Luận án Rèn luyện kĩ năng dạy học tích hợp cho giáo viên môn toán ở trường trung học phổ thông

RƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và hƣơng pháp dạy học bộ môn Mã số: 9.14.01.11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ K O ỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. PHẠM ĐỨC QUANG 2. PGS.TS. NGUYỄ T Ƣ G HÀ NỘI – 2021 i LỜ C M ĐO Tôi xin cam đoan Luận án tiến sĩ “Rèn luyện kĩ năng dạy học tích hợp cho giáo viên môn Toán ở trường Trung học phổ thông” là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của PGS.TS. Phạm Đức Quang và PGS.TS. Nguyễn Thanh Hƣng tại Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam. Những kết quả nghiên cứu đã nêu trong Luận án là trung thực, chƣa từng đƣợc công bố trong bất kì công trình nghiên cứu nào. Các kết quả công bố chung đã đƣợc đồng tác giả cho phép sử dụng đƣa vào luận án. Tác giả Phan Bá Lê Hiền ii LỜI CẢM Ơ Lời đầu tiên, em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Phạm Đức Quang và PGS.TS. Nguyễn Thanh ƣng, hai Thầy giáo đã tận tình hƣớng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận án. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy cô giáo, các nhà Khoa học trong và ngoài Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quí báu giúp tác giả hoàn thành luận án. Tác giả xin cảm ơn sự giúp đỡ từ Ban Giám đốc, Phòng Trung học Sở Giáo dục và Đào tạo Đắk Lắk, Ban Giám hiệu, Tổ Toán học, các Thầy cô giáo Trƣờng THPT Lê Duẩn và các trƣờng THPT trên địa bàn tỉnh Đắk Lắk, Đắk Nông, Gia Lai, Kon Tum đã giúp tác giả khảo sát và thực nghiệm luận án. Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành luận án này. Vì nhiều lí do khác nhau nên luận án chắc chắn không tránh khỏi các thiếu sót. Tác giả rất mong muốn nhận đƣợc những ý kiến góp ý, phê bình từ các nhà khoa học và các đồng nghiệp, để công trình của tôi ngày càng đáp ứng tốt hơn thực tiễn giáo dục nƣớc nhà. Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2021 Tác giả Phan Bá Lê Hiền iii MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... ii DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT ....................................................... vi DANH MỤC CÁC BẢNG.............................................................................. vii DANH MỤC BIỂU ĐỒ - HÌNH .................................................................... viii MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1 2. Mục tiêu nghiên cứu ...................................................................................... 3 3. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu ............................................... 4 4. Giả thuyết khoa học ...................................................................................... 4 5. Nội dung, nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................... 4 6. Những đóng góp mới của luận án ................................................................. 4 7. Những vấn đề đƣa ra bảo vệ ......................................................................... 5 8. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................... 5 9. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 6 10. Cấu trúc của luận án .................................................................................... 6 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN RÈN LUYỆN KĨ NĂNG DẠY HỌC TÍCH HỢP MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ...................... 7 1.1. Một số khái niệm, thuật ngữ liên quan ....................................................... 7 1.1.1. Về kĩ năng ........................................................................................... 7 1.1.2. Về tích hợp và dạy học tích hợp ....................................................... 16 1.2. Tổng quan về các nghiên cứu liên quan đến đề tài .................................. 24 1.2.1. Một số nghiên cứu về dạy học tích hợp ............................................ 24 1.2.2. Một số nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng dạy học ............................. 30 1.3. Đề xuất các nhóm kĩ năng dạy học tích hợp môn Toán ở THPT ............ 36 1.4. Kết luận chƣơng I ..................................................................................... 39 iv Chƣơng 2: TÌM HIỂU THỰC TRẠNG VỀ KĨ NĂNG DẠY HỌC TÍCH HỢP MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG THPT ......................................................... 41 2.1. Mục đích khảo sát .................................................................................... 41 2.2. Đối tƣợng và công cụ khảo sát ................................................................. 41 2.3. Nội dung khảo sát đối với giáo viên dạy môn Toán ............................... 42 2.4. Phƣơng pháp khảo sát .............................................................................. 42 2.5. Kết quả khảo sát và phân tích .................................................................. 42 2.5.1. Theo phiếu hỏi................................................................................... 42 2.5.2. Theo phỏng vấn sâu .......................................................................... 49 2.6. Kết luận chƣơng 2 .................................................................................... 56 Chƣơng 3: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG DẠY HỌC THEO HƢỚNG TÍCH HỢP CHO GIÁO VIÊN TOÁN Ở TRƢỜNG THPT........... 58 3.1. Định hƣớng đề xuất các biện pháp ........................................................... 58 3.1.1. Đáp ứng đƣợc mục tiêu dạy học Toán ở trƣờng THPT .................... 58 3.1.2. Đảm bảo tính thống nhất giữa lí thuyết và thực hành ....................... 58 3.1.3. Các biện pháp đƣa ra phải có tính khả thi và hiệu quả trong điều kiện chƣơng trình các môn học, cũng nhƣ cơ sở vật chất của trƣờng ........ 58 3.2. Các biện pháp sƣ phạm nhằm rèn luyện cho giáo viên môn Toán ở trƣờng THPT kĩ năng dạy học theo hƣớng tích hợp ....................................... 59 3.2.1. Biện pháp 1: Giúp giáo viên hiểu về dạy học tích hợp, nhất là kĩ năng DHTH, thông qua tự học, tự rèn luyện là chính ................................. 59 3.2.2. Biện pháp 2: Rèn kĩ năng thiết kế chủ đề tích hợp ........................... 64 3.2.3. Biện pháp 3: Rèn kĩ năng tổ chức dạy học tích hợp môn Toán thông qua hình thức trải nghiệm ................................................................. 80 3.2.4. Biện pháp 4: Rèn kĩ năng nghiên cứu chủ đề/bài học tích hợp qua sinh hoạt tổ chuyên môn theo hƣớng nghiên cứu bài học .......................... 97 3.3. Kết luận chƣơng 3 .................................................................................. 100 v Chƣơng 4: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ...................................................... 102 4.1. Mục đích, yêu cầu thực nghiệm ............................................................. 102 4.2. Đối tƣợng thực nghiệm .......................................................................... 102 4.4. Cách thức thực hiện ................................................................................ 102 4.4.1 Thực nghiệm 1 ................................................................................. 102 4.4.2. Thực nghiệm 2 ................................................................................ 105 4.5. Cách thức đánh giá ................................................................................. 113 4.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm ............................................................... 115 4.6.1. Đánh giá định tính ........................................................................... 115 4.6.2. Đánh giá định lƣợng ........................................................................ 115 4.7. Kết luận chƣơng 4 .................................................................................. 119 KẾT LUẬN ................................................................................................... 121 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN ĐÃ CÔNG BỐ ........................................................................... 122 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 123 PHỤ LỤC vi DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT Số thứ tự Viết tắt Viết đầy đủ 1 BP Biện pháp 2 CSC Cấp số cộng 3 CSN Cấp số nhân 4 CBQL Cán bộ quản lí 5 CĐ Chủ đề 6 DH Dạy học 7 DHTH Dạy học tích hợp 8 GD Giáo dục 9 GV Giáo viên 10 HĐTN Hoạt động trải nghiệm 11 HS Học sinh 12 KN Kĩ năng 13 MĐ Mô-đun 14 NCS Nghiên cứu sinh 15 SGK Sách giáo khoa 16 SP Sƣ phạm 17 TH Tích hợp 18 THPT Trung học phổ thông 19 TN Thực nghiệm 20 TNSP Thực nghiệm sƣ phạm vii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Các KNDH môn Toán THPT ......................................................... 16 Bảng 1.2. Khác biệt cơ bản giữa mục tiêu DHTH và DH một môn ............... 21 Bảng 1.3. Các KN DH của B.K. Passi ............................................................ 33 Bảng 1.4. Các kĩ năng giảng dạy của Hoa Kỳ ................................................ 34 Bảng 1.5. Các KN DH của khối EU ............................................................... 35 Bảng 1.6. Các KNDHTH môn Toán THPT .................................................... 39 Bảng 2.1. Kết quả khảo sát về các KN DHTH môn Toán .............................. 43 Bảng 2.2. Phỏng vấn CBQL về công tác triển khai, khó khăn của GV về DHTH trong nhà trƣờng THPT ....................................................................... 53 Bảng 2.3. Phỏng vấn giáo viên giảng dạy về DHTH môn Toán trong nhà trƣờng THPT ................................................................................................... 56 Bảng 3.1. Thống kê số lƣợng hoạt động thực hành, ví dụ và bài tập chứa .... 62 Bảng 3.2. Thống kê số lƣợng hoạt động gợi động cơ vào vấn đề mới chứa .. 62 nội dung tích hợp trong SGK hiện hành ......................................................... 62 Bảng 3.3. Mối liên hệ giữa véc tơ và Vật lí trong CTPT hiện hành ............... 64 Bảng 3.4. Định hƣớng xây dựng và tổ chức dạy học chủ đề CSC và CSN .... 66 Bảng 3.6. Liệt kê cuộc mua bán kì lạ của nhà toán học và tên trọc phú ......... 75 Bảng 3.7. Công cụ đánh giá học sinh .............................................................. 80 Bảng 3.8. Mô tả hoạt động bồi dƣỡng trải nghiệm DHTH môn Toán ........... 83 Bảng 3.9. Các bƣớc thực hiện CĐ TH ............................................................ 85 Bảng 3.10. Các bƣớc thực hiện nghiên cứu bài học/CĐ TH ........................ 100 Bảng 4.1. Thống kê tính hiệu quả của đợt tập huấn...................................... 104 Bảng 4.2. Qui trình tổ chức hoạt động DH CĐ TH ...................................... 106 Bảng 4.3. Quá trình giảng dạy CĐ thống kê và sức khỏe ............................. 111 Bảng 4.4. Thang đánh giá về KN DHTH ...................................................... 115 Bảng 4.5. Số lƣợng các KN DHTH đƣợc rèn luyện ..................................... 115 Bảng 4.6. Kết quả khảo sát KN DHTH trƣớc và sau TN ............................. 117 viii DANH MỤC BIỂU ĐỒ - HÌNH Biểu đồ 2.1. Các mức độ cần thiết về sử dụng KNDHTH Toán ........................ 44 Biểu đồ 2.2. Những biện pháp rèn luyện mà GV đã lựa chọn để hình thành các kĩ năng DHTH môn Toán ở trƣờng THPT ............................................... 46 Biểu đồ 2.3. Nội dung có nhiều cơ hội để dạy học tích hợp, liên môn với môn Toán ở THPT ................................................................................................... 48 Biểu đồ 2.4. Mức độ thực hiện KN DH TH của GV Toán ............................. 49 Biểu đồ 4.1. Tính hiệu quả của đợt tập huấn ................................................ 104 Biểu đồ 4.2. Chỉ số BMI cho ngƣời dƣới 20 tuổi ......................................... 108 Biểu đồ 4.3. Số lƣợng các KN đƣợc rèn luyện thông qua các chủ đề .......... 116 Biểu đồ 4.4. Kết quả đạt đƣợc trƣớc và sau TNSP ....................................... 117 Biểu đồ 4.5. Giá trị trung bình đạt đƣợc trƣớc và sau TNSP ........................ 119 Hình 1.1. Các giai đoạn hình thành kĩ năng ...................................................... 9 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong suốt chiều dài lịch sử nhân loại cho thấy quá trình phát sinh, phát triển của Toán học luôn gắn với thực tiễn, gắn với sự phát triển của các lĩnh vực khoa học khác. Sự tác động lẫn nhau giúp cho Toán học và các khoa học khác luôn phát triển song hành, bổ trợ cho nhau để hoàn thiện. Hơn nữa, do Toán học bắt nguồn từ thực tế nên kết quả nghiên cứu đƣợc luôn hƣớng vào giúp giải quyết các vấn đề nảy sinh từ thực tế để ngày càng phát triển rực rỡ hơn. Theo hƣớng này, Chƣơng trình Giáo dục phổ thông 2018 đã xác định: “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi là: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn. Giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với các môn học khác và giữa Toán học với đời sống thực tiễn. Giáo dục toán học được thực hiện ở nhiều môn học như Toán, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ, Tin học, Hoạt động trải nghiệm, ... trong đó Toán là môn học cốt lõi” [8]. Thông tƣ số 20/2018/TT-BGDĐT, ngày 22 tháng 8 năm 2018, của Bộ trƣởng Bộ Giáo dục và Đào tạo, quy định chuẩn GV cơ sở giáo dục phổ thông, kh ng định r : “ ác ti u chuẩn trong chuẩn nghề nghiệp V trung học thể hiện như các nấc thang nghề mà m i V phải phấn đấu li n tục trong suốt sự nghiệp của m nh”. Để đáp ứng đƣợc chuẩn nghề nghiệp mỗi GV luôn xác định trau dồi kiến thức và rèn luyện KN nghề nghiệp không ngừng, góp phần nâng cao chất lƣợng giáo dục. Để đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục nƣớc nhà, GV Toán cần biết dạy học tích hợp. Theo đó, các kĩ năng dạy học tích hợp môn Toán là cần thiết với mỗi GV. 2 Để rèn luyện KN DHTH môn Toán ở trƣờng THPT cần xác định r các KN DH nói chung và các KN dạy học tích hợp nói riêng (theo đặc trƣng). Dựa vào đó xác định những KN nào ph hợp, hay chƣa ph hợp với DH TH để rồi tìm cách rèn luyện cho GV Toán ở trƣờng THPT, sao cho các KN này ngày càng tốt hơn. Thực tiễn dạy học cho thấy, trong mỗi bài giảng GV chủ yếu vẫn hƣớng vào truyền thụ cho đƣợc các nội dung, hay đơn vị kiến thức đề cập trong chƣơng trình môn Toán, chƣa có nhiều điều kiện để bổ sung nội dung TH, liên môn, vì thế làm cho các em chƣa thực sự thích thú, đam mê môn Toán. Để tiếp cận và triển khai tốt DHTH GV phải có sự chuẩn bị kĩ căng, biết thiết kế các bài giảng mang tính TH, kích thích năng lực tự học, sáng tạo của HS. Thế kỉ 21, theo xu hƣớng chung, GD mang tính mở, DHTH đƣợc xem là con đƣờng giúp ngƣời học phát triển kiến thức, KN, khuyến khích tìm tòi, hiện thực hoá những lí thuyết đã học trong quá trình trải nghiệm, khám phá và tạo ra những sản phẩm cho chính mình. Xu thế phát triển của khoa học ngày nay là tiếp tục phân hoá sâu, song song với TH ngày càng rộng. Theo đó, chƣơng trình GDPT 2018 đã tiếp cận theo hƣớng “Tích hợp sâu ở cấp Tiểu học, Trung học cơ sở giảm dần, tiến tới phân hóa sâu và định hướng nghề nghiệp ở cấp Trung học phổ thông” [8]. DH các môn học trong nhà trƣờng phải phản ánh sự phát triển mạnh mẽ, hiện đại của khoa học công nghệ. Do đó, không thể DH các môn học nhƣ là những lĩnh vực tri thức riêng lẻ. Hơn nữa, nhƣ đã nói ở trên, khối lƣợng tri thức khoa học ngày càng gia tăng nhanh chóng trong khi đó thời gian học tập của học sinh ở trong nhà trƣờng có hạn. Vì thế, một trong những cách khắc phục là chuyển từ dạy các môn học riêng lẻ sang dạy các môn học TH. Trong thực tiễn DH, năng lực DHTH của GV THPT còn nhiều hạn chế, không những về nội dung kiến thức TH mà còn cả về cách tổ chức quá trình DH, vì đa phần GV đƣợc đào tạo để DH đơn môn và việc thiết kế một CĐ TH 3 hay bài học TH cần rất nhiều thời gian và công sức, nguồn lực của GV. Các nguyên nhân về tài chính, thời gian, hay công sức có thể khắc phục dễ dàng. Tuy nhiên, nguyên nhân quan trọng nhất là sự hiểu biết sâu- rộng về mặt lí luận DHTH của GV còn hạn chế, nên chƣa lựa chọn phƣơng pháp DH và nội dung TH tốt, phù hợp. Để khắc phục những khó khăn đó, theo chúng tôi, cần có thêm các nghiên cứu để làm r hơn lí luận về DHTH, xác định các KN cơ bản cũng nhƣ đề xuất các biện pháp sƣ phạm để giúp đỡ GV THPT trong quá trình DH Toán học. Thực trạng DHTH của GV Toán THPT hiện nay còn nhiều hạn chế, chƣa quan tâm đúng mức tới việc thực hiện DH các CĐ, bài học TH (Phụ lục 4), đặc biệt, về các KN DHTH của GV chƣa đáp ứng đƣợc yêu cầu DHTH trong giai đoạn này. Do đó, đổi mới công tác bồi dƣỡng GV Toán THPT để GV nắm đƣợc lí luận về DHTH và các KN để DHTH là rất cấp thiết. Nhằm nâng cao chất lƣợng đội ngũ nhà giáo, đảm bảo sự thành công của việc đổi mới căn bản toàn diện nền giáo dục Việt Nam trong giai đoạn mới. Đến nay, đã có một số nghiên cứu về DHTH và đề cập đến KN DH, ch ng hạn, luận án tiến sĩ của Nguyễn Thế Sơn. Trong luận án này tác giả đã đề xuất đƣợc quy trình thiết kế CĐ TH trong môn Toán nhƣng chƣa có điều kiện đi sâu nghiên cứu hƣớng dẫn các KN liên quan đến thiết kế CĐ TH, tổ chức DH CĐ TH trên lớp, hay cách thức đánh giá học sinh sau khi DHTH môn Toán cho GV. Nhằm rèn luyện các KN DHTH môn Toán cho GV ở trƣờng THPT chúng tôi lựa chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng dạy học tích hợp cho giáo viên môn Toán ở trường Trung học phổ thông” để tiếp tục nghiên cứu. 2. Mục tiêu nghiên cứu Đề xuất đƣợc những KN cơ bản mà GV cần để thiết kế, tổ chức DHTH môn Toán và bốn biện pháp nhằm rèn luyện các KN đó, góp phần tăng cƣờng DHTH ở trƣờng THPT. 4 3. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu Khách thể nghiên cứu: Quá trình DH môn Toán của GV ở trƣờng THPT. Đối tượng nghiên cứu: KN cần thiết để có thể DH CĐ TH trong DH môn Toán ở trƣờng THPT. Phạm vi nghiên cứu: Luận án tập trung vào các KN DHTH ở trƣờng THPT đƣợc minh hoạ thông qua một số tiết học, CĐ môn Toán, theo chƣơng trình giáo dục phổ thông hiện hành. Khảo sát và TNSP chủ yếu đƣợc thực hiện ở các trƣờng THPT trên địa bàn các tỉnh Đắk Lắk, Gia Lai, Kon Tum, Đắk Nông. 4. Giả thuyết khoa học Nếu xác định đƣợc các KN cơ bản liên quan đến tổ chức DHTH môn Toán và thực hiện đƣợc các biện pháp để rèn luyện những KN đó thì GV có thể thiết kế và tổ chức DH TH môn Toán ở trƣờng THPT. 5. Nội dung, nhiệm vụ nghiên cứu Câu hỏi khoa học của luận án là: GV cần có những KN cơ bản nào để có thể thiết kế và tổ chức DH TH môn Toán ở trƣờng THPT? Để trả lời đƣợc câu hỏi này luận án cần tập trung làm rõ thêm: -Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của việc rèn luyện KN cho GV Toán ở trƣờng THPT khi DHTH. Làm rõ thêm về KN, KN DH; làm r đƣợc đặc trƣng cơ bản của DHTH; cách thức thiết kế, tổ chức DHTH. Trên cơ sở đó chọn lựa, đề xuất các nhóm KN cần thiết để GV có thể thiết kế, tổ chức DH theo hƣớng TH các CĐ;... -Nghiên cứu, đề xuất các biện pháp sƣ phạm nhằm rèn luyện các KN cơ bản để có thể thiết kế và tổ chức DH TH môn Toán ở trƣờng THPT. -Thực nghiệm sƣ phạm để bƣớc đầu kiểm nghiệm, tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. 6. Những đóng góp mới của luận án 6.1. Về mặt lí luận Làm sáng tỏ thêm về DH môn Toán ở trƣờng THPT theo hƣớng TH. 5 Đề xuất đƣợc những KN cơ bản để có thể DH môn Toán ở THPT theo hƣớng TH các CĐ. 6.2. Về mặt thực tiễn Đề xuất đƣợc các biện pháp nhằm rèn luyện các KN DHTH cho GV Toán ở trƣờng THPT. Các ví dụ và tài liệu thực nghiệm sƣ phạm trong Luận án có thể xem là tài liệu tham khảo cho GV khi DH môn Toán ở trƣờng THPT theo hƣớng TH. 7. Những vấn đề đƣa ra bảo vệ Những KN cơ bản để có thể thiết kế và tổ chức DHTH mà luận án đề xuất là cần thiết, có cơ sở khoa học và khả thi. Các biện pháp rèn luyện các KN giảng dạy theo hƣớng tăng cƣờng TH mà luận án đề xuất là cần thiết, có cơ sở khoa học và khả thi. 8. hƣơng pháp nghiên cứu 8.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về phƣơng pháp DH môn Toán, Tâm lí học, GD học, ... trong và ngoài nƣớc về các vấn đề có liên quan đến đề tài nhằm hệ thống hóa cơ sở lí luận của việc DH môn Toán theo hƣớng tăng cƣờng TH. 8.2. Điều tra, khảo sát thực tiễn - Điều tra thực trạng về KN DHTH môn Toán ở trƣờng THPT. - Xin ý kiến của các nhà giáo, cán bộ quản lí và các chuyên gia về các vấn đề liên quan. - Tiến hành giảng dạy và dự giờ một số tiết dạy môn Toán THPT theo hƣớng tích hợp. - Tìm hiểu nội dung đánh giá, tìm hiểu nội dung trong giáo án của một số GV Toán THPT và các hình thức thu thập thông tin khác. Từ đó, đƣa ra kết luận về thực trạng KN DHTH trong môn Toán ở trƣờng THPT. 8.3. Phương pháp chuyên gia Xin ý kiến các chuyên gia để làm sáng tỏ thêm những vấn đề mới và khó khi nghiên cứu đề tài luận án. 6 8.4. Phương pháp thống kê toán học Xử lí các số liệu điều tra thực trạng, các dữ liệu thu đƣợc trong TNSP. 8.5. Thực nghiệm sư phạm Tổ chức TNSP, phân tích số liệu thống kê giữa các cá nhân và giữa các nhóm, căn cứ kết quả TNSP để đánh giá tính hiệu quả và khả thi của các biện pháp đề ra. 9. Phạm vi nghiên cứu - Do khuôn khổ thời lƣợng có hạn nên luận án tập trung vào những KN cơ bản để có thể thiết kế và tổ chức DHTH môn Toán; - Nơi thực hiện luận án: Viện Khoa học GD Việt Nam, trƣờng THPT Lê Duẩn và một số trƣờng THPT của tỉnh Đắk Lắk. 10. Cấu trúc của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận án gồm 4 chƣơng: Chƣơng 1. ơ sở lí luận của việc rèn luyện kĩ năng dạy học tích hợp môn Toán ở trường THPT; Chƣơng 2. Tìm hiểu thực trạng về kĩ năng dạy học tích hợp của giáo viên toán ở trường THPT; Chƣơng 3. Biện pháp rèn luyện các kĩ năng dạy học tích hợp cho giáo viên môn Toán ở trường THPT; Chƣơng 4. Thực nghiệm sư phạm. 7 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN RÈN LUYỆN KĨ Ă G DẠY HỌC TÍCH HỢP MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 1.1. Một số khái niệm, thuật ngữ liên quan 1.1.1. Về kĩ năng 1.1.1.1. Kĩ năng, kĩ năng nghề nghiệp Có nhiều cách định nghĩa về KN, tùy vào cách tiếp cận. Theo Từ điển tiếng Việt: “KN là khả năng vận dụng những kiến thức đã thu nhận đƣợc trong một lĩnh vực nào đó áp dụng vào thực tế” [46]. Theo Từ điển Oxfort [75], “KN là khả năng để làm tốt một công việc nào đó thƣờng có đƣợc qua đào tạo hoặc kinh nghiệm. Theo đó, KN đƣợc hiểu là sự thành thạo, tinh thông về các thao tác, động tác trong quá trình hoàn thành một công việc cụ thể nào đó”. Theo Từ điển Giáo dục học [24], KN đƣợc phân chia thành 2 bậc: KN bậc thấp và KN bậc cao. KN bậc thấp là khả năng thực hiện đúng hành động, ph hợp với những mục tiêu và điều kiện cụ thể. Ở bậc này có những KN hình thành không cần tập luyện, nếu tận dụng hiểu biết tốt và KN tƣơng tự đã có để chuyển sang các hành động mới. KN bậc cao là khả năng thực hiện hành động, hoạt động một cách thành thạo linh hoạt, sáng tạo ph hợp với những mục tiêu trong những điều kiện khác nhau. Để đạt tới KN này cần trải qua giai đoạn luyện tập các KN đơn giản, sao cho mỗi khi hành động, ngƣời ta không còn bận tâm nhiều đến thao tác nữa vì nhiều thao tác đã tự động hóa. Trong [31], tác giả Lê Văn Hồng và các cộng sự đã nhìn nhận dƣới góc độ tâm lí cho rằng: KN là khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết một nhiệm vụ. Theo tác giả Đặng Thành Hƣng [36], KN là dạng hành động tự giác, đƣợc thực hiện có kĩ thuật, dựa và những điều kiện sinh học, tâm lí và xã hội ở cá nhân và có kết quả nhất định đáp ứng mục tiêu hay chuẩn đã định trƣớc. Có kĩ thuật tức là không t y tiện, mà tuân theo trình tự, qui tắc và yêu cầu kĩ thuật. 8 Luật Phát triển KN nghề nghiệp của Malayxia [71] có ghi: KN đƣợc hiểu là có thể học và rèn luyện đƣợc để giúp con ngƣời thực hiện thành thạo một nhiệm vụ hay một công việc. Theo Luật TESDA 1994 của Philippines [72] thì: KN có thể học và rèn luyện đƣợc để thực hiện tốt một nhiệm vụ hay một công việc. Qua tổng hợp các tài liệu cho thấy, các tác giả nhìn nhận về KN theo các hƣớng: (1) Kĩ thuật của hành động (nhƣ V.S. Kunzin, V.A. Krutetxki,...), ở đây các tác giả coi việc nắm các cách thức hành động là có KN; (2) Xem KN nhƣ một sự biểu hiện của năng lực, nhân cách (nhƣ K.K.Platonov, G.G. Golubev, N.D. Lêvitov,...), trong này các tác giả đã chú trọng đến mặt kết quả của hành động trong sự liện hệ giữa mục đích, phƣơng tiện, điều kiện và phƣơng pháp tiến hành hành động; (3) KN là sự vận dụng những tri thức, các kĩ xảo vào việc lựa chọn và thực hiện những cách thức hành động đã đặt ra (nhƣ A.V.Petrovxki, L.V.Itelxơn), dẫn theo [60]. Từ phần trên cho thấy rằng còn có những cách hiểu khác nhau về KN do có những cách tiếp cận không nhƣ nhau, nhƣng có thể rút ra một vài đặc điểm chung về KN nhƣ sau: - KN là quá trình tâm lý, là tổ hợp của hàng loạt các yếu tố hợp thành nhƣ tri thức, KN, kỹ xảo đã có; khả năng chú ý, tƣ duy.; - KN có tính linh hoạt và có thể di chuyển từ hoàn cảnh này sang hoàn cảnh khác; KN có tính kĩ thuật, tức là có cấu trúc, thao tác và trình tự tổ chức. - KN đƣợc hình thành do rèn luyện, trong quá trình hoạt động của con ngƣời. KN ở một hoạt động đƣợc thể hiện bằng những phẩm chất nhƣ tính chính xác, tốc độ thực hiện hành động, khả năng thực hiện độc lập công việc, tính linh hoạt, hành động hợp lý, trong các hoàn cảnh khác nhau. Hơn nữa, theo Platonov K.K. [77], KN đƣợc hình thành qua 05 giai đoạn chính là: - iai đoạn 1 (bắt chước): Hình thành KN sơ đ ng, hành động theo mẫu, khi điều kiện làm việc thay đổi thì gặp nhiều sai sót hoặc không hoàn thành công việc. 9 - iai đoạn 2 (làm được): Hiểu nhiệm vụ, quy trình làm việc nhƣng thao tác còn có những sai sót, thời gian hoàn thành chậm và đôi khi còn cần có sự chỉ dẫn. - iai đoạn 3 (làm chính xác): Làm việc theo quy trình, chính xác và hoàn thiện công việc nhanh chóng. Tuy nhiên, còn mang tính riêng lẻ, các KN này cần thiết cho các dạng hoạt động khác nhau, ch ng hạn: KN kế hoạch hóa hoạt động, KN tổ chức hoạt động, - iai đoạn 4 (làm thành thục): KN gần nhƣ đƣợc tự động hoá. Trong giai đoạn này, con ngƣời sử dụng sáng tạo vốn hiểu biết, kĩ xảo và đã có ý thức không chỉ mục đích hành động mà cả động cơ lựa chọn cách thức đạt mục đích. - iai đoạn 5 (làm biến hóa): Thể hiện khả năng di chuyển KN sang các tình huống mới hoặc hình thành các KN phức tạp (Hình 1.1) Hình 1.1. Các giai đoạn hình thành kĩ năng 10 Qua điểm lại nhƣ trên cho thấy: Tuy có nhiều cách hiểu khác nhau về KN nhƣng các nhà nghiên cứu đều chỉ ra rằng KN là một quá trình tâm lý, đƣợc hình thành khi con ngƣời áp dụng kiến thức vào thực tiễn cuộc sống. KN có đƣợc do quá trình lặp đi lặp lại một hành động cụ thể hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. KN theo nghĩa hẹp hàm chỉ đến các thao tác, hành động cụ thể của con ngƣời. KN hiểu theo nghĩa rộng hƣớng nhiều đến khả năng, đến năng lực của con ngƣời. Ngƣời có KN nào đó phải có kiến thức về hành động đó, bao gồm hiểu đƣợc mục đích của hành động, các điều kiện, phƣơng tiện đạt mục đích, các cách thức thực hiện hành động; Tiến hành hành động đúng với yêu cầu của nó; Đạt đƣợc kết quả đúng với mục đích đề ra; Có thể hành động có kết quả trong những điều kiện khác. Từ đó, có thể hiểu rằng: KN là khả năng vận dụng kiến thức và kinh nghiệm thực hiện thành thạo các thao tác trong quá tr nh hoàn thành một nhiệm vụ cụ thể nào đó. Trong luận án này chúng tôi tiếp cận KN theo hƣớng là kiến thức trong hành động, giúp con người thực hiện hiệu quả công việc, nhiệm vụ. Theo Từ điển Tiếng Việt, khái niệm nghề là công việc chuyên làm theo sự phân công lao động của xã hội [46]. Nghề nghiệp theo nghĩa Latinh (Professio) có nghĩa là công việc chuyên môn đƣợc định hình một cách chính thống, là dạng lao động đòi hỏi một trình độ học vấn nào đó, là cơ sở hoạt động cơ bản giúp con ngƣời tồn tại và phát triển. Trong cuốn sách “Nay đi học, mai làm gì?”, tác giả Klimov E.A. kh ng định: Nghề nghiệp là một lĩnh vực sử dụng lao động vật chất và tinh thần của con ngƣời một cách có giới hạn, cần thiết cho xã hội, nó tạo cho con ngƣời khả năng sử dụng lao động của mình để thu lấy những phƣơng tiện cần thiết cho việc tồn tại và phát triển [22]. 11 Trong [32] tác giả chỉ ra rằng: Nghề nghiệp là một dạng lao động, đòi hỏi ở con ngƣời một quá trình đào tạo chuyên biệt, có những kiến thức, KN, kĩ xảo chuyên môn nhất định. Nhờ quá trình hoạt động nghề nghiệp, con ngƣời có thể tạo ra sản phẩm thỏa mãn những nhu cầu của cá nhân và xã hội. Theo đó, nghề nghiệp có nghĩa là công việc chuyên môn đƣợc định hình một cách chính thống, là dạng lao động đòi hỏi một trình độ học vấn nào đó, là cơ sở hoạt động cơ bản giúp con ngƣời tồn tại, phát triển. Cũng theo [32], chúng ta có thể hiểu về nghề dạy học và các đặc điểm của nghề dạy học nhƣ sau: - Mục đích hình thành cho thế hệ trẻ những phẩm chất và năng lực cần thiết để đáp ứng ....1.2. Một số nghiên cứu về dạy học tích hợp ở trong nước Ở Việt Nam, DHTH thực ra đã tồn tại khá lâu ở nhiều bậc học của nƣớc ta với tên gọi nhƣ” liên hệ thực tiễn, tính giáo dục,...” và DHTH ở bậc tiểu học thƣờng nổi bật hơn so với THCS hay THPT. 28 Ch ng hạn, trong chƣơng trình phổ thông cấp II, III môn Toán (Bộ Giáo dục và Đào tạo phát hành lại năm 1970) phần mục đích và hƣớng dẫn ghi: Về mục đích của môn Toán là, Dạy cho HS những kiến thức cơ bản có hệ thống về Số học, Đại số, Hình học và Lƣợng giác. Bồi dƣỡng cho họ những KN thành thạo để áp dụng những kiến thức ấy vào thực tế, giúp phát triển óc suy luận khoa học và trí tƣởng tƣợng không gian. DH nhằm phục vụ mục đích bao quát của nhà trƣờng Xã hội chủ nghĩa là GD lòng yêu nƣớc và tinh thần quốc tế vô sản, xây dựng thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện ý chí và tính tình; GV dạy toán phải lƣu ý HS đến giá trị văn hóa lịch sử lớn lao của toán học, đến vai trò của nó trong việc học các môn khác (Vật lí, Hóa học, Địa lí, Thiên văn và vẽ Kĩ thuật) và việc ứng dụng toán học vào kĩ thuật và thực hành để kiến thiết nƣớc nhà tiến lên Chủ nghĩa xã hội. Do đó, HS phải biết qua về lịch sử toán học, về đời sống và hoạt động của các nhà toán học lỗi lạc, về các bài toán cổ lƣu truyền trong nhân dân; Thời gian quan đã có nhiều nghiên cứu về DHTH, theo nhiều cách tiếp cận khác nhau, các quan niệm về TH đƣợc phát biểu nhƣ: Tiếp cận theo góc độ chƣơng trình, môn học đƣợc thể hiện qua: TH chƣơng trình; TH nội dung các môn học; TH phƣơng pháp, TH kiến thức, KN, ... ở đây TH đƣợc hiểu là sự kết hợp một cách hữu cơ, có hệ thống các kiến thức trong một môn học thành một nội dung thống nhất. Theo [17], tác giả tiếp cận theo hƣớng DH, TH là sự liên kết giữa các đối tƣợng giảng dạy, học tập trong cùng một kế hoạch hoạt động để đảm bảo tính thống nhất, hài hòa, trọn vẹn của hệ thống DH nhằm đạt mục tiêu DH tốt nhất. DH nhằm hình thành ở HS những năng lực giải quyết hiệu quả các tình huống thực tiễn dựa trên sự huy động nội dung, kiến thức, KN của nhiều lĩnh vực khác nhau. Hơn nữa, TH còn định hƣớng DH trong đó GV tổ chức, hƣớng dẫn để HS biết huy động tổng hợp kiến thức, KN thuộc nhiều lĩnh vực 29 khác nhau nhằm giải quyết các nhiệm vụ học tập, đời sống; thông qua đó hình thành những kiến thức, KN mới; phát triển đƣợc những năng lực cần thiết nhất là năng lực giải quyết vấn đề trong học tập và giải quyết các vấn đề bắt gặp trong cuộc sống. Tiếp cận DHTH theo định hƣớng năng lực của HS, tác giả Đỗ Hƣơng Trà [55] đã kh ng định, DHTH là DH xung quanh một CĐ đòi hỏi sử dụng kiến thức, KN, phƣơng pháp của các môn học trong quá trình tìm tòi nghiên cứu. Điều này sẽ tạo thuân lợi cho việc trao đổi và làm giao thoa các mục tiêu DH của các môn học khác nhau. Do đó, tổ chức DHTH mở ra triển vọng cho việc thực hiện DHTH theo tiếp cận năng lực. Bên cạnh đó, DHTH không chỉ đánh giá kiến thức đã lĩnh hội đƣợc, mà chủ yếu đánh giá xem HS có năng lực sử dụng kiến thức trong các tình huống ý nghĩa hay không. Nguyễn Thế Sơn [52], đã nghiên cứu thiết kế CĐ DH TH, tác giả đã nghiên cứu kĩ các qui trình xây dựng các CĐ TH, xác định rõ nhiệm vụ của GV, nhiệm vụ học tập của HS thông qua các CĐ TH cụ thể của môn Toán. Ngoài những công trình, dự án của các nhà khoa học và các Viện nghiên cứu, ngày 07/8/2014 Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ra công văn số 4188 về việc tổ chức cuộc thi Vận dụng kiến thức liên môn để giải quyết các tình huống thực tiễn dành cho HS và cuộc thi DH theo CĐ TH cho GV trung học. Theo đó, các Sở Giáo dục và Đào tạo đã triển khai đến các cơ sở giáo dục, tạo nên một phong trào đều khắp, góp phần giúp cho cán bộ quản lí và GV trong các nhà trƣờng nắm đƣợc lí luận DHTH, thực hành việc giảng dạy các CĐ TH. Năm 2015, Bộ GD&ĐT cũng đã tổ chức nhiều đợt tập huấn về DHTH liên môn lĩnh vực: KHTN dành cho cán bộ quản lí và GV THPT. Đây là một trong những chính sách mang tính “đón đầu” của Bộ Giáo dục và Đào tạo nhằm trang bị lí luận DHTH và bƣớc đầu triển khai thực hành giảng dạy các CĐ TH hƣớng đến mục tiêu đáp ứng đƣợc yêu cầu đổi mới chƣơng trình và SGK sau năm 2015. 30 Ngoài ra, một số hội thảo khoa học về DHTH đã đƣợc tổ chức trong giai đoạn này nhƣ: Hội thảo khoa học “DHTH ở trƣờng THPT đáp ứng yêu cầu đổi mới chƣơng trình và SGK sau năm 2015” do Bộ GD&ĐT tổ chức tại Tp HCM 12/2014; Hội thảo khoa học “DHTH – DH phân hóa ở trƣờng THPT đáp ứng yêu cầu đổi mới chƣơng trình và SGK sau năm 2015” do viện nghiên cứu sƣ phạm – trƣờng ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh tổ chức vào tháng 12 năm 2012. Các hội thảo có sự tham gia của các nhà khoa học, GV trong cả nƣớc, hội thảo thảo luận về các giải pháp vận dụng DHTH trong chƣơng trình THPT đáp ứng đƣợc yêu cầu đổi mới chƣơng trình và SGK sau 2015. Trong các hội thảo này các nhà khoa học và GV THPT trong các tỉnh thành tham gia đã thảo luận về DHTH, cách triển khai DHTH nhằm hƣớng đến những yêu cầu đổi mới chƣơng trình và SGK sau năm 2015 đặt ra. Nhƣ vậy, ta có thể thấy rằng việc xây dựng chƣơng trình DHTH đã và đang đƣợc Bộ Giáo dục và Đào tạo, các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu, triển khai sâu rộng từ tiểu học đến đại học góp phần nâng cao chất lƣợng GD và hội nhập với thế giới. Chúng tôi nhất trí với các kết quả đó, nhất là các kết quả trong [31], [82] về các KN DH và KN DH Toán cũng nhƣ đã thống kê ở các Bảng 1.1, Bảng 1.5. Tác giả luận án cũng kế thừa các kết quả của Nguyễn Thế Sơn [52] về xây dựng CĐ, quy trình, bài học... Nhƣng các KN cần để thiết kế và tổ chức DH TH chƣa đƣợc Nguyễn Thế Sơn NC đầy đủ nên chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và làm rõ ở các phần tiếp theo. NCS sẽ tiếp tục nghiên cứu để làm rõ các KN cơ bản về DHTH môn Toán ở trƣờng THPT cần đƣợc bồi dƣỡng cho GV Toán, để góp phần phát huy đƣợc năng lực, phẩm chất nhằm nâng cao hiệu quả DH môn Toán, nhất là hƣớng vào thực hiện thắng lợi chƣơng trình giáo dục phổ thông 2018 ở Việt Nam. 1.2.2. Một số nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng dạy học Để giúp chúng tôi có điểm tựa lí luận cho đề xuất các KN DHTH chúng tôi tìm hiểu về các KN DH ở một số nƣớc, theo tƣ liệu có đƣợc. 31 Có thể thấy ở Việt Nam các nghiên cứu về KNDH phát triển mạnh trong vài chục năm trở lại đây. Các nghiên cứu liên quan đến rèn KN cho GV hay SV đƣợc thể hiện qua các công trình của các tác giả nhƣ: Năm 1993, tác giả trong [1] đã tiếp cận một cách hệ thống về lí luận đi sâu nghiên cứu hệ thống KN GD trên lớp theo tiếp cận giáo dục học (Những KN chuẩn bị lên lớp; Những KN giảng dạy trên lớp; Những KN hƣớng dẫn các hình thức tổ chức DH khác; Những KN kiểm tra, đánh giá kết quả DH) và đã xây dựng một quy trình rèn luyện các KN đó cho sinh viên khoa Tâm lí - giáo dục học. Hệ thống các KN DH đề cập trong [1] đã giúp cho NCS định hƣớng các KN DHTH môn Toán ở trƣờng THPT phù hợp và thiết thực hơn. Theo [39], Phan Thanh Long đã trình bày tƣơng đối có hệ thống các vấn đề lí luận liên quan đến rèn luyện KN DH tại các trƣờng sƣ phạm. Đề xuất một số biện pháp nhằm hình thành KN nghề cho sinh viên, tập trung vào đổi mới nội dung tổ chức rèn luyện và kiểm tra đánh giá. Theo [14], Phạm Văn Cƣờng đã xây dựng đƣợc bộ Chuẩn KNDH Toán cho sinh viên ngành GDTH trình độ cao đ ng giúp đánh giá việc rèn luyện KN DH Toán của sinh viên trong quá trình học tập; đề xuất 7 nhóm biện pháp nhằm giúp các trƣờng Cao đ ng sƣ phạm tổ chức rèn luyện KNDH Toán cơ bản ở tiểu học theo chuẩn. Trong [53], Nguyễn Chiến Thắng đã đƣa ra quan niệm về KN nghề nghiệp ngành Sƣ phạm Toán học; Đề xuất đƣợc các KN nghề nghiệp cần rèn luyện cho sinh viên ngành Sƣ phạm Toán đề xuất 6 BP sƣ phạm rèn luyện KN nghề nghiệp cho sinh viên ngành Sƣ phạm Toán học thông qua DH các môn Toán sơ cấp và PPDH Toán ở bậc đại học. Chúng tôi học tập đƣợc ý tƣởng phân tích, tìm hiểu nội dung, chƣơng trình SGK Toán để nâng cao hiệu quả của quá trình DH Toán ở trƣờng phổ thông và tăng cƣờng tiếp cận các phƣơng tiện DH hiện đại, đặc biệt là học cách sử dụng khai thác các phần mềm tin học (Geometer‟s Sketchpad, Cabri và Maple) và soạn giáo án để trình chiếu trên PowerPoint nhằm hỗ trợ DH hiệu quả môn Toán ở trƣờng phổ thông. 32 Trong luận án tiến sĩ Nguyễn Minh Giang [20], đã làm r cơ sở lí luận về việc phát triển KN DH Toán cho sinh viên sƣ phạm theo chuẩn nghề nghiệp GV; Xác định đƣợc các KN thành phần trong năng lực DH Toán theo chuẩn nghề nghiệp GV cần phát triển cho sinh viên; Xây dựng bộ tiêu chí và công cụ đánh giá mức độ phát triển KN DH Toán của sinh viên sƣ phạm theo chuẩn nghề nghiệp GV thông qua dạy học hàm số; Đề xuất đƣợc các BP để phát triển KN DH Toán cho sinh viên sƣ phạm theo chuẩn nghề nghiệp GV thông qua dạy học hàm số. Chúng tôi dự trên ý tƣởng xác định KN DH Toán đó để định hình các KN DH TH môn Toán một cách rõ ràng và cụ thể hơn. Nguyễn Thị Nhân trong [44] đã tổng quan về KN DH thông qua các công trình trong và ngoài nƣớc; đề xuất 3 KN: KN thiết kế bài học, KN nghiên cứu ngƣời học và việc học, KN viết bảng; Đề xuất 4 biện pháp rèn luyện KN DH cho sinh viên thông qua thực tập sƣ phạm là: Thiết kế nội dung rèn luyện KN DH trong TTSP theo tiếp cận linh hoạt; Đa dạng hóa nội dung, phƣơng pháp, con đƣờng rèn luyện KN DH cho sinh viên: đặc điểm sinh viên, môi trƣờng TTSP và đa dạng phƣơng án kiểm tra, đánh giá kết quả rèn luyện; Xây dựng môi trƣờng học tập linh hoạt; Ứng dụng công nghệ thông tin hỗ trợ sinh viên rèn luyện KN DH. Chúng tôi quan tâm tới ý tƣởng thiết kế bài học và biện pháp ứng dụng công nghệ thông tin để định hƣớng xây dựng KN DH TH môn Toán và biện pháp rèn luyện KN DHTH môn Toán của luận án. Theo [13], Lê Minh Cƣờng đã nghiên cứu về các KN ứng dụng công nghệ thông tin trong DH môn Toán; Xác định 5 KN (sử dụng phần mềm Toán học để tính toán, để mô tả bài toán, tƣơng tác với mô hình bài toán trên máy tính, ứng dụng công nghệ thông tin để hỗ trợ việc vận dụng lí luận vào DH Toán, để đánh giá kết quả học tập Toán của HS); Đề xuất 4 biện pháp sƣ phạm nhằm rèn luyện KN ứng dụng CNTT trong DH cho sinh viên Sƣ phạm ngành Toán theo hƣớng gắn với các hoạt động trong DH Toán ở trƣờng THPT. Chúng tôi tiếp cận ý tƣởng này nhằm định hƣớng rèn luyện KN tổ chức DH TH môn Toán ở trƣờng THPT. Có thể thấy những nghiên cứu thời gian qua ở Việt Nam chủ yếu liên 33 quan về KN DH môn Toán ở tiểu học, cho sinh viên Cao đ ng SP; Rèn luyện cho sinh viên Toán KN cần để DH ở trƣờng THPT. Những kết quả đó đã giúp cho NCS những ý tƣởng, cách thức tiếp cận và thúc đẩy việc nghiên cứu vấn đề rèn luyện KN DHTH môn Toán cho GV trong nhà trƣờng phổ thông đang còn bỏ ngõ. Qua tìm hiểu tài liệu có đƣợc chúng tôi thấy rằng các nƣớc và các vùng lãnh thổ có quan niệm: KN sƣ phạm có nghĩa là tất cả những KN nhằm phát triển hiệu suất giảng dạy của GV cho học sinh, vì thành tích tốt hơn. Tác giả Allen & Rayan (1969) của Đại học Stand Ford (Hoa Kỳ) phân ra các KN sau: Mở bài; kích thích sự thay đổi; im lặng và hành động phi ngôn ngữ; Củng cố sự tham gia của học sinh; sự công nhận; giao tiếp; đƣa ra các câu hỏi; nhận xét câu hỏi; đƣa ra câu hỏi khó; đƣa ra các ví dụ minh họa; thuyết trình; lặp lại có kế hoạch; tổng kết bài. Tác giả B.K. Passi (1976) và cộng sự đã chú trọng 13 KN: TT Kí hiệu Kĩ năng 1 BK1 KN viết mục tiêu hƣớng dẫn 2 BK2 KN giới thiệu bài học 3 BK3 KN nói trôi chảy 4 BK4 KN chứng minh câu hỏi 5 BK5 KN giải thích 6 BK6 KN minh họa bằng ví dụ 7 BK7 KN biến đổi kích thích 8 BK8 KN im lặng và không- tín hiệu bằng lời 9 BK9 KN sử dụng bảng đen 10 BK10 KN đạt đƣợc gần hơn 11 BK11 KN nhận biết hành vi tham dự 12 BK12 KN tăng cƣờng sự tham gia của học sinh 13 BK13 KN củng cố ảng 1.3. Các KN DH của B.K. Passi 34 Hội đồng Nghiên cứu và Đào tạo Giáo dục Quốc gia Hoa Kỳ trong ấn phẩm KN giảng dạy cốt l i (1982) đã tập trung vào các KN giảng dạy sau đây: TT Kí hiệu Kĩ năng 1 HK1 Viết mục tiêu hƣớng dẫn 2 HK2 Sắp xếp nội dung 3 HK3 Tạo tập hợp để giới thiệu bài học 4 KH4 Giới thiệu bài học 5 HK5 Cấu trúc câu hỏi trên lớp 6 HK6 Phân phối câu hỏi và phân phối 7 HK7 Quản lý trả lời; Giải thích 8 HK8 Minh họa bằng các ví dụ 9 HK9 Sử dụng phƣơng tiện DH 10 HK10 Biến đổi kích thích 11 HK11 Tạo nhịp độ cho bài học 12 HK12 Thúc đẩy sự tham gia của học sinh 13 HK13 Sử dụng bảng đen 14 HK14 Đạt đƣợc kết thúc bài học 15 HK15 Đƣa ra bài tập 16 HK16 Đánh giá sự tiến bộ của học sinh Chẩn đoán các khó khăn trong học tập của học sinh và 17 HK17 thực hiện các biện pháp khắc phục 18 HK18 Quản lý lớp học. ảng 1.4. Các kĩ năng giảng dạy của Hoa Kỳ 35 Các kĩ năng dạy học của các nƣớc EU đƣợc thể hiện qua bảng sau: TT Kí hiệu Nhóm kĩ năng 1 E1 Lên kế hoạch, quản lí, phối hợp giảng dạy 2 E2 Sử dụng tài liệu công nghệ giảng dạy 3 E3 Quản lí học sinh và các nhóm Giám sát, điều chỉnh, đánh giá mục tiêu và các quá trình 4 E4 giảng dạy, học tập Thu thập, phân tích, giải thích các minh chứng và dữ liệu (kết quả học tập của nhà trường, kết quả đánh giá ngoài) 5 E5 cho quyết định chuyên môn và cải tiến việc giảng dạy, học tập. Sử dụng, phát triển, tạo ra tri thức nghiên cứu để thông 6 E6 tin về các thực tiễn Phối hợp với các đồng nghiệp, phụ huynh và các dịch vụ 7 E7 xã hội. 8 E8 Đàm phán Phản ánh, siêu nhận thức và giao tiếp cho việc học tập 9 E9 mang tính chất cá nhân và trong cộng đồng chuyên môn. Thích ứng với bối cảnh giáo dục đặc trƣng bởi động lực 10 E10 đa tầng với các ảnh hƣởng lẫn nhau. ảng 1.5. Các KN DH của khối EU Chúng tôi nhận thấy rằng, các KN đƣợc các tác giả đƣa ra trên cơ sở lí thuyết về lí luận DH và kinh nghiệm thực tế. Tuy nhiên, t y điều kiện từng địa phƣơng, trình độ của học sinh và kinh nghiệm, kiến thức của ngƣời Thầy sẽ quyết định bài giảng và bố trí các KN phù hợp với từng bài giảng cụ thể. Các KN DH đã nêu ở các Bảng 1.2, 1.3, 1.4 và 1.5 đƣợc xem nhƣ các KN DH chung, làm nền cho việc chọn ra các KN DHTH ở phần sau. 36 1.3. Đề xuất các nhóm kĩ năng dạy học tích hợp môn Toán ở T T Từ mục tiêu và các thức tổ chức các hoạt động của DHTH đã nêu trong các mục 1.1.2.3, 1.1.2.4, các KN DH, Bảng 1.2 về KNDH môn Toán, định hƣớng DHTH, chúng tôi đề xuất các KN cần thiết để thực hiện DH CĐ TH môn Toán ở trƣờng THPT qua bảng sau: Kí Kĩ năng Mô tả hiệu - GV nắm đƣợc toàn bộ bài học trong chƣơng trình môn Toán THPT hiện hành. Phát hiện đƣợc các nội dung có cơ hội Xác định cơ hội TH, CĐ TH, xác tích hợp. TH1 định mục tiêu TH, loại hình TH - GV nắm mục tiêu của bài dạy, các dạng hoạt động cụ thể để xác định mục tiêu TH và đƣa ra các loại hình tích hợp phù hợp với bài học hay CĐ TH. - Làm rõ những hoạt động học tập của học sinh, các sản phẩm cần đạt hay kiến thức môn học, Thiết kế CĐ TH (làm rõ các hoạt liên môn có thể diễn ra trong động học tập, làm rõ các sản phẩm CĐ TH, ý nghĩa và yêu cầu cần TH2 cần đạt sau mỗi hoạt động, kiến HS đạt đƣợc của hoạt động đó. thức môn học, kiến thức liên - Xây dựng các hoạt động cụ môn,) thể để HS tham gia tìm hiểu bài học, tìm kiếm tài liệu, tạo sản phẩm,, từ đó giúp học sinh 37 lĩnh hội kiến thức mới. - Dự kiến các tình huống sƣ phạm và phƣơng pháp giải quyết các tình huống đó có thể diễn ra trong khi thực hiện CĐ TH (hay cần dự kiến một số tình huống mang tính chất gợi mở cho HS để bài giảng để lại dấu ấn giúp cho HS hiểu sâu hơn) - Dự kiến tổ chức dạy học CĐ TH sau khi nắm bắt đƣợc các thông tin cụ thể nhƣ: Nắm tình hình HS, lựa chọn PPDH hợp lí, lựa chọn phƣơng tiện DH cụ thể. - Dựa vào kiến thức trọng tâm của CĐ TH, GV lựa chọn các phƣơng pháp, phƣơng tiện và Tổ chức bài học TH (Lựa chọn hình thức tổ chức DH cụ thể phƣơng pháp, phƣơng tiện, hình phù hợp với từng hoạt động, TH3 thức tổ chức DH phù hợp với từng nội dung của CĐ TH. phần trong bài học TH (DH dự án, - Giao nhiệm vụ và điều khiển tổ chức trải nghiệm,..)) quá trình học tập của nhóm HS hoặc từng cá nhân HS. - Linh hoạt, sáng tạo, đảm bảo thời gian thực hiện nhiệm vụ 38 học tập của HS, bao quát cách thể hiện hay lĩnh hội kiến thức của các nhóm HS hay cá nhân HS để kịp thời hỗ trợ vƣớng mắc. - Điều hành HS thực hiện nhiệm vụ học tập và xử lí tình huống sƣ phạm diễn ra kịp thời, hiệu quả và nhận xét, đánh giá các kết quả của HS. - Thiết kế, xây dựng công cụ đánh giá HS dựa trên kết quả đạt đƣợc của HS trong từng hoạt động, từng phần công việc đƣợc giao và sản phẩm cuối cùng, cần đánh giá đúng năng Thiết kế đánh giá kết quả học tập lực kiến thức, vận dụng kiến sau bài học TH (lập (rubric), đánh TH4 thức và đảm bảo tính khả thi giá, cho từng công việc, hoạt động, đối với học sinh. với từng phần trong bài học TH) - Phƣơng pháp đánh giá HS có thể sử dụng nhiều cách thức nhƣ định kì, thƣờng xuyên,với nhiều cách thức phù hợp với từng cá nhân hay nhóm HS. Nghiên cứu bài học TH (Rút kinh GV đƣa ra những định TH5 nghiệm thiết kế và tổ chức bài học hƣớng xác định CĐ TH, bàn 39 TH; Dự kiến phƣơng án phối hợp luận cùng tổ chuyên môn để lên giữa GV các môn học, trong kế hoạch, kịch bản DH, xác DHTH, liên môn) định các môn học liên quan đến chủ đề để định hƣớng phối hợp với GV môn khác, thực hiện việc tổ chức giảng dạy, dự giờ và rút kinh nghiệm, áp dụng cho các GV khác. Dựa vào phƣơng pháp dạy Chuẩn bị các điều kiện cho bài học học của từng CĐ TH định TH6 TH (cơ sở vật chất, phƣơng tiện, hƣớng cơ sở vật chất, phƣơng công nghệ DH phục vụ cho DHTH) tiện, thiết bị phù hợp với bài giảng. ảng 1.6. Các KNDHTH môn Toán THPT Các KN DHTH ở Bảng 1.6 đƣợc xem là các KN cần có ở GV Toán để có thể tổ chức và DHTH, làm điểm tựa cho khảo sát ở Chƣơng 2 và đề xuất các biện pháp ở Chƣơng 3 của luận án. 1.4. Kết luận chƣơng Để có điểm tựa cho trình bày luận án và đề xuất các KN cũng nhƣ biện pháp sƣ phạm, ở Chƣơng 1 chúng tôi đã tập trung làm r về các vấn đề: - KN, KN nghề nghiệp, KN DH, KN DH Toán, chuẩn nghề nghiệp giáo viên trung học. - TH, DHTH, đặc trƣng của DHTH và hình thức TH môn Toán. - Kinh nghiệm trong nƣớc và quốc tế về rèn luyện KNDHTH. Trên cơ sở đó (đƣợc xem là cơ sở lí luận), tác giả đã đề xuất đƣợc các KN DHTH cần có ở GV Toán THPT (Bảng 1.6), đƣợc xem là cống hiến mới về lí luận. 40 Các KN DHTH môn Toán đƣợc đề xuất có thể xem nhƣ “mô hình lí thuyết” về ngƣời GV toán biết DHTH. Có thể thấy đây là mô hình đƣợc đề xuất dựa trên kinh nghiệm trong và ngoài nƣớc cũng nhƣ theo kinh nghiệm (mang tính chủ quan sau nghiên cứu) của tác giả. Chúng có ph hợp với thực tiễn giáo dục Việt Nam hay không, sẽ đƣợc phân tích, kiểm nghiệm qua khảo sát ở Chƣơng 2 (xem là cơ sở thực tiễn). Sau khi khảo sát chỉnh sửa, tính khả thi của mô hình đƣợc đề xuất sẽ đƣợc tiếp tục kiểm nghiệm qua Chƣơng 3 và Chƣơng 4 của luận án. 41 Chƣơng 2 TÌM HIỂU THỰC TRẠNG VỀ KĨ Ă G DẠY HỌC TÍCH HỢP MÔN TOÁN Ở TRƢỜNG THPT Ở Chƣơng 1 chúng tôi đã nghiên cứu và dựa vào cơ sở lí luận đề xuất các KN DHTH, đƣợc xem là “mô hình tiên nghiệm” về GV toán biết DHTH. Còn ở Chƣơng 2, chúng tôi làm r cơ sở thực tiễn đề xuất các KN DHTH cho GV toán ở THPT. 2.1. Mục đích khảo sát Có đƣợc cơ sở thực tiễn cho việc đề xuất các kĩ năng cần thiết để GV có thể thiết kế và tổ chức DHTH môn Toán ở THPT. Theo đó, chúng tôi tìm hiểu, thu thập thông tin và phân tích số liệu khảo sát về thực trạng DHTH môn Toán ở trƣờng THPT; xin ý kiến của GV (xem nhƣ các chuyên gia) về những kĩ năng DHTH cần thiết để GV Toán THPT. Các công việc chính nhƣ sau: - Xin ý kiến của một số GV Toán (xem nhƣ các chuyên gia) về các KN DHTH môn Toán đã đề xuất ở Chƣơng 1 và điều chỉnh mô hình KN cho phù hợp với thực tiễn GD nƣớc nhà; tìm hiểu kinh nghiệm về cách rèn luyện KN DHTH. -Tìm hiểu những khó khăn, thuận lợi khi thiết kế, tổ chức DHTH môn Toán tại các trƣờng THPT và các nguyên nhân của những khó khăn, thuận lợi; những bài học kinh nghiệm về thiết kế, tổ chức DHTH môn Toán ở trƣờng THPT. 2.2. Đối tƣợng và công cụ khảo sát - Đối tƣợng: Gồm GV Toán của 18 trƣờng THPT trên địa bàn vùng Tây Nguyên. 42 - Công cụ: Khảo sát bằng phiếu hỏi, (với 175 phiếu khảo sát (Phụ lục 6)); phỏng vấn sâu đối với 3 đối tƣợng GV chƣa có kinh nghiệm còn ít kinh nghiệm, nhiều kinh nghiệm; Hình thức tọa đàm, sinh hoạt cụm chuyên môn. 2.3. Nội dung khảo sát đối với giáo viên dạy môn Toán Nội dung khảo sát đƣợc lồng vào Phiếu hỏi (chi tiết nhƣ ở Phụ lục 3), nhằm xin ý kiến của các GV dạy toán về: - Các KN DHTH môn Toán đã đề xuất ở Chƣơng 1. - Những khó khăn, thuận lợi khi thiết kế, tổ chức DHTH môn Toán tại các trƣờng THPT và nguyên nhân. - Những kinh nghiệm về DHTH môn Toán ở trƣờng THPT. 2.4. hƣơng pháp khảo sát hƣơng pháp điều tra, khảo sát: Sử dụng các phiếu hỏi ý kiến GV (Phụ lục 3), kết hợp với toạ đàm, phỏng vấn sâu một số đối tƣợng. hƣơng pháp chuyên gia, phỏng vấn sâu: Trao đổi với một số CBQL GD có chuyên môn Toán và GV Toán ở trƣờng THPT thông qua các đối tƣợng GV nhƣ GV mới chƣa có kinh nghiệm (ra trƣờng từ 1 đến 3 năm), GV còn ít kinh nghiêm (ra trƣờng từ 3 đến 5 năm), GV có nhiều kinh nghiệm trên 5 năm, đây là hình thức mang tính bổ trợ nhằm khắc phục những hạn chế của phần sử dụng phiếu hỏi không thể hiện đƣợc, giúp cho công việc khảo sát đƣợc trọn vẹn hơn. Bên cạnh đó tham khảo kết quả khảo sát của một số nhà nghiên cứu khác có liên quan đến nhiệm vụ nghiên cứu. 2.5. Kết quả khảo sát và phân tích 2.5.1. Theo phiếu hỏi Để nắm r hơn về những vấn đề gặp phải trong quá trình DHTH môn Toán ở trƣờng phổ thông và nhu cầu đƣợc tìm hiểu sâu DHTH, đƣợc tập huấn về KN DHTH, chúng tôi đã gửi phiếu hỏi tới GV Toán của 18 trƣờng THPT vùng Tây Nguyên 175 phiếu hỏi, thu về 173 phiếu trong đó có 12 phiếu không nhƣ yêu cầu. - Kết quả cho thấy GV có thâm niên công tác từ 6 đến 18 năm chiếm đa 43 số (70%). Đây là nguồn GV nhiệt tình, am hiểu công nghệ thông tin và dễ dàng tiếp thu phƣơng pháp DH hiện đại. Do đó, việc triển khai rèn luyện các KN DHTH sẽ rất thuận lợi. - Khi đƣợc hỏi về mức độ cần thiết (Mức độ: Không cần thiết (1), t cần thiết (2), Cần thiết (3), Rất cần thiết (4)) về việc sử dụng các KN DHTH môn Toán ở trƣờng THPT, chúng tôi nhận đƣợc kết quả khảo sát trong bảng sau: Mức độ Kí hiệu Kĩ năng (1) (2) (3) (4) Xác định cơ hội TH, CĐ TH, xác định TH1 5% 9% 40% 46% mục tiêu TH, loại hình TH Thiết kế CĐ TH (làm rõ các hoạt động học tập, làm rõ các sản phẩm cần đạt TH2 2% 7% 69% 22% sau mỗi hoạt động (kiến thức môn học, kiến thức liên môn,) Tổ chức bài học TH (Lựa chọn phƣơng pháp, phƣơng tiện, hình thức TH3 tổ chức DH phù hợp với từng phần 0% 6% 75% 21% trong bài học TH (DH dự án, tổ chức trải nghiệm,..)) Thiết kế đánh giá kết quả học tập sau bài học TH (lập (rubric), đánh giá, cho TH4 4% 7% 72% 17% từng công việc, hoạt động, với từng phần trong bài học TH) Nghiên cứu bài học TH (Rút kinh nghiệm thiết kế và tổ chức bài học TH; TH5 3% 65% 15% 17% Dự kiến phƣơng án phối hợp giữa GV các môn học, trong DHTH, liên môn) Chuẩn bị các điều kiện cho bài học TH TH6 (cơ sở vật chất, phƣơng tiện, công 28% 25% 30% 17% nghệ DH phục vụ cho DHTH) Bảng 2.1. Kết quả khảo sát về các KN DHTH môn Toán 44 Có thể hình dung về kết quả này qua Biểu đồ 2.1: Biểu đồ 2.1. Các mức độ cần thiết về sử dụng KNDHTH Toán Bảng 2.1 hay Biểu đồ 2.1 cho thấy: đa số GV đƣợc hỏi đều ủng hộ các KN, từ TH1 đến TH4, với mức độ cần thiết và rất cần thiết; riêng KN TH5 đa số cho rằng ít cần thiết; KN TH6 số cho rằng không cần thiết và ít cần thiết chiếm tỷ lệ cao hơn mức cần thiết và rất cần thiết. - Trong số các KN nói trên có cần thêm hay bớt các KN nào cho phù hợp với DHTH môn Toán: 21% số phiếu cho rằng cần thêm một vài KN nhỏ nhƣ “dự kiến tình huống sƣ phạm” hay “KN sử dụng ngôn ngữ khoa học của các môn liên quan”. Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy rằng các nội dung đó đã đƣợc bao hàm trong các KN trên. Nhƣ vậy có thể thấy đa số GV đƣợc hỏi đều nhất trí cao với các KN TH1, TH2, TH3 và TH4; riêng các KN TH5 và TH6 còn ít đƣợc ủng hộ. Tuy nhiên, không có ý kiến phản đối, hay bổ sung KN khác, nên có thể nói không 45 cần điều chỉnh về các KN đƣợc đề xuất ở Bảng 1.6, Chƣơng 1. - Khi đƣợc hỏi: Để hình thành các KN dạy học tích hợp môn Toán ở trƣờng THPT cần có những biện pháp rèn luyện nào? GV đã có sự lựa chọn với kết quả nhƣ sau: (1). Nâng cao nhận thức việc thành các KN DHTH môn Toán cho GV ở trƣờng THPT thông qua các hoạt động sinh hoạt chuyên môn (nghiên cứu bài học, sinh hoạt tổ chuyên môn, Trƣờng, Sở Giáo dục và Đào tạo, ...)(75%). (2). Chú trọng dạy mẫu trong quá trình hình thành, rèn luyện KN DHTH môn Toán cho GV THPT (93%). (3). Định hƣớng tự học, tự rèn luyện KN DHTH môn Toán cho GV THPT (79%). (4). Tổ chức cho GV THPT trải nghiệm KN DHTH môn toán (65%) (5). Thiết kế một số bộ đề đánh giá kết quả học tập môn Toán THPT của HS sau khi dạy học tích hợp (72%). (6). Biện pháp khác (20%), nhƣ: Sử dụng công nghệ thông tin, mạng xã hội để trao đổi nội dung, kiến thức về DHTH và DHTH môn Toán; Rèn luyện cho GV xây dựng CĐ tích hợp thông qua các nội dung môn học khác trong cùng thời điểm; Rèn luyện KN DHTH môn Toán thông qua sự phát hiện cơ hội tích hợp; Rèn luyện KN kết nối chƣơng trình các môn học liên quan thông qua nghiên cứu SGK hiện hành. Có thể hình dung về kết quả này qua Biểu đồ 2.2: 46 Biểu đồ 2.2. Những biện pháp rèn luyện mà GV đã lựa chọn để hình thành các kĩ năng DHTH môn Toán ở trƣờng THPT Qua đây, cho thấy việc tổ chức DHTH môn Toán ở trƣờng THPT đang gặp phải những khó khăn nhất định, GV đang cần có những tiết dạy mẫu để học và làm theo. - Khi đƣợc hỏi về những khó khăn và thuận lợi trong rèn luyện KN DHTH môn Toán ở THPT hiện nay, chúng tôi nhận đƣợc câu trả lời tập trung vào các vấn đề nhƣ sau: + Thuận lợi: Nguồn học liệu lớn, cơ sở vật chất đầy đủ, phƣơng tiện DH hiện đại đáp ứng đƣợc yêu cầu về DH; Học sinh chủ động trong công việc 47 đƣợc giao và hoạt động nhóm hiệu quả; + Khó khăn: Mất nhiều thời gian chuẩn bị bài dạy; Sự kết hợp giữa các GV bộ môn liên quan chƣa đảm bảo sự ăn ý và chia sẻ; Thực hiện các CĐ DHTH chƣa thƣờng xuyên và liên tục; Một số học sinh yếu không thực hiện đƣợc các yêu cầu đặt ra của GV. - Một số biện pháp khắc phục các khó khăn, vƣớng mắc gặp phải trong rèn luyện KN DHTH môn Toán ở THPT hiện nay đã đƣợc GV đề cập đến là: Xây dựng các CĐ DHTH cho các khối lớp từ đầu năm học; Kết hợp với các GV bộ môn khác hiệu quả; Bố trí đồng đều về trình độ và ý thức học tập của học sinh trong các nhóm. - Mặt khác, khi đƣợc hỏi nội dung nào có nhiều cơ hội để DHTH, liên môn với môn Toán ở THPT, đa số cho rằng: (1)- TH nội bộ môn Toán (65%), (2)- TH với Vật lí (52%), (3)- TH với Hóa học (42%), (4)- TH với Sinh học (48%. (5)- TH với các môn khác (15%) nhƣ: Giáo dục công dân, Địa lí, An ninh và Quốc phòng, Có thể hình dung về kết quả này qua Biểu đồ 2.3: 48 Biểu đồ 2.3. Nội dung có nhiều cơ hội để dạy học tích hợp, liên môn với môn Toán ở THPT Kết quả cho thấy, với môn Toán, TH nội bộ môn học có nhiều cơ hội nhất, sau đó mới là TH với các môn Vật lý, Hoá học, Sinh học. - Hơn nữa, khi đƣợc hỏi về KN dạy học tích hợp môn Toán hiện tại của bản thân các GV đang ở mức nào? Chúng tôi nhận đƣợc kết quả nhƣ sau: (1) Bắt chƣớc (20%) (2) Đã làm đƣợc nhƣng chƣa chính xác, r ràng (43%) (3) Làm chính xác (16%) (4) Thực hiện thành thục (12%) (5) Thực hiện một cách biến hóa (9%) Có thể hình dung về kết quả này qua Biểu đồ 2.4: 49 Biểu đồ 2.4. Mức độ thực hiện KN DH TH của GV Toán 2.5.2. Theo phỏng vấn sâu 2.5.2.1. Phỏng vấn cán bộ quản lí nhà trường Trong quá trình khảo sát NCS đã phỏng vấn sâu một số GV về các vấn đề liên quan đến DHTH nói chung và DHTH môn Toán nói riêng trong nhà trƣờng hiện nay. Sau đây là những câu trả lời của 5 CBQL các trƣờng THPT trên địa bàn vùng Tây Nguyên, chi tiết nhƣ ở Bảng 2.2. Câu hỏi Trả lời Ghi chú Câu hỏi 1: Thầy cô đã Thông tin chúng tôi nhận đƣợc là: tìm hiểu DHTH qua - Qua các đợt tập huấn do Bộ những kênh thông tin Giáo dục và Đào tạo, Sở Giáo dục và nào? Đào tạo địa phƣơng tổ chức. - Thông qua các cuộc thi 50 “Vận dụng kiến thức liên môn để giải quyết các tình huống thực tiễn và Cuộc thi DH theo CĐ TH” do Sở giáo dục tổ chức hằng năm. - Thông qua các trang mạng trên internet... Câu hỏi 2: Theo Thầy Kết quả chúng tôi nhận đƣợc là: cô, DHTH có phù hợp - Phù hợp. với yêu cầu xã hội trong - Đáp ứng đƣợc yêu cầu giáo giai đoạn này không? dục trong giai đoạn hiện nay, khơi dậy niềm đam mê, gây hứng thú cho học sinh, nâng cao chất lƣợng giáo dục. Câu hỏi 3: Công tác bồi Hầu hết GV cho rằng: dƣỡng, triển khai - Nhà trƣờng cử GV cốt cán DHTH cho GV trong tham gia lớp bồi dƣỡng của cấp trên, nhà trƣờng của Thầy cô sau đó về trƣờng bồi dƣỡng lại cho đƣợc thực hiện nhƣ thế các thành viên còn lại trong tổ nào? chuyên môn. - Phân công nhiệm vụ cho GV thông qua các cuộc thi của Sở GD, Bộ GD tổ chức. - Các tổ chuyên môn đăng kí dạy chuyên đề TH, thực hiện xuyên suốt trong năm học. Mỗi tổ có thể làm riêng hoặc kết hợp làm chung nhƣ Toán –Vật lí- Hóa học- Sinh 51 học, Ngữ văn-Lịch sử- Địa lí- Giáo dục công dân,... Bên cạnh đó, nhà trƣờng triển khai rộng rãi giáo dục STEM, liên hệ giữa lí thuyết thực tế trong các môn học nhằm giúp cho học sinh có nhiều kiến thức ...s t cost 1 costt sin 1 cost u12  Đặt sint + cost = u 12u , ta có sintt .cos  .   2 Khi đó phƣơng trình đã cho có dạng: u  2 2 2  u 2(u 1) 2u u  2  0  1 u  l  2   Vớiu  2 sintt  cos  2 2 sin(t  )  2 sin(t  )  1 4 4  tk    2  42  tk   2  . 4 203  So sánh điều kiện ta có: t  x 2 4 Vậy nghiệm của phƣơng trình là x  2 . Bài 11. Giải phƣơng trình: 8x(2x2-1)(8x4-8x2+1)=1 (11) Hướng dẫn: Ta xét các trƣờng hợp sau: Với x 1, suy ra VT(11)>1, do đó phƣơng trình vô nghiệm . Với x -1, suy ra VT(11)<0, do đó phƣơng trình vô nghiệm . Với x <1, đặt x=cost , với t (0, ) Khi đó phƣơng trình đƣợc chuyển về dạng: 8cost(2cost2-1)(8cost4-8cost2+1)=1  8cost.cos2t.cos4t = 1 8sint.cost.cos2t.cos4t = sint  2k t  82t t k  7 sin8t = sint   kZ 82t  t  k  2k  t   9 2 4  6    5  7  So sánh điều kiện ta có: t ;;;;;; 7 7 7 9 3 9 9 Vậy phƣơng trình có tập nghiệm là: 2 4  6    5  7  S  cos ; c os ; c os ; c os ; c os ; c os ; c os . 7 7 7 9 3 9 9 Nhận xét: Đây là phƣơng trình bậc cao và các nghiệm của nó “không đẹp”. Do vậy, nếu giải nó theo phƣơng pháp thông thƣờng sẽ gặp rất nhiều khó khăn so với cách giải trên. 3 1 x2  Bài 12. Giải phƣơng trình: 21xx 2   . 1 x2 Hướng dẫn: Điều kiện: x 1. 204    Đặt xtan t , t   ; , t   . Phƣơng trình đã cho trở thành: 2 2 4 3 2 1 tan t 2sint  1 1 2tantt 1  tan2   1 tan2 t ccost ost.cos2t  sint  0 2  2sint 2sin t  sin t  1  0  sin t   1( L )  1 sint   2 -Với sint 0  t  0  x  0. 11 -Với sint  t   x  . 26 3 1 Vậy, phƣơng trình có hai nghiệm xx0; . 3 Bài 13. Giải phƣơng trình 2233 1 1 x 1  x  1  x  2  1  x  Hướng dẫn: 10x  Điều kiện 1xx  0   1   1.  2 10x Đặt xcost,t 0; . Khi đó, phƣơng trình trở thành: 1 sint 1 c ost33  1  c ost  2  sin t  2 3 3 tt  22 t   t  sin c os   2sin    2 c os   2  sin t 2 2   2   2   tt 33 t t  2 2 sin c os  sin  c os   2  sin t 2 2  2 2  205 2t 2tt  2 t 2 t t  2 2 sin c os  sin  c os  sin c os   2  sin t 2 2  2 2 2 2  1  2c ost 2+sint  2  sin t  c ost=- 2 1 Suy ra x  . 2 Vậy, phƣơng trình có nghiệm duy nhất 3.2. Hệ phương tr nh Đại số. Việc ứng dụng lƣợng giác vào giải một số hệ phƣơng trình cũng thuận tiện không kém so với phƣơng trình. Đặc biệt là sử dụng lƣợng giác trong phép giải các hệ phƣơng trình hoán vị vòng quanh. 2 xy11   Bài 14. Giải hệ phƣơng trình:  2 yx13   Hướng dẫn: 2 10y  x  1 Hệ phƣơng trình xác định khi  . 2 10x  y  1 xc ost Từ điều kiện ta có thể đặt  , tt, ' 0; . y=cost' Khi đó, hệ phƣơng trình đã cho trở thành: cost 1  c os2 t '  1 cost+sint'=1(1)  (*) 2 cost' 1  c os t  3 cost'+sint= 3(2) Với , ta bình phƣơng hai vế phƣơng trình (1) và (2) của (*), rồi cộng vế theo vế ta có:  sint t '  1  t  t '   k 2 , k  Z 2  t'   k 2  t  sin t '  c ost 2 206 11 sint ' c ost= x 22 Khi đó, hệ (*) tƣơng đƣơng  . 33 sint c ost'= y 22 13 Vậy, hệ phƣơng trình đã cho có một nghiệm ; . 22  2y  x 1y 2 Bài 15. Giải hệ phƣơng trình:  2x   y 1 x2 Hướng dẫn: x  tan  Đặt  với ,;. Khi đó hệ đã cho trở thành: y  tan  22  2 tan   tan 1 tan  2 sin 2 tan (1)    . 2 tan sin 2 tan (2)   tan   1 tan 2 Ta x t hai trường hợp: Nếu sin  0 thì sin  0 và ngƣợc lại nên ta có x = y = 0 là nghiệm của hệ . Xét sin  0 và sin  0: Nhân (1) và (2) vế theo vế ta có: 1 1 sin2 .sin2  tan  .tan  4cos .c os cos .c os (3) cos .sin 2 (1) 2sin .cos  .c os  sin  sin sin  (4) Thay (4) vào (3) ta có 1 11  k  cos2  (1  cos2 )  cos2 0 2,  k      k  Z 2 22 2 4 2 Khi đó nghiệm của hệ là xy0  x y tan(  k )  x  y  1 . 4  xy1 207 Bài 16. Hệ phƣơng trình sau có bao nhiêu nghiệm? x  3y  4y 3  3 y  3z  4z  3 z  3x  4x x  4y 3  3y  3 Ta viết lại hệ dƣới dạng y  4z  3z  3 z  4x  3x Hướng dẫn: Ta chứng minh rằng tất cả các số x, y, z theo trị tuyệt đối không vƣợt quá 1. Thật vậy, giả sử x là số lớn nhất trong các số này và x > 1 thì ta có z = 4x3 – 3x > x. Ta đi đến mâu thuẫn. Nếu giả sử x là số nhỏ nhất và x < - 1 thì ta cũng có z = 4x3 – 3x < x, cũng mâu thuẫn. Nhƣ vậy -1  x, y, z  1 và ta có thể thực hiện đặt x = cos (0    ). Khi đó z = cos3, y = cos9, x = cos27. Bây giờ rõ ràng rằng số nghiệm của hệ phƣơng trình ban đầu bằng số nghiệm của phƣơng trình cos = cos27 trên [0; ]. Dễ dàng thấy rằng số nghiệm này đúng bằng 27: k k   ,k  0,1,2,...,13;  ,k  1,2,...,13. 13 14 Bài 17. Giải hệ phƣơng trình:  2 x y 1  4 xy  3 1  22  xy12  Hướng dẫn: Do x22 y 1  x , y   1; 1 . Đặt x sin , y cos với 0; 2 . Khi đó (1) 2 sin  cos  1  2sin2    3   1     2. 2sin   .2.  sin2    3 4sin   sin2  sin   3 42    46   208         8sin   sin     cos      3 4   12   12        4cos   cos  cos  2    3 12  3  6          2cos    4cos     cos  2     3 12   12   6          2cos    2 cos  3     cos      3 12   4   12    3   3500  k 120  2cos 3   3 cos 3    kR     00  4 42 65k 120 Ta suy ra hệ có 6 nghiệm  xy,  { sin650 , cos65 0 , sin35 0, cos35 0 , sin85 , 0 cos85 0 , sin50 ,  cos5 0 , -sin25 0 ,  cos25 0 , sin305 0 , cos305 0  } Bài 18. Giải hệ phương tr nh x 2  y 2  1   2 4xy(2y 1)  1. Hướng dẫn: xt sin Đặt  ,t  0;  . yc ost  22 sint c os t 1 Khi đó, hệ phƣơng trình đã cho trở thành:  4sint cos t 2cos2 t  1 1     k sin 4t  1  4 t   k 2 , k  Z t   2 82 Từ điều kiện, ta suy ra đƣợc k 0;1;2;3 . Vậy, hệ phƣơng trình có bốn nghiệm:  2  2 2  2   2  2 2  2   2  2 2  2   2  2 2  2   , , , , , , , .  2 2   2 2   2 2   2 2          Nhận xét: Nếu nhƣ xy + yz + zx = 1 Ta chứng minh rằng nếu nhƣ x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện 209 xy + yz + zx = 1    thì tồn tại các góc , ,  sao cho xtan ; y  tan ; z  tan và  +  +  2 2 2 = .  1 xy Thật vậy, đặt xytan ; tan , (- < ,  <). Vì z  (chú ý 22 x  y      là x + y  0) nên z cot  tan  . Bây giờ chỉ cần đặt  =  - 2 2 2 ( + ). Bài 19. Giải hệ phƣơng trình   1   1   1  3 x    4 y    5 z     x   y   z   xy  yz  zx  1 Hướng dẫn: x y z Vì   nên x, y, z có cùng dấu, ngoài ra, nếu 3(x 2 1) 4(y 2 1) 5(z 2 1) (x, y, z) là nghiệm của hệ thì (-x, -y, -z) cũng là nghiệm. Nhƣ vậy ta chỉ cần đi tìm các nghiệm dƣơng.    Đặt xtan , y  tan , z  tan ( 0 < , ,  <,  +  +  = ), ta đƣợc 2 2 2 sin sin sin   . 3 4 5 Từ định lý hàm số sin bây giờ suy ra , ,  là các góc của tam giác có độ dài các cạnh tƣơng ứng là 3, 4, 5. Do tam giác vuông nên ta có :  34 ,sin   ,sin   . 2 5 5 11   Vì vậy tan ,tan  ,tan  1. 2 3 2 2 2 210 1 1   1 1  Vậy hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm là: ; ;1  ,  ;  ;  1  . 3 2   3 2  x23 x1  2 y  x  1   Bài 20. Giải hệ phƣơng trình:  y23 y1  2 z  y  1 (I)  23  z z1  2 x  z  1 Hướng dẫn: x3 x 2 2 x  2 y 3  1 f  x  g y   Ta có: I  yyyz3  2 2  2 3  1 hay f  ygz    3 2 3  z z 2 z  2 x  1 f  z  g x Trong đó ft  t32  t  2 t và gtt  23 1. Ta thấy g(t), f(t) là hàm đồng biến trên R vì: f't  3 t2  2 t  2  0, g't  6 t2  0,  t R. x y z Từ đó suy ra hệ (I) tƣơng đƣơng với hệ:  II  h0x  Trong đó ht  t32  t  2 t  1 và h t liên tục trên R. Hơn nữa ta có: h 2  0, h 0  0, h 1  0, h 2 0 nên phƣơng trình h0t  có ba nghiệm phân biệt đều nằm trong khoảng 2; 2 . Đặt x2cos u , u  0;   . Khi đó sinu  0 và (II) có dạng: x y  z 2cos u , u  0;    x y  z 2cos u , u  0;    32 hay  32 8cosu 4cos u  4cos u  1  0 sinu 8cos u 4cos u  4cos u  1  0 x y  z 2cos u , u  0;   Hay  (III).  sin4uu sin3 x y  z 2cos u , u  0;   35    Giải hệ (III) ta đƣợc u;; và  35   . 7 7 7 u;;  7 7 7 3. 3. Bất đẳng thức Để rèn luyện khả năng tƣ duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên luôn 211 định hƣớng nhiều cách giải cho mỗi bài toán. Từ đó giúp cho các em tiếp cận những hƣớng khác nhau nhằm thúc đẩy sự đam mê, sáng tạo. Sau đây chúng tôi đƣa ra những cách giải khác nhau để giúp học sinh hiểu sâu hơn về một bài toán. Bài toán: Cho a c, b  c , c  0.Chứng minh rằng: c a c  c b  c  ab .(*) Cách giải 1: Cả hai vế của (*) đều dƣơng nên bình phƣơng hai vế ta có *2 c a  c  c b  c  c a  c b  c  ab 22c a  c b  c  c2  c a  b  ab 2c a  c b  c  c2  a  c b  c c2  a  c b  c 20 c a  c b  c  2 c  a  c b  c  0 đúng.    ab Dấu bằng xảy ra khi c  . ab Vậy (*) đúng. Cách giải 2: Từ (*). Ta có: c a c c b c *1    ab ab c a c  c  b c       1 b a  a  b  cc Áp dụng bất đ ng thức AM-GM cho hai số ;1 , ta có: ba c c c c 1   2 1  b a b a cc Áp dụng bất đ ng thức AM-GM cho hai số ;1 , ta có: ab c c c c 1   2 1  a b a b 212 Cộng hai bất đ ng thức cùng chiều trên, vế theo vế ta có: c a c  c  b c      1 b a  a  b  ab Dấu bằng xảy ra khi c  . ab Vậy (*) đúng. Cách giải 3: Áp dụng bất đ ng thức BCS, ta có: 2 2  cac   cbc   cac..   cbc   2222   c  b  c  a  c  c   ab . Suy ra c a c  c b  c  ab    c b c ab Dấu bằng xảy ra khi  c  . a c c ab Vậy (*) đúng. Cách giải 4: Đặt yfc   cac   cbc ; 0  c  min ab ,  . Cần chứng minh y ab. Thật vậy, nếu y0 là một giá trị của hàm số tƣơng ứng với một giá trị c nào đó, ta luôn có: y0  c a  c  c b  c . Bằng cách biến đổi tƣơng đƣơng, ta đƣa về đƣợc phƣơng trình bậc hai theo biến c nhƣ sau: a b2 4 y4 c 2  2 y 2 a  b c  y 4  0   0 0  0 Phƣơng trình trên có nghiệm khi và chỉ khi 4 2 2 '  0  4y0 ab  y 0  0  y 0  ab  y 0  ab . Vậy (*) đúng. Cách giải 5: D ng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Xét hàm số yfx   xax   cbx ; 0  x  min ab , .  a x  b  x  a  x  a  b x Ta có: y '  2 x a x b  x  a  x b  x  x 213 ab y' 0  ab  a  b x  0  x  ab Lập bảng biến thiên x 0 ab ab min{a,b} y‟ + 0 - y ab Vậy (*) đã đƣợc chứng minh.   u a c; c  u a  c  c  a Cách giải 6: Đặt  v c; b c v c  b  c  b     Từ đó, suy ra: uv.  cac   cbc   uv  ab . Vậy (*) đúng. Cách giải 7: Đặt a c x 1 ; b  c y  1 ; x  0, y  0, ta có * c22 x  c y  c x  1 y  1 x  y  x 11 y   x  y 21 xy  xy  x  y  21xy  xy  2  xy 10  đúng. Vậy (*) đúng. Cách giải 8: Xét tam giác ABC với độ dài các cạnh là CB a,; CA  b CH  c , với CH là đƣờng cao của tam giác. C Từ đó, dễ dàng suy đƣợc BH a  c; AH  b  c và 11 S c a  c; S  c b  c CBH22 CHA B A H 214 11 S abCS. .sin   S  caccbc     ABC22  CBH  CHA   c a  c  c b  c  a. b .sin C  ab . 1 1 1 ab Dấu bằng xảy ra khi sinC 1  ACB  900     c  . c a b a b Vậy (*) đúng. Cách giải 9: Phƣơng pháp lƣợng giác hóa. c c  c  c  Ta có: *  1     1    1 b a  a  b   c sint   a  Đặt  với tt, ' 0; . c 2 sint '   b Khi đó, ta có bất đ ng thức tƣơng ứng sin2tct . os 2 ' sin 2 t '.cos 2 t  sin tttt cos '  sin 'cos  sin tt  '  1 đúng. Vậy (*) đúng. Trên đây là một số cách tiếp cận thƣờng sử dụng khi giải một bài toán về bất đ ng thức. Chúng ta có thể thấy đƣợc rằng t y vào trình độ mà mỗi học sinh có thể hiểu sâu về một cách giải nào đó. Trong khuôn khổ chủ đề này chúng tôi chỉ đƣa ra cách tiếp cận bài toán bằng phƣơng pháp lƣợng giác hóa góp phần làm nên sự phong phú về cách giải bài toán bất đ ng thức. 2 2 2 x asin t Dạng 1. Nếu x + y =a (a>0) thì đặt  với t 0;2  . y acost a Dạng 2. Nếu xa hoặc bài toán có chứa x22 a thì đặt x = , cost   3  t 0; ; . 22      x asin t , t ;  22 Dạng 3. Nếu xa thì đặt  . x acost, t  0;  215 Dạng 4. Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức 22  x  a thì đặt x = atant với t ; . 22 Dạng 5. Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức x22 a thì đặt x = atant với . 3 x Bài 21. Cho xy221. Chứng minh rằng: 1(1). 2  y Hướng dẫn: 2 2 xt sin Với x + y =1, ta đặt  với t 0;2  . yc ost Khi đó, bất đ ng thức (1) tƣơng đƣơng với 3 sint  3 sintt cos   2 1.1 1   1   2  cost  3 sin t  2  cos t   2 cost  3 sintt cos 2 1.2       Ta thấy (1.1): 3 sint cos t  2 sin t cos  sin cos t   2sin  t     2 đúng. 6 6   6   Tƣơng tự, ta có (1.2): 3 sint cos t  2sin t   2 đúng. 6 Vậy (1) đã đƣợc chứng minh. Bài 22. Cho 3 số dƣơng thỏa mãn điều kiện a b c . Chứng minh rằng: 3 3 3 a4 b 4 c 4 (2). Hướng dẫn: a  sin2 t ab,0 ab  c Từ điều kiện  ta suy ra 1. Khi đó, đặt  . a b c cc b    ctos2 c 33 33 44 33 ab    22 2       1  sint44  c os t  1 sint22  c os t  1. cc    216 3  2 sintt   sin 2 Bất đ ng thức cuối đúng vì costt 1, sin 1 nên .  3  2 cos t   c os t2 3 3 3 Vậy a4 b 4 c 4 . Bài 23. Cho x22 y  2x  4y  4  0 . Chứng minh rằng: x2223 xy  2(123)  x  (423)  y  433   y  2 (3) Hướng dẫn: Từ điều kiện: x22 y  2x  4y  4  0  x  122   y  2  1. x1  sin t x  1  sin t Đặt  , 0  t  2. y2  cos t y  2  cos t 3  sin22t  cos t  2 3sin t cos t  2 31  3 sin 2t  cos 2 t  2 sin 2 t  cos 2 t  2 sin(2 t  )  2 . 2 2 6 Vậy bất đ ng thức (3) đã đƣợc chứng minh. 2 2 22 221 1 25 Bài 24. Cho x  y 1. Chứng minh rằng: xy22    4 xy2 Hướng dẫn: xt cos      33      Đặt  , với t 0;    ;     ;    ;2   . Khi đó, ta có yt sin 2   2   2   2  22 21   2 1  25 4 4 1 1 25 4  cost2    sin t 2   cos t sin t 4 4 4 cost   sin t  2 cos t sin t 2 441 25 costt  sin 1 44  4  costt .sin 2 2 2 2 2 2 1 17 cost  sin t  2cos t sin t  1 44  costt .sin 2 12  16   1  17 1  sin 2t  1 4    1   (1  16)  . 2  sin 2t   2  2 Vậy (4) đúng. 217 Bài 25. Cho x, y thỏa mãn: 5x 12y 7 = 13 Chứng minh rằng: x22 y  2 y  x  1  0 5 Hướng dẫn: Từ x2 y 2 2 x  y 1 0 x 2 y 2 2 y  x 1 x 122  y  1  1. x1 a sin t x asin t 1 2 2 2 Đặt  với a > 0   (x  1)  ( y  1)  a y1 a cos t y acos t 1 Ta có: = 13 5(a sin t  1)  12( a cos t  1)  7  13 5 12 5  5a sin t 12 a cos t  13  1  a sin t  cos t  a sin t  arccos  a 13 13 13 Từ đó suy ra (x 1)2  ( y  1) 2  a 2  1. Vậy (5) đã đƣợc chứng minh. Bài 26. Cho a,, b c R sao cho a c 0; b  c  0.Chứng minh rằng: a c b  c  a  c b  c  2 ab (6) Hướng dẫn: Bất đ ng thức (5) tƣơng đƣơng với bất đ ng thức sau: c  c   c  c  1  1     1   1    2 (6‟) a  b   a  b   c cost  cc  a  Theo giả thiết suy ra 0 ; 1 nên có thể đặt  với tt, ' 0; . ab c 2 cost '    b Từ đó suy ra (6‟) 1  cost 1  cos t '  1  cos t 1  cos t '  2 2t 2 t'' 2 t 2 t t t'' t t 4cos .c os  4sin .sin  2 2 cos .c os  sin .sin  2 2 2 2 2 2 2 2 2 tt' cos   1. 22 Bất đ ng thức cuối đúng, suy ra bất đ ng thức (6) đúng. 218 Bài 27. (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2008 ) 26 x2  xy Cho xy221. Chứng minh rằng : 6   3. (7) 1 2xy 2 y2 Hướng dẫn: 22 xt sin Do xy1 nên tồn tại góc t sao cho  . Khi đó, ta có yc ost 22 2 x 6 xy 2 sin t 6sin tc ost 1ct os2t 6sin 2 P  = 1 2xy  2 y22 1  2sin tc ost  2cos t 2 sin 2tc os2t P 6 sin 2 t  P  1 c os2t=1-2P (*), phƣơng trình (*) có nghiệm theo  khi và chỉ khi PPP62   1 2  1  2  2 PPP2 3  18  0   6   3. Vậy (7) đã đƣợc chứng minh. Bài 28. Chứng minh rằng a2 1  3  2 a ,  a  1. 8 Hướng dẫn: 1   3  Do |a|  1 nên ta đặt a  với t 0; ; suy ra cost 22    a221  tan t  tan t . Khi đó: a2 13  8   2  (tant  3)cos t  2  sin t  3 cos t  2 sin   2 . a 3 Vậy (8) đúng. Bài 29: Chứng minh rằng y x2 1  4 y2 1  3  xy 26 ,xy;1. (9) x2 1 1341y2  Giải: Ta có 9     26 9' x x y y   1 x   cos t  Do xy1, 1 nên ta đặt  ,tt , ' 0; . 1 2 y    ctos ' Khi đó ta có: 9'  sint  cos t 4sin t '  3cos t '  26 219 Mà sintttttt cos 4sin '  3cos '  sin  cos 42  3 2 sin 2 tcttt '  os 2 '  sin  5cos  (12 5 2 )(sin 2t  cos 2 )  26 . Vậy (9) đã đƣợc chứng minh. Bài 30. Chứng minh rằng: 1xnn  1  x  2n ,  x  1, n  N (10). Hướng dẫn: Cách 1: Đặt xcos t , t  0; . Khi đó, ta có: nn n n n n 22tt    1x  1  x  1  cos t  1  cos t  2cos    2sin  22    n2 nt 2 n t  n  2 t 2 t  n 2 cos  sin   2  cos  sin   2 2 2   2 2  Vậy (10) đã đƣợc chứng minh. Nhận xét: Ngoài cách giải đơn giản trên ta xét cách giải sau. Cách 2: Ta có n n n n n i n i i 2 (1x 1) x (1)(1) x x Cn (1)(1)  x  x i1 Vì x  1 nên (1 x) ni (1 x)i  0 i 1,2,....n 1. Vậy 2 n  (1 x) n  (1 x) n 3x 4x3 Bài 31. Chứng minh rằng:  1(11) 1 x2 (1 x2 )3 Hướng dẫn:  2 1 Đặt xt tan với t , suy ra 1x , khi đó ta có: 22 cost 11  3tant cos t  4tan33 t .cos t  1 3sint  4sin3 t  sin3 t  1. Vậy bất đ ng thức (11) đã đƣợc chứng minh. 1 (x 2  y 2 )(1 x 2 y 2 ) 1 Bài 32: Chứng minh rằng: x, y ta có:   2  (12) 4 (1 x 2 ) 2 (1 y 2) 4 Hướng dẫn: 220 xt tan  Đặt  ,,' tt  yt tan ' 22 (x2 y 2 )(1  x 2 y 2 ) (tan 2 t  tan 2 t ')(1  tan 2 t .tan 2 t ') Ta có: 2  (1xy2 ) 2 (1 2) (1 tan2tt ) 2 (1 tan 2 ') 2 (sin2t cos 2 t '  sin 2 t 'cos 2 t )(cos 2 t cos 2 t '  sin 2 t sin 2 t ') 1 1 sin(t  t ')sin( t  t ')cos( t  t ')cos( t  t ') sin(2t  2 t ')sin(2 t  2 t ')  4 4 Vậy (12) đúng. 3.4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Trong phần này chúng tôi xin giới thiệu một số bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số mà việc giải chúng thƣờng gặp rất nhiều khó khăn khi giải bằng phƣơng pháp thông thƣờng. Tuy nhiên, với sự “trợ giúp” của lƣợng giác thì việc giải các bài toán đó trở nên đơn giản. Chúng ta cùng xem xét một số bài toán sau. Bài 33. ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2003 ) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : f x  x 4  x2 trên 2;2 . Hướng dẫn:  Do 22 x  nên đặt xsin t ,   t  khi đó ta có : 22 max f x  m ax F t ; min f x min F  t   22 x   t  22 x   t  22 22 Với 2  F t 2sin t  4  sin t  2sin t  2 c ost  2sin t  2cos t  2 2 c os t- 1 , 4  vì  t  . 22  32     Khi t t  cos t-  1 2 . 2 2 4 4 4 2 4 221 Từ (1) và (2) suy ra max F t  22;min F  t   2    t   t  22 22 Vậy min f x   2 xx   2; max f x  2 2   2 22 x  22 x  Nhận xét : Trên đây là bài toán đơn giản không nhất thiết phải giải theo cách này nhƣng chúng tôi muốn đƣa vào đây thể hiện cách tiếp cận mới này. 2 xy y2  Bài 34. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số u  , trong đó 1 2x2 2 xy x và y thỏa mãn điều kiện xy221. 2 xy y2  Cách 1. Từ điều kiện ta suy ra u  . Giả sử x  0(vì xy221 32x22 xy y ), ta chia tử và mẫu số cho x2 , ta đƣợc 2 yy 2  xx u  2 yy 32 xx 2 y 2tt  Đặt t  , ta suy ra u  (1) x 32tt2 Do t2 2 t  3  0,  t ta có : 1 u  2 t2  2 u  1 t  3 u  0 (*) Trƣờng hợp 1. Khi ut23    Trƣờng hợp 2. Khi u  2, phƣơng trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi 0 2uu2  4  1  0 66 11  u   22 66 66 Do 1  2  1  nên với mọi t ta đều có 11 u   . 22 22 222 66 Vậy muaxu=1+ ; min 1 . 22 Cách 2. Do điều kiện xy221 nên ta có thể lƣợng giác hóa hàm u bởi phép đặt xt sin  . Khi đó, ta có : yc ost 2sint cos t 2cos2 t u  22 cos t 2sin t cos t 3sin t sin 2tc os2t+1 u 1 sin 2tc os2t+2 Hàm số u có tập xác định R, vì sin 2t c os2t+2   2,  t . Khi đó, u0 thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phƣơng trình sau có nghiệm sin 2tc os2t+1 u  0 sin 2tc os2t+2 u0 1 sin2 t  u 0  1 c os2t=1-2u 0 , có nghiệm 2 2 2 uu0 1  0  1   1-2u 0  2 2uu00  4  1  0 66 11  u   . 220 66 Vậy minum 1  ; axu=1  . 22 Nhận xét : Bài toán 2 là bài toán đa biến nên việc nhận dạng để giải theo phƣơng pháp thông thƣờng rất khó khăn, tuy nhiên với điều kiện đầu xy221 thì ta có thể lƣợng giác một cách đơn giản. ax+3 Bài 35. Tìm a để hàm số y  đạt maxy=4, miny=-1. x12  Hướng dẫn: 223 Đặt xt tan , khi đó ta có: atant+3 sint  c os2 t 3  a 3  y  a 3    sin 2 t  c os2t  1+tan2t cost  1 2  2 2  Theo công thức a2  b 2 asinu+bcosu  a 2  b 2 , ta suy ra: 1 maaxy= 32 9  2 1 min y= 3a2 9 2  1 3a2  9  4 maaxy=42    4 Theo giả thiết, ta có:  min y=-1 1a  4  3a2  9   1 2  Bài 36. Cho xy,0 và xy1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2211 P x 22  y  xy Hướng dẫn: 22 Theo giả thiết x y  x  y   1. Do đó, ta  xc os đặt  , 0; . Biểu thức trở thành  y sin 41   4 1  4 4  1  P cos 4    sin   4   c os   sin    1  4 4 = ccos   sin    os  sin   1 sin2 2  16 1 2c os22 sin 1 = 11.  44 4 cos sin 2 sin 2 sin2 2 1 16 Do 0 sin2 2 1 suy ra1 và 1 17 . 22 sin4 2 17 Vậy MinP  . 2 Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số u y 25 x  224 Biết rằng x và y thay đổi và thỏa mãn phƣơng trình 36xy22 16 9 (1). Nhận xét: Đây là bài toán chƣa xuất hiện rõ dạng quen thuộc. Do đó, để lƣợng giác hóa đƣợc chúng ta phải biến đổi đƣa về một trong những dạng thƣờng gặp. Hướng dẫn: 22 64xy    Ta có (1)       1. 33    6x  1  sint xt sin  3  2 Khi đó, ta đặt  43y cost y c ost  34 3 Do đó, ta viết lại u sin t  c ost+5. 4 Ta áp dụng bất đ ng thức a2  b 2 asinu+bcosu  a 2  b 2 suy ra đƣợc 2 2 3 25 maxu  5   1   44 2 2 3 15 minu  5   1   . 44 34x2  xy Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số u  (2) xy22 Trong đó x và y là hai số không đồng thời bằng không. Nhận xét: Đây là bài toán chƣa xuất hiện rõ dạng quen thuộc. Do đó, để lƣợng giác hóa đƣợc chúng ta phải biến đổi đƣa về một trong những dạng thƣờng gặp. Hướng dẫn: 2 x x y Từ (2) ta biến đổi thành u 3 4 . . 2 2 2 2 2 2 x y x  y x  y 225 22 xy    Ta lại thấy rằng     1. 2 2   2 2  x y   x y   x sint   22  xy Đặt  . y cost =  22  x  y Khi đó, (2) trở thành : 1 c os2t 3 3 u3sin2 t  4sin t cos t  3  2sin 2 t   2sin 2 t  c os2t+ . 2 2 2 Ta áp dụng bất đ ng thức a2  b 2 asinu+bcosu  a 2  b 2 suy ra đƣợc 2 332  Muax   2    4 22 2 332  Minu   21     . 22 Bài 39. (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2008 ) 26 x2  xy Cho xy221. Chứng minh rằng : 6   3. 1 2xy 2 y2 Hướng dẫn: 22 x  sin Do xy1 nên tồn tại góc  sao cho  . Khi đó, ta có yc os 22 2 x 6 xy 2 sin 6sin  c os   1c os2 6sin 2 P  = 1 2xy  2 y22 1  2sin c os   2cos  2 sin 2c os2 P 6 sin 2  P  1 c os2 =1-2P (*), phƣơng trình (*) có nghiệm theo  khi và chỉ khi PPP62   1 2  1  2  2 PPP2 3  36  0   6   3. Vậy ta có điều cần chứng minh. 226 Bài 40. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 3 3 2 2 P4 x  1  x  3 x  1  x   Hướng dẫn:  Điều kiện : 1xx2  0   1.Đặt xcos , 0; .Khi đó ta có 2 3 3 2 2 P4 c os  1  c os   3 c os  - 1-cos    4cc os33  sin   3 os   sin   33  = 4c os 3 c os   3sin   4sin   c os3   sin3   2c os 3 - . 4 Vậy MaxP2; MinP   2. Bài 41. Cho 0x , y , z 1 và xy yz  zx 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : x y z P    . 1x2 1  y 2 1  z 2 Hướng dẫn: x  tan   Đặt y  tan  . Do x, y , z  0;1  ,  ,   0; .  4 z  tan  Theo giả thiết, ta có tan tan  tan  tan   tan  tan   1        . 2 Khi đó 2tan 2tan  2tan  2P    = tan2 tan2  tan2  . 1 tan2 1  tan 2  1  tan 2  Do       2        2 227 tan 2  tan 2   tan 2   tan 2  tan 2  tan 2   *  Do ,  ,   0;  tan2 ,tan2  ,tan2  là các số không âm. 4 Áp dụng bất đ ng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có : 2P  33 tan2 tan2  tan2  Theo (*), ta có 2P  33 tan2  tan2   tan2  27 33 Tức là 2PPPPP 33 2  832  27.2   (do P>0) nên suy ra P  . 4 2 33 1 Vậy MinP  tan 2  tan 2   tan 2        x  y  z  . 2 3  x y1 xy Bài 42. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P  . 11xy22  Hướng dẫn: x  tan  Đặt  với ,;. y  tan  22 Khi đó, ta có: tan tan  1 tan  tan   1 P  =sin c os     sin 2   2  . 1 tan22 1 tan  2 11 Vậy MaxP;. MinP   22 1 x4 Bài 43. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P  2 . 1 x2  Hướng dẫn:  Đặt x  tan với  ; . 22 Khi đó, ta có: 228 4 1 tan  4 4 4 4 P2 1  tan  c os t  c os t  sin t = 1 tan2   1 1 2sin2 .c os 2   1  sin 2 2  . 2 Do sin 2 1  0  sin2 2  1. 1 Vậy MaxP1 khi x   1; MinP  khi x  0. 2 xy2211    22 Bài 44. Trong các nghiệm  x;;; y z t  của hệ phƣơng trình zt22  .  xt yz 23  Hãy tìm nghiệm sao cho tổng yt nhỏ nhất. Hướng dẫn: Đặt x cos ,y=sin  ,z= 2 c os  , t 2sin  thay vào 3, ta đƣợc 2cc os sin  sin  os   2 sin   1 sin   1      k2  , k  R . 2 Do đó sincc os  , os  sin  và 12 y t sin  2 sin   sin   2 c os  3 sinc os . 33  1 2 2 cos = 12  3 Vì 1 nên tồn tại góc  sao cho  . 33 2  sin =  3 Khi đó ty 3sin    Suy ra Min t y  3  sin    1      k2  , k  Z . Từ đó 2 36 sin cc os    ; os    sin    33 229  6 x   3  3 y   3 Vậy  là nghiệm của hệ phƣơng trình để cho t + y nhỏ nhất. 6 z   3   23 t   3 Bài 45. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: b x22 y axy P, x22  y  0. xy22 Hướng dẫn: Để phát hiện ra dấu hiệu để lƣợng giác hóa ta cần biến đổi 22 x y x   y  P2. a  b      2 2 2 2 2 2 2 2 x y x  y x  y   x  y       y 22  cos  22 xy     xy Với     1, ta đặt  . Khi đó, ta có 2 2   2 2  x x y   x y    sin  22  xy P2 a sin c os   b sin22   c os  =asin 2 bc os2 . Do asin2 -bcos2 ab22, nên MaxP= a2 b 2 ,minP=- a 2 b 2 . Bài 46: Cho đƣờng tròn (C) và đƣờng th ng  có phƣơng trình (C): xy222   3  2 (1) và : xy 20  . Xác định tọa độ điểm M thuộc đƣờng tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Hướng dẫn: Tham số hóa phƣơng trình đƣờng tròn (C) nhƣ sau: 230 Chuyển phƣơng trình đƣờng tròn (C) về dạng tham số: xt2 2 sin  ,t  0;2  . yt3 2 cos Do MC  nên M2 2 sin t ;3 2 cos t . Khi đó, ta có:  2sint  3 2 2 sintt  3  2 cos  2 4 d d M ;    . 22 52 Vậy khoảng cách từ M đến  đạt giá trị lớn nhất là khi 2 3 sint   1  t   M1  1;4. Khoảng cách từ M đến đạt giá trị nhỏ 42 2 3 nhất là khi sint  1  t   M 2  3;2. 2 44