Tài liệu Nhóm Qp: ... Ebook Nhóm Qp
54 trang |
Chia sẻ: huyen82 | Lượt xem: 1672 | Lượt tải: 2
Tóm tắt tài liệu Nhóm Qp, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
PHẠM MỸ HẠNH
NHÓM QP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05
NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
11/2009
1LÍI NÂI ffiU
Theo Wikipedia khi giîi thi»u v· nguçn gèc cõa lþ thuy¸t nhâm, trong kho£ng
mët th¸ kff, r§t nhi·u nh to¡n håc ¢ g°p khâ kh«n khi nghi¶n cùu c¡c b i to¡n
trong ¤i sè tr÷îc khi lþ thuy¸t nhâm ra íi. Bt ¦u l Joseph Louis Lagrange sû
döng nhâm ho¡n và º t¼m nghi»m a thùc. Sau â trong c¡c b i b¡o, nghi¶n cùu v·
ph÷ìng tr¼nh ¤i sè cõa Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Niels Hendrik Abel
v Evariste Galois, nhúng thuªt ngú trong lþ thuy¸t nhâm ¢ xu§t hi»n. Ngo i ra,
lþ thuy¸t nhâm công ÷ñc h¼nh th nh tø h¼nh håc v o kho£ng giúa th¸ kff 19 v
tø lþ thuy¸t sè. V o kho£ng cuèi th¸ k¿ 19, lþ thuy¸t nhâm ÷ñc h¼nh th nh nh÷
mët nh¡nh ëc lªp cõa ¤i sè (nhúng ng÷íi câ cæng trong l¾nh vüc n y ph£i kº ¸n
l Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker, Emile Mathieu v/v. . . ). Nhi·u
kh¡i ni»m cõa ¤i sè ¢ ÷ñc x¥y düng l¤i tø kh¡i ni»m nhâm v ¢ câ nhi·u k¸t
qu£ mîi âng gâp cho sü ph¡t triºn cõa mët ng nh quan trång trong to¡n håc.
Hi»n nay lþ thuy¸t nhâm l mët ph¦n ph¡t triºn trong ¤i sè v câ nhi·u ùng
döng trong topo håc, lþ thuy¸t h m, mªt m¢ håc, cì håc l÷ñng tû v nhi·u ng nh
khoa håc cì b£n kh¡c.
B i to¡n cì b£n cõa lþ thuy¸t nhâm l mi¶u t£ t§t c£ h» thèng nhâm vîi sü
ch½nh x¡c ¸n mët ¯ng c§u v nghi¶n cùu c¡c ph²p bi¸n êi tr¶n c¡c nhâm. Tr¶n
thüc t¸, vi»c li»t k¶ h¸t c¡c h» thèng nhâm l khæng thº, ch½nh v¼ th¸ m lþ thuy¸t
nhâm v¨n ti¸p töc ÷ñc nghi¶n cùu v ph¡t triºn.
ffi°c bi»t èi vîi lîp nhâm aben væ h¤n v¨n ang l chõ · ang ÷ñc c¡c nh
to¡n håc tr¶n th¸ giîi nghi¶n cùu. V¼ th¸ chóng tæi ¢ chån · t i nhâm Qp, mët v½
dö v· nhâm aben væ h¤n º hiºu th¶m mët sè t½nh ch§t quan trång cõa lîp nhâm
n y. Trong luªn v«n n y, chóng tæi tr¼nh b y hai ch÷ìng sau:
Ch÷ìng 1: Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v t½nh ch§t
cõa mët sè nhâm quen thuëc nh÷ nhâm xyclic v xyclic àa ph÷ìng, nhâm xon
v nhâm khæng xon, nhâm chia ÷ñc, nhâm thu¦n tuþ v ìn thu¦n tuþ v/v. . .
nh¬m l m cì sð cho ch÷ìng 2.
Ch÷ìng 2: ffièi vîi ch÷ìng n y chóng tæi °t trång t¥m v o vi»c nghi¶n cùu
c¡c t½nh ch§t cõa nhâm Qp mët v½ dö v· nhâm aben væ h¤n, çng thíi giîi thi»u sì
l÷ñc v½ dö mð rëng cõa nhâm n y, â l nhâm A ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: A = B
+ C + D vîi B = Qp × {0}, C = {0} ×Qq v D = 〈1/r, 1/r〉.
Do thíi gian câ h¤n n¶n chóng tæi khæng i s¥u hìn v· c¡c t½nh ch§t cõa c¡c
mð rëng cõa nhâm Qp công nh÷ ch÷a tr¼nh b y ÷ñc c¡c ùng döng cõa nhâm n y
trong mët sè l¾nh vüc khoa håc kß thuªt hi»n nay. M°c dò b£n th¥n ¢ câ nhi·u
cè gng, nh÷ng vîi sü hiºu bi¸t v ki¸n thùc câ h¤n n¶n luªn v«n v¨n cán nhi·u sai
sât. Em mong nhªn ÷ñc sü thæng c£m v nhúng þ ki¸n quþ b¡u cõa quþ th¦y cæ
v c¡c b¤n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Xin ch¥n th nh c¡m ìn!
C¦n Thì, th¡ng 11 n«m 2009
Ph¤m Mß H¤nh
2LÍI CM ÌN
Líi ¦u ti¶n xin tr¥n trång c£m ìn Th¦y Bòi Xu¥n H£i ¢ tªn t¥m ch¿ d¨n tæi
trong suèt thíi gian qua, °c bi»t trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«n n y.
Xin tr¥n trång gûi líi c£m ìn ¸n quþ Th¦y, Cæ thuëc Khoa To¡n - Tin håc
Tr÷íng ffi¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n, TP. Hç Ch½ Minh, còng vîi quþ Th¦y, Cæ ð
Bë mæn To¡n, Khoa Khoa håc, Tr÷íng ffi¤i håc C¦n Thì ¢ tªn t¼nh truy·n d¤y
nhúng ki¸n thùc v kinh nghi»m quþ b¡u cho tæi trong suèt thíi gian håc tªp.
Xin tr¥n trång c£m ìn quþ Th¦y, Cæ ¢ åc v âng gâp nhi·u þ ki¸n bê ½ch
cho luªn v«n.
Xin tr¥n trång c£m ìn Pháng ffi o t¤o v Khoa Khoa håc, Tr÷íng ffi¤i håc C¦n
Thì ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi º tæi ho n t§t ch÷ìng tr¼nh håc tªp.
Sau còng xin tr¥n trång c£m ìn c¡c çng nghi»p v b¤n b± ¢ ëng vi¶n v hé
trñ tæi trong suèt thíi gian tæi theo håc ch÷ìng tr¼nh cao håc ð Tr÷íng ffi¤i håc
C¦n Thì.
Ph¤m Mß H¤nh
Möc löc
1 Ki¸n thùc chu©n bà 5
1.1 Nhâm aben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Nhâm aben tü do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Nhâm tü do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Biºu di¹n nhâm d÷îi d¤ng tªp sinh v c¡c çng nh§t thùc: . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Nhâm xon - Nhâm khæng xon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 D n c¡c nhâm con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Nhâm xyclic - Nhâm xyclic àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Nhâm chia ÷ñc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10 Nhâm con thu¦n tóy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11 Nhâm ìn thu¦n tóy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.12 T½ch trüc ti¸p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.13 Nhâm th°ng d÷ húu h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.14 Nhâm hopf - Nhâm cohopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Nhâm Qp v mð rëng cõa nhâm n y 35
2.1 Nhâm Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Mð rëng cõa nhâm Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
4 MÖC LÖC
BNG KÞ HIU
N, Z, Q, R: Tªp hñp sè tü nhi¶n, sè nguy¶n, sè húu t¿, sè thüc.
H A: H l nhâm con chu©n tc cõa nhâm A.
Kerf : Nh¥n cõa çng c§u f.
Imf : nh cõa çng c§u f.
G ∼= H: Nhâm G ¯ng c§u vîi nhâm H.
〈S〉: Nhâm sinh bði tªp S.
|G|: C§p cõa nhâm G.
H ≤ G: H l nhâm con cõa G.
P: Tªp c¡c sè nguy¶n tè.
a|b: Ph¦n tû a l ÷îc cõa b.
tG: Nhâm con xon cõa G.
A×B : T½ch trüc ti¸p cõa nhâm A v B.
A⊕B: Têng trüc ti¸p cõa nhâm A v B.
G[p]: {x ∈ G|pmx = 0,m ∈ N}.
Z(p∞): Nhâm p-Pruffer.
Qp: { a
pn
| a
pn
∈ Q, n ∈ Z} vîi p l mët sè nguy¶n tè cho tr÷îc.
Qp: {a
b
|a
b
∈ Q, (b, p) = 1, p ∈ P}.
Ch֓ng 1
Ki¸n thùc chu©n bà
1.1 Nhâm aben
Nhâm aben l lîp nhâm câ nhi·u ùng döng trong c¡c ng nh khoa håc v kß
thuªt. Mët sè nhâm aben th÷íng g°p nh÷ nhâm c¡c sè nguy¶n vîi ph²p to¡n cëng
(Z, +), nhâm c¡c sè húu tff vîi ph²p to¡n cëng (Q, +), hay nhâm c¡c sè húu tff
kh¡c khæng vîi ph²p to¡n nh¥n (Q∗, . ), nhâm c¡c sè thüc vîi ph²p to¡n cëng (R,
+) ho°c nhâm cëng c¡c ma trªn c§p n h» sè thüc (Mn(R),+) v/v...
C¡c nhâm aben câ thº ÷ñc li»t k¶ th nh ba lîp. Lîp thù nh§t l lîp c¡c nhâm
xon (torsion group), tùc l måi ph¦n tû cõa nhâm n y ·u câ c§p húu h¤n. V½
dö: (Z(2),+) ho°c p-nhâm. Lîp thù hai l lîp c¡c nhâm khæng xon (torsion - free
groups), â l nhâm m khæng câ ph¦n tû n o cõa nâ (ngo¤i trø ph¦n tû ìn và) câ
c§p húu h¤n. V½ dö: Nhâm cëng c¡c sè nguy¶n (Z, + ); Nhâm cëng c¡c sè húu tff
(Q, + ). Cuèi còng l lîp gçm c¡c nhâm câ c£ nhúng ph¦n tû khæng t¦m th÷íng câ
c§p húu h¤n v nhúng ph¦n tû câ c§p væ h¤n. Nhúng nhâm n y gåi l nhâm aben
hén hñp (mixed group). V½ dö: Nhâm Z2 ⊕ Z, ho°c nhâm nh¥n c¡c sè thüc kh¡c
khæng do måi ph¦n tû kh¡c ph¦n tû 1 v -1 cõa nhâm n y ·u câ c§p væ h¤n.
ffièi vîi nhâm thuëc lîp thù nh§t v lîp thù hai câ c¡c t½nh ch§t chung nh÷ sau:
Nhâm con xon cõa G l h¤ng tû trüc ti¸p cõa nhâm n y. ffii·u n y d¨n ¸n vi»c
ph¥n t½ch lîp c¡c nhâm hén hñp th nh hai lîp nhâm con nh÷ sau: Mët nhâm aben
hén hñp G câ thº ch¿ câ thº chia th nh nhâm t¡ch ÷ñc (splitting) hay nhâm khæng
t¡ch ÷ñc (nonsplitting group) tuý thuëc v o nhâm con xon cõa G câ l h¤ng tû
trüc ti¸p cõa G hay khæng.
ffièi vîi lîp c¡c nhâm t¡ch ÷ñc (hay ch´ ra), n¸u ta bi¸t t½nh ch§t cõa t(A) v
t½nh ch§t cõa A/t(A) th¼ s³ bi¸t ÷ñc t½nh ch§t cõa A v¼ A ∼= t(A)× (A/t(A)) vîi
t(A) l nhâm chùa t§t c£ ph¦n tû xon cõa A. Nâi c¡ch kh¡c, A khæng câ nhi·u
t½nh ch§t kh¡c hìn so vîi c¡c t½nh ch§t cõa t(A) v A/t(A). Tuy nhi¶n, n¸u nhâm
A khæng t¡ch ÷ñc (hay t(A) khæng l h¤ng tû trüc ti¸p cõa A), khi â nhâm A s³
câ nhi·u t½nh ch§t kh¡c hìn so vîi c¡c t½nh ch§t cõa t(A) v A/t(A).
V¼ vªy, èi vîi ba lîp cõa c¡c nhâm aben n¶u tr¶n khi nghi¶n cùu ng÷íi ta ch¿
chó þ ¸n nhâm xon, nhâm khæng xon v nhâm khæng t¡ch ÷ñc.
5
6 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
M°t kh¡c, méi nhâm t¡ch ÷ñc (hay ph¥n t½ch ÷ñc) A câ thº ÷ñc biºu di¹n
d÷îi d¤ng A = t(A)⊕F , khi â t(A) l £nh çng c§u cõa A v A/t(A) ∼= F . V¼ th¸,
A/t(A) câ thº nhóng v o trong A. M°c kh¡c do A/t(A) ∼= F d¨n ¸n F l nhâm
khæng xon v¼ A/t(A) l nhâm khæng xon. Vªy A câ mët h¤ng tû trüc ti¸p khæng
xon khæng t¦m th÷íng.
ffiành ngh¾a 1.1.1. N¸u G l mët p-nhâm aben th¼ G công ÷ñc gåi l mët nhâm
p-nguy¶n sì.
Cho G l mët nhâm aben húu h¤n. Vîi méi ÷îc nguy¶n tè p cõa |G|, °t:
Gp = {x ∈ G|pmx = 0,m ∈ N}.
Khi â, Gp l mët p-nhâm con Sylow cõa G. Hìn núa, nhâm con Gp x¡c ành nh÷
tr¶n ÷ñc gåi l th nh ph¦n p - nguy¶n sì cõa G.
Ngo i ra, måi p- nhâm aben G húu h¤n ÷ñc gåi l p-nhâm aben sì c§p
V½ dö:
Nhâm cëng Z9 c¡c sè nguy¶n modulo 9 l nhâm p- nguy¶n sì v¼ c§p cõa c¡c
ph¦n tû cõa Z9 l luß thøa cõa sè nguy¶n tè 3.
Måi nhâm aben húu h¤n ·u l têng trüc ti¸p cõa c¡c th nh ph¦n p-nguy¶n sì,
tùc l G =
∑
pGp.
ffiành lþ 1.1.2. Mët nhâm aben xon b§t ký câ thº ph¥n t½ch mët c¡ch duy nh§t
th nh têng trüc ti¸p cõa c¡c p - nhâm con nguy¶n sì theo c¡c sè nguy¶n tè kh¡c
nhau.
Chùng minh
Gi£ sû A l mët nhâm aben xon b§t ký. Ta kþ hi»u tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû
cõa A câ c§p l luß thøa mët sè nguy¶n tè p qua Ap. Khi â t§t c£ c¡c nhâm con
Ap cõa A theo c¡c sè nguy¶n tè kh¡c nhau t¤o th nh mët têng trüc ti¸p trong
nhâm A. M°t kh¡c, mët ph¦n tû x tuý þ cõa A câ c§p n = pα11 p
α2
2 ....p
αk
k , th¼
x = x1x2....xr, xi ∈ Ap. Do â, méi ph¦n tû cõa A ÷ñc chùa trong têng trüc ti¸p
cõa t§t c£ c¡c nhâm nguy¶n sì trong A n¶n A = ⊕pAp.
Bê · 1.1.3. N¸u G l nhâm aben v A ≤ G khi â c¡c i·u kh¯ng ành sau t÷ìng
֓ng:
a) A l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. (Tçn t¤i nhâm con B ≤ G m A ∩ B = 0 v
A+B = G).
b) Tçn t¤i nhâm con B ≤ G m méi ph¦n tû g ∈ G câ biºu di¹n duy nh§t d÷îi
d¤ng g = a + b vîi a ∈ A, b ∈ B.
c) Tçn t¤i çng c§u s : G/A → G tho£ ν ◦ s = 1G/A vîi ν : G → G/A l çng c§u
tü nhi¶n.
d) Tçn t¤i ph²p chi¸u pi : G→ A thäa pi(a) = a,∀a ∈ A.
1.2. NHÂM ABEN TÜ DO 7
Chùng minh
a) suy ra d) hiºn nhi¶n.
b) suy ra a) hiºn nhi¶n. Ng÷ñc l¤i, ta s³ chùng minh (a) suy ra (b). N¸u A
l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G th¼ theo (a) tçn t¤i nhâm con B cõa nhâm G m
A ∩ B = 0, A + B = G suy ra vîi måi méi ph¦n tû g ∈ G câ biºu di¹n d÷îi d¤ng
g = a + b vîi a ∈ A v b ∈ B. Ta s³ chùng minh sü biºu di¹n n y l duy nh§t, v¼
n¸u g = a' + b' vîi a′ ∈ A, b′ ∈ B. Khi â, a − a′ = b − b′ ∈ A ∩ B = 0. Suy ra, a
= a' v b = b'. Hay sü biºu di¹n cõa g l duy nh§t.
b) suy ra d). Thªt vªy, n¸u méi ph¦n tû g ∈ G câ biºu di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng
g = a + b vîi a ∈ A v b ∈ B. X²t ¡nh x¤ pi : G→ A tho£ pi(a) = a, ∀a ∈ A. Kiºm
tra ÷ñc ¡nh x¤ pi l mët çng c§u
b) suy ra c). N¸u tçn t¤i nhâm con B ≤ G m méi ph¦n tû g ∈ G câ biºu di¹n
duy nh§t d÷îi d¤ng g = a + b vîi a ∈ A, b ∈ B. X²t çng c§u ν : G → G/A l
çng c§u tü nhi¶n, th¼ ∀g ∈ G, ν(g) = g +A = a+ b+A = b+A vîi a ∈ A, b ∈ B.
Suy ra, tçn t¤i çng c§u s : G/A→ G tho£ s(g + A) = g. Khi â, ν ◦ s = 1G/A.
c) suy ra a). Thªt vªy, n¸u tçn t¤i çng c§u s : G/A→ G tho£ ν ◦ s = 1G/A vîi
ν : G→ G/A l çng c§u tü nhi¶n, th¼ A l nhâm con chu©n tc cõa G, hìn th¸ A
cán l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G.
d) suy ra a). X²t çng c§u pi′ : G→ G thäa pi′(a) = a,∀a ∈ A v pi′(x) = 0 n¸u
x khæng thuëc A. Ta câ, G = A ⊕ kerpi′ v pi′|A = pi, çng thíi pi′ l to n c§u v
kerpi′ = kerpi. Vªy A l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G.
1.2 Nhâm aben tü do
ffiành ngh¾a 1.2.1. Mët nhâm aben F ÷ñc gåi l nhâm aben tü do (free abelian
group) n¸u nâ l têng trüc ti¸p cõa c¡c nhâm xyclic væ h¤n.
N¸u tçn t¤i tªp con X ⊂ F c¡c ph¦n tû câ c§p væ h¤n, ÷ñc gåi l cì sð cõa F
vîi F =
∑
x∈X〈x〉, F ∼=
∑
Z.
N¸u X l mët cì sð cõa mët nhâm aben tü do F th¼ vîi méi u ∈ F , tçn t¤i duy
nh§t mët d¤ng biºu di¹n u =
∑
hhmxx vîi x ∈ X,mx ∈ Z. N¸u X = ∅ th¼ F = {0},
hay nhâm {0} công ÷ñc gåi l nhâm aben tü do vîi cì sð l tªp réng.
Ngo i ra, cì sð cõa mët nhâm aben tü do X l mët tªp ëc lªp tuy¸n t½nh.
V½ dö: Nhâm cëng c¡c sè nguy¶n (Z, + ) l nhâm aben tü do.
Nhâm G = Z⊕ Z l nhâm aben tü do. G = {(a, b)|a, b ∈ Z}.
8 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
Nhªn x²t:Måi nhâm aben tü do l nhâm khæng xon v måi nhâm aben khæng
xon húu h¤n sinh l nhâm aben tü do. Nhâm (Q, +) khæng l nhâm aben tü do
v¼ Q khæng ¯ng c§u vîi nhâm
∑
Z.
ffiành lþ 1.2.2. Gåi F l mët nhâm aben tü do vîi cì sð X v G l mët nhâm b§t
ký. Gi£ sû f : X → G l mët h m tòy þ. Khi â, tçn t¤i duy nh§t mët çng c§u
ϕ : F → G l mð rëng cõa f tho£ ϕ(x) = f(x),∀x ∈ X.
Chùng minh
N¸u u ∈ F v¼ X l mët cì sð cõa nhâm aben tü do F n¶n vîi méi u ∈ F câ biºu
di¹n duy nh§t d÷îi d¤ng u =
∑
mxx tø â ϕ : u →
∑
mxf(u) l mët h m ÷ñc
ành ngh¾a tèt. Kiºm tra ÷ñc ϕ l mët çng c§u mð rëng cõa f, n¸u u = x th¼
ϕ = f . T½nh duy nh§t cõa ϕ ÷ñc x¡c ành bði do c¡c çng c§u tr¶n còng mët tªp
c¡c ph¦n tû sinh ph£i gièng nhau. Do â, tçn t¤i duy nh§t çng c§u ϕ : F → G l
mð rëng cõa h m f : X → G thäa ϕ(x) = f(x),∀x ∈ X.
Bê · 1.2.3. Méi nhâm aben G l nhâm th÷ìng cõa mët nhâm aben tü do, hay
mët nhâm aben G b§t ký luæn ¯ng c§u vîi nhâm th÷ìng cõa mët nhâm aben tü do.
Chùng minh
Gåi F l têng trüc ti¸p cõa |G| l¦n th nh ph¦n Z, F ∼= ∑|G| Z v gåi xg l ph¦n
tû sinh cõa th nh ph¦n thù g cõa Z trong têng trüc ti¸p, vîi g ∈ G. Ta câ F l
nhâm aben tü do vîi cì sð l X = {xg|g ∈ G}. ffiành ngh¾a h m f : X → G bði
f(xg) = g vîi måi g ∈ G. Theo ffiành lþ 1.2.2 tçn t¤i çng c§u ϕ : F → G l mð
rëng cõa f. Theo ành ngh¾a cõa f th¼ f l mët to n c§u n¶n ϕ l to n c§u do â,
G ∼= F/kerϕ (theo ành lþ ¯ng c§u thù nh§t).
Nhªn x²t: Vîi X l mët tªp hñp b§t ký cho tr÷îc, luæn x¥y düng ÷ñc mët
nhâm aben tü do F nhªn X l m cì sð.
Gi£ sû F v F' l hai nhâm aben tü do vîi c¡c cì sð t÷ìng ùng l X v X'. Khi
â, F ∼= F ′ ⇔ |X| = |X ′|.
1.3 Nhâm tü do
Cho X l mët tªp hñp kh¡c réng, chån Y l tªp thäa |X| = |Y| v X ∩ Y = ∅.
Khi â, tçn t¤i song ¡nh ϕ : X −→ Y, ∀x ∈ X, °t x−1 = ϕ(x). Ta câ Y = ϕ(X) =
{x−1|x ∈ X} : X−1.
ffiành ngh¾a 1.3.1. Méi ph¦n tû cõa X ∪X−1 ÷ñc gåi l mët chú c¡i trong b£ng
chú c¡i X.
Mët tø trong b£ng chú c¡i X l mët d¢y húu h¤n câ d¤ng w = xε11 .x
ε2
2 ...x
εn
n , xi ∈
X, εi ∈ {1,−1}.
1.3. NHÂM TÜ DO 9
Trong tªp hñp c¡c tø ta ành ngh¾a quan h» hai ngæi w ∼ u n¸u u câ thº nhªn
÷ñc tø w qua mët sè húu h¤n c¡c b÷îc thüc hi»n vi»c th¶m v bît c¡c tø con d¤ng
xεx−ε vîi x ∈ X, ε ∈ {−1, 1}. Quan h» tr¶n l quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶n tªp t§t c£
c¡c tø. Gåi [w] l lîp t÷ìng ÷ìng chùa tø w.
Mët tø ÷ñc gåi l rót gån ÷ñc n¸u nâ chùa tø con d¤ng xεx−ε vîi x ∈ X, ε ∈
{−1, 1}.
Tø khæng rót gån ÷ñc gåi l tø rót gån.
Måi tø ·u t÷ìng ÷ìng vîi tø rót gån.
K½ hi»u: [w]r l d¤ng rót gån cõa w. Gåi F(X) l tªp hñp t§t c£ c¡c tø rót gån
v ∅ l tø khæng chùa chú c¡i n o, e = [∅]r (ph¦n tû ìn và cõa F(X)).
N¸u w = xε11 .x
ε2
2 ...x
εn
n , xi ∈ X, εi ∈ {1,−1} th¼ w−1 = x−ε11 .x−ε22 ...x−εnn , xi ∈
X, εi ∈ {1,−1}. Vªy [w]−1r = [w−1]r. Khi â F(X) l mët nhâm vîi ph²p to¡n ÷ñc
ành ngh¾a [w]r[u]r = [wu]r.
ffiành ngh¾a 1.3.2. Cho X l tªp hñp kh¡c réng, khi â nhâm F(X) ÷ñc gåi l
nhâm tü do(free group) vîi cì sð X.
V½ dö: Nhâm c¡c sè nguy¶n vîi ph²p to¡n cëng l nhâm tü do.
Nhªn x²t: Nhâm aben tü do khæng h¯n l nhâm tü do ngo¤i trø 2 tr÷íng hñp
l nhâm t¦m th÷íng ho°c l nhâm xyclic væ h¤n. C¡c nhâm aben kh¡c khæng ph£i
nhâm tü do v¼ nhâm tü do ab kh¡c vîi nhâm tü do ba vîi a, b l c¡c ph¦n tû kh¡c
nhau cõa cì sð.
ffiành ngh¾a 1.3.3. Gi£ sû w = xε11 .x
ε2
2 ...x
εn
n , xi ∈ X, εi ∈ {1,−1} l tø rót gån. Ta
nâi w l tø rót gån tu¦n ho n n¸u xn 6= x1 ho°c n¸u xn = x1 = a th¼ εn = −ε1.
Bê · 1.3.4. Måi tø rót gån w ·u câ thº vi¸t d÷îi d¤ng w = uvu−1 trong â v l
tø rót gån tu¦n ho n.
H» qu£ 1.3.5. Cho w, u l c¡c tø rót gån khi â,
a) N¸u w 6= e th¼ wn 6= e, ∀n ≥ 1.
b) N¸u w 6= u th¼ wm 6= um,∀m ≥ 1.
Chùng minh
a) Theo Bê · 1.3.4 th¼ måi tø rót gån w ¸u câ thº vi¸t d÷îi d¤ng w = uvu−1
trong â v l tø rót gån tu¦n ho n v v 6= e. Khi â, ∀n ≥ 1 th¼ wn = (uvu−1)n =
uvnu−1. M°t kh¡c, do v 6= e n¶n wn 6= e.
b) Ta gi£ thuy¸t r¬ng w 6= e v u 6= e th¼ w = rvr−1 v u = sts−1 vîi v v t l
c¡c tø rót gån tu¦n ho n, wm = rvmr−1 v um = stms−1. N¸u r 6= s th¼ wm 6= um.
N¸u r = s th¼ v 6= t (do w 6= u), suy ra, vm 6= tm. Do â, wm 6= um,∀m ≥ 1.
10 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
ffiành lþ 1.3.6. Cho X l mët tªp hñp v G l mët nhâm b§t ký. N¸u f : X −→ G
l mët ¡nh x¤ b§t ký th¼ tçn t¤i duy nh§t çng c§u ϕ : F (X) −→ G sao cho ϕ|X = f
v ϕγ = f vîi γ : X −→ F (X) vîi F(X) l nhâm tü do tr¶n tªp X.
Chùng minh
Gi£ sû w = xε11 .x
ε2
2 ...x
εn
n , xi ∈ X, εi ∈ {1,−1} l tø rót gån, ta ành ngh¾a ¡nh
x¤ ϕ : F (X) −→ G tho£ ϕ(w) = f(x1)ε1 .f(x2)ε2 ..f(xn)εn . Ta s³ chùng minh ϕ l
mët çng c§u.
Thªt vªy, vîi
w = xε11 .x
ε2
2 ...x
εn
n
v
u = x
εn+1
n+1 .x
εn+2
n+2 ...x
εn+m
n+m ;xi ∈ X, εi ∈ {1,−1};xn 6= xn+1
trong F(X) ta câ, ϕ(w.u) = ϕ(xε11 .x
ε2
2 ...x
εn
n .x
εn+1
n+1 .x
εn+2
n+2 ...x
εn+m
n+m ).
Suy ra, ϕ(w.u) = f(x1)
ε1 .f(x2)
ε2 ..f(xn)
εn .f(xn+1)
εn+1 .f(xn+2)
εn+2 ..f(xn+m)
εn+m
,
hay ϕ(w.u) = ϕ(w).ϕ(u). Do â ϕ l çng c§u.
M°t kh¡c, vîi x ∈ X th¼ ϕγ(x) = ϕ(w) = f(x1)ε1 .f(x2)ε2 ..f(xn)εn = f(x). ffiº
chùng minh t½nh duy nh§t cõa ϕ ta gi£ sû tçn t¤i ψ sao cho ϕγ = ψγ, khi â
ψ(w) = ψ(γ(x)) = ϕγ(x) = ϕ(w). Vªy ϕ l duy nh§t.
H» qu£ 1.3.7. Måi nhâm ·u l £nh çng c§u cõa mët nhâm tü do.
Chùng minh
Gi£ sû G l mët nhâm b§t ký ∅ ⊆ G ⊆ X, x²t 〈X〉 = {xε11 .xε22 ...xεnn |xi ∈ X, εi ∈
{−1, 1}}. Vîi G = 〈X〉 ta x²t ph²p nhóng γ : X −→ G theo ffiành lþ 1.3.6 tçn t¤i
duy nh§t çng c§u ϕ : F (X) −→ G sao cho ϕ|X = γ. V¼ G = 〈X〉, X l tªp sinh
cõa G n¶n ϕ l to n c§u vªy theo ành lþ ¯ng c§u th¼ F (X)
kerϕ
' G. Vªy måi nhâm
·u l £nh çng c§u cõa mët nhâm tü do.
Nhªn x²t: Gi£ sû F v G l hai nhâm con tü do vîi c¡c cì sð t÷ìng ùng l X
v Y. Khi â, F ∼= G⇔ |X| = |Y |.
Sè ph¦n tû trong mët cì sð cõa nhâm tü do F ÷ñc gåi l h¤ng cõa F.
Kþ hi»u: rank(F).
1.4. BIU DIN NHÂM D×ÎI DNG TŁP SINH V CC ffiÇNG NHT THÙC: 11
1.4 Biºu di¹n nhâm d÷îi d¤ng tªp sinh v c¡c çng nh§t
thùc:
ffiành ngh¾a 1.4.1. Cho G l mët nhâm khi â tªp hñp M = {ai|i ∈ I} ⊆ G
÷ñc gåi l mët tªp sinh cõa G n¸u måi ph¦n tû g ∈ G ·u ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng:
g = aε1i1 a
ε2
i2
...aεnin trong â εk = ±1,∀ik ∈ I. N¸u G câ mët tªp sinh {ai|i ∈ I} th¼ G
÷ñc kþ hi»u bði G = 〈ai|i ∈ I〉.
Cho S l tªp kh¡c réng, gåi G = 〈X〉 v X = {xa|a ∈ S}, khi â |X| = |S| v
¡nh x¤ g : S → X x¡c ành bði a 7→ xa l song ¡nh.
M°t kh¡c, tçn t¤i nhâm tü do F(X) v ¡nh x¤ f : X −→ G thäa f(xa) = a ∈ S.
Ta câ ành lþ: Cho X l mët tªp hñp v G l mët nhâm b§t ký. N¸u f : X −→ G l
mët ¡nh x¤ b§t ký th¼ tçn t¤i duy nh§t çng c§u ϕ : F (X) −→ G sao cho ϕ|X = f
v ϕγ = f trong â γ : X −→ F (X), vîi F(X) l nhâm tü do tr¶n tªp X.
Theo ành lþ tr¶n, tçn t¤i duy nh§t çng c§u ϕ : F (X) −→ G sao cho ϕ|X = f .
Hìn núa, do ϕ l to n c§u n¶n theo ành lþ ¯ng c§u câ F (X)/kerϕ ∼= G, tùc l
måi nhâm G ·u ¯ng c§u vîi nhâm th÷ìng cõa mët nhâm tü do.
Gi£ sû w ∈ F (X) th¼ w = xε11 .xε22 ...xεnn , xi ∈ X, εi ∈ {1,−1}. Khi â, w ∈
kerϕ⇔ f(x1)ε1 .f(x2)ε2 ..f(xn)εn = 1.
Ta gåi xε11 .x
ε2
2 ...x
εn
n l mët çng nh§t thùc v kþ hi»u l x
ε1
1 .x
ε2
2 ...x
εn
n = 1. Vîi
måi g ∈ G do ϕ l to n c§u n¶n tçn t¤i w = xε11 .xε22 ...xεnn ∈ F (X) sao cho g = ϕ(w).
Khi â, ta °t F (X)/kerϕ = 〈X|kerϕ〉 (X còng vîi kerϕ). Gåi ∆ l tªp sinh cõa
kerϕ, th¸ th¼ 〈X|kerϕ〉 = 〈X|∆〉.
Nh÷ vªy, 〈X|∆〉 = F (X)/N vîi N = ∩{H|H/F (X),∆ ⊆ H}, vîi F(X) l nhâm
tü do tr¶n tªp X.
Ta gåi G ∼= 〈X|∆〉 l sü biºu di¹n nhâm G b¬ng tªp sinh v c¡c çng nh§t thùc.
N¸u X <∞ v ∆ <∞ th¼ ta nâi sü biºu di¹n l húu h¤n.
Nhªn x²t: Méi nhâm câ thº câ nhi·u sü biºu di¹n.
V½ dö: G = Z6 th¼ G = 〈x|x6 = 1〉 v nhâm tü do F = 〈x〉 l nhâm xyclic câ
c§p væ h¤n vîi 〈x〉/〈x6〉 ∼= Z6 ho°c mët biºu di¹n kh¡c cõa G l Z6 = {〈x, y〉|x3 =
1, y2 = 1, xyx−1y−1 = 1}.
Nhâm Z× Z ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng Z× Z = 〈x, y|xy = yx〉.
Nhâm Zm × Zn ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng Zm × Zn = 〈x, y|xm = 1, yn = 1, xy =
yx〉.
12 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
Nhâm Quaternions câ c¡c biºu di¹n Q = 〈a, b|a4 = 1, a2 = b2, aba = b〉 ho°c
Q = 〈a, b|aba = b, a2 = b2〉.
Mët nhâm G b§t ký luæn ¯ng c§u vîi nhâm th÷ìng cõa mët nhâm tü do, hay
måi nhâm ·u l £nh çng c§u cõa mët nhâm tü do. Do â, nhâm G b§t ký ·u
câ thº ÷ñc biºu di¹n bði tªp sinh v c¡c çng nh§t thùc. Mët nhâm G ¯ng c§u
vîi mët nhâm tü do F(X) công ÷ñc gåi l mët nhâm tü do.
N¸u G l mët nhâm aben tü do câ cì sð X th¼ G câ biºu di¹n l G = 〈X|xy =
yx,∀x, y ∈ X〉.
N¸u F l nhâm tü do câ cì sð X th¼ F câ biºu di¹n l F = 〈X|∅〉.
Bê · 1.4.2. Gi£ sû A, B l hai nhâm, H . A, K .B v g : A −→ B l mët çng
c§u tho£ g(H) ⊆ K. ffiành ngh¾a g∗ : A/H −→ B/K thäa, Hx 7→ g∗(Hx) = Kg(x).
Khi â, g∗ l mët çng c§u, hìn núa n¸u g l to n c§u th¼ g∗ công l to n c§u.
ffiành lþ 1.4.3 (ffiành lþ Von Dyck). Cho 〈X|∆〉 l mët biºu di¹n v G = 〈X|∆〉.
Gi£ sû H l mët nhâm n o â, H = 〈S〉 v f : X −→ S l mët to n ¡nh.
Hìn núa, b§t ký quan h» xk11 x
k2
2 ...x
km
m = 1, (ki ∈ Z\{0}) trong G luæn suy ra
֖c f(xk11 )f(x
k2
2 )...f(x
km
m ) = 1 l quan h» trong H. Khi â tçn t¤i mët to n c§u
d : G −→ H tho£ m¢n d(a) = f(x),∀x ∈ X.
Chùng minh
V¼ f : X → H l mët to n ¡nh n¶n theo ffiành lþ 1.3.6 tçn t¤i duy nh§t çng
c§u ϕ : F (X) → H thäa ϕ ◦ γ = f , vîi γ : X → F (X). Ta chùng minh ϕ l to n
c§u. Vîi méi y ∈ H = 〈S〉, ta câ y = se11 se22 ...semm , si ∈ S, ei ∈ {−1, 1}, vîi i :∈ 1 : m.
Do f l to n c§u n¶n tçn t¤i xi ∈ X sao cho f(xi) = si,∀i. Khi â,
γ(x1)
e1γ(x2)
e2 ...γ(xm)
em ∈ F (X). Suy ra,
ϕ(γ(x1)
e1γ(x2)
e2 ...γ(xm)
em) = f(x1)
e1f(x2)
e2 ...f(xm)
em = se11 s
e2
2 ...s
em
m = y. Vªy ϕ l
to n c§u.
M°t kh¡c, theo ành ngh¾a cõa G ta câ G = F(X)/N vîiN = ∩{K|K/F (X),∆ ⊆
K}. Ta chùng minh N ⊆ kerϕ. Theo ành ngh¾a cõa N, ta c¦n chùng minh ∆ ⊆
kerϕ. V¼ vªy, gi£ sû T ∈ ∆. N¸u T = ∅ th¼ T ∈ kerϕ, v¼ ∅ l ph¦n tû ìn và cõa
F(X). Do â ta câ thº gi£ sû T 6= ∅.
Khi â, T = xe11 .x
e1
1 ...x
e1
1 .x
e2
2 x
e2
2 ...x
e2
2 ...x
em
m .x
em
m ...x
em
m , ei = ±1,∀i : 1,m. Suy ra,
méi sè h¤ng xi ÷ñc l°p l¤i ti l¦n, n¶n
T = (x1)
(t1e1)(x2)
(t2e2)...(xm)
(tmem) = γ(x1)
(t1e1)γ(x2)
(t2e2)...γ(xm)
(tmem)
.
Do â,
ϕ(T ) = ϕγ(x1)
(t1e1)ϕγ(x2)
(t2e2)...ϕγ(xm)
(tmem) = f(x1)
t1e1f(x2)
t2e2 ...f(xm)
tmem
.
1.5. NHÂM XON - NHÂM KHÆNG XON 13
V¼ T ∈ ∆ n¶n (x1)t1e1(x2)t2e2 ...(xm)tmem = 1. Suy ra,
f(x1)
t1e1f(x2)
t2e2 ...f(xm)
tmem = 1. Do â, ϕ(T ) = 1, n¶n N ⊆ kerϕ, hay ϕ(N) =
{1}.
Theo Bê · 1.4.2 th¼ tçn t¤i çng c§u ϕ∗ : G = F (X)/N → H,NT 7→ ϕ∗(NT ) =
ϕ(T ). Hìn núa ϕ l to n c§u n¶n ϕ∗ công l to n c§u. Ngo i ra, ∀x ∈ X,ϕ∗(N) =
ϕ∗(Nx) = ϕ(x) = ϕ ◦ γ(x) = f(x). Chån d = ϕ∗ th¼ ta câ i·u ph£i chùng minh.
ffiành lþ 1.4.4. Cho 〈X|∆〉 l mët biºu di¹n v G = 〈X|∆〉. Gi£ sû H = 〈S〉 l
mët nhâm tho£ m¢n |G| ≤ n ≤ |H| vîi n l mët sè tü nhi¶n n o â v f : X −→ S
l mët to n ¡nh. Hìn núa, b§t ký quan h» xk11 x
k2
2 ...x
km
m = 1, (ki ∈ Z\{0}) trong G
luæn suy ra ÷ñc f(xk11 )f(x
k2
2 )...f(x
km
m ) = 1 l quan h» trong H. Khi â:
a) Tçn t¤i mët ¯ng c§u d : G −→ H sao cho d(a) = f(x),∀x ∈ X.
b) |G| = |H| = n.
c) G = {d−1(h)|h ∈ H}.
Chùng minh
Theo ffiành lþ Von Dyck, tçn t¤i to n c§u d : G −→ H sao cho d(a) = f(x),∀x ∈
X. Theo ành lþ ¯ng c§u, G/kerd ∼= H. Do |G/kerd| ≤ |G| n¶n |H| ≤ |G|. Theo
gi£ thuy¸t th¼ |G| ≤ n ≤ |H| suy ra |G|= |H| v G l nhâm húu h¤n n¶n |kerd| = 1,
do â kerd = 1. Vªy d l ¯ng c§u, G = {d−1(h)|h ∈ H}.
1.5 Nhâm xon - Nhâm khæng xon
ffiành ngh¾a 1.5.1. Nhâm xon (torsion group) l nhâm gçm c¡c ph¦n tû câ bªc
húu h¤n.
V½ dö: Q/Z l nhâm xon èi vîi ph²p cëng. V¼ vîi x+ bZ ∈ Q/Z th¼ x = a
b
vîi b 6= 0. Khi â, tçn t¤i n = |b| 6= 0, sao cho n(x + Z) ∈ Z. Vªy Q/Z l nhâm
xon èi vîi ph²p cëng. Nhâm gçm c¡c c«n bªc n èi vîi ph¦n tû ìn và l nhâm
xon èi vîi ph²p nh¥n.
Kþ hi»u: tG = {x ∈ G : nx = 0, n 6= 0} l nhâm con xon cõa G.
N¸u A l nhâm aben, th¼ t(A) l nhâm con xon cõa A n¸u v ch¿ n¸u t(A) l
tªp hñp t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa A câ bªc húu h¤n.
C¡c nhâm aben húu h¤n l nhâm xon, nh÷ng khæng ph£i méi nhâm xon ·u
húu h¤n. V½ dö nh÷ têng trüc ti¸p cõa ¸m ÷ñc c¡c th nh ph¦n cõa nhâm xyclic
Z2.
Nhªn x²t: N¸u G khæng l nhâm aben th¼ tG khæng l nhâm con cõa G.
Thªt vªy, n¸u G khæng l nhâm aben th¼ vîi x, y ∈ G thäa nx = 0, ny =0 th¼
n(x− y) 6= (nx−ny) = 0. Tuy nhi¶n, n¸u G l mët nhâm aben th¼ tG l mët nhâm
con cõa G.
14 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
N¸u A l mët nhâm aben (A câ thº l nhâm xon ho°c nhâm khæng xon) v
H l tªp t§t c£ c¡c ph¦n tû húu h¤n cõa A th¼ H l mët nhâm con x¡c ành cõa A
v H ÷ñc gåi l nhâm con xon cüc ¤i (hay bë phªn tu¦n ho n) cõa nhâm A.
ffiành ngh¾a 1.5.2. Nhâm khæng xon (torsion - free group) l nhâm m måi ph¦n
tû kh¡c ph¦n tû ìn và ·u câ c§p væ h¤n.
V½ dö:
Nhâm (Z, + ) l mët nhâm khæng xon; Nhâm (Q, + ) l mët nhâm khæng
xon
C¡c nhâm aben tü do l nhâm khæng xon, nh÷ng i·u ng÷ñc l¤i th¼ khæng
óng.
V½ dö: (Q, +) l nhâm khæng xon nh÷ng (Q, +) khæng l nhâm aben tü do
v¼ nhâm F l aben tü do n¸u F ∼= ∑Z, nh÷ng Q khæng ¯ng c§u vîi ∑Z.
ffiành lþ 1.5.3. N¸u A l nhâm aben, khi â:
a) t(A) l nhâm con cõa A.
b) t(A) l nhâm xon.
c) A/t(A) l nhâm khæng xon.
Chùng minh
Gåi x, y ∈ t(A), gi£ sû c§p cõa x, y l¦n l÷ñt l m, n. Khi â, do A l nhâm aben
n¶n mn(x - y) = mnx - mny =0. V¼ th¸ x - y câ c§p húu h¤n, d¨n ¸n t(A) l mët
nhâm con cõa A v t(A) l nhâm xon. ffii·u n y chùng tä t½nh ch§t (a) v (b).
Cuèi còng gi£ sû t(A) + x l mët ph¦n tû cõa A/t(A) câ c§p húu h¤n l m. Khi
â m(t(A) + x) = 0 d¨n ¸n t(A) + mx = 0 suy ra mx ∈ t(A). Gåi k l c§p cõa
mx. Khi â kmx = 0 d¨n ¸n x câ c§p húu h¤n. Vªy x ∈ t(A) do â t(A) + x = 0,
suy ra A/t(A) l nhâm khæng xon.
ffiành lþ 1.5.4. Nhâm th÷ìng G/tG l nhâm khæng xon v méi nhâm G ·u l mð
rëng cõa mët nhâm xon bði mët nhâm khæng xon.
Chùng minh
N¸u gi£ sû ng÷ñc l¤i G/tG l nhâm xon, khi â n(g + tG) = 0 trong nhâm
G/tG vîi mët sè n 6= 0 khi â ng ∈ tG vªy câ m 6= 0 tho£ m(ng) = 0. Do
mn 6= 0, g ∈ tG, g + tG = 0 trong G/tG. Vªy G/tG l nhâm khæng xon v
G = tG⊕G/tG.
Bê · 1.5.5. N¸u A l nhâm aben v B l mët nhâm con cõa A m t(A) ⊆ B th¼
t(A) = t(B).
Chùng minh
1.6. DN CC NHÂM CON 15
Cho x ∈ t(A). Khi â, x câ c§p húu h¤n v x ∈ B (v¼ t(A) ⊆ B). Suy ra
x ∈ t(B), hay t(A) ⊆ t(B). Ng÷ñc l¤i, n¸u x ∈ t(B) th¼ x ∈ A v x câ c§p húu h¤n
n¶n x ∈ t(A) (do B l mët nhâm con cõa A) suy ra t(B) ⊆ t(A). Vªy t(A) = t(B).
ffiành ngh¾a 1.5.6. Nhâm con H ÷ñc gåi l nhâm con b§t bi¸n ho n to n (fully
invariant subgroup) cõa nhâm G n¸u vîi måi çng c§u f : G→ G th¼ f(H) ⊆ H.
ffiành lþ 1.5.7. N¸u A l nhâm aben th¼ t(A) l nhâm con b§t bi¸n ho n to n cõa
A.
Chùng minh
N¸u x ∈ t(A), gi£ sû f : A→ A l mët çng c§u, ta s³ chùng minh f(x) ∈ t(A).
Do x ∈ t(A) n¶n x câ c§p húu h¤n, gi£ sû â l n. Khi â, nf(x) = f(nx) = f(0) = 0
n¶n f(x) câ c§p húu h¤n. Vªy f(x) ∈ t(A), do â t(A) l nhâm con b§t bi¸n cõa A.
ffiành lþ 1.5.8. N¸u A v B l c¡c nhâm aben, khi â t(A×B) = t(A)× t(B).
Chùng minh
Gi£ sû (x, y) ∈ t(A × B). Suy ra n(x, y) = (0, 0) vîi mët sè nguy¶n n n o â.
Khi â, nx = 0 v ny = 0. Do â, x ∈ t(A) v y ∈ t(B), n¶n (x, y) ∈ t(A) × t(B).
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû (x, y) ∈ t(A) × t(B). Khi â, nx = 0 v my = 0 vîi mët sè m,
n n o â, suy ra nm(x, y) = (0,0) i·u n y d¨n ¸n (x, y) câ c§p húu h¤n, hay
(x, y) ∈ t(A×B). Vªy t(A×B) = t(A)× t(B).
Theo t¡c gi£ Joseph J. Rotman (1995) (tr.325) th¼ tªp hñp c¡c nhâm xon câ
thº r§t phùc t¤p. Tuy nhi¶n, ng÷íi ta ch¿ chó þ ¸n hai lîp °c bi»t cõa nhâm xon
l : Nhâm chia ÷ñc v têng trüc ti¸p c¡c nhâm xyclic. Ngo i ra, måi nhâm xon
·u l mð rëng cõa têng trüc ti¸p c¡c nhâm xyclic bði mët nhâm chia ÷ñc.
1.6 D n c¡c nhâm con
ffiành ngh¾a 1.6.1. Cho (S,≤) l tªp sp thù tü bë phªn v A ⊆ S th¼ x l ch°n
d÷îi cõa A n¸u v ch¿ n¸u:
• x ∈ S.
• x ≤ a,∀a ∈ A.
x l ch°n tr¶n cõa tªp sp thù tü bë phªn A ⊆ S n¸u v ch¿ n¸u:
• x ∈ S.
• x ≥ a,∀a ∈ A.
Cho (S,≤) l tªp sp thù tü bë phªn v A ⊆ S th¼ x l ch°n tr¶n b² nh§t cõa A
n¸u v ch¿ n¸u:
• x l mët ch°n tr¶n cõa A.
16 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
• x ≤ y vîi måi y l mët ch°n tr¶n cõa A.
x l ch°n d÷îi lîn nh§t cõa A n¸u v ch¿ n¸u:
• x l mët ch°n d÷îi cõa A.
• x ≥ y vîi måi y l mët ch°n d÷îi cõa A.
Trong tªp sp thù tü bë phªn, ch°n tr¶n b² nh§t hay ch°n d÷îi lîn nh§t khæng
nh§t thi¸t tçn t¤i, nh÷ng n¸u câ th¼ chóng l duy nh§t. ffii·u n y ÷ñc thº hi»n
trong ành lþ sau.
ffiành lþ 1.6.2. Cho (S,≤) l tªp sp thù tü bë phªn v A ⊆ S. Gi£ sû x v x* l
hai ch°n tr¶n b² nh§t cõa A v w v w* l hai ch°n d÷îi lîn nh§t cõa A. Khi â:
a) x = x*.
b)w = w*.
Chùng minh
Do x l ch°n tr¶n b² nh§t cõa A v x* l mët ch°n tr¶n cõa A, n¶n x ≤ x∗, theo
ành ngh¾a cõa ch°n tr¶n b² nh§t. T÷ìng tü, x∗ ≤ x. Vªy x = x*, i·u n y óng
cho tªp ÷ñc sp thù tü bë phªn. Chùng minh t÷ìng tü cho (b).
ffiành ngh¾a 1.6.3. (S,≤) l mët d n (lattice) n¸u v ch¿ n¸u (S,≤) l tªp sp thù
tü bë phªn v méi c°p ph¦n tû (x, y) ∈ S th¼ {x, y} câ mët ch°n tr¶n b² nh§t v
mët ch°n d÷îi lîn nh§t.
Kþ hi»u: x ∨ y l ch°n tr¶n b² nh§t cõa {x, y} v x ∧ y l ch°n d÷îi lîn nh§t
cõa {x, y}.
Quy ֔c:
• x ∨ y = x n¸u y ≤ x v x ∨ y = y n¸u x ≤ y.
• x ∧ y = x n¸u x ≤ y v x ∧ y = y n¸u y ≤ x.
Cho G l mët nhâm, gåi L(G) = {H |H l nhâm con cõa G} gåi l d n c¡c
nhâm con (subgroup lattice) cõa G.
ffièi vîi d n húu h¤n, c¡c nhâm con cõa G câ thº ÷ñc biºu di¹n bði biºu ç,
gåi l biºu ç Hasse, trong â méi nhâm con ÷ñc biºu di¹n trong váng trán, mèi
quan h» x ≤ y ÷ñc thº hi»n ð váng trán chùa x ð ph½a d÷îi váng trán chùa y v
hai váng trán n y ÷ñc nèi vîi nhau bði mët ÷íng th¯ng.
V½ dö: D n c¡c nhâm con cõa Z(2) × Z(2) ÷ñc mæ t£ nh÷ sau: ffi°t G l
Z(2) × Z(2), w = (1, 0) v x = (0, 1) trong G. Khi â, c¡c nhâm con cõa G l
{0}, 〈w〉, 〈x〉, 〈w + x〉. D n c¡c nhâm con cõa Z(2) × Z(2) ÷ñc biºu di¹n b¬ng
biºu ç Hasse bao gçm tr¶n còng l nhâm G, sau â ¸n c¡c nhâm con sinh bði
〈w〉, 〈x〉, 〈w + x〉 v cuèi còng l nhâm {0}._..
1.6. DN CC NHÂM CON 17
ffiành lþ 1.6.4. Cho G l nhâm. Khi â, (L(G),⊆) l d n c¡c nhâm con cõa G.
Cªn d÷îi (ch°n d÷îi) lîn nh§t v cªn tr¶n (ch°n tr¶n) b² nh§t trong d n n y ÷ñc
ành ngh¾a bði H ∧K = H ∩K,H ∨K = 〈H ∪K〉. Hìn núa, n¸u G l nhâm aben
th¼ H ∨K = H +K.
Chùng minh
Nhªn th§y (L(G),⊆) l tªp sp thü tü bë phªn. N¸u ch°n d÷îi lîn nh§t tçn t¤i
v câ d¤ng nh÷ sau: Cho H,K ∈ L(G), khi â H ∩K l nhâm con cõa G v thuëc
v o L(G). Ta câ H ∩ K ⊆ H v H ∩ K ⊆ K. Gi£ sû Y l ch°n d÷îi b§t ký cõa
{H,K}. Khi â Y ⊆ H v Y ⊆ K, do â Y ⊆ H ∩K. Vªy H ∩K l ch°n d÷îi lîn
nh§t cõa {H,K}.
T÷ìng tü, n¸u H,K ∈ L(G), khi â 〈H ∪K〉 l nhâm con cõa G công thuëc v o
L(G). Do H ⊆ 〈H ∪K〉 v K ⊆ 〈H ∪K〉, suy ra 〈H ∪K〉 l ch°n tr¶n cõa {H,K}.
Gi£ sû Y l ch°n tr¶n cõa {H,K}, khi â, H ⊆ Y,K ⊆ Y . Vîi x ∈ 〈H ∪ K〉, th¼
x = c1c2...cn vîi méi i th¼ ci ∈ H ho°c ci ∈ K. Do H ⊆ Y v K ⊆ Y , n¶n ci ∈ Y, ∀i.
Suy ra, x ∈ Y , v¼ Y l nhâm con. ffii·u n y d¨n ¸n 〈H ∪K〉 ⊆ Y suy ra 〈H ∪K〉
l ch°n tr¶n nhä nh§t cõa {H,K}.
N¸u G l nhâm aben th¼ H G, khi â H + K l nhâm con cõa G v H +K =
〈H ∪K〉.
N¸u G l nhâm, kþ hi»u N(G) l nhâm tho£, N(G) = {H|H G}.
ffiành lþ 1.6.5. Cho G l nhâm. Khi â (N(G),⊆) l mët d n. Cªn d÷îi lîn nh§t v
cªn tr¶n b² nh§t cõa d n n y ÷ñc ành ngh¾a bði H∧K = H∩K v H∨K = HK.
Chùng minh
Nhªn x²t (N(G),⊆) l tªp sp thù tü bë phªn. N¸u H,K ∈ N(G) th¼ H ∩K
l nhâm con chu©n tc trong G v thuëc N(G). Ta c¦n chùng minh H ∩K l ch°n
d÷îi lîn nh§t cõa {H,K}. Ta câ H ∩ K l nhâm chu©n tc trong G n¶n H ∩ K
thuëc N(G). M°t kh¡c, H ∩ K l mët ch°n d÷îi cõa {H,K}. Gåi Y l mët ch°n
d÷îi cõa {H,K} th¼ Y ⊆ H, Y ⊆ K, do â Y ⊆ H ∩K. Do â, H ∩K l ch°n d÷îi
lîn nh§t cõa {H,K}. Vªy H ∩K l ch°n d÷îi lîn nh§t cõa N(G).
N¸u H,K ∈ N(G) th¼ HK l nhâm chu©n tc cõa G v thuëc v o N(G). Do
H ⊆ HK,K ⊆ HK n¶n HK l mët ch°n tr¶n cõa {H,K}. Gi£ sû Y l mët ch°n
tr¶n cõa {H,K} ta s³ chùng minh HK ⊆ Y . Gi£ sû x ∈ HK th¼ x = hk vîi
h ∈ H, k ∈ K. Khi â, h ∈ Y , t÷ìng tü k ∈ Y bði v¼ K ⊆ Y v H ⊆ Y . Vªy
x = hk ∈ Y . Do â, HK l ch°n tr¶n b² nh§t cõa N(G).
ffiành ngh¾a 1.6.6. D n L l d n ph¥n phèi (distributive) n¸u v ch¿ n¸u x∨(y∧z) =
(x ∨ y) ∧ (x ∨ z), vîi måi x, y, z ∈ L.
Nhªn x²t: N(G) l d n ph¥n phèi n¸u v ch¿ n¸u A(B ∩ C) = AB ∩ AC vîi
måi nhâm con chu©n tc A, B v C cõa G.
18 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
N¸u G l nhâm aben, d n L(G) l d n ph¥n phèi n¸u v ch¿ n¸u A+ (B ∩C) =
(A+B) ∩ (A+ C) vîi måi nhâm con A, B, C cõa G.
ffiành ngh¾a 1.6.7. Gi£ sû L1 v L2 l hai d n. Khi â, L1 v L2 l ¯ng c§u vîi
nhau n¸u tçn t¤i mët ¡nh x¤ f : L1 → L2 tho£
• f l song ¡nh.
• ∀x, y ∈ L, x ≤ y ⇔ f(x) ≤ f(y).
Nhªn x²t: ffièi vîi d n húu h¤n th¼ hai d n ¯ng c§u vîi nhau n¸u chóng câ
biºu di¹n d÷îi d¤ng biºu ç Hasse gièng nhau.
D n L ÷ñc gåi l tü èi ng¨u (self-dual) n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i mët h m
f : L→ L thäa
• f l song ¡nh.
• ∀x, y ∈ L, x ≤ y ⇔ f(y) ≤ f(x).
1.7 Nhâm xyclic - Nhâm xyclic àa ph÷ìng
ffiành ngh¾a 1.7.1. Cho S l mët tªp con cõa nhâm G, giao cõa t§t c£ c¡c nhâm
con cõa G chùa S l nhâm con nhä nh§t cõa G chùa S. N¸u G = 〈S〉 th¼ G ÷ñc
gåi l nhâm sinh ra bði tªp con S v S ÷ñc gåi l tªp sinh cõa G.
Nhâm húu h¤n sinh l nhâm m tªp sinh câ húu h¤n ph¦n tû.
V½ dö: Nhâm cëng c¡c sè nguy¶n l nhâm húu h¤n sinh. Hìn núa, c¡c nhâm
xyclic ·u l nhâm húu h¤n sinh.
Nhâm Quaternion l nhâm húu h¤n sinh vîi biºu di¹nG = G{x, y|x4 = 1, x2y−2 =
1, y−1xyx = 1}.
T½nh ch§t:
• Nhâm th÷ìng cõa mët nhâm húu h¤n sinh l húu h¤n sinh (do vi»c l§y £nh
cõa c¡c ph¦n tû sinh trong nhâm th÷ìng).
• Nhâm con cõa mët nhâm húu h¤n sinh khæng nh§t thi¸t l nhâm húu h¤n
sinh.
V½ dö: Gi£ sû G l nhâm tü do câ 2 ph¦n tû sinh x, y. Gåi S l tªp con chùa
måi ph¦n tû cõa G câ d¤ng ynxy−n, vîi n l sè tü nhi¶n. V¼ 〈S〉 ¯ng c§u vîi nhâm
tü do câ tªp hñp c¡c ph¦n tû sinh l tªp ¸m ÷ñc, n¶n 〈S〉 khæng húu h¤n sinh.
Tuy nhi¶n, méi nhâm con aben húu h¤n h¤n sinh th¼ húu h¤n sinh.
ffiành ngh¾a 1.7.2. Nhâm G ÷ñc gåi l nhâm xyclic (cyclic group) n¸u v ch¿ n¸u
G l nhâm ÷ñc sinh bði mët ph¦n tû a ∈ G. Ph¦n tû a ÷ñc gåi l ph¦n tû sinh
cõa nhâm G.
1.7. NHÂM XYCLIC - NHÂM XYCLIC ffiÀA PH×ÌNG 19
Nhªn x²t: Cho a l mët ph¦n tû cõa nhâm G, bë phªn H = {an|n ∈ Z} gçm
t§t c£ c¡c luß thøa nguy¶n cõa a l nhâm con xyclic cõa G sinh bði ph¦n tû a.
V½ dö: (Z, +) l nhâm con xyclic sinh bði ph¦n tû 1. (Zn, .) l nhâm xyclic sinh
bði ph¦n tû 1.
Nhâm xyclic l nhâm aben.
N¸u ph¦n tû a cõa nhâm G câ c§p n th¼ nhâm con xyclic c§p n cõa G sinh ra
bði a l [a] = {1, a, a2, ..., an−1}.
Sè ph¦n tû sinh cõa nhâm xyclic G c§p n l ϕ(n) vîi ϕ l h m Euler.
ffiành lþ 1.7.3. N¸u G = 〈x〉 v H l nhâm con cõa G, khi â:
a) N¸u G l nhâm câ c§p væ h¤n, th¼ H s³ l nhâm xyclic câ c§p væ h¤n ho°c l
nhâm t¦m th÷íng.
b) N¸u G l nhâm câ c§p húu h¤n n, th¼ H l nhâm xyclic câ c§p chia h¸t n. Ng÷ñc
l¤i, vîi méi ÷îc nguy¶n d÷ìng d cõa n th¼ câ t÷ìng ùng duy nh§t mët nhâm con câ
c§p d, kþ hi»u 〈xn/d〉.
Chùng minh
a) Tr÷îc h¸t, ta chùng minh H l nhâm xyclic. N¸u H = {1} th¼ hiºn nhi¶n. Gi£
sû H 6= {1}, th¼ H chùa mët ph¦n tû xs 6= 1. Gåi s l sè nguy¶n d÷ìng nhä nh§t
tho£ t½nh ch§t tr¶n. Khi â, 〈xs〉 ⊆ H. N¸u xt ∈ H th¼ t = sq + r, vîi q, r ∈ Z v
0 ≤ r < s. Suy ra, xr = (xs)−qxt ∈ H. Do s l gi¡ trà d÷ìng nhä nh§t tho£ t½nh
ch§t xs ∈ H, n¶n r = 0 hay s | t. Do â, xt ∈ 〈xs〉 v H = 〈xs〉. N¸u G câ c§p væ
h¤n, th¼ x câ c§p væ h¤n, t÷ìng tü xs câ c§p væ h¤n. Vªy H l nhâm xyclic câ c§p
væ h¤n.
Gi£ sû |x| = n < ∞, suy ra c§p cõa H chia h¸t n (theo ffiành lþ Lagrange).
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû câ d | n th¼ |xn/d| = d v |〈xn/d〉| = d. ffiº chùng minh t½nh duy
nh§t cõa 〈xn/d〉, ta gi£ sû tçn t¤i nhâm 〈xk〉 câ c§p l d. Khi â, xkd = 1 v n | kd.
Suy ra, n/d chia h¸t k v 〈xk〉 ≤ 〈xn/d〉. M°t kh¡c, c£ hai nhâm n y ·u câ c§p l
d, n¶n chóng ph£i tròng nhau, hay nhâm 〈xn/d〉 l duy nh§t.
Nhªn x²t: Nhâm G ch¿ câ duy nh§t hai nhâm con l 1 v G khi v ch¿ khi G
l nhâm xyclic v câ c§p l sè nguy¶n tè.
ffiành ngh¾a 1.7.4. Nhâm G ÷ñc gåi l nhâm xyclic àa ph÷ìng (locally cyclic
group) n¸u méi nhâm con húu h¤n sinh cõa nâ l nhâm xyclic.
T½nh ch§t:
Méi nhâm xyclic l mët nhâm xyclic àa ph÷ìng v méi nhâm con xyclic àa
ph÷ìng l nhâm aben.
Méi nhâm xyclic àa ph÷ìng húu h¤n sinh l nhâm xyclic nh÷ng mët nhâm
xyclic àa ph÷ìng b§t ký ch÷a h¯n l nhâm xyclic
20 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
V½ dö: Nhâm (Q, +) l nhâm xyclic àa ph÷ìng v¼ vîi méi c°p sè a/b v c/d
th¼ t¤o ra mët nhâm xyclic sinh bði ph¦n tû 1/bd, nh÷ng (Q, +) khæng l nhâm
xyclic.
Nhâm cëng c¡c sè thüc R, (R, +) khæng ph£i l nhâm xyclic àa ph÷ìng, v¼
nhâm con sinh bði ph¦n tû 1 v pi l nhâm m c¡c ph¦n tû câ d¤ng a + bpi nh÷ng
nhâm n y ¯ng c§u vîi nhâm Z× Z v Z× Z khæng l nhâm xyclic.
Méi nhâm con v nhâm th÷ìng cõa mët nhâm xyclic àa ph÷ìng l nhâm xyclic
àa ph÷ìng.
V½ dö: (Q/Z, +) l nhâm xyclic àa ph÷ìng, v¼ nhâm (Q, + ) l nhâm xyclic
àa ph÷ìng.
Mët nhâm gåi l xyclic àa ph÷ìng n¸u v ch¿ n¸u méi c°p ph¦n tû trong nhâm
t¤o th nh nhâm con xyclic.
Mët nhâm gåi l xyclic àa ph÷ìng n¸u v ch¿ n¸u d n c¡c nhâm con cõa nâ l
d n ph¥n phèi.
1.8 Nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc
ffiành ngh¾a 1.8.1. Nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc (indecomposable group) l nhâm
khæng t¦m th÷íng m khæng thº biºu di¹n d÷îi d¤ng t½ch trüc ti¸p cõa hai nhâm
con chu©n tc kh¡c nhau. Mët nhâm khæng l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc th¼ gåi
l nhâm ph¥n t½ch ÷ñc.
Nhªn x²t: Nhâm ìn l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc. ffii·u ng÷ñc l¤i khæng
óng, tùc l khæng ph£i b§t cù nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc n o công l nhâm ìn.
V½ dö: (Q, + ) l nhâm khæng ph¥n t½ch ÷ñc nh÷ng (Q, +) khæng l nhâm
ìn.
Vîi p l sè nguy¶n tè, th¼ nhâm cëng Z(p) = Z/pZ l nhâm khæng ph¥n t½ch
÷ñc, v¼ Z(p) l nhâm ìn.
Nhâm cëng c¡c sè nguy¶n Z v nhâm cëng c¡c sè húu tff Q l c¡c nhâm khæng
ph¥n t½ch ÷ñc, nh÷ng nhâm cëng c¡c sè thüc R l¤i l nhâm ph¥n t½ch ÷ñc, v¼
R = Q× I, vîi I l tªp c¡c sè væ tff vîi ph²p to¡n cëng.
Vîi m, n l c¡c sè nguy¶n tè còng nhau (v lîn hìn 1) th¼ nhâm cëng
Z
mnZ
l
nhâm ph¥n t½ch ÷ñc v¼ Z/mnZ ∼= Z(m)× Z(n).
ffiành ngh¾a 1.8.2. Nhâm G ÷ñc gåi l tho£ i·u ki»n ACC (Ascending chain
condition) n¸u méi chuéi t«ng c¡c nhâm con chu©n tc ·u câ giîi h¤n tr¶n, tùc l
n¸u K1 ≤ K2 ≤ K3 ≤ ... l mët chuéi c¡c nhâm con chu©n tc cõa G th¼ tçn t¤i sè
nguy¶n t m Kt = Kt+1 = Kt+2 = ....
1.8. NHÂM KHÆNG PH
N TCH ffi×ÑC 21
Nhâm G ÷ñc gåi l tho£ i·u ki»n DCC (Descending chain condition) n¸u
méi chuéi gi£m c¡c nhâm con chu©n tc cõa G ·u câ giîi h¤n d÷îi tùc l n¸u
H1 ≥ H2 ≥ H3 ≥ ... th¼ tçn t¤i sè nguy¶n s sao cho Hs = Hs+1 = Hs+2 = ....
Nhªn x²t: Måi nhâm húu h¤n ·u thäa c£ i·u ki»n ACC v DCC.
Nhâm cëng c¡c sè nguy¶n (Z, +) tho£ i·u ki»n ACC nh÷ng khæng tho£ DCC.
Thªt vªy, x²t méi chuéi t«ng c¡c nhâm con chu©n tc K1 ≤ K2 ≤ ... ≤ Kt ≤ ...,
do Ki l c¡c nhâm con thªt sü cõa nhâm (Z, +) n¶n Ki = miZ vîi mi ∈ N. M°t
kh¡c, Ki ⊇ Kj n¸u mi|mj. Do â, måi chuéi t«ng c¡c nhâm con chu©n tc ·u câ
giîi h¤n tr¶n, tùc l tçn t¤i sè nguy¶n t m Kt = Kt+1 = Kt+2 = ... = 〈1〉 = Z. Vªy
nhâm (Z, +) thäa i·u ki»n ACC. Tuy nhi¶n nhâm (Z, +) khæng thäa i·u ki»n
DCC. Thªt vªy, x²t nhâm con H1 cõa nhâm (Z, +) thäa Z ≥ H1 6= {0}. Khi â,
H1 = m1Z, vîi m1 > 1, n¶n tçn t¤i m2 sao cho m1|m2, hay tçn t¤i mët nhâm H2,
m H1 ≥ H2 6= {0}. Do â, nhâm (Z, +) khæng thäa i·u ki»n DCC.
Nhâm (Q, +) khæng tho£ c£ i·u ki»n ACC v DCC.
Thªt vªy, gåi H l mët nhâm con thªt sü b§t ký cõa Q, ta s³ chùng minh luæn
tçn t¤i mët nhâm con K cõa Q, K thªt sü chùa H l nhâm con. V¼ H < Q n¶n tçn
t¤i x ∈ Q m x khæng thuëc H. Gåi K = H ⊕ 〈x〉 th¼ K l nhâm con thüc sü cõa
Q, K chùa H. Vªy (Q, +) khæng thäa i·u ki»n ACC. Chùng minh t÷ìng tü gåi L
l nhâm con thªt sü cõa Q, L 6= {0}, n¶n tçn t¤i 0 6= x ∈ L, gåi M = 〈x〉 th¼ M l
nhâm con thªt sü cõa L, M 6= 0. Do â, (Q, +) khæng thäa i·u ki»n DCC.
Bê · 1.8.3. Ta câ c¡c k¸t qu£ sau:
a) N¸u H G v c¡c nhâm H v G/H tho£ i·u ki»n ACC v i·u ki»n DCC n¸u
G tho£ c£ hai i·u ki»n tr¶n. Nâi ri¶ng, n¸u H v K l c¡c nhâm thäa c£ hai i·u
ki»n ACC v DDC th¼ H ×K công thäa c¡c i·u ki»n n y.
b) N¸u G = H ×K v G tho£ i·u ki»n ACC v DCC th¼ H, K công tho£ c¡c i·u
ki»n n y.
Chùng minh
a) N¸u G1 ≥ G2 ≥ G3 ≥ ... l mët chuéi gi£m c¡c nhâm con chu©n tc cõa G
th¼ H ∩ G1 ≥ H ∩ G2 ≥ ... l chuéi c¡c nhâm con chu©n tc cõa H v HG1/H ≥
HG2/H ≥ ... l chuéi gi£m c¡c nhâm con chu©n tc cõa G/H. Theo gi£ thuy¸t,
tçn t¤i sè nguy¶n t tho£ H ∩ Gt = H ∩ Gt+1 = ... v tçn t¤i sè nguy¶n s tho£
HGs/H = HGs+1/H = .... Suy ra, HGs = HGs+1 = .... Theo luªt Dedekind, n¸u
H, K v L l c¡c nhâm con cõa G vîi H ≤ L, khi â HK ∩ L = H(K ∩ L). Ð ¥y
ta khæng rót ra k¸t luªn HK hay H(K ∩L) l nhâm con cõa G. Gåi l = max{s, t},
∀i ≥ l th¼ Gi = GiH ∩Gi = Gi+1H ∩Gi = Gi+1(H ∩Gi) = Gi+1(H ∩Gi+1) ≤ Gi+1.
Suy ra, Gt = Gt+1. Vªy G thäa i·u ki»n DCC. Chùng minh t÷ìng tü èi vîi i·u
ki»n ACC.
22 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
b) N¸u G = H × K, th¼ méi nhâm con chu©n tc H công l nhâm con chu©n
tc cõa G. Do â, méi chuéi t«ng ho°c gi£m c¡c nhâm con chu©n tc cõa H công
l chuéi c¡c nhâm con chu©n tc cõa G. V¼ G thäa i·u ki»n ACC v DCC n¶n H
công thäa i·u ki»n ACC v DCC. Chùng minh t÷ìng tü K công thäa i·u ki»n
ACC v DCC.
ffiành lþ 1.8.4. N¸u G tho£ i·u ki»n ACC ho°c DCC th¼ G l t½ch trüc ti¸p cõa
húu h¤n nhâm con khæng ph¥n t½ch ÷ñc.
Chùng minh
Ng÷íi ta gåi nhâm G tho£ i·u ki»n l t½ch trüc ti¸p cõa mët sè húu h¤n nhâm
con khæng ph¥n t½ch ÷ñc l nhâm tèt, ng÷ñc l¤i th¼ G gåi l nhâm x§u. Nhâm
khæng ph¥n t½ch ÷ñc l nhâm tèt. N¸u c£ A v B l nhâm tèt th¼ A×B s³ l nhâm
tèt. Do â, gi£ sû nhâm G l t½ch trüc ti¸p cõa U v V th¼ G l nhâm x§u n¸u c£
U v V l nhâm con thüc sü cõa G, trong â U ho°c V l nhâm x§u.
Gi£ sû tçn t¤i nhâm x§u G. ffi°t H0 = G, b¬ng quy n¤p theo n, tçn t¤i c¡c nhâm
x§u H0, H1, ..., Hn tho£ i·u ki»n Hi l nh¥n tû trüc ti¸p x§u cõa Hi−1. Do â tçn t¤i
mët d¢y gi£m nghi¶m ng°t c¡c nhâm con chu©n tc cõa G, G = H0 > H1 > H2 > ...
N¸u G tho£ DCC, ta s³ suy ra i·u m¥u thu¨n. Thªt vªy, v¼ n¸u câ gi¡ trà s m
Hs = Hs+1 th¼ theo gi£ thuy¸t Hs+1 l nh¥n tû trüc ti¸p x§u cõa Hs n¶n tçn t¤i
nhâm K khæng t¦m th÷íng sao cho Hs = Hs+1 ×K, (m¥u thu¨n).
Gi£ sû G tho£ i·u ki»n ACC. Do méi nhâm Hi l nh¥n tû trüc ti¸p cõa Hi−1
do â tçn t¤i nhâm con chu©n tc Ki thäa Hi−1 = Hi ×Ki. Vªy tçn t¤i d¢y t«ng
c¡c nhâm con chu©n tc K1 < K1 ×K2 < K1 ×K2 ×K3 < ... suy ra m¥u thu¨n.
Nhªn x²t:
Nhâm G (khæng nh§t thi¸t l nhâm aben) n¸u thäa i·u ki»n DCC th¼ G l
nhâm xon.
Nhâm H (khæng nh§t thi¸t l nhâm aben) n¸u thäa i·u ki»n ACC th¼ méi nhâm
con cõa H kº c£ b£n th¥n nhâm H l nhâm húu h¤n sinh. ffii·u ng÷ñc l¤i cõa nhªn
x²t n y công óng, tùc l n¸u A l nhâm aben húu h¤n sinh th¼ A s³ thäa i·u ki»n
ACC.
1.9 Nhâm chia ÷ñc
ffiành ngh¾a 1.9.1. Trong nhâm G, n¸u x ∈ G v mët sè nguy¶n n kh¡c khæng,
khi â x ÷ñc gåi l chia ÷ñc bði n trong G n¸u câ mët g ∈ G tho£ x = ng.
N¸u ph²p to¡n trong nhâm G l ph²p nh¥n, th¼ khi â ta câ thº nâi x câ c«n
bªc n trong G, tùc l tçn t¤i y ∈ G, m x = yn, vîi mët gi¡ trà nguy¶n n 6= 0.
1.9. NHÂM CHIA ffi×ÑC 23
Nhâm G ÷ñc gåi l nhâm chia ÷ñc n¸u méi ph¦n tû x ∈ G ·u chia ÷ñc vîi
mët sè nguy¶n n ≥ 2, ngh¾a l tçn t¤i gn ∈ G m ngn = x,∀n ≥ 2.
Cho p l mët sè nguy¶n tè, nhâm G ÷ñc gåi l p-chia ÷ñc n¸u måi x ∈ G tçn
t¤i y ∈ G m x = yp. N¸u ph²p to¡n tr¶n nhâm G l ph²p cëng th¼ nhâm G ÷ñc
gåi l p-chia ÷ñc n¸u måi x ∈ G tçn t¤i y ∈ G m x = p.y.
V½ dö: C¡c nhâm sau ¥y l nhâm chia ÷ñc: Nhâm c¡c sè húu tff vîi ph²p
to¡n cëng (Q, +); nhâm c¡c sè thüc vîi ph²p to¡n cëng (R, + ).
V½ dö: Nhâm Qp = {a/b|a/b ∈ Q, (b, p) = 1} l nhâm q-chia ÷ñc vîi måi sè
nguy¶n tè q 6= p. Thªt vªy, ta s³ chùng minh qQp = Qp, tø â suy ra Qp l nhâm
q-chia ÷ñc. Gåi a/b ∈ Qp. Suy ra, (b, p) = 1, nh÷ng p v q l hai sè nguy¶n
tè còng nhau, n¶n p ph£i nguy¶n tè còng nhau vîi bq. Do â, a/bq ∈ Qp. V¼
q(a/bq) = a/b ⇒ a/b ∈ qQp, n¶n Qp ⊆ qQp. Chi·u ng÷ñc l¤i hiºn nhi¶n. Do â
Qp = qQp. Vªy Qp l nhâm q-chia ÷ñc.
T½nh ch§t: Nhâm th÷ìng cõa mët nhâm chia ÷ñc l nhâm chia ÷ñc. Nhâm
con cõa mët nhâm chia ÷ñc ch÷a h¯n l nhâm chia ÷ñc.
V½ dö: Nhâm (Q, +) l nhâm chia ÷ñc nh÷ng nhâm c¡c sè nguy¶n vîi ph²p
cëng (Z, +) th¼ khæng l nhâm chia ÷ñc.
N¸u H v K l c¡c nhâm con chia ÷ñc cõa mët nhâm aben G th¼ H + K l
nhâm chia ÷ñc.
Nhâm chia ÷ñc cõa mët nhâm aben l nhâm thu¦n tóy.
Bê · 1.9.2. N¸u x ∈ Q, th¼ hai nghi»m b§t ký cõa ph÷ìng tr¼nh ny = x sai kh¡c
nhau mët ph¦n tû z thäa nz = 0. Ngo i ra, y l nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh
tr¶n n¸u G l nhâm khæng xon.
ffiành lþ 1.9.3. Nhâm khæng xon chia ÷ñc G l khæng gian vectì tr¶n Q.
Chùng minh
N¸u x ∈ G v x chia ÷ñc, th¼ vîi n > 0 câ duy nh§t ph¦n tû y ∈ G sao cho ny
= x (theo Bê · 1.9.2). Khi â câ h m sè f : Q×G→ G sao cho (m/n, x)→ my
(vîi x = ny). H m sè n y còng vîi ph²p nh¥n væ h÷îng tho£ c¡c ti¶n · cõa mët
khæng gian vectì. Vªy nhâm khæng xon chia ÷ñc G l khæng gian vectì tr¶n Q.
ffiành lþ 1.9.4. Tçn t¤i nhâm G m nhâm con xon cõa nâ câ thº khæng l h¤ng
tû trüc ti¸p cõa G.
Chùng minh
Gåi P l tªp hñp t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè v G =
∏
p∈P Zp.
24 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
N¸u q l sè nguy¶n tè v x = (xp) ∈ G l chia ÷ñc bði q th¼ câ y = (yp) m
qyp = xp vîi måi p, suy ra xq = 0. Do â, n¸u x chia ÷ñc cho måi sè nguy¶n tè p
th¼ x = 0.
Gi£ sû G/tG chùa ph¦n tû kh¡c khæng m câ thº chia h¸t cho måi sè nguy¶n
tè p. N¸u i·u n y óng, th¼ G 6= tG ⊕ H vîi H l mët nhâm con n o â, bði v¼
H ∼= G/tG. N¸u ap ∈ Zp l ph¦n tû sinh, th¼ a = (ap) câ c§p væ h¤n. N¸u na = 0
th¼ nap = 0 vîi måi sè p, do â p chia h¸t n vîi måi p, suy ra n = 0. Do â, a khæng
thuëc tG v lîp a + tG l ph¦n tû kh¡c khæng cõa G/tG. N¸u q l sè nguy¶n tè v
ap chia ÷ñc bði q trong Zp, vîi måi p 6= q, th¼ câ yp ∈ Zp m qyp = ap. ffi°t yq = 0
v y = (yp). Tø â a − qy ∈ tG v¼ måi to¤ ë cõa nâ ·u b¬ng 0 trø aq ð và tr½ q.
Suy ra, q(y+ tG) = qy+ tG = a− (a− qy) + tG = a+ tG. Do â a + tG chia ÷ñc
bði måi sè nguy¶n tè q. Vªy G/tG chùa ph¦n tû kh¡c khæng v chia h¸t cho måi
sè nguy¶n tè p. Do â, tçn t¤i nhâm G m nhâm con xon cõa nâ câ thº khæng l
h¤ng tû trüc ti¸p cõa G.
ffiành lþ 1.9.5. Cho D l mët nhâm chia ÷ñc v A l mët nhâm con cõa nhâm
B. N¸u f : A→ D l mët çng c§u, th¼ f câ thº ÷ñc mð rëng th nh mët çng c§u
ϕ : B → D sao cho: f = ϕ ◦ i vîi i : A→ B.
Chùng minh
Ta sû döng bê · Zorn. X²t tªp ς gçm c¡c c°p (S, h) vîi A ≤ S ≤ B v
h : S → D l mët çng c§u tho£ h|A = f. Nhªn x²t ς 6= ∅ v¼ (A, f) ∈ ς. Quan h»
thù tü bë phªn trong ς ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: (S, h) ≤ (S ′, h′) n¸u S ≤ S ′ v h' l
mð rëng cõa h tùc l h′|S = h. N¸u T = {(Sx, hx)} l tªp sp thù tü cõa ς. ffiành
ngh¾a (S∗, h∗) bði S∗ = ∪αSα v h∗ = ∪αhα. H m sè ÷ñc ành ngh¾a tr¶n l phò
hñp. Thªt vªy n¸u s ∈ S∗ th¼ s ∈ Sα vîi mët gi¡ trà α n o â v h∗(s) = hα(s). Ta
kiºm tra ÷ñc (S∗, h∗) ∈ ς v nâ l ch°n tr¶n cõa T. Theo bê · Zorn, tçn t¤i ph¦n
tû lîn nh§t (M, g) ∈ ς. Ta s³ chùng minh M = B v ho n t§t chùng minh.
Gi£ sû câ b ∈ B v b khæng thuëc M. N¸u M ′ = 〈M, b〉 th¼ M<M' v d¨n ¸n
ành ngh¾a h′ : M ′ → D l mð rëng cõa g tø â d¨n ¸n m¥u thu¨n vîi t½nh ch§t
ph¦n tû lîn nh§t (M, g) ∈ S.
Tr÷íng hñp 1: M ∩ 〈b〉 = 0. Trong tr÷íng hñp n y th¼ M ′ = M ⊕ 〈b〉. ffiành
ngh¾a h' thäa m+ kb 7→ g(m).
Tr÷íng hñp 2: M ∩〈b〉 6= 0. N¸u k l sè nguy¶n d÷ìng nhä nh§t tho£ kb ∈M ,
khi â méi ph¦n tû y ∈M ′ ÷ñc vi¸t duy nh§t d÷îi d¤ng y = m + tb vîi 0 ≤ t < k.
Do D l nhâm chia ÷ñc n¶n câ ph¦n tû d ∈ D m kd = h(kb) vîi kb ∈ M n¶n
h(kb) ÷ñc x¡c ành. Gåi h′ : M ′ → D tho£ m+ tb 7→ g(m) + td. Ta kiºm tra ÷ñc
h' l mët çng c§u mð rëng cõa g.
Vªy M = B.
ffiành lþ 1.9.6. N¸u A l nhâm aben v D l nhâm con chia ÷ñc, khi â D l h¤ng
tû trüc ti¸p cõa A.
1.9. NHÂM CHIA ffi×ÑC 25
Chùng minh
Gåi S = {H|H ≤ A,H ∩D = 0}. Khi â, (S,⊆) l tªp sp thù tü bë phªn tho£
c¡c gi£ thuy¸t cõa Bê · Zorn. Gåi C l tªp con cõa S. N¸u C l tªp réng, th¼ méi
ph¦n tû cõa S s³ âng vai trá nh÷ l mët ch°n tr¶n cõa C, do â câ thº gi£ thi¸t
C kh¡c réng. Khi â, (∪C) ∩D = {0} v¼ n¸u câ x ∈ (∪C) ∩D, th¼ x ∈ H ⊆ C vîi
H n o â. Do â x ∈ H ∩D d¨n ¸n x = 0. M°t kh¡c, do C l tªp kh¡c réng, n¶n
tçn t¤i H0 ⊆ C, n¶n {0} ∈ ∪C d¨n ¸n {0} ⊆ (∪C) ∩D hay {0} = (∪C) ∩D.
Vªy ∪C ∈ S v ∪C l ch°n tr¶n cõa S. p döng Bê · Zorn, d¨n ¸n sü tçn t¤i
cõa nhâm con K l ph¦n tû tèi ¤i cõa S. Do â, K ∩D = {0}. ffiº ho n t§t chùng
minh c¦n ch¿ ra A = D⊕K v º chùng minh i·u n y c¦n ch¿ ra A = D + K. Gi£
sû D +K 6= A ta s³ t¼m ra sü m¥u thu¨n.
Gi£ sû tçn t¤i x ∈ A m x khæng thuëc D + K (*). Khi â, x khæng thuëc K,
suy ra K l nhâm con thªt sü cõa K + 〈x〉. V¼ K l nhâm con tèi ¤i cõa S n¶n
K + 〈x〉 khæng thuëc S, khi â (K + 〈x〉)∩D ph£i l nhâm khæng t¦m th÷íng, n¶n
tçn t¤i t ∈ (K + 〈x〉)∩D, tho£ t 6= 0. Do â, t = k + nx vîi k ∈ K, n l sè nguy¶n,
suy ra nx ∈ D+K. Nhªn x²t, n 6= 0 v¼ n¸u n = 0 th¼ d¨n ¸n t = k, do t ∈ K ∩D
suy ra t = 0. (M¥u thu¨n).
Câ thº gi£ sû n l sè nguy¶n d÷ìng v¼ n¸u n l sè nguy¶n ¥m th¼ -n l sè nguy¶n
d÷ìng v nx câ thº ÷ñc thay bði (-n)(-x). Gi¡ trà n khæng thº b¬ng 1 v¼ n¸u nh÷
th¸ th¼ d¨n ¸n t = k + x suy ra x ∈ D + K, (m¥u thu¨n vîi gi£ thuy¸t (*)). Do
â 2 ≤ n, gåi n' l sè n nhä nh§t cõa tªp {m|m ∈ N, 2 ≤ m,mx ∈ D + K}. Tªp
n y kh¡c réng v¼ chùa ph¦n tû n. Gåi p l sè nguy¶n tè chia h¸t n', th¼ n'= pq vîi
q ∈ N (câ thº x£y ra tr÷íng hñp q = 1). Nhªn x²t q < n' º qx khæng thuëc D +
K (**), theo ành ngh¾a cõa n'. ffi°t y = qx th¼ py = pqx = n′x ∈ D+K. Do â py
= d + k' vîi d ∈ D, k′ ∈ K.
p döng t½nh ch§t chia ÷ñc cõa D d¨n ¸n sü tçn t¤i cõa d1 ∈ D, m d = pd1.
Gåi z = y − d1. Khi â pz = py − pd1 = d + k′ − pd1 = d + k′ − d = k′ ∈ K. N¸u
z ∈ K th¼ z + d1 ∈ D +K, d¨n ¸n y ∈ D +K v qx ∈ D +K (M¥u thu¨n (**)).
V¼ th¸, z khæng thuëc K, n¶n K l nhâm con thªt sü cõa K + 〈z〉, do â K + 〈z〉
khæng thuëc S v¼ K l nhâm tèi ¤i cõa S. Suy ra, (K + 〈z〉) ∩ D l khæng t¦m
th÷íng, n¶n tçn t¤i t2 ∈ (K + 〈z〉) ∩ D, t2 6= 0. Tø â, t2 = k2 + mz vîi k2 ∈ K,
m l sè nguy¶n. N¸u p chia h¸t m, th¼ m = pc vîi c l mët sè nguy¶n, d¨n ¸n
t2 = k2 + pcz = k2 + ck
′ ∈ K n¶n t2 ∈ D ∩ K = 0 suy ra t2 = 0 (væ lþ). Do â,
p khæng chia h¸t m. M°t kh¡c, p l sè nguy¶n tè n¶n p v m ph£i nguy¶n tè còng
nhau. Tçn t¤i sè nguy¶n a, b sao cho am + bp = 1. Khi â, z = (am + bp)z = amz
+ bpz. Tuy nhi¶n, mz = t2 − k2 ∈ D + K v pz = k′ ∈ K, n¶n z ∈ D + K, nh÷ng
y = z + d1. Do â y ∈ D +K v y = qx n¶n qx ∈ D +K (m¥u thu¨n vîi **).
Vªy A = D ⊕K khi â D l h¤ng tû trüc ti¸p cõa A.
H» qu£ 1.9.7. N¸u nhâm chia ÷ñc D l nhâm con cõa nhâm G, th¼ D l h¤ng tû
trüc ti¸p cõa G.
26 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
ffiành ngh¾a 1.9.8. N¸u G l mët nhâm, th¼ dG l nhâm con t¤o bði t§t c£ c¡c
nhâm con chia ÷ñc cõa G.
Nhªn x²t: dG l nhâm con b§t bi¸n ho n to n cõa G (fully invariant subgroup)
do £nh cõa méi nhâm con chia ÷ñc l chia ÷ñc.
Bê · 1.9.9. Vîi b§t ký nhâm G, dG l nhâm con chia ÷ñc duy nh§t v tèi ¤i
cõa G.
Chùng minh
Do ành ngh¾a cõa dG n¶n dG l nhâm con tèi ¤i cõa G, ta ch¿ c¦n chùng minh
dG l nhâm chia ÷ñc. Vîi x ∈ dG, gi£ sû n>0, khi â câ x = d1+d2+...+dt, di ∈ Di
v c¡c Di l nhâm con chia ÷ñc cõa G. V¼ Di l nhâm con chia ÷ñc, n¶n tçn t¤i
yi ∈ Di tho£ n.yi = di,∀i. Suy ra, y1 + ...+ yt ∈ dG v n(y1 + ...+ yt) = x. Vªy dG
l nhâm chia ÷ñc, hay dG l nhâm con chia ÷ñc duy nh§t v tèi ¤i cõa G.
ffiành ngh¾a 1.9.10. Nhâm G ÷ñc gåi l nhâm tèi gi£n hay nhâm rót gån (reduced
group) n¸u dG = 0.
Mët nhâm aben ÷ñc gåi l nhâm rót gån hay tèi gi£n (reduced group) n¸u nâ
khæng câ nhâm con chia ÷ñc khæng t¦m th÷íng.
V½ dö: Måi nhâm con thüc sü cõa nhâm (Q, + ) l nhâm rót gån. Tuy nhi¶n,
b£n th¥n nhâm (Q, + ) khæng l nhâm rót gån v¼ Q l nhâm chia ÷ñc.
Nhªn x²t: G l chia ÷ñc khi v ch¿ khi dG = G.
ffiành lþ 1.9.11. Vîi méi nhâm G, th¼ G luæn ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng G = dG⊕R,
vîi R l nhâm tèi gi£n.
Chùng minh
Do dG l nhâm chia ÷ñc, theo H» qu£ 1.9.7 th¼ dG l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G,
tø â kh¯ng ành sü tçn t¤i cõa R. N¸u câ D ≤ R v D l nhâm chia ÷ñc, khi â
D ≤ R ∩ dG = 0. Suy ra, R l nhâm tèi gi£n.
Nhªn x²t: Méi nhâm con aben G ·u l mð rëng cõa mët nhâm xon tG bði
mët nhâm khæng xon (nh÷ng tG khæng nh§t thi¸t l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G).
Tuy nhi¶n, G công l mð rëng cõa mët nhâm chia ÷ñc dG bði mët nhâm tèi gi£n
v dG luæn l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G.
Kþ ki»u: Cho G l mët nhâm b§t ký, G[n] = {x ∈ G|nx = 0}.
Bê · 1.9.12. N¸u G v H l c¡c p-nhâm con nguy¶n sì (p-primary group) th¼
G ∼= H n¸u v ch¿ n¸u G[p] ∼= H[p].
Chùng minh
1.9. NHÂM CHIA ffi×ÑC 27
N¸uG ∼= H, ta s³ chùng minhG[p] ∼= H[p]. Thªt vªy, vîi méi çng c§u ϕ : G −→
H th¼ ϕ(G[p]) ≤ H[p]. M°t kh¡c, v¼ G ∼= H n¶n tçn t¤i çng c§u ϕ∗ : H −→ G v
ϕ∗(H[p]) ≤ G[p] thäa ϕ ◦ ϕ∗ = Id, suy ra H[p] ≤ ϕ(G[p]). Vªy G[p] ∼= H[p].
Ng÷ñc l¤i, n¸u G[p] ∼= H[p], tùc l tçn t¤i mët ¯ng c§u ϕ : G[p] −→ H[p]. K¸t
hñp vîi ph²p nhóng i : H[p] −→ H, ta câ thº gi£ thi¸t ϕ : G[p] −→ H. Theo ffiành
lþ 1.9.4 th¼ tçn t¤i çng c§u φ : G −→ H l mð rëng cõa ϕ ta s³ chùng minh φ l
mët ¯ng c§u.
φ l ìn c§u. N¸u n = 1 th¼ x ∈ G[p] n¶n φ(x) = ϕ(x) = 0⇒ x = 0 (do ϕ l
ìn c§u). B¬ng c¡ch quy n¤p vîi n ≥ 1 n¸u x ∈ G câ c§p pn+1, th¼ φ(x) = 0. Khi
â, φ(px) = 0 v px câ c§p pn suy ra px = 0, n¶n x = 0. Do â, φ l ìn c§u.
φ l to n c§u. Thüc hi»n vi»c quy n¤p vîi n ≥ 1, n¸u y ∈ H câ c§p pn th¼
y ∈ Imφ. N¸u n = 1, th¼ y ∈ H[p] = imϕ ≤ imφ. Gi£ sû r¬ng y câ c§p pn+1, do
pny ∈ H[p], n¶n câ x ∈ G tho£ φ(x) = pny. Do G l nhâm chia ÷ñc, n¶n tçn t¤i
g ∈ G sao cho png = x. Suy ra, pn(y − φ(x)) = 0 theo quy n¤p tçn t¤i z ∈ G, thäa
φ(z) = y − φ(g). Tø â, y = φ(z + g). Vªy φ l to n c§u.
Do â, φ l ¯ng c§u, hay G ∼= H.
Bê · 1.9.13. N¸u V l khæng gian vectì tr¶n tr÷íng K th¼ nhâm V vîi ph²p to¡n
cëng s³ l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n cõa K.
Bê · 1.9.14. Nhâm aben khæng xon chia ÷ñc G l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n
cõa nhâm c¡c sè húu tff Q.
Chùng minh
Gi£ sû g ∈ G v m/n ∈ G. V¼ G l nhâm chia ÷ñc n¶n tçn t¤i h ∈ G m nh
= g. V¼ G l nhâm khæng xon, n¶n h l duy nh§t (v¼ n¸u câ nh' = g, suy ra n(h -
h') = 0). ffiành ngh¾a (m/n)g = mh. Khi â, G l khæng gian vectì tr¶n Q n¶n nâ
l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n cõa Q.
Bê · 1.9.15. Méi nhâm p-chia ÷ñc l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n cõa Z(p∞).
Chùng minh
Gåi G l mët nhâm p-chia ÷ñc khæng t¦m th÷íng. Ta s³ chùng minh G câ mët
nhâm con ¯ng c§u vîi Z(p∞). Gåi x1 ∈ G câ c§p l p. Chån x2 thäa x1 = px2.
Ti¸p töc qu¡ tr¼nh n y ta t¼m ÷ñc mët d¢y x1, x2, ... sao cho vîi méi i ≥ 1 th¼
xi = pxi+1. Nhâm con sinh ra bði nhâm n y ¯ng c§u vîi nhâm Z(p∞) qua ¡nh x¤
xr → r/p + Z. Nhâm n y chia ÷ñc v l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G. Ti¸p töc qu¡
tr¼nh n y b¬ng quy n¤p, tuy nhi¶n nâ ph£i døng l¤i ð mët gi¡ trà n o â.
28 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
Gåi S l tªp c¡c nhâm con ¯ng c§u vîi Z(p∞) v gåi T l hå c¡c tªp con X ⊆ S
m têng c¡c nhâm con trong X l mët têng trüc ti¸p. T l tªp sp thù tü bë phªn
v méi nhâm cõa chuéi trong T câ mët ch°n tr¶n, ch½nh l ph¦n hñp. Theo Bê ·
Zorn, T câ ph¦n tû cüc ¤i, gi£ sû l H. Khi â, H l têng trüc ti¸p c¡c nhâm con
cõa X v H l nhâm chia ÷ñc (H b¬ng têng trüc ti¸p c¡c nhâm p-Pruffer), n¶n
G = H ⊕K vîi K l tªp n o â. N¸u K l tªp khæng t¦m th÷íng, th¼ nâ s³ chùa
mët nhâm con P ¯ng c§u vîi Z(p∞). Tuy nhi¶n, khi â X ∪ {P} ∈ T , m¥u thu¨n.
Vªy K = {1}, hay G = H l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n cõa Z(p∞).
ffiành lþ 1.9.16. Méi nhâm chia ÷ñc D l têng trüc ti¸p cõa c¡c th nh ph¦n
(copies) cõa Q v th nh ph¦n cõa Z(p∞) vîi mët sè nguy¶n tè p n o â.
Chùng minh
Do tD l nhâm chia ÷ñc, suy ra D = tD ⊕ V , khi â V ∼= D/tD. B¥y gií V l
nhâm khæng xon v chia ÷ñc, suy ra nâ l khæng gian vectì tr¶n tr÷íng Q, V l
têng trüc ti¸p cõa c¡c th nh ph¦n cõa Q (theo Bê · 1.9.14).
M°t kh¡c, méi nhâm xon ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng têng trüc ti¸p c¡c th nh
ph¦n p-nhâm con nguy¶n sì. Do â, tD l têng trüc ti¸p c¡c p-nhâm con chia ÷ñc,
n¶n theo Bê · 1.9.15 th¼ méi p-nhâm chia ÷ñc l têng trüc ti¸p c¡c th nh ph¦n
cõa Z(p∞).
ffiành lþ 1.9.17. Méi nhâm G câ thº ÷ñc nhóng v o mët nhâm chia ÷ñc.
Chùng minh
V¼ méi nhâm G b§t ký ·u ¯ng c§u vîi nhâm th÷ìng cõa nhâm aben tü do.
ffi°t G = F/R, vîi F l nhâm aben tü do. Gi£ sû F =
∑
Z, do â F ≤∑Q (v¼ ch¿
c¦n nhóng c¡c th nh ph¦n Z v o Q). Do â, G = F/R = (
∑
Z)/R ≤ (∑Q)/R.
ffi¥y l nhâm chia ÷ñc, v¼ l nhâm th÷ìng cõa mët nhâm chia ÷ñc. Vªy méi nhâm
G câ thº ÷ñc nhóng v o mët nhâm chia ÷ñc.
ffiành lþ 1.9.18. Nhâm con thu¦n tuþ cõa nhâm aben chia ÷ñc l nhâm chia ÷ñc.
Chùng minh
Cho A l nhâm aben chia ÷ñc v B l mët nhâm con thu¦n tuþ. Gi£ sû x ∈ B
v n l sè nguy¶n d÷ìng. Khi â, x ∈ A, x = ny, y ∈ A, suy ra x ∈ nA ∩ B do â
x ∈ nB (do t½nh thu¦n tuþ cõa B trong A). Vªy B l nhâm chia ÷ñc.
ffiành lþ 1.9.19. Cho B l mët p-nhâm aben. Khi â B l nhâm q-chia ÷ñc vîi
måi sè nguy¶n tè q 6= p, hìn núa n¸u câ b ∈ B th¼ tçn t¤i duy nh§t y ∈ B tho£ b =
qy.
Chùng minh
1.10. NHÂM CON THUN TÓY 29
Gi£ sû c§p cõa b l pn. Do p v q l hai sè nguy¶n tè kh¡c nhau n¶n pn v q
công l hai sè nguy¶n tè còng nhau. Do â, tçn t¤i upn + vq = 1 vîi u, v l c¡c sè
nguy¶n n o â. Suy ra, b = upnb + vqb = vqb = qy, vîi y = vb, do B l mët p -
nhâm v c§p cõa b l pn. ffiº chùng minh t½nh duy nh§t cõa y, gi£ sû b = qy = qy∗,
khi â q(y - y*) = 0 d¨n ¸n c§p cõa (y - y*) l ÷îc cõa q. V¼ B l p-nhâm n¶n c§p
cõa (y − y∗) = pm vîi m l sè nguy¶n, do â pm|q d¨n ¸n pm = 1, suy ra y* = y.
Vªy tçn t¤i duy nh§t y ∈ B sao cho b = qy.
ffiành lþ 1.9.20. N¸u nhâm aben A l p - chia ÷ñc vîi måi sè nguy¶n tè p, th¼ A
l nhâm chia ÷ñc.
Chùng minh
N¸u n l sè nguy¶n d÷ìng, th¼ n câ thº vi¸t d÷îi d¤ng t½ch li¶n ti¸p cõa c¡c
sè nguy¶n tè (khæng nh§t thi¸t kh¡c nhau) n = p1.p2...pk. Gi£ sû x ∈ A, v¼ A l
nhâm p-chia ÷ñc n¶n tçn t¤i y1, m x = p1y1, t÷ìng tü do y1 ∈ A n¶n tçn t¤i
y1 = p2y2. Têng qu¡t, vîi måi yi, 1 ≤ i ≤ k − 1, tçn t¤i yi+1 m yi = pi+1yi+1, n¶n
x = p1y1 = p1p2.y2 = ... = p1p2.....pkyk = nyk. Vªy A l nhâm chia ÷ñc.
1.10 Nhâm con thu¦n tóy
ffiành ngh¾a 1.10.1. Nhâm con S ≤ G l nhâm con thu¦n tuþ (pure subgroup) n¸u
vîi méi sè nguy¶n n th¼ S ∩ nG = nS.
Nhªn x²t: Cho A l mët nhâm aben, th¼ H l nhâm con thu¦n tuþ cõa A n¸u
H l nhâm con cõa A v nA ∩H ⊆ nH vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n.
ffiành lþ 1.10.2. N¸u A l nhâm aben th¼ t(A) l nhâm con thu¦n tuþ cõa A.
Chùng minh
Gi£ sû x ∈ nA∩ t(A) vîi n l mët sè nguy¶n d÷ìng. Khi â, x = ny vîi y n o â
v x ∈ t(A). Gåi m l c§p cõa x, th¼ 0 = mx = mny = (mn)y, suy ra y câ c§p húu
h¤n. Vªy y ∈ t(A), i·u n y v x = ny suy ra x ∈ nt(A) d¨n ¸n nA∩ t(A) ⊆ nt(A),
hay t(A) l nhâm con thu¦n tóy cõa A.
ffiành lþ 1.10.3. Méi h¤ng tû trüc ti¸p cõa nhâm G l nhâm con thu¦n tuþ cõa nâ.
Chùng minh
Cho G = A ⊕ B. N¸u a ∈ A v a = ng, th¼ g = a' + b', vîi a′ ∈ A v b′ ∈ B
nb'=0 vîi nb′ = a− na′ ∈ A ∩B = 0. Suy ra a = na'. Vªy A l nhâm thu¦n tuþ.
ffiành lþ 1.10.4. N¸u S ≤ G v G/S l nhâm khæng xon th¼ S l nhâm thu¦n tuþ.
Chùng minh
30 CH×ÌNG 1. KIN THÙC CHUN BÀ
N¸u s = ng, th¼ g+S ∈ G/S câ c§p húu h¤n, do G/S l nhâm khæng xon. Suy
ra, g + S = S v g ∈ S. Do â, S l nhâm thu¦n tóy.
ffiành lþ 1.10.5. N¸u tG l nhâm con thu¦n tóy cõa G th¼ nâ câ thº khæng l h¤ng
tû trüc ti¸p cõa G.
Chùng minh
Ta bi¸t G/tG l nhâm con khæng xon theo ffiành lþ 1.10.4 th¼ tG l nhâm con
thu¦n tuþ cõa G. Theo ffiành lþ 1.9.4 tçn t¤i nhâm G m nhâm con xon cõa nâ
khæng l h¤ng tû trüc ti¸p cõa G.
ffiành lþ 1.10.6. Gi£ sû T ≤ G l nhâm thu¦n tuþ. N¸u T ≤ S ≤ G th¼ S/T l
nhâm thu¦n tuþ trong G/T khi v ch¿ khi S l thu¦n tuþ trong G.
Chùng minh
Gi£ sû S/T l nhâm thu¦n tuþ trong G/T v s ∈ S, s = ng vîi g ∈ G. Trong
G/T, s = ng. Suy ra, câ s′ ∈ S tho£ s = ns′. Do â, tçn t¤i t ∈ T m s = ns' +
t, t = n(g − s′) v do t½nh thu._.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- LA7649.pdf