Các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 4 chiều

về nhĩm Lie và đại số Lie, hiểu được thuật tốn tính các bất biến của đại số Lie và từ đĩ tự giải quyết bài tốn của mình. Tơi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Hình học, khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chuyên mơn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học Cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phịng Tổ chức hành chính, phịng Khoa học Cơng nghệ và Sau đại học, phịng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh; Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Huệ, Bến Cầu, Tây Ninh cùng tồn thể quý đồng nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2008 Tác giả Lê Thị Thu Trang DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut(V) : Nhĩm các tự đẳng cấu tuyến tính trên khơng gian vectơ V. GL(V) : Giống hồn tồn như Aut(V). exp : Ánh xạ mũ exp. G : Khơng gian đối ngẫu của đại số Lie G . GL(n, ) : Nhĩm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực. Lie(G) : Đại số Lie của nhĩm Lie G. Mat(n, ) : Tập hợp các ma trận vuơng cấp n hệ số thực. : Trường số thực. : Trường số phức. TeG : Khơng gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e.   *C G : Khơng gian các hàm khả vi vơ hạn lần trên *G . Aut( G ) : Nhĩm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G . End(V) : Khơng gian các đồng cấu trên khơng gian vectơ V. Der( G ) : Tập hợp các tốn tử vi phân trên G . F : Quỹ đạo Kirillov qua F. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số Lie thực với số chiều thấp cĩ rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Tốn học và Vật lí học. Cụ thể như sự phân loại các lớp đẳng cấu của các đại số Lie với số chiều thấp là nền tảng và cơ sở ban đầu để hình thành một phương pháp tính các bất biến của đại số Lie bằng cách thay đổi hệ tọa độ. Lý thuyết biểu diễn là một ngành thuộc lĩnh vực Hình học – Tơpơ. Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhĩm Lie và đại số Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhĩm Lie và đại số Lie là một hướng nghiên cứu lớn trong lĩnh vực này. Để giải quyết bài tốn này, năm 1962, A. A. Kirillov (xem [Ki]) phát minh ra phương pháp quỹ đạo và nĩ nhanh chĩng trở thành phương pháp hiệu quả nhất để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhĩm Lie. Phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn bất khả quy unitar của mỗi nhĩm Lie liên thơng, đơn liên, giải được từ K – quỹ đạo nguyên của nĩ. Trong khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov được nghiên cứu cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhĩm Lie bởi nhiều nhà tốn học trên thế giới như L. Auslander, B. Kostant, Đỗ Ngọc Diệp,…. Đĩng vai trị then chốt trong phương pháp quỹ đạo là các K – quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp. Do đĩ, việc nghiên cứu K – biểu diễn của mỗi nhĩm Lie, nhất là các nhĩm Lie liên thơng giải được, cĩ ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhĩm Lie. Các nhĩm Lie và đại số Lie giải được cĩ cấu trúc khơng quá phức tạp, tuy nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để. Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp đã đề nghị xét một lớp con các nhĩm Lie và đại số Lie thực giải được mà rất đơn giản về phương diện phân tầng các K – quỹ đạo. Đĩ là lớp các MD – nhĩm và MD – đại số. Một nhĩm Lie thực giải được mà các K – quỹ đạo của nĩ hoặc khơng chiều hoặc chiều cực đại được gọi là MD – nhĩm. Khi số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhĩm thì nhĩm cịn được gọi là MD – nhĩm. Đại số Lie của một MD – nhĩm (tương ứng, MD – nhĩm) được gọi là MD – đại số (tương ứng, MD – đại số). Năm 1982, Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp các MD – đại số. Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hốn n – chiều n (n 1) , đại số Lie 2 – chiều aff và đại số Lie 4 – chiều aff . Việc phân loại lớp các MD – đại số đến nay vẫn cịn là một bài tốn mở. Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp các MD – nhĩm và MD – đại số theo số chiều. Tức là xét các lớp con MDn – nhĩm (và MDn – đại số) gồm các MD – nhĩm (và MD – đại số) n – chiều. Vì tất cả các đại số Lie dưới 4 – chiều đã được liệt kê hết từ lâu nên ta chỉ xét các lớp MDn – nhĩm và MDn – đại số với n 4 . Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê tồn bộ lớp các MD4 – đại số. Đến năm 1990, trong các bài báo và luận án Tiến sĩ của mình, Lê Anh Vũ (xem [Vu1], [Vu2], [Vu3]) đã phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4 – đại số này. Hiện tại, lớp các MD5 – đại số vẫn chưa được liệt kê và phân loại đầy đủ. Tuy nhiên, lớp con các MD5 – đại số với ideal dẫn xuất giao hốn đã được Lê Anh Vũ liệt kê và phân loại năm 2006. Mới đây, trong bài báo: “Computation of Invariants of Algebras by Means of Moving frames”, arXiv: math–ph/0602046 v2 11 Apr 2006, các tác giả Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã giới thiệu một phương pháp mới cho việc tính tốn các tốn tử bất biến (tốn tử Casimir tổng quát) của đại số Lie – thuật tốn tính các tốn tử Casimir tổng quát của đại số Lie. Thuật tốn này sử dụng phương pháp thay đổi tọa độ của Cartan và kiến thức về nhĩm của phép tự đẳng cấu trong của mỗi đại số Lie. Đặc biệt, thuật tốn này được ứng dụng để tính tốn các bất biến của đại số Lie thực số chiều thấp. Khác với các phương pháp thơng thường là nĩ khơng dẫn đến việc giải hệ phương trình vi phân mà thay bằng việc giải hệ phương trình đại số, tức là chúng ta chỉ làm việc trong lĩnh vực đại số thuần túy – đây là thuận lợi chủ yếu của phương pháp này. Hơn nữa, việc tính tốn đơn giản hơn hay khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở của đại số Lie. Hiện tại vẫn chưa cĩ ai giải quyết vấn đề tính các bất biến của các MD– đại số. Bởi vậy chúng tơi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về các bất biến của MD–đại số. Cụ thể, chúng tơi muốn hệ thống lại các khái niệm về đại số Lie, lớp MD–đại số Lie. Đồng thời trên cơ sở thuật tốn của các tác giả Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã đưa ra trong bài báo “Computation of Invariants of Algebras by Means of Moving frames”, chúng tơi sẽ cố gắng tính các bất biến của vài MD4–đại số. Bởi vậy, đề tài của chúng tơi mang tên: “Các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 4 chiều” 2. Mục đích Dùng thuật tốn do các nhà tốn học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đưa ra để nghiên cứu các bất biến của các đại số Lie. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Lớp con các MD4–đại số với ideal dẫn xuất giao hốn và các bất biến của chúng. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tính được tường minh cơ sở của các bất biến của một lớp con các MD4–đại số với ideal dẫn xuất giao hốn. Và chúng ta cũng cĩ thể áp dụng thuật tốn ở trên để tính tốn các bất biến của các MD5–đại số, MD6–đại số và một vài MDn (5 < n) đặc biệt. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài tốn nghiên cứu. Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về đại số Lie, nhĩm Lie, và lớp các MD – nhĩm, MD – đại số. Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài tốn đang xét. Chương 2: Giới thiệu một thuật tốn được các nhà tốn học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych nghiên cứu để tính tốn các bất biến của các đại số Lie. Chương 3: Áp dụng thuật tốn trên để tính các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 4 chiều. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu tiếp sau đề tài. Các nghiên cứu đạt được dựa trên việc tính tốn thuần tuý đại số và sự trợ giúp của máy tính. Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thơng dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Chương 1. ĐẠI SỐ LIE VÀ NHĨM LIE Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau, trong đĩ giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD – nhĩm và lớp các MD – đại số mà chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản về đại số Lie (thực) và nhĩm Lie. Một số mệnh đề và định lý được phát biểu nhưng khơng chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến các chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem các tài liệu [Ha-Sch], [Ki]. 1.1. Đại số Lie 1.1.1. Định nghĩa Cho K là trường và G là khơng gian vectơ trên K. Ta bảo G là một đại số Lie trên K hay K – đại số Lie nếu trên G đã cho một phép nhân mà gọi là mĩc Lie:  .,. :  G G G    x, y x, y (tích Lie hay mĩc Lie của x và y) sao cho các tiên đề sau đây thoả mãn: (L1) Mĩc Lie là hốn tử song tuyến tính. Tức là:             x y,z x,z y,z , x, y z x, y x,z ; x, y, z , K                  G, (L2) Mĩc Lie phản xứng. Tức là: [x,x] = 0, x G (L3) Mĩc Lie thoả mãn đồng nhất thức Jacơbi. Tức là:        x, y ,z y,z ,x z,x , y 0 x, y, z               G Nhận xét Nếu K là trường cĩ đặc số khác 2 thì (L2) tương đương với      2L : x, y y,x , x, y    G Nếu [x,y] = 0, x, y G thì ta bảo mĩc Lie tầm thường và G là đại số Lie giao hốn. Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của khơng gian vectơ G . Cho G là một khơng gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều của G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G cĩ thể được cho bởi mĩc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở  1 2, ,..., ne e e đã chọn trước trên G như sau: 1 , , 1 i<j n, n k k i j ij k ij k e e c e c K          Các hệ số kijc được gọi là hằng số cấu trúc của đại số Lie G . Khi K là trường số thực thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu khơng sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực. 1.1.2. Ví dụ a. Khơng gian n với mĩc Lie  x, y 0 (tầm thường) hiển nhiên là một đại số Lie. Và được gọi là đại số Lie thực giao hốn n – chiều. b. Khơng gian 3 với tích cĩ hướng thơng thường là một đại số Lie thực 3 – chiều. c. Cho A là một đại số (kết hợp) trên trường K. Với mọi cặp  x, y A , ta định nghĩa  x, y xy yx  , khi đĩ A trở thành một đại số Lie. Nĩi riêng ta cĩ đại số Mat(n,K) các ma trận vuơng cấp n trên K là một đại số Lie với mĩc Lie    , , A B AB BA A, B Mat n,K    . d. Đặc biệt, xét đại số các tốn tử tuyến tính End(V) trên K – khơng gian vectơ V. Khi đĩ, End(V) trở thành đại số Lie với mĩc Lie được xác định như sau:    , , ,f g f g g f f g End V     . e. Cho A là một đại số trên trường K. Tốn tử tuyến tính : A A  được gọi là tốn tử vi phân trên A nếu:      x, y x .y x. y     Kí hiệu Der(A) là tập hợp tất cả các tốn tử vi phân trên A. Khi đĩ Der(A) trở thành một đại số trên K với phép nhân là phép hợp thành ánh xạ. Der(A) trở thành một đại số Lie trên K với mĩc Lie được định nghĩa là :  1 2 1 2 2 1,        1.1.3. Đồng cấu và đẳng cấu đại số Lie Cho 1G và 2G là hai K– đại số Lie và :f 1 2G G là một ánh xạ. Ta bảo f là một đồng cấu đại số Lie nếu: (i) f là ánh xạ K– tuyến tính. (ii) f bảo tồn mĩc Lie, tức là:       x, y x , y , x, yf f f     1G Nếu f cịn là một song ánh thì f được gọi là đẳng cấu đại số Lie. Các đại số Lie trên trường K lập thành một phạm trù với các cấu xạ chính là các đồng cấu đại số Lie. Mỗi đồng cấu đại số Lie : End(V)f 1G (End(V) là đại số Lie các tốn tử tuyến tính trên khơng gian vectơ V) được gọi là biểu diễn tuyến tính của 1G trong khơng gian vectơ V, kí hiệu (f,V). Nếu dimV = n <  , khi ta cố định cơ sở nào đĩ của V thì ta cĩ    : , V G1f End Mat n . Để đơn giản thì đơi khi người ta dùng thuật ngữ “biểu diễn” thay cho thuật ngữ “biểu diễn tuyến tính”. Khi f là một đơn cấu thì f được gọi là biểu diễn khớp. Định lý (Định lý Ado) Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều cĩ ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp hữu hạn chiều. Định lý quan trọng này nĩi lên rằng, cĩ thể quy tất cả các phép chứng minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận. 1.1.4. Biểu diễn chính quy của đại số Lie Cho G là đại số Lie. Der( G ) = {f: G  G / f là tốn tử vi phân} là đại số Lie. Đồng cấu đại số Lie    ad : Der End G G G xx ad ở đĩ adx : G G y    xad y x, y là biểu diễn tuyến tính ad của G trong chính G ( xad là tốn tử tuyến tính trên khơng gian vectơ G ). Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G . Hạt nhân của biểu diễn này là    xKer ad x ad 0  G/ chính là tâm của G . Ví dụ Xét đại số Lie 3G = với mĩc Lie là tích cĩ hướng thơng thường. Khi đĩ,     3G =v a,b,c ta cĩ biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau: 0 0 0 v c b ad c a b a        Dễ thấy rằng, tâm của G là tầm thường, do đĩ biểu diễn ad ở đây là khớp. Nĩi cách khác, đại số Lie 3G = với mĩc Lie là tích cĩ hướng thơng thường đẳng cấu với đại số Lie các trận thực phản xứng cấp 3. 1.1.5. Đại số Lie giải được và đại số Lie luỹ linh Cho G là một đại số Lie và M là một khơng gian con của G . Ta bảo M là đại số con của G nếu  M,M M . Ta bảo M là ideal của G nếu  ,M MG . Trong đĩ ký hiệu:          M,M x, y : x, y M , ,M x, y : x , y M    G G Khi M là một ideal của G thì khơng gian thương MG trở thành một đại số Lie với mĩc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên như sau: M M M G G G      1 2 1 2 1 2, , : ,     g M g M g M g M g g M Cho G là K– đại số Lie. Đặt:    n n-1 n-1 n 2         , ,...,1 2 1 1G G, G G G , G G G , G        n n-1 n 2    11 2 1G G, G G G G , G G G , G, ,..., Mệnh đề a. k kG G, là các ideal dẫn xuất thứ k của G (k=1,2,3,…) b. Ta cĩ các dãy bao hàm thức sau: n n             1 2 1 2 G G G G G G G G ... ... ... ... c. Nếu dim G < + thì  n N sao cho: n n+1 n n+1 k .h k .h ... ...         G G G G G G Đại số Lie G gọi là giải được nếu  0 G , G gọi là luỹ linh nếu  0 G . Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số Lie giải được (tương ứng, luỹ linh) G . Ví dụ       0 1 j<i n     ij ijnT n,K A a Mat n,K / a , (đại số các ma trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được  1 2 n n chiều.       0 0 1 j i n      ij ijnT n,K A a Mat n,K / a , (đại số các ma trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie luỹ linh  1 2 n n chiều. Định lý (Định lý Lie) Cho f là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G trong khơng gian vectơ V trên trường đĩng đại số K. Khi đĩ f tương đương với biểu diễn ma trận tam giác trên, tức là    f x T n,K , x  G . Hệ quả Nếu G là đại số Lie giải được thì  1G G, G là đại số Lie luỹ linh. Định lý (Định lý Engel) Đại số Lie G là luỹ linh khi và chỉ khi với mọi Gx , adx là tốn tử luỹ linh (tức là tồn tại  *n N sao cho   0nxad ). 1.2. Đa tạp vi phân và nhĩm Lie 1.2.1. Đa tạp vi phân 1.2.1.1. Định nghĩa đa tạp vi phân (a) Cho M là khơng gian tơpơ Housdorff và cĩ cơ sở đếm được. M được gọi là một đa tạp tơpơ n – chiều nếu: với mỗi x M , tồn tại lân cận mở U của x và đồng phơi n:U (U )   ( (U ) là tập mở trong n ). Khi đĩ:   U , là bản đồ địa phương trong lân cận của x.  Một họ các bản đồ   i i i IU ,  được gọi là một atlat của M nếu  i i IU  là một phủ mở của M.  Gom tất cả các bản đồ ta được một atlat cực đại. (b) Ta nĩi rằng atlat   i i i IU ,  khả vi lớp Cr (hay thuộc lớp Cr) nếu các bản đồ của atlat tương thích nhau “ một cách Cr” (ở đây r > 0). Tức là: Với mỗi cặp chỉ số i, j I sao cho i jU U  , ánh xạ:    1   j i i i j j i j. : U U U U    đều thuộc lớp Cr. (c) Hai atlat khả vi thuộc lớp Cr gọi là tương đương nhau nếu hợp của chúng vẫn là một atlat khả vi lớp Cr. Đĩ là một quan hệ tương đương trên tập các atlat khả vi lớp Cr. Nĩ định ra một sự chia lớp trên tập hợp các atlat khả vi lớp Cr trên M. Mỗi lớp tương đương như vậy gọi là một cấu trúc vi phân (hay cấu trúc khả vi) lớp Cr trên M. Định nghĩa Một cặp gồm một đa tạp tơpơ n – chiều cùng với một cấu trúc vi phân lớp Cr đã cho trên M, gọi là đa tạp vi phân n – chiều lớp Cr (r > 0). M gọi là đa tạp tơpơ nền của đa tạp vi phân đang xét. Nếu khơng sợ nhầm lẫn, đa tạp vi phân đang xét vẫn được kí hiệu là M. 1.2.1.2. Các ví dụ về đa tạp vi phân Ví dụ 1:  n ,Id là một đa tạp vi phân n – chiều, cấu trúc vi phân sinh bởi  n ,IdA = (atlat A chỉ gồm một bản đồ) gọi là cấu trúc vi phân tự nhiên. Ví dụ 2: Xét mặt cầu n – chiều:   0 1 1 1n n nS x x ,x ,...,x / x    M Ui Uj i j 1oj i  Xét:     0 1 0n n iiS x x ,x ,...,x S / x     , 0i ,n     0 1 0n n iiS x x ,x ,...,x S / x     , 0i ,n và đồng phơi:     ni : S       0 1 0 1n i nx ,x ,...,x x ,x ,...,x ,...,x atlat khả vi lớp C . Do đĩ nS trở thành đa tạp vi phân lớp C (n – chiều) 1.2.1.3. Ánh xạ khả vi trên các đa tạp vi phân a. Hệ toạ độ địa phương Cho M là đa tạp tơpơ n – chiều,  U , là bản đồ địa phương của x. Khi đĩ   n:U U      1 2 nx x x ,x ,...,x  Ta thu được n hàm liên tục: ix :U   ix x x Gọi  1 2 nU ;x ,x ,...,x là hệ toạ độ địa phương xác định bởi bản đồ  U , . Đơi khi đồng nhất  U , và  1 2 nU ;x ,x ,...,x với mỗi x U ,       1 2 n nx x ,x x ,...,x x  gọi là toạ độ địa phương của x trong hệ toạ độ địa phương nêu trên. b. Hàm trên đa tạp tơpơ Cho M là một đa tạp tơpơ n – chiều, A =   U ,     là một atlat, xét hàm tuỳ ý f : M  , với mỗi   , xét Uf :U   Đặt  1Uf f . : U      Khi đĩ ta cĩ:         1 2 x Unf x f x x ,x x ,...,x x ,       Ở đĩ,  1 2 nU ;x ,x ,...,x là hệ toạ độ địa phương ứng với bản đồ  U ,  , f được gọi là biểu diễn địa phương của f trong hệ toạ độ địa phương  1 2 nU ;x ,x ,...,x . Ta thường đồng nhất f với Uf  . Tức là xem Uf  là một hàm n – biến thực trên  U  . c. Ánh xạ trên các đa tạp vi phân n  1 M U f f Cho M là một đa tạp vi phân m – chiều và N là một đa tạp vi phân n – chiều. Xét ánh xạ liên tục f : M N . Với mỗi cặp bản đồ  U , trên M (ứng với hệ toạ độ địa phương  1 2 nU ;x ,x ,...,x ) và  V , (ứng với hệ toạ độ địa phương  1 2 mV ; y ,y ,..., y ) tương thích đối với f, tức là  f U V . Ta xét ánh xạ hạn chế Uf :U V cùng với ánh xạ:         1 1 2 1 2 U n m . f . : U V x ,x ,...,x y ,y ,..., y       ở đĩ  1 2 =j j ny f x ,x ,...,x , j 1,m  Hay là  1 1 2 mU. f . f , f ,..., f   là ánh xạ với m hàm thành phần  1 2 mf , f ,..., f : U  . 1 U. f .  gọi là biểu diễn địa phương của ánh xạ f trong cặp bản đồ     V,U , ,  tương thích với f . Các hàm thành phần 1 2 mf , f ,..., f gọi là các thành phần địa phương của f trong hệ toạ độ địa phương  1 2 nU ;x ,x ,...,x . Ta thường đồng nhất Uf và 1U. f .  . Tức là xem Uf như là ánh xạ đi từ  U vào  V với các thành phần  1 2 mf , f ,..., f : U  . d. Ánh xạ khả vi trên các đa tạp vi phân Ánh xạ f : M N được gọi là khả vi nếu với mọi cặp bản đồ    U , , V ,  tương thích đối với f, biểu diễn địa phương 1U Uf . f .  của f là một ánh xạ khả vi theo nghĩa thơng thường từ  U vào  V . Lúc đĩ các thành phần địa phương  1 2 mf , f ,..., f : U  của f là m hàm khả vi n biến thực. Đặc biệt khi M, N đều n – chiều; f song ánh và 1f , f  đều khả vi thì ta bảo f là vi phơi. e. Xét trường hợp đặc biệt  N (với cấu trúc vi phân tự nhiên) Với mỗi cặp 0x M và tập U mở trong M ta đặt:  0xF = {f: f là hàm khả vi trong lân cận của 0x }  UF = {f: f là hàm khả vi trên U} . 1 o of   M N U f V   m(U)  n(V)   MF = {f: f là hàm khả vi trên M} Trên  MF ta xét các phép tốn định nghĩa một cách tự nhiên như sau:         f g x f x g x , x M           f x f x , x M,                  f .g x f x .g x , f, g M  F Khi đĩ  MF trở thành một – đại số. Hồn tồn tương tự đối với  0xF ,  UF . Ta gọi:   UF : Đại số các hàm khả vi trên U.   MF : Đại số các hàm khả vi trên M.   0xF : Đại số các hàm khả vi trong lân cận 0x ( 0x M ) 1.2.1.4. Vectơ tiếp xúc – Khơng gian vectơ – Trường vectơ a. Vectơ tiếp xúc Cho M là một đa tạp vi phân n – chiều, ta kí hiệu I a,b – là một trong các trường hợp sau:        a,b , a,b , a,b , a,b . Xét ánh xạ liên tục c : I M  t c t c M I c(t0) t0 Ta bảo c là đường (cong) khả vi trên M nếu bản thân c là ánh xạ khả vi. Một vectơ tiếp xúc với c tại  0 0x c t là một ánh xạ:         0 0 0 t t X : x d f .c f X . f f .c t dt      đ.n F Trong đĩ X.f được gọi là đạo hàm của f theo hướng của vectơ X hay đạo hàm của f theo hướng của c tại  0 0x c t . Tính chất X(f  g) = Xf  Xg X( f) = X(f) X(f.g) = (Xf).g(x0) + f(x0).Xg (Newton – Leibniz)  0 f , g x F b. Khơng gian tiếp xúc Cho M là đa tạp vi phân n – chiều và 0x M là một điểm tuỳ ý. Vectơ tiếp xúc của M tại 0x là một vectơ tiếp xúc X của một đường cong c nào đĩ tại 0x sao cho    0 0 0 c t x t I  Khơng gian tiếp xúc của M tại 0x là tập hợp các vectơ tiếp xúc của M tại 0x . Kí hiệu là  0xT M . Khi đĩ   0xT M sẽ là khơng gian vectơ trên M với các phép tốn sau:   X Y f Xf Yf       X f Xf      0 x 0, X,Y T M , f x      F Định lý Khơng gian tiếp xúc   0xT M là khơng gian vectơ n – chiều với cơ sở chính là            0 0 01 2 n , ,..., x x xx x x . c. Trường vectơ Gọi    x x M T M T M    (hợp rời rạc) Trên T(M) ta trang bị tơpơ tổng, T(M) cùng với phép chiếu p :T( M ) M  xX T M x  gọi là phân thớ tiếp xúc trên M . Cho U là tập mở trong M và xét ánh xạ :  X :U T M  x xx X T M M M Tx(M) U Xx X Gọi là trường vectơ trên U. Khi U = M ta nhận được khái niệm trường vectơ trên M. 1.2.1.5. Nhĩm một tham số (tồn cục) Cho M – đa tạp vi phân n – chiều. Nhĩm 1 – tham số các phép biến đổi (tồn cục) trên M là: : M M        k.h tt ,x t ,x x  sao cho hai tính chất sau thoả mãn: (i)     t . t ,. : M M   tx x là một vi phơi trên M (hay phép biến đổi) với mọi t . (ii)      . x .,x : M    tt x thoả:         x Mt s t s t sx x x ,         Tức là: t s t s     Khi đĩ  t t  là nhĩm con của Aut(M) (nhĩm các phép biến đổi trên M). Kí hiệu  t t  =Diff(M). Và được gọi là nhĩm 1 – tham số các phép biến đổi hay nhĩm con một tham số các phép biến đổi. Nhận xét Cho  t t  – nhĩm 1 – tham số các phép biến đổi. Với mỗi x M sẽ cho ta một đường cong khả vi    tc t x trên M xuất phát từ    00x c x  . Đường cong này gọi là “quỹ đạo của x ứng với nhĩm  t t  ”. 1.2.2. Nhĩm Lie 1.2.2.1. Định nghĩa Tập hợp G được gọi là một nhĩm Lie (thực) nếu các điều kiện sau thoả mãn: (i) G là một nhĩm; (ii) G là đa tạp thực khả vi; (iii) Phép tốn nhĩm   1 x,y   G G G, xy khả vi. Ta khơng cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý Gleason – Montgomery – Zippin, trên mọi nhĩm Lie lớp 0C (tức là đa tạp tơpơ) cĩ thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp C tương thích với cấu trúc nhĩm. Nhĩm Lie G được gọi là giao hốn nếu phép tốn nhĩm giao hốn. Số chiều của nhĩm Lie G chính là số chiều của đa tạp khả vi G. Vì nhĩm Lie vừa cĩ cấu trúc nhĩm, vừa là đa tạp khả vi nên ta cĩ thể đưa nhiều cơng cụ của đại số, giải tích, tơpơ, hình học vi phân, … để nghiên cứu cấu trúc của nhĩm Lie. 1.2.2.2. Các ví dụ a. Đường trịn đơn vị S1 với phép tốn (.) (cĩ thể xem S1 là tập hợp các số phức cĩ mơđun bằng 1) là một nhĩm Lie giao hốn. b. Tập hợp  GL n, các ma trận vuơng cấp n khơng suy biến với phép tốn nhân ma trận cũng là một nhĩm Lie (khơng giao hốn khi 2n ). Đặc biệt, khi n=1 thì  1  *GL , . c. Nếu 1 2 mG ,G ,...,G là những nhĩm Lie thì 1 2    mG G G ... G là một nhĩm Lie nếu ta cho nĩ cấu trúc nhĩm tích và cấu trúc đa tạp vi phân tích của các cấu trúc G , và ta nĩi rằng G là nhĩm Lie tích của các Gi. d. Nhĩm các phép biến đổi affine của đường thẳng thực với tơpơ tự nhiên chính là một nhĩm Lie. Nhĩm này được kí hiệu là aff . Cụ thể nhĩm aff =     *a,b / a ,b . 1.3. Liên hệ giữa nhĩm Lie và đại số Lie 1.3.1. Đại số Lie tương ứng với một nhĩm Lie đã cho Cho G là một nhĩm Lie. Ta ký hiệu eT G là khơng gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e G . Khơng gian này thường được kí hiệu là G . Khi đĩ G trở thành một đại số Lie với mĩc Lie được xác định bởi tốn tử như sau:   X, YX ,Y XY YX ,   G Tức là:         X, Y X ,Y f X Yf Y Xf , f C G     G, Trong đĩ  C G là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực. Như vậy, mỗi nhĩm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G được gọi là đại số Lie của G (nĩi cách khác G được gọi là đại số Lie tương ứng với G). Ngồi cách định nghĩa trên, ta cịn cĩ thể xem đại số G như là đại số Lie con các trường vectơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng đại số G như sau: Gọi X(G) là đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G. Khi đĩ               g G g G, X, Y g gg gg X Y X Y , X X , X ,Y f X Yf Y Xf , X G f C G                ,    Với mọi g G . Đặt x gxgL : G G,  là phép tịnh tiến trái theo g, x xggR : G G,  là phép tịnh tiến phải theo g, thì gL và gR là các vi phơi trên G, đồng thời cảm sinh thành các ánh xạ    *gL :T G T G ,    *gR :T G T G , trên khơng gian tiếp xúc T(G) của G. Trường vectơ X được gọi là bất biến trái nếu   g G*gL X X ,   . điều này đồng nghĩa với biểu thức  * gxg xL X X Tương tự, trường vectơ X được gọi là bất biến phải nếu   g G*gR X X ,   . Tức là :  * xgg xR X X . Gọi G = {XX(G)/ X là trường vectơ bất biến trái}, thì G là đại số Lie con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhĩm Lie G. Đơi khi ta ký hiệu là G =Lie(G). Các ví dụ Ví dụ 1: Đại số Lie tương ứng với nhĩm Lie G = ( ,+) là G = Lie(G) = . Ví dụ 2: Đại số Lie tương ứng với nhĩm Lie G = ( * , .) là G = Lie(G) = . Ví dụ 3: Đại số Lie tương ứng với nhĩm Lie G = GL(n, ) là G = Lie(G) = Mat(n, ). 1.3.2. Nhĩm Lie liên thơng đơn liên tương ứng với đại số Lie Với cách xây dựng như trên thì ta thấy, mỗi nhĩm Lie sẽ xác định một đại số Lie duy nhất. Ngược lại thì ta cĩ định lý sau: Định lý a. Cho G là đại số Lie thực bất kì. Khi đĩ luơn tồn tại duy nhất nhĩm Lie liên thơng đơn liên G sao cho đại số Lie của G chính là G . b. Nếu G là một nhĩm Lie liên thơng nhận G làm đại số Lie thì tồn tại nhĩm con chuẩn tắc rời rạc D của G sao cho GG D . Nhĩm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, luỹ linh) nếu đại số Lie G của nĩ là giải được (tương ứng, luỹ linh). 1.3.3. Ánh xạ mũ exponent Cho G là nhĩm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G. Mệnh đề Với mỗi X G , tồn tại duy nhất nhĩm con   x t / t G  sao cho:         0 G e ( i ) x(0)= e ; ( ii ) x t + s x t .x s ; t, s (iii) x ( ) X X .       và được gọi là nhĩm con 1 – tham số xác định trên G. Khi đĩ:  exp(X) x(1) G,  đ.n đ.n exp(tX) x(t) G ;   exp : G X exp X, G Định lý (về tính chất của ánh xạ exp) (i) Ánh xạ exp là vi phơi địa phương. (ii) Ánh xạ exp cĩ tính chất tự nhiên. Tức là biểu đồ sau đây giao hốn với mọi đồng cấu nhĩm Lie 1 2f G G:  , tức là *f exp = exp f  Định nghĩa nhĩm exponential Nếu exp vi phơi (tồn cục) thì G gọi là nhĩm exponential. Ví dụ Ví dụ 1:  *,. , = Lie(G)= GG *exp :   G = G  exp 0 !      t kt k tt e k Ví dụ 2:    , , = Lie(G)= , GG GL n Mat n    exp : , ,  G = Mat n G GL n  exp 0 !      X kX k XX e k G1 G2 exp f (đồng cấu nhĩm Lie) exp 1G 2G f* Hệ quả Cĩ một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của các đại số Lie và các nhĩm Lie liên thơng đơn liên. 1.3.4. Biểu diễn phụ hợp, biểu diễn đối phụ hợp và K – quỹ đạo của nhĩm Lie Cho G là nhĩm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G và  * Hom G G, ={F: G / F là dạng tuyến tính} là khơng gian đối ngẫu của G . g GVới mỗi ta cĩ ánh xạ: :gL G G  gL :x x gx là phép tịnh tiến trái. Và ánh xạ : :gR G G  gR :x x xg là phép tịnh tiến phải. Đặt   1 :g ggA L R G G  -1g.x.gx  gA : gọi là tự đẳng cấu trong của G ứng với g G . Tự đẳng cấu này cảm sinh ánh xạ         1 0 * * : : .exp g g t g A dX A X g tX dt        G G được gọi là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ  gA . Định nghĩa 1.3.4.1 Tác động  : Ad G Aut G    g *:=g AgAd là biểu diễn của nhĩm Lie G trong G . Và ta gọi Ad là biểu diễn phụ hợp của nhĩm Lie G trong G . Định nghĩa 1.3.4.2 Tác động  *K :G Aut G   gg K ở đĩ   g * *K : G G     gF K F    1K F,X : F,Ad g X , Xg   G với  1Ad g : G G là biểu diễn của nhĩm Lie G trong *G . Và được gọi là biểu diễn đối phụ hợp của G trong *G hay K– biểu diễn của nhĩm Lie G. Định nghĩa 1.3.4.2. Mỗi quỹ đạo của K– biểu diễn gọi là K– quỹ đạo của G. Vì thế, với mỗi      *F , : K F/ g GgFG được gọi là K – quỹ đạo đi qua F. Số chiều mỗi K – quỹ đạo của một nhĩm Lie tùy ý luơn là một số chẵn. 1.3.5. Các MD – nhĩm và MD – đại số Giả sử G là một nhĩm Lie thực giải được, G là đại số Lie của G. Định nghĩa Nhĩm G được gọi là cĩ tính chất MD hay là MD – nhĩm nếu các K – quỹ đạo của nĩ hoặc là khơng chiều hoặc ._.