Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I (tiếp) - Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

Q x  ynn  P x y1  Q x ynn dx y1 dx (17’) dz dy dy1 dz dy Đặt z=y1-n  11 n y11n    n y  n   y  n dx dx dx1 n dx dx 1 dz dz 17'  PxzQx     1 nPxz     1 nQx    (18) 1 n dx dx Dạng IV Phương trình vi phân bậc I 4 dy Giải phương trình vi phân sau: cosx y sin x y32 cos x dx Phương trình vi phân bậc I 5 dy 2 3 Giải phương trình vi phân sau: 2y cos y22 sin y  x  1 dx x 1 Phương trình vi phân bậc I 6 dy Giải phương trình vi phân sau: xsin 2 y x32 cos y dx Phương trình vi phân bậc I 7 dy Là một PTVP bậc I mũ I có dạng: P x y2  Q x y  R x (19) dx - Nếu P(x) = 0 thì (19) trở về dạng IV: Phương trình vi phân tuyến tính - Nếu R(x) = 0 thì (19) trở về dạng V: Phương trình Bernoulli - Nếu R(x) ≠ 0 thì (19) không thể giải được bằng các phương pháp thông thường. Tuy nhiên nếu chúng ta có thể tìm được 1 lời giải là hàm u(x) của (19) bằng cách này hay cách khác, ta sẽ đặt ẩn phụ: 1 y u x (20) zx  Từ đó ta có thể đưa phương trình (19) về dạng IV phương trình vi phân tuyến tính và từ đó tìm được hàm z(x). Khi đó nghiệm của (19) chính là (20) 8 1 y u x Phương trình vi phân bậc I zx  dy Là một PTVP bậc I mũ I có dạng: P x y2  Q x y  R x (19) dx 2 dy du1 dz du 1 dz 1   1  2 2 u 1  Q 20 2  19 2 P u  Q  u  R P  u  2  Qu R dx dx z dx dx z dx z   z   z z  z du1 dz2  2 u 1 Q  22 Pu  Qu  R  P   (21) dx z dx z z z du Do u(x) nghiệm của (19) nên ta có: Pu2  Qu  R Suy ra: dx du1 dz du 2 u 1  Q 1 dz  2 u 1  Q dz2   2 u 1  Q 21 2 P  2  2  P   2  z P   2   2 Puz  P Qz  2 uP  Q z P dx z dx dx z z  z z dx  z z  z dx  z z  z dz  2u x P x  Q x z   P x dx  Mx  Nx   M x dx N x e dx C  M x dx dz  e  M x z  N x Dạng IV: z x   y  u x  dx  M x dx  M x dx e N x e dx C  Phương trình vi phân bậc I 9 dy Là một PTVP bậc I mũ I có dạng: P x y2  Q x y  R x (19) dx Tóm lại, các bước giải: 1. Tìm một nghiệm riêng u(x) nào đó mà thoả mãn (19) M x 2 u x P x Q x 2. Đặt:  N x  P x 3. Nghiệm của phương trình là: M x dx e y u x (22)  M x dx N x e dx C  Phương trình vi phân bậc I 10 dy Giải phương trình vi phân sau: x y2 23 y  dx Phương trình vi phân bậc I 11 dy Giải phương trình vi phân sau:  exx y2  y  e dx Phương trình vi phân bậc I 12 dy y Giải phương trình vi phân sau: x3 y 2   x 5 dx x Phương trình vi phân bậc I 13 dy PTVP  f x, y có thể viết dưới dạng: M x, y dx N x , y dy 0 dx (23) (23) được gọi là phương trình vi phân chính xác nếu tồn tại một hàm u(x,y) mà thoả mãn điều kiện du=M(x,y)dx+N(x,y)dy. Khi đó ta có du=0, thì nghiệm của phương trình (23) sẽ là: u(x,y)=c. Điều kiện cần và đủ để phương trình (23) được gọi là phương trình vi phân chính xác là: M x,, y N x y  (24) yx Phương trình vi phân bậc I 14 1. Đưa phương trình về dạng (23) M x, y dx N x , y dy 0 2. Kiểm tra điều kiện (24), nếu thoả mãn thì đến bước 3 M x,, y N x y  yx 3. Tính tích phân sau đây theo x với việc coi y là hằng số: F x,, y   M x y dx (25) y const 4. Tính tích phân sau đây theo y với việc coi x là hằng số: F x, y G x,, y   N x y dy (26) x const y 5. Nghiệm của phương trình là: F(x,y)+G(x,y)=C Phương trình vi phân bậc I 15 dy ysin 2 x Giải phương trình vi phân sau:  dx y22 cos x Phương trình vi phân bậc I 16 dy5 x4 3 x 2 y 2 2 xy 3 Giải phương trình vi phân sau:  dx5 y4 3 x 2 y 2 2 x 3 y Phương trình vi phân bậc I 17 2 dy y23 exy  4 x Giải phương trình vi phân sau:  2 dx 32y2  xyexy Phương trình vi phân bậc I 18 Nhiều khi phương trình vi phân M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 không phải là dạng chính xác, nhưng chúng có thể được đưa về dạng chính xác bởi nhân nó với một hàm thích hợp μ(x,y). Hàm số như vậy gọi là nhân tố tích phân (NTTP).  μ(x,y).(M(x,y)dx+N(x,y)dy) là phương trình vi phân chính xác. Có một số cách chuẩn để tìm nhân tố tích phân của PTVP M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, tuy nhiên trong một số trường hợp có thể tìm thấy NTTP bằng cách kiểm tra sau khi nhóm một số hạng tử một cách thích hợp. Phương trình vi phân bậc I 19 (nt1) (nt2) (nt3) ydx xdy x xdy ydx y xdy ydx  d xy 22  d   d   y y x x (nt4) (nt5) (nt6) xdy ydx1 22 ydx xdy x dln xy xdx  ydy  d x  y 22  d  arctan xy2 x y y (nt7) (nt8) (nt9) ydx xdy x  xdy  ydx11  x  y  xdy  ydx   dln 2 2  d  ln  2 2  d    xy yxy 2  xy  xy  xy  Phương trình vi phân bậc I 20 3 Giải phương trình vi phân sau: ydx xdy 30 x22 y ex dx  Phương trình vi phân bậc I 21 a2  xdy ydx Giải phương trình vi phân sau: xdx ydy xy22 Phương trình vi phân bậc I 22 yy    Giải phương trình vi phân sau: xcos  ydx xdy  y sin   xdy  ydx xx    Phương trình vi phân bậc I 23 1 22x3 Giải phương trình vi phân sau: xy e dx  x ydy  0  Phương trình vi phân bậc I 24 Nếu phương trình M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 là dạng thuần nhất, tức là các biểu thức M(x,y) và N(x,y)đều là hàm thuần nhất với x, y cùng một bậc, thì 1 chính là nhân tố tích phân nếu x.M(x,y) + x.N(x,y) ≠ 0 x M x,, y  y  N x y Phương trình vi phân bậc I 25 Nếu phương trình M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 có thể được viết dưới dạng f1(x,y).ydx+f2(x,y).xdy=0, có nghĩa là M(x,y)=f1(x,y).y và N(x,y)=f2(x,y).x thì 1 chính là nhân tố tích phân nếu x.M(x,y)–x.N(x,y) ≠ 0 x M x,, y  y  N x y Phương trình vi phân bậc I 26 Nếu phương trình M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 thoả mãn một trong 2 điều kiện sau: 1  M x,, y  N x y   f x dx fx  là một hàm số của x, thì e là NTTP N x, y  y x 1  N x,, y  M x y   g y dy gy  là một hàm số của y, thì e là NTTP M x, y  x y Phương trình vi phân bậc I 27 Nếu phương trình M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 có thể viết dưới dạng sau: ab ab11 (27) x y mydx nxdy  x y m11 ydx  n xdy  0 trong đó a, b, a1, b1, m, n, m1, n1 là các hằng số và mn1-m1n≠0, thế thì: xyhk chính là NTTP, với h và k là các hằng số được tính từ việc giải hệ PT sau: a h 11 b  k     mn(28) a h 11 b  k   11  mn11 Phương trình vi phân bậc I 28 Giải phương trình vi phân sau: 2x y dx  2 y  x dy  0 Phương trình vi phân bậc I 29 Giải phương trình vi phân sau:  y32 yx 2 dx  2 xy 2  x 3  dy  0 Phương trình vi phân bậc I 30 Giải phương trình vi phân sau:  xy22 y dx  x  x y dy  0 Phương trình vi phân bậc I 31 Giải phương trình vi phân sau:  x2 y 2 xy 1 ydx  x 2 y 2  xy  1 xdy  0 Phương trình vi phân bậc I 32 3 4 3 Giải phương trình vi phân sau:  x xy dx 20 y dy  Phương trình vi phân bậc I 33 22 Giải phương trình vi phân sau:  x y  x dx  xydy  0 Phương trình vi phân bậc I 34 Giải phương trình vi phân sau:  yln y dx x  ln y dy  0 Phương trình vi phân bậc I 35 Giải phương trình vi phân sau:  xy3 y dx 2 x 2 y 2  2 x dy  0 Phương trình vi phân bậc I 36 Giải phương trình vi phân sau: 2x2 y y 3 dx  x 3  2 xy 2  dy  0 Phương trình vi phân bậc I 37 Giải phương trình vi phân sau:  y22 x 2 y dx  2 x 3  xy dy  0