Hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao giải và biện luận phương trình, hệ phương trình

xin cảm ơn quý thầy (cơ) Trường Đại Học An Giang trong thời gian qua đã nhiệt tình giảng dạy, cung cấp cho em những kiến thức quý báu, giúp em cĩ cơ sở để tiến hành việc nghiên cứu của mình. Em xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến THẦY NGUYỄN THIẾT –người thầy đã tận tình chỉ dạy, hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Xin cảm ơn Ban giám hiệu và tập thể giáo viên Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm đã nhiệt tình giúp đỡ, gĩp ý, để em hồn thành khĩa luận của mình. Cuối cùng,con xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ,thầy cơ- tất cả những người đã động viên, ủng hộ và giúp đỡ cho cơng việc nghiên cứu của con hồn thành đúng kế hoạch ! Long Xuyên, tháng 5 năm 2008 SVTH: Trần Thị Mai Thanh Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU...........................................................................................................................1 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:........................................................................................1 II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: ....................................................2 III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:..............................................................................2 IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:..............................................................................2 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:.......................................................................2 VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: .............................................................................3 VII. CẤU TRÚC LUẬN VĂN: ................................................................................3 VIII. THAY LỜI KẾT LUẬN PHẦN MỞ ĐẦU: ....................................................3 NỘI DUNG .......................................................................................................................5 CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN....................................................................................5 I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:........................5 1. Mở đầu: .............................................................................................................5 2. Thực trạng phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường Phổ thơng hiện nay: ....8 3. Nguyên nhân của thực trạng dạy và học mơn Tốn hiện nay: ..........................8 II. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY TỐN HỌC BẰNG VIỆC GIẢI BÀI TẬP TỐN:...........................................................10 1.Giải bài tập Tốn là kiểm nghiệm lại nhận thức Tốn học, củng cố lí thuyết đã học:......................................................................................................................10 2.Giải bài tập là khả năng vận dụng kiến thức đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách logic, đầy đủ và trọn vẹn: ..........................................................10 III. ĐẶC ĐIỂM CỦA VIỆC CỦNG CỐ KIẾN THỨC (LÝ THUYẾT ĐÃ HỌC) THƠNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP:....................................................................12 1. Áp dụng lý thuyết để giải bài tập: ...................................................................12 2.Áp dụng kỹ năng tính tốn, suy luận để giải:...................................................13 KẾT LUẬN CHƯƠNG I ....................................................................................15 CHƯƠNG II QUAN NIỆM VỀ GIẢI TỐN VÀ NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ........................................................................................................................18 I. QUAN NIỆM VỀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN GIẢI TỐN: ..................................18 1. Việc rèn luyện giải tốn bao gồm hai nội dung chủ yếu:................................18 2.Quá trình phân tích này chứng tỏ tính chất quan trọng của việc rèn luyện giải bài tốn (khi đã cĩ đường lối). ............................................................................19 II. NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH: ...........................................................19 A. Nội dung của phương pháp tìm lời giải tốn nĩi chung:................................19 B.Tìm lời giải các bài tốn phương trình, hệ phương trình.................................21 CHƯƠNG III RÈN LUYỆN TƯ DUY TỐN HỌC QUA VIỆC GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ LOẠI TỐN: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 NÂNG CAO.......................................................38 I. THỰC TRẠNG VỀ TRÌNH ĐỘ TỐN CỦA HỌC SINH LỚP 10 HIỆN NAY: .................................................................................................................................38 II. THỰC TRẠNG VỀ TRÌNH ĐỘ, KỸ NĂNG LÀM CÁC BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HIỆN NAY:.......................................39 III. RÈN LUYỆN TƯ DUY TỐN HỌC QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH: ...........................................................39 Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh 1. Rèn luyện khả năng phân tích bài tốn: ..........................................................39 2.Rèn luyện khả năng định hướng và xác định đường lối giải: ..........................41 3.Rèn luyện khả năng chọn lựa phương pháp và cơng cụ:..................................47 4.Rèn luyện khả năng kiểm tra bài giải:..............................................................52 5. Rèn luyện khả năng tìm các bài tốn liên quan và sáng tạo bài tốn mới: .....53 IV. CỦNG CỐ VÀ TỪNG BƯỚC HỒN THIỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY TỐN HỌC VÀ KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 NÂNG CAO:.................................54 1.Củng cố và từng bước hồn thiện khả năng tư duy Tốn học: ........................54 2.Hồn thiện kỹ năng giải Tốn: .........................................................................94 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM..........................................................................................96 I. MỤC ĐÍCH: ........................................................................................................96 1.Khảo sát, đánh giá đúng trình độ học sinh. ......................................................96 2.Kiểm lại giả thuyết của đề tài là:......................................................................96 II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN:...................................................................................96 III. PHÂN TÍCH KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM:.................................96 A. Đánh giá trình độ chung của học sinh:...........................................................96 B. Ý kiến của giáo viên:.....................................................................................98 KẾT LUẬN...................................................................................................................102 I. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: ...................................................................................102 II. HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI:................................................................................102 III. HƯỚNG GỢI MỞ CỦA ĐỀ TÀI: ..................................................................103 IV. KẾT LUẬN CHUNG: ....................................................................................103 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................................104 Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 1 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 1. Khả năng tư duy Tốn học của học sinh lớp 10 hiện nay: - Trong thời đại khoa học kỹ thuật hiện nay, lượng tri thức (đặc biệt là tri thức tốn học) phải tiếp thu khi ngồi trên ghế nhà trường ngày càng nhiều, địi hỏi học sinh phải tiếp thu một cách sáng tạo, tích cực. Cĩ như vậy mới đáp ứng được yêu cầu của nền giáo dục là đào tạo học sinh thành những người cĩ kiến thức vững vàng, những người lao động mới xây dựng đất nước Việt Nam XHCN, văn minh, giàu mạnh. - Tuy vậy, thực trạng về chất lượng đa số học sinh (đặc biệt là mơn Tốn ở lớp 10) lại chưa đáp ứng được yêu cầu đĩ, nhất là làm các bài tập nâng cao dạng tốn giải và biện luận phương trình, hệ phương trình. - Hơn nữa, với tình hình chung của học sinh lớp 10 hiện nay khi gặp các bài tốn dạng này thường là thoả mãn ngay sau khi đã tìm được cách giải mà khơng tìm cách biện luận đầy đủ hoặc tìm cách giải sáng tạo dễ hiểu hoặc cách giải độc đáo… 2.Nguyên nhân vì sao học sinh gặp những khĩ khăn khi giải và biện luận phương trình, hệ phương trình: a.Qua khảo sát, tìm hiểu dễ dàng nhận thấy học sinh khi giải và biện luận phương trình, hệ phương trình thường gặp khĩ khăn do chưa nắm vững kiến thức lớp dưới, chưa rèn luyện được thĩi quen “giải quyết triệt để, tận gốc” các vấn đề, thường khi giải xong đã thoả mãn cách làm. b.Bên cạnh đĩ, trong cách học tập của các em chưa thật sự chủ động tìm tịi sáng tạo, độc lập suy nghĩ, gặp các bài tốn khĩ thường lệ thuộc vào thầy giảng, bạn giúp, hoặc xem các bài tập giải sẵn ở sách tham khảo mà khơng chịu đầu tư thời gian nhiều. Vì vậy khơng khắc sâu được khả năng suy nghĩ nhanh, nhạy bén sáng tạo trong việc làm bài. - Các em chưa nhận thức được là phải tự mình suy nghĩ, giải quyết làm kì được các bài tốn khĩ, các bài tốn nâng cao. Nếu chưa làm được, lúc khác sẽ làm tiếp và cứ tiếp tục suy nghĩ và làm tiếp cho kì được. Chờ thầy giảng (ở trên lớp, ở lớp phụ đạo, học kèm), nhờ bạn giải hoặc xem sách giải là bước cuối cùng. - Thực ra đây cũng là kinh nghiệm đơn giản, khơng mới nhưng địi hỏi quyết tâm rất lớn, học sinh sẽ tìm được “Chìa khố” để mở cửa kiến thức, giải được các bài tốn dạng nâng cao. - Xuất phát từ những lý do trên, nhằm khắc phục những khĩ khăn của học sinh khi làm bài dạng giải và biện luận phương trình, hệ phương trình và hy vọng với cơng trình này, khi trở thành giáo viên sẽ dạy đạt kết quả tốt Chương, phần nghiên cứu nĩi riêng và cả chương trình Tốn ở THPT nĩi chung, đồng thời là bước đầu để cĩ thể nghiên cứu sâu hơn các vấn đề khác, cĩ thể rút kinh nghiệm trong dạy học mơn Tốn đạt kết quả tốt nhất, đặc biệt là các lớp nâng cao. Vì vậy Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 2 chúng tơi chọn đề tài: “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 NÂNG CAO GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH”. II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: 1. Đối tượng nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao giải và biện luận phương trình, hệ phương trình. 2. Phạm vi nghiên cứu: - Về con người và khơng gian: Là học sinh lớp 10, đặc biệt là lớp 10A1, 10A2, nơi tơi thực tập và dạy trực tiếp (8 tiết) và các lớp 10 khác (qua trao đổi với giáo viên dạy tốn ở trường) - Về kiến thức: Trong phạm vi mơn Đại số lớp 10 nâng cao phần giải và biện luận phương trình, hệ phương trình. III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: 1. Tìm hiểu đánh giá khả năng tư duy Tốn học của học sinh lớp 10, đặc biệt mơn Đại số dạng tốn giải và biện luận phương trình, hệ phương trình. 2. Việc nghiên cứu này giúp sinh viên hiểu rõ và tích luỹ kinh nghiệm để vận dụng vào giảng dạy sau này đạt kết quả tốt. Mặt khác cũng mong rằng khám phá được chìa khố từ đĩ vận dụng vào giảng dạy học sinh lớp 10 nâng cao giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, đáp ứng yêu cầu đổi mới về giảng dạy mơn Tốn trong trường THPT, hồn thành tốt nhiệm vụ giảng dạy của giáo viên nĩi chung và giáo viên bộ mơn Tốn nĩi riêng. IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: 1. Nghiên cứu tình hình học Tốn của học sinh, những khĩ khăn, thuận lợi khi học mơn Tốn, để đi sâu vào mơn Đại số phần giải và biện luận phương trình, hệ phương trình. 2. Tìm cách giải quyết những vướng mắc của học sinh trong học tập (mơn Tốn), hướng dẫn học sinh phương pháp học tập, cách suy luận, tư duy để làm được các bài tập ở lớp, trong sách giáo khoa, và các bài tập dạng mở rộng, tham khảo cho học sinh lớp 10. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 1.Nghiên cứu lý luận: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 3 - Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên, sách bồi dưỡng giáo viên lớp 10 (cơ bản và nâng cao) - Sách giáo khoa chuyên Tốn - Sách tham khảo về giảng dạy mơn Tốn…. - Tài liệu về đổi mới phương pháp dạy học của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo năm 2000. 2.Điều tra thực tế: Tại trường Trung học phổ thơng Nguyễn Bỉnh Khiêm, huyện Châu Thành, tỉnh An Giang. 3.Quan sát: - Theo dõi các nhĩm học tập lớp 10A1, 10A2 - Dự giờ dạy của giáo viên 4.Thực nghiệm sư phạm: để kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC: 1.Học sinh giải và biện luận phương trình, hệ phương trình chưa thành thạo, gặp các bài tốn nâng cao cịn lúng túng. 2.Thơng qua việc hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, để củng cố kiến thức, nâng cao khả năng tư duy Tốn học, các em sẽ tự tin, độc lập suy nghĩ…giải được các bài tốn thành thạo, từ đĩ sẽ hứng thú trong học tập mơn Tốn. 3.Sinh viên (thực tập) sẽ rút được kinh nghiệm tích lũy được nghiệp vụ sư phạm và khi giảng dạy sẽ đạt kết quả tốt, đồng thời xây dựng cho mình thĩi quen nghiên cứu khoa học, cĩ thể sẽ cĩ những đĩng gĩp cho nền giáo dục đang đổi mới với những kinh nghiệm, cơng trình nghiên cứu cĩ giá trị trong tương lai. VII. CẤU TRÚC LUẬN VĂN: Luận văn bao gồm phần mở đầu, nội dung, thực nghiệm sư phạm, kết luận với các hình vẽ, sơ đồ, bảng và thư mục các tài liệu tham khảo. VIII. THAY LỜI KẾT LUẬN PHẦN MỞ ĐẦU: - Với việc hướng dẫn học sinh nâng cao khả năng tư duy Tốn học qua việc giảng dạy (dạy lý thuyết,luyện tập, ơn tập) là việc làm cần thiết của giáo viên. Tuy vậy lại là vấn đề khĩ của sinh viên. Vì vậy, để chuẩn bị làm giáo viên trong tương lai gần và với lịng yêu ngành, yêu nghề, chuẩn bị tâm lý và hành trang sắp tới, tơi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 10 nâng cao giải và biện luận phương trình, hệ phương trình” cũng nhằm mục đích đĩ. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 4 - Hướng dẫn học sinh nâng cao khả năng tư duy Tốn học là vấn đề lớn, phạm vi rộng. Vì vậy, với trình độ cĩ hạn tơi chỉ nghiên cứu trong phạm vi Tốn lớp 10 và giới hạn trong phần giải và biện luận phương trình, hệ phương trình . - Khi bắt tay vào nghiên cứu, tơi nhận ra là tuy vấn đề đã được hình thành, giới hạn trong phạm vi hẹp nhưng cũng rất khĩ khăn, gặp nhiều vấn đề phải giải quyết vượt quá khả năng và trình độ của mình. - Tuy nhiên, với tinh thần cố gắng và trách nhiệm cao, tơi đã thật nghiêm túc, thật sự cầu thị để hồn thành đề tài đã chọn . Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 5 NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: 1. Mở đầu: a. Hội nghị lần thứ 2 (khố 8-1997) Ban chấp hành TW Đảng (về cơng tác giáo dục) đã vạch rõ: - Mục tiêu giáo dục và đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, cĩ năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đĩ gĩp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội cơng bằng, dân chủ, văn minh. - Về phương pháp giáo dục phải khuyến khích tự học, phải áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại, để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. - Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương pháp hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học. b. Luật giáo dục (1998) điều 24.2 viết: “phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng mơn học, lớp học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú cho học sinh. c. Cố thủ tướng Phạm Văn Đồng là người rất quan tâm đến giáo dục, đã nhiều lần nhắc nhở, căn dặn giáo viên và lãnh đạo ngành giáo dục: “ Chương trình sách giáo khoa phải bảo đảm dạy cho học sinh những nguyên lí cơ bản, tồn diện về các mặt đức dục, trí dục, mỹ dục, đồng thời tạo cho các em điều kiện phát triển trí thơng minh, khả năng độc lập suy nghĩ và sáng tạo. Cái quan trọng của trí dục là rèn luyện ĩc thơng minh và suy nghĩ”. - Phương pháp giảng dạy bao giờ cũng đi đơi với nội dung giảng dạy. Anh dạy như thế nào cho học trị, người sinh viên cĩ khả năng độc lập suy nghĩ, giúp cho cái thơng minh của họ làm việc, phát triển chứ khơng phải chỉ giúp cho họ cĩ trí nhớ, nhưng chủ yếu là phải giúp họ phát triển trí thơng minh sáng tạo (Trích “Đào tạo thế hệ trẻ của dân tộc thành nhũng chiến sĩ cách mạng, dũng cảm, thơng minh, sáng tạo”, Nhà XBGD, Hà Nội 1969). Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 6 - Như vậy, một phương pháp dạy học chỉ cĩ khả năng bồi dưỡng những phẩm chất của tư duy khi nĩ thực sự phát động, thúc đẩy sự suy nghĩ ấy theo con đường ngắn nhất, hợp lí nhất để đạt tới kiến thức và kỹ năng. Một phương pháp như vậy phải dựa vào những thành tựu khoa học nghiên cứu và tư duy. d. Xét trên bình diện tồn cục, tổng thể thì đổi mới phương pháp dạy học là từ dạy theo phương pháp cũ sang dạy theo phương pháp mới, song phải là phương pháp cĩ hiệu quả hơn để đạt mục tiêu giáo dục như đã trình bày phần trên, tức là phương pháp dạy sao cho phát huy tính tích cực của học sinh. Người học trị trở thành trung tâm, chủ thể được định hướng để tự mình tìm ra kiến thức, chân lí bằng hành động của chính mình. Người thầy (cơ) đảm nhiệm việc mới là chuẩn bị cho học sinh những tình huống phong phú, tạo cho học sinh giải quyết vấn đề chứ khơng phải nhồi nhét thật nhiều kiến thức vào đầu ĩc học sinh. Thầy giáo khơng chỉ là người truyền đạt kiến thức sẵn cĩ, mà là người định hướng và đĩng vai trị trọng tài, cố vấn cho học sinh tự khám phá ra chân lý, tự mình tìm ra kiến thức (bằng khả năng tư duy độc lập) với sự hợp tác của các chủ thể (lớp học). - Phương pháp dạy học nào bảo đảm phối hợp nhuần nhuyễn hai cách tái hiện và tìm kiếm kiến thức. Trong đĩ tận dụng cơ hội để tìm kiếm kiến thức chiếm ưu thế, đồng thời kết hợp hài hồ với tinh thần sẵn sàng học tập, tiếp thu của học sinh thì về cơ bản phương pháp dạy học đĩ cĩ khả năng tích cực hố được quá trình học tập của học sinh thì đĩ là phương pháp dạy học tích cực tức là đổi mới phương pháp dạy học theo phương pháp tích cực. - Như vậy, ngồi phương pháp diễn giảng truyền thống, trong quá trình dạy học chúng ta đã vận dụng thêm phương pháp khác: phương pháp đàm thoại gợi mở (đàm thoại Ơristic), phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề … thực ra là bổ sung, hồn thiện việc dạy học để đạt kết quả tốt hơn. - Phải cơng bằng mà nhìn nhận rằng phương pháp diễn giảng dạy theo truyền thống là do bối cảnh lịch sử giáo dục của đất nước. Dạy theo phương pháp này cho phép thầy truyền đạt những nội dung lí thuyết tương đối khĩ, phức tạp chứa đựng nhiều thơng tin mà trong một thời gian ngắn trị khơng dễ dàng tìm hiểu lấy được. - Phương pháp này cho phép thầy trình bày một mơ hình mẫu của tư duy logic, của cách đề cập và lí giải một vấn đề khoa học (bao gồm đầy đủ các bước đi của quá trình này, tức là algorit của việc giải quyết một vấn đề khoa học), của cách dùng ngơn ngữ để diễn đạt một vấn đề tốn học sao cho chính xác, rõ ràng. - Phương pháp này cũng là nhân tố giáo dục tư tưởng tình cảm khi giáo viên đề cập đến lịch sử của một phát minh Tốn học, tiểu sử các nhà Tốn học … làm cho học sinh yêu thích mơn Tốn, khám phá đức tính và tài năng các nhà Bác học, xem đĩ là tấm gương để học tập, mơ ước… - Trong lời nĩi của thầy cịn là mẫu mực cho trị trong phát triển tư duy biện luận, văn hố của ngơn ngữ nĩi. Logic trình bày của thầy cĩ tác dụng giúp hình thành tư duy của trị. - Nhưng mặt khác, phương pháp diễn giảng cũng cĩ nhược điểm là: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 7 + Nĩ chỉ địi hỏi học sinh một quá trình nhận thức thụ động + Nĩ khơng giúp trị tích cực phát huy văn hố của ngơn ngữ nĩi + Nĩ chỉ cho phép trị đạt tới trình độ tái hiện của sự lĩnh hội - Thực tế (và cả lí luận) đều cho rằng phương pháp diễn giảng (theo truyền thống) vẫn là phương pháp thơng dụng vì những ưu điểm của nĩ. Nhưng hiệu quả sẽ tăng rõ rệt nếu chúng ta thay đổi tính chất tái hiện bằng tính chất nêu vấn đề (tức là phương pháp dạy theo hướng tích cực) bổ sung cho những hạn chế của phương pháp diễn giảng. Theo tác giả Tống Phước Lộc (luận văn tốt nghiệp 2001) khi điều tra, khảo sát một số trường THPT ở Thành phố Hồ Chí Minh về giảng dạy mơn Tốn, tác giả đã kết luận: Khi giảng dạy giáo viên đã sử dụng các phương pháp theo tỉ lệ: + Phương pháp trực quan: 9% + Phương pháp thuyết trình:43% + Phương pháp đàm thoại: 9% + Phương pháp đọc tài liệu : 3% + Tổng hợp các phương pháp khác :46% - Theo điều tra của chúng tơi, tại trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, Châu Thành, An Giang cũng cĩ tình hình gần giống: + Phương pháp trực quan: 12% + Phương pháp thuyết trình: 42% + Phương pháp đàm thoại: 8% + Phương pháp đọc tài liệu: 0% + Tổng hợp các phương pháp khác: 38% - Khi dạy khái niệm và định lí, giáo viên khơng chú trọng nhiều đến việc đặt câu hỏi gợi mở cho học sinh. Trong các tiết dạy, thơng thường thầy cơ ít đặt câu hỏi cho học sinh trả lời. Các câu hỏi thầy cơ đưa ra phần lớn là theo kinh nghiệm, khơng chuẩn bị trước. Hơn nữa, mục đích của mỗi bài học là làm sao cho học sinh hiểu bài, mà cách đánh giá duy nhất là học sinh giải được bài tập, chủ yếu là bài tập trong sách giáo khoa. - Trong mỗi tiết học, thầy vẫn làm việc nhiều nên kiến thức truyền đạt một chiều từ thầy đến trị. Chính vì lẽ đĩ mà cách dạy theo phương pháp truyền thống (thuyết trình) vẫn chiếm tỉ lệ lớn trong các giờ dạy của giáo viên. - Các lí do trên dẫn đến tình trạng học sinh chưa phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo trong quá trình hình thành khái niệm định lí. - Như đã trình bày ở trên, mục đích của thầy mỗi bài dạy là làm sao cho học sinh làm được bài tập. Và mục đích của học sinh cũng như vậy nên học sinh chỉ chú ý học thuộc lịng định lí, cơng thức, ghi chép các ví dụ, bài tập mẫu, khơng chú ý đến bản chất của vấn đề, hoặc đặt giả thiết, lật ngược vấn đề … Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 8 - Do học sinh chỉ tiếp nhận máy mĩc, khơng sâu nên khi làm bài khơng phát huy được tính tích cực, sáng tạo, khả năng tư duy Tốn học bị hạn chế và gặp vấn đề mới dễ bị bế tắc, lúng túng khơng giải quyết được. Vì những lí do trên, chúng tơi cho rằng việc dạy Tốn ở trường THPT hiện nay dù đã được cải tiến, song hiệu quả chưa được như ý muốn. 2. Thực trạng phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường Phổ thơng hiện nay: a. Mấy năm gần đây, trên các phương tiện thơng tin đại chúng cũng như dư luận xã hội, nĩi nhiều đến bệnh thành tích và gian lận trong thi cử của ngành giáo dục. Dạy và học mơn Tốn cũng khơng ngồi nhận xét trên. Do nhiều nguyên nhân khác nhau, học sinh phải học đối phĩ để thi cử (học tủ, học thêm, học luyện thi…), thầy giáo chưa đổi mới phương pháp giảng dạy và do những áp lực (từ nhiều phía) nên việc cho điểm, đánh giá kết quả học tập của học sinh cịn dễ dãi, chưa phản ánh đúng chất lượng học tập. Bộ Giáo Dục đã phát động phong trào: “Nĩi khơng với tiêu cực” và “Chống bệnh thành tích và gian lận trong thi cử ”.Vì vậy, giáo dục đã cĩ những chuyển biến tích cực, thu được kết quả bước đầu, lấy lại niềm tin trong xã hội, học sinh cố gắng học tập, thi cử nghiêm túc, cơng bằng…được giáo viên ủng hộ, cố gắng giảng dạy đạt kết quả tốt. b. Theo nghiên cứu, tìm hiểu của chúng tơi tại trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, do tác động của việc chống tiêu cực, chống chạy theo “bệnh thành tích” lại được Ban Giám Hiệu lãnh đạo sâu sát, đúng hướng, giáo viên ủng hộ nhiệt tình nên việc đánh giá học sinh đã nghiêm túc hơn. Vì vậy việc dạy Tốn đã cĩ kết quả bước đầu tốt, do giáo viên cố gắng, học sinh chăm học hơn (vì sợ khơng được lên lớp, thi rớt tốt nghiệp …) và vì vậy việc vận dụng phương pháp giảng dạy theo hướng tích cực đã được chú ý hơn. Giáo viên cũng đã chú ý quan tâm đến cách đàm thoại gợi mở, đặc biệt đã chấm dứt phương pháp dạy theo cách thầy đọc, trị ghi. Về học sinh: chuẩn bị làm bài tập ở nhà cũng đã tiến bộ hơn. Tuy vậy vẫn cịn tư tưởng ỷ lại vào tiết sửa bài tập của thầy nên chưa thực sự tìm mọi cách giải quyết thật tốt bài tập trong sách giáo khoa. c. Hình thức dạy cũng sinh động hơn, cĩ phụ đạo học sinh yếu (khơng cịn tình trạng khốn trắng cho việc dạy thêm, học thêm). 3. Nguyên nhân của thực trạng dạy và học mơn Tốn hiện nay: a. Quản lí chỉ đạo: - Khơng kịp thời, khơng chuyển biến kịp với yêu cầu dạy theo phương pháp mới. - Sau năm 1975, đất nước hồ bình thống nhất, chúng ta đã phát triển mạnh mẽ về giáo dục. Nhiều trường lớp hình thành, số học sinh tăng vọt ở mọi cấp học (tiểu học, THCS, THPT) và cả Đại Học, Cao Đẳng. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 9 - Về số lượng học sinh đơng đảo, trường mở ra nhiều đáp ứng được yêu cầu học tập của nhân dân. Tuy vậy, cơ sở vật chất lại khơng đạt, trường lớp khơng đúng chuẩn, nhiều trường khơng đủ mơi trường sư phạm (gần đường giao thơng, gần chợ, học sinh khơng cĩ sân chơi bãi tập), phịng học thiếu, sĩ số đơng (trung bình từ 40 đến 50 học sinh/lớp trong khi theo qui định chỉ khoảng 25 đến 30 học sinh/ lớp) - Bên cạnh đĩ giáo viên thiếu, dạy quá giờ qui định, kinh tế khĩ khăn khơng cĩ tiền mua sách vở tham khảo, nghiên cứu, khơng yên tâm và chuyên tâm với nghề được. Vì vậy giáo viên chỉ dạy theo sách giáo khoa là đủ, khơng chú ý gì đến phương pháp giảng dạy mới. - Hơn nữa, việc đánh giá chất lượng giảng dạy của giáo viên cứng nhắc theo tỷ lệ lên lớp (do đĩ giáo viên dễ dãi cho điểm rộng, nâng điểm cho học sinh lên lớp khơng đúng chất lượng) và theo tỷ lệ đậu tốt nghiệp, mà tỷ lệ đậu tốt nghiệp lại theo yêu cầu chính trị của địa phương … và tất nhiên chất lượng học sinh yếu. b. Khĩ khăn khi dạy học mơn Tốn: - Chương trình sách giáo khoa chưa hỗ trợ cho giáo viên đối với phương pháp dạy học. Một số nội dung cĩ tính chất kinh viện, yêu cầu chặt chẽ, cĩ những kiến thức quá tải đối với học sinh. - Vì vậy, giáo viên chủ yếu dùng phương pháp thuyết trình đơi khi đọc, chép (nhất là những định lý, định nghĩa dài dịng, khĩ nhớ) sao cho truyền thụ đầy đủ kiến thức sách giáo khoa trong 45 phút theo qui định là được, giáo viên khơng đủ thời gian để bổ sung hoặc nâng cao kiến thức cho học sinh. - Tình trạng này làm khả năng phát huy tính chủ động, sáng tạo của học sinh bị hạn chế, học sinh rất sợ phải thuộc lịng những định nghĩa, định lí khơ khan khĩ nhớ. Vì vậy dẫn đến lo, chán học, xem tài liệu giờ kiểm tra … c. Những yếu tố khác: - Giáo viên và học sinh chưa khắc phục ngay được nhận thức thĩi quen dạy và học theo phương pháp cũ. Thầy truyền thụ, học sinh tiếp thu thụ động. - Việc bồi dưỡng giáo viên chưa sát với yêu cầu nâng cao, kiến thức cũng như nghiệp vụ sư phạm, chưa theo hướng đổi mới phương pháp dạy học. - Mối quan hệ giữa đào tạo giáo viên ở các trường sư phạm và sử dụng giáo viên ở trường phổ thơng chưa chặt chẽ, sự chỉ đạo của các cấp quản lí cịn nhiều bất cập. - Đánh giá thi cử chủ yếu vẫn dựa vào nội dung và hình thức cũ, làm hạn chế đổi mới phương pháp dạy học. - Thơng tin chưa kịp thời so với các nước tiên tiến trên thế giới. Từ những phân tích trên, chúng ta thấy nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học là cần thiết cho sự nghiệp giáo dục và cho xã hội. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 10 Để đáp ứng yêu cầu đĩ, các nhà khoa học và các nhà sư phạm nước ta đã đề ra phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực của học sinh như: phương pháp dạy học theo tính tích cực, nâng cao khả năng tư duy Tốn học của học sinh … cách rèn luyện tư duy, khả năng nhận thức thơng qua một tiết dạy, nhất là tiết dạy bài tập được nhiều giáo viên quan tâm. Chúng ta hãy đi sâu phân tích vấn đề này. II. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY TỐN HỌC BẰNG VIỆC GIẢI BÀI TẬP TỐN: 1.Giải bài tập Tốn là kiểm nghiệm lại nhận thức Tốn học, củng cố lí thuyết đã học: Quan hệ tiếp thu lý thuyết và giải bài tập: - Cĩ thể hình dung sơ đồ sau: - Tiếp nhận lý thuyết đã học và giải bài tập là hai quá trình song song tồn tại của người học Tốn. Hai quá trình này chuyển hố lẫn nhau, và là cơ sở để học tốt mơn Tốn. Giải được bài tập là quá trình hiểu được lý thuyết đã học, biết tư duy để giải quyết vấn đề, từ đĩ càng củng cố lý thuyết đã học. Nắm vững lý thuyết sẽ cĩ đủ cơ sở nhận thức để giải được bài tập. Từ thực tiễn và lý luận, rõ ràng giải bài tập Tốn là việc làm khơng thể thiếu của người học Tốn. 2.Giải bài tập là khả năng vận dụng kiến thức đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách logic, đầy đủ và trọn vẹn: - Muốn làm được bài tốn phải nắm vững kiến thức đã học (định nghĩa, định lý, …). - Sau đĩ, thơng qua tư duy Tốn học để vận dụng vào việc giải bài tốn một cách logic, chặt chẽ, hệ thống như bánh xe đồn tàu hoả phải khớp với đường ray vậy, nghĩa là khơng thể khác được. Ví dụ 1: Giải phương trình: 22 4 6 11x x x x− + − = − + Hướng dẫn giải: Tiếp thu tốt nắm vững kiến thức cơ bản,cĩ phương pháp tư duy tốt,chịu đào sâu suy nghĩ Giải thành thạo bài tập, cĩ cách giải sáng tạo độc đáo khơng mắc sai lầm khi giải Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 11 Vận dụng kiến thức đã học, ta nhậ._.n thấy khơng thể cĩ phép biến đổi nào để tìm ra sự liên hệ giữa hai vế với nhau. Do đĩ, muốn giải quyết vấn đề (giải tốn) một cách logic, đầy đủ, trọn vẹn, ta phải xem xét giá trị hai vế của phương trình để tìm các giá trị của đối số để giá trị hai vế đồng thời bằng nhau. Nếu cĩ, các giá trị đĩ là nghiệm của phương trình. Ta cĩ: ( )22 6 11 3 2 2x x x− + = − + ≥ Dấu đẳng thức này xảy ra khi 3x = Cịn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 1 1 2 4 2 4 4 x x x x bất đẳng thức Bunhiacôpski x x ⎡ ⎤− + − ≤ + − + −⎣ ⎦ ⇒ − + − ≤ Dấu đẳng thức này xảy ra khi: 2 4 3 1 1 x x x− −= ⇒ = Thuộc tập xác định 2 4x≤ ≤ của phương trình Từ đĩ: 2 4 2x x− + − ≤ . Dấu đẳng thức xảy ra khi 3x = Từ đĩ ta suy ra 3x = là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 8 2 1 4 2 x y xy x y ⎧ + + =⎪⎨ + =⎪⎩ Hướng dẫn giải: Bằng cách nhân hai vế của phương trình ( )1 với 2 và bình phương hai vế của phương trình ( )2 ta thu được hệ phương trình tương đương sau (với điều kiện , 0x y ≥ ) 2 22 2 2 16 2 16 x y xy x y xy ⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩ Từ đây suy ra: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 12 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x y x y x y x y x y x y + = + ⇔ + = + ⇔ − = ⇔ = Ta suy ra ngay, hệ cĩ nghiệm duy nhất: 4 4 x y ⎧ =⎨ =⎩ III. ĐẶC ĐIỂM CỦA VIỆC CỦNG CỐ KIẾN THỨC (LÝ THUYẾT ĐÃ HỌC) THƠNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP: 1. Áp dụng lý thuyết để giải bài tập: Thơng thường, khi vừa học xong lý thuyết: Định nghĩa, định lý … thường sách giáo khoa cĩ những bài tốn mà phải áp dụng những lý thuyết vừa học để giải và đương nhiên học sinh phải nắm vững cả những lý thuyết đã học trước đĩ, kể cả những kiến thức ở lớp dưới. Ví dụ : Hệ thức lượng trong tam giác (hình học lớp 9) phần lý thuyết cĩ các định lý, hệ quả sau: 2 ' 2 ' ' 2 ' 2 2 2 1 1 1 b a b h b c c a c h b c = = = = + Ta cĩ bài tốn áp dụng sau: Hãy tìm x, y trong các hình sau: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 13 Đương nhiên học sinh phải áp dụng lí thuyết mới giải được, và khi đã giải được sẽ củng cố lí thuyết đã học, nắm vững và sâu hơn. 2.Áp dụng kỹ năng tính tốn, suy luận để giải: - Khơng phải học sinh cứ nắm vững lý thuyết (đọc hiểu là thuộc các cơng thức, định nghĩa, định lý) là cĩ thể giải được tốn. Muốn giải được Tốn, điều kiện đầu tiên là phải nắm vững lý thuyết, nhưng đồng thời phải cĩ kĩ năng tính tốn (nhanh, chính xác) suy luận logic … mới làm được. - Vì vậy, cĩ những học sinh chăm học, thuộc bài (xem như là nắm được lý thuyết) nhưng lại gặp khĩ khăn khi giải tốn, nhất là những bài tốn địi hỏi sự nhanh nhạy, suy luận sáng tạo cao (tức là khả năng tư duy Tốn học). - Khơng cĩ bài tốn nào là khuơn mẫu bắt buộc phải theo, phải thuộc. Thầy giải những bài tốn mẫu cho học sinh chỉ là để các em quen với dạng tốn, để rèn luyện kĩ năng giải tốn, khả năng tư duy tốn của học sinh. Cĩ như vậy học sinh mới thích ứng được với những bài tốn khĩ, dạng nâng cao, mở rộng. Ví dụ : Giải phương trình: 4 2 21 1 2x x x x− − + + − = ( )1 Hướng dẫn giải: Điều kiện: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 14 2 2 2 1 0 1 0 1 1 0 x x x x x x ⎧ − ≥⎪⎪ + − ≥ ⇔ ≥⎨⎪ − − ≥⎪⎩ Để phát hiện được ẩn phụ, ta biến đổi phương trình đã cho. Để ý rằng ( )( )2 21 1 1x x x x− − + − = Phương trình ( )1 ⇔ 2 4 2 1 1 2 1 x x x x + + − = + − Ẩn phụ đã xuất hiện, đĩ là: 4 2 1 1u x x= + − ≥ Phương trình với ẩn phụ u cĩ dạng: 2 1 2u u + = 3 2 1 0⇔ − + =u u ( )( )21 1 0⇔ − + − =u u u 1 1 5 2 1 5 2 ⎡⎢ =⎢ − +⎢⇔ =⎢⎢ − −⎢ =⎢⎣ u u u Chỉ cĩ 1u = thỏa mãn điều kiện 1u ≥ Trở về tìm x, giải phương trình: 4 2 1 1x x+ − = 2 2 1 1 1 1 1 x x x x x ⇔ + − = ⇔ − = − ⇔ = Như vậy, rõ ràng là khi học sinh đã nắm vững lý thuyết cũng cần phải cĩ kỹ năng tính tốn, tư duy Tốn mới cĩ thể giải được các bài tập. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 15 KẾT LUẬN CHƯƠNG I 1. Dạy học là nghệ thuật, là khoa học tổng hợp: - Bác Hồ đã dạy: “vì lợi ích mười năm trồng cây, vì lợi ích trăm năm trồng người”. Hiểu theo ý Bác Hồ là chúng ta muốn cho đất nước được giàu mạnh trong tương lai thì phải lo việc dạy học, phải “trồng người”. - Nhân dân ta, xã hội ta từ xưa đến nay cũng đã xác nhận vai trị, vị trí của người thầy trong xã hội. Nhưng dạy học như thế nào lại là vấn đề cũng cần phải trao đổi. Cách dạy học ngày xưa và ngày nay đương nhiên là khác nhau do yêu cầu của thực tế xã hội. Nhưng ở thời nào cũng cĩ những thầy giáo cĩ uy tín, cĩ tâm huyết, tìm cách giảng dạy sao cho cĩ kết quả tốt nhất. Những kinh nghiệm đĩ được kế thừa, phát triển và đúc kết thành nghệ thuật. Đĩ là khoa học sư phạm. Sư phạm là khoa học tổng hợp, chỉ ra cách dạy sao cho học sinh tiếp thu được kiến thức, trở thành người cĩ ích cho xã hội. 2.Dạy Tốn cũng là khoa học, nghệ thuật nhưng mang đặc trưng riêng của bộ mơn: - Dạy Tốn, đương nhiên cũng đầy đủ tính chất yêu cầu chung của khoa sư phạm, tức là cũng rèn luyện Trí, Đức, Mĩ … đào tạo cho học sinh theo mục đích chung là trở thành người cĩ ích cho xã hội. - Tuy vậy, mơn Tốn lại cĩ đặc trưng, yêu cầu nhiệm vụ riêng của nĩ. - Nhiệm vụ tổng quát của phương pháp dạy học Tốn là nghiên cứu mối liên hệ cĩ tính quy luật giữa các thành phần của quá trình dạy học mơn Tốn, trước hết là mục đích, nội dung và phương pháp dạy học nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy mơn Tốn theo các mục đích đề ra. 3.Giải được bài tập tốn là kết quả cuối cùng của người học tốn: a. Trách nhiệm của người học tốn: - Người học tốn bao giờ cũng mong hiểu được bài và giải được các bài tốn. - Tuy vậy, muốn cho mong ước ấy đạt được người học tốn phải: + Tập trung chú ý nghe giảng để nắm vững kiến thức. + Sau khi nghe giảng phải vận dụng được kiến thức đã học để làm bài tập và qua đĩ nắm vững kiến thức, cĩ thể trình bày các vấn đề đã học rõ ràng, chính xác. b. Vai trị của người thầy quyết định đến kết quả của người học tốn: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 16 - Thầy phải trình bày rõ ràng, dễ hiểu, cĩ phương pháp giảng dạy sao cho học sinh hứng thú, ham học Tốn. - Tìm chọn những bài tốn thích hợp, gây hứng thú, tự tin cho người học. - Uốn nắn, sửa chữa những sai lầm của học sinh (về kiến thức, hình thức trình bày) sao cho học sinh dễ nhớ, củng cố được kiến thức. - Cĩ thể nĩi người thầy cĩ vai trị rất quan trọng đối với kết quả học tập của học sinh. 4. Tầm quan trọng của mơn Tốn trong khoa học và ứng dụng vào xây dựng kinh tế và đời sống: a.Tốn học cĩ mặt hầu như ở tất cả các mơn khoa học, đặc biệt là khoa học tự nhiên: - Cĩ thể nĩi rằng Tốn học cĩ mặt ở mọi ngõ ngách của khoa học và đời sống. Đặc biệt trong các mơn khoa học tự nhiên Lý, Hố, Sinh, với những cơng thức tính tốn phức tạp trong các mơn này, nếu khơng cĩ kỹ năng Tốn học thì khơng thể giải quyết được. - Sự phát triển của Tốn học cũng thúc đẩy các ngành Lý, Hố, Sinh. Sự phát triển của Tốn học cao cấp giúp cho khả năng tư duy con người cao hơn, vận dụng vào việc nghiên cứu khoa học các mơn khoa học khác. - Khơng cĩ học sinh yếu Tốn nào lại cĩ thể giỏi các mơn Lý, Hố được. Cĩ thể nĩi Tốn học là chìa khố mở cửa các mơn khoa học (đặc biệt là Vật lý). - Ngay các mơn khoa học xã hội, vai trị của mơn Tốn cũng rất quan trọng. Ví dụ như khoa kinh tế cũng dùng những cơng thức Tốn học để tính tốn về kế hoạch sản xuất, kinh doanh … sao cho cĩ phương pháp tối ưu để sản xuất phát triển, lợi nhuận cao. Trong triết học, nhờ cĩ tư duy Tốn học tốt, lập luận chặt chẽ … thì cách diễn đạt, trình bày các vấn đề triết học cũng sẽ dễ hiểu, cĩ sức thuyết phục. - Với thời đại khoa học kỹ thuật ngày nay, Tốn học là chỗ dựa vững chắc, là bệ phĩng cho các mơn khoa học kỹ thuật, đặc biệt là cơng nghệ thơng tin, vật lý. b.Tốn học trong đời sống: - Thực tế trong đời sống ngày nay, chúng ta được hưởng những thành quả của khoa học, đời sống ngày càng văn minh, chất lượng cuộc sống ngày càng cao. Tuy vậy những vấn đề đơn giản nhất, dễ hiểu và sơ đẳng nhất cũng cần đến Tốn. - Người nơng dân, người buơn bán nhỏ ở cửa hàng, ở chợ cũng phải tính tốn hiệu quả kinh tế, mà tính tốn được cũng phải nhờ Tốn học. Các cơ sở sản xuất lớn, cơng ty, doanh nghiệp … lại cần phải hạch tốn kinh tế, và đương nhiên cần đến Tốn học. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 17 - Cĩ thể nĩi Tốn học len lỏi vào mọi ngõ ngách của cuộc sống, đặt chân tới mọi gia đình, mọi người, mọi đối tượng. Vì vậy mà nhu cầu học tập của mọi người ngày càng tăng, phong phú về cách học, loại hình dạy và học. - Cũng vì lẽ đĩ việc nghiên cứu cách dạy Tốn sao cho đạt kết quả tốt là việc làm của giáo viên, các nhà sư phạm và sinh viên ngành Sư phạm Tốn ngay từ khi ngồi ở ghế nhà trường cũng cĩ điều kiện và nhiệm vụ tham gia, để chuẩn bị hành trang trở thành người thầy gĩp phần cùng các bậc anh, chị đi trước hồn thành tốt nhiệm vụ được giao. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 18 CHƯƠNG II QUAN NIỆM VỀ GIẢI TỐN VÀ NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. QUAN NIỆM VỀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN GIẢI TỐN: 1. Việc rèn luyện giải tốn bao gồm hai nội dung chủ yếu: a. Rèn luyện việc tìm lời giải các bài tốn. b. Rèn luyện việc giải tốn. Cĩ thể mơ tả cơng việc trên hình thành hai cơng đoạn theo mơ hình: - Trong quá trình rèn luyện, hai nội dung trên cĩ khi tiến hành đồng thời nhưng cũng cĩ khi tách thành hai quá trình riêng biệt. Tuy vậy, về mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung trên là hồn tồn khác nhau, độc lập với nhau (tuy cĩ quan hệ hỗ trợ cho nhau). Mỗi nội dung bảo đảm một yêu cầu riêng biệt trong cơng việc rèn luyện giải tốn. - Người giải tốn cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của nội dung và mối quan hệ giữa hai nội dung đĩ. - Ta hãy nĩi đến vấn đề giải tốn khi đã cĩ đường lối giải. Vấn đề này tất nhiên là quan trọng trong việc rèn luyện giải tốn. Người giải tốn cần thấy rõ từ chỗ tìm được phương hướng giải bài tốn đến việc giải hồn chỉnh bài tốn là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lí thuyết và các phương pháp thực hành đến việc luyện tập thành thạo các qui trình và các thao tác cĩ tính chất kĩ thuật. Điều này địi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải tốn. - Mặt khác, như đã biết kết quả của mỗi bài tốn trước hết phải biểu hiện ở lời giải đúng và đầy đủ. Rèn luyện giải tốn Rèn luyện khả năng tìm lời giải Rèn luyện khả năng giải bài tốn Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 19 - Lại cĩ những bài tốn mà việc tìm đường lối giải khơng khĩ, khi đã khá rõ ràng mà cái khĩ chủ yếu thuộc về kĩ thuật giải, do vậy cũng địi hỏi ở người giải tốn khơng ít sự sáng tạo. 2.Quá trình phân tích này chứng tỏ tính chất quan trọng của việc rèn luyện giải bài tốn (khi đã cĩ đường lối). Nhưng dù sao vẫn phải xem việc rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài tốn là khâu cĩ tính chất quyết định trong tồn bộ cơng việc rèn luyện giải tốn vì các lẽ sau đây: - Dù cĩ kĩ thuật cao, cĩ thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng khi chưa cĩ phương hướng hoặc chưa cĩ phương hướng tốt thì chưa thể cĩ lời giải hoặc lời giải tốt. - Mặt khác phải xem lao động trong khâu thực hiện các thao tác khi đã cĩ phương hướng là lao động cĩ tính chất kĩ thuật, khơng thể cĩ những sáng tạo lớn như lao động để tìm phương hướng. - Ngồi ra, coi trọng khâu rèn luyện phương pháp tìm lời giải các bài tốn chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập, sáng tạo - một khả năng khơng thể thiếu được đối với người giải tốn. Những điều nêu ra ở trên (dù sơ bộ) cũng đủ chứng tỏ tính chất quyết định của khâu: rèn luyện phương pháp tìm lời giải các bài tốn trong tồn bộ quá trình rèn luyện giải tốn và khả năng tư duy cho người giải tốn. II. NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH: A. Nội dung của phương pháp tìm lời giải tốn nĩi chung: 1. Nội dung của phương pháp tìm lời giải các bài tốn bao gồm các mặt sau đây: a.Trước hết, với mỗi bài tốn cơng việc của người giải tốn cần đặt ra là: phải làm sao từ các dữ liệu của bài tốn đã cho bao gồm các giả thiết, các điều kiện đã cĩ trong bài tốn và kể cả yêu cầu mà bài tốn địi hỏi cần xác định được: - Thể loại bài tốn - Vạch được phương hướng giải bài tốn - Tìm được các phương pháp và cơng cụ thích hợp Làm sao cho trước khi thực hiện các thao tác thì đã cĩ phương hướng và bước đi để giải các bài tốn đĩ. b.Phải phân tích cho được nguồn gốc hình thành các giả thiết, các điều kiện đã cho trong bài tốn và cĩ khi cả kết quả của bài tốn. Phải phát hiện được mối liên hệ cĩ tính tất yếu giữa giả thiết và kết luận, giữa những điều đã cho và những điều mà bài tốn địi hỏi. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 20 c.Từ các kết quả trên, người giải tốn cĩ thể đặt ra một vấn đề nữa là tìm kiếm các bài tốn và sáng tạo các bài tốn mới. d.Cuối cùng người giải tốn phải vươn tới việc đốn nhận quá trình hình thành bài tốn của tác giả. 2. Mối liên hệ giữa các mặt của nội dung phương pháp tìm lời giải các bài tốn: - Mặt thứ nhất là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong sự thành bại, hay hoặc dở của một lời giải bài tốn. Năng lực của người giải tốn cũng thể hiện rõ trong mặt này. Cĩ một số người giải tốn cĩ thĩi quen khơng tốt là hễ cĩ bài tốn là cứ ghi ghi chép chép và nháp lia lịa, mặc dù chưa biết mình sẽ giải quyết cái gì và những con tính của mình phục vụ cho yêu cầu nào. Cĩ thể nĩi mặt này là thước đo năng lực của người giải tốn vì rằng khơng thể đánh giá năng lực làm tốn tốt mà chỉ thể hiện ở khâu tiếp thu và vận dụng tốt. Bỏ qua mặt này mà một bài tốn giải được thì hoặc là bài tốn quá dễ do cĩ đường lối rõ ràng hoặc là do kết quả ngẫu nhiên của một quá trình mị mẫm. - Mặt thứ hai nhằm rèn luyện khả năng đi sâu vào mỗi bài tốn: Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài tốn và cả kết quả của nĩ giúp cho người giải tốn thấy rõ quá trình xảy ra cĩ tính chất qui luật của mọi bài tốn. Nĩi cụ thể hơn là người giải tốn sẽ biết được với các giả thiết, các điều kiện đã cho như vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra như thế nào? Và để cĩ kết quả như thế thì cần địi hỏi các giả thiết, các điều kiện như thế nào? Điều kiện này, biểu thức nọ cĩ mặt trong bài tốn phải được hình thành trong quá trình nào? - Làm quen mặt này người giải tốn cĩ đủ lịng tin vào đường lối mà mình đã tiến hành và hy vọng ở tính đúng đắn của mọi thao tác biến đổi. Nĩ cũng là cơ sở vững chắc để cho người giải tốn cĩ điều kiện đốn nhận các kết quả xảy ra bằng mọi cách chứng minh và kiểm nghiệm tính đúng đắn của sự đốn nhận đĩ. Làm tốt khâu này cịn giúp ích nhiều cho người giải tốn trong việc tìm kiếm các bài tốn liên quan, sáng tạo các bài tốn mới và đốn nhận được quá trình hình thành bài tốn của tác giả. - Mặt thứ ba: tìm các bài tốn liên quan và sáng tạo bài tốn mới. Muốn làm việc đĩ, trước hết người giải tốn phải phân tích kỹ để nắm được đặc điểm và bản chất của bài tốn, các yếu tố cấu tạo nên bài tốn đĩ. Như thế mới cĩ thể thấy được mối liên hệ giữa các bài tốn trong cùng một loại bài tốn và giữa các loại bài tốn khác nhau. Cơng việc sáng tạo các bài tốn mới, trước hết (đơn giản hơn cả) cĩ thể đi từ việc thay đổi các điều kiện đã cho của một bài tốn để tìm một kết quả mới. - Sau nữa, do phát hiện được mối liên hệ giữa các chất liệu tạo nên bài tốn nên cĩ thể thay đổi mối liên hệ đĩ để tạo ra các bài tốn mới. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 21 - Làm tốt mặt này, sẽ làm tốt mặt thứ hai đã nêu ở trên. Từ đĩ, người giải tốn khơng chỉ nắm được các bài tốn dưới dạng riêng lẻ mà cịn nắm được dưới dạng tổng quát. Cĩ làm tốt mặt này, người giải tốn mới làm quen với việc nhận dạng các bài tốn cũng như phân loại các bài tốn mới. - Cuối cùng, nếu đốn nhận được quá trình hình thành bài tốn của tác giả thì người giải tốn sẽ cĩ một sự hiểu biết sâu sắc về bài tốn đĩ. Mặt này, nếu làm được và làm tốt (tuy khĩ) sẽ giúp ích rất nhiều cho việc sáng tạo các bài tốn mới. - Bốn mặt trên, tuy mỗi mặt cĩ những yêu cầu khác nhau nhưng lại cĩ quan hệ và hỗ trợ cho nhau một cách đắc lực. Chính vì vậy quá trình để rèn luyện khả năng giải tốn, người giải tốn phải tiến hành một cách tồn diện cả bốn mặt đĩ. B.Tìm lời giải các bài tốn phương trình, hệ phương trình Phương pháp 1: Khai thác triệt để các giả thiết bài tốn Cơng việc này bao gồm các mặt sau đây: 1. Nghiên cứu các đặc điểm về dạng của bài tốn: Các đặc điểm về dạng của bài tốn là phần hình thức của bài tốn đĩ. Do sự thống nhất giữa nội dung và hình thức nên việc nghiên cứu phần hình thức của bài tốn về thực chất là việc khám phá các đặc điểm trong nội dung của bài tốn. Chính vì thế, nhiều bài tốn cĩ được lời giải hoặc cĩ lời giải hay là nhờ vào việc khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng của bài tốn đĩ. Mặt khác, do tính phong phú của hình thức nên các đặc điểm về dạng biểu hiện muơn hình muơn vẻ, địi hỏi người giải tốn phải biết cách nhìn bài tốn đĩ. a. Trước hết, các đặc điểm đĩ thể hiện ở mối liên hệ giữa các số cĩ mặt trong bài tốn đĩ. b. Đặc điểm của bài tốn thể hiện ở mối liên hệ giữa các số hạng tham gia trong bài tốn. c. Đặc điểm của bài tốn thể hiện ở tính chất của hình, vị trí tương đối của các đường, dạng của biểu thức … cĩ trong bài tốn. d. Đặc điểm về dạng của bài tốn cịn thể hiện ở tính chất “kì dị” khơng mẫu mực hay tính chất “ngụy trang” của dạng bài tốn. Ví dụ 1: Giải phương trình: 32 1 2 1 2 xx x x x ++ − + − − = (1) Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 22 Hướng dẫn giải: Cần để ý rằng: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x + − = − + − × + = − + − − = − − − × + = − − Thì thực chất (1) là phương trình: 31 1 1 1 2 xx x +− + + − − = Điều kiện: 1x ≥ Do: 1 1 0 1 1 1 1x x x− + > ⇒ − + = − + Cịn 1 1, 2 1 1 1 1, 1 2 x khi x x x khi x ⎡ − − ≥− − = ⎢ − − ≤ <⎢⎣ Do đĩ: ( ) 32 1 , 2 21 32 , 1 2 2 xx khi x x khi x +⎡ − = ≥⎢⇔ ⎢ +⎢ = ≤ <⎢⎣ Giải hai phương trình cuối ta được 5x = , 1x = là nghiệm của (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( )( ) ( )( ) ( )( ) 187 154 238 x y y z y z z x z x x y + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩ Hướng dẫn giải: Ta khơng thể nghĩ tới việc giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (vì đây là hệ phương trình bậc cao đối với x , y , z ). Nhưng chỉ cần để ý đến các Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 23 vế trái của hệ ta thấy ngay các thừa số x y+ , y z+ , z x+ được lặp lai hai lần, vì thế bằng cách nhân các phương trình theo từng vế ta thu được: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2. . 187 154 238 11 14 17+ + + = × × = × ×x y y z z x Khi đĩ: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 11 14 17 11 14 17 x y y z z x x y y z z x + + + = × ×⎡⎢ + + + = − × ×⎢⎣ ( )∗ Từ ( )∗ kết hợp với các phương trình của hệ ta thu được các hệ: 17 10 11 7 14 4 x y x y z y z x z + = =⎧ ⎧⎪ ⎪+ = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ = =⎩ ⎩ Và: 17 10 11 7 14 4 x y x y z y z x z + = − = −⎧ ⎧⎪ ⎪+ = − ⇔ = −⎨ ⎨⎪ ⎪+ = − = −⎩ ⎩ là hai nghiệm của hệ đã cho. 2.Nghiên cứu các điều kiện đặt ra cho các đại lượng cĩ trong bài tốn để định hướng đường lối giải: - Các đại lượng cĩ trong bài tốn trước hết phải kể đến là các đối số, các tham số trong bài tốn đại số, số học và lượng giác; các yếu tố tạo nên hình và khối trong các bài tốn hình học. Các điều kiện đặt ra cho các đại lượng đĩ khơng thể là ngẫu nhiên, tùy tiện mà chính là sự biểu hiện các mối liên hệ nào đĩ giữa các yếu tố tạo nên bài tốn. - Ở một số bài tốn khác, cĩ những biểu thức, hệ thức nào đĩ được đưa vào kèm theo một số các điều kiện. Khai thác triệt để và đúng hướng các điều kiện đĩ chắc chắn sẽ dẫn tới việc xác định đúng hướng giải bài tốn. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2A x y z u= với điều kiện , , ,x y z u là các số dương và : ( )2 4x xy z yzu+ + + = ∗ Hướng dẫn giải: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 24 Do , , ,x y z u là các số dương nên ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm giá trị lớn nhất của A. Nhưng do sự cĩ mặt của điều kiện ( )∗ nhắc ta khơng thể để nguyên dạng của A mà phải biến đổi A về dạng thích hợp. Muốn vậy ta biến đổi A về dạng sau: 1 . 2 . . . 2 A x xy z yzu= Khi đĩ, áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 4 thừa số dương 2 , , ,x xy z yzu ta được: 4 22 . . . 1 4 x xy z yzux xy z yzu ⎛ ⎞+ + +≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Dấu đẳng thức xảy ra khi: 2x xy z yzu= = = tức là khi 1 12 ; ; ; 1 2 2 y u x z= = = = Từ đĩ ta thu được kết luận: max 1 2 A = và đạt được khi 1 ; 1; 2 2 x u z y= = = = 3. Nghiên cứu tính chất của các biểu thức cĩ mặt trong bài tốn để định hướng lối giải cũng như chiến thuật giải: - Cĩ một số trường hợp, một biểu thức trong một bài tốn mang những tính chất khác nhau.Vì vậy, nếu nghiên cứu đầy đủ các tính chất khác nhau đĩ cĩ thể dẫn ta đến những lời giải khác nhau của một bài tốn. - Lại cĩ những trường hợp, trong cùng một bài tốn cĩ chứa nhiều biểu thức “xa lạ” với nhau quá, khi đĩ ta cần phải xét cụ thể tính chất của từng loại biểu thức để định đường lối giải thích hợp. - Cũng cĩ khi các tính chất của các biểu thức biểu hiện rất chi tiết, rất cụ thể mà người giải tốn cĩ thể thiếu cảnh giác, bỏ qua và khi đĩ hiển nhiên lời giải nếu cĩ được sẽ rất phức tạp. Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 1 3 2 4 1 0 1 6 5 1 3 0 x x x y x y x x x y ⎧ − + − + + − + + − =⎪⎨ − − − + + − − =⎪⎩ Hướng dẫn giải: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 25 Tính chất rắc rối của hệ làm ta phải cảnh giác. Nếu vậy ta nhận thấy ngay rằng, để hệ tồn tại thì ẩn x ít nhất phải thỏa mãn hệ điều kiện: 2 1 11 0 1 11 0 xx x xx − ≤ ≤⎧ − ≥ ⎧⇔ ⇔ =⎨ ⎨ ≥− ≥ ⎩⎩ Khi 1x = ( ta chỉ xét 1x = mà thơi) thì hệ trở thành: 2 2 4 2 0 1 3 0 y y y ⎧ − − + =⎪⎨ − − =⎪⎩ Từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra: 2 21 3 2 y y y =⎡− = ⇒ ⎢ = −⎣ Giá trị 2y = − loại (vì y khơng tồn tại) Khi 2y = phương trình thỏa mãn Do đĩ nghiệm duy nhất của hệ 1 2 x y =⎧⎨ =⎩ Phương pháp 2: Phân tích biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận Cĩ những bài tốn mà giả thiết và kết luận vốn đã quá xa nhau. Lại cĩ những bài tốn mà vốn là chúng gần nhau, nhưng để làm “khĩ dễ” cho người giải, tác giả các bài tốn cố tình làm cho chúng trở thành xa nhau hơn. Nhiệm vụ của người giải tốn là phải tìm cách bắc những nhịp cầu logic để làm cho giả thiết và kết luận trở thành gần gũi hơn. 1. Làm gần gũi giả thiết với kết luận bởi việc định hướng các phép biến đổi giả thiết bằng cách dựa vào những điều quan sát và phân tích được ở kết luận. - Người giải tốn cĩ nhược điểm là do thiếu định hướng đúng nên sau một số phép biến đổi, bài tốn trở nên phức tạp hơn, cĩ khi trở về cái đích ban đầu. - Muốn cĩ định hướng đúng, người giải tốn phải biết cách phân tích các đặc điểm của kết luận để từ đĩ đề xuất các phép biến đổi. Mỗi phép biến đổi được xem là đúng hướng nếu sau phép biến đổi đĩ gần gũi hơn với kết luận. Ví dụ: Chứng minh rằng nếu phương trình 2 0ax bx c+ + = cĩ hai nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia ( k là số đã cho và khác -1) thì: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 26 ( )22 1kb k ac= + Hướng dẫn giải: Gọi 1x và 2x là các nghiệm của phương trình, từ giả thiết ta suy ra: 1 2 2 1 x kx x kx =⎡⎢ =⎣ ( )∗ Từ ( )∗ ta suy ra ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 0 0 2 0 1 0 x kx x kx x x k x x k x x x x k x x x x k x x k x x k x x − − = ⇔ − + + = ⎡ ⎤⇔ − + − + =⎣ ⎦ ⇔ + − + = ∗∗ Nhằm làm xuất hiện , ,a b c ta sử dụng định lí Viet ( 1 2 bx x a + = − , 1 2 cx x a= ) thì từ ( )∗∗ ta suy ra : ( ) ( ) 2 2 22 1 0 1 c bk k a a kb k ac ⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⇔ = + là đẳng thức cần chứng minh. 2. Phân tích và biến đổi kết luận (yêu cầu mà bài tốn địi hỏi) bởi những định hướng hợp lí qua quan sát được từ việc phân tích giả thiết để làm cho: a.Kết luận ngày càng gần gũi với giả thiết hơn. b.Chứng minh kết luận mà bài tốn địi hỏi là đúng đắn. Việc làm gần gũi kết luận với giả thiết chính là cơng việc làm ngược chiều của người giải tốn đối với cơng việc của tác giả bài tốn (tác giả bài tốn cố tình tìm cách làm cho kết luận xa thêm với giả thiết cịn người giải tốn thì ngược lại, làm cho kết luận gần gũi hơn với giả thiết). Ví dụ: Cho a và b là hai nghiệm của phương trình: 2 1 0x px+ + = , cịn b và c là hai nghiệm của phương trình: 2 2 0x qx+ + = . Chứng minh rằng: (b-a) (b-c) = 6pq − Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 27 Hướng dẫn giải: Ta cần biến đổi (b-a) (b-c) và chứng tỏ rằng biều thức đĩ bằng 6pq − . Hướng của phép biến đổi phải căn cứ vào giả thiết: b a p+ = − , 1=ba , b c q+ = − , 2bc = Ta cĩ: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 6 b a b c b a a b c c b a b c a b c c b a ac pq ab bc pq − − = + − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + + − + − + + = − − = − Phương pháp 3: Chuyển hĩa nội dung của bài tốn - Trong tự nhiên xã hội, các sự vật luơn cĩ mối quan hệ với nhau và trong những điều kiện nào đĩ, chúng cĩ thể chuyển hĩa qua nhau. - Trong tốn học cũng vậy, cĩ nhiều loại tốn cĩ liên quan với nhau. Mối liên hệ giữa chúng trong điều kiện nào đĩ cho phép ta cĩ thể chuyển từ việc giải bài tốn này qua việc giải một bài tốn khác (cĩ nội dung khác nhau ) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3u x y= + nếu ,x y thỏa mãn phương trình: 2 24 3x xy y+ + = Hướng dẫn giải: Bài tốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm u chuyển thành bài tốn: Tìm mọi giá trị của u sao cho hệ: 2 2 3 4 3 x y u x xy y + =⎧⎨ + + =⎩ ( )1 cĩ nghiệm ( ),x y Từ phương trình đầu ta cĩ: 3x y u= − + (với u tùy ý), thay giá trị x đĩ vào phương trình sau ta thu được phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 4 3 10 5 3 0 2 y u y u y y y uy u − + + − + + = ⇔ − + − = Điều kiện 0∆ ≥ để phương trình ( )2 cĩ nghiệm đối với y chính là điều kiện để hệ ( )1 cĩ nghiệm ( ),x y Ta cĩ: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 28 ( )2 2 2 0 25 40 3 0 15 120 0 2 2 2 2 u u u u ∆ ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ Để tìm các ( ),x y làm cho đẳng thức xảy ra, ta xét: Khi 2 2 0u = ⇒ ∆ = ⇒ phương trình ( )2 cĩ nghiệm kép: 0 5 2 20 2 uy = = . Từ đĩ 0 22x = Khi 0 22 2 2 u y= − ⇒ = − . Từ đĩ 0 3 22x = − Vậy ta kết luận: max 2 2u = , đạt được khi 2 2 2 2 x y ⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ min 2 2u = − , đạt được khi 3 2 2 2 2 x y ⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩ Ví dụ 2: Giải phương trình: 8 1 3 5 7 4 2 2x x x x+ + − = + + − Hướng dẫn giải: Đặt 8 1, 3 5, 7 4, 2 2u x v x z x t x= + = − = + = − Với điều kiện: , , , 0u v z t ≥ Ta được hệ: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 29 ( ) ( )2 2 2 2 1 2 u v z t u v z t ⎧ + = +⎪⎨ − = −⎪⎩ Từ ( )2 suy ra: ( )( ) ( )( )u v u v z t z t+ − = + − Vì 0u v+ > nên từ đĩ ta thu được: ( )3u v z t− = − Từ ( )1 và ( )3 ta suy ra: u z= Từ đĩ suy ra: 8 1 7 4 3x x x+ = + ⇔ = Giá trị 3x = thỏa mãn điều kiện bài tốn.Đĩ là nghiệm của phương trình. Phương pháp 4: Chuyển hĩa hình thức bài tốn - Thực tế cĩ một số bài tốn, nếu ta biết cách thay đổi hình thức của bài tốn thì sẽ dễ giải hơn hoặc cĩ lời giải tốt hơn. - Cụ thể người ta thường chuyển các bài tốn cĩ dạng Đại Số sang lượng giác, lượng giác sang Đại Số hoặc Đại Số sang hình học. Ví dụ: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 25 1 3 9 2 3 16 3 yx xy y z z xz x ⎧ + + =⎪⎪⎪ + =⎨⎪ + + =⎪⎪⎩ Tính 2 3D xy yz zx= + + Hướng dẫn giải: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 30 Khơng thể khơng nghĩ tới 3 con số trong các vế phải: 9, 16, 25 mà 9 + 16 = 25 Phải chăng đĩ là bình phương số đo các cạnh của một tam giác vuơng: 3, 4, 5 Nếu vậy vế trái của các phương trình là bình phương độ dài các cạnh của tam giác. Bằng cách nhìn lượng giác hỗn hợp đại số, ta cĩ các biến đổi sau: 22 2 2 0 2 22 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 cos150 25 3 3 3 9 3 3 2 cos120 16 y y yx xy x x BC y yz z AB z xz x z x zx AC ⎛ ⎞+ + = + − = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ + + = + − = = Ở đây ta thấy ba tam giác OAB, OBC, OCA tạo thành tam giác vuơng. Để tính D ta lập phương trình xem D là ẩn. Một mặt ta cĩ: 1 1 3 4 6 2 2ABC S AB AC= ⋅ = ⋅ ⋅ = Mặt khác ta lại cĩ: ( ) = + + = ⋅ + + = + + = ⋅ 0 0 S 1 1 1 sin150 sin120 2 2 23 3 1 1 2 3 4 3 4 3 ABC AOB BOC COAS S S z yy x zx yz yz zx D Từ đĩ: = 24 3D Phương pháp 5: Lựa chọn cơng cụ để giải tốn - Việc lựa chọn các cơng cụ khác nhau để giải tốn là việc làm cần thiết. Các cơng cụ được chọn trên cơ sở phân tích các đặc điểm của bài tốn đã cho. - Những đặc điểm nào thích hợp với loại cơng cụ nào người giải tốn phải làm quen và nắm vững, chọn được cơng cụ thích hợp tất nhiên lời giải tương ứng sẽ tốt nhất. Chúng ta cĩ thể kể ra đây một số cơng cụ chủ yếu chẳng hạn: đồ thị, tam thức bậc hai, nguyên hàm, vectơ… Ví dụ 1: Cho phương trình: + + − =2 1a x a x b ( )1 Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 31 Hãy biện luận theo a và b số nghiệm của phương trình ( )1 Hướng dẫn giải: Biến đổi ( ) ⎡ ⎤⇔ + + − =⎣ ⎦1 2 1a x x b Khi = = 0a b phương trình cĩ nghiệm là mọi._.iải: a) ( ) ( )21 2 1 0m x x− + − = ∗ * Với 1m = : phương trình ( )∗ trở thành: 2 1 0 1 2 x x − = ⇔ = * Với 1m ≠ : phương trình ( )∗ cĩ ' m∆ = + 0 1m< ≠ : phương trình ( )∗ cĩ hai nghiệm phân biệt + 1 2 1 1, 1 1 m mx x m m − + − −= =− − + 0m < : phương trình ( )∗ vơ nghiệm + 0m = : phương trình ( )∗ cĩ nghiệm kép 1 2 1x x= = . b) Phương trình đã cho cĩ hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 1 0 1 1 m m − − Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 82 c) Phương trình đã cho cĩ hai nghiệm 1 2,x x 0m⇔ ≥ và 1m ≠ (câu a), lúc đĩ: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 12 1 1 1 4 2 1 1 4 1 0 2 5 0 ( ) 5 ( ) x x x x x x m m m m m m m loại m nhận + = ⇔ + − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⇔ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ + − = − ⇔ − − = ⎡ = − <⇔ ⎢⎢ =⎣ Vậy với 5m = thì phương trình đã cho cĩ 2 21 2 1x x+ = . Ví dụ 2: Cho phương trình ( ) ( )2 2 1 1 0 1kx k x k− + + + = a) Tìm các giá trị của k để phương trình trên cĩ ít nhất một nghiệm dương. b) Tìm các giá trị của k để phương trình trên cĩ một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1. Giải: a) Ta cĩ: * 0k = phương trình ( )1 trở thành: 12 1 0 0 2 x x− + = ⇔ = > * 0k ≠ phương trình ( )1 cĩ ít nhất một nghiệm dương khi và chỉ khi: ( ) ( ) 1 2 ' 0 0 0 0 P x x i S ii P ⎡ = ⎨⎢⎪⎢ >⎩⎣ Mệnh đề ( )i : Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 83 1 2 1 0 1 0kP x x k k += = < ⇔− < < Mệnh đề ( )ii : ( ) ' 1 0 2 1 0 0 1 0 k k S k k kP k ⎧∆ = + ≥⎪⎪ +⎪ = > ⇔ >⎨⎪ +⎪ = >⎪⎩ Vậy với 1k > − thì phương trình đã cho cĩ ít nhất một nghiệm dương. b) Nhận xét: theo đề bài ta cần tìm giá trị của k thỏa: 1 21x x< < . Ứng dụng của định lí Viet, cho ta biết so sánh hai nghiệm với số 0. Vậy nếu ta đặt x = y +1 thì ta cĩ thể sử dụng định lí Viet khơng? Đặt x = y +1, phương trình (1) trở thành : ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 0 2 1 0 2 k y k y k ky y + − + + + + = ⇔ − − = Phương trình ( )1 cĩ hai nghiệm 1x và 2x sao cho 1 1x khi và chỉ khi phương trình ( )2 cĩ hai nghiệm 1 0y tức là 1 0 0kk− Vậy với k > 0 thì phương trình (1) cĩ hai nghiệm 1x và 2x sao cho 1 21x x< < . Ví dụ 3: Tìm m để phương trình ( ) ( ) ( )22 2 3 5 0m x m x m− − − + + = ∗ cĩ hai nghiệm cùng dấu. Giải: 2 0 2m m− = ⇔ = phương trình ( )∗ trở thành 7 0 7x x− + = ⇔ = 2 0 2m m− ≠ ⇔ ≠ phương trình ( )∗ cĩ hai nghiệm cùng dấu Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 84 0 0 0 0 0 0 P S P S ⎡ ⎧ ∆ ≥⎢ ⎪ >⎨⎢ ⎪⎢ >⎩⎢⇔ ⎢ ⎧ ∆ ≥⎢ ⎪ >⎨⎢ ⎪⎢ <⎩⎣ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 3 4 2 5 0 5 0 2 2 3 0 2 2 3 4 2 5 0 5 0 2 2 3 0 2 m m m m I m m m m m m m II m m m ⎡⎧ − − − + ≥⎢⎪⎢⎪ +⎪⎢ >⎨⎢ −⎪⎢ −⎪⎢ >⎪ −⎢⎩⇔ ⎢⎧⎢ − − − + ≥⎪⎢⎪⎢ +⎪ >⎨⎢ −⎪⎢ −⎪⎢ <⎪⎢ −⎩⎣ Giải hệ (I): ( ) ( )( )⎧ − − − + ≥⎪⎪ +⎪ >⎨ −⎪ −⎪ >⎪ −⎩ ⎧ ≤⎪⎪⎪⇔ ⎨⎪⎪ ⎪⎩ ⇔ < − < ≤ 2 2 3 4 2 5 0 5 0 2 2 3 0 2 49 24 5 2 3 2 2 495 2 ( ) 24 m m m m m m m m m hoặc m m hoặc m m hoặc m thỏa điều kiện Giải hệ (II): Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 85 ( ) ( )( )22 3 4 2 5 0 5 0 2 2 3 0 2 m m m m m m m ⎧ − − − + ≥⎪⎪ +⎪ >⎨ −⎪ −⎪ <⎪ −⎩ ⎧ ≤⎪⎪⎪⇔ ⎨⎪⎪ < <⎪⎩ 49 24 5 2 ( ) 3 2 2 m m hoặc m hệ vô nghiệm m Vậy với < − < ≤ 495 2 24 m hoặc m thì phương trình đã cho cĩ hai nghiệm cùng dấu. Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu phương trình bậc hai cĩ hệ số hữu tỉ và cĩ một nghiệm vơ tỉ là m n+ ( ,m n hữu tỉ ) thì nĩ cĩ một nghiệm nữa là m n− Giải: Cách giải 1: Nếu 1x m n= + là nghiệm của 2 0ax bx c+ + = thì: ( ) ( )2 0a m n b m n c+ + + + = Do đĩ: ( ) ( )22 2a m n bm c n am b+ + + = − + Nếu hai vế của đẳng thức này khác 0 thì vế trái là số hữu tỉ, vế phải là số vơ tỉ, điều đĩ vơ lý. Vậy hai vế của đẳng thức phải bằng 0, tức là: 2 0 2 bam b m a + = ⇔ = − Mà theo định lí Viet thì: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 86 1 2 bx x a + = − Do đĩ : ( )1 2 2 2 2 x x m m n x m + = ⇔ + + = Vậy: 2x m n= − (điều phải chứng minh). Cách 2: Ta chia tam thức 2( )P x ax bx c= + + cho tam thức ( ) ( ) ( )2( )Q x x m n x m n x m n⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ta được: ( )22( )P x ax bx c a x m m Bx C⎡ ⎤= + + = − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ , trong đĩ B và C là số hữu tỉ. theo giả thiết thì ( )1( ) 0P x P m n= + = , mà dĩ nhiên là ( ) 0Q m n+ = , do đĩ: ( ) ( ) 0P m n B m n C Bm C n B + = + + = ⇒ + = − Vì n vơ tỉ nên B = 0 , do đĩ C = 0, nghĩa là ( ) ( )P x aQ x= hay: ( ) ( )2ax bx c a x m n x m n⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ nghĩa là phương trình 2 0ax bx c+ + = cĩ nghiệm nữa là : m n− (điều phải chứng minh). Tổng quát hĩa: Nếu phương trình bậc n với hệ số hữu tỉ mà cĩ một nghiệm vơ tỉ là m n+ (m, n hữu tỉ) thì cĩ một nghiệm vơ tỉ nữa là m n− . Cách giải thứ nhất của bài tốn đã cho (đối với phương trình bậc hai) khơng vận dụng được vào đây, vì trong cách giải đĩ ta đã dùng định lí Viet về tổng các nghiệm của phương trình bậc hai. Cĩ thể áp dụng cách giải thứ hai . Gọi phương trình bậc n đã cho là ( ) 0P x = . Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 87 Chia ( )P x cho ( ) ( ) ( )Q x x m n x m n⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ta được thương là ( )A x nào đĩ hoặc thương là ( )A x nào đĩ và dư là ( )B x C+ (vì ( )Q x bậc hai, nên dư chỉ cĩ thể là bậc nhất hoặc bậc khơng). Trường hợp 1: ( )P x chia ( )Q x ta được thương là ( )A x nào đĩ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . P x A x Q x A x x m n x m n = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Do đĩ 2x m n= − cũng là nghiệm của ( ) 0P x = (điều phải chứng minh). Trường hợp 2: ( )P x chia ( )Q x ta được thương là ( )A x nào đĩ và dư là ( )B x C+ Ta cĩ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).P x A x Q x B x C= + + ∗ Theo giả thiết với 1x m n= + thì ( )1 0P x = , mà ( )1 0Q x = nên từ ( )∗ ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 . 0 0 0 P x A x Q x Bx C Bx C B m n C = + + = ⇔ + = ⇔ + + = Với B, C, m, n hữu tỉ. Từ đây suy ra B = C = 0 nghĩa là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . P x A x Q x A x x m n x m n = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Do đĩ 2x m n= − cũng là nghiệm của ( ) 0P x = (điều phải chứng minh). Vấn đề 3: Giải và biện luận hệ phương trình bậc hai hai ẩn số. Để giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn, ta cũng thường dùng các phương pháp quen thuộc như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số và phương pháp đặt ẩn phụ. Tất nhiên, việc chọn phương pháp nào phụ thuộc vào các phương trình cụ thể. Trong chương trình Đại Số 10 nâng cao, ta sẽ tìm hiểu thêm một vài hệ phương trình cĩ dạng đặc biệt: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 88 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 x y a x y ⎧ + = +⎪⎨ + =⎪⎩ a) Giải hệ với a = 1. b) Tìm các giá trị của a để hệ cĩ đúng hai nghiệm. Nhận xét: Ta cĩ nhận xét rằng vế trái của mỗi phương trình trong hệ đã cho là một biểu thức đối xứng đối với x và y (nghĩa là: Khi thay thế x bởi y và y bởi x thì biểu thức khơng thay đổi). Trong trường hợp này, ta dùng cách đặt ẩn phụ S = x + y và P = xy. Giải: a) Giải hệ với a = 1. Với a = 1 ta cĩ hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) ⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩ ⎧ + − =⎪⇔ ∗⎨⎪ + =⎩ 2 2 2 2 2 4 4 2 4 4 x y x y x y xy x y Đặt S = x + y, P = xy Khi đĩ ( )∗ trở thành : ⎧ ⎧ ⎧− = = = −⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎨= ==⎪ ⎩ ⎩⎩ 2 2 2 4 2 2 hoặc 0 04 S P S S P PS Với: 2 0 S P ⎧ =⎨ =⎩ ta cĩ: 2 0 0 2 2 0 x y x y x y x y ⎧ + =⎨ =⎩ ⎡ ⎧ =⎢ ⎨ =⎩⎢⇔ ⎢ ⎧ =⎢ ⎨ =⎢ ⎩⎣ Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 89 Với: 2 0 S P ⎧ = −⎨ =⎩ ta cĩ: 2 0 0 2 2 0 x y xy x y x y ⎧ + = −⎨ =⎩ ⎡⎧ =⎢⎨ = −⎩⎢⇔ ⎢⎧ = −⎢⎨ =⎢⎩⎣ Vậy hệ phương trình cĩ 4 nghiệm là (0, 2), (2, 0), (-2,0), (0, -2). b) Đặt S = x + y, P = xy. Khi đĩ hệ đã cho trở thành: ( )2 2 2 2 1 4 1 2 S P a S P a S ⎧ − = +⎪⎨ =⎪⎩ ⎧ = −⇔ ⎨ = ±⎩ Khi đĩ x, y là nghiệm của phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 1 0 2 1 0 X X a i X X a ii ⎡ − + − =⎢ + + − =⎢⎣ ( )i cĩ hai nghiệm là: 1 a+ , 1 a− ( )ii cĩ hai nghiệm là: 1 a− + , 1 a− − Nếu a > 0 thì bốn giá trị này khác nhau và do đĩ hệ đã cho cĩ bốn nghiệm khác nhau. Nếu a = 0 thì hai nghiệm của ( )i trùng nhau tại 1 và hai nghiệm của ( )ii trùng nhau tại -1, do đĩ hệ đã cho cĩ đúng hai nghiệm (1, 1) và (-1, -1). Vậy hệ đã cho cĩ đúng hai nghiệm khi a = 0. Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 4 1 4 2 2 y x x ax x y y y ⎧ = − +⎪⎨ = − +⎪⎩ Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 90 Tìm a để hệ cĩ nghiệm duy nhất. Nhận xét: - Trong hệ phương trình trên, nếu thay thế đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình (1) biến thành phương trình (2) và ngược lại, phương trình (2) biến thành phương trình (1). - Đối với hệ phương trình cĩ tính chất đĩ, ta thường giải bằng cách trừ từng vế hai phương trình trong hệ. Giải: Trừ hai phương trình theo từng vế ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 4 3 0 0 3 0 y x x y x y a x y x y x y xy x y a x y x y xy x y a − = − − − + − ⎡ ⎤⇔ − + + − + + =⎣ ⎦ ⎡ − =⇔ ⎢ + + − + + =⎢⎣ Với x = y, thay vào phương trình (1) của hệ ta cĩ: ( ) 2 3 2 2 2 4 5 0 0 5 0 x x x ax x x x a x x x a = − + ⇔ − + = ⎡ =⇔ ⎢ − + =⎣ Hệ đã cho nhận nghiệm x = y = 0 với mọi a. Do đĩ hệ cĩ nghiệm duy nhất trong trường hợp này khi phương trình 2 5 0x x a− + = vơ nghiệm. Phương trình 2 5 0x x a− + = vơ nghiệm khi và chỉ khi: 25 4 0 25 4 a a ∆ = − < ⇔ > Với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 0 3 3 0 x y xy x y a x y x y y a + + − + + = ∗ ⇔ + − + − + = Xem đây như là một phương trình bậc hai theo biến số x. Ta cĩ: ( ) ( )2 2 2 3 4 3 3 6 9 4 x y y y a y y a ∆ = − − − + = − + + − Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 91 x∆ là một tam thức bậc hai theo y. Ta cĩ: ( ) ( ) ' 9 3 9 4 12 3 y a a ∆ = + − = − Với 25 4 a > thì ' 0,y y R∆ < ∀ ∈ . Do đĩ phương trình ( )∗ vơ nghiệm suy ra hệ đã cho vơ nghiệm. Vậy: với 25 4 a > hệ đã cho cĩ nghiệm duy nhất CHÚ Ý: - Các hệ phương trình cĩ tính chất như trong ví dụ 1 và ví dụ 2 được gọi chung là hệ phương trình đối xứng (đối với hai ẩn). - Nếu một hệ phương trình đối xứng cĩ nghiệm là (a,b) thì nĩ cũng cĩ nghiệm là (b,a). Nhận xét này rất hữu ích khi gặp các bài tốn về hệ phương trình đối xứng. * Ngồi ra, ta cĩ thể chuyển một số bài tốn từ dạng giải phương trình sang giải hệ phương trình thì sẽ thuận tiện cho việc giải tốn hơn. Ví dụ 1: Giải phương trình: ( )2 5 5x x+ + = ∗ Nhận xét: Nếu ta đưa phương trình về dạng A B= rồi áp dụng cách giải của loại phương trình cơ bản này thì ta sẽ gặp phương trình bậc 4 đầy đủ, khơng cĩ gì khác biệt: khơng thể giải dễ dàng được. Thật vậy: 2 2 4 2 2 4 2 5 5 5 5 10 25 5 10 20 0 x x x x x x x x x x + = − ⎧ ≤⎪⇔ ⎨ + = − +⎪⎩ ⎧ ≤⎪⇔ ⎨ − − + =⎪⎩ Giải: Điều kiện phương trình ( )∗ : 5x ≥ − Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 92 Đặt : ( )5 0t x t= + ≥ . Khi đĩ phương trình ( )∗ tương đương với hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 5 5 5 5 t x x t t x x t ⎧ = +⎪⎨ + =⎪⎩ ⎧ + − =⎪⇔ ⎨ − + =⎪⎩ Đây là hệ đối xứng với hai ẩn: t và u = -x . Ta cĩ: 2 2 5 5 t u u t ⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩ Trừ hai phương trình theo từng vế ta cĩ: ( )( ) 2 2 0 1 0 0 1 0 t u u t t u t u t u t u − + − = ⇔ − + − = ⎡ − =⇔ ⎢ + − =⎣ ( 0 0)t u t u= ≥ ⇔ ≥ Khi đĩ ta cĩ: 2 2 5 5 0 1 21 ( ) 2 1 21 ( ) 2 u u u u u loại u nhận + = ⇔ + − = ⎡ − −=⎢⎢⇔ ⎢ − +=⎢⎣ 1 21 1 21 2 2 u x− + −= ⇒ = 1 ( 0 1 )t u t u= − + ≥ ⇔ ≤ Khi đĩ ta cĩ: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 93 ( )2 2 1 5 4 0 1 17 ( ) 2 1 17 ( ) 2 u u u u u nhận u loại − + = ⇔ − − = ⎡ −=⎢⎢⇔ ⎢ +=⎢⎣ 1 17 17 1 2 2 u x− −= ⇒ = Vậy phương trình đã cho cĩ hai nghiệm là 1 21 2 x −= , 17 1 2 x −= . Ví dụ 2: Giải phương trình: ( )( )3 6 3 6 3x x x x+ + − − + − = Giải: Điều kiện: 3 0 3 6 6 0 x x x ⎧ + ≥ ⇔ − ≤ ≤⎨ − ≥⎩ Đặt : ( ) ( ) 3 0 6 0 u x u v x v ⎧ = + ≥⎪⎨ = − ≥⎪⎩ Ta cĩ hệ phương trình theo u và v: ( )2 2 39 u v uv u v ⎧ + − =⎪ ∗⎨ + =⎪⎩ Đặt ,S u v P uv= + = ≥ ≥( , 0 v ì , 0 )S P u v . Khi đĩ ( )∗ tương đương với hệ: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 94 2 2 3 2 9 3 2 3 0 1 ( ) 4 3 ( ) 0 S P S P P S S S S loại P S nhận P ⎧ − =⎪⎨ − =⎪⎩ ⎧ = −⎪⇔ ⎨ − − =⎪⎩ ⎡⎧ = −⎢⎨ = −⎩⎢⇔ ⎢⎧ =⎢⎨ =⎢⎩⎣ Với 3 0 S P ⎧ =⎨ =⎩ thì u, v là nghiệm của phương trình: 2 3 0 0 3 t t t t − = ⎡ =⇔ ⎢ =⎣ Khi đĩ nghiệm của phương trình đã cho là: 3 0 6 3 3 3 6 0 3 ( ) 6 x x x x x thỏa điều kiện x ⎡⎧ + =⎪⎢⎨⎢ − =⎪⎩⎢⎧⎢ + =⎪⎨⎢ − =⎪⎢⎩⎣ ⎡ = −⇔ ⎢ =⎣ Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x = -3 hoặc x = 6. 2.Hồn thiện kỹ năng giải Tốn: - Như trên đã trình bày, kỹ năng giải Tốn cũng khơng kém phần quan trọng. Nếu bài tốn đã xác định được hướng giải, nhưng kỹ năng giải Tốn chưa tốt rất dễ dẫn tới sai lầm, khĩ phát hiện được kết quả đúng. - Vì vậy, trong quá trình giải các bài tốn nâng cao, dạng tốn giải và biện luận phương trình, hệ phương trình giáo viên cần hướng dẫn rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải tốn bao gồm các vấn đề sau: + Kỹ năng tính tốn thành thạo. + Kỹ năng biến đổi các đẳng thức. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 95 + Kỹ năng chuyển đổi từ phương trình phức tạp về phương trình, hệ phương trình đơn giản, dễ giải. + Kỹ năng phán đốn nhận xét để xác định nghiệm. - Trên đây là những vấn đề chính về việc củng cố và hồn thiện kỹ năng tư duy Tốn học và kỹ năng giải các bài tốn về phương trình, hệ phương trình ở lớp 10. - Trong quá trình giảng giải các bài tốn nâng cao, giáo viên cần chú ý, xem xét đánh giá mức độ tư duy Tốn học qua từng bước, củng cố để cĩ thể bổ sung những chỗ hổng kiến thức. Ra các bài tốn sao cho học sinh tự tin, hăng say làm và từ đĩ nâng dần khả năng tư duy, kỹ năng giải Tốn thơng qua việc giải các bài tốn nâng cao về phương trình, hệ phương trình. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 96 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM I. MỤC ĐÍCH: 1.Khảo sát, đánh giá đúng trình độ học sinh. 2.Kiểm lại giả thuyết của đề tài là: Thơng qua việc củng cố kiến thức và hướng dẫn học sinh giải tốn nâng cao dạng: “ Giải và biện luận phương trình, hệ phương trình” tư duy tốn học của học sinh được rèn luyện, củng cố và phát huy nên các em tự tin độc lập suy nghĩ, sáng tạo và kết quả học tập mơn Tốn sẽ đạt kết quả tốt hơn. 3.Tìm hiểu về phương pháp và cơng việc giảng dạy của giáo viên, thơng qua việc giải bài tập để rèn luyện tư duy tốn học cho học sinh. II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN: 1. Hỏi ý kiến giáo viên Tốn (bằng phiếu hoặc trao đổi trực tiếp). 2. Trao đổi với giáo viên khác (khơng dạy Tốn) để biết tình hình chung về học tập của học sinh lớp 10. 3. Phát phiếu (bài kiểm tra Tốn) cho học sinh làm để phân tích đánh giá, kiểm nghiệm đề tài. III. PHÂN TÍCH KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM: A. Đánh giá trình độ chung của học sinh: 1.Đánh giá chung: - Theo ý kiến các thầy cơ thì trình độ học sinh lớp 10 (cĩ 483 học sinh) là yếu, đặc biệt là mơn Tốn. Khi tuyển vào, khảo sát chất lượng đầu năm thì Giỏi, Khá, Trung bình đạt 70% , cịn 30% là học sinh Yếu, Kém. - Tuy nhiên, ở lớp 10A1,10A2 trình độ cĩ khá hơn. Trong số 89 học sinh (10A1, 10A2), kết quả điểm trung bình mơn Học kỳ I mơn Tốn là: + Giỏi: 15,73% + Khá: 25,84% + Trung bình43,83% + Yếu:10,2% + Kém: 4,4% 2.Kết quả thực nghiệm: a.Về mặt định tính: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 97 * Kết quả đạt được: - Biết cách giải và biện luận phương trình, hệ phương trình. Nắm được các kiến thức cơ bản và chọn nghiệm thích hợp. - Biết vận dụng phép biến đổi phương trình thành phương trình tương đương hoặc biến đổi phương trình thành phương trình hệ quả, nghĩa là biết chọn đường lối giải thích hợp. Như vậy là khả năng tư duy được củng cố, hồn thiện dần và nâng cao hơn. - Khả năng độc lập tự tin, tiến bộ và ham học mơn Tốn. * Thiếu sĩt: - Cịn chưa vững hoặc lầm lẫn kiến thức (số ít), số này rơi vào học sinh Trung bình. Sai lầm của các em là: khi bình phương hai vế của phương trình sẽ được phương trình hệ quả, nhưng lại lầm rằng là phương trình tương đương. Vì vậy, khi tìm được nghiệm lại khơng xem xét nghiệm đĩ cĩ thoả mãn khơng. - Một số trường hợp khi giải tìm được nghiệm đã vội thoả mãn (xem như chỉ cĩ một nghiệm duy nhất), khơng tìm hiểu tiếp cĩ cịn nghiệm khơng, vì vậy đã bỏ sĩt nghiệm. b.Về mặt định lượng: - Kỹ năng giải tốn tốt, ít sai sĩt lớn ảnh hưởng đến kết quả, khơng cĩ trường hợp đáng tiếc xảy ra. - Tuy nhiên cách trình bày cịn dài dịng, khơng rõ nghĩa. c.Đánh giá chung sau 4 bài kiểm tra thực nghiệm: - Trong số 89 học sinh 10A1, 10A2, cĩ 85 học sinh làm đủ cả 4 bài kiểm tra thực nghiệm. Bảng tổng hợp kết quả kiểm tra thực nghiệm: Bài Xếp loại I II III IV Cộng Giỏi 11 15 14 16 56 Khá 39 38 36 39 152 Trung bình 30 29 33 28 120 Yếu 5 3 2 2 12 Cộng 85 85 85 85 340 Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 98 Phân loại bài kiểm tra thực nghiệm theo tỉ lệ %: Giỏi Khá Trung bình Yếu 16,47 44,70 35,30 3,53 So sánh với kết quả học kỳ I: Xếp loại Học kỳ I Kết quả thực nghiệm Giỏi 15.73 16.47 Khá 26.19 44.70 Trung bình 43.48 35.30 Yếu 10.20 3.53 Kém 4.40 0.00 Học sinh giỏi, khá khảo sát sau thực nghiệm từ 41,57% lên 61,17% tăng 19,6%, đặc biệt khơng cịn học sinh kém. Học sinh trung bình, yếu, kém giảm 19,6%. Thực ra đánh giá so sánh này khơng đầy đủ và cĩ phần khập khiểng vì Tốn ở học kì I là điểm trung bình mơn, cịn Tốn phần thực nghiệm chỉ là Đại Số, phần giải và biện luận phương trình, hệ phương trình, nhưng dù sao cũng nĩi được phần nào kết quả học tập của học sinh được nâng lên và chứng minh được giả thuyết của đề tài đã được kiểm nghiệm, đánh giá. Mặt khác cũng cần nhấn mạnh là các bài tốn thực nghiệm đề tài cĩ mức độ khĩ hơn các bài tốn bình thường, và như vậy cũng làm rõ nhận định trên. B. Ý kiến của giáo viên: 1.Tổng hợp ý kiến giáo viên qua phiếu hỏi ý kiến: Câu 1: Xin thầy cơ đánh giá chung trình độ Tốn học của học sinh lớp 10 (hoặc lớp thầy cơ đang dạy): a. Giỏi: b. Khá: Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 99 c. Trung bình: d. Yếu: Các thầy cơ đều thống nhất là: nĩi chung trình độ học sinh yếu. Tỉ lệ học sinh giỏi, khá cịn thấp, học sinh trung bình, yếu, kém cịn cao. Ý kiến khác nhau là tỉ lệ học sinh cụ thể các loại giỏi, khá, trung bình, yếu (vì nhiều thầy cơ căn cứ vào lớp mình đang dạy để đánh giá). Câu 2: Xin thầy cơ cho ý kiến: vì sao học sinh lớp 10 khả năng tư duy Tốn học và kỹ năng giải tốn cịn yếu: a) Do kiến thức lớp dưới chưa vững. b) Do khơng ham học c) Do cả hai nguyên nhân a, b. d) Nguyên nhân khác . Tất cả các giáo viên Tốn được hỏi ý kiến đều cho là do cả hai nguyên nhân a, b, tức là do kiến thức lớp dưới chưa vững và khơng ham học. Câu 3: Thầy cơ cĩ vận dụng phương pháp củng cố, hồn thiện khả năng tư duy Tốn học và kỹ năng giải tốn của học sinh thơng qua tiết ơn tập, giải bài tập khơng: a) Thường xuyên. b) Ít chú ý. Ý kiến chung các thầy cơ là thường xuyên. Câu 4: Thầy cơ thấy phương pháp hướng dẫn học sinh củng cố và hồn thiện khả năng giải tốn qua việc giải bài tập nâng cao về phương trình, hệ phương trình so với các phương pháp khác như thế nào? a) Hiệu quả hơn. b) Như nhau. c) Khĩ phân biệt. Câu này chỉ cĩ 2 luồng ý kiến là: a) Hiệu quả hơn. b) Như nhau. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 100 Tuy nhiên ý kiến a nhiều hơn. Câu 5: Thầy cơ cĩ nhận xét về trình độ, khả năng giải và biện luận phương trình, hệ phương trình của học sinh lớp 10 như thế nào: a. Giỏi: b. Khá: c. Trung bình: d. Yếu: Câu này gần giống với câu 1. Chỗ khác nhau là ở câu 1 hỏi về trình độ khả năng tốn nĩi chung, cịn ở câu 5 hỏi về loại tốn giải và biện luận phương trình, hệ phương trình . Các thầy cơ đưa ra những số liệu khác nhau về tỉ lệ học sinh giỏi, khá, trung bình, yếu. Tuy nhiên cĩ điểm giống nhau ở chỗ tỉ lệ học sinh giỏi, khá cịn thấp, tỉ lệ học sinh trung bình, yếu cịn cao. Câu 6: Theo thầy cơ, việc rèn luyện khả năng tư duy Tốn học thơng qua giờ giải bài tập cĩ cần thiết khơng, vì sao? Về câu này các thầy cơ đưa ra nhiều lí do khác nhau, nhưng đều thống nhất là rất cần thiết. Câu 7: Theo thầy cơ việc giải bài tập để củng cố, hồn thiện tư duy Tốn học và kỹ năng giải và biện luận phương trình, hệ phương trình gặp khĩ khăn gì? Các thầy cơ nêu những khĩ khăn là do học sinh chưa nắm vững kiến thức nên lúng túng trong việc xác định hệ số và kỹ năng tính tốn. Cĩ khi khơng biết bắt đầu từ đâu phải làm gì (thường gặp ở học sinh trung bình, yếu). Câu 8: Để cải tiến phương pháp dạy tốn ở trường THPT chúng ta cần làm gì? Các thầy cơ đều cho rằng: - Thường xuyên củng cố và rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh . - Nâng cao ý thức tự giác học tập cho học sinh (khả năng độc lập suy nghĩ, tự tin), đặc biệt là tự học (giải bài tập) ở nhà. - Trước khi giảng bài mới, giáo viên cần đặt một số câu hỏi gợi mở cho học sinh suy nghĩ, chuẩn bị học bài mới tốt hơn. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 101 2. Kết luận của chúng tơi: Qua 8 câu hỏi ở phiếu hỏi ý kiến giáo viên chúng tơi nhận thấy: a.Về phía học sinh: - Thầy cơ đều đánh giá là trình độ Tốn học, khả năng tư duy Tốn học nĩi chung, phần giải và biện luận phương trình, hệ phương trình nĩi riêng cịn yếu. - Nguyên nhân chính là: kiến thức lớp dưới chưa vững, chưa ham học, chưa cĩ phương pháp học tập đúng đắn, sáng tạo, chưa thật sự tự giác trong học tập. Vì vậy kết quả học tập khơng cao. Khơng cĩ học sinh xuất sắc, số học sinh giỏi, khá, tỉ lệ khơng cao. - Đánh giá về tỉ lệ phân loại học sinh cĩ khác nhau : lớp 10A1, 10A2, tỉ lệ học sinh giỏi, khá (học kì I): 41,57% nhưng cĩ lớp lại khơng cĩ học sinh giỏi, khá. Học sinh yếu ở lớp 10A1, 10A2: 10,2% nhưng cĩ lớp học sinh yếu lên đến 55,9%, và nĩi chung tồn trường học sinh yếu khoảng 30%. Đây là vấn đề khĩ khăn trong việc nâng cao chất lượng. Muốn nâng cao chất lượng phải cĩ kế hốch từng bước, kiên trì, đúng hướng. - Chính vì vậy đề tài của chúng tơi là tìm cách giải quyết “bài tốn” nâng cao chất lượng, tìm hướng đi thích hợp, giải quyết vấn đề đã nêu trên. b.Về phía giáo viên: - Trong giảng dạy các thầy cơ thường xuyên áp dụng phương pháp củng cố và rèn luyện tư duy Tốn học cho học sinh. Tuy nhiên cịn gặp nhiều khĩ khăn và nhiều nguyên nhân khác nhau nên kết quả chưa cao, khơng đồng đều. - Chúng tơi ghi nhận sự nhiệt tình, yêu nghề và tinh thần trách nhiệm của các thầy cơ trong giảng dạy, hướng dẫn giáo sinh thực tập và đã cĩ nhiều ý kiến đĩng gĩp cho giáo dục, tạo điều kiện cho chúng tơi hồn thành đề tài nghiên cứu này. Cũng nhân dịp này chúng tơi nêu một số ý kiến của giáo viên (qua phiếu cho ý kiến của thầy Nguyễn Hồng Sáu và cơ Nguyễn Thị Hiền là những giáo viên dạy lớp 10 trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm) để các cấp lãnh đạo, các nhà giáo dục xem xét và các thầy cơ (cĩ dịp đọc luận văn này) tham khảo. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 102 KẾT LUẬN I. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: - Dù chưa được mỹ mãn, nhưng mục đích đặt ra đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã hồn thành, giả thuyết nghiên cứu đã được khẳng định chứng minh. - Về cơ sở lí luận (chương I): Chúng tơi đã khái quát và nhấn mạnh việc giải tốn là kiểm nghiệm lại nhận thức Tốn học, củng cố lý thuyết đã học và vận dụng kiến thức đã học để giải quyết vấn đề một cách logic, đầy đủ và trọn vẹn. - Trong chương II: Chúng tơi trình bày nội dung của phương pháp tìm lời giải các bài tốn nĩi chung và những bài tốn ở dạng nâng cao về giải và biện luận phương trình, hệ phương trình nĩi riêng, cĩ những ví dụ để chứng minh cho giả thuyết đặt ra. - Trong chương III: Chúng tơi chứng minh tư duy Tốn học của học sinh được rèn luyện qua việc giải tốn các bài tập về giải và biện luận phương trình, hệ phương trình cho học sinh lớp 10 nâng cao, đồng thời chứng minh khả năng tư duy Tốn học và kỹ năng giải tốn sẽ được củng cố, hồn thiện từng bước bằng việc giải tốn theo từng dạng, từng vấn đề và cĩ những ví dụ các bài tốn để làm sáng tỏ vấn đề được đặt ra. - Trong phần thực nghiệm sư phạm: chúng tơi khảo sát trình độ học sinh khi chưa thực hiện đề tài (kết quả điểm trung bình Tốn học kì I) của học sinh các lớp 10, đặc biệt lớp 10A1,10A2 lớp thực nghiệm và kiểm tra sau khi thực nghiệm (4 bài), so sánh mức độ thu nhận, khả năng tư duy và kỹ năng giải tốn để thấy rõ hiệu quả của đề tài. - Chúng tơi cũng trao đổi với giáo viên dạy Tốn, giáo viên khác trong trường, đưa phiếu hỏi ý kiến giáo viên dạy Tốn để làm cơ sở nghiên cứu cho đề tài. Những ý kiến của giáo viên đã chứng minh sự cần thiết của đề tài và ghi nhận kết quả của đề tài. II. HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI: - Do thời gian thực hiện đề tài ngắn, khơng gian nghiên cứu cũng chưa rộng (chỉ giới hạn trong 11 lớp 10 Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm, là những lớp chúng tơi giảng dạy thực tập và những tiết dạy để nghiên cứu đề tài). Vì vậy, nhận xét về trình độ, khả năng tư duy Tốn học của học sinh lớp 10 nĩi chung cịn nhiều hạn chế. - Vì cịn đang là sinh viên chưa cĩ kinh nghiệm thực tế giảng dạy, số giờ dạy thực tập và giảng dạy kiểm nghiệm đề tài cịn ít nên việc nhận xét đánh giá kết quả để bổ sung, sửa đổi gặp khĩ khăn. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh Trang 103 III. HƯỚNG GỢI MỞ CỦA ĐỀ TÀI: Vì những lý do khĩ khăn nên đề tài nghiên cứu chỉ giới hạn trong Đại Số lớp 10. Trong quá trình thực hiện đề tài, từ những cơ sở lý luận đã được phân tích trên chúng tơi thấy rằng đề tài cĩ thể được mở rộng theo các hướng nghiên cứu sau: - Hướng ngược chiều: cĩ thể nghiên cứu rèn luyện tư duy Tốn học và kỹ năng giải tốn bằng việc giải tốn dạng giải và biện luận phương trình, hệ phương trình cho học sinh lớp 9. Tất nhiên giáo viên phải cĩ cách diễn giảng dể hiểu, các ví dụ hợp trình độ nhưng chặt chẽ. - Hướng xuơi chiều, đi lên: áp dụng giải và biện luận phương trình, hệ phương trình ở chương trình lớp 11, 12. - Hướng mở rộng: việc rèn luyện tư duy Tốn học qua việc giải tốn khơng những chỉ áp dụng ở Đại Số mà cịn cĩ thể áp dụng ở Hình Học, nĩi chung là mơn Tốn các lớp 10, 11, 12. IV. KẾT LUẬN CHUNG: - Đề tài nghiên cứu của chúng tơi đã hồn thành. Đề tài đã đạt được những kết quả và hướng gợi mở cho những nghiên cứu mới nhưng cũng cĩ những thiếu sĩt, hạn chế. - Vấn đề rèn luyện tư duy Tốn học cho học sinh qua việc giải tốn là vấn đề rộng nên chúng tơi chỉ nghiên cứu trong phạm vi giải và biện luận phương trình, hệ phương trình lớp 10 theo khả năng và yêu cầu phải làm. Đến nay đã đạt được kết quả nhất định. Tuy chưa được mỹ mãn nhưng chúng tơi khép lại đề tài ở đây. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Dương Quốc Anh – Vì sao ? Tốn Học NXB Khoa học và kỹ thuật , 2002 2. Vũ Hữu Bình – Kinh nghiệm dạy Tốn và học Tốn. NXBGD 1998. 3. Hồng Chúng – Rèn luyện khả năng sáng tạo Tốn học ở trường phổ thơng. NXB TPHCM 1991. 4. Phạm Văn Đồng – “ Đào tạo thế hệ trẻ của dân tộc thành những chiến sĩ cách mạng dũng cảm, thơng minh, sáng tạo”. NXBGD Hà Nội 1969 5. Nguyễn Bá Đơ – Hồ Châu. Các câu chuyện Tốn học (tập 2) – Cái đã biết trong cái chưa biết. NXBGD 2002. 6. Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên,sách bồi dưỡng giáo viên Tốn lớp 10 (cơ bản và nâng cao),tài liệu về đổi mới PPDH của Bộ GD và ĐT năm 2000. 7. Nghị quyết BCH TW ĐCS Việt Nam về cơng tác giáo dục: Hội nghị IV ( Khĩa VII - 1993) Hội nghị II ( Khĩa VIII – 1997) ( Trích Văn Kiện Đại Hội Đảng) 8. Luật giáo dục Quốc hội nước Cộng Hịa XHCN Việt Nam thơng qua 1988 9. Nguyễn Thái Hịe – Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Tốn. NXBGD 1997. 10. Nguyễn Phụ Hy – Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình. NXBGD 2002 11. Phạm Văn Hồn (chủ biên) – Giáo dục học mơn Tốn. NXBGD 1981. 12. Nguyễn Bá Kim (chủ biên) – Phát triển lí luận dạy học mơn Tốn. NXBGD 1994 13. Nguyễn Bá Kim – Phương pháp dạy học mơn Tốn. NXB Đại học Sư Phạm 2002 14. V.Ơkơn – Những cơ sở của việc dạy học nêu vấn đề. NXBGD 1981. 15. Nguyễn Văn Vĩnh – Một số vấn đề về nội dung, chương trình và phương pháp dạy học Giải tích 12. Giáo trình ĐHSP TPHCM 1992 16. Nguyễn Văn Vĩnh – Báo cáo khoa học: “ Hình thành cho học sinh các phương pháp tiếp cận khác nhau tìm kiếm lời giải bài tốn ”. ( 2001) NXBGD 2002 NXBGD 1998. Khĩa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Nguyễn Thiết SVTH: Trần Thị Mai Thanh 17. Tài liệu ơn thi cuối khĩa mơn phương pháp dạy học Tốn ( khĩa IV ), ĐHAG 18. Nguyễn Lâm Như Thảo – Khĩa luận tốt nghiệp , Đại học An Giang, khoa Sư Phạm, ngành Tốn , 2006 19. Lê Minh Triều – Khĩa luận tốt nghiệp , Đại học An Giang, khoa Sư Phạm, ngành Tốn , 2005 20. Tống Phước Lộc – Khĩa luận tốt nghiệp , Đại học Sư Phạm TPHCM , 2001 21. Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phan Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh. Một số phương pháp chọn lọc giải các bài tốn sơ cấp (tập 1, 2, 3). NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội – 2001 22. Phạm Gia Đức (chủ biên) – Bùi Huy Ngọc – Phạm Đức Quang. Giáo trình phương pháp dạy học các nội dung mơn Tốn. NXBGD 2002. ._.