Tính chất phổ của toán tử tuyến tính dương

Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Trước hết qua luận văn này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Nguyễn Bích Huy, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp em tích lũy những kiến thức bổ ích để hoàn thành luận văn. Trong suốt quá trình học tập, em đã nhận được những kiến thức quý báu từ các thầy cô trong khoa Toán -Tin trường Đại học Sư Phạm Tp. HCM và trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, cũng qua luận văn này em xin được đồng kính gửi đến các thầy cô lòng tri ân thành kính nhất. Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN-SĐH đã giúp em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này. ***************** Lê Phước Toàn MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vào nữa đầu thế kỷ XX, lý thuyết các khơng gian trừu tượng: khơng gian metric, khơng gian tuyến tính định chuẩn, khơng gian tơpơ và tuyến tính tơpơ đã được hình thành. Tiếp đĩ, lý thuyết tốn tử tuyến tính xuất hiện và đã tìm ngay được những ứng dụng quan trọng trong: Phương trình vi phân thường, Phương trình đạo hàm riêng, Phương trình tích phân, Vật lý lý thuyết và cả trong một số lĩnh vực kỹ thuật. Lý thuyết phương trình tốn tử trong khơng gian cĩ thứ tự ra đời từ nhưng năm 1950 và được hồn thiện cho tới ngày nay. Tính chất phổ được nghiên cứu cho nhiều lớp tốn tử tuyến tính dương bằng các phương pháp khác nhau, bởi các nhà tốn học từ nhiều nước. Việc tập hợp các kết quả này lại và trình bày chúng theo một hệ thống hồn chỉnh là việc làm cần thiết. 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nhằm sử dụng quan hệ thứ tự và tính chất phổ của các tốn tử tuyến tính dương để nghiên cứu sự tồn tại giá trị riêng  tương ứng với vectơ riêng x0 của bài tốn tổng quát sau: “Cho C là một tập hợp con của một khơng gian. E,u là một tốn tử tuyến tính dương từ C vào X với những điều kiện nào trên C,X và u để cĩ thể khẳng định sự tồn tại của một vectơ riêng x0 tương ứng với giá trị riêng  sao cho u x0 =  x0”. Luận văn này chủ yếu là trình bày những ứng dụng trên khơng gian vectơ tơpơ được sắp thứ tự để nghiên cứu về tính chất phổ của các tốn tử tuyến tính dương, compắc, tốn tử u0- bị chặn, tốn tử tuyến tính khơng phân tích được. Chúng ta giả sử rằng đã biết các vấn đề cơ bản nhất về đại số của các tốn tử trên một khơng gian Banach; Chương I liệt kê một số chi tiết những gì cần trong việc trình bày tiếp theo. Chương II được dành cho sự bắt tay vào nghiên cứu vấn đề phổ của tốn tử tuyến tính dương. Chương III dành cho nghiên cứu về phổ của tốn tử u0 – bị chặn. Cuối cùng chương IV dành riêng cho vấn đề phổ của tốn tử tuyến tính khơng phân tích được. Chương 1: PHỔ CỦA ÁNH XẠ - KHƠNG GIAN CĨ THỨ TỰ 1.1 Các tính chất cơ bản của giải thức Giả sử (E,.) là một khơng gian Banach phức và ký hiệu L(E) là đại số Banach những ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E với chuẩn thơng thường u u=sup{u(x): x 1}.Nếu u L(E) thì phổ  (u) là phần bù trong C của tập mở lớn nhất  (u) mà trong đĩ ( e-u)-1 tồn tại và là hàm giải tích địa phương. Ở đây và trong các phần tiếp theo e là ký hiệu cho ánh xạ đồng nhất của L(E). Cho    (u), chúng ta đặt ( e-u)-1 = R( );R( ) gọi là giải thức,  (u) gọi là tập giải thức của u. Giả sử rằng E {0} khi đĩ  (u) là tập con Compact khơng rỗng của C bán kính r(u) của đường trịn nhỏ nhất tâm O trong C chứa  (u) được gọi là bán kính phổ của u; tập { C:| |= r(u)}, được gọi là đường trịn phổ của u. Hơn nữa, nếu    (u) và    (u) thì cĩ phương trình giải thức: R( )-R( )= - ( - )R( ).R( ) (1). Ở đây chúng ta ký hiệu hợp u0v của u,v  L (E) bằng uv. Theo định lý về ánh xạ ngược của Banach, phổ  (u) cĩ thể định nghĩa là tập hợp của những C để  e-u khơng là song ánh. Từ xem xét này chúng ta cĩ kết quả như sau: Định lý: Giả sử u  L (E) với E là một khơng gian Banach phức và giả sử rằng { n:nN} là một dãy con trong  (u) hội tụ tới  C, thì   (u), khi và chỉ khi limn R( n) = +  . Chứng minh (=>) Giả sử  n n   và   (u) khi đĩ  e – u khơng khả nghịch trong L (E). Suy ra nlim R( )n    . ( )Để chứng minh điều kiện cần ta giả sử rằng tồn tại một dãy con { n} của dãy { n} sao cho {R( n):nN} là bị chặn, do (1) ở trên ta cĩ: với m > n. R( n)- R( m) = - ( n-  m) R( n) R( m) m,n N. Suy ra n mlim R( ) R( ) 0n     do lim nn    . Từ đĩ suy ra {R( n):n N } là dãy Cauchy trong L (E) và do đĩ hội tụ tới  nào đĩ ,   L (E) . Điều đĩ nghĩa là n nlim R( )( e - u) ( e - u) = en      . và tương tự ta cĩ ( e-u)  =e , suy ra (e-u) khả nghịch trong L (E) Do đĩ :   (u) điều này mâu thuẩn. Vậy nlim R( )n    . Tập hợp con của  (u) nơi mà trong đĩ( e-u) khơng là đơn ánh được gọi là phổ điểm (u) của u .Một phần tử 0 (u) được gọi là một giá trị riêng của u, khơng gian hạch (hạt nhân) của (0e - u) gọi là khơng gian riêng tương ứng ký hiệu N(0). Số chiều của N(0) được gọi là số bội (hình học) của0 và các phần tử khác khơng của N(0) gọi là vectơ riêng của u tương ứng với giá trị riêng 0 , mỗi vectơ riêng x này là 1 nghiệm của phương trình ux = 0x. Phổ điểm của u bao gồm tất cả các cực của giải thức R. Giả sử 0 là một cực của R và R() = k n    ak( - 0 )k (a-n  0) (2). là khai triển Laurent của R ở lân cận của 0. Số nguyên n (n  1) là bậc của cực 0, tổng riêng phần của (2) kéo dài từ k = - n tới k = -1 gọi là phần chính của khai triển; a-n gọi là hệ số đầu tiên, và a-1 gọi là thặng dư của R tại  = 0 . Nhân (2) với ( e-u) = (0 e-u)+ ( - 0) e và so sánh các hệ số trong đồng nhất thức nhận được (theo định lý duy nhất cho các hàm giải tích), chúng ta cĩ được: a-n (0 e-u)= (0 e-u) a-n = 0 và a-n = a-1(u-0 e)n-1. hiển nhiên hệ số ak giao hốn với u. Những mối quan hệ này cho ta thấy rằng 0 thuộc  (u); cụ thể hơn, hệ số a-1 là 1 phép chiếu của E lên trên khơng gian hạch của (0 e-u)n khơng gian này chứa N(0). Ngồi ra cho chúng ta nhớ lại rằng nếu u Compact thì giải thức R là 1 hàm chỉnh hình trên hình cầu Riemann bị đâm thủng tại 0 (một cách xác định tổng quát, R()=0) vì vậy nếu u compact thì  (u) là một tập hợp đếm được với 0 cĩ thể là điểm tụ duy nhất, và mỗi một số khác khơng  (u) là một giá trị riêng của u cĩ số bội hữu hạn. Cuối cùng, nếu u L (E) và ||  r (u) giải thức của u được cho bởi R() = 0n     -(n+1) un (3). (uo=e); (3) là khai triển của R tại  và được gọi là chuỗi C-Newmann. Theo tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của các chuỗi luỹ thừa ta suy ra: r (u) = lim sup un 1/n một cách chính xác hơn r(u) = limnun 1/n Trong trường hợp r (u) = 0, u được gọi là lũy linh tơpơ của đại số Banach L (E); hiển nhiên u là một lũy linh tơpơ nếu và chỉ nếu  (u) ={0} hoặc tương đương, nếu và chỉ nếu giải thức R (với R()=0) là một hàm số nguyên của  -1. Nếu E là một khơng gian Banach trên và u  L (E), phổ thực  R(u) được xác định như tập hợp con của R nơi mà trong đĩ ( e-u) khơng là song ánh; một cách tương tự, chúng ta cĩ thể xác định giải thức thực của u như là hàm số  ( e-u)-1 với miền xác định R\ R(u) (cĩ thể xảy ra R(u) là trống như ví dụ một phép quay quanh gốc của mặt phẳng Euclidean R2 ). Chúng ta sẽ xét quá trình phức hĩa khơng gian Banach thực như sau: Giả sử (E,.) là một khơng gian Banach trên R. Sự phức hĩa E1 của E là một khơng gian định chuẩn đầy đủ trên C. Nếu chúng ta muốn cĩ một chuẩn trên E1 sao cho phép nhúng của E và trong E1 là một phép đẳng cự ta định nghĩa: 1 0 2 x + iy = ( os )x + (sin )ysup c       Mọi uL (E) cĩ một sự mở rộng phức duy nhất u  L (E1) được xác định bởi u (x+iy) = u(x) + iu(y) với mọi x,yE. Trong trường hợp E là một khơng gian Banach thực và u L (E) chúng ta xác định phổ, giải thức, bán kính phổ của u là những đối tượng tương ứng cho u như đã xác định ở trên. Thỉnh thoảng để thuận tiện ta đồng nhất u với sự mở rộng phức của nĩ u . Dễ dàng nhận thấy rằng với u L (E), chúng ta cĩ R(u) = (u) và với   \R(u) giải thức thực của u là sự thu hẹp của giải thức của u trên E (được xem như là một khơng gian con thực của E1) và bán kính phổ r (u) là số thực nhỏ nhất   0 sao cho với | |  ,   chuỗi (3) hội tụ trong L (E). 1.2 Khơng gian Banach với thứ tự sinh bởi nĩn 1.2.1 Nĩn và thứ tự sinh bởi nĩn Định nghĩa 1.2.1.1 1) Tập K trong khơng gian Banach thực X gọi là nĩn nếu i) K là tập đĩng ii) K + K  K,  K  K,    0 iii) K  (-K) = { } 2) Nếu K là nĩn thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi x  y  y – x  K Mỗi xK\ { } gọi là dương. Mệnh đề 1.2.1.2: Giả sử “” là thứ tự sinh bởi nĩn Khi đĩ: 1) x  y  x+ z  y+ z ;  x   y  z  X,   0 2) (xn  yn (n  N*), lim xn = x, lim yn = y)  x  y 3) Nếu { xn } là dãy tăng, hội tụ về x thì xn  x ( n  N*) Chứng minh 2) Suy từ tính chất đĩng của K 3) Cho m  trong bất đẳng thức xn  xn+m 1.2.2 Nĩn chuẩn Định nghĩa 1.2.2.1: nĩn K gọi là nĩn chuẩn nếu:  N > 0 : x y    x  N y. Mệnh đề 1.2.2.2: Giả sử “” là thứ tự sinh bởi nĩn chuẩn khi đĩ 1) Nếu u  v thì đoạn := {xX: u  xv } bị chặn theo chuẩn 2) Nếu xn  yn  zn (n N*) và lim xn =a, lim zn =a thì lim yn =a 3) Nếu { xn } đơn điệu, cĩ dãy con hội tụ về a thì lim xn =a, Chứng minh 1)  x    x-u  v-u  x-u  N u-v  x  u + N u-v 2)   yn - xn  zn - xn  yn - xn  N zn - xn 3) Coi { xn } tăng và nlim x = akk Vì xn  x kn (n cố định, k đủ lớn) nên xn  a  n  N* Cho 0  , chọn k0 để k 0 nx -a /N thì ta cĩ:  n > n 0k  a- xn  a- xn 0k  a- xn  N a- xn 0k <  Chương 2: TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG 2.1 Tốn tử tuyến tính dương Cho khơng gian Banach X cĩ thứ tự sinh bởi nĩn K. Một ánh xạ tuyến tính A:XX được gọi là dương nếu  x > ( )A x   hay A (K) K Nếu A là tuyến tính dương thì nĩ cũng cĩ tính đơn điệu x  y A(x)  A(y). 2.2 Định lý Pringsheim’s Giả sử E là một khơng gian Banach được sắp thứ tự trên C sao cho nĩn dương C là chuẩn yếu. Nếu an C (n=0;1;….) và nếu 0  anzn cĩ bán kính hội tụ 1, thì hàm giải tích biểu diễn bởi chuỗi luỹ thừa cĩ kỳ dị tại z=1. Ngồi ra, nếu điểm kỳ dị là cực điểm thì nĩ cĩ cấp lớn nhất trên |z|=1. Chứng minh Cho f là hàm (với giá trị trong E) được cho bởi f(z) = 0  anzn khi |z|<1và giả sử bán kính hội tụ của chuỗi là 1. Cho x’ là dạng tuyến tính thực liên tục trên E ; r x’ là bán kính hội tụ của chuỗi 0  tn trong đĩ t là số thực, là  1. Hơn nữa ta cĩ inf { r x’ : x’D} = 1, trong đĩ D là tập hợp của tất cả những dạng tuyến tính thực liên tục trên E, khơng âm trên C. Thật vậy nếu chúng ta cĩ inf { r x’ : x’D} =  >1 thì chuỗi 0  antn sẽ hội tụ trong E với mọi t: - < t <  . Do tính chất “chuẩn” của C kéo theo E0 = D-D, trong đĩ E0 là khơng gian thực nền tảng của E. Vì vậy zf(z) sẽ cĩ sự mở rộng chỉnh hình lên đĩa mở |z|< điều này là mâu thuẫn. Giả sử p, 0<p<1 là cố định, cho x’D và xác định bk= ( )nk n k    pn-k an với k=0,1… Do cho p< t <1 nên ta cĩ 0  tn = 0  ((t-p)+p)n = = + (t-p)+ p + (t-p)2+ 2 (t-p)p+p2…. = + p+p2+…+[+2p +3p2+...](t-p)+ [+3p+….](t-p)2+ [+….] (t-p)3 +…. = + (t-p) + (t-p)2+ …. = 0n    (t-p)n tất cả các số hạng trong 3 chuỗi 0  tn = 0  ((t-p)+p)n = 0  (t-p)n là khơng âm, ta suy ra chuỗi 0  (t-p)n cĩ bán kính hội tụ r x’ -p và do đĩ chuỗi 0  bn(t-p)n cĩ bán kính hội tụ 1-p. Bằng một sự kết luận tương tự lý thuyết hàm giải tích,điều này dẫn đến rằng z=1 là điểm kỳ dị của f. Bây giờ giả sử rằng điểm kỳ dị của f tại z=1 là một cực cĩ cấp k. Nếu  =expi là số phức bất kỳ cĩ mơđum là 1, và nếu z = t ,0<t<1, chúng ta cĩ p 1 lim (| z |) | z - | 0 t f   với mọi p>k ; Do C là một nĩn chuẩn yếu, điều này suy ra, với bất kỳ p>k thì (1-t)p 0  (tn cos n )an, (1-t)p 0  (tn sin n )an hội tụ đến 0 đối với tơpơ  (E,E’) khi t1. Vì vậy nếu  là một cực của f bậc m, ta suy ra m k và định lý được chứng minh. 2.3. Một số tính chất phổ của tốn tử tuyến tính dương Định lý 2.3.1: Giả sử E là một khơng gian Banach phức cĩ thứ tự khác {0} với nĩn dương C sao cho C là chuẩn và E=C-C. Với bất kỳ sự đồng cấu dương u của E, bán kính phổ r (u) là một phần tử của  (u). Chứng minh Do C là chuẩn và E=C-C nên tự đồng cấu dương u của E là liên tục. Nĩn H của những tự đồng cấu dương của E là chuẩn trong L (E) với tơpơ chuẩn của L (E). Nếu r (u)>0 xét hàm z f(z) =R(r(u)/z). Theo cơng thức (3) chương 1 ta cĩ f(z)= 0  (r (u)/z)-(n+1)un== 0  (z/ r (u))(n+1)un; f cĩ điểm kỳ dị tại z=1 và r (u) là 1 cực của giải thức (giả thiết định lý) nên áp dụng định lý 2.2 với z f(z) ta được điều phải chứng minh. Nếu r (u) = 0 thì u là một luỹ linh tơpơ,  (u)={0} và sự khẳng định là đúng. Định lý 2.3.2: Giả sử E là một (B)- khơng gian phức cĩ thứ tự thoả mãn giả thiết của định lý 2.3.1 và u là một tự đồng cấu dương của E. Nếu   (u) thì R( ) là dương nếu và chỉ nếu  là thực và  > r (u). Chứng minh ( ) Rõ ràng rằng  > r (u) là đủ để R( )= 0n     -(n+1)un  0 (với thứ tự chính tắc của L(E)) do cơng thức (3) của chương 1. ( ) Giả sử R( )  0 với   (u) (cần chứng minh là số thực và  > r (u). Chọn một x0 >0 và xác định một cách đệ quy xn = R( ) xn-1 (n ) . Mỗi một xn thoả mãn quan hệ sau.  xn= R( )xn-1 = 0n    1( )n nnu x  = 0 1 0 ( )nu x   + 1n    1( )n nnu x  = xn-1 + 0n    1 1( )n nnu x   Hay  xn = xn-1 + u(xn ) (n ) (*) Hiển nhiên xnC với mọi n và hơn nữa xn >0 (nếu xn =0 với một n N dẫn đến x0 =0). Hơn nữa bằng phép quy nạp theo n từ (*) cho thấy  nxn  C và  n-1 xn C với mọi n N và do:  n xn =  ( n-1 xn)=  u( n-1 xn)+ n-1 xn-1   n-1 xn-1 Nên  n xn  n-1 xn-1  x0 (n N) Do đĩ  0 và chúng ta cĩ thể giả định rằng | |= 1 vì nếu R( ) là dương tại  0 thì giải thức của | -1| u là dương tại | -1| . Giả sử  =expi , 0   0. Rõ ràng n   (mod 2 ) cho tất cả các số nguyên dương n, vì nếu khơng thì C sẽ khơng là một nĩn thực sự. Do đĩ tồn tại một số nguyên nhỏ nhất n0 > 0 sao cho tam giác với các đỉnh 1, expi (n0- 1) , expi n0 trong mặt phẳng phức cĩ 0 nằm trong phần trong của nĩ. Xét khơng gian con thực duy nhất M của E cĩ số chiều là 2 mà chứa những điểm 0nx , 0 01n nx  và 0 0n nx .Ta suy ra MC chứa 0 như một điểm trong, điều này mâu thuẫn với thực tế rằng C là một nĩn chính tắc, vì vậy  = 0 và do đĩ  > 0. Tới thời điểm này của phần chứng minh chúng ta mới sử dụng C như là một nĩn chính tắc  {0} . Giả sử rằng C là chuẩn và E=C-C, như trên, ta suy ra nĩn dương HL(E) là chuẩn. Nếu đúng là R( ) 0 với một  ,0<  r (u) thì theo phương trình giải thức (chương 1, cơng thức (1)) ta cĩ: Với  > r (u) thì  > >0 suy ra R( )-R( ) 0 nên R( )R( ) 0 và do đĩ; do tính chuẩn của H , ta cĩ { R( ): >r (u)} là một họ bị chặn trong L(E). Điều này rõ ràng mâu thuẫn với trên và do đĩ ta suy ra > r (u). Chú ý: chứng minh ở trên cho thấy rằng mỗi khi E là một khơng gian Banach cĩ thứ tự với nĩn dương C  {0} và u là một tốn tử dương (tự đồng cấu liên tục) của E thì R( )0 kéo theo  >0. Định lý 2.3.3: Giả sử E là một khơng gian Banach thực cĩ thứ tự với nĩn dương tồn phần C và giả sử rằng u là một tự đồng cấu dương liên tục của E mà giải thức của u cĩ một cực trên đường trịn phổ | |= r (u). Khi đĩ r (u)  (u) và nếu r (u) là một cực của giải thức thì nĩ cĩ bậc lớn nhất trên đường trịn phổ. Chứng minh Do C là nĩn thực sự, đĩng, tồn phần trong E, nĩn đối ngẫu của nĩ C’ cĩ những tính chất tương tự đối với  (E’,E) và do đĩ G =C’-C’ là một khơng gian con trù mật của đối ngẫu yếu E’ . Nếu F ký hiệu cho khơng gian (E,  (E,G)) thì C là một nĩn chuẩn trong F. Ký hiệu bởi E1,F1 là sự phức hĩa của E,F tương ứng. Chúng ta xét E1 là cĩ thứ tự với nĩn dương C thì thứ tự chính tắc của L(E1) được xác định bởi nĩn dương. H = { L (E1):  (C) C}. Hơn nữa chúng ta sẽ đồng nhất u L (E) với sự mở rộng phức hĩa của nĩ tới E1. Giả sử ta ký hiệu bởi L (E1,F1) là khơng gian của những ánh xạ tuyến tính liên tục từ E1 vào trong F1 với tơpơ của sự hội tụ đơn trên C. Tồn tại một phép nhúng tự nhiên  của L(E1) vào trong L (E1,F1) là liên tục; để cho ký hiệu được đơn giản, chúng ta ký hiệu những ảnh của các phần từ và các tập hợp con của L(E1) qua  bởi chỉ số 0. Đầu tiên chúng ta chú ý rằng từ tính chuẩn của C trên F1, ảnh H 0 của nĩn H là chuẩn trong L (E1,F1). Bây giờ cho  ,| |= r (u) là một cực cĩ bậc k (k1) của giải thức  R( ) của u và giả sử a  L(E1) là hệ số đầu tiên của phần chính tại  =  , đầu tiên cĩ a = lim  ( - ) k R( ), do đĩ cũng cĩ a0 = lim  ( - )kR0( ); Giả sử rằng r (u)  (u); thì   R( ) và ánh xạ   R0( ) sẽ giải tích tại  = r (u). Do các hệ số của khai triển R0( ) = 0n     -(n+1) u0n của R0 tại vơ cùng là những phần tử của nĩn chuẩn H0. Định lý 2.2 suy ra rằng R0 cĩ một sự mở rộng, với những giá trị trong sự bổ sung của L  (E1,F1) thành một ánh xạ giải tích trên | |>  trong đĩ: 0 <  < r (u). Trong trường hợp đặc biệt {R0( ):| |>r (u)} là một họ bị chặn trong L  (E1,F1). Hiển nhiên, điều này suy ra a0=0 và do đĩ a=0, điều này là mâu thuẫn. Vì vậy r (u)  (u). Để chứng minh khẳng định cuối cùng chúng ta chú ý rằng bất kỳ cực nào của   R( ) trên | |= r (u) là một cực cùng bậc của R0; Vì vậy khẳng định này được suy từ định lý Pringsheim’s (2.2) định lý được chứng minh. Hệ quả 2.3.4 (Krein-Rutman): Giả sử E là một khơng gian Banach thực cĩ thứ tự với nĩn dương tồn phần C và giả sử u là một tự đồng cấu dương, compact của E. Nếu u cĩ bán kính phổ r (u)>0 thì r (u) là một cực của giải thức cĩ bậc lớn nhất trên đường trịn phổ, với một vectơ riêng trong C. Kết qủa tương tự cũng đúng cho liên hợp u’ trong E’. Chứng minh Do u là compact nên 0 (u) do đĩ chỉ những điểm kỳ dị khác 0 của tập giải là các cực và cĩ ít nhất một điểm kỳ dị trên | |= r (u) (Thật vậy: giả sử u khơng cĩ điểm kỳ dị trên | |= r (u) khi đĩ giải thức R( ) xác định   , | |= r (u) suy ra r (u)  (u) hay r (u) (u)  r (u) khơng là bán kính phổ). Do đĩ  = r (u) là một cực với bậc k(k1) nào đĩ của tập giải và chúng ta cĩ P= ( ) lim r u ( - r (u)) k R( ) là hệ số đầu tiên của phần chính tương ứng. Từ R( )0 (với thứ tự chính tắc của L (E)) mỗi khi  > r (u) suy ra P 0, do nĩn dương của L (E) là đĩng.Từ C là nĩn dương tồn phần trong E, tồn tại yC sao cho P(y)>0;Cho yC thoả P(y) 0. Từ đẳng thức (r (u)e-u)P= ( ) lim r u ( - r (u)) k ( e-u)R( ) = ( ) lim r u ( - r (u)) k = 0 Ta kết luận được r (u)P(y) = u(P(y))từ đĩ suy ra P(y) là một vectơ riêng trong C tương ứng với r (u). Cuối cùng, nếu u’ là liên hợp của u trong đối ngẫu mạnh E’, chúng ta cĩ  (u)= (u’) và  R( )’ là giải thức của u’. Đặc biệt  R( )’ cĩ một cực tại  = r (u’) = r (u) và chúng ta cĩ sự khẳng định cho u’ bởi sự tương tự trong phần chứng minh trước. Đặc biệt P(C) C, suy ra P’(C’)  C’ và P’ khơng triệt tiêu trên C’, do C’ là tồn phần trên E’ và P’ là liên tục. Ghi chú : Nếu C là tồn phần trong E, chứng minh trên khẳng định rằng với bất kỳ tự đồng cấu dương liên tục u trên E mà giải thức của nĩ cĩ một cực tại  = r (u), thì tồn tại những vectơ riêng của u trong C và của u’ trong C’ tương ứng với r (u). Định nghĩa 2.3.5: Giả sử E là một khơng gian Banach thực cĩ thứ tự với nĩn dương C; một ánh xạ tuyến tính u của E vào trong chính nĩ được gọi là C-compact nếu u là liên tục trên C đi vào trong C, và nếu u(UC) là compact tương đối , U là ký hiệu quả cầu đơn vị của E. Chúng ta xác định bán kính C-phổ của u là số rc = lim (supun(x):xC,x  1)1/n . (phần chứng minh bên dưới sẽ cho thấy giới hạn luơn tồn tại) Định lý 2.3.6: Giả sử E là một khơng gian Banach thực cĩ thứ tự với nĩn dương chuẩn C. Nếu u là một ánh xạ C-compact trong E sao cho r c >0 thì r c là một giá trị riêng của u với một vectơ riêng trong C. Chứng minh Ký hiệu U là qủa cầu đơn vị của E và bởi H là bao lồi tuyệt đối của UC. Thì { H,  >0} là một cơ sở lân cận của O đối với một tơpơ định chuẩn  trên khơng gian con E0=C-C của E. Vì vậy nếu q là hàm cỡ của H thì (E0,q) là một khơng gian Banach, hơn nữa, trên C chuẩn q phù hợp với chuẩn nguyên thủy của E. Vì vậy C là một nĩn đĩng chuẩn trong (E0,q) và rc là bán kính phổ r( ) của ánh xạ  với là thu hẹp của u trên E0.Theo định lý 2.3.1 ta suy ra r( ) ( )  . Do đĩ {R ( n):n } là khơng bị chặn trong L(E0,q) cho bất kỳ dãy số thực giảm { n } nào sao cho lim n  n= r ( ) và do nguyên lý bị chặn đều, tồn tại yC sao cho lim n q(R ( n)y) = +  cho mọi dãy xác định { n} giảm, hội tụ tới r ( ). Giả sử xn=R ( n)y/q (R ( n)y) thì xnC và q(xn ) =xn = 1 với mọi n. Hơn nữa lim n q( n xn -  (xn ))= lim n q ( ) ( ) )( ( ( ) ) n n n n y yRR q yR           = 0. Nên lim n q( n xn -  (xn ))= lim n  n xn - u(xn ) =0 điều này dẫn đến lim n (r c e – u)xn =0 trong E. Vì vậy, do dãy {u(xn )} là compact tương đối trong E, dãy {xn } cĩ điểm tụ x trong E (và do đĩ trong C, do C là đĩng). Hiển nhiên, điểm tụ thỏa mãn r c x = u(x) và x = 1, điều này chứng minh định lý. Định nghĩa: một nĩn lồi C đỉnh 0 trong một khơng gian lồi địa phương E gọi là cĩ một cơ sở compact nếu tồn tại một tập con afin (thực) N của E khơng chứa 0, sao cho CN là compact và C={ x:  0;x NC}. Từ định lý tách tồn tại một siêu phẳng thực đĩng H tách N C tới {0]; khi đĩ C={ x:  0;xHC}. Định lý 2.3.7: Giả sử E là một khơng gian lồi địa phương trên R và giả sử C là một nĩn trong E với cơ sở compact. Nếu u là một tự đồng cấu của khơng gian con C-C của E sao cho u(C) C và sự thu hẹp của u tới C là liên tục, thì u cĩ một giá trị riêng  0 với một vectơ riêng trong C. Chứng minh Giả sử H = {x:f(x)=1} là một siêu phẳng trong E sao cho HC là một cơ sở compact của C; Ký hiệu V là bao lồi của {0} (HC) trong E và đặt U=V-V thì { U:  >0} là một cơ sở lân cận điểm 0 trong E0=C-C của một tơpơ định chuẩn  , dễ dàng kiểm tra chuẩn zz=inf{f(x)+f(y) :z=x-y,x,yC} sinh ra tơpơ trên E0. Hơn nữa, do U là compact và do đĩ đầy đủ trong E, và từ  là min hơn tơpơ trên E0 cảm sinh từ E, ta suy ra (E0, ) là đầy đủ, do đĩ (E0, .) là một khơng gian Banach. Hơn nữa C là đĩng trong khơng gian này và hiển nhiên chuẩn, do đĩ u là tự đồng cấu dương liên tục của (E0, .) với thứ tự của E0 sinh bởi nĩn dương là C. Vì vậy, từ định lý 2.3.1 ở trên, ta suy ra bán kính phổ r(u) là một số trong  (u) (hồn tồn cĩ khả năng là r (u)=0, thậm chí nếu u 0). Như trong phần chứng minh của định lý 2.3.6 chúng ta xây dựng một dãy { xn } trong C sao cho xn=f(xn)=1 với mọi n và sao cho lim n r (u) xn - u(xn ) =0. Do HC là compact trong E và u là liên tục trên C theo giả thiết nên mọi điểm tụ xHC (trong tơpơ tạo ra bởi E) của dãy { xn } thỏa mãn r (u)x=u(x). Điều này hồn thành chứng minh. Hệ quả 2.3.8 (Krein-Rutman): Giả sử E là một khơng gian Banach thực cĩ thứ tự với nĩn dương C cĩ điểm trong . Nếu u là tự đồng cấu dương liên tục của E thì tồn tại một giá trị riêng 0 của liên hợp u’ với một vectơ riêng trong nĩn đối ngẫu C’. Ngồi ra, nếu C là chuẩn thì bán kính phổ r (u) của u là một giá trị riêng của u’. Chứng minh Thật vậy, giả sử x0 là điểm trong của C, xét siêu phẳng H={x’:=1} trong E’thì HC’ là một  (E’,E) –compact, do đĩ C’ là một nĩn với cơ sở Compact trong E’, và u’(thoả mãn u’(C’)C’) là  (E’,E) – liên tục, do đĩ cĩ thể áp dụng định lý 2.3.7. Ngồi ra nếu C là một nĩn chuẩn trong E thì E’=C’-C’ và như ta được thấy tơpơ  được xây dựng trong phần chứng minh của định lý 2.3.7 là tơpơ của đối ngẫu mạnh E’. Do đĩ số r (u’) là một giá trị riêng của u, là bán kính phổ của u’ trong E’ và vì vậy bằng r (u). Chương 3: TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TỐN TỬ u0 – BỊ CHẶN Cho khơng gian Banach X cĩ thứ tự sinh bởi nĩn K. 3.1. Tốn tử uo - bị chặn: Cho A:X X là ánh xạ tuyến tính dương và phần tử uo K\ { } 1) A gọi là uo - bị chặn dưới (uo - bị chặn trên) nếu với mỗi x  K\ { } tồn tại số  =  (x) > 0, n=n(x)  N* sao cho An(x)   uo (An(x)   uo ) 2) A gọi là uo - bị chặn hay uo - dương nếu nĩ uo - bị chặn dưới và trên Ví dụ 1: Giả sử Int K  , uo  Int K và A:X X là ánh xạ tuyến tính thoả mãn điều kiện A(x)  Int K, x  K\{} thì A là uo - dương. Chứng minh Xét x  K\{ } Vì A(x)  Int K nên  r 1>0 : B (A(x), r 1)  K do đĩ: A(x) - 1 0 r u uo  K hay A(x)  1 0 r u uo Tương tự, do uo  Int K nên  r 2 >0 : uo - ( ) ( ) A x A x r 2   hay A(x)  2 ( )A x r uo Ví dụ 2: Trong C[0,1] với nĩn K các hàm khơng âm, xét ánh xạ A(x)(t) = 1 0  K(t,s)x(s)ds t(1-s) nếu 0  t  s  1 Với K(t,s) = s(1-t) nếu 0  s t  1 Ta cĩ: t (1-t).s(1-s)  K(t,s)  t(1-t)  (t,s)  [0,1] x [0,1]  t(1-t) 1 0  s(1-s)x(s)ds  Ax(t)  t(1-t) 1 0  x(s)ds Do đĩ A là uo - dương với uo (t) = t (1-t). 3.2 Sự tồn tại vectơ riêng dương: Bổ đề 3.2.1: Cho u0 –K và x K. Khi đĩ tồn tại số cực đại tx  0 sao cho x tx u0 (cực đại theo nghĩa nếu t cũng thoả x tu0 thì t  tx) Chứng minh Đặt T={t0: x tu0 } Ta cĩ T  bị chặn trên Số tx:=supT là số cần tìm Định lý 3.2.2: giả sử i) A:X  X là ánh xạ tuyến tính dương, hồn tồn liên tục (=compact) ii) tồn tại phần tử uK-K, u-K và số  >0, p * thỏa mãn AP(u) u. Khi đĩ A cĩ trong K vectơ riêng với giá trị riêng tương ứng  p  Chứng minh: Giả sử u=v-w,v,w K,v0 Do định lý điểm bất động Schauder, với mỗi n *, ánh xạ x (A(x)+ v n ) / A(x) + v n cĩ điểm bất động trong tập K B ( ,1). Do đĩ  xnK, xn= 1,   n =A(xn) + vn : A(xn) + v n =  n xn (1) * Ta sẽ chứng minh :  n  p  Gọi tn là số cực đại thỏa mãn xn  tn u. Ta cĩ tn >0 (do xn  1 nn u) xn  n 1  A(xn)  xn  1 p n A P(xn ) xn  1p n A P (tn u) n p n t u   tn  n p n t   (do tính cực đại của tn )  điều phải chứng minh * Tiếp theo ta cĩ: {nk}: knA(x ) k hội tụ về một y K (do A hồn tồn liên tục)   k n hội tụ về một p0  (do nA(x ) + nn v  )  xo := knlim x , xo K, x0=1 Qua giới hạn trong (1) (với n= nk ) ta cĩ A(xo)=  0xo 3.3 Tính chất của vectơ riêng dương của ánh xạ u0-dương Bổ đề 3.3.1: Cho A là ánh xạ u0-bị chặn trên, và phần tử x K-K,x-K thoả :  >0: A(x)  x Gọi t0 là số cực đại thoả mãn u0 t0x thì t0>0 Chứng minh: ta cĩ x=x’-x”, x’,x”  K, x’   0, p    *: AP(x’)   uO   uO  AP(x’)  AP(x)  px  t0  p  Bổ đề 3.3.2: Nếu A là u0-dương và cĩ vectơ riêng dương x0 thì A cũng là x0-dương. Chứng minh: ta cĩ ' 0, *a p   :a’uo  AP(x0) = p0 0x nên  a>0: uO  a xO Tương tự  b>0: uO  b xO Với xK\{ } ta cĩ   >0: n * : An(x)  uO nên An(x)  bxO Vậy A là xO - bị chặn trên. Tương tự A là u0-bị chặn dưới. Định lý 3.3.3 (Krein-Rútman): Giả sử i) K là nĩn sinh ii) A là ánh xạ u0-dương, liên tục và cĩ vectơ riêng dương x0, tương ứng với giá trị riêng  0 Khi đĩ 1)  0 là giá trị riêng đơn (bội 1 ) của A 2) x0 là vectơ riêng dương duy nhất của A 3) Mọi giá trị riêng khác của A đều cĩ mơđun nhỏ hơn  0 Chứng minh 1) Nhắc lại: Giả sử  0 là giá trị riêng của A Đặt Xn = ker (A- 0I )n thì ta cĩ X1 X2….. Đặt X0 = 1n U   Xn thì số chiều của khơng gian con X0 gọi là bội của  0 Nếu A compắc thì dimXn <  n, và tồn tại n0 sao cho X1  ….. 0n -1X  0nX = 0n +1X = ….. nên bội của  0 hữu hạn. Chứng minh dimX1 = 1 Giả sử trái lại y0 :Ay0= 0 y0 Coi y0 -K và gọi t0 là số cực đại thoả xO  t0 yO thì t0>0 (bổ đề 3.3.1). Theo giả thiết phản chứng thì xO - t0 yO  K\{ } nên do tính uO - dương của A:   >0 n * : An(xO - t0 yO)   xO Do đĩ xO (1- n o   ) -1 t0 yO , mâu thuẫn với tính cực đại của t0. Chứng minh X2=X1 (do đĩ Xn=X1 n) Giả sử trái lại x   : (A- 0 I)2x =  , (A- 0 I)x   Vì A(x) -  0x  X1 nên theo bước trên  t  0: Ax- 0x = tx0 (1) Cĩ thể coi t >0 (nếu khơng, ta xét –x thay cho x). Ta chứng minh x -K Thật vậy, từ (1) ta cĩ Am(x) - 0m x = mt 0 1m  x0 m * Nếu (-x)  K thì ta cĩ - 0m x  mt 0 1m  x0  - 0 mt  x  x0 m *  x0   (!) Vậy x -K. Đặt t0 là số lớn nhất thoả xO  t0 x thì t0 >0 (bổ đề 3.3.1) Khi đĩ A(xO)  t0 A(x)  xO  0 0 0t    t0 x (do (1)) mâu thuẫn với tính cực đại của t0. Chứng minh 2). Giả sử trái lại x1 K\{ }: x1  , A(x1)=  1x1 Do tính chất 1) ta cĩ  1 0.Coi  1> 0 (vai trị  1, 0 là như nhau) Gọi t0 là số cực đại thoả xO  t0 x1 thì t0 >0 (bổ đề 3.3.1). Ta cĩ A(x0) t0A(x1)  xO  1 0   t0 x1 mâu thuẫn với tính cực đại của t0. Bổ đề 3.3.4: Giả sử các giả thiết của định lý Krein-Rutman được thỏa mãn và A cĩ khơng gian con bất biến X0 (nghĩa là A(X0 )X0) với dim X0 < , xOX0. Khi đĩ X0  K={ } Chứng minh. Giả sử trái lại K0:= X0  K{ } Ta cĩ K0 là nĩn, x0K0 , A (K0) K0. Ánh xạ A xét trên X0 với nĩn K0 thỏa điều kiện i) của định lý 1(A compắc trên X0 vì dimX0 < , ) Thật vậy, lấy y0 K0\{ } thì tồn tại 0  , p * : AP(y0) x0 Đặt y1 = AP(y0) thì cĩ  >0, q * : Aq(( y1 ))  x0 Do đĩ Aq(y1)  y1 hay A thoả điều kiện i) của định lý 3.2.2 Vậy A cĩ trong K0 vectơ riêng. Mâu thuẫn với tính chất 2). Chứng minh 3 Giả sử  1 là giá trị riêng của A và  1  0 Trường hợp 1:  ._.