Luận văn Một số phương pháp giải hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số

lửc LÍI GIẻI THI›U 2 1 CC D„NG H› PHìèNG TRœNH Cè BƒN 3 1.1 Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hằ phữỡng trẳnh ối xựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Hằ phữỡng trẳnh dÔng hoĂn và vỏng quanh . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Hằ phữỡng trẳnh ¯ng cĐp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 MậT Sẩ PHìèNG PHP GIƒI H› PHìèNG TRœNH 11 2.1 Phữỡng phĂp thá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Phữỡng phĂp °t ân phử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Phữỡng phĂp sỷ dửng tẵnh ỡn iằu cừa h m số . . . . . . . . . . 12 2.4 Phữỡng phĂp sỷ dửng bĐt ¯ng thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Phối hủp nhiãu phữỡng phĂp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 H› B‡T PHìèNG TRœNH „I Sẩ 16 3.1 Phữỡng phĂp tham số hõa giÊi hằ bĐt phữỡng trẳnh . . . . . . . . . 16 3.2 Hằ phữỡng trẳnh v  bĐt phữỡng trẳnh mởt ân . . . . . . . . . . . . 17 Kát luên 19 T i liằu tham khÊo 20 1 LÍI GIẻI THI›U Hằ phữỡng trẳnh l  mởt chuyản ã quan trồng trong chữỡng trẳnh hồc phờ thổng. ã thi Ôi hồc cĂc nôm hƯu hát ãu cõ cƠu hằ phữỡng trẳnh. õ cụng l  mởt phƯn hồc quan trồng ð Ôi số lợp 10. Tứ khĂ lƠu nay viằc tẳm cĂch tờng hủp cĂc phữỡng phĂp º giÊi hằ phữỡng trẳnh cụng  ữủc rĐt nhiãu ngữới quan tƠm. Hằ bĐt phữỡng trẳnh thẳ lÔi l  mởt lắnh vỹc m  ẵt ữủc mồi ngữới quan tƠm hỡn. CĂc t i liằu tờng hủp vã phữỡng phĂp giÊi hằ bĐt phữỡng trẳnh cõ thº nõi l  khĂ ẵt. Dỹa trản sỹ giúp ù ch¿ dăn cừa thƯy Nguyạn Vôn Mêu cũng vợi sỹ tẳm tỏi tham khÊo tổi  tờng hủp ữủc mởt số phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng trẳnh v  hằ bĐt phữỡng trẳnh Ôi số. Ngo i phƯn mð Ưu, phƯn kát luên chung, danh mửc cĂc t i liằu tham khÊo, cĐu trúc cừa luên vôn bao gỗm cõ ba chữỡng. Chữỡng 1 trẳnh b y mởt số dÔng cũng phữỡng phĂp v  cĂch giÊi hằ phữỡng trẳnh Ôi số. Chữỡng 2 trẳnh b y mởt số phữỡng phĂp v  nhỳng vẵ dử vã giÊi hằ bĐt phữỡng trẳnh Ôi số. Chữỡng 3 x²t cĂc hằ chựa tham số v  hằ bĐt phữỡng trẳnh mởt ân. 2 Chữỡng 1 CC D„NG H› PHìèNG TRœNH Cè BƒN 1.1 Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Nhên dÔng X²t hằ phữỡng trẳnh  a1X + b1Y = c1 a2X + b2Y = c2 Phữỡng phĂp giÊi Thữớng cõ ba phữỡng phĂp: CĂch 1 phữỡng phĂp thá. Tữ mởt phữỡng trẳnh ta rút mởt ân theo ân kia v  thá v o phữỡng trẳnh cỏn lÔi. CĂch 2 phữỡng phĂp cởng Ôi số. Cởng ho°c trứ tứng vá hai phữỡng trẳnh mởt hủp lỵ º dạ d ng tẳm ữủc x ho°c y. CĂch 3 dũng ành thực. Lữu ỵ : ổi khi cụng cƯn mởt v i bián ời nhữ °t ân phử thẳ hằ mợi quy vã hằ hai phữỡng trẳnh bêc nhĐt hai ân. Sau Ơy l  mởt số b i toĂn. V  thổng thữớng, vợi mởt b i toĂn ta cụng cõ thº kát hủp v i phữỡng phĂp º giÊi mởt cĂch thuên lủi. B i toĂn 1.1. GiÊi hằ phữỡng trẳnh8>: 2x 3 x 2 + y + 7 y + 3 = 5 x+ 1 x 2 + 3y + 1 y + 3 = 5 3 Lới giÊi. Hằ phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng vợi 8>: 2 + 1 x 2 + 1 + 4 y + 3 = 5 1 + 3 x 2 + 3 8 y + 3 = 5 , 8>: 1 x 2 + 4 y + 3 = 2 3 x 2 8 y + 3 = 1 °t 1 x 2 = u; 1 y + 3 = v vợi u; v 6= 0 hằ trð th nh  u+ 4v = 2 3u 8v = 1 Sỷ dửng ành thực, ta tẵnh ữủc D = 20; DX = 20; DY = 5. Tứ õ thu ữủc u = DX D = 1; v = DY D = 1 4 . Cuối cũng ta dạ d ng tẵnh ữủc (x; y) = (3; 1). 1.2 Hằ phữỡng trẳnh ối xựng Hằ phữỡng trẳnh ối xựng loÔi 1 Nhên dÔng Khi trĂo ời vai trỏ cừa x v  y trong hằ thẳ tứng phữỡng trẳnh khổng thay ời. Nhên x²t Náu hằ cõ (x0; y0) l  mởt nghiằm thẳ (y0;x0) cụng l  mởt nghiằm cừa hằ. Phữỡng phĂp tờng quĂt °t  S = x+ y P = xy iãu kiằn º hằ cõ nghiằm l  S2 4P  0. Khi tẳm ữủc nghiằm S; P thẳ x; y s³ l  hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh t2St+P = 0. Lữu ỵ ổi khi ta cụng cƯn qua mởt v i bián ời nhữ °t ân phử º ữa hằ vã dÔng ối xựng loÔi 1. B i toĂn 1.2. GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau8>: x+ y + 1 x + 1 y = 4 x2 + y2 + 1 x2 + 1 y2 = 4 Lới giÊi. 4 °t x+ 1 x = u; y + 1 y = v. Suy ra x2 + 1 x2 = u2 2; y2 + 1 y2 = v2 2. Khi õ hằ trð th nh u+ v = 4 u2 + v2 = 8 ,  u+ v = 4 (u+ v)2 2uv = 8 ,  u+ v = 4 uv = 4 ,  u = 2 v = 2 , 8>: x+ 1 x = 2 y + 1 y = 2 ,  x = 1 y = 1 Vêy nghiằm cừa hằ l   x = 1 y = 1 1.3 Hằ phữỡng trẳnh dÔng hoĂn và vỏng quanh DÔng 1 : X²t hằ phữỡng trẳnh cõ dÔng:8>>>>>>>: f(x1) = g(x2) f(x2) = g(x3) ::: f(xn1) = g(xn) f(xn) = g(x1) Náu hai h m số f v  g cũng ỗng bián trản mởt têp A v  (x1;x2; :::;xn) l  nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh, trong õ xi 2 A;8i = 1; 2; ::; n thẳ x1 = x2 = ::: = xn. º chựng minh kh¯ng ành trản, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta giÊ sỷ x1 = minfx1;x2; :::; xng. Khi õ ta cõ x1  x2 suy ra f(x1)  f(x2). Tứ õ g(x2)  g(x3), suy ra x2  x3. Tiáp tửc quĂ trẳnh õ, cuối cũng ta s³ suy ra xn  x1. Tõm lÔi x1  x2  :::  xn  x1. Tứ õ suy ra x1 = x2 = ::: = xn. B i toĂn 1.3 (ã thi HSG Quốc Gia nôm 1994). GiÊi hằ phữỡng trẳnh8<:x 3 + 3x 3 + ln(x2 x+ 1) = y y3 + 3y 3 + ln(y2 y + 1) = z z3 + 3z 3 + ln(z2 z + 1) = x 5 Lới giÊi X²t h m số f(t) = t3 + 3t 3 + ln(t2 t+ 1). Ta cõ f 0(t) = 3(t2 + 1) + 2t 1 t2 t+ 1 > 0; 8t 2 R. Do õ h m số f(t) ỗng bián trản R. Hằ phữỡng trẳnh cõ thº ữủc viát th nh8<:f(x) = yf(y) = z f(z) = x Khổng mĐt tờng quĂt, giÊ sỷ x = minfx; y; zg. Khi õ ta cõ x  y suy ra f(x)  f(y) hay y  z. Tứ õ f(y)  f(z) hay z  x. Tõm lÔi x  y  z  x. Suy ra x = y = z. X²t phữỡng trẳnh x3+3x3+ln(x2x+1) = x, x3+2x3+ln(x2x+1) = 0 Phữỡng trẳnh õ cõ mởt nghiằm l  x = 1. M  h m số h(x) = x3 + 2x 3 + ln(x2 x + 1) ỗng bián trản R nản x = 1 l  nghiằm duy nhĐt cừa phữỡng trẳnh. Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt x = y = z = 1. DÔng 2 : X²t hằ phữỡng trẳnh cõ dÔng (vợi n l´)8>>>>>>>: f(x1) = g(x2) f(x2) = g(x3) ::: f(xn1) = g(xn) f(xn) = g(x1) Náu h m số f nghàch bián trản têp A, g ỗng bián trản A v  (x1; x2; :::;xn) l  nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh vợi xi 2 A thẳ x1 = x2 = ::: = xn. º chựng minh kh¯ng ành trản, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ x1 = minfx1;x2; :::; xng. Ta cõ x1  x2 suy ra f(x1)  f(x2) hay g(x2)  g(x1). Tứ õ x2  x3,... Tiáp tửc nhữ vêy ta s³ thu ữủc f(xn)  f(x1) hay g(x1)  g(x2), suy ra x1  x2. Chựng tọ x1 = x2. Tõm lÔi tứ quĂ trẳnh trản ta suy ra ữủc x1 = x2 = ::: = xn. B i toĂn 1.4. GiÊi hằ phữỡng trẳnh 6 8>>>>>>>>>: 1 4 2x3+x2 = y1 4 2y3+y2 = z1 4 2z3+z2 = x Lới giÊi Nhên thĐy vá trĂi cừa cĂc phữỡng trẳnh trong hằ ãu dữỡng nản hằ ch¿ cõ nghiằm x; y; z > 0. X²t h m số f(t) = (14)2t 3+t2. Ta cõ f 0(t) = (2 ln 4)(3t2 + t) 1 4 2t3+t2 0. Do õ h m số f(t) nghàch bián trản khoÊng (0;+1). Khổng mĐt tờng quĂt, giÊ sỷ x = minfx; y; zg. Khi õ x  y suy ra f(x)  f(y) hay y  z. Tứ õ suy ra f(y)  f(z) hay z  x. Do õ x = z. Suy ra f(x) = f(z), nản y = x. Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt x = y = z = 1 2 . DÔng 3 X²t hằ phữỡng trẳnh cõ dÔng (vợi n chđn)8>>>>>>>: f(x1) = g(x2) f(x2) = g(x3) ::: f(xn1) = g(xn) f(xn) = g(x1) Náu h m số f nghàch bián trản têp A, g ỗng bián trản A v  (x1;x2; :::;xn) l  nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh vợi xi 2 A; 8i = 1; 2; :::; n thẳ x1 = x3 = ::: = xn1 x2 = x4 = ::: = xn º chựng minh kh¯ng ành trản, ta giÊ sỷ x1 = minfx1; x2; :::;xng. Ta cõ x1  x3 suy ra f(x1)  f(x3) hay g(x2)  g(x4). Suy ra x2  x4. Do õ f(x2)  f(x4), suy ra g(x3)  g(x5). Do õ x3  x5 ... Tiáp tửc quĂ trẳnh, án f(xn2)  f(xn), suy ra g(xn1)  g(x1). Do õ xn1  x1. Suy ra f(xn1)  f(x1) hay g(xn)  g(x2), tứ õ xn  x2. Tõm lÔi ta cõ 7 + x1  x3  :::  xn1  x1, suy ra x1 = x3 = ::: = xn1; + x2  x4  :::  xn  x2, suy ra x2 = x4 = ::: = xn. B i toĂn 1.5. GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau8>>>: (x 1)2 = 2y (y 1)2 = 2z (z 1)2 = 2t (t 1)2 = 2x Lới giÊi Nhên x²t vá trĂi cừa cĂc phữỡng trẳnh trong hằ ãu khổng Ơm nản hằ ch¿ cõ nghiằm x; y; z; t  0. X²t h m số f(s) = (s 1)2. Ta cõ f 0(s) = 2(s 1). Do õ h m số f ỗng bián trản khoÊng (1;+1) v  nghàch bián trản [0; 1]. Khổng mĐt tờng quĂt, giÊ sỷ x = minfx; y; z; tg. + Náu x 2 (1;+1) thẳ x; y; z; t 2 (1;+1), nản theo dÔng 1 ð trản ta vứa x²t, hằ s³ cõ nghiằm duy nhĐt x = y = z = t = 2 + p 3. + Náu s 2 [0; 1] thẳ do tẵnh liản tửc v  nghàch bián trản khoÊng n y cừa h m f nản 0  f(x)  1 , 0  2y  1, tứ õ cụng cõ y 2 [0; 1]. Tữỡng tỹ cụng cõ z; t 2 [0; 1]. Vợi x; y; z; t 2 [0; 1], ta cõ x  y suy ra f(x)  f(y) hay y  z. Tứ õ suy ra f(y)  f(z) hay z  x. Suy ra x = z, v  f(x) = f(z). Do õ y = t Hằ phữỡng trẳnh trð th nh (x 1)2 = 2y (y 1)2 = 2x , x = y = 2 +p3 ho°c x = y = 2p3 Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ hai nghiằm x = y = z = t = 2 p3;x = y = z = t = 2 + p 3 Sau Ơy ta x²t mởt số hằ phữỡng trẳnh dÔng hoĂn và vỏng quanh vợi hai ân số m  trong chữỡng trẳnh phờ thổng cỏn gồi l  hằ phữỡng trẳnh ối xựng loÔi hai v  cụng cõ cĂch giÊi °c trững riảng l  trứ tứng vá hai phữỡng trẳnh º tÔo nhƠn tỷ chung x y. B i toĂn 1.6. GiÊi hằ phữỡng trẳnh x3 + 4x = y + 4(1) y3 + 4y = x+ 4 Lới giÊi. 8 Trứ tứng vá hai phữỡng trẳnh ta thu ữủc (x y)(x2 + y2 + xy) + 4(x y) = (x y) , (x y)(x2 + y2 + xy + 5) = 0 Vẳ x2 + y2 + xy + 5 = (x+ y 2 )2 + 3 4 y2 + 5 > 0 vợi mồi x; y nản suy ra x y = 0 hay y = x, thá v o (1) ta cõ x3 + 4x = x+ 4 , x3 + 3x 4 = 0 , (x 1)(x2 + x+ 4) = 0 , x = 1 Vêy hằ cõ mởt nghiằm duy nhĐt l  x = y = 1. 1.4 Hằ phữỡng trẳnh ¯ng cĐp Hằ phữỡng trẳnh Ôi số ¯ng cĐp bêc hai theo x; y. DÔng tờng quĂt ax2 + bxy + cy2 = d a0x2 + b0xy + c0y2 = d0 Phữỡng phĂp tờng quĂt * X²t x = 0. Thay v o hằ náu tẳm ữủc y thọa mÂn thẳ hằ cõ nghiằm khổng thẳ vổ nghiằm trong trong trữớng hủp n y. * X²t x 6= 0 - Náu cõ mởt trong hai d ho°c d0 bơng 0, nhữ d = 0 thẳ ta chia cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh thự nhĐt cho x2, tứ õ thu ữủc phữỡng trẳnh cõ dÔng A y x 2 +B y x + C = 0 GiÊi phữỡng trẳnh n y tẳm ữủc t¿ số y x , tứ õ rút y ữủc theo x , lÔi thay v o phữỡng trẳnh thự hai thẳ tẳm ữủc y, tứ õ thu ữủc x. - Náu cÊ d v  d0 ãu khĂc 0 thẳ ta cụng cõ thº tÔo ra mởt phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt (hằ số tỹ do bơng 0) ữủc bơng cĂch nhƠn cÊ hai vá cừa tứng phữỡng trẳnh vợi hằ số phử tữỡng ựng cừa d v  d0 rỗi lÔi trứ tứng vá cĂc phữỡng trẳnh thu ữủc. Tiáp õ ta lÔi l m ho n to n tữỡng tỹ nhữ trản. B i toĂn 1.7. GiÊi hằ phữỡng trẳnh x2 2xy 3y2 = 0(1) xjxj+ yjyj = 2(2) 9 Lới giÊi. - Náu y = 0, thẳ theo (1) ta cõ x = 0, những thay x = y = 0 v o (2) thẳ vổ lỵ, do õ y = 0 khổng thọa mÂn. - Náu y 6= 0, chia cÊ hai vá phữỡng trẳnh (1) cho y2 ta ữủcx y 2 2x y 3 = 0 Tứ õ ta cõ hai trữớng hủp sau: TH1 x y = 1 hay x = y, thá v o phữỡng trẳnh (2) ta cõ yjyj+ yjyj = 2, 0 = 2 (VN). TH2 x y = 3 hay x = 3y, thả v o phữỡng trẳnh (2) ta cõ 3yj3yj+ yjyj = 2, 10yjyj = 2, yjyj = 1 5 (3) + Náu y > 0 thẳ jyj = y, thay v o (3) vổ nghiằm. + Náu y < 0 thẳ jyj = y, thay v o (3) ữủc y2 = 1 5 . Tứ Ơy ta giÊi ữủc hai nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh l  3p 5 ; 1p 5  ;  3p 5 ; 1p 5  . 10 Chữỡng 2 MậT Sẩ PHìèNG PHP GIƒI H› PHìèNG TRœNH 2.1 Phữỡng phĂp thá B i toĂn 2.1 (ã thi Ôi hồc khối D nôm 2008). GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau xy + x+ y = x2 2y2 (1) x p 2y ypx 1 = 2x 2y (2) Lới giÊi. iãu kiằn: x > 1; y > 0. (1), xy + y2 + x+ y + y2 x2 = 0, y(x+ y) + (x+ y) + (x+ y)(y x) = 0 , (x+ y)(2y x+ 1) = 0. - TH1: y = x. Vẳ y > 0 nản x 6 0, loÔi. - TH2: x = 2y + 1, thay v o (2) ta ữủc: (2y + 1) p 2y yp2y = 2y + 2, (y + 1)(p2y 2) = 0, y = 2 (vẳ y > 0). Tứ õ ta tẳm ữủc nghiằm cừa hằ l  (5; 2). 2.2 Phữỡng phĂp °t ân phử Cõ nhỳng b i toĂn cƯn phÊi °t ân phử º viằc giÊi quyát b i toĂn trð nản dạ d ng hỡn (thữớng l  khi thĐy trong hằ phữỡng trẳnh xuĐt hiằn cửm ân n o õ ữủc l°p lÔi). Sau Ơy l  mởt số b i toĂn minh hồa cho phữỡng phĂp n y. B i toĂn 2.2. GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau 11  x2 + 1 + y(y + x) = 4y (1) (x2 + 1)(y + x 2) = y Lới giÊi. Hằ phữỡng trẳnh tữỡng ữỡng vợi: x2 + 1 + y(y + x 2) = 2y (x2 + 1)(y + x 2) = y °t  u = x2 + 1 v = y + x 2 , (u > 1), khi õ hằ trð th nh u+ yv = 2y uv = y ,  u = 2y yv (2) (2y yv)v = y (3) (3), yv2 2yv + y = 0, y(v2 2v + 1) = 0, y(v 1)2 - Náu y = 0, thá v o (2) thẳ u = 0 khổng thọa mÂn. - Náu v = 1, ta cõ y = 3 x, thá v o (1) ta ữủc x2 + 1 + (3 x):3 = 4(3 x), x2 + x 2 = 0. Tứ õ ta tẳm ữủc hai nghiằm (1; 2); (2; 5) 2.3 Phữỡng phĂp sỷ dửng tẵnh ỡn iằu cừa h m số Mởt số hằ phữỡng trẳnh cõ thº giÊi bơng phữỡng phĂp h m số. º nhên biát cõ thº giÊi bơng phữỡng phĂp n y khổng ta chú ỵ hai tẵnh chĐt sau: - Tẵnh chĐt 1: GiÊ sỷ h m số y = f(x) ỗng bián (ho°c nghàch bián) trản khoÊng (a; b). Khi õ ta cõ f(u) = f(v), u = v (vợi u; v 2 (a; b)). - Tẵnh chĐt 2: Náu h m số y = f(x) tông trản (a; b) v  y = g(x) l  h m hơng ho°c l  mởt h m số giÊm trản (a; b) thẳ phữỡng trẳnh f(x) = g(x) cõ nhiãu nhĐt mởt nghiằm trong khoÊng (a; b). B i toĂn 2.3. GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau x3 5x = y3 5y (1) x8 + y4 = 1 (2) Lới giÊi. Tứ phữỡng trẳnh (2) ta suy ra jxj > 1; jyj > 1. 12 Ta x²t h m số f(t) = t3 5t trản [1; 1]. Ta cõ f 0(t) = 3t2 5 < 0;8t 2 [1; 1]. Do õ h m số nghàch bián trản [1; 1]. M  theo (1) thẳ f(x) = f(y), do õ suy ra x = y. Tứ Đy thay y = x v o phữỡng trẳnh (2) ta cõ x8 + x4 = 1, x8 + x4 1 = 0 , x4 = 1 + p 5 2 , x =  4 s 1 +p5 2 . Tứ õ tẳm ữủc hai nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh l  ( 4 s 1 +p5 2 ; 4 s 1 +p5 2 ); ( 4 s 1 +p5 2 ; 4 s 1 +p5 2 ). 2.4 Phữỡng phĂp sỷ dửng bĐt ¯ng thực B i toĂn 2.4. GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau x6 + y8 + z10 = 1 (1) x2013 + y2015 + z2017 = 1 (2) Lới giÊi. Tứ (1) ta cõ 1 6 x; y; z 6 1. Tứ õ ta cõ x6 x2013 = x6(1 x2007) > 0 , x6 > x2013, ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi x = 0 ho°c jxj = 1 y8 y2015 = y8(1 y2007) > 0 , y8 > y2015, ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi y = 0 ho°c jyj = 1 z10 z2017 = z10(1 z2007) > 0 , z10 > z2017, ¯ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi z = 0 ho°c jzj = 1. Cởng tứng vá cĂc bĐt ¯ng thực trản ta suy ra 1 = x6 + y8 + z10 > x2013 + y2015 + z2017 = 1 Do õ dĐu ¯ng thực phÊi xÊy ra, tực l 8<:x 6(1 x2007) = 0 y8(1 y2007) = 0 z10(1 z2007) = 0 Kát hủp vợi (1); (2) ta thu ữủc cĂc nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh l  (x; y; z) = (1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1). 13 2.5 Phối hủp nhiãu phữỡng phĂp B i toĂn 2.5. GiÊi hằ phữỡng trẳnh sau 5x2 4xy2 + 3y3 2(x+ y) = 0 (1) xy(x2 + y2) + 2 = (x+ y)2 (2) Lới giÊi. Ta bián ời phữỡng trẳnh (2) (2), xy(x2 + y2) + 2 = x2 + y2 + 2xy , (x2 + y2)(xy 1) 2(xy 1) = 0 , (xy 1)(x2 + y2 2) = 0. TH1: xy = 1, vẳ y 6= 0 nản thá x = 1 y v o (1), ta ữủc 5 y 4y + 3y3 2 1 y + y  = 0 , 3y4 6y2 + 3 = 0 , y2 = 1 , y = 1 ho°c y = 1. Tứ õ ta tẳm ữủc hai nghiằm cừa hằ: (1; 1); (1;1). TH2: x2 + y2 = 2, thá 2 = x2 + y2 v o phữỡng trẳnh (1) ta ữủc: 5x2y 4xy2 + 3y3 (x+ y)(x2 + y2) = 0 , 4x2y 5xy2 x3 + 2y3 = 0. - Náu y = 0 thẳ x2 = 2, những thá v o (1) lÔi khổng thoÊ mÂn. - Náu y 6= 0, ta chia hai vá cừa phữỡng trẳnh cho y3 thẳ ữủc 4 x y 2 5 x y  x y 3 + 2 = 0 , x y 3 4 x y 2 + 5 x y 2 = 0. °t x y = t, ta cõ phữỡng trẳnh t3 4t2 + 5t 2 = 0 , (t 1)2(t 2) = 0 , t = 1 ho°c t = 2. + Vợi t = 1, y = x, do õ 2x2 = 2,, ta lÔi giÊi ữủc nghiằm (1; 1); (1;1). + Vợi t = 2, x = 2y, suy ra 5y2 = 2, y = p 10 5 ho°c y = p 10 5 : Tứ õ hằ cõ thảm hai nghiằm p10 5 ; 2 p 10 5  v  p10 5 ;2 p 10 5  . 14 Vêy hằ cõ bốn nghiằm: (1; 1); (1;1); p10 5 ; 2 p 10 5  v  p10 5 ;2 p 10 5  . 15 Chữỡng 3 H› B‡T PHìèNG TRœNH „I Sẩ 3.1 Phữỡng phĂp tham số hõa giÊi hằ bĐt phữỡng trẳnh B i toĂn 3.1. GiÊi hằ  x+ y  1 x2 + y2 + xy = 1 Lới giÊi. Viát hằ  cho dữợi dÔng x+ y = 1 a; a  0 x2 + y2 + xy = 1 ,  x+ y = 1 a (x+ y)2 xy = 1 ,  x+ y = 1 a xy = (1 a2) 1 . iãu kiằn ối vợi a :
= (1 a)2 4[(1 a)2 1]  0 , ( a  0 (a 1)2  4 3 , 0  a  1 + 2p 3 (3.1) Vợi iãu kiằn (3.1) thẳ ta cõ nghiằm" x = a 1p4 3(1 a)2 2 ; y = a 1 +p4 3(1 a)2 2 x = a 1 +p4 3(1 a)2 2 ; y = a 1p4 3(1 a)2 2 16 3.2 Hằ phữỡng trẳnh v  bĐt phữỡng trẳnh mởt ân Sau Ơy ta s³ ữa ra mởt số b i toĂn liản quan án hằ phữỡng trẳnh v  bĐt phữỡng trẳnh mởt ân. B i toĂn 3.2. XĂc ành cĂc giĂ trà m º hằ sau cõ nghiằm duy nhĐt x+ y  m x4 + y4  m+ x2y2 Lới giÊi. Vẳ vai trỏ cừa x v  y bẳnh ¯ng, nản náu (x; y) = (; ) l  nghiằm cừa hằ thẳ (x; y) = (; ) cụng l  nghiằm. Vêy iãu kiằn cƯn º hằ cõ nghiằm duy nhĐt l   = : Thá v o hằ, ta ữủc(   m 2 4  m a) Náu m < 0 thẳ khổng tỗn tÔi : b) Náu m > 0 thẳ tỗn tÔi vổ số  thọa mÂn 4pm    min m 2 ; 4 p m  . c) X²t m = 0 khi õ  = 0: Hằ cõ dÔng x+ y  0 x4 + y4  x2y2 ,  x+ y  0 (x2 y2)2 + x2y2  0 , 8<:x+ y  0x2 y2 = 0 x2y2 = 0 ,  x = 0 y = 0 Kát luên: hằ cõ nghiằm duy nhĐt khi v  ch¿ khi m = 0. B i toĂn 3.3. GiÊi hằ. 8<:x 2 + 3x+ 1  y y2 + 3y + 1  z z2 + 3z + 1  x Lới giÊi. Hằ  cho tữỡng ữỡng vợi hằ8>>>: x2 + 3x+ 1  y y2 + 3y + 1  z z2 + 3z + 1  x (x2 + 3x+ 1) + (y2 + 3y + 1) + (z2 + 3z + 1)  y + z + x 17 8>>>: x2 + 3x+ 1  y y2 + 3y + 1  z z2 + 3z + 1  x (x+ 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2  0 , 8<:x = 1y = 1 z = 1 Vêy hằ cõ nghiằm duy nhĐt (x; y; z) = (1;1;1). 18 Kát luên Luên vôn  ho n th nh v  Ôt mởt số kát quÊ sau: 1. Giợi thiằu tờng quan cĂc hằ phữỡng trẳnh Ôi số cỡ bÊn vợi cĂc tẵnh chĐt v  cĂch giÊi chúng. 2. KhÊo sĂt mởt cĂch chi tiát v  hằ thống cĂc b i toĂn vã giÊi hằ phữỡng trẳnh chựa tham số v  phữỡng phĂp bĐt ¯ng thực trong giÊi hằ phữỡng trẳnh. 3. ữa ra mởt số vẵ dử Ăp dửng tứ cĂc ã thi Ôi hồc, ã thi HSG v  Olympic quốc gia v  khu vỹc. 19 T i liằu tham khÊo [1] Nguyạn Vôn Mêu (1993),Mởt số phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh v  bĐt phữỡng trẳnh, NXB GiĂo dửc. [2] Nguyạn Vôn Mêu, Nguyạn Thừy Thanh, °ng Huy Ruên (2003),Ôi số tuyán tẵnh, NXB GiĂo dửc. [3] Nguyạn Vôn Mêu, 2004, a thực Ôi số v  phƠn thực hỳu t, NXB GiĂo dửc. [4] Nguyạn Vôn Mêu (2006),BĐt ¯ng thực, ành lỵ v  Ăp dửng, NXB GiĂo Dửc. [5] Nguyạn Vôn Mêu (Chừ biản), TrƯn Nam Dụng, Nguyạn ông PhĐt, Trành  o Chián (2007) Chuyản ã chồn lồc vã a thực v  Ăp dửng, NXB GiĂo dửc. [6] TrƯn Nam Dụng (Chừ biản), (2010) Phữỡng trẳnh v  hỡn thá nỳa, NXB HQG Tp HCM. 20