,2 22 K 2,2
330.972894285 0.740725708 0.201730448 1.068243169
x32 x h 0.5 0.25 0.75
33
34
Phương pháp RK3 – Cổ điển 35
i từ 0 đến N-1
T
K1,i f x i, y i
k1,i f x i, y i
11T
11
K2,i fx i h, y i h K 1, i
k2,i f x i h, y i hk 1, i 22
22
(22)
T
k f x h, y hk 2 hk K f x h , y h K 2 h K ;
3,i i i 1,2, i i 3, i i i 1, i 2, i
h
y y k 4 k k h
i1 i 1, i 2, i 3, i yi1 yi K1, i 4 K 2, i K 3, i
6 6
xii1 x h x x h
ii1
fx,y T
yx1 i 1 ii
T
y22 xi T f x i,y i
yi ;, f x i y i
T
yxni fx,y
n i i
Phương pháp RK3 – Cổ điển 36
11
1 2
1. i=0: 2 30
T y1,0 y 2,0 x 0 25 1.3
K1,0 f x 0, y 0 2
1 2.8
y1,0 y 2,02 x 0 3 2 0
5
T
1 1T 13 1 1.3
K2,0 fx 0 h, y 0 h K 1,0 f 0 0.25, 0.25
2 2 20.2 2 2.8
f 0.125,2.8375,0.55
1
2.8375 0.55 0.1252 0.853125
2
2.0375
2.8375 0.55 2 0.125
T
T 3 1.3 0.853125
K3,0 fx 0 h, y 0 h K 1,0 2 h K 2,0 f 0 0.25, 0.25 2 0.25
0.2 2.8 2.0375
f 0.25,2.8984375,0.51875
1
2.8984375 0.51875 0.252 0.86796875
2
1.8796875
2.8984375 0.51875 2 0.25
h 3 0.25 1.3 0.853125 0.86796875 2.767480469
y1 y 0 K 1,0 44 K 2,0 K 3,0
660.2 2.8 2.0375 1.8796875 0.7345703125
x10 x h 0 0.25 0.25
Phương pháp RK3 – Cổ điển 37
2. i=1:
1 2 1 2
T y1,1 y 2,1 x 1 2.767480469 0.7345703125 0.25 0.586669922
K1,1 f x 1, y 1 2 2
1.532910156
y1,1 y 2,12 x 1 2.767480469 0.7345703125 2 0.25
T
11T 112.767480469 0.586669922
K2,1 fx 1 h, y 1 h K 1,1 f 0.25 0.25, 0.25 f 0.375,2.6941467288,0.926184082
22220.7345703125 1.532910156
1
2.6941467288 0.926184082 0.3752 0.280264283
2
1.017962647
2.6941467288 0.926184082 2 0.375
T
T 2.767480469 0.586669922 0.280264283
K3,1 fx 1 h, y 1 h K 1,1 2 h K 2,1 f 0.25 0.25, 0.25 2 0.25
0.7345703125 1.532910156 1.017962647
f 0.5,2.774015808,0.860324097
1
2.774015808 0.860324097 0.52 0.276683807
2
0.913691711
2.774015808 0.860324097 2 0.5
h 2.7674804690.25 0.586669922 0.280264283 0.276683807 2.684796683
y2 y 1 K 1,1 4 K 2,1 K 3,1 4
660.7345703125 1.532910156 1.017962647 0.913691711 1.006172498
x21 x h 0.25 0.25 0.5
38
39
Phương pháp RK3 – Heun 40
T
K1,i f x i, y i
i từ 0 đến N-1 k1,i f x i, y i
11T
11
K2,i fx i h, y i h K 1, i
k2,i f x i h, y i hk 1, i 33
33
T
2 2 2 2
k f x h,, y hk K f x h y h K ; (23)
3,i i i 2, i 3, i i i 2, i
3 3 3 3
h h
yi1 y i k 1, i 3 k 3, i
yi1 y i K 1, i 3 K 3, i
4 4
xii1 x h x x h
ii1
fx,y T
yx1 i 1 ii
T
y22 xi T f x i,y i
yi ;, f x i y i
T
yxni fx,y
n i i
Phương pháp RK3 – Heun 41
11
1 2
1. i=0: 2 30
T y1,0 y 2,0 x 0 25 1.3
K1,0 f x 0, y 0 2
1 2.8
y1,0 y 2,02 x 0 3 2 0
5
T
1 1T 13 1 1.3 0.25
K2,0 fx 0 h, y 0 h K 1,0 f 0 0.25, 0.25 f ,2.8916666667,0.4333333333
3 3 30.2 3 2.8 3
2
1 0.25
2.8916666667 0.4333333333
231.005555556
0.25 2.291666667
2.8916666667 0.4333333333 2
3
T
2 2h T 2 3 2 0.25 1.005555556 0.5
K3,0 fxh 0 ,0 y 0 K 2,0 f 0.25, f ,2.8324074073,0.5819444446
3 3 3 0.233 2.291666667
2
1 0.5
2.8324074073 0.5819444446
23 0.8064814802
0.5 1.917129629
2.8324074073 0.5819444446 2
3
h 3 0.25 1.3 0.8064814802 2.7675347225
y1 y 0 K 1,0 33 K 3,0
440.2 2.8 1.917129629 0.7344618054
x10 x h 0 0.25 0.25
Phương pháp RK3 – Heun 42
2. i=1:
1 2 1 2
T y1,1 y 2,1 x 1 2.7675347225 0.7344618054 0.25 0.586805556
K1,1 f x 1, y 1 2 2
1.533072917
y1,1 y 2,12 x 1 2.7675347225 0.7344618054 2 0.25
T
11T 12.7675347225 1 0.586805556 1
K2,1 fx 1 h, y 1 h K 1,1 f 0.25 0.25, 0.25 f ,2.7186342595,0.8622178818
3330.7344618054 3 1.533072917 3
2
11
2.7186342595 0.8622178818
23 0.3859881369
1 1.189749711
2.7186342595 0.8622178818 2
3
T
2 2h T 22.7675347225 2 0.25 0.3859881369 5
K3,1 fxh 1 , y 1 K 2,1 f 0.25 0.25, f ,2.7032033663,0.9327534239
3 3 30.7344618054 3 1.189749711 12
2
15
2.7032033663 0.9327534239
2 12 0.2452371479
5 0.9371166087
2.7032033663 0.9327534239 2
12
h 2.76753472250.25 0.586805556 0.2452371479 2.68487741
y2 y 1 K 1,1 3 K 3,1 3
440.7344618054 1.533072917 0.9371166087 1.0059882268
x21 x h 0.25 0.25 0.5
43
44
Phương pháp RK4 Cổ điển 45
T
K1,i f x i, y i
k1,i f x i, y i
T
i từ 0 đến N-1 11
11
K2,i fx i h, y i h K 1, i
k2,i f x i h, y i hk 1, i 22
22
T
11 11
k f x h, y hk Kf x hh, yK
3,i i i 2, i 3,i i i2, i ;
22 22(24)
k f x h, y hk T
4,i i i 3
K4,i fx i h, y i h K 3, i
h
yi1 y i k 1, i 22 k 2, i k 3, i k 4, i
6 h
yi1 y i K 1, i 22 K 2, i K 3, i K 4, i
6
xii1 x h
xii1 x h
fx,y T
yx1 i 1 ii
T
y22 xi T f x i,y i
yi ;, f x i y i
T
yxni fx,y
n i i
Phương pháp RK4 Cổ điển 46
1. i=0:
11
1 2
2 30
T y1,0 y 2,0 x 0 25 1.3
K1,0 f x 0, y 0 2
1 2.8
y1,0 y 2,02 x 0 3 2 0
5
T T 1
1 1 13 1 1.3 2.8375 0.55 0.1252 0.853125
K fx h, y h K f 0 0.25, 0.25 f 0.125,2.8375,0.55
2,0 0 0 1,0 2
2 2 20.2 2 2.8 2.0375
2.8375 0.55 2 0.125
T T 1
1 1 13 1 0.853125 2.893359375 0.4546875 0.1252
K fx h, y h K f 0 0.25, 0.25 f 0.125,2.893359375,0.4546875
3,0 0 0 2,0 2
2 2 20.2 2 2.0375
2.893359375 0.4546875 2 0.125
0.976367187
2.188671875
T 1 2
T 3 0.976367187 2.7559082033 0.7471679687 0.25
K fx h, y h K f 0 0.25, 0.25 f 0.25,2.7559082033,0.7471679687
4,0 0 0 3,0 2
0.2 2.188671875
2.7559082033 0.7471679687 2 0.25
0.568286132
1.508740234
h 3 0.25 1.3 0.853125 0.976367187 0.568286132 2.7696970622
y1 y 0 K 1,0 22 K 2,0 K 3,0 K 4,0 22
6 0.2 6 2.8 2.0375 2.188671875 1.508740234 0.7317118327
x10 x h 0 0.25 0.25
Phương pháp RK4 Cổ điển 47
1 2 1 2
T y1,1 y 2,1 x 1 2.7696970622 0.7317118327 0.25 0.590636698
K1,1 f x 1, y 1 2 2
1.537985229
y1,1 y 2,12 x 1 2.769697062 0.7317118327 2 0.25
T T
11112.7696970622 0.590636698
K2,1 fx 1 h,0 y 1 h K 1,1 f .25 0.25, 0.25 f 0.375,2.695867475,0.9239599863
22220.7317118327 1.537985229
1
2.695867475 0.9239599863 0.3752 0.283348751
2
1.021907489
2.695867475 0.9239599863 2 0.375
T
1 1T 12.7696970622 1 0.283348751
K3,1 fx 1 h, y 1 h K 2,1 f 0.25 0.25, 0.25 f 0.375,2.7342784683,0.8594502688
2 2 20.7317118327 2 1.021907489
1
2.7342784683 0.8594502688 0.3752 0.367063965
2
1.124828199
2.7342784683 0.8594502688 2 0.375
T
T 2.7696970622 0.367063965
K4,1 fx 1 h, y 1 h K 3,1 f 0.25 0.25, 0.25 f 0.5,2.677931071,1.0129188825
0.7317118327 1.124828199
1
2.677931071 1.0129188825 0.52 0.076046653
2
0.665012189
2.677931071 1.0129188825 2 0.5
h 2.7696970622 0.25 0.590636698 0.283348751 0.367063965 0.076046653 2.6877175296
y2 y 1 K 1,1 22 K 2,1 K 3,1 K 4,1 22
6 0.7317118327 6 1.537985229 1.021907489 1.124828199 0.665012189 1.0023980325
x21 x h 0.5 0.25 0.75
48
49
So sánh sai số giữa các phương pháp 50
Euler RK2-Euler
RK2-Heun RK2-Ralston RK3-Cổ điển RK3-Heun RK4-Cổ điển
tường mình cải tiến
So sánh sai số giữa các phương pháp 51
Euler RK2-Euler
RK2-Heun RK2-Ralston RK3-Cổ điển RK3-Heun RK4-Cổ điển
tường mình cải tiến
Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 52
Phát biểu:
d2 y dy
f x,, y
2 y x00 y
dx dx với điều kiện ban đầu: (25)
y x00 y
y f x,, y y
x0 a x b xN
ba
N
h
x1 x 0 h; x 2 x 0 2 h ; ; xN x 0 N h
Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 53
Đưa bài toán về hệ hai phương trình vi phân
dy
1
y1 y 2 f 1 x,, y 1 y 2
yy 1 dx
Đặt:
y y dy
22y f x,,,, y y f x y y
2dx 1 2 2 1 2
dy1
y2
dx y1 x 0 y 0
; (26)
dy2 y x y
f x,, y y 2 0 0
dx 12
Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 54
Ví dụ:
dy1
y2
d2 y dy dx
0.2 2yx 3sin
2 yy 1 dy2
dx dx 0.2y21 2 y 3sin x
dx
yy 2
yy0 3; 0 1.5
yy120 3; 0 1.5
d
y y fx, y
fx,yT
dx yx1 1 y2
;;,y xx f yT
3 yx T 0.2y 2 y 3sin x
2 fx2 ,y 21
yy x00
1.5
Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 55
Phát biểu:
y x00 y
n 2 n1
d y dy d y d y y x00 y
f x,,,,, y
n 2 n1
dx dx dx dx Với n điều kiện ban đầu: y x00 y
nn 1
y f x,,,,, y y y y
nn11
y x00 y
x a x b x
0 N (27)
ba
N
h
x1 x 0 h; x 2 x 0 2 h ; ; xN x 0 N h
Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 56
Đưa bài toán về hệ n phương trình vi phân
Đặt:
dy1
y2
dy dx
1 y x y
yy y1 y 2 f 1 x,,,, y 1 y 2 yn 1 0 0
1 dx dy2
y3
yy y2 x 0 y 0
2 dy2 dx
y2 y 3 f 2 x,,,, y 1 y 2 yn
yy 3 dx ; y3 x 0 y 0
dy
n1 y
n1 n
yy dyn dx n1
n yn fxyy ,,,,,,,,1 2 y n fxyy n 1 2 y n yn x00 y
dx dy
n f x,,,, y y y
dx 12 n
(28)
Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu 57
Ví dụ: dy
1 y
dx 2
32
d y dy d y yy 1
2x 3 y 4 x dy2
32 y
dx dx dx 3
yy 2 dx
y0 3; y 0 2; y 0 7 dy
yy 3 3
2x 3 y1 4 y 2 x y 3
dx
y10 3; y 2 0 2; y 3 0 7
d
y y f x, y T
fx1 ,y
dx yx1 y
2
3 TT
;;,,y x yx2 f x y f23 x y y
yy x00 2 T 2x 3 y 4 y x y
yx3 fx,y 1 2 3
3
7
Hệ Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu
d2 y dy dz
2 g1 x,,,, y z
dx dx dx
y x00 y
d2 z dy dz y x y
g x,,,, y z 00
2 2
dx dx dx với điều kiện ban đầu:
z x00 z
y g x,,,, y y z z
1 z x00 z
z g x,,,, y y z z
2
x0 a x b xN (29)
ba
N
h
x1 x 0 h; x 2 x 0 2 h ; ; xN x 0 N h 58
Hệ Phương trình vi phân bậc cao: Bài toán giá trị ban đầu
Đưa bài toán về hệ 4 phương trình vi phân
Đặt: dy1
dy1
y1 y 2 f 1 x,,,, y 1 y 2 y 3 y 4 y
dx dx 2
yy 1 y1 x 0 y 0
dy2 dy
y gxyyyy ,,,,,,,, fxyyyy 2
yy 2 1 1234 2 1234 g1 x,,,, y 1 y 2 y 3 y 4
2 dx dx y2 x 0 y 0
;
z y dy dy
33 3 y3 x 0 z 0
y3 y 3 f 3 x,,,, y 1 y 2 y 3 y 4 y
zy dx dx 3
4 y4 x 0 z 0
dy dy
4 4
y gxyyyy ,,,,,,,, fxyyyy g2 x,,,, y 1 y 2 y 3 y 4
4dx 2 1234 4 1234 dx
(30)
Tương tự { tưởng cho những hệ phương trình vi phân bậc cao
hơn, nhiều hàm (y, z, v.v) hơn
59
Bài toán kỹ thuật 60
y
Cho hệ Lò xo (Spring) với độ cứng K, vật nặng với khối
lượng m (Mass) – Giảm chấn (Damper) với hệ số giảm
chấn C (gọi tắt là hệ SMD) một bậc tự do được tác
dụng bởi một lực cưỡng bức F(t).
m
Hãy xây dựng phương trình dao động của vật m và
hãy giải nó bằng các phương pháp số để tìm quy luật
của chuyển vị và vận tốc của vật khối lượng m.
Điều kiện ban đầu: y(0)=0, y’(0)=0
Khảo sát với t Є [0; 1], với bước h=0.1
Bài toán kỹ thuật 61
- Phương trình chuyển động của vật nặng m theo thời gian t:
d2 y dy
m C K y F t (31)
dt2 dt
d2 y dy
- Tìm nghiệm chung của phương trình (31): m C K y 0 (32)
dt2 dt
Phương trình đặc trưng: m2 C K 0 (33)
C C22 44 mK C C mK
33 (34)
1,2 2m 2 m 2 m
a) Trường hợp 1: Nếu C2 – 4mK = 0 62
KK
K tt
C2 4 mK Y t C emm C te (35)
1 2m 1 2
2
b) Trường hợp 2: Nếu C – 4mK > 0 λ1 và λ2 là các số thực
C C2 4 mK
34 Y t C e tt C e (36)
1,222mm 1 2
2
c) Trường hợp 3: Nếu C – 4mK < 0 λ1 và λ2 là các số phức
C C2 4 mK
34 i Y t C ett cos t C e sin t
1,222mm 1 2
(37)
63
- Tìm nghiệm riêng của phương trình (31):
ω·t
a) Trường hợp 1: F(t)=F0·e Nghiệm riêng sẽ có dạng:
y t A et
t 2 t t t t
y t Ae 31 m A e C A e K Ae F0 e
2 t
y t A e
2
A m C K F0
F
A
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- bai_giang_phuong_phap_so_trong_tinh_toan_co_khi_bai_8_he_phu.pdf