Tìm hiểu về hình học Phi Euclide

ời ta được mở rộng thêm hiểu biết với tác phẩm “Nguyên lý” rất nổi tiếng có tất cả 13 quyển. Tác phẩm “Nguyên lý” trình bày cách xây dựng môn Hình học bằng phương pháp tiên đề. Trong tác phẩm, tác giả nêu ra các định nghĩa, định đề và tiên đề. Trong đó có 5 định đề có nội dung quan trọng và vấn đề đặt ra là định đề 5 của Euclide có phải là một định đề hay không? Hay nó có thể được chứng minh như một định lý? Việc tìm lời giải cho bài toán này đã thu hút rất nhiều nhà Toán học trong một thời gian dài. Và chưa ai làm sáng tỏ được cho đến ngày 6/2/1826, vấn đề được giải quyết bởi nhà Toán học người Nga, Lobachevsky (1792–1856), ông đã trình bày nghiên cứu của mình tại khoa Toán – Lý trường đại học Ka–zan (Nga). Lobachevsky chứng minh rằng: không thể chứng minh định đề 5. Định đề 5 đúng là một định đề chứ không phải định lý. Từ đó, ông giữ nguyên các định đề của Euclide và thay định đề 5 bằng một mệnh đề phủ định, dựa vào đó chứng minh các định lý của các hệ thống Hình học mới mà ngày nay ta gọi là Hình học phi Euclide hay Hình học Lobachevsky. Nghiên cứu Hình học phi Euclide chúng ta sẽ thấy được những kết quả hết sức bất ngờ và thú vị hoàn toàn trái ngược với Hình học Euclide. Luận văn được trình bày gồm 3 chương: +Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị. +Chương II: Hình học phi Euclide. +Chương III: Mẫu đĩa Poincare và mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại Học An Giang với sự hướng dẫn nhiệt tình của cô Phạm Thị Thu Hoa. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn, quý thầy cô khoa Sư phạm và Bộ môn Toán trường Đại học An Giang, cảm ơn các bạn lớp DH5A1 đã giúp tôi hoàn thành luận văn này trong suốt quá trình học tập. Xin chúc quý thầy cô được dồi dào sức khoẻ, hạnh phúc và công tác tốt. Do sự hạn chế về thời gian và khả năng nghiên cứu khoa học nên Khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Long Xuyên, tháng 5 năm 2008 Tác giả GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 2 MỤC LỤC Lời nói đầu.....................................................................................................1 Mục lục ..........................................................................................................2 Các ký hiệu ....................................................................................................5 Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .........................................................6 1. Vài nét về lịch sử ra đời của Hình học phi Euclide ................................6 1.1 .Hình học Euclide. ...............................................................................6 1.2 .Về định đề 5 của Euclide.. ..................................................................7 1.3 .Sự ra đời của Hình học phi Euclide.. ..................................................7 2.Kiến thức bổ trợ .......................................................................................8 2.1. Tứ giác saccheri: ................................................................................8 2.2. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương trong không gian vectơ 8 2.2.1. Dạng song tuyến tính: ................................................................8 2.2.2. Dạng toàn phương: ....................................................................8 3. Thể hiện khái niệm cơ bản của hình học Euclide. ..................................9 3.1. Mô hình xạ ảnh của không gian Euclide. ...........................................9 3.2. Cái tuyệt đối........................................................................................9 3.3. Khái niệm vuông góc của hai đường thẳng. .....................................10 3.4. Khái niệm siêu cầu: ..........................................................................10 Chương II. HÌNH HỌC PHI EUCLIDE .................................................12 1. Không gian vectơ giả Euclide...............................................................12 1.1. Định nghĩa........................................................................................12 1.2. Định lý. ............................................................................................13 2. Hình học giả Euclide ............................................................................14 2.1. Định nghĩa không gian giả Euclide bằng tiên đề.............................14 2.2. Mục tiêu trực chuẩn. ........................................................................14 2.2.1. Định lý .....................................................................................14 2.2.2. Định lý .....................................................................................15 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 3 2.3. Định nghĩa........................................................................................16 2.4. Định nghĩa........................................................................................16 2.4.1. Mệnh đề. ...................................................................................16 2.4.2. Định lý ......................................................................................16 2.4.3. Hệ quả: ......................................................................................17 2.4.4. Định lý. .....................................................................................17 2.5. Modul của vectơ – độ dài đoạn thẳng...............................................19 2.5.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. .........................................19 2.5.2. Modul của vectơ. ......................................................................19 2.5.3. Độ dài đoạn thẳng. ....................................................................19 2.5.4 . Một số khái niệm khác.............................................................20 2.6. Định nghĩa........................................................................................21 2.6.1. Định lý .....................................................................................21 2.6.2. Mệnh đề. ..................................................................................22 2.6.3. Định lý. ....................................................................................22 2.7. Mô hình xạ ảnh của không gian giả knΕ ...........................................23 2.7.1. Xây dựng mô hình. ..................................................................23 2.7.2. Thể hiện khái niệm giả Euclide trên mô hình..........................24 2.8. Phép đồng dạng trong không gian knΕ – Hình học giả Euclide. ......27 2.8.1. Phương trình của phép đồng dạng – phép dời trong knΕ . ........27 2.8.2. Định lý. ....................................................................................29 3. Hình học Lobachevsky .........................................................................31 3.1 Định nghĩa.........................................................................................31 3.2. Một số quy ước. ...............................................................................31 3.3. Các định nghĩa. ................................................................................32 3.4. Khái niệm vuông góc.......................................................................32 3.5. Phương trình của phép dời hình trong Hn. .......................................33 3.6. Khoảng cách giữa hai điểm trong Hn ..............................................33 3.7. Góc giữa hai đường thẳng................................................................34 Chương III: MẪU ĐĨA POINCARE VÀ MẪU NỬA TRÊN ...............35 1. Mẫu đĩa Poincare và hình học Lobachevsky. .......................................35 1.1. Mặt phẳng Hyperbolic trong mẫu đĩa Poincare...............................35 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 4 1.1.1. Các định nghĩa. ........................................................................35 1.1.2. Khoảng cách mêtric trên mặt Hyperbolic................................37 1.1.3. Định nghĩa khoảng cách Hyperbolic từ A đến B.....................37 1.1.4. Những đường thẳng song song. ...............................................38 1.1.5. Định lý. ....................................................................................38 1.1.6. Định lý. ....................................................................................39 1.1.7. Định lý Lobachevsky. ..............................................................39 1.1.8. Định lý. ....................................................................................41 1.1.9. Định lý .....................................................................................41 1.1.10. Định lý. ..................................................................................42 1.1.11. Định lý ...................................................................................42 1.1.12. Định lý Pythagorean Hyperbolic. ..........................................42 2. Mẫu nửa trên mặt phẳng Poincare. .....................................................42 2.1. Các định nghĩa. ..............................................................................42 2.1.1. Điểm.......................................................................................42 2.1.2. Đường thẳng. .........................................................................43 2.1.3. Phép nghịch đảo.....................................................................43 2.1.4. Góc.........................................................................................43 2.1.5. Sự bằng nhau của các đoạn thẳng và các góc........................44 Kết luận........................................................................................................47 Tài liệu tham khảo. ......................................................................................48 GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 5 CÁC KÝ HIỆU Vn: không gian vectơ thực n- chiều An: không gian afin thực n- chiều Pn: không gian xạ ảnh n- chiều k n uuur E : không gian vectơ giả Euclide n- chiều chỉ số k k nE : không gian giả Euclide n- chiều chỉ số k ⊕ : Tổng trực tiếp f r : kn uuur E → kn uuur E : ánh xạ tuyến tính liên kết giữa giữa hai không gian vectơ giả Euclide n- chiều chỉ số k H2: không gian Lobachevsky 2- chiều Pr: r- phẳng xạ ảnh Hr: r- phẳng Lobachevsky [u]*: ma trận chuyển vị của ma trận [u] GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 6 Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. Vài nét về lịch sử ra đời của Hình học phi Euclide 1.1 . Hình học Euclide Như ta đã biết Euclide là một nhà hình học vĩ đại. Tên tuổi của ông gắn liền với tác phẩm “Nguyên lý” rất nổi tiếng có tất cả 13 quyển. Trong đó có 8 quyển dành cho hình học phẳng và hình học không gian. Kiến thức trong những cuốn sách này bao gồm toàn bộ nội dung hình học sơ cấp, mà một phần của nó được dạy trong các trường phổ thông hiện nay. Về phương pháp: Ta thấy Euclide đã cố gắng xây dựng môn hình học bằng phương pháp tiên đề. Trong cuốn sách đầu tiên Euclide đã nêu ra 23 định nghĩa của các khái niệm: điểm, đường, đường thẳng, mặt, mặt phẳng, đường thẳng song song. Sau định nghĩa Euclide trình bày các “định đề” và “tiên đề” là những mệnh đề mà sự đúng đắn của nó được thừa nhận, không chứng minh. Có 5 định đề nói về hình học đó là: 1). Từ một điểm bất kỳ này đến một điểm bất kỳ khác có thể vẽ được một đường thẳng. 2). Một đường thẳng có thể kéo dài mãi về cả hai phía. 3). Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tuỳ ý có thể vẽ được một đường tròn. 4). Hai góc vuông thì bằng nhau 5).Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai vuông, thì hai đường thẳng đó cắt nhau về phía có hai góc đó. Có 5 tiên đề nội dung rộng hơn dùng cho các suy luận toán học nói chung: 1). Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau. 2). Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. 3). Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. 4). Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau. 5). Toàn thể lớn hơn bộ phận. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 7 Sau khi đã có các định nghĩa, các định đề và tiên đề Euclide đã trình bày các định lý và chứng minh các định lý đó. Các định lý này đều được cố gắng dựa vào các định lý đã có trước hoặc các tiên đề và định đề. 1.2. Về định đề 5 của Euclide Định đề 5 của Euclide đóng vai trò đặc biệt trong lịch sử phát triển của hình học nói riêng và Toán học nói chung. Khi nghiên cứu tập “Nguyên lý”, các nhà toán học đều băn khoăn: Định đề 5 có thật là một định đề hay không? Hay nó có thể được chứng minh như là một định lý? Có lẽ như chính Euclide cũng băn khoăn như vậy, bởi vì ông đã cố trì hoãn việc áp dụng định đề đó vào việc chứng minh các định lý. Thế là nhiều nhà toán học đã cố gắng tìm cách chứng minh định đề 5. Có thể nói trong lịch sử toán học chưa bao giờ có một vấn đề toán học được nhiều người nghiên cứu đến thế, và giải quyết nó lại cần nhiều thời gian đến thế (từ thế kỷ II trước CN đến giữa thế kỷ XIX ). Hầu hết các nhà toán học đều thất bại. Họ cứ tưởng là đã chứng minh được định đề 5, nhưng thật ra thì không phải, vì trong khi chứng minh họ đã sử dụng một điều tương đương với định đề đó. Chẳng hạn, Pro–duyt (Produs Diadochus 410 – 485) trong chứng minh của mình ông đã sử dụng mệnh đề: “ Nếu hai đường thẳng a và b song song thì khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của đường thẳng a tới đường thẳng b đều bằng nhau”. Mệnh đề này có vẻ hiển nhiên nhưng để chứng minh nó ta phải dùng định đề 5 (vòng luẩn quẩn!). Nhiều nhà toán học đã chứng minh định đề 5 bằng phương pháp phản chứng. Hãy giả sử định đề 5 không đúng, rồi cố rút ra những đều vô lý, những mâu thuẫn, nhưng họ không thành công vì họ tưởng đã tìm ra cái vô lý nhưng thực ra lại chẳng vô lý chút nào!. 1.3. Sự ra đời của Hình học phi Euclide Cuối cùng, vào ngày 6/2/1826 vấn đề đã được giải quyết bởi nhà toán học người Nga, Lobachevsky (1792–1856), khi ông trình bày nghiên cứu của mình tại khoa Toán – Lý trường Đại học Ka–zan (Nga). Lobachevsky chứng minh rằng: Không thể chứng minh được định đề 5. Định đề 5 đúng là một định đề chứ không phải định lý. Ông giữ nguyên các định đề của Euclide và thay định đề 5 bằng một mệnh đề phủ định: “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có thể kẻ ít nhất hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho”, dựa vào đó chứng minh các định lý của hệ thống hình học mới. Ngày nay chúng ta gọi hình học mà Lobachevsky xây dựng là hình học phi Euclide hay hình học Lobachevsky hoàn toàn trái ngược với hình học Euclide. Chẳng hạn, trong hình học của Lobachevsky: tổng các góc của tam giác bé hơn GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 8 1800, có tam giác mà tổng số đo các góc bé tuỳ ý, diện tích tam giác bị chặn trên quỹ tích những điểm cách đều một đường thẳng phải là cặp đường thẳng, … Tuy nhiên trong nội bộ của hình học đó không hề có mâu thuẫn nào. 2. Kiến thức bổ trợ 2.1. Tứ giác Saccheri Xét một tứ giác AA’B’B có hai góc vuông kề đáy AB và có hai cạnh bên AA’ và B’B bằng nhau. Do đối xứng qua trung trực của đoạn AB, các góc A’ và B’ bằng nhau Nếu công nhận định đề 5 thì lập tức suy ra rằng hai góc A’ và B’ đều vuông và tứ giác AA’B’B là một hình chữ nhật. Ngược lại như saccheri đã chứng minh, nếu tìm được ít nhất một tứ giác dạng như trên có hai góc ở đỉnh vuông thì sẽ chứng minh được định đề 5. 2.2 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương trong không gian vectơ 2.2.1 . Dạng song tuyến tính Định nghĩa: Dạng song tuyến tính trên một không gian vectơ Vn là một hàm số S( yx rr, ) của hai vectơ xác định trên toàn bộ Vn và có tính chất tuyến tính đối với từng vectơ, tức là: ⎩⎨ ⎧ +=+ +=+ ),(),(),( ),(),(),( 22112211 22112211 yxSyxSyyxS yxSyxSyxxS rrrrrrr rrrrrrr λµµµ λλλλ (1) Hay một cách tổng quát: 1122112211 ),( µλµµλλ =++ yyxxS rrrr )y,x(S 11 rr + 1λ 2µ )y,x(S 21 rr + 2λ 1µ ),( 12 yxS rr + + 2λ 2µ ),( 22 yxS rr Với các vectơ và số thực tham gia trong đẳng thức đó được lấy tùy ý. 2.2.2. Dạng toàn phương Định nghĩa: Trong không gian vectơ Vn cho dạng song tuyến đối xứng ),( yxS rr . Hàm số của một vectơ P( xr )= ),( xxS rr , với mọi xr nV∈ gọi là dạng toàn phương xác định bởi dạng song tuyến tính ),( yxS rr Ngược lại: ),( yxS rr gọi là dạng đối cực của dạng toàn phương )(xP r B’ A’ H’ H B A GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 9 3.Thể hiện khái niệm cơ bản của hình học Euclide 3.1 . Mô hình xạ ảnh của không gian Euclide Ta chọn trong không gian xạ ảnh thực n chiều Pn, một siêu phẳng Pn–1 làm siêu phẳng vô tận. Như vậy ta được một không gian afin thực n chiều An (như đã mô tả trong giáo trình hình học xạ ảnh). Bằng cách định nghĩa một tích vô hướng trong nền của An thì An trở thành một không gian Euclide. Mô hình đó của không gian Euclide được gọi là mô hình xạ ảnh của không gian Euclide. Bây giờ, ta hãy chọn không gian đó một mục tiêu trực chuẩn { } n1,i1n E;A + , tức là n 1 iA E+ ∗ uuuuuur j1n EA + = ijδ , i, j = 1, 2, …, n. Ta gọi { } 1n1,E;A +i là mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu { } n1,i1n E;A + . Điều đó có nghĩa là, Ai là giao điểm của đường thẳng An+1Ei với siêu phẳng Pn–1, i = n,1 , còn E có tọa độ với mọi mục tiêu trực chuẩn { } n1,i1n E;A + là (1, 1, …, 1) tức là : ∑ = ++ = n 1i i1n1n EAEA Ta nhắc lại rằng, nếu điểm M thuộc Εn có tọa độ đối với mục tiêu { } n1,i1n E;A + là (X1, X2, …, …, Xn) thì nó sẽ có tọa độ đối với mục tiêu xạ ảnh { } 1n1, E;A +i là (x1: x2: …: xn+1) với xn+1 ≠ 0 và 1n i i x xX + = , i = 1, 2, …, n. Đối với mục tiêu trực chuẩn đã chọn, hai vectơ u = (u1, u2, …, un), v = (v1, v2, …, vn) sẽ có tích vô hướng là: i n 1i i vuv*u ∑ = = = [u]*.[v]. 3.2 . Cái tuyệt đối Trong không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu đã chọn{ } 1n1,E;A +i nói trên, phương trình của siêu phẳng vô tận Pn–1 là xn+1 = 0. Trong siêu phẳng Pn–1, ta chọn mục tiêu xạ ảnh là{ } n1,E';Ai , trong đó E’ là giao điểm của An+1E với Pn–1. Ta xét siêu mặt trái xoan không T có phương trình đối với mục tiêu đã chọn trong siêu phẳng Pn–1 là: [x]*[x] = ∑ = n 1i 2 ix = 0 (1) Siêu mặt T gọi là cái tuyệt đối T của không gian xạ ảnh Pn . Cái tuyệt đối trong mặt phẳng xạ ảnh là: x12 + x22 = 0 đó là cặp điểm I(1: i: 0), J(1:–i: 0) được gọi là cặp điểm xyclic. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 10 3.3. Khái niệm vuông góc của hai đường thẳng Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau là hai điểm vô tận của chúng liên hợp đối với cái tuyệt đối T. Chứng minh Ta dựng qua gốc An+1 của mục tiêu{ } n1,i1n E;A + hai đường thẳng d1 và d1’, lần lượt song song với d và d’. Trên d1 và d1’ lần lượt lấy hai điểm X và X’ khác An+1 có tọa độ là (X1, X2,…, Xn) và (X’1, X’2,…, X’n). Ta gọi ∞A và ∞A' là hai điểm vô tận của d và d’, tức là điểm vô tận của d1 và d1’. Khi đó tọa độ xạ ảnh của chúng đối với mục tiêu xạ ảnh là ∞A (X1: X2:…, Xn: O), ∞A' (X’1: X’2:…: X’n: O). Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau là: n 1 n 1A X*A X' 0+ + = uuuuuur uuuuuur 0XX n 1i ' ii =⇔∑ = Đây chính là điều kiện để hai điểm ∞A và ∞A' liên hợp với nhau đối với cái tuyệt đối T. Vậy định lý được chứng minh. ˆ 3.4 . Khái niệm siêu cầu Định lý: Mỗi siêu mặt bậc hai trong không gian Euclide n chiều Εn là một siêu cầu khi và chỉ khi nó cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T. Chứng minh Mỗi siêu cầu S trong Εn sẽ có phương trình đối với mục tiêu trực chuẩn { } n,1i1n E;A + là: 20 1 )( i n i i XX −∑ = =R2 (2) Trong đó ( 01X , 02X ,…, 0nX ) là tọa độ tâm siêu cầu. Bằng cách chuyển sang tọa độ xạ ảnh ta đưa (2) về dạng: 2 0 1 0 1 1 )( += + −∑ n i n i n i x x x x =R2, hay 0 0 2 2 0 2 21 1 1 1 1 ( ) .( ) .( ) n n i i n n n i x x x x R x x+ + + + = − =∑ (3) Muốn tìm giao của siêu cầu (S) với siêu phẳng vô tận Pn–1, ta thay 1+nx = 0 vào (3) ta sẽ được : 0)( 2 1 0 1 =∑ = + n i in xx hay 0)( 2 1 =∑ = n i ix Đó chính là phương trình của cái tuyệt đối T. Vậy mọi siêu cầu của Εn đều cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 11 Ngược lại, Trong Pn cho siêu mặt bậc hai (S): 0 1 1, =∑+ = j n ji iij xxa . Giao của siêu mặt bậc hai (S) với siêu phẳng vô tận là: 0 1, =∑ = j n ji iij xxa . (4) Nếu giao đó trùng với cái tuyệt đối T, thì ijij ka δ= , với k 0≠ (5) Bằng cách chuyển sang tọa độ trực chuẩn trong Εn ta có phương trình của (S) là: 0 2 11 1 1 1, =++ ++ = + = ∑∑ nnn i iinj n ji iij aXaXXa (6) Từ (5) thì (6) trở thành 2 1 1 1 1 1 2 0 n n i in i n n i i k X a X a+ + + = = + + =∑ ∑ Như ta đã biết (7) chính là phương trình của một siêu cầu (có thể là siêu cầu điểm hoặc siêu cầu ảo). Vậy định lý được chứng minh. ˆ GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 12 Chương II. HÌNH HỌC PHI EUCLIDE 1. Không gian vectơ giả Euclide 1.1 . Định nghĩa Cho không gian Vn là không gian vectơ n chiều trên trường số thực, Vn được gọi là không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k Ký hiệu: kn uur E Nếu trên Vn ánh xạ η : VnxVn →Ρ )b,a( a η(a,b) r r = a * b r r Là tích vô hướng và thỏa thêm điều kiện sau đây: →nV:ω Ρ )x,x()xω(x η=a là dạng toàn phương chỉ có số quán tính (k, n – k) với k > 0, n – k > 0. Nhận xét: nếu dạng toàn phương ω có chỉ số quán tính âm n-k = 0 thì )xω( là dạng toàn phương xác định dương và khi đó Vn là không gian vectơ Euclide đã biết. Trong không gian vectơ giả Euclide kn uur E , một cơ sở ε= ( ie ) thỏa mãn điều kiện: Với b,a ∈ kn uur E mà a /( ε ) = (a1, a2, …, an) b /(ε ) = (b1, b2, …, bn) Khi đó biểu thức tọa độ dạng song tuyến tính có dạng: )b,aη( = a1b1 + a2b2 +…+ akbk – ak+1bk+1 – anbn Khi đó cơ sở ε= ( ie ) được gọi là cơ sở giả trực chuẩn. Đối với cơ sở giả trực chuẩn ta có: ie * je = 0 khi i ≠ j ie * ie ur = 1 khi i ≤ k ie * ie ur = –1 khi i > k. GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 13 1.2 . Định lý Trong không gian vectơ thực Vn cho một cơ sở ε= ( 1e , 2e ,… , ne ). Khi đó ta có trong Vn có tích vô hướng duy nhất để Vn trở thành một không gian vectơ giả Euclide trong knΕ , trong đó ε là cơ sở giả trực chuẩn của nó. Chứng minh • Sự tồn tại. Giả sử tìm được một ánh xạ η : VnxVn →Ρ là một tích vô hướng trong Ρ sao cho ε = ( 1e , 2e ,… , ne ) là một cơ sở giả trực chuẩn. Khi đó ∀ a , b ∈ Vn ta có a = (a1, a2, …, an), b = (b1, b2, …, bn). Từ đó ta có: i n 1i i eaa ∑ = = , j n 1j jebb ∑ = = . Khi đó )b,aη( rr = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∑∑ == j n 1j ji n 1i i eb,eaη = )e,eη(ba ji n 1ji, ji∑ = Vì η nhận ε làm cơ sở giả trực chuẩn nên ta có: Do đó ta có: )b,aη( = a1b1 + a2b2 +…+ akbk – ak+1bk+1 – anbn Từ đó ta xây dựng ánh xạ η : VnxVn →Ρ như sau Với a , b ∈Vn mà a /( ε ) = (a1, a2, …, an), b /( ε ) = (b1, b2, …, bn) Ta đặt )b,aη( = a1b1 + a2b2 +…+ akbk – ak+1bk+1 – anbn (1) thì η là tích vô hướng thỏa mãn các điều kiện 1, 2, 3 của định nghĩa. Khi đó i i ij j i ε 1 i k η(e ,e ) e *e ε 1 i k = ≤⎧= = ⎨ = − >⎩ r ur r ur Do đó cơ sở ε = ( ie ) được gọi là cơ sở giả trực chuẩn. • Chứng minh sự duy nhất. Ta chứng minh tích vô hướng η : VnxVn →Ρ xác định bởi công thức (1) là duy nhất. Thật vậy: Giả sử ánh xạ : ξ : VnxVn →Ρ cũng là tích vô hướng trong Vn cũng thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Nghĩa là với tích vô hướng ξ thì ε = ( ie ) cũng là cơ sở giả trực chuẩn. -1 nếu i = j > k 0 nếu i ≠ j 1 nếu i = j ≤ k ( , ) *i j i je e e eη ⎧⎪= = ⎨⎪⎩ r r r r nếu nếu GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 14 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ±= 0EE*EE 1,EE*EE j0i0 i0i0 Thế thì ta có: )b,a(ξ =a1b1 + a2b2+ … + akbk – ak+1bk+1 – anbn (2) Từ (1) và (2) suy ra ánh xạ η trùng với ánh xạ ξ . Vậy định lý được chứng minh.ˆ 2. Hình học giả Euclide 2.1. Định nghĩa không gian giả Euclide bằng tiên đề Cho không gian afin thực An.với mỗi cặp vectơ a r , b r thuộc nền của An ta xác định một số thực ar * b r gọi là tích vô hướng của ar và b r , sao cho các tiên đề sau đây được thỏa mãn: (E*1) a r * b r = b r * ar , với mọi vectơ ar và b r . (E*2) a r * ( b r + cr ) = ar * b r + ar * cr với mọi vectơ ar , b r và cr . (E*3) λa * b r = λ ( ar * br ) với mọi số thựcλ và với mọi vectơ ar và br . (E*4) Có n vectơ ia r , i = n,1 sao cho: ia r * ia r > 0, với i ≤ k, ia r * ia r k, ia r * ja r = 0, với i ≠ j. Khi đó không gian An được gọi là không gian giả Euclide n chiều chỉ số k, kí hiệu knΕ . Ta có không gian giả Euclide n – chiều chỉ số n chính là không gian Euclide. 2.2. Mục tiêu trực chuẩn Trong không gian giả Euclide knΕ , ta xét một mục tiêu afin { } n1,i0 E;E (vì k nΕ là không gian afin, cho nên trong đó có mọi khái niệm afin, và vì vậy ta có thể nói về mục tiêu của knΕ ta gọi mục tiêu đó là mục tiêu afin). Mục tiêu nói trên gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu: 2.2.1. Định lý với mọi i với i≠ j. (1) GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 15 Trong không gian knΕ luôn có một mục tiêu trực chuẩn. Chứng minh Ta lấy một điểm E0 bất kỳ của knΕ và chọn các Ei sao cho: ii i i0 a*a aEE = , với i ≤ k, )a*a( aEE ii i i0 − = , với i > k. trong đó ia r , i = n,1 là các vectơ trong tiên đề (E*4). Khi đó rõ ràng rằng mục tiêu { } n1,i0 E;E thỏa mãn điều kiện (1), và do đó là một mục tiêu trực chuẩn. Trong cơ sở trực chuẩn này có k vectơ i0EE sao cho =i0i0 EE*EE 1 và (n – k) vectơ j0EE sao cho 1EE*EE j0j0 −= .ˆ Đối với mọi cơ sở trực chuẩn điều đó cũng đúng, bởi vì ta có định lý sau đây: 2.2.2. Định lý Nếu ta có n vectơ n1,i,bi = sao cho ib * ib ≠ 0 với mọi i và ib * jb = 0 với i ≠ j, thì ta sẽ có đúng k vectơ ib sao cho ib * ib > 0, và (n – k) vectơ jb sao cho jb * jb < 0. Chứng minh Giả sử ib * ib > 0, với i≤ l và jb * jb l. Ta chứng minh l = k. Dễ thấy rằng l vectơ lb,...b,b 21 , độc lập tuyến tính, bởi vậy chúng sinh ra một không gian vectơ con l chiều Vl. Tương tự, ta gọi Vn–k là không gian vectơ con sinh ra bởi n– k vectơ độc lập tuyến tính n2k1k a,...a,a ++ nói trong tiên đề (E * 4). Nếu l > k thì Vl và Vn–k sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số chiều ít nhất là l – k, ta gọi cθ ≠ ∈ Vl ∩ Vn–k thì: ∑ ∑ = += == l 1i n 1ki iiii aµbλc . Do đó ∑∑ ∑ == = >== ll l 1i ii 2 i 1i 1i iiii 0b*bλ)bλ(*)bλ(c*c GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 16 Mặt khác 0a*aµ)aµ(*)aµ(c*c i n 1ki i 2 i n 1ki ii n 1ki ii <== ∑∑∑ +=+=+= (vô lý). Tương tự như vậy, ta chứng minh rằng l < k là không thể được. Tóm lại, l = k và định lý đã được chứng minh. ˆ 2.3. Định nghĩa Cho hai không gian con P và Q của không gian vectơ giả Euclide knΕ (P là không gian con của knΕ nếu P cùng với tích vô hướng trên knΕ cũng làm thành không gian vectơ giả Euclide n- chiều chỉ số k) , P và Q gọi là vuông góc nhau nếu với mọi vectơ ∈x P đều vuông góc với vectơ ∈y Q, tức là ∈x P, ∈y Q thì ⊥x y ( ⊥x y ⇔ x 0y∗ =r r ) . Kí hiệu P⊥Q. Nếu hai không gian con P và Q vuông góc với nhau và knΕ = P⊕Q thì ta nói rằng P là phần bù vuông góc của Q và ngược lại. Ký hiệu: P = ⊥Q . 2.4 . Định nghĩa Cho hai không gian con P và Q của knΕ (các không gian con cũng là không gian vectơ giả Euclide với tích vô hướng như không gian vectơ giả Euclide knΕ ), P và Q gọi là đối vuông góc nếu phần bù vuông góc của P vuông góc với phần bù vuông góc của Q. Ký hiệu: P đối ⊥Q. Nếu hai không gian con P và Q đối vuông góc với nhau và PIQ = (O ) thì ta nói P đối bù vuông góc với Q. Ký hiệu: P đối bù⊥Q. 2.4.1 . Mệnh đề 1). P đối ⊥Q⇔ Q đối ⊥ P. 2). P đối bù⊥Q⇔ Q đối bù⊥ P. 3). P đối bù⊥Q⇒P đối ⊥Q. 2.4.2 . Định lý Trong không gian knΕ , µ là dạng song tuyến tính không suy biến của knΕ , P và Q là hai không gian con không suy biến. P đối bù vuông góc với Q khi và chỉ khi P bù vuông góc với Q. Chứng minh P đối bù⊥Q⇒ P đối ⊥Q PIQ = (O ) ⎩⎨ ⎧ GVHD: Th.s Phạm Thị Thu Hoa SVTH: Nguyễn Thị Xuyên Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 17 P đối ⊥Q⇒ ⊥P ⊥ ⊥Q ⇒ ⊥P ⊂ ( ⊥Q ) ⊥ . Mặt khác ta có: ⊥Q ⊂ ( ⊥Q ) ⊥ và vì µ không suy biến ⇒dimQ + dim ⊥Q = n. Mà dim ⊥Q + dim( ⊥Q ) ⊥ = n ⇒ dimQ = dim( ⊥Q ) ⊥ Do đó Q = ( ⊥Q ) ⊥ ⇒ ⊥P ⊂Q (*). PIQ = (O ) ⇒ dim(PIQ ) = 0. Từ (*) ⇒P + Q ⊃ P + ⊥P . Vì P không suy biến nên ta có ∈x PI ⊥P ⇒ ∈x ⊥P ⇒ ⊥x y , ∀ ∈y P ⇒ µ ( ,x y ) = 0 ⇒ x 0=r r ⇒ PI ⊥P = (O ) . Mặt khác: dimP + dim ⊥P = n ⇒P + ⊥P = knΕ ⇒ knΕ ⊂P + Q. Ta lại có: P+Q⊂ knΕ . Do đó P+Q = knΕ ⇒ dim(P + Q ) = dim knΕ ⇒ dim knΕ = dimP + dimQ – dim (PIQ ) = dimP + dimQ (1’) Ta có: P + ⊥P = knΕ và PI ⊥P = (O ) Nêndim knE =dim(P+ ⊥P ) = dimP+dim ⊥P –dim(PI ⊥P )=dimP+dim ⊥P (2) Từ (1’) và (2’) ⇒dimQ = dim ⊥P (**). Từ (*) và (**) ta suy ra: Q = ⊥P Mặt khác: P bù ⊥ ⊥P ⇒ P bù ⊥Q . Ngược lại ta có: P bù ⊥Q thì PIQ = (O ) và ⊥P = Q. Tương tự: ⊥Q = P. Do đó: Từ P⊥Q ⇒ ⊥P ⊥ ⊥Q ⇒ P đối ⊥Q và PIQ = (O ) ⇒ P đố._.